自考作业答案概率论与数理统计
答案和题目
概率论与数理统计（经管类）综合试题一
（课程代码 4183）
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.下列选项正确的是 ( B ).
A. A B A B +=+
B.()A B B A B +-=-
C. (A-B )+B =A
D. AB AB = 2.设
()0,()0
P A P B >>，则下列各式中正确的是
( D ).
(A -B )=P (A )-P (B ) (AB )=P (A )P (B )
C. P (A +B )=P (A )+P (B )
D. P (A +B )=P (A )+P (B )-P (AB )
3.同时抛掷3枚硬币，则至多有1枚硬币正面向上的概率是 ( D ).
A. 18
B. 16
C. 14
D. 1
2
4.一套五卷选集随机地放到书架上，则从左到右或从右到左卷号恰为1，2，3，4，5顺序的概率为 ( B ).
A.
1120 B. 160
C. 1
5 D. 12 5.设随机事件A ，B 满足B A ?，则下列选项正确的是 ( A ).
A.()()()P A B P A P B -=-
B. ()()P A B P B +=
C.(|)()P B A P B =
D.()()P AB P A =
6.设随机变量X 的概率密度函数为f (x )，则f (x )一定满足
( C ). A. 0()1f x ≤≤ B. f (x )连续
C. ()1f x dx +∞-∞
=?
D. ()1f +∞=
7.设离散型随机变量X 的分布律为(),1,2,...2k
b
P X k k ==
=，且0b >，则参数b 的
值为
( D ).
A.
12
B. 13
C. 1
5 D. 1
8.设随机变量X , Y 都服从[0, 1]上的均匀分布，则()E X Y += ( A ).
9.设总体X 服从正态分布，21,()2EX E X =-=,1210,,...,X X X 为样本，则样本均值
10
1
110i
i X X ==∑~
( D ).
A.(1,1)N -
B.(10,1)N
C.(10,2)N -
D.1
(1,
)10
N - 10.设总体2123(,),(,,)X N X X X μσ:是来自X 的样本，又12311?42
X aX X μ
=++ 是参数μ的无偏估计，则a = ( B ).
A. 1
B.
1
4 C. 12
D. 13
二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
11.已知12
1(),(),()433
P A P B P C ===，且事件C ,B ,A 相互独立，则事件A ，B ，
C 至少有一个事件发生的概率为 .
12. 一个口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取两个球，则这两个球恰有一个白球一个黑球的概率是.
13.设随机变量X 的概率分布为
)(x F 为X 的分布函数，则(2)F = .
14. 设X 服从泊松分布，且3=EX ，则其概率分布律为 .
15.设随机变量X 的密度函数为22,0
()0,0x e x f x x -?>=?≤?
,则E (2X +3) =
4 .
16.设二维随机变量(X , Y )的概率密度函数为22
21(,),2x y
f x y e π
+
-= (,)x y -∞<<+∞.则(X , Y )关于X 的边缘密度函数()X f x = .
17.设随机变量X 与Y 相互独立，且1
()0.5,(1)0.3,2
P X P Y ≤=≤=则
1
(,1)2
P X Y ≤≤= .
18.已知,4,1,0.5X Y DX DY ρ===，则D (X -Y )= 3 .
19.设X 的期望EX 与方差DX 都存在，请写出切比晓夫不等式 . 20. 对敌人的防御地段进行100次轰炸，每次轰炸命中目标的炮弹数是一个随机变量，其数学期望为2，方差为，则在100轰炸中有180颗到220颗炮弹命中目标的概率为 . (附：0(1.33)0.908Φ=)
21.设随机变量X 与Y 相互独立，且22(3),(5)X Y χχ::，则随机变量
53X
Y
: F (3，5) . 22.设总体X 服从泊松分布P (5)，12,,,n X X X L 为来自总体的样本，X 为样本均值，则E X = 5 .
23.设总体X 服从[0,θ]上的均匀分布,(1, 0, 1, 2, 1, 1)是样本观测值,则θ的矩估计为_____2_____ .
24.设总体),(~2σμN X ，其中2
02σσ=已知，样本12,,,n X X X L 来自总体X ，
X 和2S 分别是样本均值和样本方差，则参数μ的置信水平为1-α的置信区间为 .
25.在单边假设检验中，原假设为00:H μμ≤，则备择假设为H 1： . 三、计算题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
26.设A ，B 为随机事件，()0.3,(|)0.4,(|)0.5P A P B A P A B ===，求()P AB 及
()P A B +.
.解：；
由得：，而，故
.从而
27.设总体
()
x
e x
X f x
λ
λ-
?>
=?
?
～
其它
，其中参数0
λ>未知，)
,
,
,
(
2
1n
X
X
XΛ
是来自X的样本，求参数λ的极大似然估计.
解：设样本观测值则
似然函数
取对数ln得：，令，
解得λ的极大似然估计为.或λ的极大似然估计量为.四、综合题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
28.设随机变量X的密度函数为
1,02
2
()
0,
x x
f x
?<<
?
=?
??其它
，求：(1)X的分布
函数F(x)；(2)
1
(1)
2
P X
-<≤；(3) E(2X+1)及DX.
解：(1)当x<0时，F(x)=0.当时，.
当时，.
所以，X的分布函数为： .
(2)=
或=
(3)因为
所以，； .
29.二维离散型随机变量(X ,Y )的联合分布为
(1)求X 与Y 的边缘分布；(2)判断X 与Y 是否独立 (3)求X 与Y 的协方差
),(Y X Cov .
(1)因为, ,
所以，边缘分布分别为：
(2)因为,而,
,所以X 与Y 不独立；
(3)计算得：,所以 =五、应用题（10分）
30. 已知某车间生产的钢丝的折断力X 服从正态分布N (570, 82
).今换了一批材料，从性能上看，折断力的方差不变.现随机抽取了16根钢丝测其折断力， 计算得平均折断力为，在检验水平0.05α=下，可否认为现在生产的钢丝折断力仍为570 (0.025 1.96u =)
解：一个正态总体，总体方差已知，检验检验统计量为检验水平临界值为得拒绝域：|u |>.计算统计量的值：所以拒绝H 0，即认为现在生产的钢丝折断力
不是570.
概率论与数理统计（经管类）综合试题二
（课程代码 4183）
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.某射手向一目标射击3次，i A 表示“第i 次击中目标”，i =1,2,3，则事件“至
少击中一次”的正确表示为 ( A ). A. 123A A A U U B. 123A A A C. 123A A A D. 123A A A
2. 抛一枚均匀的硬币两次，两次都是正面朝上的概率为 ( C ). A.
12 B. 13 C. 14
D. 1
5 3. 设随机事件A 与B 相互对立，且0)(>A P ，0)(>B P ，则有 (C ).
A. A 与B 独立
B. ()()P A P B >
C. )()(B P A P =
D. ()()P A P B =
4. 设随机变量X 的概率分布为
则(10)P X -≤≤= ( B ).
