滞回曲线的定义为

滞回曲线的定义为：由于材料的弹塑性性质，当荷载大于一定程度后，在卸荷时产生残余变形，即荷载为零而变形不回到零，称之为“滞后”现象，这样经过一个荷载循环，荷载位移曲线就形成了一个环，将此环线叫做滞回环，多个滞回环就组成了滞回曲线！

滞回曲线的物理意义为：地震时，结构处于地震能量场内，地震将能量输入结构，结构有一个能量吸收和耗散的持续过程。当结构进入弹塑性状态时，其抗震性能主要取决于构件耗能的能力。滞回曲线中加荷阶段荷载－位移曲线下所包围的面积可以反映结构吸收能量的大小；而卸荷时的曲线与加载曲线所包围的面积即为耗散的能量。这些能量是通过材料的内摩阻或局部损伤（如开裂、塑性铰转动等）而将能量转化为热能散失到空间中去。因此，滞回曲线中滞回环的面积是被用来评定结构耗能的一项重要指标。

滞回曲线

hysteretic curve

在反复作用下结构的荷载－变形曲线。它反映结构在反复受力过程中的变形特征、刚度退化及能量消耗，是确定恢复力模型和进行非线性地震反应分析的依据。又称恢复力曲线（restoring force curve）。

结构或构件滞回曲线的典型形状一般有四种:梭形、弓形、反S形和Z形

滞回曲线

梭形说明滞回曲线的形状非常饱满，反映出整个结构或构件的塑性变形能力很强，具有很好的抗震性能和耗能能力。例如受弯、偏压、压弯以及不发生剪切破坏的弯剪构件，具有良好塑性变形能力的钢框架结构或构件的P一△滞回曲线即呈梭形。

弓形具有“捏缩”效应，显示出滞回曲线受到了一定的滑移影响。滞回曲线的形状比较饱满，但饱满程度比梭形要低，反映出整个结构或构件的塑性变形能力比较强，节点低周反复荷载试验研究性能较好，.能较好地吸收地震能量。例如剪跨比较大，剪力较小并配有一定箍筋的弯剪构件和压弯剪构件，一般的钢筋混凝土结构，其滞回曲线均属此类。

反S形反映了更多的滑移影响，滞回曲线的形状不饱满，说明该结构或构件延性和吸收地震能量的能力较差。例如一般框架、梁柱节点和剪力墙等的滞回曲线均属此类。

Z形反映出滞回曲线受到了大量的滑移影响，具有滑移性质。例如小剪跨而斜裂缝又可以充分发展的构件以及锚固钢筋有较大滑移的构件等，其滞回曲线均

第三讲---双曲线的第二定义

第三讲 双曲线的第二定义
知识梳理
（一）双曲线的第二定义：平面内一动点 的比为常数 e ? 到一定点 F (c, 0) 的距离与到一定直线 L : x ?
a2 的距离 c
c (e>1) a
定点 F (c, 0) 是双曲线的焦点，定直线 L 是双曲线的准线，常数 e 是双曲线的离心率。 （二）焦点三角形的面积公式。
S?
1 ? r1r2 sin ? ? b 2 tan 2 2
3.双曲线的方程，图形，渐进线方程，准线方程和焦半径公式： 标准方程 图像 渐进线方程
x2 y 2 ? ? 1(a ? 0.b ? 0) a 2 b2
b x a a2 x?? c M 在右支上 r左 =|MF1 |=ex0 ? a y??
y 2 x2 ? ? 1(a ? 0.b ? 0) a 2 b2
a x b a2 y?? c y??
准线方程
半径公式
r右 =|MF2 |=ex 0 ? a M 在左支上 r左 =|MF|=-ex 1 0 ?a r右 =|MF2 |=-ex 0 ? a
典例分析 题型一：与双曲线准线有关的问题 例 1.(1)若双曲线
x2 y 2 ? ? 1 上一点 P 到右焦点的距离等于 13 ，则点 P 到右准线的距离为______ 13 12
x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 2，则该双曲线的两条准线间的距离为________ A.若双曲线 m 3
练习：已知双曲线的渐进线方程为 3x ? 2 y ? 0 ，两条准线间的距离为 解：双曲线渐进线方程为 y ? ?
16 13 ，求双曲线的标准方程。 13
3 x 2
1

圆锥曲线的两个定义

1.圆锥曲线的两个定义： （1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点的距离的和等于常数2a，且此常数2a一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段，当常数小于时， 无轨迹；双曲线中，与两定点的距离的差的绝对值等于常数 2a，且此常数2a一定要小于，定义中的“绝对值”与 不可忽视。若，则轨迹是以为端点的两条射线，若，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨 迹仅表示双曲线的一支。比如： ①已知定点，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是 A． B． C． D．（答：C）； ②方程表示的曲线是_____（答：双曲线的左支） （2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。 如已知点及抛物线上一动点P（x,y）,则y+|PQ|

