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2017届中考数学总复习全程考点专题复习《几何证明》压轴题(含答案解析)

几何证明压轴题(中考)

1、如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,∠BCD=90°,且AB=1,BC=2,tan ∠ADC=2.

(1) 求证:DC=BC;

(2) E 是梯形内一点,F 是梯形外一点,且∠E DC=∠F BC ,DE=BF ,试判断△E CF 的形

状,并证明你的结论;

(3) 在(2)的条件下,当BE :CE=1:2,∠BEC=135°时,求sin ∠BFE 的值.

[解析] (1)过A 作DC 的垂线AM 交DC 于M,

则AM=BC=2.

又tan ∠ADC=2,所以2

12

DM ==.即DC=BC. (2)等腰三角形.

证明:因为,,DE DF EDC FBC DC BC =∠=∠=. 所以,△DEC ≌△BFC

所以,,CE CF ECD BCF =∠=∠.

所以,90ECF BCF BCE ECD BCE BCD ∠=∠+∠=∠+∠=∠=? 即△ECF 是等腰直角三角形.

(3)设BE k =,则2CE CF k ==

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,所以EF =. 因为135BEC ∠=?,又45CEF ∠=?,所以90BEF ∠=?.

所以3BF k =

=

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所以1sin 33

k BFE k ∠=

=.

2、已知:如图,在□ABCD 中,E 、F 分别为边AB 、CD 的中点,BD 是对角线,AG ∥DB 交CB 的延长线于G .

(1)求证:△ADE ≌△CBF ;

(2)若四边形 BEDF 是菱形,则四边形AGBD 是什么特殊四边形?并证明你的结论.

[解析] (1)∵四边形ABCD 是平行四边形,

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∴∠1=∠C ,AD =CB ,AB =CD . ∵点E 、F 分别是AB 、CD 的中点, ∴AE =

21AB ,CF =2

1

CD . ∴AE =CF

∴△ADE ≌△CBF .

(2)当四边形BEDF 是菱形时, 四边形 AGBD 是矩形.

∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD ∥BC .

E

B

F

C

D

A

∵AG ∥BD ,

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∴四边形 AGBD 是平行四边形. ∵四边形 BEDF 是菱形, ∴DE =BE . ∵AE =BE ,

∴AE =BE =DE .

∴∠1=∠2,∠3=∠4.

∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°, ∴2∠2+2∠3=180°. ∴∠2+∠3=90°. 即∠ADB =90°. ∴四边形AGBD 是矩形

3、如图13-1,一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起.现正方形ABCD 保持不动,将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O (点O 也是BD 中点)按顺时针方向旋转.

(1)如图13-2,当EF 与AB 相交于点M ,GF 与BD 相交于点N 时,通过观察或测

量BM ,FN 的长度,猜想BM ,FN 满足的数量关系,并证明你的猜想;

(2)若三角尺GEF 旋转到如图13-3所示的位置时,线段FE 的延长线与AB 的延长

线相交于点M ,线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点N ,此时,(1)中的猜想还成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.

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[解析](1)BM =FN .

证明:∵△GEF 是等腰直角三角形,四边形ABCD 是正方形,

∴ ∠ABD =∠F =45°,OB = OF . 又∵∠BOM =∠FON , ∴ △OBM ≌△OFN . ∴ BM =FN .

(2) BM =FN 仍然成立.

(3) 证明:∵△GEF 是等腰直角三角形,四边形ABCD 是正方形,

∴∠DBA =∠GFE =45°,OB =OF . ∴∠MBO =∠NFO =135°.

又∵∠MOB =∠NOF , ∴ △OBM ≌△OFN . ∴ BM =FN .

图13-2

图13-3

图13-1 A ( B ( E )

4、如图,已知⊙O 的直径AB 垂直于弦CD 于E ,连结AD 、BD 、OC 、OD ,且OD =5。 (1)若sin ∠BAD =

3

5

,求CD 的长; (2)若 ∠ADO :∠EDO =4:1,求扇形OAC (阴影部分)的面积(结果保留π)。

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[解析] (1)因为AB 是⊙O 的直径,OD =5

所以∠ADB =90°,AB =10

在Rt △ABD 中,sin ∠BAD BD

AB

=

又sin ∠BAD =35,所以BD 103

5

=,所以BD =6

AD AB BD =

-=-=22221068

因为∠ADB =90°,AB ⊥CD

所以DE AB AD BD CE DE ··,== 所以DE ?=?1086 所以DE =

245

所以CD DE ==

2485

(2)因为AB 是⊙O 的直径,AB ⊥CD 所以CB BD AC AD ⌒⌒⌒⌒

,==

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所以∠BAD =∠CDB ,∠AOC =∠AOD 因为AO =DO ,所以∠BAD =∠ADO 所以∠CDB =∠ADO

设∠ADO =4x ,则∠CDB =4x

由∠ADO :∠EDO =4:1,则∠EDO =x 因为∠ADO +∠EDO +∠EDB =90° 所以4490x x x ++=? 所以x =10°

所以∠AOD =180°-(∠OAD +∠ADO )=100° 所以∠AOC =∠AOD =100°

S OAC 扇形=

??=1003605125

18

2ππ

5、如图,已知:C 是以AB 为直径的半圆O 上一点,CH ⊥AB 于点H ,直线AC 与过B 点的切线相交于点D ,E 为CH 中点,连接AE 并延长交BD 于点F ,直线CF 交直线AB 于点G .