A. B. C. D. 1
5. 已知随机变量X 的概率密度函数为??
?≤≤=其他
10)(2
x ax x f ，则a =
(D ).
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
6.已知随机变量X 服从二项分布，且44.14.2==DX EX ，，则二项分布中的参数n ,p 的值分别为 ( B ). A.6.04==p n ， B.4.06==p n ， C.3.08==p n ， D.1.024==p n ，
7. 设随机变量X 服从正态分布N (1，4)，Y 服从[0，4]上的均匀分布，则
E (2X+Y )=
(D ).
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
8. 设随机变量X 的概率分布为
则D (X +1)= C
A. 0
B.
C.
D. 1
9. 设总体~(1,4)X N ，(X 1，X 2，…，X n ) 是取自总体X 的样本(1)n >，
2
211
11()1n n i i i i X X S X X n n ====--∑∑，分别为样本均值和样本方差，则有 B A.~(0,1)X N 4B.~(1,)X N n
22C.(1)~()n S n χ- 1
D.
~(1)X t n S
-- 10. 对总体X 进行抽样，0，1，2，3，4是样本观测值，则样本均值x 为B
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
11. 一个口袋中有10个产品，其中5个一等品，3个二等品，2个三等品.从中任取三个，则这三个产品中至少有两个产品等级相同的概率是.
12. 已知P (A )=，P (B )=，P (A ∪B )=，则P (AB )=. 13. 设随机变量X 的分布律为
)(x F 是X 的分布函数，则=)1(F .
14.设连续型随机变量2,01
~()0,x x X f x <
15.设1
02,01
(,)(,)20x y X Y f x y ?<<<
则P (X +Y ≤1) = .
16.设~(04)X N ，，则=≤}2|{|X P . ((1)0.8413Φ=) 17.设DX =4，DY =9，相关系数0.25XY ρ=，则D (X +Y ) = 16 . 18.已知随机变量X 与Y 相互独立，其中X 服从泊松分布，且DX =3，Y 服从参数λ=1的指数分布，则E (XY ) = 3 .
19.设X 为随机变量，且EX =0，DX =，则由切比雪夫不等式得(||1)P X ≥= .
20.设每颗炮弹击中飞机的概率为，X 表示500发炮弹中命中飞机的炮弹数目，由中心极限定理得，X 近似服从的分布是 N (5， .
21.设总体1210~(0,1),,,...,X N X X X 是取自总体X 的样本，则10
21~i i X =∑ .
22.设总体212~(,),,,...,n X N X X X μσ是取自总体X 的样本，记
221
1()n n
i i S X X n ==-∑，则2
n
ES = . 23.设总体X 的密度函数是110()(0)00x e
x f x x θ
θθ
-?>?=>??≤?
，(X 1，X 2，…，X n )
是取自总体X 的样本，则参数θ的极大似然估计为 .
24.设总体),(~2σμN X ，其中2σ未知，样本12,,,n X X X L 来自总体X ，X 和
2S 分别是样本均值和样本方差，则参数μ的置信水平为1-α的置信区间
为 .
25.已知一元线性回归方程为1??3y x β=+，且2,5x y ==，则1?β= 1 . 三、计算题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
26. 设随机变量X 服从正态分布N (2, 4)，Y 服从二项分布B (10, ，X 与Y 相互独立，求D (X+3Y ). 解：因为，所以.
又X 与Y 相互独立，故D (X+3Y )=DX +9DY =4+=.
27. 有三个口袋，甲袋中装有2个白球1个黑球，乙袋中装有1个白球2个黑球，丙袋中装有2个白球2个黑球.现随机地选出一个袋子，再从中任取一球，求取到白球的概率是多少
解：B 表示取到白球，A 1，A 2，A 3分别表示取到甲、乙、丙口袋. 由题设知，. 由全概率公式：
四、综合题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
28.设连续型随机变量X 的分布函数为20,
0()01,1,1x F x x kx x
=≤
，
求：(1)常数k ； (2)P .解：(1)由于连续型随机变量X 的分布函数F (x )是连续函数，所以 即k =1，故 (2))=； (3)因为对于的连续点，，所以 29. 已知二维离散型随机变量(X ，Y )的联合分布为 求：(1) 边缘分布；(2)判断 X 与Y 是否相互独立；(3)E (XY ). 解：(1) 因为, , 所以，边缘分布分别为： (2)因为 所以，X 与Y 不独立； (3) 五、应用题（本大题共1小题，共6分） 30.假设某班学生的考试成绩X (百分制)服从正态分布2(72,)N σ，在某次的概率论与数理统计课程考试中，随机抽取了36名学生的成绩，计算得平均成绩为x =75分，标准差s = 10分.问在检验水平0.05α=下，是否可以认为本次考试全班学生的平均成绩仍为72分 (0.025(35) 2.0301t =) 解：总体方差未知，检验H 0：对H 1：，采用t 检验法. 选取检验统计量： 由，得到临界值. 拒绝域为：|t |> . 因，故接受H 0. 即认为本次考试全班的平均成绩仍为72分. 概率论与数理统计（经管类）综合试题三 （课程代码 4183） 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设A ，B 为随机事件，由P (A +B )=P (A )+P (B )一定得出 ( A ). A. P (AB )=0 B. A 与B 互不相容 C.AB =Φ D. A 与B 相互独立 2.同时抛掷3枚硬币，则恰有2枚硬币正面向上的概率是 ( B ). A. 18 B. 38 C. 14 D. 12 3.任何一个连续型随机变量X 的分布函数F (x )一定满足 ( A ). A.0()1F x ≤≤ B.在定义域内单调增加 C.()1F x dx +∞-∞ =? D.在定义域内连续 4.设连续型随机变量23,01 ~()0,x x X f x ?<<=??其它 ，则()P X EX <= ( C ). A. C. 27 64 若随机变量X 与Y 满足D (X +Y )=D (X -Y )，则 ( B ). A. X 与Y 相互独立 B. X 与Y 不相关 C. X 与Y 不独立 D. X 与Y 不独立、不相关 6.设~(1,4),~(10,0.1)X N Y B -,且X 与Y 相互独立，则D (X +2Y )的值是 ( A ). A. B. C. D. 7.设样本1234(,,,)X X X X 来自总体~(0,1)X N ，则4 21 i i X =∑~ ( B ). A. (1,2)F B.2(4)χ C. 2(3)χ D.(0,1)N 8.假设总体X 服从泊松分布()P λ，其中λ未知，2,1,2,3,0是一次样本观测值， 则参数的矩估计值为 ( D ). A. 2 B. 5 C. 8 D. 9.设α是检验水平，则下列选项正确的是 ( A ). A.00(|)P H H α≤拒绝为真 B.01(|)1-P H H α≥接受为真 C.0000(|)(|)1P H H P H H +=拒绝为真接受为假 D.1111(|)(|)1P H H P H H +=拒绝为真接受为假 10.在一元线性回归模型01y x ββε=++中，ε是随机误差项，则E ε= (C ). A. 1 B. 2 C. 0 D. -1 二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11.一套4卷选集随机地放到书架上，则指定的一本放在指定位置上的概率为 1 4 . 12.已知P (A +B )=，P (A )=，且事件A 与B 相互独立，则P (B )= 5 6 . 13.设随机变量X ~U [1，5]，Y =2X -1，则Y ~ Y ~ U[1，9] . 