系统的稳定性以及稳定性的几种定义
系统的稳定性以及稳定性的几种定义
一、系统
研究系统的稳定性之前，我们首先要对系统的概念有初步的认识。在数字信号处理的理论中，人们把能加工、变换数字信号的实体称作系统。由于处理数字信号的系统是在指定的时刻或时序对信号进行加工运算，所以这种系统被看作是离散时间的，也可以用基于时间的语言、表格、公式、波形等四种方法来描述。从抽象的意义来说，系统和信号都可以看作是序列。但是，系统是加工信号的机构，这点与信号是不同的。人们研究系统还要设计系统，利用系统加工信号、服务人类，系统还需要其它方法进一步描述。描述系统的方法还有符号、单位脉冲响应、差分方程和图形。
中国学者钱学森认为：系统是由相互作用相互依赖的若干组成部分结合而成的，具有特定功能的有机整体，而且这个有机整体又是它从属的更大系统的组成部分。
二、系统的稳定性
一个系统，若对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则称该系统是有界输入有界输出(Bound Input Bound Output------ BIBO)稳定的系统，简称为稳定系统。即，若系统对所有的激励|f(·)|≤Mf ，其零状态响应|yzs(·)|≤My(M为有限常数），则称该系统稳定。
三、连续（时间）系统与离散(时间)系统
连续系统：时间和各个组成部分的变量都具有连续变化形式的系统。系统的激励和响应均为连续信号。
离散系统：当系统各个物理量随时间变化的规律不能用连续函数描述时，而只在离散的瞬间给出数值，这种系统称为离散系统。系统的激励和响应均为离散信号。
四、因果系统
因果系统 (causal system) 是指当且仅当输入信号激励系统时，才会出现输出（响应）的系统。也就是说，因果系统的（响应）不会出现在输入信号激励系统的以前时刻。即输入的响应不可能在此输入到达的时刻之前出现的系统；也就是说系统的输出仅与当前与过去的输入有关，而与将来的输入无关的系统。
判定方法
对于连续时间系统：
t=t1的输出y(t1)只取决于t≤t1的输入x(t≤t1)时，则此系统为因果系统。
特殊的：当该系统为线性移不变系统时，系统的冲激响应函数h(t)，在t≤t1的条件下，h(t)=0，则此系统为因果系统；
对于离散时间系统：
n=n1的输出y(n1)只取决于n≤n1的输入x(n≤n1)时，则此系统为因果系统，特殊的：当该系统为线性移不变系统时，系统的冲激响应函数h(n)，在n≤n1的条件下，h(n)=0，则此系统为因果系统。
举例说明
函数：1.y(t)=x(sin(t)) 不是因果系统，因为y(-π)=x(0), 表明y(t)在一段时间内可能取决于未来的x(t)。
2.y（t）=x（t）cos（t+1)是因果系统，cos（t+1)是时变函数，相当于一个已知的函数波形，所以x（t）的当前值影响了y（t）的当前值。
五、连续系统稳定性与离散系统稳定性的充分必要条件（证明见教材）
（1）连续系统稳定的充分必要条件
时域：?∞
∞-≤M dt t h |)(|
S 域：若H(s)的收敛域包含虚轴，则该系统必是稳定系统。
对于因果系统：若H(s)的极点均在左半开平面，则该系统必是稳定系统。
（2）离散系统稳定的充分必要条件
时域：∑∞-∞=≤k M k h |)(|
Z 域：若H(z)的收敛域包含单位圆，则该系统必是稳定系统。
对于因果系统：若H(z)的极点均在单位圆内，则该系统必是稳定系统。
举例
例1 y(k)+1.5y(k-1)-y(k-2)= f(k-1)
(1) 若为因果系统，求h(k)，并判断是否稳定。
(2) 若为稳定系统，求h(k).
