10高中数学基础知识祥解

第一章 集合与简易逻辑、推理证明：
一、理解集合中的有关概念
1、集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性。
2、能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法、描述法）描述不同的具体问题。
注意：区分集合中元素的形式。如：；；
3、常用数集的符号表示：自然数集； 正整数集、； 整数集； 有理数集； 实数集； 复数集
4、集合与元素的关系用符号，表示。
5、空集是指不含任何元素的集合。 (、和的区别；0与三者间的关系)
二、集合间的关系及其运算（能利用数轴或韦恩图表表达集合的关系及运算。）
1、符号""是表示元素与集合之间关系的，在立体几何中的有来描述点与直线（面）的关系；
符号"、"是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的、体现面与直线(面)的关系 。
2、；；
3、① 交换律：； ；
② 结合律：；
③ 分配律：；
④ ； ； ； ；
； ； ；
⑤ ；
三、集合中元素的个数的计算：
1、若集合中有个元素，则集合的所有不同的子集个数为，所有真子集的个数是，所有非空真子集的个数是
2、中元素的个数的计算公式为：；
例：50名学生做物理、化学实验，已知物理实验做得正确的有40人，化学实验做得正确的有31人，两种实验都做得错误的有41人，问这两种实验都做对的有几人。
四、全称量词："所有的"、"任意一个"、"一切"、"每一个"、"任给"（含有全称量词的命题叫做全称命题）
存在量词："存在一个"、"至少一个"、"有些"、 "有一个"、"对某些"、"有的"（含有存在量词的命题叫做特称命题）
全称命题的否定：的否定：
特称命题的否定：的否定：
五、原命题、逆否命题、否命题、逆命题的关系如图
原命题与逆否命题等价，否命题与逆命题等价
否命题和命题的否定不是同一概念，如果原命题是"若则"，那么命题的否定是"若则表示命题，即只否定结论。
六、简单命题和复合命题
逻辑连结词"或"、"且"、"非"（ "或"、"且"、"非"与集合的"并"、、"交"、"补"有联系）
对于""、" "、" "形式的复合命题用口诀："有真或为真、两真且才真、真非假、假非真"
七、充分条件、必要条件、充要条件的概念（判断步骤："能否推出"以及"能否推出"、区分出和是条件还是结论）
满足条件，满足条件，
若，则是的充分非必要条件（从集合与集合的关系上看）；
若，则是的必要非充分条件（从集合与集合的关系上看）；
若，则是的充要条件（从集合与集合的关系上看）；
若，则是的既非充分又非必要条件（从集合与集合的关系

上看）。
八、合情推理与演绎推理
1、归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理
2、类比推理是由特殊到特殊的推理
3、归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们统称为合情推理。
4、演绎推是由一般到特殊的推理（其模式是"三段论"）
九、直接证明与间接证明
1、综合法：执因索果
2、分析法：执果索因（在使用分析法时，要注意表达"要证......，只须证明......"）
3、在解决具问题时，分析法与综合法要结合起来使用，也就是说"两头凑"会使问题轻易解决。
4、反证法：当证明"若，则"感到困难时，改证它的等价命题"若则"成立
步骤：假设结论反面成立；从这个假设出发，推理论证，得出矛盾；由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确。
矛盾的来源：与原命题的条件矛盾；导出与假设相矛盾的命题；导出一个恒假命题。
十、数学归纳法：
1、数学归纳法是用来证明关于正整数命题的一种方法，若是起始值，则是使命题成立的最小正整数。
2、用数学归纳法证明题目时，其步骤如下：
① 归纳奠基：当时，验证命题成立；
② 归纳递推：假设当（）时，命题成立，推证时，命题也成立，从而推出对于所有的正整数命题均成立。（在证明过程中，一定要用到归纳递推，否则就不是数学归纳法
例：数学归纳法证明贝努利不等式：（、，为大于1的正整数）
第二章 函数
一、映射与函数：
1、映射的概念：设、是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中的元素，在集合中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做映射，记作
① 映射的三要素：集合、，以及从到的对应法则，三者缺一不可。
② 映射是一种特殊的对应，映射中的集合、可以是数集也可以是点集或其它集合，这两个集合有先后次序，从到的映射与从到的映射是截然不同的。
③ 只有"多对一"或"一对一"的对应，能够成映射，一对多对应不能构成映射。
2、函数的概念：函数是由一个非空数集到另一个非空数集的映射。
二、函数的三要素：定义域、值域、对应法则。
1、相同函数的判断方法：①相同的定义域；②相同的对应法则 (两点必须同时具备)
2、分段函数：在函数的定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数。
3、函数的表示法：图象法、列表法、解析法
4、函数解析式的求法： ① 定义法（拼凑）； ② 换元法；③ 待定系数法；④ 赋值法；⑤ 消去法；⑥ 利用函数的性质
例（1）已知，求的解析式。

