5-1 等价集合
等价关系和集合分类
等价关系和集合分类 ＝{所有实数} ：→为（，b）＝对，若b->0 （，b）＝错，若b->0不成立。则是上的一个关系。其实，就是上的“<”关系。从的元间的关系的定义可看，当给定一个集合后，该集合上有很多不同的关系，其中有一些是重要的，有些是并非重点。现给出若干重要关系。设有的元间关系（Ⅰ）若对，，则称为自反关系（Ⅱ）若b，则b，则称为对称关系（Ⅲ）若b，则b ，则称为反对称关系（Ⅳ）若b，若bc，则c，则称为传递关系特别，满足（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ），则称为等价关系，此时用～表示。Ex：“等于”这个关系是一个等价关系Ex：＝{平面上直线}，定义的上关系为：，∈时∥ （＝认为平行）则易证为等价关系。定义：若把一个集合分成若干个叫做类的子集，使得的每个元属于而且只属于一个类，则称这些类的全体为集合的一个分类。注：分类也可以如下定义，为的非空子集族，满足（ⅰ）＝（要求）（ⅱ）*等价关系与集合的分类的关系有如下重要结果。定理1：集合的一个分类决定的元间的一个等价关系。（证明）：设、，定义 b，如果,b在同一个类中则（Ⅰ）因和一定在同一个分类中，于是，（Ⅱ）若b，说明，b在同一个类中，于是b，（Ⅲ）若b，bc，则，b在同一类中，b，c在同一个类。因为该类有公共元素c，于是该两类其实是相同的。于是，c在同一类中，所以c，由（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）知为的元间的等价关系。定理2：集合
的元间的一个等价关系决定一个分类。（证明）：对给定，记[]＝｛∣～b｝,考查｛[]∣｝。（ⅰ）若～b，则[]＝[b]。事实上，当c[]，则c～，于是c～b∴c[b]，故[] [b]。同理可证[b] []。∴[]＝[b]。（ⅱ）若[b] [c]，则～b且～cb～c[b]＝[c]于是 [b] [c] ＝[b]或（ⅲ）对，～，于是[]。所以＝由（ⅰ）（ⅱ）（ⅲ）可知｛ []∣｝是的一个分类。定义：一个集合的一个分类的每一个元素中的任何元素叫做该类的一个代表，刚好由每一类的一个代表做成的集合叫做一个全体代表团。例＝，取，对,b，定义 b，如果、易证为的一个等价关系、若，其中0≤，＜，则，于是可知＝而＝说明≡(n)、于是上述等价关系叫做模n的同于关系。由于的等价关系，因此带来一个分类，易求每一个分类为[0]＝｛…,-2n,-n,0,n,2n,…｝[1]＝｛…,-2n+1,- n+1,1,n+1,2n+1,…｝……[n-1]＝｛…,-n-1,-1, n-1,2n-1,…｝、
等价关系和集合分类
§8 等价关系和集合分类 设A ≠?，D 只含两个元，不妨设D ＝{0,1}或D ={对，错} 定义：称一个A ×A 到D 的映射R 为A 的元间的一个关系。 若R （a ，b ）＝1则称a 和b 符合关系R ，记a R b 若R （a ，b ）＝0则称a 和b 不符合关系R ，记为a R b. 定义：称A ×A 的任何子集为A 上的一个关系。 其实，以上两个定义是等价的。 例 A ＝{所有实数} R ：A ×A →D 为R （a ，b ）＝对，若b-a >0 R （a ，b ）＝错，若b-a >0不成立。 则R 是A 上的一个关系。其实，R 就是 上的“<”关系。 从 A 的元间的关系的定义可看，当给定一个集合后，该集合上有很多不同的关系，其中有一些是重要的，有些是并非重点。 现给出若干重要关系。设有A 的元间关系R （Ⅰ）若对a ?，a R a ，则称R 为自反关系 （Ⅱ）若a R b ，则b R a ，则称R 为对称关系 （Ⅲ）若a R b ，则b R a ，则称R 为反对称关系 （Ⅳ）若a R b ，若b R c ，则a R c ，则称R 为传递关系 特别， R 满足（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ），则称R 为等价关系，此时用～表示R 。 Ex ：“等于”这个关系是一个等价关系 Ex ：A ＝{平面上直线}，定义A 的上关系R 为：1l ，2l ∈A 时 1l R 2l ?1l ∥2l （1l ＝2l 认为平行） 则易证R 为等价关系。 定义：若把一个集合A 分成若干个叫做类的子集，使得A 的每个元属于而且只属于一个类，则称这些类的全体为集合A 的一个分类。 