线性规划应用案例

市场营销应用

案例一：媒体选择

在媒体选择中应用线性规划的目的在于帮助市场营销经理将固定的广告预算分配到各种广告媒体上，可能的媒体包括报纸、杂志、电台、电视和直接邮件。在这些媒体中应用线性规划，目的是要使宣传范围、频率和质量最大化。对于应用中的约束条件通常源于对公司政策、合同要求及媒体的可用性。在下面的应用中，我们将介绍如何应用线性规划这一工具来建立模型进而解决媒体选择问题。

REL发展公司正在私人湖边开发一个环湖社区。湖边地带和住宅的主要市场是距离开发区100英里以内的所有中上收入的家庭。REL公司已经聘请BP&J 来设计宣传活动。

考虑到可能的广告媒体和要覆盖的市场，BP&J建议将第一个月的广告局限于5种媒体。在第一个月末，BP&J将依据本月的结果再次评估它的广告策略。BP&J已经收集到了关于受众数量、广告单价、各种媒体一定周期内可用的最大次数以及评定5种媒体各自宣传质量的数据。质量评定是通过宣传质量单位来衡量的。宣传质量单位是一种用于衡量在各个媒体中一次广告的相对价值的标准，它建立于BP&J在广告业中的经验，将众多因素考虑在内，如受众层次（年龄、收入和受众受教育的程度）、呈现的形象和广告的质量。表4-1列出了收集到的这些信息。

表4-1 REL发展公司可选的广告媒体

5.电台早8:00或晚5:00新闻

3001003020

（30秒）KNOP台

REL发展公司提供给BP&J第一个月广告活动的预算是30000美元。而且，REL公司对BP&J如何分配这些资金设置了如下限制：至少要使用10次电视广告，达到的受众至少要有50000人，并且电视广告的费用不得超过18000美元。应当推荐何种广告媒体选择计划呢

案例二：市场调查

公司开展市场营销调查以了解消费者个性特点、态度以及偏好。专门提供此种信息的市场营销调查公司，经常为客户机构开展实际调查。市场营销调查公司提供的典型服务包括涉及计划、开展市场调查、分析收集数据、提供总结报告和对客户提出意见。在调查设计阶段，应当对调查对象的数量和类型设定目标或限额。市场营销调查公司的目标是以最小的成本满足客户要求。

市场调查公司（MSI）专门评定消费者对新的产品、服务和广告活动的反映。一个客户公司要求MSI帮助确定消费者对一种近期推出的家具产品的反应。在与客户会面的过程中，MSI统一开展个人入户调查，以从有儿童的家庭和无儿童的家庭获得回答。而且MSI还同意同时开展日间和晚间调查。尤其是，客户的合同要求依据以下限制条款进行1000个访问：

至少访问400个有儿童的家庭；

至少访问400个无儿童的家庭；

晚间访问的家庭数量必须不少于日间访问的家庭数量；

至少40%有儿童的家庭必须在晚间访问；

至少60%无儿童的家庭必须在晚间访问。

因为访问有儿童的家庭需要额外的访问时间，而且晚间访问者要比日间访问者获得更多收入，所以成本因访问的类型不同而不同。基于以往的调查研究，预计的访问费用如下表所示：

以最小总访问成本满足合同要求的家庭——时间访问计划是什么样的呢

财务应用

案例一：投资组合

投资组合选择问题所涉及的情况是财务经理从多种投资选择中选择具体的一些投资，如股票和债券、共有基金、信用合作社、保险公司等等，银行经理们经常会遇到这样的麻烦。投资组合选择问题的目标函数通常是使预期收益最大化或使风险最小化。约束条件通常表现为对准许的投资类型，国家法律，公司政策，最大准许风险等方面的限制。对于此类问题，我们可以通过使用各种数学规划方法建立模型进而求解。此节中，我们将把投资组合选择问题作为线性规划问题来求解。

假设现在有一家坐落于纽约的威尔特（Welte）共有基金公司。公司刚刚完成了工业债券的变现进而获得了100,000美元的现金，并正在为这笔资金寻找其他的投资机会。根据威尔特目前的投资情况，公司的上层财务分析专家建议新的投资全部投在石油、钢铁行业或政府债券上。分析专家已经确定了5个投资机会，并预计了它们的年收益率。表4-3是各种投资及它们的收益率。

威尔特的管理层已经设置了以下的投资方针：

1.在任何行业（石油或钢铁）的投资不得多于50000美元。

2.对政府债券的投资至少相当于对钢铁行业投资的25%。

3.对太平洋石油这样高收益但高风险的投资项目，投资额不得多于对整个石油行业投资的60%。

可使用的100,000美元应该以什么样的投资方案（投资项目及数量）来投资呢以预期收益最大化为目标，并遵循预算和管理层设置的约束条件，我们可以通过建立并解此问题的线性规划模型来回答它。解决方案将为威尔特共有基金公司的管理层提供建议。

案例二：财务计划

威尔特公司建立了一项提前退休计划，作为其公司重组的一部分。在自愿签约期结束前，68位雇员办理了提前退休手续。因为这些人的提前退休，在未来的8年里，公司将承担以下责任，每年年初支付的现金需求如下表所示：

公司的财务人员必须决定现在应将多少数量的钱存放在一边，以便应付8年期的负债到期时的支付。该退休计划的财务计划包括政府债券的投资及储蓄。对于政府债券的投资限于以下3种选择：

政府债券的面值是1000美元，这意味着尽管价格不同，在到期时，也都支付1000美元。表中所示的比率是基于面值的。为了制定这个计划，财务人员假设所有没投资于债券的资金都将用于储蓄，且每年可获得4%的利息。

我们定义如下决策变量：

F=退休计划所形成的8年期债务所需第一年的总金额,

B1=在第一年年初买入的债券1的单位数量,

B2=在第一年年初买入的债券2的单位数量,

B3=在第一年年初买入的债券3的单位数量,

Si=在第i年年初投资于储蓄的金额（i=1，2……8）

目标函数用于求出满足退休计划带来的8年期债务所需资金的最小值，即Min F。

这类财务计划问题的重要特点是必须为每年计划范围写出约束条件。大体上，每个约束条件都采用下面的形式：

年初可使用资金- 投资于债券与储蓄的资金= 该年现金支付责任

生产管理应用

案例一：制造或购买决策

我们利用线性规划来决定生产一些零配件时，一个公司每一种分别应该生产多少，又应该从外部购进多少。像这样的决策叫做“制造或购买决策（产或购决策）”。

嘉德思（Janders）公司经营多种商用和工程产品。现在，嘉德思公司正准备推出两款新的计算器。其中一款是用于商用市场的，叫做“财务经理”；另一款用于工程市场，叫做“技术专家”。每款计算器由3种零部件组成：一个基座、一个电子管和一个面板，即外盖。

两种计算器使用相同的基座，但电子管和面板则不相同。所有的零部件生产都可以由公司自己生产或从外部购买。零部件的生产成本和采购价格汇总见表4-5。

表4-5 嘉德思计算器零配件的生产成本和采购价格

嘉德思的预测师们指出总共将需要3000台财务经理和2000台技术专家。但是，因为这个公司生产能力有限，这个公司仅能安排200个小时的正常工作时间和50个小时的加班时间用于计算器的生产。加班时间需要每小时多付给员工9美元的加班奖金，即额外成本。表4-6显示了各零部件所分得的生产时间（以分钟计）。嘉德思公司的问题是决定每种零部件有多少单位自己生产，多少单位从外部购买。