解：
24.05.04.0)2)(5.0(15.15.11)(2211+-+-=+-=-+=-+=--z z z z z z z z z z z z z z H
(1) 为因果系统，故收敛域为|z|>2，所以h(k)=0.4[0.5k-(-2)k]ε(k)，不稳定。
(2) 若为稳定系统，故收敛域为0.5<|z|<2，所以h(k)=0.4(0.5)k ε(k)+0.4(-2)k ε(-k-1)
例2：如图离散因果系统框图 ，为使系统稳定，求常量a 的取值范围
解：设加法器输出信号X(z)
X(z)=F(z)+z-1aX(z)
Y(z)=(2+z-1)X(z)= (2+z-1)/(1-az-1)F(z)
H(z)= (2+z-1)/(1-az-1)=(2z+1)/(z-a)
为使系统稳定，H(z)的极点必须在单位园内，
故|a|<1
六、系统稳定性判别方法
1、 系统稳定性判据
在控制和通信系统的分析和设计过程中, 研究系统的稳定性是其核心问题。不稳定的系统是不能有效工作的, 而只有在系统稳定的前提下, 讨论系统的准确性与快速性才有意义。
对于一个线性时不变系统, 若系统对任意有界输入其零状态响应也是有界的, 则称此系统为稳定的, 亦称为BIBO 稳定系统。由此导出连续时间系统稳定的充分必要条件是单位冲激响应h(t)绝对可积或其系统函数H(s)的极点全部分布在s 平面左半平面; 离散时间系统稳定的充分必要条件是单位脉冲响应h(n)绝对可和或者其系统函数H(z)的所有极点都在z 平面单位圆内。
通过对系统稳定的充要条件的分析, 我们发现判断系统稳定性的问题转化为分析系统函数的极点分布问题, 也就是检验系统函数H(s)的特征根是否都具有负实部, H(z)的特征根的绝对值是否都小于1的问题。对于低阶系统, 我们可以求出系统函数的全部极点或特征根来判断其稳定性; 而对于三阶以上的高阶系统, 求解过程比较麻烦, 据此提出了连续时间系统的稳定性判据Routh- Hurwitz 准则[2,3]和离散时间系统的稳定性准则Jury 判据。
2、 连续因果系统稳定性判断准则与离散因果系统稳定性判断准则
1）连续因果系统稳定性判断准则—罗斯-霍尔维兹准则
对因果系统，只要判断H(s)的极点，即A(s)=0的根（称为系统特征根）是否都在左半平面上，即可判定系统是否稳定，不必知道极点的确切值。
所有的根均在左半平面的多项式称为霍尔维兹多项式。
（一）必要条件—简单方法
一实系数多项式A(s)=ansn+…+a0=0的所有根位于左半开平面的必要条件是：
（1）所有系数都必须非0，即不缺项；
（2）系数的符号相同。
例1 A(s)=s3+4s2-3s+2 符号相异，不稳定
例2 A(s)=3s3+s2+2 ， a1=0，不稳定
例3 A(s)=3s3+s2+2s+8 需进一步判断，非充分条件。
（二）罗斯列表
将多项式A(s)的系数排列为如下阵列—罗斯阵列
第1行 an an-2 an-4 …
第2行 an-1 an-3 an-5 …
第3行 cn-1 cn-3 cn-5 …
它由第1，2行，按下列规则计算得到：
312111------
=n n n n n n a a a a a c 514131------=n n n n
n n a a a a a c ......
第4行由2，3行同样方法得到。一直排到第n+1行。
罗斯准则指出：若第一列元素具有相同的符号，则A(s)=0所有的根均在左半开平面。若第一列元素出现符号改变，则符号改变的总次数就是右半平面根的个数。
举例：
例1 A(s)=2s4+s3+12s2+8s+2
罗斯阵列： 2 12 2
1 8 0
418112
2-=- 2
8.5 0
2
第1列元素符号改变2次，因此，有2个根位于右半平面。
注意：在排罗斯阵列时，可能遇到一些特殊情况，如第一列的某个元素为0或某一行元素全为0，这时可断言：该多项式不是霍尔维兹多项式。
2）离散因果系统稳定性判断准则—朱里准则
为判断离散因果系统的稳定性，要判断A(z)=0的所有根的绝对值是否都小于1。朱里提出一种列表的检验方法，称为朱里准则。
朱里列表：
第1行 an an-1 an-2 …… a2 a1 a0
第2行 a0 a1 a 2 …… an-2 an-1 an
第3行 cn-1 cn-2 cn-3 …… c1 c0
第4行 c0 c1 c2 …… cn-2 cn-1
第5行 dn-2 dn-3 dn-4 …… d0
第6行 d0 d1 d2 …… dn-2
……
第2n-3行 r2 r1 r0
第3行按下列规则计算：
n n n a a a a c 001=
- 1012--=n n
n a a a a c 2023--=n n
n a a a a c ......
