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福建省2012届高三考前适应性训练数学试卷理 7

福建省2012届高三考前适应性训练数学试卷理科7

一、选择题:(本大题共10小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把答案填在答题卡上)

1.已知集合A ={2x ,y },集合B ={-x 2,4},若A =B ,则x 2+y 2

的值为( )

A.8

B.20

C.16

D.12

福建省2012届高三考前适应性训练数学试卷理 7

2.已知i 是虚数单位,则2011

)11(

i

i +-等于( ) A.1 B.-1 C. i D.- i

3.数列{a n }为递增等比数列,若a 1=1,且2a n+1+2a n -1=5a n (n ≥2)。则此数列的前5项的和S 5=( )

A.

16

31 B.31

C.32

D.15

4.一个算法的流程图如图1所示,则输出i 的数为( )

福建省2012届高三考前适应性训练数学试卷理 7

A.4

B.5

C.6

D.7

5.一个几何体的三视图如图2所示,则该几何体的体积

(单位:cm 3

)为( )

A.π+3

3

B.π+3

C.2π+

3

3 D.2π+3

6.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人,并根据所查的数据画了样本分布直方图(如图3),为了分析居民的收

福建省2012届高三考前适应性训练数学试卷理 7

入与年龄、学历、职业等方面的关系,要从这10000人中再用分层抽样方法抽出300人作进一步的调查,其中低于1500元的称为低收入者,高于3000元的称为高收入者,则应在低收入者和高收入者中分别抽取的人数是( )

A.1000,2000

B.60,120

C.30,60

D.10,20

7.某班周四上午有4节课,下午有2节课,安排语文、数学、英语、物理、体育、音乐6门课,若要求体育不排在上午第一、二节,并且体育课与音乐课不相邻,(上午第四节与下午第一节理解为相邻),则不同的排法总数为( )

A.312

B.288

C.480

D.456

8.已知)(x f =cos (ωx +

3

π

)(ω>0)的图象与y=-1的图象的两相邻交点间的距离为π,

要得到y=)(x f 的图象,只需把y =sin ωx 的图象( )

A.向左平移

125

π个单位 B.向右平移125

π个单位 C.向左平移12

7

π个单位

D.向右平移12

7

π个单位

9.若抛物线C 1:y 2

=2Px(p>0)与双曲线C 2:0.0(122

22>>=-b a b

y a x )有相同的焦点F ,点A

是两曲线的一个交点,且AF ⊥X 轴,记θ为双曲线C 2的一条渐近线的倾斜角,则θ所在

的区间是( )

A.(0,

4

π

) B.(

6

π

4

π

) C.(

4

π

3

π

) D.(

3

π

2

π

10.定义:平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系(两条数轴的原点重合且单位长度相同),称为平面斜坐标系。在平面斜坐标系xoy 中,坐标原点为O ,21,e e 分别是斜坐标系中x 轴,y 轴正方向上的单位向量,若),(21R y x e y e x OP ∈+=,则有序数对(x,y )称为点P 的斜坐标,记为P (x,y )。在平面斜坐标系xoy 中,若∠xoy =60o,点M 的斜坐标为(-1,

2),则以点M 为圆心,半径为l 的圆在斜坐标系xoy 中的方程是( )

A.x 2+y 2+xy-3y+2=0

B. x 2+y 2

+2x-4y+4=0

C. x 2+y 2+xy+3y-2=0

D. x 2+y 2

-2x+4y+4=0 二、填空题:(本大题共5小题,每小题4分,共20分,请把答案填在答题卡上) 11.若(ax -

x

1)8的展开式中含x 2

项的系数为70,则a= 。 12.直线(m -1)x+3y+m=0与直线x+(m+1)y+2=0平行,则实数m= 。

13.已知x,y 满足条件??

??