（2）如果为一次函数且，求的解析式
　（3）设是上的函数，满足，对任意实数、，有，求
　（4）设是定义在上的一个函数，且有，求
　（5）已知函数是以2为周期的偶函数，当时，，求在的解析式。
　（6）已知函数是奇函数，且当时，，求当时，的解析式。
5、函数定义域的求法：
① 当函数用解析式给出时，函数的定义域是使解析式有意义的实数的集合：分式的分母不等于零；偶次方根的被开方数不小于零；对数的真数大于零；指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1
② 当函数用图象给出时，函数的定义域是指图象在轴投影所覆盖的实数的集合
③ 当函数用表格给出时，函数的定义哉是指表格中实数的集合
④ 对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定；
⑤ 已知原函数的定义域求复合函数的定义域；
⑥ 已知复合函数的定义域求原函数的定义域；
⑦ 已知一复合函数的定义域求另一复合函数的定义域；
⑧ 已知函数定义域求参数的取值范围；
例（1）已知函数的定义域是，求的定义域。
　（2）已知，求的定义域
（3）已知函数的定义域是，求函数的定义域
（4）已知函数的定义域是，求实数的取值范围。
6、函数值域的求法：
① 观察法：即通过观察函数式直接得出函数的值域，此时经常需要运用如下结论：
（） ()
② 其本不等式法：转化成型如：，利用平均值不等式求值域；
例：求函数的值域
③ 利用函数的单调性：若函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。
例：求函数的值域
例：是定义在上的函数，且满足下列两个条件：
（Ⅰ）对于任意的、，有
（Ⅱ）当时，，且，求函数在上的最大值和最小值。
④ 分离常数法：对于形如的函数，我们常采用将其分离出一个常数，即函数式变形为：（、为常数），故函数的值域为
例：求函数的值域
⑤ 配方法：对于含二次三项式的函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如： 的形式来求值域。
例：（1）求函数 的值域；
（2）求函数的值域
⑥ 换元法：对一些无理函数或超越函数，通过代换把它化成有理函数，然后利用有理函数求值域的一些方法可间接地把原函数的值域求出。（实质上是通过变量代换转化为能求值域的函数，采用化归思想）
　例：的值域
⑦ 三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
　例：求函数的值域
⑧ 方程法（判别式法）：利用一元二次方程根的判别式求函

数值域的方法。
我们知道函数的值域是由函数的定义域与对应法则所确定的，根据这一道理，我们可将函数式看作关于的方程，再由方程有解的条件求出的范围；或解出再由函数的定义对的限制条件，建立关于的不等式，从而可求出函数的值域，这种方法称之为方程法。
例：求函数的值域
⑨ 数形结合：根据函数的几何图形，利用数形结合的方法来求值域。
例（1）求函数的值域。
（2）实数、满足，，求及
⑩ 导函数法：
例：求函数（）的值域
⑾ 已知函数值域求参数取值范围
　例：已知函数在区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围
　例：已知函数，
（Ⅰ）若函数的定义域为，求实数的取值范围。
（Ⅱ）若函数的值域为，求实数的取值范围。
三、函数的性质：函数的单调性、奇偶性、周期性
1、单调性：（注意定义是相对于某个具体的区间而言。）
① 定义：如果对于属于定义域Ⅰ内某个区间上的任意两个变量、，当时，都有，则称在这个区间上是增函数。
如果对于属于定义域Ⅰ内某个区间上的任意两个变量、，当时，都有，则称在这个区间上是减函数。
② 函数在区间上是单调递增函数，且，则
函数在区间上是单调递减函数，且，则
③ 判定方法有：
（ⅰ）定义法（作差比较和作商比较）步骤：取值--作差--变形--定号--判断
例：证明在区间内是增函数
（ⅱ）导数法
例：试讨论函数 (、)的单调性
（ⅲ）复合函数法（同增异减）
例：求函数的单调减区间
（ⅳ） 对于函数的单调性：增+增=增，减+减=减
（ⅴ） 图像法。
例：如果奇函数在区间（）上是增函数，且最小值为，那么在区间上是（ ）
A. 增函数且最小值为 B. 增函数且最大值为 C. 减函数且最小值为 D. 减函数且最大值为
2、奇偶性：（注意先判别定义域是否关于原点对称，后再考察与的关系。）
① 定义：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，则函数就叫偶函数。（图象关于轴对称）
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，则函数就叫奇函数。（图象关于原点对称）
② 为偶函数，则 ；函数为奇函数，则
③ 奇函数在关于原点对称的两区间和上的单调性相同，（图象关于原点对称）；偶函数在关于原点对称的两区间和上的单调性相反（图象关于轴对称）
④ 如果奇函数在处有定义，则
⑤ 奇函数+奇函数仍是奇函数，奇函数╳奇函数是偶函数，偶函数+偶函数是偶函数、偶函数╳偶函数是偶函数
⑥ 构造奇（偶）函数的简单方法：
　设是

定义域关于原点对称的函数，则是偶函数，而是奇函数。
⑦ 判别方法：
（ⅰ）定义法：步骤：先考查定义域是否关于原点对称，后判断或是否成立。
（ⅱ）图像法
（ⅲ）复合函数法
例：判断下列函数的奇偶性：
（1） （2） （3）　
（4） （5） （6）
（7） （8） （9）
3、周期性：
① 定义：若函数对定义域内的任意满足：,则为函数的周期。
② 若函数对定义域内的任意满足：,则为函数的周期。
（区分：函数对定义域内的任意满足，则其图象关于直线对称）
③ 若函数在定义域内对任意满足：,则是周期函数，且为函数的周期
④ 若函数满足，则是周期函数，且是它的一个周期
⑤ 若函数的图象关于直线、都对称，则是周期函数，且是它的一个周期
特例：偶函数的图象关于直线对称，则是周期函数，且是它的一个周期
⑥ 若函数的图象既关于，又关于点对称，则是周期函数，且是它的一个周期
特例：奇函数的图象关于直线对称，则是周期函数，且是它的一个周期
⑦ 若函数满足，则是周期函数，且是它的一个周期
4、抽象函数的单调性和奇偶性、周期性问题。
例：定义在上的函数，对任意的、，有，且，当时，，
（Ⅰ） 证明：
（Ⅱ） 证明：对任意的，恒有
（Ⅲ） 证明：是上的增函数
（Ⅳ） 若，求的取值范围。
例：定义在实数集上的函数，对任意、，有，且。
（1）求证： ；（2）求证：是偶函数
　例：设是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，对任意都有，且，（1）求、；（2）证明是周期函数，并求出它的一个周期。
四、图形变换：
对函数图像变换要求掌握常见基本函数的图像，掌握函数图像变换的一般规律；注意平移变化能够用向量的语言解释。
1、平移变换：　
① 将的图象沿轴向左平移个单位（）得到函数的图象（用代替）
② 将的图象沿轴向右平移个单位（）得到函数的图象（用代替）
③ 将的图象沿轴向上平移个单位（）得到函数的图象（用代替）
④ 将的图象沿轴向下平移个单位（）得到函数的图象（用代替）
　注意：（ⅰ）有系数，要先提取系数。如：把函数经过 __________得到函数的图象。
（ⅱ）会结合向量的平移，理解按照向量平移的意义。udg2、对称变换：
① 函数的图象关于轴对称的图象是函数 （用代替）
② 函数的图象关于轴对称的图象是函数 （用代替）
③ 函数的图象关于原点轴对称的图象是函数 （用代替、用代替）
④ 函数的图象关于直线对称的图象是函