注：分类也可以如下定义，{}i i x ∈∧为x 的非空子集族，满足 （ⅰ）i i x ∈∧ ＝x （要求∧≠?） （ⅱ）,,i i j x i j x x i j =??=??≠? *等价关系与集合的分类的关系有如下重要结果。 定理1：集合A 的一个分类决定A 的元间的一个等价关系。 （证明）：设a 、b A ∈，定义 a R b ，如果a ,b 在同一个类中 则 （Ⅰ）因a 和a 一定在同一个分类中，于是a R a ， （Ⅱ）若a R b ，说明a ，b 在同一个类中，于是b R a ， （Ⅲ）若a R b ，b R c ，则a ，b 在同一类中，b ，c 在同一个类。因为该类有公共元素c ，于是该两类其实是相同的。于是a ，c 在同一类中，所以a R c ，
等价关系
“关系”一词，在日常生活中十分常见，在学校，有同学关系、师生关系、同事关系等； 在家庭中，有兄弟姐妹关系，父子关系、母女关系等；在一般的工作单位，有师徒关系、上 下级关系等等。在研究科学中也有很多关系，如数学中的数的大小比较关系、整数中整除关 系、函数关系、集合中的包含关系；计算机软件的程序与其子程序关系等。 为了数学的方法来研究这类关系，我们将用集合论的观点来描述这类关系。 例如，集合{}e d c b a A ,,,,=，为五个人组成的集合，其中他们中，a 是b 的父亲，c 是d 的 父亲，c 也是e 的父亲。现将集合A 的父子关系用有序对表示，即为),(),,(),,(e c d c b a 。把 这三个有序对组成一个集合{}),(),,(),,(e c d c b a R =，我们把R 这种由集合A 导出的有序 对组成的集合R ，叫做A 上关系 R 。 我们称集合R 为集合A 的父子关系集合（简称关系）。 我们把13个数组成的集合{}10,,3,2,1 =A 也建立几个关系。 二、建立关系举例： 1、 它们之间的小于等于关系R ； ()()()()()()(){},13,13,13,12,,3,2,2,2,3,1,2,1,1,1 =R 2、 它们除以3以后余数相同的关系1R ； ()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()? ?????=,10,10,7,10,4,10,1,10,9,9,6,9,3,9,8,8,5,8,2,8,10,7,7,7,4,7,1,7,9,6,6,6,3,6,8,5,5,5,2,5,10,4,7,4,4,4,1,4,9,3,6,3,3,3,8,2,5,2,2,2,10,1,7,1,4,1,1,12R 3、它们之间的整除关系2R ； ()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()? ?????=10,10,9,9,8,8,7,7,6,6,10,5,5,5,8,4,4,4,9,3,6,3,3,3,10,2,8,2,6,2,4,2,2,2,10,1,2,1,1,13 R 注意：关系有两大类关系：A 到B 的关系，A 上的关系；我们主要讨论A 上的关系。 三、关系的几种表示方法： 1、图形表示； 2、表格表示； 3、矩阵表示； 比如：{ }5,4,3,2,1=A 上的R 关系为()()()()()()(){},4,5,2,4,5,3,3,3,3,2,2,22,1=R 则??????? ? ??=01000000101010000110 00010R A
“等价关系”部分习题参考答案
《二元关系》部分习题参考答案 3.5 等价关系和划分（P129） 第2题 证明：?x∈A，
(c)它不是等价关系。因为<0,0>?R,故它不具有自反性，有<0,1>∈R,但<1,0>?R，故它不具有对称性。R诱导的等价关系是： {
等价关系与等价类