表4-6 嘉德思计算器各零配件每单位的生产时间

案例二：生产计划

线性规划方案最重要的应用是安排多个时期的计划，比如生产计划。根据生产计划问题的解，经理能够在一定的时间段（几星期或几个月内）为一个或多个产品制定一个高效低成本的生产计划。其实生产计划问题也可以看做是未来某个时期的生产调配问题。经理必须决定生产水平，使公司能够满足生产需求，在收到产品生产量、劳动力生产量以及贮藏空间上有所限制的同时，还要使生产成本最小。

利用线性规划解决生产计划问题的一个好处就是它们是周期性的。一个生产计划必定是为当月制定的，然后下个月又制定一次，再下个月又制定一次，如此周而复始。看一看每个月的问题，生产经理就可以发现，虽然生产需求已经发生了变化，生产次数、产品生产量、贮藏空间等限制大致还是一样的。因此，生产经理基本上可以按以前月份的管理方法解决同样的问题，而生产计划的一个总线性规划模型可能被频繁地使用。一旦这个模型被固定下来，经理只需要在特定的生产时期提供当时的需求量、生产量等有关数据就可以了，并且可重复利用此线性规划模型构想出生产计划。

让我们来看看Bollinger Electronics公司的案例，该公司为一个重要的飞机引擎制造公司生产两种不同的电子组件。飞机引擎制造商在下面3个月里每个月都会通知Bollinger Electronics公司的销售办公室，告诉他们每个星期对组件的需求量。每个月对组件的需求量变化可能很大，这要视飞机引擎制造商正在生产哪种类型的引擎情况而定。表4-7列出的是刚刚接到的订单，这批订单是下3个月的需求量。

表4-7 Bollinger Electronics公司3个月的需求一览表

接到订单之后，需求报告就被送到生产控制部门。生产控制部门则必须制定出3个月生产组件的计划。为了制定出生产计划，生产经理需要弄清楚以下几点：

总生产成本,

存货成本。

改变生产力水平所需的经费。

接下来我们要介绍Bollinger Electronics公司如何建立公司的生产贮存线性规划，以使公司的成本最小。

为了制定出此模型，我们用Xim表示m月生产产品i的单位生产量。在这里i=1或2，m=1、2或3；i=1指的是332A组件，i=2指的是802B组件，m=1指的是四月份，m=2指的是五月份，m=3指的是六月份。双重下标的目的是规定一个更具描述性的符号。我们可以简单地用X6来代表三月份生产的产品2的单位生产量。但是X23更具描述性，它直接确定用变量代表的月份和产品。

如果生产一个332A组件的成本为20美元，生产一个802B组件的成本为10美元，那么目标函数中总成本部分是：

总生产成本=20X11+20X12+20X13+10X21+10X22+10X23

每个月每单位产品的生产成本是一样的，所以我们不需要在目标函数里涵盖生产成本。也就是说，不管选择的生产一览表是什么样的，总生产成本将会保持

相同的水平。换句话说，生产成本不是相关成本，无需在制定生产计划时认真考虑。但是，如果每个月单位产品成本是改变的，那么单位产品成本变量就必须包含在目标函数里。对于Bollinger Electronics公司的问题来说，不管这些成本是不是包含在里面，它的解决方案将会是一样的。我们把它们包括在里面，这样线性规划问题的目标函数将包含所有与产品有关的成本。

为了把相关库存成本合并到模型里面，我们用Sim来表示产品i在第m月月底的存货水平。Bollinger Electronics公司已经决定，每月在基本存货上的成本占生产产品成本的%。也就是说，×20=（美元/332A组件），×10=（美元/802B组件）。在利用线性规划方法来制定生产预期计划时一个普遍的假设是，每月末的存货近似等于整个月的平均存货水平。通过做这种假设，我们把目标函数中库存成本部分写下来：

库存成本=+++++

为了把每个月的生产水平波动所带来的成本容入模型，我们需要定义两个额外的变量：

Im=在m月的时候必要的总生产水平增长

Dm=在m月的时候必要的总生产水平下降

在评估完员工下岗、人员补缺、再分配培训所花的费用以及其他与波动的生产水平相关的费用所产生的影响后，Bollinger Electronics公司估计出每个月份中生产水平增长一个单位所带来的成本是美元，生产水平下降一个单位所带来的成本是美元。因此，我们可以写下第三部分的目标函数：

生产水平变化成本=+++++

注意，这里产量波动成本是通过m月的产量和m-1月的产量计算出来的。在其他的生产安排中，这个波动成本很可能是由机器工作时间或劳动力时间计算出来的。

把所有这些成本价起来，完整的目标函数变成：

Min 20X11+20X12+20X13+10X21+10X22+10X23 ++++++++++++我们现在来考虑约束条件。首先我们必须保证此生产计划满足顾客的需要。

由于已经装好货的产品肯能够来自于当月的生产，也可能来自前几个月里的库存，所以此需求变成：

前期月份的最后库存+现在生产量-本月最后库存=本月需求

假定此3个月预定生产时期刚开始时的存货量是332A组件500个单位，802B组件200个单位。这两种产品在第一个月（四月份）的需求是1000个单位，那么满足第一个月需求的约束条件是：

500+X11-S11=1000

200+X21-S21=1000

把常量移到等式右边，我们得到：

X11-S11=500

X21-S21=800

同样的，在第二个月和第三个月的时候我们也需要这两种产品需求的约束条件。将其写成以下等式：

第二个月

S11+X12-S12=3000

S21+X22-S22=500

第三个月

S12+X13-S12=5000

S22+X23-S23=3000

如果公司还对库存量有所规定。即三个月为一个周期的期末库存量最小为400个332A组件和200个802B组件，我们可以再加上两个约束条件：

S13≥400

S23≥200

假设我们在机器、劳动力和贮存能力上的信息如表4-8所示。在机器、劳动力和贮存空间的要求上的信息如表4-9所示。

表4-8 Bollinger Electronics公司的机器生产能力、劳动力能力和库存能力

表4-9 组件332A和802B的机器、劳动力和贮存要求组件机器（小时/单位）劳动力（小时/单位）库存（平方英寸/单位）332A0.100.052

802B0.080.073

为了反映这些限制，以下的约束条件很有必要：

机器生产能力

+≤400 第一个月

+≤500 第二个月

+≤600 第三个月

劳动力能力

+≤300 第一个月

+≤300 第二个月

+≤300 第三个月

库存能力

2S11+3S21≤10000 第一个月

2S12+3S22≤10000 第二个月

2S13+3S23≤10000 第三个月

我们必须加上一组约束条件以保证Im和Dm能反映出m月生产水平的变化。假定三月是新生产周期开始前的一个月，三月份的产量为1500个332A组件和1000个802B组件，总产量是1500+1000=2500。那么通过以下关系式我们可以得到四月份的产量变化。