数（交换、，反解）[涉及反函数，了解即可]
⑤ 函数的图象关于直线对称的图象是函数 （用代替）
⑥ 函数的图象关于点对称的图象是函数 （用代替、代替）
⑦ 若函数满足，则的图象关于点对称
3、翻折变换
① 函数的图象是将函数的图象轴及轴上方的图象保留，轴下方的图象关于轴对称
② 函数的图象是将函数的图象轴及轴右边的图象保留，并且将轴右边部分关于轴对称
4、伸缩变换：
① 将的图象上各点的纵坐标变为原来的（）倍，而横坐标不变，得到函数的图象 （用代替）
② 将的图象上各点的横坐标变原来的（）倍，而纵坐标不变，得到函数的图象 （用代替）
③的图象可由经伸缩及平移得到，具体参照三角函数的图象变换。
五、反函数：（了解即可）
指数函数（且）与对数函数（且）互为反函数；它们的图象关于直线对称；具有相同的单调性；指数函数的定义域与值域分别是对数函数的值域与定义域。
六、常用的初等函数：
1、一元一次函数： ()，当时，是增函数；当时，是减函数。
为使在区间上的值恒为正，则只要保证和同时成立即可
2、一元二次函数：
一般式： ()；对称轴方程是、顶点为；
顶点式：；对称轴方程是、顶点为；
两点式：；对称轴方程是；与轴的交点为、；
① 一元二次函数的单调性： ()
当时，为减区间、 为增区间； 当时，为增区间、 为减区间
② 求二次函数 在区间的最值问题：先采用配方法，化为的形式
Ⅰ、若顶点的横坐标在给定的区间上，即，则
当时：在顶点处取得最小值，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；
当时：在顶点处取得最大值，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；
Ⅱ、若顶点的横坐标不在给定的区间上，即，则
当时：最小值在距离对称轴较近的端点处取得，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；
当时：最大值在距离对称轴较近的端点处取得，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；
有三个类型题型：
(1) 顶点固定，区间也固定。例：求 的最值
(2) 顶点含参数(即顶点变动)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外。
例：已知函数在区间上的最大值为1，求实数的值。
(3) 顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数。例：求 的最值
③ 对形如：，求最值，应想到二次函数给定区间求最值
④ 二次方程实数根的分布问题： 设实系数一元二次方程（）的两根为、；则：
根的情况 、 、 、 图象 充要条件 根的情况 、 、 、 图象 充要条件

根的情况 或
图象
充要条件 从三个方面考虑：（1）判别式的正负；（2）区间端点函数值的正负；（3）对称轴与区间端点的位置关系。
若在闭区间讨论方程有实数解的情况，可先利用在开区间上实根分布的情况，得出结果，再令和检查端点的情况。
3、反比例函数：，当时，在区间和上是减函数；当时，区间和是增函数。（注意：切不能说在区间上是增(减)函数）。
对于函数可能通过分离常数，结合平移知识得到其图象
4、 指数函数：（且）
指数运算法则及根式与指数式的互化：
① ② （） ③
④ ⑤（） ⑥
⑦ ⑧
⑨ 当为偶数时： ； 当为奇数时：
指数函数： （且）

图

像
性

质 1、定义域是 2、值域 3、过点，即时， 4、在上是增函数
当时，；当时， 4、在上是减函数
当时，；当时， 5、对数函数：
对数运算法则及换底公式：
　① ②
③（） ④ （且）
⑤ ⑥ ⑦ 换底公式：
以为底的对数记为：，称为自然对数；以10为底的对数记为：，称为常用对数
对数函数：（且）

图
像
性
质
1、定义域： 2、值域： 3、当时，，即过定点 4、当时，；当时，
5、在上是增函数 4、当时，；当时，
5、在上是减函数 比较两个指数或对数的大小的基本方法是构造相应的指数或对数函数，若底数不相同时转化为同底数的指数或对数，还要注意与1比较或与0比较。
6、幂函数： （）
性质：① 所有的幂函在都有意义，并且图象都通过点（1，1）
② 幂函数的图象："正抛负双、大坚小横"
③ 若，则幂函数的图象过点（0，0），并且在区间上为增函数，
④ 若，幂函数在区间上为减函数，并且其图象无限接近坐标轴，但不与坐标轴相交。
练习：（1） 求函数的递增区间。
（2） 求函数的递增区间。
（3） 求函数的值域。
（4） 求函数（且）的最小值。
（5） 若，求函数的最大值和最小值。
（6） 已知关于的方程有实根，求的的取值范围。
（7） 判断函数的奇偶性和单调性。
7、函数 (、)
定义域：； 值域：；
奇偶性：奇函数；
单调性：增区间为、；减区间为：、；渐近线：、
8、三次函数：（）
求导得：；计算








9、三角函数参见第五章三角函数
七、函数与方程的关系
1、结合二次函数的图象，知道函数的零点和方程根的联系。
2、根的存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续

不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根。
3、根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解
八、函数模型及其应用
1、要知道指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升，指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义
2、了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。
九、凹凸函数：通常我们把图向下凸的函数称为凸函数，把图形向上凸的函数称为凹函数。
1、设线段所对应的函数为（），若当时，总有，则称函数为凸函数；若当时，总有，则称函数为凸函数。
2、凹凸是与函数定义域密切相关的，例如在上为凹函数，在上为凸函数。
3、定义在集合上的函数满足：对任意的、，都有，则我们称是上的凸函数；对任意的、，都有，则我们称是上的凹函数。
十、其它补充内容：
抽象函数的性质所对应的一些具体特殊函数模型：
①正比例函数：
②； 指数函数： （且）
③； 对数函数：
④余弦函数：
第三章 导数及其应用
一、导数定义
二、常用函数的导数公式：
① 这里是常数。即常数的导数值为0。
②　特别地：
③ ④
⑤ ⑥
⑦ ⑧
三、求导数的四则运算法则及复合函数的求导法则