14.已知随机变量X 的概率分布为 令2Y X =，则Y 的概率分布为 . 15.设随机变量X 与Y 相互独立，都服从参 数 为1的指数分布，则当x >0,y >0时，(X ,Y )的概率密度f (x , y )= x y e -- . 16.设随机变量X 的概率分布为 X -1 0 1 2 P k 则EX = 1 . 17.设随机变量X ~,0()0,0x e x f x x λλ-?>=?≤?，已知2EX =，则λ= 1 2 . 18.已知(,)0.15,4,9,Cov X Y DX DY ===则相关系数,X Y ρ= . 19.设的期望EX 、方差DX 都存在，则(||)P X EX ε-<≥ 2 1DX ε - . 20. 一袋面粉的重量是一个随机变量，其数学期望为2(kg)，方差为，一汽车装有这样的面粉100袋，则一车面粉的重量在180(kg)到220(kg)之间的概率为 . (0(1.33)0.908Φ=) 21.设n X X X ,,,21Λ是来自正态总体),(2σμN 的简单随机样本，X 是样本均值，2S 是样本方差，则~X T = ______t (n -1)____. 22.评价点估计的优良性准则通常有 无偏性、有效性、一致性（或相合性） . 23.设(1, 0, 1, 2, 1, 1)是取自总体X 的样本，则样本均值x = 1 . 24.设总体),(~2σμN X ，其中μ未知，样本12,,,n X X X L 来自总体X ，X 和 2S 分别是样本均值和样本方差，则参数2σ的置信水平为1-α的置信区间为 22 2212 2 (1)(1)[,](1)(1) n S n S n n ααχχ----- . 25.设总体2~(4,)X N σ，其中2σ未知，若检验问题为01:4,:4H H μμ=≠， 则选取检验统计量为 X T = . 三、计算题（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 26.已知事件A 、B 满足：P (A )=，P (B )=，P (B |A )=，求P (A|B ). 解：P (AB )=P (A ) P (B |A )= ×=. P (A|B )=()()0.2 0.5()10.6 1()P AB P AB P B P B ===--. 27.设二维随机变量(X , Y )只取下列数组中的值：(0,0), (0,-1), (1,0), (1,1),且取这些值的概率分别为,,,.求：(X ,Y )的分布律及其边缘分布律. 解：由题设得，(X , Y )的分布律为： 从而求得边缘分布为： 四、综合题（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 28.设10件产品中有 2件次品，现进行连续不放回抽检，直到取到正品为止.求：(1)抽检次数X 的分布律； (2) X 的分布函数； (3)Y =2X +1的分布律. 解：(1)X 的所有可能取值为1，2， 3.且 84(1)105P X == =288 (2)10945P X ==?= 2181 (3)109845 P X == ??= 所以，X 的分布律为： (2)当1x <时，()()0F x P X x =≤=； 当12x ≤<时，4()()(1)5 F x P X x P X =≤=== ； 当23x ≤<时，44()()(1)(2)45 F x P X x P X P X =≤==+== ； 当3x ≥时，()()(1)(2)(3)1F x P X x P X P X P X =≤==+=+==. 所以，X 的分布函数为： 0,14 ,125 ()44,23451,3x x F x x x . (3)因为Y =2X +1，故Y 的所有可能取值为：3，5，7.且 4 (3)(1), 58 (5)(2),451 (7)(3). 45 P Y P X P Y P X P Y P X ============ 得到Y 的分布律为： 29.设测量距离时产生的误差2~(0,10)X N （单位：m ），现作三次独立测量，记Y 为三次测量中误差绝对值大于的次数，已知(1.96)0.975Φ=. (1)求每次测量中误差绝对值大于的概率p ； (2)问Y 服从何种分布，并写出其分布律； (3)求期望EY . 解：(1) (|| 1.96)1(|| 1.96)p P X P X =>=-≤ 1[2(1.96)1]0.05=-Φ-=. (2)Y 服从二项分布B (3，. 其分布律为： 33()(0.05)(0.95),0,1,2,3.k k k P Y k C k -=== (3)由二项分布知：30.050.15.EY np ==?= 五、应用题（本大题共10分） 30.市场上供应的灯泡中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%；甲厂产品的合格品率为90%，乙厂的合格品率为95%，若在市场上买到一只不合格灯泡，求它是由甲厂生产的概率是多少 解：设A 表示甲厂产品，A 表示乙厂产品，B 表示市场上买到不合格品. 由题设知：()0.6,()0.4,(|)10.90.1,(|)10.950.05.P A P A P B A P B A ===-==-= 由全概率公式得： ()()(|)()(|)0.60.10.40.050.08.P B P A P B A P A P B A =+=?+?= 由贝叶斯公式得，所求的概率为： ()(|)0.60.1 (|)0.750.08()(|)()(|) P A P B A P A B P A P B A P A P B A ?===+. 概率论与数理统计（经管类）综合试题四 （课程代码 4183） 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设A ，B 为随机事件，且P (A )>0，P (B )>0，则由A 与B 相互独立不能推出(A ). A. P (A +B )=P (A )+P (B ) B. P (A |B )=P (A ) C.(|)()P B A P B = D.()()()P AB P A P B = 把钥匙中有3把能打开门，现任取2把，则能打开门的概率为 ( C ). A. 23 B. 35 C. 8 15 D. 3.设X 的概率分布为1 ()(0,1,...,),0! k P X k c k k λλ-===>，则c = ( B ). A. e λ- B. e λ C. 1e λ-- D. 1e λ- 4.连续型随机变量X 的密度函数1,02 ()0,kx x f x +< A. B. 1 C. 2 D. 5.二维连续型随机变量(X ,Y )的概率密度为22,0,0 (,)0,x y e x y f x y --?>>=?? 其它，则 (X ,Y )关于X 的边缘密度 ()X f x = ( A ). A.22,00,0x e x x -?>?≤? B.2,00,0x e x x -?>?≤? C.,00,0x e x x -?>?≤? D.,0 0,0y e y y -?>?≤? 6.设随机变量X 的概率分布为 X 0 1 2 P 则DX = ( D ). A. B. 1 C. D. 7.设~(1,4),~(1,1)X N Y N -，且X 与Y 相互独立，则E (X -Y )与D (X -Y )的值分别是 (B ). A. 0，3 B. -2，5 C. -2，3 ，5 8.设随机变量~(,),1,2,..., n X B n p n =其中01p <<，则lim }n P x →∞ ≤= ( B ). A.2 2 t x dt -? B.2 2t x dt -? C.20 2t dt -? D.2 2 t dt +∞--∞ ? 9.设样本1234(,,,)X X X X 来自总体2~(,)X N μσ， 则~ ( C ). A.2(1)χ B.(1,2)F C.(1)t D.(0,1)N 10.设样本12(,,...,)n X X X 取自总体X ，且总体均值EX 与方差DX 都存在，则DX 的矩估计量为 ( C ). A.11n i i X X n ==∑ B.2 211()1n i i S X X n ==--∑ C.2 211()n n i i S X X n ==-∑ D.12 21 1()1n i i S X X n -==--∑ 二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）请在每小题的空 格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11.