四月份产量-三月份产量=变化量

利用四月份产量变量X11和X21，以及三月份2500个单位的生产量，我们得到：

（X11+X21）-2500=变化量

注意，这个变化值可能是正数也可能是负数。变化值为正数，反映总体生产水平是增长的；反之，变化值为负数，则反映总体生产水平是下降的。我们可以用四月份生产增长量I1和生产降低量D1来确定四月份总产量变化的约束条件。

（X11+X21）-2500=I1-D1

在五月份和六月份我们用同样的方法（始终用当月总生产量减去上个月的总生产量），可以得到预定生产期的第二个月和第三个月间的限定条件。

（X12+X22）-（X11+X21）=I2-D2

（X13+X23）-（X12+X22）=I3-D3

把变量放在等式左边，而把常量放在等式的右边，得出通常所指的一组完整的平衡生产约束条件。

X11+X21 -I1+D1=2500

-X11-X21+X12+X22 -I2+D2=0

-X12-X22+X13+X23-I3+D3=0

这个初看起来只有2种产品和3个月期的生产计划的简单问题现在演变成有18个变量，20个约束条件的线性规划问题了。注意，在这个问题上，我们只考虑一种机器工序，一种人工要求，一种库存区域。实际上，生产计划问题通常是包含若干个工序，若干劳动力级别，若干库存区域的问题，这就要求使用大规模的线性规划模型。比如说，一个包括12个月的生产时间，100单位生产量的生产计划问题将会有1000多个变量和约束条件。

案例三：劳动力分配

当生产经理们必须就一个特定的规划时期做出包括员工要求在内的种种决定时，劳动力分配的问题时有发生。劳动力分配具有一定弹性，而且至少某些员工会被分配到不止一个部门或工作中心去工作。这就是员工被安排在两个或更多的工作岗位上交叉培训。比如说售货员可以在商店之间互相调职。在下面的应用

中，我们将说明如何利用线性规划做出决策，不仅仅是决定最理想的生产调配，而且也决定劳动力的最佳分配。

麦科米克制造公司生产两种产品，每单位产品的利润分别为10美元和9美元。表4-11显示生产每单位产品的劳动力需求和4个部门中被分配到每个部门的员工总的有效劳动时间。假设每个部门中的有效劳动时间是固定的，那么该问题的最佳解决方案是什么。

表4-11 麦科米克制造公司每单位产品的劳动小时数和总体有效生产时间

混合问题

案例一：石油行业

当一个经理必须决定怎样混合两种以上的资源来生产一种以上的产品时，混合问题就产生了。在这种问题下，资源含有一种以上的必须被混合到最后成品中的基本成分，而且成品将包含一定比例的各种基本成分。在实际应用中，管理层

必须决定每种资源的购买量以在成本最低的情况下满足产品的规格和生产该产品的需要。

混合问题经常发生在石油行业（例如混合原油以生产辛烷汽油）、化工行业（例如混合化学品以生产化肥和除草剂），还有食品行业（例如混合各种原料生产无酒精饮料和汤）。在这一节里我们将探讨怎样将线性规划模式应用到石油行业中的一个混合问题里。

大绳石油公司为美国东南部独立的加油站生产一般规格和特殊规格的石油产品。大绳石油公司精炼厂通过合成3种石油成分来生产汽油产品。这些产品卖不同的价钱，而这3种石油成分也有不同的成本。公司想通过决定一种混合这3种石油成分的方案来获得产品的最大利润。

现存的资料显示一般的汽油每加仑卖美元而特殊的汽油每加仑则卖美元。在目前的生产阶段性计划中，大绳公司可以得到的那3种石油成份每加仑的成本和原料总量，见表4-13。

表4-13 大绳石油公司混合问题的成本和供给

大绳石油公司混合问题就是要决定一般规格汽油的每种石油成份的用量多少，及特殊规格汽油的每种石油成份的用量多少。对应表4-13中可提供的石油成份总量产生的最佳混合方案应该是公司的利润最大化。产品原料规格见表4-14，而且最起码要生产10000加仑一般规格汽油。

表4-14 大绳石油公司混合问题的具体产品要求

线性规划的概念

3.6：线性规划 目录： （1）线性规划的基本概念 （2）线性规划在实际问题中的应用 【知识点1：线性规划的基本概念】 (1)如果对于变量x 、y 的约束条件，都是关于x 、y 的一次不等式，则称这些约束条件为__线性约束条件__(),z f x y =是欲求函数的最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫做__目标函数_，当(),f x y 是x 、y 的一次解析式时，(),z f x y =叫做_线性目标函数__. (2)求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，称为__线性规划问题__ ；满足线性约束条件的解(),x y 叫做__可行解_；由所有可行解组成的集合叫做__可行域_；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做_最优解__ 例题：若变量x 、y 满足约束条件2 10x y x y +≤?? ≥??≥? ，则z x y =+的最大值和最小值分别为 ( B ) A. 4和3 B. 4和2 C. 3和2 D. 2和0 分析：本题考查了不等式组表示平面区域，目标函数最值求法. 解：画出可行域如图 作020l x y +=： 所以当直线2z x y =+过()20A ， 时z 最大，过()1,0B 时z 最小max min 4, 2.z z == 变式1：已知2z x y =+，式子中变量x 、y 满足条件11y x x y y ≤?? +≤??≥-? ，则z 的最大值是__3___ 解：不等式组表示的平面区域如图所示.

作直线0:20l x y +=，平移直线0l ，当直线0l 经过 平面区域的点()21A -，时，z 取最大值2213?-=. 变式2：设2z x y =+，式中变量x 、y 满足条件43 35251x y x y x -≤-?? +≤??≥? ，求z 的最大值和最小值 分析：由于所给约束条件及目标函数均为关于x 、y 的一次式，所以此问题是简单线性 规划问题，使用图解法求解 解：作出不等式组表示的平面区域(即可行域)，如图所示． 把2z x y =+变形为2y x z =-+，得到斜率为-2，在y 轴上的截距为z ，随z 变化的一族平行直线． 由图可看出，当直线2z x y =+经过可行域上的点A 时，截距z 最大，经过点B 时，截距z 最小． 解方程组430 35250x y x y -+=??+-=?，得A 点坐标为()5,2， 解方程组1 430x x y =??-+=? ，得B 点坐标为()1,1 所以max min 25212,211 3.z z =?+==?+= 变式3：若变量x 、y 满足约束条件6 321x y x y x +≤?? -≤-??≥? ，则23z x y =+的最小值为( C ) A. 17 B. 14 C. 5 D. 3