?≤-+≤≥020

m y x x y x (m 为常数),若z=x+2y 的最大值为6,m= 。

14.函数)(x f =cos x -lg|x |的零点的个数是 个。 15.满足性质“对任意的正整数n ,

122

++≤+n n

n a a a 都成立”的数列称为“差非增数列”。给出以下数列{a n },n ∈N*:①a n =2n

+

11+n ;②a n =n 2+ n +1;③a n =2n +1;④a n =l n

1

+n n

;⑤a n =2n +

n

1

,其中是“差非增数列”的有 (写出所有满足条件的序号) 三、解答题:(本大题共6小题,共80分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤).

16.(本小题满分13分)如图,在平面直角坐标系中,A 、B 为圆x 2+y 2

=4上的点,∠Aox=α,∠BoA=β,α、β∈(0,π)

(1)若A 、B 两点分别在第一象限,第二象限,且其纵坐标分别为5

6

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,1324,求sin β的值。

(2)若A (-1,3),求函数)(x f =sin(x +α)-sin x +1

的单调增区间。

17.把圆周4等分,A 是其中一个分点,动点P 在四个分点上按逆时针方向前进,掷一个写有数字1,2,3,4的质地均匀的正四面体,P 从点A 出发,按照正四面体底面上所投掷的点数前进(数字为n 就前进n 步),转一周之前继续投掷,转一周或超过一周即停止投掷。 (1)求点P 恰好返回A 点的概率;

(2)在点P 转一周恰好返回A 点的所有结果中,用随机变量ξ来表示点P 返回A 点时投掷的次数,求ξ的分布列和期望。

18.已知椭圆C 的中心在原点,一个焦点的坐标为F (2,0),且长轴长是短轴长的2倍。 (1)求椭圆C 的方程;

(2)直线y=x -1与椭圆C 交于A 、B 两点,求弦长|AB |;

(3)设P 是椭圆C 上的任意一点,MN 是圆D :x 2+(y -3)2

=1的任意一条直径,求?的最大值。

19.如图,已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直,A A 1=AB =AC =1,AB ⊥AC ,M 、N 分

福建省2012届高三考前适应性训练数学试卷理 7

别是CC 1,BC 的中点,点P 在直线A 1B 1上,且111B A A λ= (1)证明:无论λ入取何值,总有AM ⊥PN ;

(2)当λ入取何值时,直线PN 与平面ABC 所成的角θ最大? 并求该角取最大值时的正切值。

(3)是否存在点P ,使得平面PMN 与平面ABC 所成的二面

角为30o,若存在,试确定点P 的位置,若不存在,请说明理由。

20.(本题总分14分)已知函数)(x f =ax 2

+x -3,g (x )=-x+4lnx h (x )=)(x f -g (x )

(1)当a=1时,求函数h (x )的极值。

(2)若函数h (x )有两个极值点,求实数a 的取值范围。 (3)定义:对于函数F (x )和G (x ),若存在直线l :y=kx+b ,使得对于函数F (x )和 G (x )各自定义域内的任意x ,都有F (x )≥kx +b 且G (x )≤kx+b 成立,则称直线l :y=kx+b 为函数F (x )和G (x )的“隔离直线”。则当a=1时,函数)(x f 和g (x )是否存在“隔离直线”。若存在,求出所有的“隔离直线”。若不存在,请说明理由。 21.本题有(1)(2)(3)三个选做题,每小题7分,请考生任选2题作答,满分14分。如果多做,则按所做的前两题计分。作答时,将所选题号填入对应的括号中。 (1)选修4-2:矩阵与变换 已知矩阵A =[

b

a 01]把点(1,1)变换成点(2,2)

① 求a 、b 的值

② 求曲线C :x 2+y 2

=1在矩阵A 的变换作用下对应的曲线方程。 (2)选修4-4:坐标系和参数方程。

在直角坐标系xoy 中,直线l 的参数方程为:??