四、导数的意义：
①几何意义：表示经过曲线上的切点的切线的斜率。
②物理意义：表示即时速度。表示加速度。
五、导数的应用：
1、求切线的方程。
　①已知切点时求切线的步骤：求出函数在点的导数，即曲线在切点的切线的斜率；再利用点斜式方程为：的可得切线的方程。
②若未知切点，根据需要，可先设切点坐标为，再根据具体问题用待定系数法求解
　例：求过点且与曲线在点处的切线平行的直线方程
2、导数与函数的单调性的关系
　①在区间上恒成立区间上为增函数
　②区间上为增函数区间上恒在成立
　单调区间的求解过程：已知，先分析的定义域；再求导数 ；最后解不等式，解集在定义域内的部分为增区间（解不等式，解集在定义域内的部分为减区间）。
例：设，点是函数与的图象的一个公共点，两函数的图象在处有相同的切线，（1）用表示、、； （2）若函数在上单调递减，求的取值范围。
3、求极值、求最值。
　① 注意：极值≠最值。函数在区间上的最大值是 、和极大值中最大的一个。最小值是 、和极小值中最小的一个。
　② 由还不能得到确定当为极值点，还需结合函数的单调性才能作出判

断。如不是的极值点；
　③ 极值点的可能除了使外，还有可能在不可导点处，如
　④ 若为极值点则可到
　⑤ 已知，求函数极值的步骤：先求导数 ；再由方程求出得可疑点（还应包括不可导点）；最后检查在可疑点处左右的值的符号，从而确函数的在方程根左右的区间的单调性，如果左增右减，那么在这个可疑点处取得极大值，如果左减右增，那么在这个可疑点处取得极小值。
例：已知函数（）是上的奇函数，当时，取得极值－2，
（1）求的单调区间和极大值； （2）证明：对任意，不等式恒成立。
4、利用导数证明不等式
例：已知，求证：
5、刻画函数（比初等方法精确细微）可与方程结合起来
例：已知函数，试证明方程在区间内有且仅有一根
例：已知函数在区间上是增函数，在区间上为减函数
（1） 求的表达式；
（2）若当时，求使不等式恒成立的最小自然数
（3）是否存在实数使得关于的方程在区间上恰好有两个相异的实根，求实数的取值范围
6、导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向。

第四章 定积分
一、曲边梯形的面积
1、设曲边梯形是由连续曲线、轴，与直线、所围成，如图，计算时可分为四个步骤：分割、近似代替、求和、取极限。
二、定积分
1、如果函数在区间上连续，用分点将区间等分为个小区间，在每个小区间上任取一点（），作和式，当时，上述和式无限趋近于某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分，记作，即
① 积分值仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的字母无关。即
② 定义中区间的分法和的取法都是任意的。
③ 在定积分的定义中，限定下限小于限，即，为了方便计算，可以把定积分的概念扩大，使下限不一定小于上限，并规定：、
2、定积分的性质：
①
　②
　③ （）
3、定积分的几何意义：在区间上，若既可取正值又可取负值时，曲线的某些部分在轴上方，而其他部分在轴下方，如果我们将在轴上方的面积赋予正值，在轴上方的面积赋予负值，那么在一般情形下，定积分的几何意义是曲线以及直线、与轴所围成的曲边梯形的面积的代数和；
例：计算下列定积分：（1） （2）
4、微积分基本定理（牛顿－莱布尼兹公式）：
一般地，如果是区间上的的连续函数并且函数，那么：。
5、基本积分公式：
① ② ③
④ ⑤ ⑥
⑦
6、定积的应用：
① 平面图形的面积：如果平面图形由连续曲线、，与直线、所围成，那么这块图形的面积为：

② 由曲线以及两

条直线、和轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周面成的旋转体的体积分式为：

③ 变速直线运动的路程：作变速直线运动物体所经过的路程等于其速度函数（）在时间区间上的定积分，
即：
④ 变力作功：一物体沿变力相同方向从移动到时，变力所作的功为：




第四章 数列
一、基本概念：数列的定义及表示方法；数列的项与项数；有穷数列与无穷数列；常数列、递增（减）数列、摆动数列、循环数列；通项公式；前项和公式；等差数列；等差中项；等比数列；等比中项
二、基本公式：
1、一般数列的通项与前项和的关系：，若满足由推出的，则需要统一"合写"；若不满足，则数列的通项应分段表示。
2、等差数列的通项公式：、 (其中为首项、为已知的第项) 当时，是关于的一次式；当时，是一个常数。
3、等差数列的前项和公式：
当时，是关于的二次式且常数项为0；当时（），是关于的正比例式。
4、等比数列的通项公式： (其中为首项、为已知的第项，)
5、等比数列的前项和公式：当时， (是关于的正比例式)；
当时，
三、有关等差数列的结论
1、等差数列中，若，则
2、等差数列的任意连续项的和构成的数列、、、、......仍为等差数列。
3、、、分别是等差数列的前项和、前项和、前项和，则、、也成等差数列。
4、两个等差数列与的和差的数列、仍为等差数列。
5、等差数列的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。
6、为等差数列，则 ()是等比数列。
7. 在等差数列中：
　① 若项数为，则
　② 若项数为则， ，
8、两个等差数列与的前项和分别为、，则
9、看到形如：、、、、、、、、、应能从中找出相应的等差数列。
四、有关等比数列的结论
1、等比数列中，若，则
2、等比数列的任意连续项的和构成的数列、、、、......仍为等比数列。
3、两个等比数列与的积、商、倒数组成的数列、、仍为等比数列。
4、等比数列的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。
5、()是等比数列，则 (且) 是等差数列。
6. 在等比数列中：
　① 若项数为，则
　② 若数为则，
7、看到形如： 、、、、应能从中找出相应的等差数列。
五、求数列的最大、最小项的方法：
1、比差法： 如
2、比商法： () 如
3、利用函数的单调性： 研究函数的增减性 如
六、在等差数列中,有关的最值问题
1、邻项变号法
① 当 、时，满足 的项数使得取最大值.
② 当 、时，满足 的项数使得取最小值.
2、利用（时，是关于的二次函数）进行配方
七、数列求和的