第五章运筹学线性规划在管理中的应用案例

第五章线性规划在管理中的应用 某企业停止了生产一些已经不再获利的产品，这样就产生了一部分剩余生产力。管理层考虑将这些剩余生产力用于新产品Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的生产。可用的机器设备是限制新产品产量的主要因素，具体数据如下表： 司的利润最大化。 1、判别问题的线性规划数学模型类型。 2、描述该问题要作出决策的目标、决策的限制条件以及决策的总绩效测度。 3、建立该问题的线性规划数学模型。 4、用线性规划求解模型进行求解。 5、对求得的结果进行灵敏度分析（分别对最优解、最优值、相差值、松驰/剩余量、对偶价格、目标函数变量系数和常数项的变化范围进行详细分析）。 6、若销售部门表示，新产品Ⅰ、Ⅱ生产多少就能销售多少，而产品Ⅲ最少销售18件，请重新完成本题的1-5。 解： 1、本问题是资源分配型的线性规划数学模型。 2、该问题的决策目标是公司总的利润最大化，总利润为： + + 决策的限制条件： 8x1+ 4x2+ 6x3≤500 铣床限制条件 4x1+ 3x2≤350 车床限制条件 3x1+ x3≤150 磨床限制条件 即总绩效测试（目标函数）为： max z= + + 3、本问题的线性规划数学模型 max z= + + S．T．8x1+ 4x2+ 6x3≤500 4x1+ 3x2≤350 3x1+ x3≤150 x1≥0、x2≥0、x3≥0 4、用Excel线性规划求解模板求解结果：最优解（50，25，0），最优值：30元。 5、灵敏度分析

目标函数最优值为: 30 变量最优解相差值 x1 50 0 x2 25 0 x3 0 .083 约束松弛/剩余变量对偶价格 1 0 .05 2 75 0 3 0 .033 目标函数系数范围: 变量下限当前值上限 x1 .4 .5 无上限 x2 .1 .2 .25 x3 无下限.25 .333 常数项数范围: 约束下限当前值上限 1 400 500 600 2 275 350 无上限 3 150 （1）最优生产方案： 新产品Ⅰ生产50件、新产品Ⅱ生产25件、新产品Ⅲ不安排。最大利润值为30元。 （2）x3 的相差值是意味着，目前新产品Ⅲ不安排生产，是因为新产品Ⅲ的利润太低，若要使新产品Ⅲ值得生产，需要将当前新产品Ⅲ利润元/件，提高到元/件。 （3）三个约束的松弛/剩余变量0，75，0，表明铣床和磨床的可用工时已经用完，而车床的可用工时还剩余75个工时； 三个对偶价格，0，表明三种机床每增加一个工时可使公司增加的总利润额。 （4）目标函数系数范围 表明新产品Ⅰ的利润在元/件以上，新产品Ⅱ的利润在到之间，新产品Ⅲ的利润在以下，上述的最佳方案不变。 （5）常数项范围 表明铣床的可用条件在400到600工时之间、车铣床的可用条件在275工时以上、磨铣床的可用条件在到工时之间。各自每增加一个工时对总利润的贡献元，0元，元不变。 6、若产品Ⅲ最少销售18件，修改后的的数学模型是： max z= + + S．T．8x1+ 4x2+ 6x3≤500 4x1+ 3x2≤350 3x1+ x3≤150 x3≥18 x1≥0、x2≥0、x3≥0 这是一个混合型的线性规划问题。 代入求解模板得结果如下： 最优解（44，10，18），最优值：元。 灵敏度报告： 目标函数最优值为: 变量最优解相差值 x1 44 0 x2 10 0 x3 18 0 约束松弛/剩余变量对偶价格

第五章运筹学 线性规划在管理中的应用案例

第五章线性规划在管理中的应用 5.1 某企业停止了生产一些已经不再获利的产品，这样就产生了一部分剩余生产力。管理层考虑将这些剩余生产力用于新产品Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的生产。可用的机器设备是限制新产品产量的主要因素，具体数据如下表： 量，使得公司的利润最大化。 1、判别问题的线性规划数学模型类型。 2、描述该问题要作出决策的目标、决策的限制条件以及决策的总绩效测度。 3、建立该问题的线性规划数学模型。 4、用线性规划求解模型进行求解。 5、对求得的结果进行灵敏度分析（分别对最优解、最优值、相差值、松驰/剩余量、对偶价格、目标函数变量系数和常数项的变化范围进行详细分析）。 6、若销售部门表示，新产品Ⅰ、Ⅱ生产多少就能销售多少，而产品Ⅲ最少销售18件，请重新完成本题的1-5。 解： 1、本问题是资源分配型的线性规划数学模型。 2、该问题的决策目标是公司总的利润最大化，总利润为： 0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3 决策的限制条件： 8x1+ 4x2+ 6x3≤500 铣床限制条件 4x1+ 3x2≤350 车床限制条件 3x1+ x3≤150 磨床限制条件 即总绩效测试（目标函数）为： max z= 0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3 3、本问题的线性规划数学模型 max z= 0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3 S．T．8x1+ 4x2+ 6x3≤500 4x1+ 3x2≤350 3x1+ x3≤150 x1≥0、x2≥0、x3≥0 4、用Excel线性规划求解模板求解结果：最优解（50，25，0），最优值：30元。 5、灵敏度分析

目标函数最优值为 : 30 变量最优解相差值 x1 50 0 x2 25 0 x3 0 .083 约束松弛/剩余变量对偶价格 1 0 .05 2 75 0 3 0 .033 目标函数系数范围 : 变量下限当前值上限 x1 .4 .5 无上限 x2 .1 .2 .25 x3 无下限 .25 .333 常数项数范围 : 约束下限当前值上限 1 400 500 600 2 275 350 无上限 3 37.5 150 187.5 （1）最优生产方案： 新产品Ⅰ生产50件、新产品Ⅱ生产25件、新产品Ⅲ不安排。最大利润值为30元。 （2）x3 的相差值是0.083意味着，目前新产品Ⅲ不安排生产，是因为新产品Ⅲ的利润太低，若要使新产品Ⅲ值得生产，需要将当前新产品Ⅲ利润0.25元/件，提高到0.333元/件。 （3）三个约束的松弛/剩余变量0，75，0，表明铣床和磨床的可用工时已经用完，而车床的可用工时还剩余75个工时； 三个对偶价格0.05，0，0.033表明三种机床每增加一个工时可使公司增加的总利润额。 （4）目标函数系数范围 表明新产品Ⅰ的利润在0.4元/件以上，新产品Ⅱ的利润在0.1到0.25之间，新产品Ⅲ的利润在0.333以下，上述的最佳方案不变。 （5）常数项范围 表明铣床的可用条件在400到600工时之间、车铣床的可用条件在275工时以上、磨铣床的可用条件在37.5到187.5工时之间。各自每增加一个工时对总利润的贡献0.05元，0元，0.033元不变。 6、若产品Ⅲ最少销售18件，修改后的的数学模型是： max z= 0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3 S．T．8x1+ 4x2+ 6x3≤500 4x1+ 3x2≤350 3x1+ x3≤150 x3≥18 x1≥0、x2≥0、x3≥0 这是一个混合型的线性规划问题。 代入求解模板得结果如下： 最优解（44，10，18），最优值：28.5元。 灵敏度报告： 目标函数最优值为 : 28.5 变量最优解相差值 x1 44 0 x2 10 0