的最小值是_____（答：2） 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x轴上时 （参数方程，其中为参数），焦点在y轴上时。方程表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B）。比如：已知方程表示椭圆，则k 的取值范围为____（答：）； （2）双曲线：焦点在x轴上：，焦点在y轴上： 。方程表示双曲线的充要条件是什 么？（ABC≠0，且A，B异号）。比如：双曲线的离心率等于， 且与椭圆有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答： ）； （3）抛物线：开口向右时，开口向左时

双曲线的定义、标准方程及几何性质

高二数学学案 序号 112-113高二年级 班 教师 毕 环 学生 复习三十五 双曲线的定义、标准方程及几何性质 〖学习目的〗1、掌握双曲线的定义、标准方程及几何性质 2、会用定义和几何性质解决简单问题；会求双曲线的标准方程； 〖重点难点〗定义、几何性质的理解及应用 〖学习过程〗 一、复习归纳 1、双曲线的定义：到两定点距离之差的绝对值等于一个常数（小于两定点间距离）的动点 的轨迹为双曲线。 即：当21212F F a PF PF <=-时，P 的轨迹为双曲线；21F F 是焦距，c F F 221= 注： 1）双曲线有两支，设21,F F 分别是左、右焦点，则当a PF PF 221=-时表示右支； 当a PF PF 212=-时表示左支； 2）当21212F F a PF PF ==-时，P 的轨迹为以1F 、2F 为端点的两条射线； 3） 当21212F F a PF PF >=-时，P 的轨迹不存在； 2、双曲线的标准方程 1）当焦点在x 轴上时，双曲线的标准方程为)0,0(12222>>=-b a b y a x ，其中：焦点坐标是)0,(c ± 2）当焦点在y 轴上时，双曲线的标准方程为 )0,0(12 2 22>>=-b a b x a y ，其中：焦点坐标是),0(c ± 注意：（1）222 b a c += 注意与椭圆的区别。 （2）方程特征：左边是平方差的结构，右边是1；分母均大于0，但大小不定； （3）根据方程判断焦点的位置的方法：看系数的符号（正负）； 即2x 的系数大于0则在x 轴上，且2x 的分母即是2a ； 反之，2y 的系数大于0则在y 轴上，且2y 的分母即是2a 。 3、求双曲线方程，先要判断焦点的位置，若两种均有可能，则分两种情况讨论； 有的问题也可用两种标准方程的统一形式：)0(122 <=+mn ny mx 来设方程。 4、常用小结论： 1）与双曲线 122 22 =-b y a x 共渐近线的双曲线系方程为：)0(22 22 ≠=-λλb y a x 2）、以x a b y ±= 渐近线的双曲线可设为：)0(2222≠=-λλb y a x 5、双曲线的标准方程与几何性质 二、例题讲解 例1、（1）已知两定点1(5,0)F -,2(5,0)F ,动点P 满足126PF PF -=,求动点P 的轨迹方程 （2）已知两定点1(5,0)F -,2(5,0)F ,动点P 满足1210PF PF -=,求动点P 的轨迹方程. （3）已知双曲线C 与双曲线14 162 2=-y x 有公共焦点，且过点)2,23(，求该双曲线的方程。 例2、方程 1112 2=-++k y k x 表示双曲线，则k 的取值范围是 （ ） A ．11<<-k B ．0>k C ．0≥k D ．1>k 或1-

计算机图形学上机实验4_实现Bezier曲线和Bezier曲面的绘制

昆明理工大学理学院 信息与计算科学专业操作性实验报告 年级： 10级姓名：刘陈学号： 201011101128 指导教师： 胡杰 实验课程名称：计算机图形学程序设计开课实验室：理学院机房216 实验内容： 1．实验/作业题目:用计算机高级语言VC++6.0实现计算机的基本图元绘制2．实验/作业课时：2学时 3．实验过程(包括实验环境、实验内容的描述、完成实验要求的知识或技能)：实验环境：（1）硬件：每人一台PC机 （2）软件：windows OS，VC++6.0或以上版本。 试验内容及步骤: （1）在VC++环境下创建MFC应用程序工程（单文档） （2）编辑菜单资源 （3）添加菜单命令消息处理函数 （4）添加成员函数 （5）编写函数内容 试验要求： （1）掌握Bezier曲线、Bezier曲面、及另一个曲面的算法。 （2）实现对Bezier曲线、Bezier曲面、及另一个曲面。 （3）试验中调试、完善所编程序，能正确运行出设计要求结果。 （4）书写试验报告上交。 4．程序结构(程序中的函数调用关系图)

5．算法描述、流程图或操作步骤： 在lab4iew.cpp文件中添加如下头文件及变量 int flag_2=0; int n_change; #define M 30 #define PI 3.14159 //圆周率 #include "math.h" //数学头文件 在lab4iew.h文件中的public内添加变量： int move; int graflag; void Tiso(float p0[3],float x0, float y0, float p[3]); void OnBezierface(); 在lab4iew.h文件中的protected内添加变量： int n;//控制点数 const int N;//控制点数的上限 CPoint* a;//控制点存放的数组 double result[4][2]; 在lab4iew.cpp文件中的函数Clab4iew::OnDraw(CDC* pDC)下添加如下代码： int i,j; for(i=0;iFillSolidRect(a[i].x-2,a[i].y-2,4,4,RGB(255,55,255)); } pDC->MoveTo(a[0]);

