2020年浙江省高考数学试卷(原卷版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数学
本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至4页.满分150分.考试用时120分钟.
考生注意：
1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.
2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.
参考公式：
选择题部分（共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合P ={|14}< A. {|12}x x <≤ B. {|23}x x << C. {|34}x x ≤< D. {|14}< 2.已知a ∈R ，若a –1+(a –2)i (i 为虚数单位)是实数，则a =（ ） A. 1 B. –1 C. 2 D. –2 3.若实数x ，y 满足约束条件31030x y x y -+≤??+-≥? ，则z =2x +y 的取值范围是（ ） A. (,4]-∞ B. [4,)+∞ C. [5,)+∞ D. (,)-∞+∞ 4.函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，+π]的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5.某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm 3）是（ ） A. 73 B. 143 C. 3 D. 6 6.已知空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，则“m ，n ，l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7.已知等差数列{a n } 前n 项和S n ，公差d ≠0，11a d ≤．记b 1=S 2，b n+1=S n+2–S 2n ，n *∈N ，下列等式不可能成立的是（ ） A. 2a 4=a 2+a 6 B. 2b 4=b 2+b 6 C. 2428a a a = D. 2428b b b = 8.已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y =的点，则|OP |=（ ） 9.已知a ，b ∈R 且ab ≠0，若(x –a )(x –b )(x –2a –b )≥0在x ≥0上恒成立，则（ ） A. a <0 B. a >0 C. b <0 D. b >0 10.设集合S ，T ，S ?N *，T ?N *，S ，T 中至少有两个元素，且S ，T 满足： ①对于任意x ，y ∈S ，若x ≠y ，都有xy ∈T ②对于任意x ，y ∈T ，若x y x ∈S ； 下列命题正确的是（ ） A. 若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素 B. 若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素 C. 若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素 D. 若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素 非选择题部分（共110分） 二、填空题：本大题共7小题，共36分.多空题每小题6分，单空题每小题4分. 11.已知数列{a n }满足(1)= 2n n n a +，则S 3=________． 12.设()2345125345612 x a a x a x a x a x a x +=+++++，则a 5=________；a 1+a 2 + a 3=________． 13.已知tan 2θ=，则cos2θ=________；πtan()4θ-=______． 14.已知圆锥展开图的侧面积为2π，且为半圆，则底面半径为_______． 15.设直线:(0)l y kx b k =+>，圆22 1:1C x y +=，222:(4)1C x y -+=，若直线l 与1C ，2C 都相切，则 k =_______；b =______． 16.一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为ξ，则(0)P ξ==_______；()E ξ=______． 17.设1e ，2e 为单位向量，满足21|22|-≤e e ，12a e e =+，123b e e =+，设a ，b 的夹角为θ，则2cos θ的最小值为_______． 三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为 a ， b ， c ，且2sin 3b A a =． （I ）求角B ； （II ）求cos A +cos B +cos C 取值范围． 19.如图，三棱台DEF —ABC 中，面ADFC ⊥面ABC ，∠ACB =∠ACD =45°，DC =2BC ． （I ）证明：EF ⊥DB ； （II ）求DF 与面DBC 所成角的正弦值． 20.已知数列{a n }，{b n }，{c n }中，111112 1,,()n n n n n n n b a b c c a a c c n b +++====-= ?∈*N ． （Ⅰ）若数列{b n }为等比数列，且公比0q >，且1236b b b +=，求q 与a n 的通项公式； （Ⅱ）若数列{b n }为等差数列，且公差0d >，证明：1211n c c c d +++<+． 21.如图，已知椭圆221:12 x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于M （B ，M 不同于A ）． （Ⅰ）若116 =p ，求抛物线2C 的焦点坐标； （Ⅱ）若存在不过原点直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值． 22.已知12a <≤，函数()e x f x x a =--，其中e =…为自然对数的底数． （Ⅰ）证明：函数()y f x =在(0)+∞， 上有唯一零点； （Ⅱ）记x 0为函数()y f x =在(0)+∞， 上的零点，证明： 0x ≤≤； （ⅱ）00(e )(e 1)(1)x x f a a ≥--．