一直到第2n-3行，该行有3个元素。
朱里准则指出：
A(z)=0的所有根都在单位圆内的充分必要的条件是:
(1) A(1)>0
(2) (-1)nA(-1)>0
(3) an>|a0| cn-1>|c0| dn-2>|d0| …… r2>|r0|
即，奇数行，其第1个元素必大于最后一个元素的绝对值。
特例：对二阶系统。A(z)=a2z2+a1z+a0,易得
A(1)>0 A(-1)>0 a2>|a0|
举例:
例 A(z)=4z4-4z3+2z-1
解：排朱里列表
4 -4 0 2 -1
-1 2 0 -4 4
15 -14 0 4
4 0 -14 15
209 -210 56
A(1)=1>0
(-1)4A(-1)=5>0
4>1 ，15>4 ，209>56
所以系统稳定。
3、Nyquist 准则
采用这两个判据判别系统的稳定性要求系统函数必须是s 或z 的有理函数, 这在实际应用中不一定能满足, 而且在许多实际场合, 系统特征方程的系数也不易确定, 这时, Routh- Hurwitz 准则和Jury 判据便无能为力了。此时我们可以应用一种图解方法, 即Nyquist 准则[2,3]来判别系统的稳定性。以连续时间系统为例, Nyquist 准则指出, 对于图1 所示闭环系统, 其转移函数为
对Nyquist 准则的讨论：
仍以连续时间系统为例, 用Nyquist 准则判别系统的稳定性是基于两个假设之上的:
⑴子系统G(s)、H(s)均稳定; ⑵G(s)与1+G(s)H(s)无公共零点。
下面就这两点假设来进行分析。
假设1 Nyquist 准则中对开环频率响应进行分析实际上是判断1+G(s)H(s)的所有零点
是否都在s平面左半平面的问题。要使此闭环系统稳定, T(s)的所有极点必须在s 平面左半平面, 这包括1+G(s)H(s)的所有零点和G(s)的所有极点, 因此G(s)子系统必须是稳定的。
另外, 图1 所示闭环系统可等效为图2 所示全反馈系统[4], 只有当串联的两个环节都稳定, 原闭环系统才能稳定。这就要求H(s)和G(s)H(s)的所有极点都在s 平面左半平面, 那么G(s)和H(s)的极点都应在s 平面左半平面, 即H(s)子系统也必须是稳定的。
假设2 如果G(s)与1+G(s)H(s)存在公共零点, 且这些公共零点都在s 平面左半平面, 那么这些零点虽然在(1)式中相消, 却并不影响T(s)闭环系统的稳定性。
如果G(s)与1+G(s)H(s)存在公共零点, 而这些公共零点中存在不在s 平面左半平面的点, 假设不在s 平面左半平面的公共零点为zk, zk 为一n 重极点( n=1 表示单极点情形) , zk 可以是实极点, 也可以是共轭复数极点。在此情形下令:
其中M1(s)表示G(s)除公共零点以外的零点多项式, N1(s)表示G(s)极点在s 平面左半平面的多项式, M1(s)、N2(s)分别表示H(s)的零极点在s 平面左半平面的多项式( 因为G(s)、H(s)、1/H(s)子系统都必须是稳定的) 。则1+G(s)H(s)的零点为下列方程：
公共零点zk 是方程(2)的一个根, 那么N1(zk)N2(zk)=0, 即zk 为G(s)、H(s)的一个极点。若zk 不在s 平面左半平面, 则与G(s)、H(s)子系统稳定相悖。
综合以上两种情形的分析, 假设2 可以归结到假设1 中, 即只要求G(s)、H(s)子系统稳定即可。
通过以上讨论, 可知用Nyquist 准则判别闭环系统稳定性时, 应先判别G(s)、H(s)子系统的稳定性,再判别闭环系统T(s)的稳定性。
备注：由于本人只是刚接触信号与系统这门课程，对系统理解并不是很透彻，以上内容是本人参考百度文库信号与系统的稳定性PPT，经本人的理解，及查询相关资料进行自我的编辑
改写。以上定义部分均来自百度百科，Nyquist 准则摘自丁蕾的《关于系统稳定性判别方法的讨论》，中图分类号: TP11 文献标识码: A 文章编号: 1007- 4260( 2007) 04- 0077- 03
1. 若不给自己设限，则人生中就没有限制你发挥的藩篱。
2. 若不是心宽似海，哪有人生风平浪静。在纷杂的尘世里，为自己留下一片纯静的心灵空间，不管是潮起潮落，也不管是阴晴圆缺，你都可以免去浮躁，义无反顾，勇往直前，轻松自如地走好人生路上的每一步
3. 花一些时间，总会看清一些事。用一些事情，总会看清一些人。有时候觉得自己像个神经病。既纠结了自己，又打扰了别人。努力过后，才知道许多事情，坚持坚持，就过来了。
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系统稳定性意义以及稳定性的几种定义.