三次Bezier曲线原理及实现代码

Bezier曲线原理及实现代码（c++） 一、原理： 贝塞尔曲线于1962年，由法国工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier）所广泛发表，他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计。贝塞尔曲线最初由Paul de Casteljau于1959年运用de Casteljau 算法开发，以稳定数值的方法求出贝塞尔曲线。 线性贝塞尔曲线 给定点P0、P1，线性贝塞尔曲线只是一条两点之间的直线。这条线由下式给出： 且其等同于线性插值。 二次方贝塞尔曲线的路径由给定点P0、P1、P2的函数B(t) 追踪： 。TrueType字型就运用了以贝塞尔样条组成的二次贝塞尔曲线。 P0、P1、P2、P3四个点在平面或在三维空间中定义了三次方贝塞尔曲线。曲线起始于P0走向P1，并从P2的方向来到P3。一般不会经过P1或P2；这两个点只是在那里提供方向资讯。P0和P1之间的间距，决定了曲线在转而趋进P3之前，走向P2方向的“长度有多长”。 曲线的参数形式为： 。 现代的成象系统，如PostScript、Asymptote和Metafont，运用了以贝塞尔样条组成的三次贝塞尔曲线，用来描绘曲线轮廓。 一般化

P0、P1、…、P n，其贝塞尔曲线即 。 例如： 。 如上公式可如下递归表达：用表示由点P0、P1、…、P n所决定的贝塞尔曲线。则 用平常话来说，阶贝塞尔曲线之间的插值。 一些关于参数曲线的术语，有 即多项式 又称作n阶的伯恩斯坦基底多项式，定义00 = 1。 点P i称作贝塞尔曲线的控制点。多边形以带有线的贝塞尔点连接而成，起始于P0并以P n终止，称作贝塞尔多边形（或控制多边形）。贝塞尔多边形的凸包（convex hull）包含有贝塞尔曲线。

高中数学解析几何双曲线性质与定义

双曲线 双曲线是圆锥曲线的一种，即双曲线是圆锥面与平行于轴的平面相截而得的曲线。 双曲线在一定的仿射变换下，也可以看成反比例函数。 双曲线有两个定义，一是与平面上两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，二是到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹。 一、双曲线的定义 ①双曲线的第一定义 一动点移动于一个平面上，与该平面上两个定点F 1、F 2的距离之差的绝对值始终为一定值2a(2a 小于F 1和F 2之间的距离即2a<2c ）时所成的轨迹叫做双曲线。 取过两个定点F 1、F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系。 设M(x ，y)为双曲线上任意一点，那么F1、F2的坐标分别是(-c ，0)、(c ，0)．又设点M 与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a 。 将这个方程移项，两边平方得： 两边再平方，整理得：()() 22222222a c a y a x a c -=-- 由双曲线定义，2c ＞2a 即c ＞a ，所以c 2-a 2＞0．设222b a c =- (b ＞0)，代入上式得： 双曲线的标准方程：122 22=-b y a x 两个定点F 1,F 2叫做双曲线的左，右焦点。两焦点的距离叫焦距，长度为2c 。坐标轴上 的端点叫做顶点，其中2a 为双曲线的实轴长，2b 为双曲线的虚轴长。 实轴长、虚轴长、焦距间的关系：222b a c +=，

②双曲线的第二定义 与椭圆的方法类似：对于双曲线的标准方程：122 22=-b y a x ，我们将222b a c +=代入， 可得：()a c c a x c x y =± ±+2 2 所以有：双曲线的第二定义可描述为： 平面内一个动点（x,y ）到定点F (±c,0)的距离与到定直线l (c a x 2 ±=)的距离之比为 常数()0c e c a a =>>的点的轨迹是双曲线，其中，定点F 叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双 曲线的准线，常数e 是双曲线的离心率。 1、离心率： （1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比a c a c e == 22，叫做双曲线的离心率； （2）范围：1>e ； （3）双曲线形状与e 的关系： 1122222-=-=-==e a c a a c a b k ； 因此e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔； （1）双曲线的形状张口随着渐近线的位置变化而变化； （2）渐近线的位置(倾斜)情况又受到其斜率制约； 2、准线方程： 对于12222=-b y a x 来说，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 2 1:-=，相对于右焦点 )0,(2c F 对应着右准线c a x l 2 2:=； 位置关系：02>>≥c a a x ，焦点到准线的距离c b p 2 =（也叫焦参数）； 对于12222=-b x a y 来说，相对于下焦点),0(1c F -对应着下准线c a y l 2 1:-=；相对于上焦点),0(2c F 对 应着上准线 a y l 2 2:=。

