浙教版九年级全册初三数学(基础版)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(家教、补习、复习用)
浙教版九年级全册
初中数学
全册知识点梳理及重点题型巩固练习
二次函数y=ax 2(a ≠0)与y=ax 2
+c(a ≠0)的图象与性质—知识讲解（基础）
【学习目标】
1．理解二次函数的概念，能用待定系数法确定二次函数的解析式；
2．会用描点法画出二次函数y=ax 2
(a≠0) 与()2
0y ax c a =+≠的图象，并结合图象理解抛物线、对称
轴、顶点、开口方向等概念；
3. 掌握二次函数y=ax 2
(a≠0) 与()20y ax c a =+≠的图象的性质，掌握二次函数()2
0y ax
a =≠与
()20y ax c a =+≠之间的关系；（上加下减）.
【要点梳理】
要点一、二次函数的概念 1.二次函数的概念
一般地，形如y=ax 2
+bx+c （a≠0，a, b, c 为常数）的函数是二次函数. 若b=0，则y=ax 2
+c ； 若c=0，则y=ax 2
+bx ； 若b=c=0，则y=ax 2
.
以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax 2
+bx+c （a ≠0）是二次函数的一般式. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ①
（a≠0）；②
（a≠0）；③
（a≠0）；④
（a≠0），其中；⑤（a≠0）.
要点诠释：
如果y=ax 2
+bx+c(a,b,c 是常数，a≠0)，那么y 叫做x 的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b 、c 可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.
2.二次函数解析式的表示方法
1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；
2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；
3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）（或称交点式）.
要点诠释：
任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
要点二、二次函数y=ax 2
（a ≠0）的图象及性质 1.二次函数y=ax 2
(a ≠0)的图象
用描点法画出二次函数y=ax 2
（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y 轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.
因为抛物线y=x 2
关于y 轴对称，所以y 轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x 2
的顶点是图象的最低点。因为抛物线y=x 2
有最低点，所以函数y=x 2
有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标.
2.二次函数y=ax 2
(a ≠0)的图象的画法
用描点法画二次函数y=ax 2
（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x 的值，然后计算出对应的y 值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确. 要点诠释：
二次函数y=ax 2
(a≠0)的图象．用描点法画二次函数y=ax 2
(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y 轴．y=ax 2
(a≠0)是最简单的二次函数，把y=ax 2
(a≠0)的图象左右、上下平行移动可以得到y=ax 2
+bx+c(a≠0)的图象．
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.
3.二次函数y=ax 2
(a ≠0)的图象的性质
二次函数y=ax 2（a≠0）的图象的性质，见下表： a>0
a<0
要点诠释：
顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a │相同，抛物线的开口大小、形状相同.
│a │越大，开口越小，图象两边越靠近y 轴，│a │越小，开口越大，?图象两边越靠近x 轴. 要点三、二次函数y=ax 2
+c(a ≠0)的图象及性质 1.二次函数y=ax 2
+c(a ≠0)的图象 （1）0a > 0a <
()0c c +>
()0c c <
2.二次函数y=ax 2
+c(a ≠0)的图象的性质
关于二次函数2
(0)y ax c a =+≠的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减
3.二次函数()2
0y ax
a =≠与()20y ax c a =+≠之间的关系；
（上加下减）. ()20y ax a =≠的图象向上（c ＞0）
【或向下（c ＜0）】平移│c │个单位得到()2
0y ax c a =+≠的图象.
要点诠释：
抛物线2
(0)y ax c a =+≠的对称轴是y 轴，顶点坐标是(0，c)，与抛物线2
(0)y ax a =≠的形状相同．
函数2
(0)y ax c a =+≠的图象是由函数2
(0)y ax a =≠的图象向上（或向下）平移||c 个单位得到的，顶点坐标为(0，c)．
抛物线y ＝ax 2
(a ≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x 轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x ＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a 的值不变，只是位置发生变化而已．
【典型例题】
类型一、二次函数的概念
1．（2016?松江区一模）下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A ．y=2x +1
B ．y=（x ﹣1）2﹣x 2
C ．y=2x 2
﹣7 D ．
【思路点拨】根据一次函数、反比例函数、二次函数的定义判断各选项即可得出答案． 【答案】C ；
【解析】解：A 、是一次函数，故本选项错误； B 、整理后是一次函数，故本选项错误；
C 、y=2x 2
﹣7是二次函数，故本选项正确；
D 、y 与x 2
是反比例函数关系，故本选项错误． 故选：C ．
【总结升华】本题考查了二次函数的定义，关键是掌握二次函数的定义条件：二次函数y=ax 2
+bx +c 的定义条件是：a 、b 、c 为常数，a ≠0，自变量最高次数为2．
举一反三：
【变式】如果函数232
(3)1m m y m x
mx -+=-++是二次函数，求m 的值．
【答案】 根据题意，得2322,
30,
m m m ?-+=?-≠? 解得m ＝0．
类型二、二次函数y=ax 2（a ≠0）的图象及性质
2．函数y ＝x 2
的图象对称轴左侧上有两点A(a ，15)，B(b ，
1
4
)，则a-b_______0(填“＞”、“＜”或“＝”号)． 【答案】＜.
【解析】解法一：将A(a ，15)，1,
4B b ?? ???
分别代入y ＝x 2中得：2
15a =，
∴ a =21
4
b =，
又A 、B 在抛物线对称轴左侧，∴ a ＜0，b ＜0，即a =，12
b =-，
∴ 1
02
a b -=< 解法二：画函数y ＝x 2
的草图(如图所示)，可知在y 轴左侧(x ＜0)时，y 随x 的增大而减小，
又∵ 1
154
>
，a ＜b ，即a-b ＜0． 【总结升华】利用草图和函数的增减性比较函数值的大小或自变量的大小显得更简单、直观，充分运用
了数形结合的思想．
举一反三：
【：二次函数y=ax 2 (a ≠0)与y=ax 2
+c(a ≠0)的图象与性质 ： 391918 练习题1】
【变式1】二次函数2
y ax =与2
2y x =-的形状相同，开口大小一样，开口方向相反，则a = ． 【答案】2；
【：二次函数y=ax 2
(a ≠0)与y=ax 2
+c(a ≠0)的图象与性质
： 391918 练习题1】
【变式2】（2015?山西模拟）抛物线y=﹣x 2
不具有的性质是（ ）． A.开口向上 B. 对称轴是y 轴 C. 在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大 D. 最高点是原点 【答案】A.