(1)求证:点F 是BD 中点; (2)求证:CG 是⊙O 的切线; (3)若FB=FE=2,求⊙O 的半径.

[解析] (1)证明:∵CH ⊥AB ,DB ⊥AB ,∴△AEH ∽AFB ,△ACE ∽△ADF

FD

CE

AF AE BF EH =

=,∵HE =EC ,∴BF =FD (2)方法一:连接CB 、OC ,

∵AB 是直径,∴∠ACB =90°∵F 是BD 中点, ∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO ∴∠OCF=90°,∴CG 是⊙O 的切线---------6′

方法二:可证明△OCF ≌△OBF(参照方法一标准得分) (3)解:由FC=FB=FE 得:∠FCE=∠FEC 可证得:FA =FG ,且AB =BG

由切割线定理得:(2+FG )2=BG ×AG=2BG 2 ○1 在Rt △BGF 中,由勾股定理得:BG 2=FG 2-BF 2 ○

2 由○

1、○2得:FG 2-4FG-12=0 解之得:FG 1=6,FG 2=-2(舍去)

∴AB =BG =24 ∴⊙O 半径为22

6、如图,已知O 为原点,点A 的坐标为(4,3),

⊙A 的半径为2.过A 作直线l 平行于x 轴,点P 在直线l 上运动. (1)当点P 在⊙O 上时,请你直接写出它的坐标;

(2)设点P 的横坐标为12,试判断直线OP 与⊙A 的位置关系,并说明理由.

[解析]

解: ⑴点P 的坐标是(2,3)或(6,3)

⑵作AC ⊥OP ,C 为垂足.

∵∠ACP=∠OBP=90

,∠1=∠1

∴△AC P ∽△OBP

AC AP

OB OP

=

在OBP Rt ?中,OP =又AP=12-4=8, ∴

3AC =

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∴AC=24 1.94

∵1.94<2

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∴OP 与⊙A 相交.

7、如图,延长⊙O 的半径OA 到B ,使OA=AB ,

DE 是圆的一条切线,E 是切点,过点B 作DE 的垂线, 垂足为点C .

求证:∠ACB=3

1

∠OAC .

[解析]

证明:连结OE 、AE ,并过点A 作AF ⊥DE 于点F ,

(3

分)

∵DE 是圆的一条切线,E 是切点, ∴OE ⊥DC , 又∵BC ⊥DE ,

∴OE ∥AF ∥BC .

∴∠1=∠ACB ,∠2=∠3.

∵OA=OE , ∴∠4=∠3. ∴∠4=∠2.

又∵点A 是OB 的中点, ∴点F 是EC 的中点. ∴AE=AC .

∴∠1=∠2. ∴∠4=∠2=∠1.

即∠ACB =

3

1

∠OAC . 8、如图1,一架长4米的梯子AB 斜靠在与地面OM 垂直的墙壁ON 上,梯子与地面的倾斜角α为

60.

⑴求AO 与BO 的长;

⑵若梯子顶端A 沿NO 下滑,同时底端B 沿OM 向右滑行.

①如图2,设A 点下滑到C 点,B 点向右滑行到D 点,并且AC:BD=2:3,试计算梯子顶端A 沿NO 下滑多少米;

②如图3,当A 点下滑到A ’点,B 点向右滑行到B ’点时,梯子AB 的中点P 也随之运动到P ’点.若∠POP ’=

15,试求AA ’的长.

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C

A B D

O

E

[解析]

⑴AOB Rt ?中,∠O =90

,∠α=

60

∴,∠OAB=

30,又AB=4米,

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∴1

22

OB AB =

=米.

sin 6042

OA AB =?=?= . -------------- (3分)

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⑵设2,3,AC x BD x ==在COD Rt ?中,

2,23,4OC x OD x CD ==+=

根据勾股定理:222

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OC OD CD +=

∴()

()2

2

22234x

x ++= ------------- (5分)

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∴(2

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13120x x +-= ∵0x ≠ ∴0381213=-+x

∴x =

------------- (7分)

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即梯子顶端A 沿NO .

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---- (8分)

⑶∵点P 和点P '分别是AOB Rt ?的斜边AB 与''OB A Rt ?的斜边'

'B A 的中点

∴PO PA =,O P A P '''

= ------------- (9分) ∴,PAO AOP P A O A OP ''''∠=∠∠=∠------- (10分) ∴P A O PAO A OP AOP ''''∠-∠=∠-∠ ∴15P A O PAO POP '''∠-∠=∠=

∵30PAO ∠=

∴45P A O ''∠=

----------------------- (11分)

∴cos 4542

A O A

B '''=?=?

=

分)

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∴AA OA A O ''=-=米. -------- (13分)

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