?+==kt

y t

x 1(t 为参数),以O 为原点,ox 轴

为极轴,单位长度不变,建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为:θθρcos 4sin 2= ①写出直线l 和曲线C 的普通方程。

②若直线l 和曲线C 相切,求实数k 的值。 (3)选修4-5:不等式选讲

已知关于x 的不等式|x +1|+|x -2|≤(a+b 1)(b a

+1

)对任意正实数a 、b 恒成立,求实数x 的取值范围。

参考答案

一、B ,C ,B ,B ,A , C ,A ,A ,D ,A

二、11、±1 12、-2 13、6 14、6

15、③④

三、16.解:(1)依题意得sin α=21324

=1312,cos α=13

5

sin(α+β)=53,cos(α+β)=-5

4

……………………………………(4分)

∴sin β=sin[(α+β)- α]=65

63

1312)54(13553=

?--?…………………(6分) (2)???

??

??-==21cos 23

sin αα且α∈(0,π)∴ α=

32π…………………(8分) ∴)(x f =sin(x+32π)-sin x +1=-21sinx+23cosx-sinx=-2

3

sinx+23cosx+1

=-3sin(x -6

π

)+1 ………………………………………………(11分)

由2k π+

23262πππ

π

+

≤-

≤k x 得2 k π3

5232π

ππ+

≤≤+k x ,k ∈Z ∴)(x f 的单调增区间为[3

52,322π

πππ+

+k k ],k ∈Z ……………(13分) 17.解:(1)投掷一次恰好返回A 点,即投出数字4,其发生的概率P 1=4

1

,投掷二次恰好

返回A 点,即投出数字1、3或2、2,其发生的概率 P 2=

163414124141=?+?? 投掷三次恰好返回A 点,即投出数字1、1、2,其发生的概率 P 3=

4164

3

34141=

???

投掷四次恰好返回A 点,即投出数字1、1、1、1,其发生的概率 P 4=

41256

1

414141=

??? 则所求的概率P =P 1+P 2+P 3+P 4=

256

125

答:点P 转一周恰好返回点A 的概率是256

125

………………(8分) (2)ξ的可能取值为1、2、3、4

由(1)知,P (ξ=1)=125

64

256

125411==P P

同理P (ξ=2)=12548,P (ξ=3)=12512,P (ξ=4)=125

1

∴ξ的分布列为

ξ

1

2

3

4

P 12564 12548 12512 1251

E ξ=15

8

12514125123125482125641=?+?+?+?……………………(13分)

18.解:(1)设椭圆方程为122

22=+b

y a x 则c =2,a =b 2

∴b=c=2, a=2

∴椭圆的方程为1242

2=+y x ……………………………………(3分)

(2)由?????=+-=124

1

22y

x x y 得3x 2

-4x -2=0 , 040>=?, 设A (x 1,y 1), B(x 2,y 2),则x 1+x 2=

34, x 1x 2=-3

2

∴|AB|=3

54)32(4)34(2||11221=-?-?=-?+x x ………………(8分)

(3)设P (x 0,y 0),则12

42

020=+y x ∴2

02024y x -=

=--=?))((DP DN DP DM PN PM ))((DP DM DP DM ---

=1)3(241)3(202

020202

2

--+-=--+=-y y y x

………………(11分)

=-(21)320++y ………………………………(11分) ∵y 0∈[-2,2] ∴当y 0=-2时,PN PM ?取得最大值10+62 ∴?的最大值是10+62…………………………(13分) 19.解:如图,以A 为原点建立空间直角坐标系,则A 1(0,0,1), B 1(1,0,1), M (0,1,

21),N (2

1

,21,0) )0,0,()0,0,1(111λλλ===B A A ,)1,0,(11λ=+=A AA ,

)1,2

1

,21(--=λ

(1)∵)21,1,0(=,∴02

1

210=-+=?

∴无论λ取何值,AM ⊥PN ……………………………………(4分) (2)∵=m (0,0,1)是平面ABC 的一个法向量。 ∴sin θ=|cos<>?|=

4

5

)21(114

1

)21(|100|22+

-=

++--+λλ

∴当λ=

2

1

时,θ取得最大值,此时sin θ=54,cos θ=51,tan θ=2

答:当λ=

2

1

时,θ取得最大值,此时tan θ=2………(8分) (3)设存在,)2

1

,21,21(-=NM ,设),,(z y x =是平面PMN 的一个法向量。

则???????=-+-=++-021)21(02

12121

z y x z y x λ得???