设袋中有5个黑球，3个白球，现从中任取两球，则恰好一个黑球一个白球的概率为 15 28 . 12.某人向同一目标重复独立射击，每次命中目标的概率为p (0 13.设连续型随机变量X 的分布函数为11 ()arctan 2F x x π =+，则其概率密度为 21 ()(1) f x x π= + . 14.设随机变量X 与Y 相互独立，且~(1,4),~(1,9)X N Y N -,则随机变量2X +Y ~ N (1，25)； . 15.设二维随机变量(X ,Y )的概率分布为 则协方差Cov (X ,Y )= 0 . 16.设~(4)X P (泊松分布)，1 ~()3Y E （指数分布），,0.3X Y ρ=，则 ()D X Y -= . 17.设二维随机变量(X , Y )~22(,,,,0)N μμσσ，则E (XY 2)= 22()μμσ+ . 18.设随机变量X ~N (2，4)，利用切比雪夫不等式估计(|2|3)P X -≥≤ 4 9 . 19.设随机变量X 1，X 2，X 3相互独立，且同分布(1,1)(1,2,3)i X N i -=:，则随机变量222123(1)(1)(1)~X X X +++++ 2(3)χ . 20.设总体X 服从[0,θ]上的均匀分布,(1, 0, 1, 0, 1, 1)是样本观测值,则θ的矩估计为______ 4 3 ____ . 21.设总体2~(,)X N μσ，X 1，X 2，X 3，X 4是取自总体X 的样本，若 1234111?264X X X cX μ =+++是参数μ的无偏估计，则c =____1 12______ . 22.设总体~(,4)X N μ，样本12(,,...,)n X X X 来自总体X ，X 和2S 分别是样 本均值和样本方差，则参数μ的置信水平为1α-的置信区间为 22 [,]X X αα- + . 23.设总体2~(,4)X N μ，其中μ未知，若检验问题222201:4,:4H H σσ=≠， 全国2012年4月自学考试概率论与数理统计（二）试题 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1. 设A ，B 为随机事件，且A ?B ，则AB 等于（ ） A. A B B. B C. A D. A 2. 设A ，B 为随机事件，则P （A-B ）=（ ） A. P （A ）-P （B ） B. P （A ）-P （AB ） C. P （A ）-P （B ）+ P （AB ） D. P （A ）+P （B ）- P （AB ） 3. 设随机变量X 的概率密度为f （x ）= ?? ???<<其他，，，0, 6331 x 则P ｛3 一、单项选择题(每题2分，共20分) 1.设A 、B 是相互独立的事件，且()0.7,()0P A B P A ?==则 ()P B = ( A A. 0.5 B. 0.3 C. 0.75 D. 0.42 2、设X 是一个离散型随机变量，则下列可以成为X 的分布律的是 ( D ) A. 10 1p p ?? ?-??( p 为任意实数) B. 123450.1 0.3 0.3 0.2 0.2x x x x x ?? ??? C. 3 3()(1,2,...) ! n e P X n n n -== = D. 3 3()(0,1,2,...) ! n e P X n n n -== = 3．下列命题 不正确的是 ( D ) (A)设X 的密度为)(x f ，则一定有?+∞ ∞-=1 )(dx x f ； (B)设X 为连续型随机变量，则P (X =任一确定值)=0； (C)随机变量X 的分布函数()F x 必有01)(≤≤x F ； (D)随机变量X 的分布函数是事件“X =x ”的概率； 4．若()()() E XY E X E Y =,则下列命题不正确的是 ( B ) (A)(,)0Cov X Y =； (B)X 与Y 相互独立 ； (C)0=XY ρ； (D)()()D X Y D X Y -=+； 5. 已知两随机变量X 与Y 有关系0.80.7Y X =+，则X 与Y 间的相关系数 为 ( B ) (A)－1 ( B)1 (C)-0.8 (D)0.7 6．设X 与Y 相互独立且都服从标准正态分布，则 ( B ) (A)(0)0.25P X Y -≥= (B)(min(,)0)0.25P X Y ≥= 1 全国2018年7月高等教育自学考试 概率论与数理统计（二）试题 课程代码：02197 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设事件A 与B 互不相容，且P(A)>0,P(B)>0,则有（ ） A.P(A ?B)=P(A)+P(B) B.P(AB)=P(A)P(B) C.A=B D.P(A|B)=P(A) 2.某人独立射击三次，其命中率为0.8，则三次中至多击中一次的概率为（ ） A.0.002 B.0.008 C.0.08 D.0.104 3.设事件{X=K}表示在n 次独立重复试验中恰好成功K 次，则称随机变量X 服从（ ） A.两点分布 B.二项分布 C.泊松分布 D.均匀分布 4.设随机变量X 的概率密度为f(x)=???<<-其它,02 x 1),x 2x 4(K 2 则K=（ ） A.165 B.21 C.43 D.54 5. 则F(1,1) =（ ） A.0.2 B.0.3 C.0.6 D.0.7 6.设随机向量（X ，Y ）的联合概率密度为f(x,y)=????? <<<<--; ,0,4y 2,2x 0),y x 6(81 其它 则P （X<1,Y<3）=（ ） 2 A.8 3 B.8 4 C.8 5 D.87 7.设随机变量X 与Y 相互独立，且它们分别在区间[-1，3]和[2，4]上服从均匀分布，则E （XY ）=（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 8.设X 1, X 2, …,X n ，…为独立同分布的随机变量序列，且都服从参数为 21的指数分布，则当n 充分大时，随机变量Y n =∑=n 1i i X n 1的概率分布近似服从（ ） A.N （2，4） B.N （2，n 4） C.N （n 41,21） D.N （2n,4n ） 9.设X 1,X 2,…，X n (n ≥2)为来自正态总体N （0，1）的简单随机样本，X 为样本均值，S 2为样本方差，则有（ ） A.)1,0(N ~X n B.nS 2~χ2(n) C.)1n (t ~S X )1n (-- D.)1n ,1(F ~X X )1n (n 2i 2i 21 --∑= 10.若θ)为未知参数θ的估计量，且满足E （θ)）=θ，则称θ)是θ的（ ） A.无偏估计量 B.有偏估计量 C.渐近无偏估计量 D.一致估计量 二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11.设P （A ）=0.4，P （B ）=0.5，若A 、B 互不相容，则P （AB ）=___________. 12．某厂产品的次品率为5%，而正品中有80%为一等品，如果从该厂的产品中任取一件来检验，则检验结果是一等品的概率为___________. 13．设随机变量X~B （n,p ），则P （X=0）=___________. 2019年4月高等教育自学考试全国统一命题考试 概率论与数理统计(经管类)04183 一、单项选择题：本大题共10小题，每小题2分，共20分。 1.设()0.6P B =，()0.5P A B =，则()P A B -= A. 0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 2.设事件A 与B 相互独立，且()0.6P A =,()0.8P A B =，则()P B = A. 0.2 B.0.4 C.0.5 D.0.6 3.甲袋中有3个红球1个白球，乙袋中有1个红球2个白球，从两袋中分别取出一个球，则两个球颜色相同的概率的概率是 A. 16 B. 14 C. 13 D. 512 4.