常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。关键是找数列的通项结构。
1、分组法求数列：通项虽然不是等差等比数列，但通过拆分可以化为由等差、等比的和的形式，再分别用公式法求和。
例：已知数列的通项为：，求
2、错位相减法：利用等比数列前项和公式的推导方法求解，一般可解决一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得数列的求和。
例：已知数列的通项为：，求
3、裂项相消法：将数列的通项裂成两项之差求和时，正负相消，剩下首尾若干若。
常见裂项有：、
例：已知数列的通项为：，求
4、倒序相加法：利用等差数列前项和公式的推导方法求解，将数列正着写，倒着写再相加。
例：已知，（、）求
在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
八、由数列递推关系式求通项公式。
1、形如型（用累加法）
　例：已知数列满足、，求
2、形如型（阶差法、参数法）。
　例：若数列满足、，求
3、递推关系中既含有，又含有型（统一为仅含有项或仅含有和的关系，然后再作处理，依据是）
例：已知数列的前项和为，且满足，
（1）求证：是等差数列； （2）求的表达式
九、有关的思想方法
1、从方程的思想上看：利用通项公式和前项和公式及等差数列的五个量：、、、、（等比数列的五个量：、、、、）中的三个量可求其余两个量，即"知三求二"，基本能解决数列的常规考题。
2、从函数的思想上看：等差、等比数列的通项公式、求和公式都可以看作是的函数，所以等差、等比数列的某些问题可以化为函数问题求解.
3、从分类讨论的思想上看：用等比数列求和公式应分为 ()及 ()；已知求时，也要进行分类。
4、在解数列问题时，应注意观察题目中给出条件中"下标"的特点，有时可以更简便的计算
5、在解答有关的数列应用题时，要认真地进行分析，将实际问题抽象化，转化为数学问题，再利用有关数列知识和方法来解决。解答此类应用题是数学能力的综合运用，决不是简单地模仿和套用所能完成的.特别注意与年份有关的等比数列的第几项不要弄错。


第六章 不等式
一、不等式的基本性质：
1、反对称性：若，则
2、传递性：若，，则
3、加法单调性：若，为任意实数，则
4、乘法单调性：若，为任意实数，则 若，为任意实数，则
5、不等式相加（指同向不等式）：若，，则
6、不等式相减（指异向不等式）：若，，则
7、不等式相乘：若，，则
8、不等式相除：若，，则
9、乘方法则：若，且，则
10、开方法则：若，且，则
11、

倒数法则：若且，则
二、均值不等式：两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
1、若、，则 （当且仅当时取等号）
① 基本变形：；
② 基本应用：放缩，求函数最值（常用的方法为：拆、凑、平方；）
③ 注意确保"一正二定三相等"
④ 积定和小，和定积大。
例：（1）函数的最小值 。
（2） 若正数满足，则的最小值 。
三、绝对值不等式： 注意：上述等号"＝"成立的条件；
变式：如果、、为实数，则，当且仅当时取等号
四、柯西不等式：
1、柯西不等式的向量形式：（当且仅当时取等号）
2、（当且仅当时取等号）
3、二维形式三角不等式：
五、证明不等式常用方法：
1、比较法：作差比较：、、
作差比较的步骤：作差（对要比较大小的两个数（或式）作差）；变形，（对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和）；判断差的符号，（结合变形的结果及题设条件判断差的符号）；得出结论。
注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小。此外，有时也用到比商法
2、综合法：执因索果。
3、分析法：执果索因。基本步骤：要证......只需证......，只需证......
4、反证法：正难则反。
5、放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。
放缩法的方法有：
① 添加或舍去一些项，如：；
② 将分子或分母放大（或缩小）
③ 利用基本不等式，如：；
④ 利用常用结论：
(ⅰ) ；
(ⅱ) ；
(ⅲ)
6、换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。如：
已知，可设、
已知，可设、 ()；
已知，可设、
已知，可设、
7、构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；
六、不等式的解法：
1、一元一次不等式：
① ：⑴ 若，则； ⑵ 若，则；
② ：⑴ 若，则； ⑵ 若，则；
2、一元二次不等式：
注重二次函数、一元二次方程、一元二次不等式这三个二次之间的联系。能根据二次函数的图象解一元二次不等式；会解简单的含参数的不等式，要应用分类讨论的的思想；对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图。
例：已知二次函数（、、）满足且，对于任意实数都有、（1）证明， （2）设函数（），求的取值范围，使函数上是单调函数。
3、绝对值不等式：若，则；或；
① 绝对值的几何意义：、
② 解有关绝对值的问题，考虑去绝对值，去绝对值的方法有：
（ⅰ）对绝对值内的部