类型三、二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象及性质
3．求下列抛物线的解析式：
（1）与抛物线2
132
y x =-
+形状相同，开口方向相反，顶点坐标是（0，-5）的抛物线； （2）顶点为（0，1），经过点（3，-2）并且关于y 轴对称的抛物线． 【答案与解析】
（1）由于待求抛物线2132y x =-
+形状相同，开口方向相反，可知二次项系数为12
， 又顶点坐标是（0，-5），故常数项5k =-，所以所求抛物线为2
152
y x =-．
（2）因为待求抛物线顶点为（0，1），所以其解析式可设为2
1y ax =+，
又∵ 该抛物线过点（3，-2），∴ 912a +=-，解得1
3
a =-．
∴ 所求抛物线为2
113
y x =-
+． 【总结升华】抛物线形状相同则||a 相同，再由开口方向可确定a 的符号，由顶点坐标可确定k 的值，
从而确定抛物线的解析式2
y ax k =+．
4．在同一直角坐标系中，画出
2y x =-和21y x =-+的图象，并根据图象(如图所示)回答下列问
题．
(1)抛物线2
1y x =-+向________平移________个单位得到抛物线2
y x =-；
(2)抛物线，21y x =-+开口方向是________，对称轴为________，顶点坐标为________；
(3)抛物线21y x =-+，当x________时，随x 的增大而减小；当x________时，函数y 有最________值，其最________值是________．
【答案】 (1)下； l ； (2)向下； y 轴； (0，1)； (3)＞0； ＝0； 大； 大 ； 1. 【解析】在同一平面直角坐标系内画出两条抛物线，利用图象回答问题．
(1)抛物线2
1y x =-+向 下 平移 1__个单位得到抛物线2
y x =-；
(2)抛物线，21y x =-+开口方向是 向下 ，对称轴为___ y 轴_____，顶点坐标为_ (0，1)__；
(3)抛物线21y x =-+，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小； 当x ＝0__时，函数y 有最 大 值，其最 大__值是 1 ．
【总结升华】本例题把函数2
1y x =-+与函数2
y x =-的图象放在同一直角坐标系中进行对比，易得
出二次函数2
(0)y ax k a =+≠与2
(0)y ax a =≠的图象形状相同，只是位置上下平移的结
论．2
(0)y ax k a =+≠可以看作是把2
(0)y ax a =≠的图象向上(0)k >或向下(0)k <平移||k 个单位
得到的．二次函数
y=ax 2(a ≠0)与y=ax 2
+c(a ≠0)的图象与性质—巩固练习
（基础）
【巩固练习】
一、选择题
1．下列函数中是二次函数的有（ ）.
①y=x+；②y=3（x ﹣1）2
+2；③y=（x+3）2
﹣2x 2
；④y=+x ．
A ．4个
B ．3个 C.2个 D ．1个
2．（2016?当涂县三模）函数y=﹣x 2
+1的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．把抛物线2
y x =向上平移1个单位，所得到抛物线的函数表达式为( )．
A ．2
1y x =+ B ．2
(1)y x =+ C ．2
1y x =- D ．2
(1)y x =-
4．一台机器原价60万元，如果每年的折旧率是x ，两年后这台机器的价格为y 万元，则y 与x 之间的函数关系式为( )．
A ．y ＝60(1-x)2
B ．y ＝60(1-x)
C ．y ＝60-x 2
D ．y ＝60(1+x)2
5．在同一坐标系中，作出2
2y x =，2
2y x =-，2
12
y x =
的图象，它们的共同点是（ ）
． A ．关于y 轴对称，抛物线的开口向上 B ．关于y 轴对称，抛物线的开口向下 C ．关于y 轴对称，抛物线的顶点都是原点 D ．关于原点对称，抛物线的顶点都是原点 6．汽车的刹车距离y (m)与开始刹车时的速度x(m/s)之间满足二次函数2
1(0)20
y x x =
>，若汽车某次的刹车距离为5 m ，则开始刹车时的速度为( )．
A ．40 m/s
B ．20m/s
C ．10 m/s
D ．5 m/s
二、填空题
7．已知抛物线的解析式为y ＝-3x 2
，它的开口向________，对称轴为________，顶点坐标是________， 当x ＞0时，y 随x 的增大而________． 8．（2016春?潜江校级期中）若函数y=（a ﹣5）x
是二次函数，则a= ．
9．已知抛物线y ＝x 2
上有一点A ，A 点的横坐标是-1，过点A 作AB ∥x 轴，交抛物线于另一点B ， 则△AOB 的面积为________． 10．函数2
y x =，2
12
y x =
、23y x =的图象大致如图所示，则图中从里向外的三条抛物线对应的函数关系式是_____________________．
第10题 第12题
11．（2015?巴中模拟）对于二次函数y=ax 2
，已知当x 由1增加到2时，函数值减少4，则常数a 的值是 ． 12．如图所示，用一段长30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD ，设AB 的边长
为x 米，则菜园的面积y(单位：米2
)与x(单位：米)的函数关系式为_____ ___(不要求写自变量的取值范围)．
三、解答题
13．已知2
(2)m
m
y m x +=+是二次函数，且当x ＞0时，y 随x 的增大而增大．
(1)求m 的值；(2)画出函数的图象．
14. 几位同学聚会，每两个人之间握手一次，试写出握手的总数m 与参加聚会的人数n 之间的函数关系式．
15．二次函数y=ax 2
与直线y=2x ﹣1的图象交于点P （1，m ） （1）求a ，m 的值；
（2）写出二次函数的表达式，并指出x 取何值时该表达式y 随x 的增大而增大？ （3）写出该抛物线的顶点坐标和对称轴．
【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】C ；
【解析】①y=x+、④y=
+x 的右边不是整式，故①④错误；
②y=3（x ﹣1）2
+2，符合二次函数的定义，故②正确；
③y=（x+3）2﹣2x 2=﹣x 2
+6x+9，符合二次函数的定义，故③正确；故选：C ．
2.【答案】B.
【解析】∵二次项系数a ＜0，∴开口方向向下，∵一次项系数b=0，∴对称轴为y 轴， ∵常数项c=1，∴图象与y 轴交于（0，1），故选B ． 3．【答案】A ； 【解析】由抛物线
的图象知其顶点坐标为(0，0)，将它向上平移1个单位后，抛物线的顶点坐
标为(0，1)，因此所得抛物线的解析式为第一个选项． 4．【答案】A ；
【解析】一年后这台机器的价格为60-60x ＝60(1-x)，
两年后这台机器的价格为y ＝60(1-x)(1-x)＝60(1-x)2
．以此类推．
5.【答案】C ；
【解析】y ＝2x 2
，y ＝-2x 2
，2
12
y x =
的图象都是关于y 轴对称的，其顶点坐标都是(0，0)． 6.【答案】C ；
【解析】当y ＝5时，x 2
＝100，x ＝10．
二、填空题 7．【答案】下 ； y 轴； (0，0)； 减小； 8.【答案】﹣1．
【解析】由题意得，a 2
﹣4a ﹣3=2，a ﹣5≠0，解得，a=﹣1，故答案为：﹣1． 9．【答案】 1 ； 【解析】由抛物线的对称性可知A(-1，1)，B(1，1)，则1
1
21122
AOB A S AB y =
=??=△.