定义10.6.1对非空集合上的关系，如果是自反的、对称的和传递的，则称为上的等价关系。 等价关系的例子很多，如平面上三角形集合中，三角形的相似关系是等价关系；上海市的居民的集合中，住在同一区的关系也是等价关系。 等价关系的关系图具有以下特征： 1．每个结点都由自回路，即R是自反的； 2．两个结点a,b之间若有从a指向b的弧，就有从b指向a的弧，即R是对称的； 3．若有从a指向b的弧，且有从b指向c的弧，就有从a指向c的弧，即R是传递的。 第9章给出了用平面坐标系中的矩形表示笛卡儿积的图形表示法。显然可以用正方形表示 ，如图10.6.2(a)所示。A上的关系是的子集，因此可以用正方形的子集表示。A上的等价关系可以用正方形的一条对角线和线上的若干正方形表示。如图10.6.2(b)所示。但图10.6.2(c)所表示的关系不是等价关系。它包括了对角线，所以有自反性。它以对角线为对称轴，所以有对称性。但它没有传递性。因为R中的a和b点对应的有序对，经传递得到c点对应的有序对应在R中，但c点不在R中。 图10.6.2 例1在非空集合A上的恒等关系和全关系都是等价关系。在所有谓词公式的集合上的等值关系也是等价关系。 例2集合上的关系 。 其中表示可被3整除。 对任意的可被3整除。若可被3整除，则也可被3整除。若和 可被3整除，则可被3整除。所以，R具有自反性、对称性和传递性， R是A上的等价关系。 R的关系图如图10.6.1所示。在图中，A的元素被分成三组，每组中任两个元素之间都有关系，而不同组的元素之间都没有关系。这样的组称为等价类。 图10.6.1
定义10.6.2R是非空集合A上的等价关系，对任意的，令 则称集合为x关于R的等价类，简称x的等价类，也可简记作[x]或。 例3对例2的等价关系R,有三个不同的等价类: ， ， 。 A的8个元素各有一个等价类。各等价类之间，或者相等，或者不相交。而且所有等价类的并集就是A。 整数集合Z上的模n等价关系，即 可以根据任何整数除以n（n为正整数）所得余数进行分类，构成n个等价类，记作 即 ﹒﹒﹒﹒﹒﹒ 定理10.6.1R是非空集合A上的等价关系，对任意的，成立 （1）且， （2）若，则， （3）若，则，
第1章 §1.4 等价关系
§1.4等价关系 初等数论中的同余类的概念，群论中的商群的概念，乃至于解析几何中的自由向量的概念等等都是读者所熟知的．这些概念的精确定义事实上都有赖于本节中所讨论的等价关系的概念．在本书中我们将通过等价关系来定义拓扑空间的商空间． 定义1.4.1 设X是一个集合．从集合X到集合X的一个关系将简称为集合X中的一个关系．集合X中的关系{（x，x）|x∈X}称为恒同关系，或恒同，对角线，记作△（X）或△． 定义1.4.2 设R是集合X中的一个关系.关系R称为自反的，如果△(X)R，即对于任何x∈X，有xRx；关系R称为对称的，如果，即对于任何x，y∈X，如果xRy则 yRx；关系R称为反对称的，如果，即对于任何x，y∈X，xRy和yRx不能同 时成立；关系R称为传递的，如果R R R，即对于任何x，y，z∈X，如果xRy，yRz，则有xRz． 集合X中的一个关系如果同时是自反、对称和传递的，则称为集合X中的一个等价关系． 容易验证集合X中的恒同关系△（X）是自反、对称、传递的,因此是X中的一个等价关系． 集合X的幂集P(X)中两个元素（即集合X的两个子集）之间的“相等关系”可以理解为集合P(X)×P(X)的子集 {（A，B）|A，B∈P(X)，A=B} 从定理1.1.l中可见，它是自反、对称、传递的，因此是P（X）中的一个等价关系． 集合X的幂集P(X)中两个元素（即集合X的两个子集）之间的“包含关系”可以理解为集合P(X）×P(X)的子集 {（A，B）|A，B∈P (X)，A B} 根据定理1.1.2可见，它是自反的、传递的，但容易知道它不是对称的，因此不是P(X)中的一个等价关系． 集合X的幂集P(X)中两个元素（即集合X的两个子集）之间的“真子集关系”可以理解为集合P(X)×P(X)的子集 {(A，B)|A，B∈P(X)，A B,A≠B} 根据定理1.1.3可见，它是反对称的，传递的，但它不是自反的，因而不是P(X)中的一个等价关系．
等价关系与集合的分类
第 4 讲 §10 等价关系与集合的分类（2课时）本讲教学目的和要求：周知，映射是两个集合之间建立联系的一种方法，利用这种联系来对两个集合进行比较，通过这种比较就能由一个集合的性质去推测另一个集合可能有的性质。除了这种认识事物的方法之外，有时也要把一个集合分成若干个子集，对各个子集进行分门别类地研究或者对某些特殊的子集加以讨论，这种讨论有益于对原来的集合的研究。这种以局部到整体地认识事物的方法，在高等代数中已屡见不鲜，而在近世代数中更是不可缺少的，甚至是无处不有的。本讲中将分成两个层次分别介绍集合的分类以及讨论集合进行分类的一般原则——等价关系。 本讲中要求同学们能真正掌握集合的分类与等价关系它们的内在联系和互相转化的过程。 本讲的重点和难点： （1）“集合分类”的定义（尤其是分类的三大特点）。 （2）集合上的关系及等价关系(要求能辨别出是否等价关系) （1）上述两个概念的相互转化问题。 （2）一个重要的实例——模m的剩余类集合。 本讲的教法和教具：本讲中仍采用投影仪辅助教学。在教学过程中，由于其概念较多，内容也颇抽象，则需要耐心、循序渐进，将每个概念都讲透。