圆锥曲线-基本定义-第一定义

学术正刊 圆锥曲线 基本定义 高中 1 LeO 著 第一定义 定义1.0（椭圆第一定义）：平面内到两定点F 1、F 2的距离的和等于常数2a (2a >|F 1F 2|)的动点P 的轨迹称之为椭圆。即：|PF 1|+|PF 2|=2a 。 定义1.1（椭圆焦点）：两定点F 1、F 2称作椭圆的左右焦点。 定义1.2（椭圆焦距）：两焦点距离|F 1F 2|=2c 称作椭圆的焦距。 解：如图1，建立直角坐标系，设两焦点坐标F 1(?c,0)、F 2(c,0)，动点坐标P (x,y )，依题意有： √(x +c )2+y 2+√(x ?c )2+y 2=2a ??1? ?1?式移项后再平方： (x +c )2+y 2=4a 2?4a√(x ?c )2+y 2+(x ?c )2+y 2 继续化简： (a 2?c 2)x 2+a 2y 2=a 2(a 2?c 2) ??2? ?2?式中令b 2=a 2?c 2，化简得： x 2a 2+y 2 b 2 =1 证毕。 图1 图2 定义2.0（双曲线第一定义）：平面内到两定点F 1、F 2的距离的差等于常数2a (2a <|F 1F 2|)的动点P 的轨迹称之为双曲线。即：||PF 1|?|PF 2||=2a 。 定义2.1（双曲线焦点）：两定点F 2、F 1称作双曲线的左右焦点。 定义2.2（双曲线焦距）：两焦点距离|F 1F 2|=2c 称作双曲线的焦距。 解：如图2，建立直角坐标系，设两焦点坐标F 2(?c,0)、F 1(c,0)，动点坐标P (x,y )，依题意有： √(x +c )2+y 2?√(x ?c )2+y 2=±2a ??1? ?1?式移项后再平方： (x +c )2+y 2=4a 2±4a√(x ?c )2+y 2+(x ?c )2+y 2 继续化简： (c 2?a 2)x 2?a 2y 2=a 2(c 2?a 2) ??2? ?2?式中令b 2=c 2?a 2，化简得： x 2a 2?y 2 b 2 =1 证毕。

圆锥曲线的定义及其应用

圆锥曲线的定义及其应用 一、教学目标： 1.进一步明确圆锥曲线定义，并用定义解决有关问题； 2.通过发散思维和创新思维的训练，培养学生的探究能力； 3.培养学生用运动变化的观点分析和解决问题． 二、教学重点、难点：圆锥曲线定义的灵活应用． 三、教学方法：教师引导启发与学生自主探索相结合． 四、教学过程： （一）引入： 问题1：平面内到定点12(3,0),(3,0)F F -的距离之和为8的点P 的轨迹是什么？ 121286PF PF F F +=>= ∴P 的轨迹是以12(3,0),(3,0)F F -为焦点的椭圆，方程是22 1167 x y + = 问：（1）若到两定点距离之和为改为6，则点P 的轨迹是什么？ （ 以12,F F 为端点的线段） （2）若改为到两定点距离之差为2，则P 点的轨迹是什么？ （以12,F F 为焦点的双曲线的一支） （3）若改为到两定点距离之差为6，则P 点的轨迹是什么？ （以12,F F 为端点的射线） （通过提问，让学生对圆锥曲线的第一定义进行回顾，并且进一步明确定义中所含的限制条件） 由学生总结椭圆和双曲线的定义 问题2：已知定点F （1，0），定直线:1l x =-，设一动点P 到直线l 的距离为d ，若有PF d =，则P 点的轨迹是什么？ （F l ?，∴P 点的轨迹是以F （1，0）为焦点，以直线:1l x =-为准线的抛物线。） 问：（1）若点F 改为（－1，0），则点P 的轨迹是什么？ （2）当 PF d 为何值时，所求轨迹是椭圆？ （3）当PF d 为何值时，所求轨迹是双曲线？ (通过提问，让学生对圆锥曲线的统一定义进行回顾和巩固，注意圆锥曲线第二定义的联系和区别) 由学生总结圆锥曲线的统一定义，。

《双曲线的简单几何性质》教学设计.

《双曲线的简单几何性质》教学设计 首都师范大学附属丽泽中学宛宇红靳卫红 一、教材分析 1.教材中的地位及作用 本节课是学生在已掌握双曲线的定义及标准方程之后，在此基础上，反过来利用双曲线的标准方程研究其几何性质。它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点，是深入研究双曲线，灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题的基础，更能使学生理解、体会解析几何这门学科的研究方法，培养学生的解析几何观念，提高学生的数学素质。 2.教学目标的确定及依据 平面解析几何研究的主要问题之一就是：通过方程，研究平面曲线的性质。教学参考书中明确要求：学生要掌握圆锥曲线的性质，初步掌握根据曲线的方程，研究曲线的几何性质的方法和步骤。根据这些教学原则和要求，以及学生的学习现状，我制定了本节课的教学目标。 （1）知识目标：①使学生能运用双曲线的标准方程讨论双曲线的范围、对称性、 顶点、离心率、渐近线等几何性质； ②掌握双曲线标准方程中c ,的几何意义，理解双曲线的渐近 a, b 线的概念及证明； ③能运用双曲线的几何性质解决双曲线的一些基本问题。 （2）能力目标：①在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质，培养学生的观察 能力，想象能力，数形结合能力，分析、归纳能力和逻辑推 理能力，以及类比的学习方法； ②使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对 直角坐标系中曲线与方程的概念的理解。