10．【答案】23y x =，2
y x =，2
12
y x =
．
【解析】先比较
1
2
，|1|，|3|的大小关系，由|a|越大开口越小，可确定从里向外的三条抛物线所对应的函数依次是y ＝3x 2
，y ＝x 2
，2
12
y x =
． 11．【答案】4
3
-
； 【解析】当x=1时，y=ax 2
=a ；
当x=2时，y=ax 2
=4a ，
所以a ﹣4a=4，解得a=43-
．故答案为：43
-. 12．【答案】2
301522
x x y x x -==-+． 三、解答题
13.【答案与解析】
(1)∵ 2(2)m m
y m x
+=+为二次函数，且当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，
∴ 2220
m m m ?+=?+>?， ∴ 12
2m m m ==-??>-?或．
∴m=1.
(2)
由(1)得这个二次函数解析式为2
3y x =，自变量x 的取值范围是全体实数， 可以用描点法画出这个函数的图象．如图所示．
14.【答案与解析】
n 位同学中，因为每人除自己之外都要与其余同学分别握手一次，即握(n-1)次手，
考虑到两位同学彼此的握手只算一次，所以n 位同学共握手1
(1)2
n n -次． 即2111(1)222
m n n n n =
-=- 15.【答案与解析】
解：（1）点P （1，m ）在y=2x ﹣1的图象上
∴m=2×1﹣1=1代入y=ax 2
∴a=1
（2）二次函数表达式：y=x2
因为函数y=x2的开口向上，对称轴为y轴，当x＞0时，y随x的增大而增大；（3）y=x2的顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴．
二次函数y=a （x-h)2
+k(a ≠0)的图象与性质—知识讲解（基础）
【学习目标】
1.会用描点法画出二次函数2
()y a x h k =-+(a 、h 、k 常数，a ≠0)的图象．掌握抛物线2
()y a x h k =-+与2
y ax =图象之间的关系；
2.熟练掌握函数2
()y a x h k =-+的有关性质，并能用函数2
()y a x h k =-+的性质解决一些实际问题；
3.经历探索2
()y a x h k =-+的图象及性质的过程，体验2
()y a x h k =-+与2y ax =、2
y ax k =+、
2()y a x h =-之间的转化过程，深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法．
【要点梳理】
要点一、函数2
()(0)y a x h a =-≠与函数2
()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质
1.函数2
()(0)y a x h a =-≠的图象与性质
2.函数2
()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质
要点诠释：
二次函数2
()+(0y a x h k a =-≠）的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题．
要点二、二次函数的平移 1.平移步骤：
⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2
y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，
； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，
处，具体平移方法如下：
2.平移规律：
在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 要点诠释：
⑴c bx ax y ++=2
沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2
变成
m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）
⑵c bx ax y ++=2
沿x 轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2
变成
c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）
【典型例题】
类型一、二次函数2()(0)y a x h k a =-+≠图象及性质
1．（2016?潮南区模拟）二次函数y=﹣（x ﹣3）2
+2的顶点的坐标是 ，对称轴是 ． 【思路点拨】根据二次函数顶点式解析式分别解答即可． 【答案】（3，2），直线x=3． 【解析】
二次函数y=﹣（x ﹣3）2
+2； 顶点坐标是（3，1），对称轴是直线x=3． 故答案为：（3，2），直线x=3．
【总结升华】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用二次函数顶点式形式求解对称轴和顶点坐标的
方法是解题的关键． 举一反三：
【课程名称：函数2
()(0)y a x h a =-≠与函数2
()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质
： 391919 练习2】
【变式】将抛物线2
3y x =-向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线解析式为 ． 【答案】2
3127y x x =-+-.
2．将抛物线y=x 2
﹣6x+5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，求得到的抛物线解析式.
【答案与解析】
解：y=x 2﹣6x+5=（x ﹣3）2
﹣4， ∴抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），
把点（3，﹣4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4，﹣2），
∴平移后得到的抛物线解析式为y=（x ﹣4）2
﹣2．
【总结升华】由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 举一反三：
【课程名称：函数2
()(0)y a x h a =-≠与函数2
()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质
： 391919 练习2】 【变式】二次函数21(3)42y x =
-+的图象可以看作是二次函数21
2
y x =的图象向 平移4个单位，再向 平移3个单位得到的．
【答案】上；右.
类型二、二次函数2()(0)y a x h k a =-+≠性质的综合应用
3．二次函数y 1=a （x ﹣2）2
的图象与直线y 2交于A （0，﹣1），B （2，0）两点． （1）确定二次函数与直线AB 的解析式．
（2）如图，分别确定当y 1＜y 2，y 1=y 2，y 1＞y 2时，自变量x 的取值范围．
【答案与解析】
解：（1）把A （0，﹣1）代入y 1=a （x ﹣2）2
，得：﹣1=4a ，即a=﹣，
∴二次函数解析式为y 1=﹣（x ﹣2）2
=﹣a 2
+a ﹣1； 设直线AB 解析式为y=kx+b ， 把A （0，﹣1），B （2，0）代入得：，
解得：k=，b=﹣1，
则直线AB 解析式为y=x ﹣1；
（2）根据图象得：当y 1＜y 2时，x 的范围为x ＜0或x ＞2；y 1=y 2时，x=0或x=2，y 1＞y 2时，0＜x ＜2． 【总结升华】可先由待定系数法建立方程组求出两个函数的解析式，然后利用函数图象写出自变量的取
值范围．
4．在同一直角坐标系中，画出下列三条抛物线：
212y x =
，2132y x =+，21
32
y x =-． （1）观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）请你说出抛物线2
12
y x c =+的开口方向，对称轴及顶点坐标． 【答案与解析】
描点、连线，可得抛物线2
2
y x =． 将212y x =
的图象分别向上和向下平移3个单位，就分别得到2132y x =+与21
32
y x =-的图象（如图所示）．
抛物线212y x =
，2132y x =+与21
32
y x =-开口都向上，对称轴都是y 轴，顶点坐标依次 是（0，0）、（0，3）和（0，-3）．
（2）抛物线2
12
y x c =
+的开口向上，对称轴是y 轴（或直线0x =），顶点坐标为（0，c ）． 【总结升华】先用描点法画出2
12
y x =的图象，再用平移法得到另两条抛物线，并根据图象回答问题．
规律总结：2
y ax k =+k ←????