线性规划应用案例

线性规划应用案例

市场营销应用 案例一：媒体选择 在媒体选择中应用线性规划的目的在于帮助市场营销经理将固定的广告预算分配到各种广告媒体上，可能的媒体包括报纸、杂志、电台、电视和直接邮件。在这些媒体中应用线性规划，目的是要使宣传范围、频率和质量最大化。对于应用中的约束条件通常源于对公司政策、合同要求及媒体的可用性。在下面的应用中，我们将介绍如何应用线性规划这一工具来建立模型进而解决媒体选择问题。 REL发展公司正在私人湖边开发一个环湖社区。湖边地带和住宅的主要市场是距离开发区100英里以内的所有中上收入的家庭。REL公司已经聘请BP&J 来设计宣传活动。 考虑到可能的广告媒体和要覆盖的市场，BP&J建议将第一个月的广告局限于5种媒体。在第一个月末，BP&J将依据本月的结果再次评估它的广告策略。BP&J已经收集到了关于受众数量、广告单价、各种媒体一定周期内可用的最大次数以及评定5种媒体各自宣传质量的数据。质量评定是通过宣传质量单位来衡量的。宣传质量单位是一种用于衡量在各个媒体中一次广告的相对价值的标准，它建立于BP&J在广告业中的经验，将众多因素考虑在内，如受众层次（年龄、收入和受众受教育的程度）、呈现的形象和广告的质量。表4-1列出了收集到的这些信息。 表4-1 REL发展公司可选的广告媒体

REL发展公司提供给BP&J第一个月广告活动的预算是30000美元。而且，REL公司对BP&J如何分配这些资金设置了如下限制：至少要使用10次电视广告，达到的受众至少要有50000人，并且电视广告的费用不得超过18000美元。应当推荐何种广告媒体选择计划呢？ 案例二：市场调查 公司开展市场营销调查以了解消费者个性特点、态度以及偏好。专门提供此种信息的市场营销调查公司，经常为客户机构开展实际调查。市场营销调查公司提供的典型服务包括涉及计划、开展市场调查、分析收集数据、提供总结报告和对客户提出意见。在调查设计阶段，应当对调查对象的数量和类型设定目标或限额。市场营销调查公司的目标是以最小的成本满足客户要求。 市场调查公司（MSI）专门评定消费者对新的产品、服务和广告活动的反映。一个客户公司要求MSI帮助确定消费者对一种近期推出的家具产品的反应。在与客户会面的过程中，MSI统一开展个人入户调查，以从有儿童的家庭和无儿童的家庭获得回答。而且MSI还同意同时开展日间和晚间调查。尤其是，客户的合同要求依据以下限制条款进行1000个访问： ●至少访问400个有儿童的家庭； ●至少访问400个无儿童的家庭； ●晚间访问的家庭数量必须不少于日间访问的家庭数量； ●至少40%有儿童的家庭必须在晚间访问； ●至少60%无儿童的家庭必须在晚间访问。 因为访问有儿童的家庭需要额外的访问时间，而且晚间访问者要比日间访问者获得更多收入，所以成本因访问的类型不同而不同。基于以往的调查研究，预计的访问费用如下表所示： 以最小总访问成本满足合同要求的家庭——时间访问计划是什么样的

运用Matlab进行线性规划求解(实例)

线性规划 线性规划是处理线性目标函数和线性约束的一种较为成熟的方法，目前已经广泛应用于军事、经济、工业、农业、教育、商业和社会科学等许多方面。 8.2.1 基本数学原理 线性规划问题的标准形式是： ????? ??????≥=+++=+++=++++++=0,,,min 21221122222121112 121112211n m n mn m m n n n n n n x x x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a x c x c x c z 或 ???? ?????=≥===∑∑==n j x m i b x a x c z j n j i j ij n j j j ,,2,1,0,,2,1,min 1 1 写成矩阵形式为： ?? ???≥==O X b AX CX z min 线性规划的标准形式要求使目标函数最小化，约束条件取等式，变量b 非负。不符合这几个条件的线性模型可以转化成标准形式。 MATLAB 采用投影法求解线性规划问题，该方法是单纯形法的变种。 8.2.2 有关函数介绍 在MATLAB 工具箱中，可用linprog 函数求解线性规划问题。 linprog 函数的调用格式如下： ●x=linprog(f,A,b)：求解问题minf'*x ，约束条件为A*x<=b 。 ●x=linprog(f,A,b,Aeq,beq)：求解上面的问题，但增加等式约束，即Aeq*x=beq 。若没有不等式约束，则令A=[ ],b=[ ]。 ●x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)：定义设计x 的下界lb 和上界ub ，使得x 始终在该范围内。若没有等式约束，令Aeq=[ ],beq=[ ]。 ●x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)：设置初值为x0。该选项只适用于中型问题，默认时大型算法将忽略初值。 ●x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)：用options 指定的优化参数进行最小化。 ●[x,fval]=linprog(…)：返回解x 处的目标函数值fval 。 ●[x,lambda,exitflag]=linprog(…)：返回exitflag 值，描述函数计算的退出条件。 ●[x,lambda,exitflag,output]=linprog(…)：返回包含优化信息的输出参数output 。 ●[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(…)：将解x 处的拉格朗日乘子返回到lambda 参数中。

简单的线性规划问题附答案)

简单的线性规划问题 [学习目标] 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题． 知识点一 线性规划中的基本概念 知识点二 1．目标函数的最值 线性目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)对应的斜截式直线方程是y ＝－a b x ＋z b ，在y 轴上的截距是z b ，当z 变化时，方程表 示一组互相平行的直线． 当b >0，截距最大时，z 取得最大值，截距最小时，z 取得最小值； 当b <0，截距最大时，z 取得最小值，截距最小时，z 取得最大值． 2．解决简单线性规划问题的一般步骤 在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即， (1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域． (2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解． (3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值． (4)答：写出答案． 知识点三 简单线性规划问题的实际应用 1．线性规划的实际问题的类型 (1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大； (2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小． 常见问题有： ①物资调动问题 例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？

线性规划的应用(简介和案例)

线性规划的应用 线性规划是运筹学中一个重要分支，它是研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法。广泛应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面。如：经济管理、交通运输、工农业生为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源作出的最优决策，提供科学的依据。 线性规划作为运筹学的一个研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的重要分支，它在日常生活中的典型应用主要有：1合理利用线材问题：如何下料使用材最少 2配料问题：在原料供应量的限制下如何获取最大利润 3投资问题：从投资项目中选取方案，使投资回报最大 4产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，使获利最大 5劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的需要 6运输问题：如何制定调动方案，使总运费最小 其实，也就是说，线性规划在运筹学中的研究对象主要是在有一定的人力、财力、资源条件下，如何合理安排使用，效益最高和在某项任务确定后，如何安排人、财、物，使之最省。 例如： 某公司现有三条生产线来生产两种新产品，其主要数据如表1.1所示。请问如何生产可以让公司每周利润最大？

表1 产品组合问题的数据表 此问题是在生产线可利用时间受到限制的情形下寻求每周利润最大化的产品组合问题。 在建立产品组合模型的过程中，以下问题需要得到回答： （1）要做出什么决策？ （2）做出的决策会有哪些条件限制？ （3）这些决策的全部评价标准是什么？ （1）变量的确定 要做出的决策是两种新产品的生产水平，记x1为每周生产产品甲的产量，x2为每周生产产品乙的产量。一般情况下，在实际问题中常常称为变量（决策变量）。 （2）约束条件 求目标函数极值时的某些限制称为约束条件。如两种产品在相应生产线上每周生产时间不能超过每条生产线的可得时间，对于生产线一，有x1≤4，类似地，其它生产线也有不等式约束。 （3）目标函数 对这些决策的评价标准是这两种产品的总利润，即目标函数是要求每周的生产利润（可记为z，以百元为计量单位）为最大 这样，可以把产品组合问题抽象地归结为一个数学模型： max z = 3x1+5x2 s.t. x1 ≤4 2x2 ≤12 3x1+ 2x2 ≤18 x1≥0，x2 ≥0