设随机变量X 则P{X>0}= A. 14 B. 12 C. 34 D. 1 5.设随机变量X 的概率为,02()0,cx x f x ≤≤?=?? 其他，则P{X ≤1}= A. 14 B. 12 C. 23 D. 34 6.已知随机变量X~N(-2,2)，则下列随机变量中，服从N(0,1)分布的是 A. 1(2) 2X - B. 1(2)2X + C. 2)X - D. 2)X + A. 0.1 B.0.4 C.0.5 D.0.7 8.设随机变量X 与Y 相互独立，且D(X)=4，D(Y)=2,则D(3X-2Y)= A. 8 B.16 C.28 D.44 9.设123,,x x x 是来自总体X 的样本，若E(X)=μ(未知)，123132 x ax ax μ=-+是μ的无偏估计，则常数a= A. 16 B. 14 C. 13 D. 12 10.设12,,,(1)n x x x n >为来自正态总体2(,)N μσ的样本，其中2,μσ均未知，x 和2s 分别是样本均值和样本方差，对于检验假设0000=H H μμμμ≠：，：，则显著性水平为α的检验拒绝域为 A. 02(1)x n αμ??->-???? B. 02x αμ??->??? ? C. 02(1)x n αμ??-≤-???? D. 02x αμ??-≤??? ? 二、填空题：本大题共15小题，每小题2分，共30分。 11.设A,B,C 是随机事件，则“A,B,C 至少有一个发生”可以表示为 . 12.设P(A)=0.3,P(B)=0.6,P(A|B)=0.4,则P(B|A)= . 13.袋中有3个黄球和2个白球，今有2人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第2个人取得黄球的概率为 . 14.已知随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且P{X=1}=P{X=2}，则λ= . 15.设随机变量X 服从参数为1的指数分布，则P{X ≥1}= . P{X=Y}= . 17.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为,01,02,(,)0,, c x y f x y ≤≤≤≤?=??其他 则常数c= . 18.设随机变量X 服从区间[1,3]上的均匀分布，Y 服从参数为2的指数分布，X,Y 相互独立，f(x,y)是(X,Y)的概率密度，则f(2,1)= . 19.设随机变量X,Y 相互独立，且X~B(12,0.5),Y 服从参数为2的泊松分布，则E(XY)= . 20.设X~B(100,0.2), 204 X Y -=，由中心极限定理知Y 近似服从的分布是 . 21.已知总体X 的方差D(X)=6, 123,,x x x 为来自总体X 的样本，x 是样本均值，则D(x )= . 22.设总体X 服从参数是λ的指数分布，12,, ,n x x x 为来自总体X 的样本，x 为样本 均值，则E(x )= . 23.设1216,, ,x x x 为来自正态总体N(0,1)的样本，则2221216x x x +++服从的分布是 . 2009年4月高等教育自学考试全国统一命题考试 概率论与数理统计(经管类)试题 课程代码：04183 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设A ，B 为两个互不相容事件，则下列各式错误．．的是（ ） A ．P(AB)=0 B ．P(A ∪B)=P(A)+P(B) C ．P(AB)=P(A)P(B) D ．P(B-A)=P(B) 2．设事件A ，B 相互独立，且P(A)=31 ，P(B)>0，则P(A|B)=( ) A ．151 B ． 5 1 C ． 15 4 D ．3 1 3．设随机变量X 在[-1，2]上服从均匀分布，则随机变量X 的概率密度f (x )为( ) A ．?? ???≤≤-=.,0; 21,3 1 )(其他x x f B ．? ??≤≤-=.,0; 21,3)(其他x x f C ．? ??≤≤-=.,0; 21,1)(其他x x f D ． ?? ???≤≤--=.,0; 21,31 )(其他x x f 4．设随机变量X ~ B ?? ? ??31,3，则P{X ≥1}=( ) A ．271 B ．27 8 C ． 27 19 D ． 27 26 5 则P{XY=2}=( ) A ．5 1 B ． 10 3 C ． 2 1 D ． 5 3 6．设二维随机变量(X ，Y)的概率密度为 ? ??≤≤≤≤=,,0; 10,10,4),(其他y x xy y x f 则当0≤y ≤1时，(X ，Y)关于Y 的边缘概率密度为f Y ( y )= ( ) A ．x 21 B ．2x C ．y 21 D ．2y 7．设二维随机变量(X 则E(XY)=( ) A ．91- B ．0 C ． 91 D ．3 1 8．设总体X ~ N(2,σμ)，其中μ未知，x 1，x 2，x 3，x 4为来自总体X 的一个样本，则以下关 于μ的四个估计：)(41?43211x x x x +++=μ，321251 5151?x x x ++=μ ，2136 261?x x +=μ，147 1 ?x =μ中，哪一个是无偏估计？( ) A ．1?μ B ．2?μ C ．3?μ D ．4?μ 9．设x 1, x 2, …, x 100为来自总体X ~ N(0，42)的一个样本，以x 表示样本均值，则x ~( ) A ．N(0，16) B ．N(0，0.16) C ．N(0，0.04) D ．N(0，1.6) 10．要检验变量y 和x 之间的线性关系是否显著，即考察由一组观测数据(x i ，y i )，i =1，2，…，n ， 得到的回归方程x y 1 0???ββ+=是否有实际意义，需要检验假设( ) A ．0∶,00100≠=ββH H ∶ B ．0∶,0∶1110≠=ββH H 华东师范大学期末试卷 概率论与数理统计 一． 选择题（20分，每题2分） 1. 已知随机变量X ~N(0,1),则2X 服从的分布为： A ．)1(χB 。)1(2 χC 。)1,0(N D 。)1,1(F 2. 讨论某器件的寿命，设:事件A={该器件的寿命为200小时}，事件B={该器件的寿 命为300小时}，则： A ． B A =B 。B A ? C 。B A ? D 。Φ=AB 3．设A,B 都是事件，且1)(,0)(,1)(≠>=A P A P B A P ,则=)(A B P （） A.1 B.0 C.0.5 D.0.2 4.设A,B 都是事件，且2 1 )(= A P ,A, B 互不相容，则=)(B A P （） B.41 C.0 D. 5 1 5.设A,B 都是事件，且2 1 )(= A P , A, B 互不相容，则=)(B A P （） B. 41 C.0 D. 5 1 B 。若A,B 互不相容，则它们相互独立 C ．若A,B 相互独立，则它们互不相容 D ．若6.0)()(==B P A P ，则它们互不相容 7.已知随机变量X ~)(λπ，且}3{}2{===X P X P ，则)(),(X D X E 的值分别为： A.3,3 B.9,9 C.3,9 D.9,3 8．总体X ~),(2 σμN ，μ未知，4321,,,X X X X 是来自总体的简单随机样本，下面估计量中的哪一个是μ的无偏估计量：、 A.)(31 )(21T 43211X X X X +++= C.)432(5 1 T 43213X X X X +++= A.)(4 1 T 43214X X X X +-+= 9.总体X ~),(2 σμN ，μ未知，54321,,,,X X X X X 是来自总体的简单随机样本，下列μ的无偏估计量哪一个是较为有效的估计量： A.54321141)(81)(41T X X X X X ++++= B.)(61 )(41T 543212X X X X X ++++= D.)2(6 1 T 543214X X X X X ++++= 10.总体X ~),(2 σμN ，μ未知，54321,,,,X X X X X 是来自总体的简单随机样本，记 ∑==n i i X n X 1 1， 21 21 )(11X X n S n i i --=∑=， 2 1 22 )(1X X n S n i i -=∑=， 21 23 )(1μ-=∑=n i i X n S ，21 24)(1μ-= ∑=n i i X n S ，则服从自由度为1-n 的t 分布的 1X t 2 --=n S μ C.n S 3X t μ-= D .n S 4 X t μ -= 11.