?向上平移
个单位2y ax =k ????→向下平移个单位
2(0)y ax k k =->．
二次函数y=a （x-h)2+k(a ≠0)的图象与性质—巩固练习（基础）
【巩固练习】 一、选择题
1.抛物线2
(2)3y x =-+-的顶点坐标是（ ）
A ．(2，-3)
B ．(-2，3)
C ．(2，3)
D ．(-2，-3)
2.函数y=
21x 2+2x+1写成y=a(x －h)2
+k 的形式是（ ） A.y=21(x －1)2+2 B.y=21(x －1)2+21 C.y=21(x －1)2－3 D.y=2
1(x+2)2
－1
3．抛物线y=21x 2
向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是( )
A.y=21(x+3)2－2
B.y=21(x －3)2+2
C.y=21(x －3)2－2
D.y=2
1(x+3)2
+2
4．把二次函数122
--=x x y 配方成顶点式为（ ）
A ．2
)1(-=x y B ． 2)1(2
--=x y C ．1)1(2
++=x y
D ．2)1(2
-+=x y
5．由二次函数2
2(3)1y x =-+，可知（ ）
A ．其图象的开口向下
B ．其图象的对称轴为直线3x =-
C ．其最小值为1
D ．当3x <时，y 随x 的增大而增大
6．（2015?泰安）在同一坐标系中，一次函数y=﹣mx+n 2与二次函数y=x 2
+m 的图象可能是（ ）.
A. B. C. D.
二、填空题
7. （2015?怀化）二次函数y=x 2
+2x 的顶点坐标为 ，对称轴是直线 ．
8．已知抛物线y=－2(x+1)2
－3，如果y 随x 的增大而减小，那么x 的取值范围是_ _____. 9．（2016?宝山区一模）抛物线y=﹣2（x ﹣3）2
+4的顶点坐标是 ．
10．顶点为（－2，－5）且过点（1，－14）的抛物线的解析式为 ．
11．将抛物线2
2y x x =-向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是__ _____． 12．抛物线22(2)6y x =--的顶点为C ，已知3y kx =-+的图象经过点C ，则这个一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积为________．
三、解答题
13．（2016?盐城校级期末）已知二次函数y=（x ﹣2）2
﹣4． （1）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象； （2）根据图象，直接写出当y ＜0时x 的取值范围．
14. 已知抛物线2
12
y x =-
向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到 抛物线2
()y a x h k =-+； （1）求出a ，h ，k 的值；
（2）在同一直角坐标系中，画出2
()y a x h k =-+与2
12
y x =-
的图象； （3）观察2
()y a x h k =-+的图象，当x ________时，y 随x 的增大而增大；
当x ________时，函数y 有最________值，最________值是y =________； （4）观察2
()y a x h k =-+的图象，你能说出对于一切x 的值，函数y 的取值范围吗？
15．（2015?珠海）已知抛物线y=ax 2
+bx+3的对称轴是直线x=1． （1）求证：2a+b=0；
（2）若关于x 的方程ax 2
+bx ﹣8=0的一个根为4，求方程的另一个根．
【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】D ；
【解析】由顶点式可求顶点，由20x +=得2x =-，此时，3y =-． 2.【答案】D ；
【解析】通过配方即可得到结论. 3.【答案】A ； 【解析】抛物线 y=
21x 2向左平移3个单位得到y=2
1(x+3)2
，再向下平移2个单位后， 所得的抛物线表达式是y=2
1(x+3)2
－2.
4.【答案】B ；
【解析】通过配方即可得到结论. 5.【答案】C ；
【解析】可画草图进行判断. 6.【答案】D ；
【解析】解：A 、由直线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上可知，n 2
＜0，错误；
B 、由抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上可知，m ＞0，由直线可知，﹣m ＞0，错误；
C 、由抛物线y 轴的交点在y 轴的负半轴上可知，m ＜0，由直线可知，﹣m ＜0，错误；
D 、由抛物线y 轴的交点在y 轴的负半轴上可知，m ＜0，由直线可知，﹣m ＞0，正确， 故选D ．
二、填空题 7．【答案】（﹣1，﹣1）； x=﹣1； 【解析】∵y=x 2
+2x=（x+1）2
﹣1，
∴二次函数y=x 2
+4x 的顶点坐标是：（﹣1，﹣1），对称轴是直线x=﹣1．
8．【答案】x ≥－1；
【解析】由解析式可得抛物线的开口向下，对称轴是x=-1，对称轴的右边是y 随x 的增大而减小，
故x ≥－1.
9.【答案】（3，4）．
【解析】y=﹣2（x ﹣3）2
+4是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（3，4）．
人教版九年级数学旋转知识点总结与练习
旋转知识点总结与练习 知识点1 旋转的定义 把一个平面图形绕着平面内某一点O 转动一个角度的图形变换叫做_____，点O 叫做旋转中心， ________叫做旋转角. 要点诠释：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度. 1. 如图,将正方形图案绕中心O 旋转180°后,得到的图案是 （ ） 2. 如图2，该图形围绕自己的旋转中心，按下列角度旋转后，不能与其自 身重合的是（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 旋转的性质 (1)对应点到旋转中心的距离________； (2)对应点与旋转中心所连的线段的夹角等于________； (3)旋转前后的两个图形______. 要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转. 3. 如图，将△ABC 绕着点C 按顺时针方向旋转20°，B 点落在B′位置，A 点落在A′ 位置，若AC⊥A′B′，则∠BAC 的度数是（ ） A ．50° B ．60° C ．70° D ．80° 4.如图，直线与轴、轴分别交于、两点，把△绕点顺 时针旋转90°后得到△，则点的坐标是 A. （3，4） B. （4，5） C. （7，4） D. （7，3） 旋转的作图: 在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键，沿指定的方 72o 108o 144o 216o 443 y x =-+x y A B AOB A AO B ''B '
向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形． 5．在下图4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其 旋转中心可能是（） A.点A B.点B C.点C D.点D 知识点2 中心对称 把一个图形绕着某一点旋转_____，如果它能够与另一个图形____，那么就说这两个图形关于这个点对 称或______，这个点叫做______，旋转后能够重合的对应点叫做关于对称中心的_______. 要点诠释：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同； （2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合(全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) 6.如图所示，在下列四组图形中，右边图形与左边图形成中心对称的有_______. 中心对称的性质： 中心对称的两个图形，对称点所连线段经过_____，并且被对称中心所_____.中心对称的两个图形是____. 7.如图，已知△ABC和点O.在图中画出△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC关于O点成中心对称. 知识点3 中心对称图形 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形____，那么这个图形叫做_________，这个点叫它的_______.