本讲思考题及作业：思考题都穿插安排在教学内容之中，作业置后。 一、集合的分类 例1、设整数集},4,3,2,1,0,1,2,3,4,{ ----=Z ，并令 },34{} ,24{} ,14{} ,4{3210Z q q n Z n A Z q q n Z n A Z q q n Z n A Z q q n Z n A ∈+=∈=∈+=∈=∈+=∈=∈=∈= 可知，)3,2,1,0(=i A i 是整数集Z 的一些子集，并具有以下特征： （1）)3,2,1,0(=?≠i A i （2）j i A A j i ≠??= （3） 30 3210===i i A A A A A Z 这三条性质说明，整数集Z 恰好被分成一些（四个）两两不相交的非空子集的并，这里的每个子集恰好由除以4余数相同的整数组成。 一般的，任取一个正整数m ，都能将Z 分解成m 个两两不相交的非空子集的并，使得每个子集恰好是由除以m 余数相同的整数组成的。特别地，取2=m 时,Z 则被分解成偶数子集和奇数子集的并。 例2、设{}2,1,;)()(2=∈=j i R a a R M ij ij 是R 上一切二阶矩阵组成的集合，令 {}{}{}2)()()(1)()()(0 )()()(2221 20=∈==∈==∈=ij ij ij ij ij ij a R M a A a R M a A a R M a A 秩秩秩 易知，)(2R M 的这些子集（三个子集）满足以下特征：
等价关系与偏序关系复习题答案
第5章 等价关系与偏序关系 一、选择题（每题3分） 1、设Z 为整数集，下面哪个序偶不够成偏序集（ A ） A 、)(,小于关系：<><
新课标高一数学集合知识点
新课标高一数学集合知识点 1.集合的有关概念。 1集合集：某些指定的对象集在一起就成为一个集合集.其中每一个对象叫元素 注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。 ②集合中的元素具有确定性a?A和a?A，二者必居其一、互异性若a?A，b?A，则a≠b 和无序性{a,b}与{b,a}表示同一个集合。 ③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件 2集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法 3集合的分类：有限集，无限集，空集。 4常用数集：N，Z，Q，R，N* 2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。 1子集：若对x∈A都有x∈B，则A B或A B; 2真子集：A B且存在x0∈B但x0 A;记为A B或，且 3交集：A∩B={x| x∈A且x∈B} 4并集：A∪B={x| x∈A或x∈B} 5补集：CUA={x| x A但x∈U} 注意：①? A，若A≠?，则? A ; ②若，，则 ; ③若且，则A=B等集 3.弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：1 与、?的区别;2 与的区别;3 与的区别。 4.有关子集的几个等价关系 ①A∩B=A A B;②A∪B=B A B;③A B C uA C uB; ④A∩CuB = 空集CuA B;⑤CuA∪B=I A B。
5.交、并集运算的性质 ①A∩A=A，A∩? = ?，A∩B=B∩A;②A∪A=A，A∪? =A，A∪B=B∪A; ③Cu A∪B= CuA∩CuB，Cu A∩B= CuA∪CuB; 6.有限子集的个数：设集合A的元素个数是n，则A有2n个子集，2n-1个非空子集，2n-2个非空真子集。 【例1】已知集合M={xx=m+ ,m∈Z},N={xx= ,n∈Z},P={xx= ,p∈Z}，则M,N,P满足 关系 A M=N P B M N=P C M N P D N P M 分析一：从判断元素的共性与区别入手。 