如果存在常数)0(,≠a b a ，使1}{=+=b aX Y p ，且+∞<<)(0X D ，则Y X , 概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第六章 随机变量数字特征 一．填空题 1. 若随机变量X 的概率函数为 1 .03.03.01.02.04 3211p X -，则 =≤)2(X P ；=>)3(X P ；=>=)04(X X P . 2. 若随机变量X 服从泊松分布)3(P ，则=≥)2(X P 8006.0413 ≈--e . 3. 若随机变量X 的概率函数为).4,3,2,1(,2)(=?==-k c k X P k 则=c 15 16 . 4．设A ,B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，P (A )=，P (B )=,则()P AB =____________.（） 5．设事件A 、B 互不相容，已知()0.4=P A ，()0.5=P B ，则()=P AB 6． 盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的概率为____________.（ 13 ） 7．设随机变量X 服从[0,1]上的均匀分布，则()E X ＝____________.（ 12 ） 8．设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，则概率密度函数为 __. （k 3 3(=,0,1,2k! P X k e k -==L ）） 9．某种电器使用寿命X （单位：小时）服从参数为1 40000 λ=的指数分布，则此种电器的平 均使用寿命为____________小时.（40000） 10在3男生2女生中任取3人，用X 表示取到女生人数，则X 的概率函数为 11.若随机变量X 的概率密度为)(,1)(2 +∞<<-∞+= x x a x f ，则=a π1 ；=>)0(X P ；==)0(X P 0 . 12.若随机变量)1,1(~-U X ，则X 的概率密度为 1 (1,1) ()2 x f x ?∈-? =???其它 概率论与数理统计题库及答案 一、单选题 1. 在下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 2 1,21,21,21- (D) 16 1, 8 1, 4 1, 2 1 2. 下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 4 1414121 (B) 161814121 (C) 16 3 16 14 12 1 (D) 8 18 34 12 1- 3. 设连续型随机变量X 的密度函数 ???<<=, ,0, 10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是（ ）． (A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 2 1)21(= < X P (D) 2 1)21(= > X P 4. 若 )(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数，则等式（ ）成 立． (A) X a P <(≤?∞ +∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤? = b a x x F b d )() (C) X a P <(≤? = b a x x f b d )() (D) X a P <(≤? ∞+∞ -= x x f b d )() 5. 设 )(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意b a <，有 X a P <(≤=)b （ ）． (A) ? b a x x F d )( (B) ? b a x x f d )( (C) ) ()(a f b f - (D) )()(b F a F - 6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是（ ）． 07.4 10.设总体X 服从正态分布N （μ，1），x 1，x 2，…，x n 为来自该总体的样本，x 为样本均值，s 为样本标准差，欲检验假设H 0∶μ=μ0，H 1∶μ≠μ0，则检验用的统计量是（ ） A.n /s x 0μ- B.)(0μ-x n C. 1 0-μ-n /s x D.)(10μ--x n 23.设样本x 1，x 2，…，x n 来自正态总体N （μ，9），假设检验问题为H 0∶μ=0，H 1∶μ≠0，则在显著性水平α下，检验的拒绝域W=___________。 24.设0.05是假设检验中犯第一类错误的概率，H 0为原假设，则P {拒绝H 0｜H 0真}= ___________。 07.7 25．设总体X~N （μ,σ2），X 1，X 2，…，X n 为来自该总体的一个样本.对假设检验问题 2 212020::σσσσ≠?=H H ，在μ未知的情况下，应该选用的检验统计量为___________. 9．在假设检验问题中，犯第一类错误的概率α的意义是（ ） A ．在H 0不成立的条件下，经检验H 0被拒绝的概率 B ．在H 0不成立的条件下，经检验H 0被接受的概率 C ．在H 0成立的条件下，经检验H 0被拒绝的概率 D ．在H 0成立的条件下，经检验H 0被接受的概率 24．设总体X~N （μ,σ2 ）,x 1,x 2,x 3,x 4为来自总体X 的体本，且2 4 1 2 4 1 )(,4 1 σ∑∑==-= i i i i x x x x 则 服 从自由度为____________的2χ分布. 27．假设某校考生数学成绩服从正态分布，随机抽取25位考生的数学成绩，算得平均成绩 61=x 分，标准差s=15分.若在显著性水平0.05下是否可以认为全体考生的数学平均成 绩为70分？（附：t 0.025(24)=2.0639） 08.1 23.当随机变量F~F(m,n )时,对给定的.)),((),10(ααα=>< 一、《概率论与数理统计（经管类）》考试题型分析： 题型大致包括以下五种题型，各题型及所占分值如下： 由各题型分值分布我们可以看出，单项选择题、填空题占试卷的50%，考查的是基本的知识点，难度不大，考生要把该记忆的概念、性质和公式记到位。计算题和综合题主要是对前四章基本理论与基本方法的考查，要求考生不仅要牢记重要的公式，而且要能够灵活运用。应用题主要是对第七、八章内容的考查，要求考生记住解题程序和公式。结合历年真题来练习，就会很容易的掌握解题思路。总之，只要抓住考查的重点，记住解题的方法步骤，勤加练习，就能够百分百达到过关的要求。二、《概率论与数理统计（经管类）》考试重点说明：我们将知识点按考查几率及重要性分为三个等级，即一级重点、二级重点、三级重点，其中，一级重点为必考点，本次考试考查频率高；二级重点为次重点，考查频率较高；三级重点为预测考点，考查频率一般，但有可能考查的知识点。第一章随机事件与概率 1．随机事件的关系与计算 P3-5 （一级重点）填空、简答事件的包含与相等、和事件、积事件、互不相容、对立事件的概念 2．古典概型中概率的计算 P9 （二级重点）选择、填空、计算记住古典概型事件概率的计算公式 3. 利用概率的性质计算概率 P11-12 （一级重点）选择、填空 ,（考得多）等，要能灵活运用。 4. 条件概率的定义 P14 （一级重点）选择、填空记住条件概率的定义和公式： 5. 全概率公式与贝叶斯公式 P15-16 （二级重点）计算记住全概率公式和贝叶斯公式，并能够运用它们。一般说来，如果若干因素（也就是事件）对某个事件的发生产生了影响，求这个事件发生的概率时要用到全概率公式；如果这个事件发生了，要去追究原因，即求另一个事件发生的概率时，要用到贝叶斯公式，这个公式也叫逆概公式。 6. 事件的独立性（概念与性质） P18-20（一级重点）选择、填空定义：若，则称A与B 相互独立。