中考数学知识点总结
中考数学知识点总结 一、常用数学公式 公式分类公式表达式 乘法与因式分解a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2) 三角不等式|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a| 一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a 根与系数的关系X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理 判别式 b2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根 b2-4ac>0 注：方程有两个不等的实根 b2-4ac<0 注：方程没有实根，有共轭复数根 某些数列前n项和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中R 表示三角形的外接圆半径 余弦定理b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角 二、基本方法 1、配方法 所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。 2、因式分解法 因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。 3、换元法 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。 4、判别式法与韦达定理
初三下册数学知识点归纳
初三下册数学知识点归纳 九年级下册知识点归纳包括二次函数、相似、锐角三角形、投影与视图共四章内容，主要总结了这几个单元的重点和难点的内容， 是初三同学们和中考考生的必备资料! 第二十六章二次函数 26.1二次函数及其图像 二次函数(quadraticfunction)是指未知数的最高次数为二次的 多项式函数。二次函数可以表示为f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)。其 图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。 一般的，自变量x和因变量y之间存在如下关系： 一般式 y=ax∧2;+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a，- (4ac-b∧2)/4a); 顶点式 y=a(x+m)∧2+k(a≠0,a、m、k为常数)或y=a(x-h)∧2+k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为(-m，k)对称轴为x=-m，顶点的位置特征 和图像的开口方向与函数y=ax∧2的图像相同，有时题目会指出让 你用配方法把一般式化成顶点式; 交点式 y=a(x-x1)(x-x2)[仅限于与x轴有交点A(x1，0)和B(x2，0)的 抛物线]; 重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。a的绝对值还可以 决定开口大小,a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。
牛顿插值公式(已知三点求函数解析式) y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)+(y2(x-x1)(x- x3))/((x2-x1)(x2-x3)+(y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3)。由此 可引导出交点式的系数a=y1/(x1*x2)(y1为截距) 求根公式 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 求根公式 x是自变量，y是x的二次函数 x1,x2=[-b±(√(b^2-4ac))]/2a (即一元二次方程求根公式)(如右图) 求根的方法还有因式分解法和配方法 在平面直角坐标系中作出二次函数y=2x的平方的图像， 可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。 不同的二次函数图像 如果所画图形准确无误，那么二次函数将是由一般式平移得到的。 注意：草图要有1本身图像，旁边注明函数。 2画出对称轴，并注明X=什么 3与X轴交点坐标，与Y轴交点坐标，顶点坐标。抛物线的性质轴对称 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。 特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0) 顶点
人教版九年级数学上册圆知识点归纳及练习含答案
24.1.1 圆 知识点一圆的定义 o叫作圆圆的定义：第一种：在一个平面内，线段0A绕它固定的一个端点0旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆。固定的端点 心，线段0A叫作半径。第二种：圆心为0,半径为r的圆可以看成是所有到定点0的距离等于定长r的点的集合。 比较圆的两种定义可知：第一种定义是圆的形成进行描述的，第二种是运用集合的观点下的定义，但是都说明确定了定点与定长， 也就确定了圆。 知识点二圆的相关概念 （1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。 （2）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。（ 等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。 （4）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。 24.1.2垂直于弦的直径 知识点一圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。 知识点二垂径定理 （1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。如图所示，直径为CD, AB是弦，且CDLAE， C ~|M A B AM=BM 垂足为M AC=BC AD=BD D 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧如 上图所示，直径CD与非直径弦AB相交于点M CDLABAM=BMAC=BC AD=BD 注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不是直径，否则结论不成立。 24.1.3弧、弦、圆心角 知识点弦、弧、圆心角的关系（1）弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相 等，所对的弦也相等。 （2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量也相等。 （3）注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件，如果丢掉这个条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等，比如两个同心 圆中，两个圆心角相同，但此时弧、弦不一定相等。 24.1.4圆周角 知识点一圆周角定理
九年级数学旋转知识点总结
九年级数学旋转知识点总结 学好数学的关键就在于要适时适量地进行总结归类，接下来小编就为大家整理了这篇九年级数学旋转知识点总结，希望可以对大家有所帮助。 学生已经认识了平移、轴对称，探索了它们的性质，并运用它们进行图案设计。本书中图形变换又增添了一名新成员――旋转。旋转一章就来认识这种变换，探索它的性质。在此基础上，认识中心对称和中心对称图形。 23.1旋转一节首先通过实例介绍旋转的概念。然后让学生探究旋转的性质。在此基础上，通过例题说明作一个图形旋转后的图形的方法。最后举例说明用旋转可以进行图案设计。 23.2中心对称一节首先通过实例介绍中心对称的概念。然后让学生探究中心对称的性质。在此基础上，通过例题说明作与一个图形成中心对称的图形的方法。这些内容之后，通过线段、平行四边形引出中心对称图形的概念。最后介绍关于原点对称的点的坐标的关系，以及利用这一关系作与一个图形成中心对称的图形的方法。 其实,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是记忆有技 巧,“死记”之后会“活用”。不记住那些基础知识,怎么会向高层次进军?尤其是语文学科涉猎的范围很广,要真正提高学生的写作水平,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从基础知识抓起,每天挤一点时间让学生“死记”名篇佳句、名言警
句,以及丰富的词语、新颖的材料等。这样,就会在有限的时间、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。日积月累,积少成多,从而收到水滴石穿,绳锯木断的功效。23.3课题学习图案设计一节让学生探索图形之间的变换关系(平移、轴对称、旋转及其组合)，灵活运用平移、轴对称、旋转的组合进行图案设计。 唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义已经相去甚远。而对那些特别讲授“武事”或讲解“经籍”者，又称“讲师”。“教授”和“助教”均原为学官称谓。前者始于宋，乃“宗学”“律学”“医学”“武学”等科目的讲授者；而后者则于西晋武帝时代即已设立了，主要协助国子、博士培养生徒。“助教”在古代不仅要作入流的学问，其教书育人的职责也十分明晰。唐代国子学、太学等所设之“助教”一席，也是当朝打眼的学官。至明清两代，只设国子监（国子学）一科的“助教”，其身价不谓显赫，也称得上朝廷要员。至此，无论是“博士”“讲师”，还是“教授”“助教”，其今日教师应具有的基本概念都具有了。九年级数学旋转知识点总结就为大家介绍到这里了，希望大家都能养成善于总结的好习惯。 观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛
九年级上册数学知识点总结
九年级上册知识点总结 （数学） 2017年12月
第二十一章 一元二次方程 22.1 一元二次方程 知识点一 一元二次方程的定义 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 注意一下几点： ① 只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。 知识点二 一元二次方程的一般形式 一般形式：)0(02≠=++a c bx ax 其中，2ax 是二次项，a 是二次项系数； bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 知识点三 一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 22.2 降次——解一元二次方程 22.2.1 配方法 知识点一 直接开平方法解一元二次方程 （1） 如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如)0(2≥=a a x 的方程，根据平方根的定义可解得a x a x -=+=21 （2） 直接开平方法适用于解形如p x =2或 )0(2≠=+m p a mx ）（形式的方程， 如果 p≥0，就可以利用直接开平方法。 （3） 用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 （4） 直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为 1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。 知识点二 配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。 （1） 把常数项移到等号的右边； （2） 方程两边都除以二次项系数；