系统稳定性意义以及稳定性的几种定义 一、引言： 研究系统的稳定性之前，我们首先要对系统的概念有初步的认识。 在数字信号处理的理论中，人们把能加工、变换数字信号的实体称作系统。由于处理数字信号的系统是在指定的时刻或时序对信号进行加工运算，所以这种系统被看作是离散时间的，也可以用基于时间的语言、表格、公式、波形等四种方法来描述。从抽象的意义来说，系统和信号都可以看作是序列。但是，系统是加工信号的机构，这点与信号是不同的。人们研究系统还要设计系统，利用系统加工信号、服务人类，系统还需要其它方法进一步描述。描述系统的方法还有符号、单位脉冲响应、差分方程和图形。 电路系统的稳定性是电路系统的一个重要问题，稳定是控制系统提出的基本要求，也保证电路工作的基本条件；不稳定系统不具备调节能力，也不能正常工作，稳定性是系统自身性之一，系统是否稳定与激励信号的情况无关。对于线性系统来说可以用几点分布来判断，也可以用劳斯稳定性判据分析。对于非线性系统的分析则比较复杂，劳斯稳定性判据和奈奎斯特稳定性判据受到一定的局限性。 二、稳定性定义： 1、是指系统受到扰动作用偏离平衡状态后，当扰动消失，系统经过自身调节能否以一定的准确度恢复到原平衡状态的性能。若当扰动消失后，系统能逐渐恢复到原来的平衡状态，则称系统是稳定的，否则称系统为不稳定。 稳定性又分为绝对稳定性和相对稳定性。 绝对稳定性。如果控制系统没有受到任何扰动，同时也没有输入信号的作用，系统的输出量保持在某一状态上，则控制系统处于平衡状态。 （1）如果线性系统在初始条件的作用下，其输出量最终返回它的平衡状态，那么这种系统是稳定的。 （2）如果线性系统的输出量呈现持续不断的等幅振荡过程，则称其为临界稳定。（临界稳定状态按李雅普洛夫的定义属于稳定的状态，但由于系统参数变化等原因，实际上等幅振荡不能维持，系统总会由于某些因素导致不稳定。因此从工程应用的角度来看，临界稳定属于不稳定系统，或称工程意义上的不稳定。） （3）如果系统在初始条件作用下，其输出量无限制地偏离其平衡状态，这称系统是不稳定的。 实际上，物理系统的输出量只能增大到一定范围，此后或者受到机械制动装置的限制，或者系统遭到破坏，也可以当输出量超过一定数值后，系统变成非线性的，从而使线性微分方程不再适用。因此，绝对稳定性是系统能够正常工作的前提。
简述需求价格弹性的类型和影响因素
1、简述需求价格弹性的类型和影响因素 类型：1.Ed>1表明需求量的变动率快于价格的变动率，即需求量对价格变化反应强烈，称为富有弹性。需求曲线斜率为负，其绝对值小于1。这类商品西方称之为奢侈品，一般指高档消费品。2.Ed=1，表明需求量的变动率等于价格的变动率，即需求和价格以相同幅度变动，称为单一弹性，需求曲线的斜率为-1，这是一种特例,即属特殊情况。3.Ed<1，表明需求量的变动率小于价格的变动率，即需求量变化对价格变化反应缓和，称为缺乏弹性。需求曲线斜率为负，其绝对值大于1。这类商品为生活必需品。4.Ed=0，表明需求量为一常量，表明需求量不随价格变化而变化，称为完全无弹性，需求曲线和纵轴平行，其斜率为无穷大。这是一种特例，如火葬费、自来水费等近似于无弹性。5.Ed=∞，表明价格为一定的情况下，需求量无限大，称为无穷大弹性，需求曲线斜率为零。这也是一种特例，如战争时期的常规军用物资及完全竞争条件下的商品可视为Ed无限大。 影响需求弹性的因素：1.