分按大于、等于、小于零进行讨论去绝对值；
若 则；若 则； 若 则；
（ⅱ）通过两边平方去绝对值；需要注意的是不等号两边为非负值。
（ⅲ）含有多个绝对值符号的不等式可用"按零点分区间讨论"的方法来解。
例：解不等式：、
4、高次不等式的解法：（穿根法：最高次为正时从右上角开始、最高次为负时从右下角始；奇过偶不过）
5、分式不等式的解法：（通常变形为整式不等式，也可考虑用穿根法）
6、指数不等式和对数不等式（利用函数的单调性）
6、解含有参数的不等式：
解含参数的不等式时，首先应注意考察是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则一般需要讨论：
① 不等式两端乘除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正、负、零性.
② 在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论.
③ 在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况(有时要分析△)比较两个根的大小,设根为、（或更多）但含参数，要分、、讨论。
7、不等式组的解法：分别求出不等式组中，每个不等式的解集，然后求其交集，即是这个不等式组的解集，在求交集中，通常把每个不等式的解集画在同一条数轴上，取它们的公共部分。
七、二元一次不等式组与简单线性规划
1、了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。（直线定界、原点定域）
2、利用图解法解决线性规划问题的一般步骤：
① 作出可行解、可行域，将约束条件中的每一个不等式当作等式，作出相应的直线，并确定原不等式表示的半平面，然后求出所有半平面的交集；
② 作出目标函数的等值线；
③ 求出最终结果，在可行域内平行移动目标等值线，从图中能判定问题有唯一最优解，或者是有无穷最优解，或是无最优解。
3、能从实际情境中抽象简单的二元线性规划问题，并加以解决，其步骤为：
① 认真分析并掌握实际问题的背景，收集有关数据；
② 将影响问题的各项主要因素作为决策量，设为未知数；
③ 根据问题特点，写出约束条件；
④ 根据问题特点，写出目标函数，并求出最优解或其他要求的解。
第七章 三角函数
一、基本概念和定义：正角、负角、零角、角度制、弧度制、象限角、轴上角、正弦、余弦、正切、余切、正割、余割、正弦线、余弦线、正切线
二、同角关系：
1、倒数关系：（对角线上的两个三角函数值互为倒数）

2、平方关系：（有阴影部分的三角形上面

二个顶点处的三角函数值的平方和等于下面顶点处的三角函数值的平方。）

3、商的关系：（正六边形任意相邻三个顶点中两端的三角函数值的积等于中间的三角函数值。）
三、诱导公式：奇变偶不变，符号看象限
四、三角恒等变换
1、两角和与差的三角函数
（1）正弦的和角公式： ①
（2）正弦的差角公式： ②
（3）余弦的和角公式： ③
（4）余弦的差角公式： ④
（5）由①/③得正切的和角公式： ⑤
（6）由②/④得正切的和角公式： ⑥
注：公式⑤⑥有变式：
2、二倍角公式：
（1）对公式①令可得正弦的二倍角公式： ⑦
变式1：（万能公式）
变式2：（1与正弦的配搭）
（2）对公式③令可得余弦的二倍角公式： ⑧
变式1：（万能公式）
变式2： ⑨ ⑩
变式3：（降幂公式）由公式⑨、⑩变形可得降幂公式： ⑾ ⑿
变式4：（1与余弦的配搭）
（3）对公式⑤令可得余弦的二倍角公式：（也可以由公式⑦/⑧再经过变形）可得： ⒀
正切的半角公式：
3、积化和（差）
在和（差）角中，由①+②得： 即 ⒁
在和（差）角中，由①-②得：即 ⒂
在和（差）角中，由③+④得： 即⒃
在和（差）角中，由③-④得： 即⒄
4、和（差）化积
令 和，则有和，分别代入⒁、⒂、⒃、⒄得：
即 ⒅
即 ⒆
即 ⒇
即 (21)
5、辅助角公式： （其中辅助角的终边与点在同一象限，且）
五、正弦函数、余弦函数、正切函数的图像及性质
五点 、、、、 、、、、 草图 定义域 值域 单调区间 增：减： 增： 减： 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 对称轴 （经过最高或最低点且与轴垂直的直线） （经过最高或最低点且与轴垂直的直线） 对称中心 （图像与轴的交点） （图像与轴的交点） （1）能用五点法作正弦函数、余弦函数的草图；利用图像掌握函数的二域三性，能找出对称轴、对称中心；能利用三角函数的图象解简单的三角方程、三角不等式。
（2）了解函数（）的物理意义，能作出其科图像，根据其图象了掌握其性质：
振幅，周期, 频率, 相位，初相
（3）函数的图像是由函数经过平移、伸缩变换得到的。
例：要得到函数的图像，只需将函数的图像进行怎样的平移？
（4）正切函数的图象：利用正切函数的图像掌握其二域三性，能找出对称中心。
定义域：； 值域：； 奇函数； 增区间：；
周期：
六、三角函数的最值
① 一次型（引入辅助角，化为，再由正弦的取

值范围求之）
例：求函数的最值。
例：求函数，的最值。
②二次型（设，化为二次函数在闭区间上的最值求之）
例：求函数的最值。
③形如：（1、由的有界性来限定；2、分离常数法；3、数形结合；）
例：求函数的最值。
④ 形如：（设，化为二次函数，在闭区间上求之）
例：求函数的最值。
七、三角变换：
① 化函数名变换：通过变换，化异名函数为同名函数，或减少函数名，变函数名可根据同角变名或异角变名。（如切割化弦法）
例：化简
② 化角变换（、）
例：已知：，且 、（）求证：
③ 公式变换：两角和的正切公式的变形：
例：求值
④ 升降幂的变换：倍角公式及其变形
例：化简
例：化简
例：求证函数的最小正周期是：
⑤ "1"的三角代换。
例：求证：=
八、公式、结论
1、弧长、扇形面积公式：、
2、同角三角函数值的大小比较
　与的大小关系如图1（阴影部分；无阴影部分）；
　与0的大小关系如图2（阴影部分；无阴影部分）；
　与的大小关系如图3（阴影部分；无阴影部分）