运用Matlab进行线性规划求解实例

8.2 线性规划 线性规划是处理线性目标函数和线性约束的一种较为成熟的方法，目前已经广泛应用于军事、经济、工业、农业、教育、商业和社会科学等许多方面。 8.2.1 基本数学原理 线性规划问题的标准形式是： ????? ??????≥=+++=+++=++++++=0,,,min 21221122222121112 121112211n m n mn m m n n n n n n x x x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a x c x c x c z ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ 或 ???? ?????=≥===∑∑==n j x m i b x a x c z j n j i j ij n j j j ,,2,1,0,,2,1,min 1 1ΛΛ 写成矩阵形式为： ?? ???≥==O X b AX CX z min 线性规划的标准形式要求使目标函数最小化，约束条件取等式，变量b 非负。不符合这几个条件的线性模型可以转化成标准形式。 MATLAB 采用投影法求解线性规划问题，该方法是单纯形法的变种。 8.2.2 有关函数介绍 在MATLAB 工具箱中，可用linprog 函数求解线性规划问题。 linprog 函数的调用格式如下： ●x=linprog(f,A,b)：求解问题minf'*x ，约束条件为A*x<=b 。 ●x=linprog(f,A,b,Aeq,beq)：求解上面的问题，但增加等式约束，即Aeq*x=beq 。若没有不等式约束，则令A=[ ],b=[ ]。 ●x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)：定义设计x 的下界lb 和上界ub ，使得x 始终在该范围内。若没有等式约束，令Aeq=[ ],beq=[ ]。 ●x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)：设置初值为x0。该选项只适用于中型问题，默认时大型算法将忽略初值。 ●x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)：用options 指定的优化参数进行最小化。 ●[x,fval]=linprog(…)：返回解x 处的目标函数值fval 。 ●[x,lambda,exitflag]=linpro g(…)：返回exitflag 值，描述函数计算的退出条件。 ●[x,lambda,exitflag,output]=linprog(…)：返回包含优化信息的输出参数output 。 ●[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(…)：将解x 处的拉格朗日乘子返回到

线性规划应用案例

市场营销应用 案例一：媒体选择 在媒体选择中应用线性规划的目的在于帮助市场营销经理将固定的广告预算分配到各种广告媒体上，可能的媒体包括报纸、杂志、电台、电视和直接邮件。在这些媒体中应用线性规划，目的是要使宣传范围、频率和质量最大化。对于应用中的约束条件通常源于对公司政策、合同要求及媒体的可用性。在下面的应用中，我们将介绍如何应用线性规划这一工具来建立模型进而解决媒体选择问题。 REL发展公司正在私人湖边开发一个环湖社区。湖边地带和住宅的主要市场是距离开发区100英里以内的所有中上收入的家庭。REL公司已经聘请BP&J 来设计宣传活动。 考虑到可能的广告媒体和要覆盖的市场，BP&J建议将第一个月的广告局限于5种媒体。在第一个月末，BP&J将依据本月的结果再次评估它的广告策略。BP&J已经收集到了关于受众数量、广告单价、各种媒体一定周期内可用的最大次数以及评定5种媒体各自宣传质量的数据。质量评定是通过宣传质量单位来衡量的。宣传质量单位是一种用于衡量在各个媒体中一次广告的相对价值的标准，它建立于BP&J在广告业中的经验，将众多因素考虑在内，如受众层次（年龄、收入和受众受教育的程度）、呈现的形象和广告的质量。表4-1列出了收集到的这些信息。 表4-1 REL发展公司可选的广告媒体

REL发展公司提供给BP&J第一个月广告活动的预算是30000美元。而且，REL公司对BP&J如何分配这些资金设置了如下限制：至少要使用10次电视广告，达到的受众至少要有50000人，并且电视广告的费用不得超过18000美元。应当推荐何种广告媒体选择计划呢？ 案例二：市场调查 公司开展市场营销调查以了解消费者个性特点、态度以及偏好。专门提供此种信息的市场营销调查公司，经常为客户机构开展实际调查。市场营销调查公司提供的典型服务包括涉及计划、开展市场调查、分析收集数据、提供总结报告和对客户提出意见。在调查设计阶段，应当对调查对象的数量和类型设定目标或限额。市场营销调查公司的目标是以最小的成本满足客户要求。 市场调查公司（MSI）专门评定消费者对新的产品、服务和广告活动的反映。一个客户公司要求MSI帮助确定消费者对一种近期推出的家具产品的反应。在与客户会面的过程中，MSI统一开展个人入户调查，以从有儿童的家庭和无儿童的家庭获得回答。而且MSI还同意同时开展日间和晚间调查。尤其是，客户的合同要求依据以下限制条款进行1000个访问： ●至少访问400个有儿童的家庭； ●至少访问400个无儿童的家庭； ●晚间访问的家庭数量必须不少于日间访问的家庭数量； ●至少40%有儿童的家庭必须在晚间访问； ●至少60%无儿童的家庭必须在晚间访问。 因为访问有儿童的家庭需要额外的访问时间，而且晚间访问者要比日间访问者获得更多收入，所以成本因访问的类型不同而不同。基于以往的调查研究，预计的访问费用如下表所示： 以最小总访问成本满足合同要求的家庭——时间访问计划是什么样的呢？

线性规划基本概念及模型构建

LP （Linear Programming）

Alex 有一个家庭农场。除了农场上的农作物以外，他还饲养了一些猪拿到市场上出售，猪可获得的饲料及其所含成分如下表：Alex如何喂养猪更好？ 成分/每公斤 玉米槽料苜蓿每日最小需求量碳水化合物 蛋白质 维他命 成本(美分)903010842080207240606060200180150 问题1：科学养猪线性规划建模（猪饲料的配方）饲养成本最小

--- 每天玉米、槽料、苜蓿各喂多少公斤？ --- 必须满足要求12--- 追求成本最低 Min. 84x 1+ 72x 2+ 60x 3 3x 1x 2x 3 知识点 建模三要素 决策变量约 束目标 90x 1+ 20x 2+ 40x 3 ≥ 20030x 1+ 80x 2+ 60x 3 ≥ 18010x 1+ 20x 2+ 60x 3 ≥ 150 x i ≥0 , i =1，2，3 成分/每公 斤 玉米槽料苜蓿每日最小需求量碳水化合物 蛋白质 维他命 成本(美分)903010842080207240606060200180150

s.t. 90x 1+ 20x 2+ 40x 3 ≥ 200 30x 1 + 80x 2+ 60x 3 ≥ 180 10x 1+ 20x 2+ 60x 3 ≥ 150 x i ≥0 , i =1,2,3 Min . 84x 1+ 72x 2+ 60x 3 目标函数约束函数符号中必含等号符号的右侧为常数线性--变量均为1次方 Max. 或 Min.线性--所有变量均为1次方常规约束：变量非负！知识点 模型表示