九年级上下册数学知识点汇总
鲁教版初四知识点 第一章反比例函数 一、反比例函数 1.定义:一般地,形如 y＝k／x (k为常数,k≠0)的函数叫做反比例函数,其中x是自变量，y是x的函数,k是比例系数。若y=k/nx 此时比例系数为:k/n,如y=2/3x的比例系数为2/3 反比例函数的定义中需要注意什么？ (1)常数 k 称为比例系数,k是非零常数； (2)自变量x次数不是1,x 与 y 的积是非零常数； (3)除 k、x 、y三项以外,不含其他项。 反比例函数自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。 2.反比例函数的三种表现形式:(k为常数,k≠0) (1)y＝k／x (2)xy=k (3)y=kx-1(即:y等于x的负一次方,此处x必须为一次方) 2.K的几何含义: 反比例函数y＝k／x (k≠0)中比例系数k的几何意义,即过双曲线y＝k／x (k≠0)上任意一点P作x轴、y轴垂线,设垂足分别为A、B,则所得矩形OAPB的面积为|k|，所得三角形面积|k|/2。 二、反比例函数的图象和性质 1.图像: 反比例函数的图像是双曲线,他们关于原点成中心对称。双曲线只能与坐标轴无限靠近,永远不能与坐标轴相交。因为在y=k/x(k≠0)中,x不能为0,y也不能为0,所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y 轴相交。 2.性质: 当k>0时,两支曲线分别位于第一、三象限内,在每一象限内,y的值随x值的增大而减小； 当k<0时,两支曲线分别位于第二、四象限内,在每一象限内,y的值随x值的增大而增大。 三、用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤： ⑴设所求的反比例函数y＝k／x⑵将已知条件代入得到关于k的方程⑶解方程求出k的值 ⑷把k的值代入反比例函数y＝k／x中 四、反比例函数的应用： 1.建立反比例函数模型 2.求出反比例函数解析式 3.结合函数解析式图像性质做出解答，特别要注意自变量的取值范围。 第二章解直角三角形 一、锐角三角函数 在直角三角形ABC中,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,∠C为直角。则定义以下运算方式: sin ∠A=∠A的对边长/斜边长，sin A记为∠A的正弦；sinA=a/c cos∠ A=∠A的邻边长/斜边长，cos A记为∠A的余弦；cosA=b/c tan∠ A=∠A的对边长/∠A的邻边长, tanA=sinA/cosA=a/ b tan A记为∠A的正切 1.sin=对/斜 cos=邻/斜 tan=对/邻 2.sinA=cos(90°-A) cos A=sin(90°-A) tanA=sinA/cosA sin2A＋cos2A＝１
初中数学圆知识点总结
A 图5 圆的总结 一 集合: 圆:圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合; 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 二 轨迹: 1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆； 2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线; 3、到角两边距离相等的点的轨迹是:角的平分线; ４、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线 三 位置关系: 1点与圆的位置关系: 点在圆内 d<ｒ 点C 点在圆上 d=r 点Ｂ在圆上 点在此圆外 d ＞r 点Ａ在圆外 2 直线与圆的位置关系： 直线与圆相离 d>r 无交点 直线与圆相切 d=r 有一个交点 直线与圆相交 d ＜ 3 圆与圆的位置关系： 外离(图1） 无交点 外切(图2) 相交(图3） 内切（图４) 内含(图５) 无交点
D B B A 四 垂径定理： 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论１:（１)平分弦（不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧； （３)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 以上共４个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它３个结论，即： ①A Ｂ是直径 ②AB ⊥ＣＤ ③CE ＝DE ④ ⑤ 推论２:圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即:在⊙Ｏ中,∵AB ∥ＣD 五 圆心角定理 六 圆周角定理 圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半 即:∵∠AOB 和∠ACB 是 所对的圆心角和圆周角 ∴∠AOB=2∠ＡC Ｂ 圆周角定理的推论: 推论１:同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧 即：在⊙Ｏ中，∵∠C 、∠D 都是所对的圆周角 ∴∠C=∠D 推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径 即:在⊙O 中,∵AB 是直径 或∵∠C=90° ∴∠C=90° ∴ＡB 是直径 推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角 BC BD =AC AD =
初中数学九年级旋转知识点总结
初中数学九年级旋转知识点总结 1.旋转：在平面内，将一个图形绕一个图形按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。 图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变。 如下图所示： 2.旋转对称中心：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角小于0°，大于360°）。 3.旋转的性质 （1）对应点到旋转中心的距离相等。 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 4.中心对称图形与中心对称： 中心对称图形：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能 与自身重合，那么我们就说，这个图形成中心对称图形。 中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称。
5．中心对称和中心对称图形的区别 区别：中心对称是指两个全等图形之间的相互位置关系，这两个图形关于一点对称，这个点是对称中心，两个图形关于点的对称也叫做中心对称．成中心对称的两个图形中，其中一个上所有点关于对称中心的对称点都在另一个图形上，反之，另一个图形上所有点的对称点，又都在这个图形上；而中心对称图形是指一个图形本身成中心对称．中心对称图形上所有点关于对称中心的对称点都在这个图形本身上。 如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形；一个中心对称图形，如果把对称的部分看成是两个图形，那么它们又是关于中心对称。6.中心对称图形的判定 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。 7.中心对称的性质： 关于中心对称的两个图形是全等形。 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等。 8.坐标系中对称点的特征 （1）关于原点对称的点的特征 两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，-y） （2）关于x轴对称的点的特征 两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P’（x，-y） （3）关于y轴对称的点的特征 两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P’（-x，y）
初中数学知识点总结
初中数学知识点总结 一、基本知识 ㈠、数与代数A、数与式： 1、有理数 有理数：①整数→正整数/0/负整数 ②分数→正分数/负分数 数轴：①画一条水平直线，在直线上取一点表示0（原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。③如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点距离相等。④数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。正数大于0，负数小于0，正数大于负数。 绝对值：①在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。②正数的绝对值是他的本身、负数的绝对值是他的相反数、0的绝对值是0。两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 有理数的运算： 加法：①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。②异号相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。③一个数与0相加不变。 减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 乘法：①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。②任何数与0相乘得0。③乘积为1的两个有理数互为倒数。 除法：①除以一个数等于乘以一个数的倒数。②0不能作除数。 乘方：求N个相同因数A的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，A叫底数，N叫次数。 混合顺序：先算乘法，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里的。 2、实数 无理数：无限不循环小数叫无理数 平方根：①如果一个正数X的平方等于A，那么这个正数X就叫做A的算术平方根。②如果一个数X的平方等于A，那么这个数X就叫做A的平方根。③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。④求一个数A的平方根运算，叫做开平方，其中A叫做被开方数。 立方根：①如果一个数X的立方等于A，那么这个数X就叫做A的立方根。②正数的立方根是正数、0的立方根是0、负数的立方根是负数。③求一个数A的立方根的运算叫开立方，其中A叫做被开方数。 实数：①实数分有理数和无理数。②在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义和有理数范围内的相反数，倒数，绝对值的意义完全一样。③每一个实数都可以在数轴上的一个点来表示。 3、代数式 代数式：单独一个数或者一个字母也是代数式。 合并同类项：①所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。②把同类项合并成一项就叫做合并同类项。③在合并同类项时，我们把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。 4、整式与分式 整式：①数与字母的乘积的代数式叫单项式，几个单项式的和叫多项式，单项式和多项式统称整式。②一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。③一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。整式运算：加减运算时，如果遇到括号先去括号，再合并同类项。 幂的运算：AM+AN=A（M+N） （AM）N=AMN （A/B）N=AN/BN 除法一样。 整式的乘法：①单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的指数不变，作