3、在中，；
4、、为锐角的两个内角，则
5、、为钝角的两个锐角，则
6、在中,给定、的正弦或余弦值,则角的正弦或余弦有解(即存在)的充要条件是
　有解有解
因此判断是否有解,只须考虑的符号即可,了解这一结论对做选择题或填空题来说,将十分方便.
如: 在中, 中，，，则= .
第八章 解三角形
一、正弦定理：（为三角形外接圆半径）
变式1：（边化角） 、、
变式2：（角化边）、、
变式3：（求三角形面积）
二、余弦定理：
三、解三形的类型：SSS（先用余弦定理求角）、SAS（先用余弦定理求第三边）
AAS（先用正弦定理求边）、ASA（用正弦定理求边）
SSA（有可能出现无解、一解、二解，可用正弦定理，也可用余弦定理）
四、在中有下列常见知识：
1、等边对等角、等角对等边、大边对大角、大角对大边
2、、、成等差数列的充要条件是、
3、、、、
4、给定、的正弦值或余弦值，则的正弦值或余弦值有解的充要条件是：，证明如下：
有解有解
五、解三形应用的有关名词、术语：仰角和俯角、方位角、坡角、坡比
六、解三形应用要求能够运用正弦定理、余弦定理等知识和解决一些与测量和几何计算有关的实际问题（可以参见必修五中的例题）


第九章 向量
本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向

量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等。由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几、立几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点。
一、基本概念：向量、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量（平行向量）、相等向量。
二、向量的线性运算
1、向量加法
① 定义
② 向量加法的三角形法则（首尾相连，首尾连）
③ 向量加法的平行四边形法则：以向量、为邻边作平行四边形，则向量
2、向量减法
① 定义
② 向量减法的三角形法则（首首相连，尾连尾，方向指向被减）
③ 向量减法的平行四边形法则：以向量、为邻边作平行四边形，则向量、，
3、实数与向量积：
① 定义：实数与向量的积是一个向量。
② ;
③ 当时，与的方向相同； 当时，与的方向相反； 当时，
4、运算律： (交换律)、(结合律)、、
、、
5、
三、向量共线的条件：
1、平行向量的基本定理：如果，则；如果（），则存在唯一实数，使
2、三点共线
四、平面向量基本定理：
①若、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使得（其中，、叫做表示这一平面内所有向量的基底。当基底、是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系。
②三点共线，这是直线的向量参数方程式，特别地，当时，为线段的中点。
③ 在平面坐标系中，分别取与轴、轴正方向相同的两个单位向量、作为基底，对任一向量，有且仅用一对实数、，使得，则实数对叫做向量的坐标，叫做向量坐标表示。
④ 在平面坐标系中，若，则，若，，则
⑤ 平面向量的坐标运算
若、，则
、、、
五、平面向量的数量积
1、向量的夹角：已知两个非零向量与，作， ，则 （）叫向量与的夹角。
2、两个向量的数量积：已知两个非零向量与，它们的夹角为，则 其中称为向量在方向上的投影。
3、向量的数量积的性质：
若、，则 (为单位向量);
(、为非零向量)；;
．
4、向量的数量积的运算律：； ；
六、定比分点坐标公式：若；、、的坐标分别为、、；
则由向量相等的充要条件易得： （）， 中点坐标公式：
七、常见结论：
1、若，则与的中线的共线
2、，则与的角平分线的共线
3、，则与的角高线的共线
八、空间向量中，向量的定义、零向量、平行（共线）向量、向量的长度（模）、相等向量与平面向量中定义完全一致。空间向量的线性运算及运算律同平面向量一致。空间向量的坐标运算与平面向

量相类似，只是扩展到三维，
空间向量基本定理：如果三个向量、、不共面，那么空间任一向量，存在唯一有序数组、、，使得

第十章 立体几何
一、柱、锥 、台、球及其简单组合体的结构特征及有关的计算公式。（有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式法为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素。要注意运用好"平面化"的方法）
1、棱柱
　① 掌握棱柱的定义、分类，理解直棱柱、正棱柱的性质。
　② 掌握长方体的对角线的性质。
　③ 平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体这些几何体之间的联系和区别，以及它们的特有性质。
　④ 各侧面的面积和。
2、棱锥
　① 棱锥的定义、分类、理解正棱锥的定义（底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面的中心）
　② 高与斜高的区别
　③ 相关计算：各侧面的面积和、
3、棱台：
　① 棱台的定义、分类、理解正棱锥的定义
　② 高与斜高的区别
　③ 相关计算：各侧面的面积和、
4、圆柱：、
5、圆锥：、
6、圆台：，
7、球的相关概念：、
二、三视图和直观图
空间几何体的三视图可以使我们很好地把握空间几何体的性质．由空间几何体可以画出它的三视图，同样由三视图可以想象出空间几何体的形状，两者之间可以相互转化。
直观图（斜二测画法）："横同纵半、45度"
三、平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.
公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.
公理3 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面.
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
四、平行关系的转化：由下面的框图易知三者之间可以进行任意转化，因此要判定某一平行的过程就是从一平行出发不断转化的过程，在解题时把握这一点，灵活确定转化的思路和方向。
　①
　②
　③
　④
　⑤
　⑥
五、垂直关系的转化：在证明线面垂直时，一般先从现有的线线垂直寻找思路，在证明两平面垂直时一般先从现有直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决。如有平面垂直时，一般要用性质定理（即⑨），在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直。故