解答一：对于集合M：{xx= ,m∈Z};对于集合N：{xx= ,n∈Z} 对于集合P：{xx= ,p∈Z}，由于3n-1+1和3p+1都表示被3除余1的数，而6m+1表 示被6除余1的数，所以M N=P，故选B。 分析二：简单列举集合中的元素。 解答二：M={…，，…}，N={…， , , ，…}，P={…， , ，…}，这时不要急于判 断三个集合间的关系，应分析各集合中不同的元素。 = ∈N，∈N，∴M N，又 = M，∴M N， = P，∴N P 又∈N，∴P N，故P=N，所以选B。 点评：由于思路二只是停留在最初的归纳假设，没有从理论上解决问题，因此提倡思 路一，但思路二易人手。 变式：设集合，，则 B A.M=N B.M N C.N M D. 解： 当时，2k+1是奇数，k+2是整数，选B 【例2】定义集合A*B={xx∈A且x B}，若A={1,3,5,7},B={2,3,5}，则A*B的子集个数为 A1 B2 C3 D4
等价关系与集合的分类
§10 等价关系与集合的分类 一、关系 定义10.1 设A 是集合，{} 对，错=D 。一个A A ?到D 的映射R 叫做A 的元间一个关系如果对=),(b a R ，则说a 与b 符合关系R ，记作aRb ；如果错=),(b a R ，则说a 与b 不符合关系R 。 例1 设A =R (实数集)。 0),(:1>-a b b a R 对，若 ; 0),(≤-a b b a 错，若 ； b a b a R =对，若 ),(:2; b a b a ≠错，若 ),(； b a b a R 2),(:3=对，若 ; b a b a 2),(≠错，若 ； 1),(:224=+b a b a R 对，若 ; 1),(22≠+b a b a 错，若 ； 都是实数R 的元间的关系。其中21,R R 分别是通常的<的关系和=的关系。 作为一种特殊的关系，有 定义10.2 集合A 的元间一个关系~叫做一个等价关系，如果~满足以下规律： (1) ,~A a a a ∈?， (自反性)；(2) A b a a b b a ∈?,~~， (对称性)； (3) c a c b b a ~~~?， A c b a ∈,, (传递性)。 若b a ~，则称a 与b 等价。 例1中2R 是等价关系。 二．分类 定义10.3 设一个集合A 分成若干个非空子集，使得A 中每一个元素属于且只属于一个子集，则这些子集的全体称为A 的一个分类。每一个子集称为一个类。类里任何一个元素称为这个类的一个代表。刚好由每一类一个代表作成的集合叫做一个全体代表团。 注：由定义可知，A 的非空子集S }|{I i A i ∈=是A 的一个分类当且仅当其满足下列性质： (1) A A I i i =∈ (2)当j i ≠时，Φ=j i A A ，即不同的类互不相交。 例2 设}6,5,4,3,2,1{=A ，则 }}6,5,4}.{3{},2,1{{1=S 是A 的一个分类，但是}}6,5{},4,3,2{},2,1{{2=S 不是A 的一个分类，因为}2{}4,3,2{}2,1{= 。}}6,5{},4,3{},1{{3=S 也不是A 的一个分类，因为}2{不
等价关系与划分
4.4 等价关系与划分 等价关系：同时具有自反、对称和传递性。等价关系是最重要、最常见的二元关系之一。
4.4 等价关系与划分 定义4.13设R为非空集合A上的关系，如果R是自反的、对称的和传递的定义4.13 ，则称R为A上的等价关系。设R为等价关系，如果
设A ={1, 2, …, 8}，A 上的关系R 定义如下： R={
Sed ut perspiciatis unde omnis.68%定义4.14设R 为非空集合A 上的等价关系， x ∈A ，令[x]R ={y | y ∈A ∧xRy} 称[x]R 为x 关于R 的等价类，简称为x 的等价类，简记为[x]。x 的等价类就是A 中所有与x 等价的元素构成的集合。如例4.21中的等价类有： [1] = [4] = [7] = {1, 4, 7} [2] = [5] = [8] = {2, 5, 8} [3] = [6] = {3, 6}4.4 等价关系与划分 定理4.14
等价关系