？线性规划模型能求解出来吗？ 能！--- 万能的单纯形法 结合软件 QSB应用

线性规划模型在企业生产计划中的应用

诚信声明 我声明，所呈交的毕业论文是本人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，我承诺，论文中的所有内容均真实、可信。 毕业论文作者签名：签名日期：年月日

摘要：在企业生产过程中，生产资源的分配直接影响到企业的经济效益。因此，企业在制定生产计划时，人力物力和时间等资源的优化配制是首要面对的关键问题，而建立线性规划模型则是目前解决该问题的有效方法之一。本文旨在针对上述有限资源条件的约束下，通过建立相应的线性规划模型来制定生产计划以实现企业资源最优化、利益最大化，同时利用LINGO 11.0软件求解线性规划模型并分析在某些资源变动时对该模型所产生的影响并寻求最优生产方案。 关键词：企业生产计划；线性规划；数学模型；LINGO 11.0

Abstract：In the enterprise production process, the allocation of production resources directly affects the economic efficiency of enterprises. Therefore, enterprises in the development of production plan, formulated to optimize the resources of manpower and time is the key problem of face. And to establish the linear programming model is one of the effective ways to solve the problem. This paper aimed at the limited resource constraints, by establishing linear programming model corresponding to make production plan in order to realize the maximization of enterprise resource optimization, interest, and using LINGO11.0 software to solve the linear programming model and analysis the influence on the model in some resource changes and seek the optimal production plan. Key words：Production plan；Linear programming；Mathematical model； LINGO 11.0 目录

第五章运筹学线性规划在管理中的应用案例

第五章运筹学线性规划在管理中的应用案例 -标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

第五章线性规划在管理中的应用 5.1 某企业停止了生产一些已经不再获利的产品，这样就产生了一部分剩余生产力。管理层考虑将这些剩余生产力用于新产品Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的生产。可用的 三种新产品的单位利润分别为0.5元、0.2元、0.25元。目标是要确定每种新产品的产量，使得公司的利润最大化。 1、判别问题的线性规划数学模型类型。 2、描述该问题要作出决策的目标、决策的限制条件以及决策的总绩效测度。 3、建立该问题的线性规划数学模型。 4、用线性规划求解模型进行求解。 5、对求得的结果进行灵敏度分析（分别对最优解、最优值、相差值、松驰/剩余量、对偶价格、目标函数变量系数和常数项的变化范围进行详细分析）。 6、若销售部门表示，新产品Ⅰ、Ⅱ生产多少就能销售多少，而产品Ⅲ最少销售18件，请重新完成本题的1-5。 解： 1、本问题是资源分配型的线性规划数学模型。 2、该问题的决策目标是公司总的利润最大化，总利润为：

0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3 决策的限制条件： 8x1+ 4x2+ 6x3≤500 铣床限制条件 4x1+ 3x2≤350 车床限制条件 3x1 + x3≤150 磨床限制条件 即总绩效测试（目标函数）为： max z= 0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3 3、本问题的线性规划数学模型 max z= 0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3 S．T． 8x1+ 4x2+ 6x3≤500 4x1+ 3x2≤350 3x1 + x3≤150 x1≥0、x2≥0、x3≥0 4、用Excel线性规划求解模板求解结果：最优解（50，25，0），最优值：30元。 5、灵敏度分析 目标函数最优值为 : 30 变量最优解相差值 x1 50 0 x2 25 0 x3 0 .083 约束松弛/剩余变量对偶价格 1 0 .05 2 75 0 3 0 .033 目标函数系数范围 : 变量下限当前值上限 x1 .4 .5 无上限 x2 .1 .2 .25 x3 无下限 .25 .333 常数项数范围 : 约束下限当前值上限 1 400 500 600 2 275 350 无上限 3 37.5 150 187.5

lingo实例很有用练习1、2从中选线性规划案例1

1. 人力资源分配问题 设司机和乘务人员分别在各时间段开始时上班，并连续工作8小时，问该公交线路应怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又使配备司机和乘务人员的人数最少？ 解：设x i 表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员数, 这样我们建立如下的数学模型。 目标函数：Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 约束条件：s.t. x1 + x6 ≥60 x1 + x2 ≥70 x2 + x3 ≥60 x3 + x4 ≥50 x4 + x5 ≥20 x5 + x6 ≥30 x1,x2,x3,x4,x5,x6 ≥0 运用lingo求解： Min=x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6; x1 + x6 >=60; x1 + x2>= 70; x2 + x3>= 60; x3 + x4>=50; x4 + x5>= 20; x5 + x6>=30; Objective value: 150.0000 ariable Value Reduced Cost X1 60.00000 0.000000 X2 10.00000 0.000000 X3 50.00000 0.000000 X4 0.000000 0.000000 X5 30.00000 0.000000 X6 0.000000 0.000000 也可以是 Global optimal solution found. Objective value: 150.0000 Total solver iterations: 6 Variable Value Reduced Cost X1 40.00000 0.000000

线性规划应用案例

案例1 广告战 火烈鸟烤肉饭店是一家位于佛罗里达的面向高消费阶层的一家饭店。为了帮助计划下一季度的广告宣传计划，该饭店雇用了HJ广告公司。饭店的管理层要求HJ推荐如何将广告预算分配在电视、广播和报纸上。总的广告预算费用为279000美元。 在与火烈鸟烤肉饭店管理层的一次会议上，HJ顾问提供了以下信息：关于每种广告媒体在行业内的宣传率、每则广告能达到的新受众数以及各自的广告成本。 广告媒体每则广告的宣传率每则广告能达到的新 受众数 成本（美元） 电视90 4000 10000 广播25 2000 3000 报纸10 1000 1000 宣传率被视作衡量广告对现有客户和潜在新客户的价值。它是图像、消息反馈、可视程度、可闻形象等的函数。正如预料的那样，最贵的电视广告有最大的宣传率，同时可达到最多的潜在新客户。 在这一点上，HJ顾问指出，关于每种媒体的宣传率和达到率的数据只在最初的几次广告应用中有效。例如电视，它的90的宣传率和达到4000个潜在客户的数据只在头10次广告中有效，10次以后，电视广告的效用值会下降。HJ顾问指出第10次以后播出的广告，宣传率降到55，同时到达的潜在客户也降到了1500。对于广播媒体，上表中的数据在头15次广告中是有效的，到第15次后，宣传率降为20，能到达的潜在客户降为1200。类似地，对于报纸，上表中的数据在头20次广告中是有效的，到第20次后，宣传率降为5，能到达的潜在客户为800. 火烈鸟公司管理层接受了最大化各种媒体总宣传率作为这次广告运动的目标。由于管理层很在意吸引新的客户，因此希望这次广告活动至少能达到100000个新客户。为了平衡广告宣传活动以及充分利用广告媒体，火烈鸟公司管理团队还采纳了以下方针：1）广播广告运用的次数至少是电视广告的2倍； 2）电视广告不能运用超过20次； 3）电视广告的预算至少为140000美元； 4）广播广告的预算最多不能超过99000美元； 5）报纸广告的预算至少为30000美元。 HJ统一在这些方针下开展广告活动，并提出了怎样将279000美元的预算分配在电视、广播和报纸广告中。 管理报告 构建一个模型，确定火烈鸟烤肉饭店的广告预算分配方案，确保你的报告中有以下讨论： 1）推荐一份关于电视、广播和报纸广告应各用多少次以及各种媒体的预算分配。列出广告的总宣传率并指出总的可以到达的潜在新客户数。 2）如果广告预算增加10000美元，那么总的宣传率会怎么变化？ 3）讨论目标函数系数的变化范围。该变化范围揭示了推荐的解决方案对HJ的宣传率系数有多敏感？