熟练掌握"线线垂直""面面垂直"间的转化条件是解决这类问题的关键。
⑦
⑧
⑨
⑩
六、三类角：
1、线线角：、是两条异面直线，经过空间任意一点，分别引直线，，,则和所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角。
　①求解方法：根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角；解含有θ的三角形，求出角的大小。
求两条异面直线所成的角的关键是作出这两条异面直线所成的角，作两条异面直线所成的角的方法是：将其中一条平移到某个位置使其与另一条相交或将两条异面直线同时平移到某个位置使它们相交，然后在同平面内求相交直线所成的角，值得注意的是：平移后相交所得的角必须容易算出，因此平移时要求选择恰当位置，一般提倡在几何体内部作角，这样较易求。
　② 取值范围：
2、线面角：
　① 直线和平面所成的角有三种：
　(i) 一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角；
　(ii) 一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；
　(iii)一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是的角。
　② 求解方法：作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角；解含的三角形，求出其大小。（关键是找斜线在平面内的射影）
　③ 取值范围：
　④ 最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角，亦可说，斜线和平面所成的角不大于斜线与平面内任何直线所成的角。
3、面面角（二面角）：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个平面叫做二面角的面，即二面角由半平面――棱――半平面组成。
① 二面角的平面角：以二面角棱上任意一点为端点，分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.
② 二面角的平面角的确定方法
(i) 定义法：在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线
(ii) 垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条射线所成的角，即二面角的平面角
(iii)三垂线法：该法也就是利用三垂线定理或逆定理来寻找二面角的平面角，最常用也是最好使的一种方法，由一个半平面内异于棱上的向另一半平面作垂线，垂足为，由点向二面角的棱作垂线，垂足为，连结，则为二面角的平面角。
(iv) 根据特殊图形的性质
③ 求二面角大小的常见方法
(i) 先找(或作)出二面角的平面角，再通过解三角形求得的值。
(ii) 利用面积射影定理

（其中为二面角一个面内平面图形的面积，是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积，为二面角的大小。
④ 取值范围：
七、点面距离：从面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离。
　求点面距离常用的方法：
① 直接利用定义求：找到(或作出)表示距离的线段；抓住线段(所求距离)所在三角形解之。
② 利用两平面互相垂直的性质，即如果已知点在已知平面的垂面上，则已知点到两平面交线的距离就是所求的点面距离.
③ 等体积法，其步骤是：在平面内选取适当三点，和已知点构成三棱锥；求出此三棱锥的体积和所取三点构成三角形的面积；由，求出即为所求.这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离，难点在于如何构造合适的三棱锥以便于计算。
八、对于平面图形的翻折，要注意翻折前后的长度、角度、位置的变化，翻折前后在同一个三角形中的角度、长度不变。
九、熟记立几常见结论，速解有关客观题
1、若、是异面直线、上两点，是公垂线段，那么异面直线与所成的角满足
2、从一点出发的三条射线、、，若，则点在平面上的射影在的平分线上。
3、如右图，和平面所成的角是，在平面内，和的射影成，设，则
4、棱长为的正四面体两对棱间的距离为，高为，体积为，内切球半径为，
外接球半径为，全面积为：，相邻两个侧面的所成的二面角为：
6、长方体的外接球直径恰为其对角线长。
十、用向量解决立体问题
1、点、线、面的向量表示：当建立空间直角坐标系后
① 空间中的点可以用序实数组来表示。
② 在直线上任取不重合两点、，得可作为直线的方向向量。
③ 为求平面的法向量，我们可以先设其法向量为（、、不能同时为零），然后在平面中任找两条相交直线、，其方向向量分别为、，由得，求得一组解，则可作为平面的一个法向量。
2、用空间向量可以解决的立体几何问题
① 线线平行：要证明，只需证明直线、的方向向量、平行，即存在一个非零实数满足
② 线面平行：要证明（如图），只需证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，即。
在证明时，也通过证明（、为平面内的点），再利用线面平行的判定定理证明。
③ 面面平行：要证明（如图），只需证明平面、的法向量、平行，即存在一个非零实数满足
④ 线线垂直：要证明，只需证明直线、的方向向量、垂直，即
⑤ 线面垂直：要证明直线（如图），只需证明直线的方向向量与平面的法向量平行，即存在一个非零实数满足。
在证明时，可通过证明且（、、为平面内

不共线的三个点），再利用线面垂直的判定定理证明。
⑥ 面面垂直：要证明（如图），只需证明平面、的法向量的法向量、垂直，即
⑦ 异面直线的夹角：欲求、所成的角为，可以由夹角公式求得方向向量、的夹角，由于向量夹角的范围是，而异面直线夹角的范围是，故，即
⑧ 直线与平面所成的角：欲求直线与平面所成的角，先求直线的方向向量与平面的法向量的夹角，则
　，即，因此可根据直接求出。
⑨ 二面角：欲求二面角的大小，先求平面、的法向量、的夹角，然后再求，且有
⑩ 点点距离：　欲求、的距离，可以通过求向量的模来求、的距离，即
⑾ 点面距离：欲求平面外一点与平面的距离，可先在平面内任找一点，得向量，再求向量在平面的法向量的投影的长度，即
⑿ 线线距离：欲求异面直线、的距离，可类似求平面法向量的方法，先求与直线、的方向向量、均垂直的向量，然后在直线、上各取一点、，得向量，最后求向量在向量的投影的长度，即。
⒀ 点线距离：欲求直线外一点与直线的距离，可先在直线上任取一点，得向量，然后求出向量与直线的方向向量上的射影　则点到直线的距离（也可以先求向量与直线的方向向量的夹角，再求点到直线的距离）
⒁ 线面距离可以转化为点面距离解决
⒂ 面面距离可以转化为点面距离解决
⒃ 对于某些空间几何体如果不能或不容易建立空间直角坐标系，我们只要选取三个不共面的向量作为基底，应用相同的方法同样可以解决相应的几何问题，但在运算量方面相对要大一些。
例4：在空间四边形中，，，求证：
3、用空间向量解决立体几何问题的三步曲是：
① 建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；
② 通过向量的运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；
③ 把向量的运算结果"翻译"成相应的几何意义。

第十一章 解析几何（附4－4坐标系和参数方程）
一、直线
1、直线的倾斜角与斜率（关系如右图）：直线的倾斜角一定存在，范围是，但斜率不一定存在。
直线的倾斜角与斜率的变化关系：当倾斜角是锐角时，斜率随着倾斜角的增大而增大。当是钝角时，随着倾斜角的增大而增大。
斜率的求法：依据直线方程化为斜截式；依据倾斜角； 依据两点的坐标
2、直线方程的几种形式，要求能根据条件，合理的写出直线的方程；能够根据方程，说出几何意义。注意各类方程适应的范围；注意截距不是距离，截距相等时不要忘了过原点的特殊