????-=+=x z x y 322321λλ令x=3,得y=1+2λ,z=2-2λ

∴)22,21,3(λλ-+= ∴|cos|=

2

3)

22()21(9|22|2

2

=

-+++-λλλ化简得4(*)013102

=++λλ

∵△=100-4?4?13=-108<0 ∴方程(*)无解

∴不存在点P 使得平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为30o…(13分) 20.解:(1)a=1时,)(x f =32-+x x ,x x x x h ln 432)(2

--+=,

C

N

)(x h 的定义域是(0,+∞)

,x

x x x x x h )

1)(2(2422)`(-+=

-+= 当x ∈(0,1)时,)(,0)`(x h x h <递减 当x ∈(1,+∞)时,)(,0)`(x h x h >递增

∴x=1时,h(x)取得极小值h(1)=0,h(x)无极大值。…………(4分) (2)3ln 42)(2--+=x x ax x h ,x ∈(0,+∞)

x

x ax x ax x h 4

22422)`(2-+=

-+= 依题意,方程04222=-+x ax 在(0,+∞)上有两个不相等的解。

∴???

?

?

?

???>-=>-=+>+=?≠020103240

2

12

1a x x a x x a a ∴-081<

∴a 的取值范围是(-0,8

1)…………………………(9分) (3)设存在,a=1时,3)(2

-+=x x x f

由(1)知,当且仅当x =1时,h(x)=0,此时,f(1)=g(1)=-1

∴y=)(x f 与y=g(x)的图象有唯一的交点A (1,-1) 直线l 必过点A ,设l 的方程:y+1=k(x -1),y=kx -k -1

由)(x f ≥kx -k -1恒成立得x 2

+(1-k)x+k -2≥0恒成立

∴△=(1-k )2

-4(k -2)=(k -3)2

≤0

∴k=3,直线l 的方程:y=3x -4………………………………(12分) 以下证明g(x)≤3x -4对x>0恒成立 令φ(x )=3x -4-g(x)=4x -4-4lnx φ`(x)=4-x

x x )

1(44-=

当x ∈(0,1)时 , φ`(x)<0, φ(x)递减,当x ∈(1,+∞)时,φ(x)>0,φ(x)递增,∴

φ(x)的最小值为φ(1)=0,∴φ(x )≥0恒成立 即g(x)≤3x -4对x>0恒成立

综上,)(x f 和g(x)存在唯一的“隔离直线”:y=3x -4。……(14分)

21.(1)解:①由[b a 01

]()=(22

)得?

??==+221b a

∴a=1,b=2……………………………………………………(3分)

②∵A =[2011],对应的坐标变换公式为?????=+=y

y y x x 2,

,

得???

????=-=,,,

2121y y y x x

代入x 2

+y 2

=1得12

12

,,,2

,=+

-y y x x ∴所求的曲线方程为:12

1

22=+-y xy x ……………………(7分)

(2)解:①由?

?

?+==kt y t

x 1得直线l 的普通方程为y=kx+1………(2分)

由θθρcos 4sin 2

=得θρθρcos 4sin 2

2

=,x y 42

= 曲线C 的普通方程为x y 42

=………………………………(4分) ②把y=kx+1代入y 2

=4x 得k 2x 2

+(2k -4)x+1=0,

由△=(=--2

2

4)42k k 0,得k=1…………………………(7分) (3)解:41

2)1)(

1(≥++=++ab

ab b a b a 当且仅当ab=1时取“=”号 ∴)1

)(

1(b a

b a ++的最小值为4……………………………………(3分) ∴|x+1|+|x -2|≤4

当x ≤-1时,23,421-

≥≤-+--x x x ∴12

3

-≤≤-x 当21<<-x 时,43,421≤≤-++x x ∴21<<-x 当x ≥2时,25,421≤≤-++x x x ∴2

52≤≤x 综上x 的取值范围是[2

5

,23-]…………………………(7分)

文章来源:福州五佳教育网http://www.wendangku.net/doc/d86a0776852458fb770b56f2.html(中小学快速提分,就上福州五佳教育)