结论：若A与B相互独立，则A与，与B 与都相互独立。 7. n重贝努利试验中事件A恰好发生k次的概率公式 P21（一级重点）选择、填空在重贝努利试验中，设每次试验中事件的概率为（），则事件A恰好发生。第二章随机变量及其概率分布 8．离散型随机变量的分布律及相关的概率计算 P29，P31（一级重点）选择、填空、计算、综合。记住分布律中，所有概率加起来为1，求概率时，先找到符合条件的随机点，让后把对应的概率相加。求分布律就需要找到随机变量所有可能取的值，和每个值对应的概率。 9. 常见几种离散型分布函数及其分布律 P32-P33（一级重点）选择题、填空题以二项分布和泊松分布为主，记住分布律是关键。本考点基本上每次考试都考。 10. 随机变量的分布函数 P35-P37（一级重点）选择、填空、计算题记住分布函数的定义和性质是关键。要能判别什么样的函数能充当分布函数，记住利用分布函数计算概率的公式：①；②其中；③。 11. 连续型随机变量及其概率密度 P39（一级重点）选择、填空重点记忆它的性质与相关的计算，如①；；反之，满足以上两条性质的函数一定是某个连续型随机变量的概率密度。③；④ 设为的 《概率论与数理统计》试题（1） 一 、 判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”） ⑴ 对任意事件A 和B ，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 （ ） ⑸ 样本方差2n S = n 121 )(X X n i i -∑=是母体方差DX 的无偏估计 （ ） 二 、（20分）设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，将下列事件用A 、B 、C 表示出来 （1）仅A 发生，B 、C 都不发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。 三、（15分） 把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分） 已知离散型随机变量X 的分布列为 2101 31111115651530 X P -- 求2 Y X =的分布列. 五、（10分）设随机变量X 具有密度函数|| 1()2 x f x e -= ，∞＜ x ＜∞， 求X 的数学期望和方差. 六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设12,,,n X X X 是来自几何分布 1 ()(1) ,1,2,,01k P X k p p k p -==-=<< ， 的样本，试求未知参数p 的极大似然估计. 概率论与数理统计（经管类）综合试题一 （课程代码 4183） 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.下列选项正确的是 ( B ). A. A B A B +=+ B.()A B B A B +-=- C. (A -B )+B =A D. AB AB = 2.设 ()0,()0 P A P B >>，则下列各式中正确的是 ( D ). A.P (A -B )=P (A )-P (B ) B.P (AB )=P (A )P (B ) C. P (A +B )=P (A )+P (B ) D. P (A +B )=P (A )+P (B )-P (AB ) 3.同时抛掷3枚硬币，则至多有1枚硬币正面向上的概率是 ( D ). A. 18 B. 16 C. 14 D. 12 4.一套五卷选集随机地放到书架上，则从左到右或从右到左卷号恰为1，2，3，4，5顺序的概率为 ( B ). A. 1120 B. 160 C. 15 D. 12 5.设随机事件A ，B 满足B A ?，则下列选项正确的是 ( A ). A.()()()P A B P A P B -=- B. ()()P A B P B += C.(|)()P B A P B = D.()()P AB P A = 6.设随机变量X 的概率密度函数为f (x )，则f (x )一定满足 ( C ). A. 0()1f x ≤≤ B. f (x )连续 C. ()1f x dx +∞-∞ =? D. ()1f +∞= 7.设离散型随机变量X 的分布律为(),1,2,...2k b P X k k ===，且0b >，则参数b 的 值为 ( D ). A. 12 B. 13 C. 1 5 D. 1 《概率论与数理统计》复习资料 第一章 随机事件与概率 1．事件的关系 φφ=Ω-??AB A B A AB B A B A 2．运算规则 （1）BA AB A B B A =?=? （2）)()( )()(BC A C AB C B A C B A =??=?? （3）))(()( )()()(C B C A C AB BC AC C B A ??=??=? （4）B A AB B A B A ?==? 3．概率)(A P 满足的三条公理及性质： （1）1)(0≤≤A P （2）1)(=ΩP （3）对互不相容的事件n A A A ,,,21 ，有∑===n k k n k k A P A P 1 1 )()( （n 可以取∞） （4） 0)(=φP （5）)(1)(A P A P -= （6）)()()(AB P A P B A P -=-，若B A ?，则)()()(A P B P A B P -=-，)()(B P A P ≤ （7）)()()()(AB P B P A P B A P -+=? （8）)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=?? 4．古典概型：基本事件有限且等可能 5．几何概率 6．条件概率 （1） 定义：若0)(>B P ，则) () ()|(B P AB P B A P = （2） 乘法公式：)|()()(B A P B P AB P = 若n B B B ,,21为完备事件组，0)(>i B P ，则有 （3） 全概率公式： ∑==n i i i B A P B P A P 1)|()()( （4） Bayes 公式： ∑== n i i i k k k B A P B P B A P B P A B P 1 ) |()() |()()|( 7．事件的独立性： B A ,独立)()()(B P A P AB P =? （注意独立性的应用） 概率论与数理统计 第一章 概率论的基本概念 1. 写出下列随机试验的样本空间 （1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（以百分制记分） （2）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。 （3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 2. 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。 （1）A 发生，B 与C 不发生 （2）A ，B 都发生，而C 不发生 （3）A ，B ，C 中至少有一个发生 （4）A ，B ，C 都发生 （5）A ，B ，C 都不发生 （6）A ，B ，C 中不多于一个发生 （7）A ，B ，C 中不多于二个发生 （8）A ，B ，C 中至少有二个发生。 3. 设A ，B 是两事件且P (A )=0.6，P (B )=0.7. 问(1)在什么条件下P (AB )取到最大值，最 大值是多少？（2）在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？ 4. 设A ，B ，C 是三事件，且0)()(,4/1)()()(=====BC P AB P C P B P A P ，8 1 )(= AC P . 求A ，B ，C 至少有一个发生的概率。 5. 在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概率。（设后面4个数 中的每一个数都是等可能性地取自0，1，2……9） 6. 在房间里有10人。分别佩代着从1号到10号的纪念章，任意选3人记录其纪念章的 号码。 （1）求最小的号码为5的概率。 （2）求最大的号码为5的概率。 7. 