（3）德育目标：培养学生对待知识的科学态度和探索精神，而且能够运用运动的，变化的观点分析理解事物。 3.重点、难点的确定及依据 对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质，而学生对渐近线的发现与证明方法接受、理解和掌握有一定的困难。因此，在教学过程中我把渐近线的发现作为重点，充分暴露思维过程，培养学生的创造性思维，通过诱导、分析，巧妙地应用极限思想导出了双曲线的渐近线方程。这样处理将数学思想渗透于其中，学生也易接受。因此，我把渐近线的证明作为本节课的难点，根据本节的教学内容和教学大纲以及高考的要求，结合学生现有的实际水平和认知能力，我把渐近线和离心率这两个性质作为本节课的重点。 4.教学方法 这节课内容是通过双曲线方程推导、研究双曲线的性质，本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学中可以与其类比讲解，让学生自己进行探究，得到类似的结论。在教学中，学生自己能得到的结论应该让学生自己得到，凡是难度不大，经过学习学生自己能解决的问题，应该让学生自己解决，这样有利于调动学生学习的积极性，激发他们的学习积极性，同时也有利于学习建立信心，使他们的主动性得到充分发挥，从中提高学生的思维能力和解决问题的能力。 渐近线是双曲线特有的性质，我们常利用它作出双曲线的草图，而学生对渐近线的发现与证明方法接受、理解和掌握有一定的困难。因此，在教学过程中着重培养学生的创造性思维，通过诱导、分析，从已有知识出发，层层设（释）疑，激活已知，启迪思维，调动学生自身探索的内驱力，进一步清晰概念（或图形）特征，培养思维的深刻性。 例题的选备，可将此题作一题多变（变条件，变结论），训练学生一题多解，开拓其解题思路，使他们在做题中总结规律、发展思维、提高知识的应用能力和发现问题、解决问题能力。

圆锥曲线第三定义及扩展

圆锥曲线第三定义 令狐采学 在椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 中，A ，B 两点关于原点对称，P 是椭圆上异于A ，B 两点的任意一点，若PB PA k k ,存在，则 2 2 a b k k PB PA -=?。（反之亦成立） 在双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 中，A ，B 两点关于原点对称，P 是椭圆上异于A ，B 两点的任意一点，若PB PA k k ,存在，则 22 a b k k PB PA =?。（反之亦成立） ★焦点在Y 轴上时，椭圆满足2 2 b a k k PB PA -=?，双曲线满足 22b a k k PB PA =? 例、已知椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的长轴长为 4，若点P 是椭圆上 任意一点，过原点的直线l 与椭圆相交与M 、N 两点，记直线PM 、PN 的斜率分别为k1、k2。若k1?k2=4 1 -，则椭圆的方程为。 变式：

1、设点 A ， B 的坐标为（-2，0），（2，0），点P 是曲线 C 上任 意一点，且直线PA 与PB 的斜率之积为4 1 -，则曲线C 的方程为。 2、设点 P 是曲线C 上任意一点，坐标原点是O ，曲线C 与X 轴 相交于两点M （-2，0）， N （2，0），直线PM ，PN 的斜率之积为4 3 -，则OP 的最小值是。 3、已知ABC ?的两个顶点坐标分别是（-8，0），（8，0），且AC ，BC 所在直线斜率之积为m （0≠m ），求顶点C 的轨迹。 4、P 是双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 上一点，M ，N 分别是双曲线的 左右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为5 1 ，则双曲线离心率为。 5、已知椭圆12 322=+y x 的左右顶点分别是A 、B ，M 是椭圆上异于 A 、 B 的动点，求证：MB MA k k ?为定值。 6、平面内与两定点1(,0)A a -，2(,0)A a (0)a >连续的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹，加上1A 、2A 两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆成双曲线．求曲线C 的方程，并讨论C 的形状与m 值得关系； 第三定义的应用 例、椭圆14 22 =+y x 的左右顶点分别是 A ， B ，点S 是椭圆上位于 X 轴上方的动点，直线AS ，BS 与直线3 10 := x l 分别交于点M 、N ，

Bezier曲面算法及Bezier曲线

昆明理工大学理学院 信息与计算科学专业设计/综合性实验报告 年级：2015级姓名：学号：1105 指导教师：胡杰 实验课程名称：计算机图形学开课实验室：理学楼210 实验内容： 1．实验/作业题目： MFC绘图Bezier曲面算法及Bezier曲线 2．实验/作业课时：2个课时 3．问题描述(包括实验环境、实验内容的描述、完成实验要求的知识或技能)：实验环境：（1）硬件：每人一台PC机 （2）软件：windows OS，VC++或以上版本。 实验内容的描述：Bezier曲面算法及Bezier曲线，Bezier去面啊绘制需要加入控制网格加以控制，先生成控制网格，再根据Bezier算法来绘制出曲面Bezier曲线根据控制点来绘制曲线。 完成实验要求的知识或技能： Bezier算法的迭代算法。 （2）Bezier曲线分为一次/二次/三次/多次贝塞尔曲线，之所以这么分是为了更好的理解其中的内涵。一次贝塞尔曲线（线性Bezier），实际上就是一条连接两点的直线段。在此使用了三次Bezier算法。 （3）曲线算法的几种主要算法以及各自的优缺点。 （4）基本的程序阅读能力，的基本使用技巧 4．基本要求(完成实验要达到的目标)： Bezier曲线定义：给定n+1个控制顶点Pi(i=0~n) ，则Bezier曲线定