九年级下册数学知识点归纳总结(附习题)
第二十六章 反比例函数 26.1知识点1 反比例函数的定义 一般地，形如x k y = （k 为常数，0k ≠）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解： ⑴x 是自变量，y 是x 的反比例函数； ⑵自变量x 的取值范围是0x ≠的一切实数，函数值的取值范围是0y ≠； ⑶比例系数0k ≠是反比例函数定义的一个重要组成部分； ⑷反比例函数有三种表达式： ①x k y = （0k ≠）， ②1kx y -=（0k ≠）， ③k y x =?（定值）（0k ≠）； ⑸函数x k y = （0k ≠）与y k x =（0k ≠）是等价的，所以当y 是x 的反比例函数时，x 也是y 的反比例函数。 （k 为常数，0k ≠）是反比例函数的一部分，当k=0时，x k y =，就不是反比例函数了。 26.2知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式 由于反比例函数x k y = （0k ≠）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。 26.3知识点3反比例函数的图像及画法 反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量0x ≠，函数值 0y ≠，所以它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但 永远达不到坐标轴。 反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。 再作反比例函数的图像时应注意以下几点： ①列表时选取的数值宜对称选取； ②列表时选取的数值越多，画的图像越精确； ③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线； ④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。 26.4知识点4反比例函数的性质 ☆关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表：
九年级数学圆知识点归纳
:从网络收集整理.word版本可编辑. 圆知识点归纳 一、圆的定义。 1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。 2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。 二、圆的各元素。 1、半径：圆上一点与圆心的连线段。 2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。 3、弦：连接圆上两点线段（直径也是弦）。 4、弧：圆上两点之间的曲线部分。半圆周也是弧。 （1）劣弧：小于半圆周的弧。 （2）优弧：大于半圆周的弧。 5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。 6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。 7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。 三、圆的基本性质。 1、圆的对称性。 （1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。 （2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。 （3 ）圆是旋转对称图形。 2、垂径定理。 （1）垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。 （2）推论： ?平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。 ?平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。 3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。（1）同弧所对的圆周角相等。 （2）直径所对的圆周角是直角；圆周角为直角，它所对的弦是直径。 4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距 五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。 5、夹在平行线间的两条弧相等。 6、设⊙O的半径为r，OP=d。 7、（1 （2 （直角三角形的外心就是斜边的中点。） 8、直线与圆的位置关系。d表示圆心到直线的距离，r表示圆的半径。 直线与圆有两个交点，直线与圆相交；直线与圆只有一个交点，直线与圆相切；直线与圆没有交点，直线与圆相离。 2 9A（x1，y1）、B（x2，y2）。 d= r 直线与圆相切。 d< r（r > d直线与圆相交。 d > r（r 第23章旋转知识点总结 一、旋转 1 、定义 把一个图形绕某一点0转动一个角度的_________________ 叫做旋转，其中0叫做______________ ， ________________ 叫做旋转角。 2、性质 （1）对应点到__________________ 的距离相等。 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于________________ 。 二、中心对称 1 、定义 把一个图形绕着某一个点旋转____________ ，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相____ ，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的_______________ 。 2、性质 （1）关于中心对称的两个图形是_______ 形。 （2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称_ ，并且被对称中心 _____________________________________________________ 。 （3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 3、判定 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点_______ ，那么这两个图形关于这一点对称。 三、坐标系中对称点的特征 1 、关于原点对称的点的特征 两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号__________ ，即点P（x，y）关于原点的对称点为P' （____ !__ ）______ 2、关于x轴对称的点的特征 两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x _________ ，y的符号 ________ ，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P' （____ — L _______ 3、关于y轴对称的点的特征 中考数学知识点 知识点1：一元二次方程的基本概念 1．一元二次方程3x 2+5x-2=0的常数项是-2. 2．一元二次方程3x 2+4x-2=0的一次项系数为4，常数项是-2. 3．一元二次方程3x 2-5x-7=0的二次项系数为3，常数项是-7. 4．把方程3x(x-1)-2=-4x 化为一般式为3x 2-x-2=0. 知识点2：直角坐标系与点的位置 1．直角坐标系中，点A （3，0）在y 轴上。 2．直角坐标系中，x 轴上的任意点的横坐标为0. 3．直角坐标系中，点A （1，1）在第一象限. 4．直角坐标系中，点A （-2，3）在第四象限. 5．直角坐标系中，点A （-2，1）在第二象限. 知识点3：已知自变量的值求函数值 1．当x=2时,函数y=32-x 的值为 1. 2．当x=3时,函数y= 2 1-x 的值为1. 3．当x=-1时,函数y= 3 21-x 的值为1. 知识点4：基本函数的概念及性质 1．函数y=-8x 是一次函数. 2．函数y=4x+1是正比例函数. 3．函数x y 2 1-=是反比例函数. 4．抛物线y=-3(x-2)2-5的开口向下. 5．抛物线y=4(x-3)2-10的对称轴是x=3. (1,2). 6．抛物线 2)1(2 1 2+-= x y 的顶点坐标是7．反比例函数x y 2=的图象在第一、三象限. 知识点5：数据的平均数中位数与众数 1．数据13,10,12,8,7的平均数是10. 2．数据3,4,2,4,4的众数是4. 3．数据1，2，3，4，5的中位数是3. 知识点6：特殊三角函数值 1．cos30°= 2 3. 2．sin 260°+ cos 260°= 1. 3．2sin30°+ tan45°= 2. 4．tan45°= 1. 5．cos60°+ sin30°= 1. 知识点7：圆的基本性质 1．半圆或直径所对的圆周角是直角. 2．任意一个三角形一定有一个外接圆. 3．在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆. 4．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等. 5．同弧所对的圆周角等于圆心角的一半. 6．同圆或等圆的半径相等. 7．过三个点一定可以作一个圆. 8．长度相等的两条弧是等弧. 初三下册数学知识点 1 二次函数及其图像 二次函数(quadratic function)是指未知数的次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为f(x)=ax bx c(a不为0)。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。 