3.6：线性规划的概念(答案版)

：线性规划 目录： （1）线性规划的基本概念 （2）线性规划在实际问题中的应用 【知识点1：线性规划的基本概念】 (1)如果对于变量x 、y 的约束条件，都是关于x 、y 的一次不等式，则称这些约束条件为__线性约束条件__(),z f x y =是欲求函数的最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫做__目标函数_，当(),f x y 是x 、y 的一次解析式时，(),z f x y =叫做_线性目标函数__. (2)求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，称为__线性规划问题__ ；满足线性约束条件的解(),x y 叫做__可行解_；由所有可行解组成的集合叫做__可行域_；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做_最优解__ 例题：若变量x 、y 满足约束条件2 10x y x y +≤?? ≥??≥? ，则z x y =+的最大值和最小值分别为 ( B ) — A. 4和3 B. 4和2 C. 3和2 D. 2和0 分析：本题考查了不等式组表示平面区域，目标函数最值求法. 解：画出可行域如图 作020l x y +=： 所以当直线2z x y =+过()20A ， 时z 最大，过()1,0B 时z 最小max min 4, 2.z z == 变式1：已知2z x y =+，式子中变量x 、y 满足条件11y x x y y ≤?? +≤??≥-? ，则z 的最大值是__3___

解：不等式组表示的平面区域如图所示. 作直线0:20l x y +=，平移直线0l ，当直线0l 经过 / 平面区域的点()21A -，时，z 取最大值2213?-=. 变式2：设2z x y =+，式中变量x 、y 满足条件43 35251x y x y x -≤-?? +≤??≥? ，求z 的最大值和最小值 分析：由于所给约束条件及目标函数均为关于x 、y 的一次式，所以此问题是简单线性 规划问题，使用图解法求解 解：作出不等式组表示的平面区域(即可行域)，如图所示． 把2z x y =+变形为2y x z =-+，得到斜率为-2，在y 轴上的截距为z ，随z 变化的一族平行直线． 由图可看出，当直线2z x y =+经过可行域上的点A 时，截距z 最大，经过点B 时，截距z 最小． 解方程组430 35250x y x y -+=??+-=?，得A 点坐标为()5,2， 解方程组1 430x x y =??-+=? ，得B 点坐标为()1,1 所以max min 25212,211 3.z z =?+==?+= } 变式3：若变量x 、y 满足约束条件6 321x y x y x +≤?? -≤-??≥? ，则23z x y =+的最小值为( C ) A. 17 B. 14

线性规划应用案例

板材下料优化方法案例 本案例以上海某柴油机厂某车间某年某月所需3种2mm厚度的板材零件下料为例，说明线性规划在下料中的应用及其在提高材料利用率方面所能产生的显著经济效益。同时，该案例所介绍的工作流程还是一种非常简单实用、便于操作、效果良好的板材下料优化方法，可供各企业在生产中参考运用。 一．板材下料优化方法的特点及其工作流程 用线性规划求解最优下料方案，通常要求首先设计出所有可行合理的下料方式，然后建立LP模型求解最优下料方案。由于板材下料是典型的二维下料，每一种下料方式对应一张排料图，在零件种类较多的情况下，要绘制出所有可行且合理的排料图，不仅工作量非常巨大，而且也是不现实的。为减少绘制排料图的工作量，同时又能达到良好的效果，我们在此给出了一种高效的板材下料优化方法的工作流程。该工作流程有如下特点： 1.对绘制排料图的要求不高。开始时，只需选作少量包含各种零件且材料利用率较高的排料图，这不仅可简化绘图工作量，还可简化模型。 2.对所得最优解进行最优化后分析。若初始最优解效果不理想，则通过有针对性地再增绘少量排料图后重新求解，通常就可达到事半功倍的效果（该步骤属于将在第十一章介绍的敏感性分析中的“增加新的决策变量”，但我们是用计算机求解，故可不涉及敏感性分析的概念）。 3.通常板材下料问题中的变量应当是整数，若采用整数规划求解，则显然会使材料利用率降低。这里我们先采用线性规划求解，对得到的最优解通过舍去小数部分取整，对取整后的零件短缺数，再绘制少量排料图解决。此“取整修正”方法可比使用整数变量求解得到更高的材料利用率。

图1 板材下料优化方法工作流程 二．实际操作中的几点注意事项 1.绘制排料图时的注意事项 为简化排料图的绘制，排料前应先将零件进行分类，一般可分为以下三类：（1）零件边长大于钢板短边的一类。此类零件在钢板上只有一种排法，对材料利用率影响较大，应注意利用余料安排其他尺寸较小的零件。 （2）零件两边均小于钢板短边的一类。此类零件排料组合情况较多，应注意不同零件的搭配。 （3）零件尺寸较小、或某边长与钢板某边长成倍比关系的一类，此类零件单一下料利用率高。

18.1线性规划问题的有关概念教案

邳州市中等专业学校理论课程教师教案本（2015—2016学年第1学期） 班级名称 课程名称

授课教师 教学部 邳州市中等专业学校教案

课堂教学安排

一、复习引入 1、生活中我们经常对哪些事情进行规划？ 2、我们对事情进行规划的目的是什么？ 3、总结：在生产生活中我们常常要研究以下两类问题： （1）如何合理计划、安排有限的人、财、物等资源获取最大的利润、产量等目标。 （即利用有限的资源获取最大的利润。） （2）任务确定后，如何计划、安排，使用最低限度的人、财、物等资源，实现该任务。 （即用最少的资源完成任务） 这两类问题就是线性规划要研究的主要问题。 二、新知探究 1、线性规划的定义：在约束条件下求目标函数的最大值或最小值的问题叫做线性规划 2、线性规划问题的共同特征： （1）每个问题都用一组决策变量来表示，这些变量一般情况下取非负值。 （2）存在一定的约束条件，通常用一组一次（线性）不等式或等式表示。 （3）都有一个要达到的目标，用决策变量的一次（线性）函数即目标函数来表示，按问题的不同实现最大化或最小化。 3、线性规划的一般形式 目标函数： 约束条件：

三、典型例题 例1．某点心店要做甲、乙两种馒头，甲种馒头的原料是每3份面粉加2份玉米粉，乙种馒头的主要原料是每4份面粉加1份玉米粉。这个点心店每天可买进面粉50kg ，玉米粉20kg ，做1kg 甲种馒头的利润是5元，做1kg 乙种馒头的利润是4元，那么这个点心店每天做多少甲、乙两种馒头才能获利最多？ 设甲、乙两种馒头计划产量分别为 x kg ，ykg ，利润为z 元 生产这两种馒头所用面粉总量为 例2．某工厂用两种不同原料均可生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成 () 0.60.8x y kg +0.60.85034250x y x y +≤?+≤0.40.2202100x y x y +≤?+≤34250 21000 0x y x y x y +≤??+≤?? ≥??≥?