义为：P(t)=∑Bi,n(t)Pi u∈[0,1] 其中：Bi,n(t)称为基函数。Bi,n(t)=Ci nti (1-t)n-i Ci n=n!/(i!*(n-i)!) 二、Bezier曲线性质1、端点性质：a）P(0)=P0, P(1)=Pn, 即：曲线过二端点。b）P’(0)=n(P1-P0), P’(1)=n(Pn-Pn-1) 即：在二端点与控制多边形相切。2、凸包性：Bezier曲线完成落在控制多边形的凸包内。3、对称性：由Pi与Pn-i组成的曲线，位置一致，方向相反。4、包络性：Pn (t)=(1-t)Pn-1 (t)+tPn-1 (t) 5．程序结构(程序中的函数调用关系图) 6．算法描述或流程图：

第10讲椭圆及双曲线的第二定义

第10讲 椭圆及双曲线的第二定义 一． 椭圆 1. 第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l （F 不在l 上）的距离之比等于常数e （01），则动点M 的 轨迹叫做双曲线。 定点F 是双曲线的焦点，定直线l 叫双曲线的准线（c a 2 x :l ±=），常数e 是双曲线的离心率。 2. 焦半径：双曲线上任一点和焦点的连线段的长称为焦半径 设双曲线焦点在x 轴上，F 1，F 2分别为双曲线的左右焦点，若P(x 0,y 0)是双曲线左支上任一点，则 0201a ,--a ex PF ex PF -==。若P(x 0,y 0)是双曲线右支上任一点，则 0201-a ,a ex PF ex PF +=+=。 3. 通径：过双曲线的焦点与双曲线的实轴垂直的直线被双曲线所截得的线段称为双曲线的通径，其长 a 2212 b H H = 4. 共轭双曲线：

Bezier曲线的生成算法参考代码

实现Bezier曲线的生成算法 实验步骤 （一）生成绘图应用程序的框架（如下图） 具体实现见第一次实验，过程不再详细说明。 （二）在应用程序中增加菜单 完成相关菜单的设计，具体的效果如下图所示，并设置好相关菜单消息的映射，具体的实现在前面的实验中介绍过，再此不在详细说明。

（三）在绘图函数中添加代码 通过以上步骤，得到了与菜单对应的消息映射，就可以在函数中添加代码绘制图形了。 1、利用Bezier曲线的生成算法实现二次Bezier曲线的生成（算法的详细原理见教材）。void CBezierView::OnBezier2() { // TODO: Add your command handler code here CDC*pDC=GetDC();//得到绘图类指针 RedrawWindow();//重绘窗口 CPen bluepen(PS_SOLID,2,RGB(0,0,255));//创建画实线、线宽为2的蓝色画笔 CPen *old=pDC->SelectObject(&bluepen); float x0=100,y0=100,x1=200,y1=50,x2=150,y2=250; float i,x,y,dt,t,n=30.0; dt=1/n; for(i=0;i<=n;i++) { t=i*dt; x=x0*(1-t)*(1-t)+x1*2*t*(1-t)+x2*t*t; y=y0*(1-t)*(1-t)+y1*2*t*(1-t)+y2*t*t; if(i==0)pDC->MoveTo(x,y); pDC->LineTo(x,y);

pDC->MoveTo(x0,y0); pDC->LineTo(x1,y1); pDC->LineTo(x2,y2); pDC->SelectObject(old); ReleaseDC(pDC); } 由以上代码绘出的图形如下： 2、利用Bezier曲线的生成算法实现二次Bezier曲线的生成（算法的详细原理见教材）。。void CBezierView::OnBezier3() { // TODO: Add your command handler code here CDC*pDC=GetDC();//得到绘图类指针 RedrawWindow();//重绘窗口 CPen redpen(PS_SOLID,2,RGB(255,0,0));//创建画实线、线宽为2的红色画笔 CPen *old=pDC->SelectObject(&redpen); float x0=50,y0=50,x1=150,y1=150,x2=300,y2=130,x3=350,y3=50; float i,x,y,dt,t,n=30.0; dt=1/n; for(i=0;i<=n;i++)

圆锥曲线定义的运用(精)