某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，红漆3桶。在搬运中所标笺 脱落，交货人随意将这些标笺重新贴，问一个定货4桶白漆，3桶黑漆和2桶红漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？ 8. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。 （1）求恰有90个次品的概率。 （2）至少有2个次品的概率。 9. 从5双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少？ 10. 将三个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别是1，2，3，的概 率各为多少？ 11. 已知)|(,5.0)(,4.0)(,3.0)(B A B P B A P B P A P ?===求。 12. )(,2 1 )|(,31)|(,41)(B A P B A P A B P A P ?=== 求。 13. 设有甲、乙二袋，甲袋中装有n 只白球m 只红球，乙袋中装有N 只白球M 只红球， 今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少？ (2) 第一只盒子装有5只红球，4只白球；第二只盒子装有4只红球，5只白球。先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后从第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。 14. 已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人 群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？ 15. 一学生接连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为P ，若第一次及格则第 二次及格的概率也为P ；若第一次不及格则第二次及格的概率为2/P 模拟试题一 一、 填空题（每空3分，共45分） 1、已知P(A) = , P(B) = , P(B|A ) = , 则P(A|B ) = P( A ∪B) = 2、设事件A 与B 独立，A 与B 都不发生的概率为1 9 ，A 发生且B 不发生的概率与B 发生且A 不发生的概率相等，则A 发生的概率为： ； 3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ； 4、已知随机变量X 的密度函数为：,0 ()1/4, 020,2 x Ae x x x x ??为未知参数，12,, ,n X X X 为其样本，1 1n i i X X n ==∑为样本均值， 则θ的矩估计量为： 。 9、设样本129,, ,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =，求参数a 的置 信度为95%的置信区间： ； 二、 计算题（35分） 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为： 1, 02()2 0, x x x ??≤≤?=???其它 0506 一.填空题(每空题2分，共计60 分) 1、A、B 是两个随机事件，已知p(A) 0.4,P(B) 0.5,p(AB) 0.3 ，则p(A B) 0.6 , p(A -B) 0.1 ，P(A B)= 0.4 , p(A B) 0.6。 2、一个袋子中有大小相同的红球6只、黑球4只。(1)从中不放回地任取2 只，则第一次、第二次取红色球的概率为：1/3 。(2)若有放回地任取 2 只，则第一次、第二次取红色球的概率为：9/25 。( 3)若第一次取一只球观查球颜色后，追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中后，再取第二只，则第一次、第二次取红色球的概率为：21/55 。 3、设随机变量X 服从B(2，0.5)的二项分布，则p X 1 0.75, Y 服从二项分 布B(98, 0.5), X 与Y 相互独立, 则X+Y 服从B(100,0.5)，E(X+Y)= 50 ， 方差D(X+Y)= 25 。 4、甲、乙两个工厂生产同一种零件，设甲厂、乙厂的次品率分别为0.1、 0.15．现从由甲厂、乙厂的产品分别占60%、40%的一批产品中随机抽取 一件。 ( 1)抽到次品的概率为：0.12 。 2)若发现该件是次品，则该次品为甲厂生产的概率为：0.5 6、若随机变量X ~N(2,4)且(1) 0.8413 ，(2) 0.9772 ,则P{ 2 X 4} 0.815 ， Y 2X 1,则Y ~ N( 5 ，16 )。 7、随机变量X、Y 的数学期望E(X)= -1，E(Y)=2, 方差D(X)=1 ，D(Y)=2, 且 X、Y 相互独立，则：E(2X Y) - 4 ，D(2X Y) 6 。 8、设D(X) 25 ，D( Y) 1，Cov( X ,Y) 2，则D(X Y) 30 9、设X1, , X 26是总体N (8,16)的容量为26 的样本，X 为样本均值，S2为样本方 差。则：X~N(8 ，8/13 )，25S2 ~ 2(25)，X 8 ~ t(25)。 16 s/ 25 10、假设检验时，易犯两类错误，第一类错误是：”弃真” ,即H0 为真时拒绝H0, 第二类错误是：“取伪”错误。一般情况下，要减少一类错误的概率，必然增大另一类错误的概率。如果只对犯第一类错误的概率加以控制，使之 . 第七章 假设检验 设总体2(,)N ξμσ~，其中参数μ，2σ为未知，试指出下面统计假设中哪些是简单假设，哪些是复合假设： （1）0:0,1H μσ==； （2）0:0,1H μσ=>； （3）0:3,1H μσ<=； （4）0:03H μ<<； （5）0:0H μ=. 解：（1）是简单假设，其余位复合假设 设1225,,,ξξξL 取自正态总体(,9)N μ，其中参数μ未知，x 是子样均值，如对检验问题0010:,:H H μμμμ=≠取检验的拒绝域：12250{(,,,):||}c x x x x c μ=-≥L ，试决定常数c ，使检验的显着性水平为 解：因为(,9)N ξμ~，故9 (,)25 N ξμ~ 在0H 成立的条件下， 000 53(||)(||)53 521()0.05 3c P c P c ξμξμ-≥=-≥? ?=-Φ=??? ? 55( )0.975,1.9633 c c Φ==，所以c =。 设子样1225,,,ξξξL 取自正态总体2 (,)N μσ，20σ已知，对假设检验0010:,:H H μμμμ=>，取临界域12n 0{(,,,):|}c x x x c ξ=>L ， （1）求此检验犯第一类错误概率为α时，犯第二类错误的概率β，并讨论它们之间的关系； （2）设0μ=，20σ=，α=，n=9，求μ=时不犯第二类错误的概率。 解：（1）在0H 成立的条件下，2 00(, )n N σξμ~，此时 00000()P c P ξαξ=≥= 10 αμ-= ，由此式解出010c αμμ-= + 在1H 成立的条件下，2 0(, )n N σξμ~，此时 1010 10 ()(P c P αξβξμ-=<==Φ=Φ=Φ- 由此可知，当α增加时，1αμ-减小，从而β减小；反之当α减少时，则β增加。 （2）不犯第二类错误的概率为 10 0.9511(0.650.51(3) 0.2 1(0.605)(0.605)0.7274αβμμ--=-Φ-=-Φ- =-Φ-=Φ= 设一个单一观测的ξ子样取自分布密度函数为()f x 的母体，对()f x 考虑统计假设： 0011101 201 :():()00x x x H f x H f x ≤≤≤≤??==? ??? 其他其他 试求一个检验函数使犯第一，二类错误的概率满足2min αβ+=，并求其最小值。 解 设检验函数为 1()0x c x φ∈?=?? 其他（c 为检验的拒绝域）历年自学考试01297概率论与数理统计试题和答案
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