定义1.4.1 定理1.4.1 作业 §1.4等价关系 初等数论中的同余类的概念，群论中的商群的概念，乃至于解析几何中的自由向量的概念等等都是读者所熟知的．这些概念的精确定义事实上都有赖于本节中所讨论的等价关系的概念．在本书中我们将通过等价关系来定义拓扑空间的商空间． 定义1.4.1 设X是一个集合．从集合X到集合X的一个关系将简称为集合X中的一个关系．集合X中的关系{（x，x）|x∈X}称为恒同关系，或恒同，对角线，记作△（X）或△． 定义1.4.2 设R是集合X中的一个关系.关系R称为自反的，如果△(X)R，即对于任何x∈X，有xRx；关系R称为对称的，如果，即对于任何x，y∈X，如果xRy则 yRx；关系R称为反对称的，如果，即对于任何x，y∈X，xRy和yRx不能同 时成立；关系R称为传递的，如果R R R，即对于任何x，y，z∈X，如果xRy，yRz，则有xRz． 集合X中的一个关系如果同时是自反、对称和传递的，则称为集合X中的一个等价关系． 容易验证集合X中的恒同关系△（X）是自反、对称、传递的,因此是X中的一个等价关系． 集合X的幂集P(X)中两个元素（即集合X的两个子集）之间的“相等关系”可以理解为集合P(X)×P(X)的子集 {（A，B）|A，B∈P(X)，A=B} 从定理1.1.l中可见，它是自反、对称、传递的，因此是P（X）中的一个等价关系． 集合X的幂集P(X)中两个元素（即集合X的两个子集）之间的“包含关系”可以理解为集合P(X）×P(X)的子集 {（A，B）|A，B∈P (X)，A B} 根据定理1.1.2可见，它是自反的、传递的，但容易知道它不是对称的，因此不是P(X)中的一个等价关系．
等价关系离散数学分解
等价关系（4学时） 【教学目的】 了解、掌握等价关系及相应的等价类与集合划分的基本概念及例子 【教学要求】 正确地掌握等价关系及相应的等价类与集合划分之间的关系；给定A上的等价关系R，会求所有的等价类和商集A/R，或者求与R相对应的划分；反之给定集合 A上的划分π，求对应于π的等价关系 【教学重点】 等价关系、偏序关系的各种性质的判断和证明； 【教学难点】 如何正确地掌握等价关系及相应的等价类与集合划分之间的关系 【教学方法】 讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。 【教学手段】 传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 【课型】新授课 教学过程 4.1一种特殊的二元关系——等价关系(Equivalence Relation). 一、等价关系(Equivalence Relation) 1、定义4.18 设R为非空集合上的关系.如果R是自反的、对称的和传递的, 则称R为A 上的等价关系.设R是一个等价关系, 若
等价关系习题.doc
习题十 :等价关系与等价类 ‘‘ 1．设R和R是集合A上的等价关系，用例子证明R R 不一定是等价关系。 2．试问由 4 个元素组成的有限集上所有的等价关系的个数为多少 3．给定集合S =｛1，2，3，4，5｝，找出 S 上的等价关系R ，此关系 R 能够产生划分｛｛1，2｝，｛ 3｝，｛4， 5｝｝并画出关系图。 4．设R是一个二元关系，设S｛a,b |对于某一c，有a, c R 且 c,b R ｝，证 明若 R 是一个等价关系，则S 也是一个等价关系。 5．设正整数的序偶集合 A ，在 A 上定义的二元关系R 如下：x, y , u, v R, 当且仅当xv yu ，证明 R 是一个等价关系。 6．设R是集合A上的对称和传递关系，证明如果对于 A 中的每一个元素a，在A中同时也存在一个b，使a, b 在R之中，则R是一个等价关系。 7．设R1和R2是非空集合A 上的等价关系，确定下述各式，哪些是 A 上的等价关系，对不是的提供反例证明。 a)(A A) R1 b)R1 R2 c)R12 d) r (R1R2) ( 即R1 R2的自反闭包)。 8．设C* 是实数部分非零的全体复数组成的集合，C* 上关系 R定义为：（ a b i ) R(c d i ) ac 0 ，证明R是等价关系，并给出关系R 的等价类的几何说明。 9．设和‘ A ‘ 和诱导的等价关系，那是非空集合上的划分，并设 R 和 R 是分别由 么，细分的充要条件是R R 。 10．设R j表示I上的模j 等价关系， R k表示I上的模k等价关系，证明I/ R k细分I/ R j 当且仅当 k 是 j 的整数倍。 11． A， B 是全集 E 的子集，各命题及由这些命题构成的集合X 如下所示。 X p, q, r, s, t,u, v, w, y, z ，其中