圆锥曲线定义的运用 一、教学内容分析 本课选自《全日制普通高级中学教科书（必修） 数学》(人教版)高二 (上)，第八章（圆锥曲线方程复习课） 圆锥曲线的定义反映了圆锥曲线的本质属性,它是无数次实践后的高度抽象.恰当地利用定义解题,许多时候能以简驭繁.因此,在学习了椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程、几何性质后,我认为有必要再一次回到定义,熟悉“利用圆锥曲线定义解题”这一重要的解题策略. 二、学生学习情况分析 我所任教班级的学生是初中开始“课程改革”后的第一届毕业生，他们在初中三年的学习中，接受的是“新课改”的理念，学习的是“新课标”下的课程、教材，由于05年高中“课改”还未全面推行，因此如今他们面对的高中教材还是旧教材。 与以往的学生比较，这届学生的特点是：参与课堂教学活动的积极性更强，思维敏捷，敢于在课堂上发表与众不同的见解，但计算能力较差，字母推理能力较弱，使用数学语言的表达能力也略显不足。 三、设计思想 由于这部分知识较为抽象,难以理解.如果离开感性认识,容易使学生陷入困境,降低学习热情.在教学时,我有意识地引导学生利用波利亚的一般解题方法处理习题, 针对学生练习中产生的问题,进行点评,强调“双主作用”的发挥.借助多媒体动画,引导学生主动发现问题、解决问题,主动参与教学,在轻松愉快的环境中发现、获取新知,提高教学效率. 四、教学目标 1.深刻理解并熟练掌握圆锥曲线的定义，能灵活应用定义解决问题；熟练掌握焦点坐标、顶点坐标、焦距、离心率、准线方程、渐近线、焦半径等概念和求法；能结合平面几何的基本知识求解圆锥曲线的方程。 2.通过对练习,强化对圆锥曲线定义的理解，培养思维的深刻性、创造性、科学性和批判性,提高空间想象力及分析、解决问题的能力；通过对问题的不断引申,精心设问,引导学生学习解题的一般方法及联想、类比、猜测、证明等合情推理方法. 3．借助多媒体辅助教学,激发学习数学的兴趣.在民主、开放的课堂氛围中,培养学生敢想、敢说、勇于探索、发现、创新的精神. 五、教学重点与难点: 教学重点 1.对圆锥曲线定义的理解 2.利用圆锥曲线的定义求“最值” 3.“定义法”求轨迹方程 教学难点:

双曲线的定义、方程和性质(精)

双曲线的定义、方程和性质 执教：钱如平班级：高二(3) 地点：本教室时间：2000．4．6 一、学习目标： 掌握双曲线的定义、方程和性质，注意与椭圆的区别和联系。 二、知识要点： 1．定义 （1）第一定义：平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于定长2a（小于|F1F2|）的点的轨迹叫双曲线。 说明： ①||PF1|-|PF2||=2a（2a<|F1F2|）是双曲线； 若2a=|F1F2|，轨迹是以F1、F2为端点的射线；2a>|F1F2|时无轨迹。 ②设M是双曲线上任意一点，若M点在双曲线右边一支上，则|MF1|>|MF2|，|MF1|-|MF2|=2a； 若M在双曲线的左支上，则|MF1|<|MF2|，|MF1|-|MF2|=-2a，故|MF1|-|MF2|=±2a，这是与椭圆不同的地方。 （2）第二定义：平面内动点到定点F的距离与到定直线L的距离之比是常数e（e>1）的点的轨迹叫双曲线，定点叫焦点，定直线L叫相应的准线。 3．几个概念 （1）等轴双曲线：实、虚轴相等的双曲线。等轴双曲线的渐近线为y=±x，离心率为2。

（2） 共轴双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线叫原双曲线的共轴 双曲线，例：12222=-b y a x 的共轴双曲线是122 22-=-b y a x 。 ① 双曲线及其共轴双曲线有共同的渐近线。但有共同的渐近线的两双曲线，不一定是共 轴双曲线；②双曲线和它的共轴双曲线的四个焦点在同一个圆周上。 三、 解题方法指导： 例1．设双曲线方程为12 22 =-y x ，则中心坐标为 ，焦点坐标为 ，顶点坐标为 ，实轴长为 ，虚轴长为 ，离心率为 ，准线方程为 ，渐近线方程 ，对称轴方程为 ，实轴方程为 ，共轴双曲线方程为 。 解：中心（0，0），焦点坐标（±3 ，0），顶点坐标（±2 ，0），实轴长为22，虚轴 长为2，离心率为 26，准线方程为332±=x ，准线间距离为3 3 4，渐近线方程为x y 2 2 ± =，对称轴方程x=0，y=0，实轴方程y=0， （22≤≤-x ），共轴双曲线1222-=-y x ，即12 22 =-x y 。 说明：根据双曲线的方程熟练地写出其性质，是学习双曲线基本要求，也是一项重要基本功，对知识要点中的性质部分要熟记。 例2．设曲线C 的方程为Ax 2+By 2=|（A·B ≠0），则 ① C 表示椭圆的充要条件是 ②C 表示焦点在X 轴上的椭圆的充要条件是 ③C 表示焦点在Y 轴上的椭圆的充要条件是 ④C 表示双曲线的充要条件是 ⑤C 表示焦点在X 轴上的双曲线的充要条件是 ⑥C 表示焦点在Y 轴上的双曲线的充要条件是 ⑦C 表示圆的充要条件是 解：C 的方程可化为)0(1112 2≠=+AB B y A x 则①C 表示椭圆的充要条件是B 1 A 1 ,0B 1 ,0A 1 ≠>>，即B A ,0B ,0A ≠>>， ②B ＞A ＞0， ③A ＞B ＞0， ④AB ＜0， ⑤A ＞0，B ＜0， ⑥A ＜0，B ＞0， ⑦A ＝B ＞0，