一般的，自变量x和因变量y之间存在如下关系： 一般式 y=ax∧2; bx c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a，-(4ac-b∧2)/4a) ; 顶点式 y=a(x m)∧2 k(a≠0,a、m、k为常数)或y=a(x-h)∧2 k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为(-m，k)对称轴为x=-m，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax ∧2的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式; 交点式 y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A(x1，0)和B(x2，0)的抛物线] ; 重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a牛顿插值公式(已知三点求函数解析式) y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2) (y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x3) (y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3) 。由此可引导出交点式的系数a=y1/(x1*x2) (y1为截距) 求根公式 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 求根公式 x是自变量，y是x的二次函数 x1,x2=[-b±(√(b -4ac))]/2a (即一元二次方程求根公式) 求根的方法还有因式分解法和配方法 在平面直角坐标系中作出二次函数y=2x的平方的图像， 可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。 不同的二次函数图像 如果所画图形准确无误，那么二次函数将是由一般式平移得到的。 注意：草图要有1本身图像，旁边注明函数。 2画出对称轴，并注明X=什么 3与X轴交点坐标，与Y轴交点坐标，顶点坐标。抛物线的性质 轴对称 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。 对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点P。 特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0) 顶点 2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，4ac-b ;)/4a ) 当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ= b ;-4ac=0时，P在x轴上。 开口 3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。 当a>0时，抛物线向上开口;当a|a|越大，则抛物线的开口越小。 决定对称轴位置的因素 4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。 当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左; 因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a当a与b异号时(即ab0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号 可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左;当a 圆知识点归纳 一、圆的定义。 1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。 2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。 二、圆的各元素。 1、半径：圆上一点与圆心的连线段。 2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。 3、弦：连接圆上两点线段（直径也是弦）。 4、弧：圆上两点之间的曲线部分。半圆周也是弧。 （1）劣弧：小于半圆周的弧。 （2）优弧：大于半圆周的弧。 5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。 6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。 7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。 三、圆的基本性质。 1、圆的对称性。 （1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。 （2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。 （3）圆是旋转对称图形。 2、垂径定理。 （1）垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。 （2）推论： ? 平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。 ? 平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。 3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。 （1）同弧所对的圆周角相等。 （2）直径所对的圆周角是直角；圆周角为直角，它所对的弦是直径。 4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。 5、夹在平行线间的两条弧相等。 6、设⊙O 的半径为r ，OP=d 。 7、（1）过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。 （2）不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交点，它到三个点的距 离相等。 （直角三角形的外心就是斜边的中点。） 8、直线与圆的位置关系。d 表示圆心到直线的距离，r 表示圆的半径。 直线与圆有两个交点，直线与圆相交；直线与圆只有一个交点，直线与圆相切； d = r 点P 在⊙O 上 d < r （r > d 点P 在⊙O 内 d > r （r 人教新版初中数学知识点总结（全面最新） 目录 一、七年级数学（上）知识点 1、有理数 2、整式的加减 3、一元一次方程 4、图形的认识初步 二、七年级数学（下）知识点 5、相交线与平行线 6、实数 7、平面直角坐标系 8、二元一次方程组 9、不等式与不等式组 10、数据的收集、整理与描述 三、八年级数学（上）知识点 11、三角形 12、全等三角形 13、轴对称 14、整式的乘除与分解因式 15、分式 四、八年级数学（下）知识点 16、二次根式 17、勾股定理 18、平行四边形 19、一次函数 20、数据的分析 五、九年级数学（上）知识点 21、一元二次方程 22、二次函数 23、旋转 24、圆 25、概率 六、九年级数学（下）知识点 26、反比例函数 27、相似 28、锐角三角函数 29、投影与视图 七年级数学（上）知识点 第一章 有理数 一． 知识框架 二．知识概念 1.有理数： (1)凡能写成)0p q ,p (p q ≠为整数且形式的数，都是有理数. (2)有理数的分类: ① ??? ?????? ????负分数负整数 负有理数零正分数正整数 正有理数有理数 ② ???????????????负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 注意：0即不是正数，也不是负数； -a 不一定是负数，+a 也不一定是正数； π不是有理数； 2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3．相反数： (1)只有符号不同的两个数，互为相反数，即a 和- a 互为相反数； 0的相反数还是0； (2) a+b=0 ? a 、b 互为相反数. 4.绝对值： (1)绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； (2) ?? ???<-=>=) 0()0(0) 0(a a a a a a 或???<-≥=)0a (a ) 0a (a a 或???≤->=)0()0(a a a a a ； 正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数； 绝对值的问题经常分类讨论，零既可以和正数一组也可以和负数一组； 5.有理数比大小： 两个负数比大小，绝对值大的反而小； 数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大； 大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0. 6.倒数：乘积为1的两个数互为倒数； 注意：0没有倒数； 若 a ≠0，那么a 的倒数是a 1； 若ab=1? a 、b 互为倒数； 若ab=-1? a 、b 互为负倒数. 7. 有理数加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对 ----- 初三数学知识整理与重点难点总结 第21 章二次根式 知识框图 理解并掌握下列结论： （1）是非负数；（2）；（3）； I.二次根式的定义和概念： 1、定义：一般地，形如√ā（a≥0）的代数式叫做二次根式。当a＞0 时，√ a 表示 a 的算数平方根 ,√0=0 2、概念：式子√ā（a≥0）叫二次根式。√ā（a≥ 0）是一个非负数。 II.二次根式√ā 的简单性质和几何意义 1）a≥0; √ā≥0[双重非负性] 2）（√ā）^2=a（a≥0）[任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式] 3)√(a^2+b^2) 表示平面间两点之间的距离，即勾股定理推论。 IV. 二次根式的乘法和除法 1运算法则 √a·√ b= √ab（ a≥ 0，b≥0） -1- ---- √a/b= √a/√ b（a≥ 0，b>0 ） 二数二次根之积，等于二数之积的二次根。 2共轭因式 如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做共轭因式，也称互为有理化根式。 V.二次根式的加法和减法 1同类二次根式 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。 2合并同类二次根式 把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。 3二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并Ⅵ.二次根式的混合运算 1确定运算顺序 2灵活运用运算定律 3正确使用乘法公式 4大多数分母有理化要及时 5在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化 VII.分母有理化 分母有理化有两种方法 I.分母是单项式 如:√a/ √b= √a×√ b/√b×√ b=√ ab/b初三数学旋转知识点总结
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