二次bezier曲线

#include #include #include #include #define ESC 0x1b void Initialize(void) { int graphdriver; int graphmode; int errorcode; graphdriver=DETECT; initgraph(&graphdriver,&graphmode,"C:\Program Files\WINYES\TCPP30H"); errorcode=graphresult(); if(errorcode != grOk) { printf("Graphics System Error:%s\n",grapherrormsg(errorcode)); exit(1); } } void bezier_2_ins(long q[][2]){ const NO=3; const KT=5; float p[3][2]; long pk[129][2],pt[129][2]; int i,k,m=NO-1; double ll,l1,l2; for(i=0;i

高中数学双曲线的第二定义

每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗 双曲线的第二定义： 到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数()0c e c a a = >>的点的轨迹是双曲线，其中，定点F 叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线，常数e 是双曲线的离心率。 1、离心率： （1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比a c a c e ==22，叫做双曲线的离心率； （2）范围：1>e ； （3）双曲线形状与e 的关系： 1122 222-=-=-==e a c a a c a b k ； 因此e 的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔； （1）双曲线的形状张口随着渐近线的位置变化而变化； （2）渐近线的位置(倾斜)情况又受到其斜率制约； 2、准线方程： 对于12222=-b y a x 来说，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 2 1:-=， 相对于右焦点)0,(2c F 对应着右准线c a x l 2 2:=； 位置关系：02>>≥c a a x ，焦点到准线的距离c b p 2 =（也叫焦参数）； 对于12222=-b x a y 来说，相对于下焦点),0(1c F -对应着下准线c a y l 2 1:-=；相 对于上焦点),0(2c F 对应着上准线c a y l 2 2:=。 3

每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗双曲线上任意一点M 与双曲线焦点12F F 、的连线段，叫做双曲线的焦半径。 设双曲线)0,0( 122 22>>=-b a b y a x ，21,F F 是其左右焦点， e d MF =11 ， ∴ e c a x MF =+ 2 01，∴10MF a ex =+；同理 20MF a ex =-； 即：焦点在x 轴上的双曲线的焦半径公式：1020 MF a ex MF a ex ?=+?? =-?? 同理：焦点在y 轴上的双曲线的焦半径公式：1020 MF a ey MF a ey ?=+??=-??（ 其中12F F 、分 别是双曲线的下、上焦点） 点评：双曲线焦半径公式与椭圆的焦半径公式的区别在于其带绝对值符号，如果 要去绝对值，需要对点的位置进行讨论。两种形式的区别可以记为：左加右减，下加上减（带绝对值号）。 4、焦点弦： 过焦点的直线截双曲线所成的弦。 焦点弦公式：可以通过两次焦半径公式得到，设两交点()()1122,,A x y B x y 、， （1）当双曲线焦点在x 轴上时，焦点弦只和两交点的横坐标有关， ①过左焦点与左支交于两点时：()122c AB a x x a =-- +； ②过右焦点与右支交于两点时：()122c AB a x x a =-++。 （2）当双曲线焦点在y 轴上时，焦点弦只和两交点的纵坐标有关， ①过下焦点与下支交于两点时：()122c AB a y y a =--+； ②过上焦点与上支交于两点时：()122c AB a y y a =-++。 5、通径：过焦点且垂直于对称轴的弦。直接应用焦点弦公式，得到a b d 2 2=。

双曲线及其性质知识点及题型归纳总结

双曲线及其性质知识点及题型归纳总结 知识点精讲 一、双曲线的定义 平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值．．．．．等于常数（大于零且小于21F F ）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）.用集合表示为 {})20(22121F F a a MF MF M <<=-. 注（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支. （2）当212F F a =时，点的轨迹是以1F 和2F 为端点的两条射线；当02=a 时，点的轨迹是线段21F F 的垂直平分线. （3）212F F a >时，点的轨迹不存在. 在应用定义和标准方程解题时注意以下两点： ①条件“a F F 221>”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定2a ，2b 的值），注意222c b a =+的应用. 二、双曲线的方程、图形及性质 双曲线的方程、图形及性质如表10-2所示.

题型归纳及思路提示 题型1 双曲线的定义与标准方程 思路提示 求双曲线的方程问题，一般有如下两种解决途径： （1）在已知方程类型的前提下，根据题目中的条件求出方程中的参数a ，b ，c ，即利用待定系数法求方程. （2）根据动点轨迹满足的条件，来确定动点的轨迹为双曲线，然后求解方程中的参数，即利用定义法求方程. 例10.11 设椭圆1C 的离心率为 13 5 ，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线2C 上的点到椭圆1C 的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线2C 的标准方程为（ ） A. 13422 22=-y x B. 151322 22=-y x C. 14322 22=-y x D. 112 1322 22=-y x 解析 设1C 的方程为)0(122 22>>=+b a b y a x ， 则?????==13 5262a c a ，得???==513c a .