购买欲望。如果购买欲望强，意味着该商品对消费者满足程度高，这类商品需求弹性大；反之，购买欲望弱，意味着该商品对消费者满足程度低，这类商品需求弹性小。2.可替代程度。一种商品的替代品数目越多、替代品之间越相近，则该商品的需求弹性大，反之，一种商品的替代品数目少，替代品差别大，则该商品需求弹性小。3.用途的广泛性。一种商品用途较广，则需求弹性较大；反之，一种商品用途较少时，则需求弹性小，因为该商品降价后也不可能有其他用途，需求量不会增长很多。4使用时间。使用时间长的商品，其价格需求弹性较大：反之，使用寿命短的商品，其价格需求弹性就小。上述是影响价格需求弹性的主要因素，还要考虑其他因素，同时，还应综合分析上述因素的作用。 2、供给价格弹性的类型及影响因素 1.ES＞1表明供给量的变动率快于价格的变动率，即供给量对价格的变化反应强烈，称为供给富有弹性。供给曲线的斜率为正，其值小于1。管商品。 2.ES=1表明供给量的变动率等于价格的变动率，即供给和价格以相同的幅度变动，称为供给单一弹性。供给曲线斜率为正。其值为1。 3.ES＜1表明供给的变动率慢于价格的变动率，即供给量对价格的变化反应缓和。供给曲线斜率为正，其值大于1，称为缺乏弹性。 4.ES=0表明供给量是一个常量，不随价格变化而变化。供给曲线和纵轴平行，其斜率为无穷大，称为完全无弹性。 5.ES=∞表明同一价格条件下，供给量无穷大，供给曲线和横轴平行，其斜率为零，称为无穷大弹性。 影响因素：1.生产的难易程度。容易生产且生产周期短的商品供给弹性大，反之，不易生产且生产周期长的商品供给弹性小。2.生产要素的供给弹性。生产要素供给弹性大的商品，商品的供给弹性也大。反之，生产要素供给弹性小，商品的供给弹性也小。3.生产采用的技术类型。资本或技术密集型的商品，增加供给较难，商品的供给商品较小，劳动密集型的商品，增加供给相对容易，商品的供给弹性较大。4.商品保管难易程度。容易保管的商品，增加供给容易，其供给弹性较大，不易保管的商品增加供给困难，其供给弹性较小。 3、总效用和边际效用的变动规律如何？ 总效用是指消费者在一定时间内，消费一种或几种商品所获得的效用总和。边际效用是指消费者在一定时间内增加单位商品所引起的总效用的增加量。 二者的关系是：当边际效用为正数时，总效用是增加的；当边际效用为零时，总效用达到最大；当边际效用为负数时，总效用减少；总效用是边际效用之和。4．什么是消费者剩余，如何衡量？ 消费者剩余是指消费者购买商品时愿意支付的最高价格和实际支付价格之差，是消费者购买商品时所得好处的总和。如图: 横坐标为商品数量Q，纵坐标为商品价格P，AB为需求 曲线，如消费者购买Q1商品，则商品价格为P1，实际 支付总价格为OP1CQ1。如果消费者购买商品数量为Q2，则商品支付价格为P2，实际支付总价格为OP2DQ2。同样 购买Q2商品，按第二种购买比第一种多支付价格 P1P2DE。同理可证，如果对OQ1商品从少到多，一个一 个购买，则会比一次购买多支付价格为三角形面积AP1C。这就是消费者剩余。 5无差异曲线的特征：无差异曲线是用来表示给消费者带来相同效用水平或相同满足和谐的两种商品不同数量 的组合。其特征：1.无差异曲线是一条向右下方倾斜的曲线，在坐标图上，任一点都应有一条无差异曲线通过； 2.一般来说，无差异曲线具有负斜率，即无差异曲线的斜率的绝对值是递减的； 3.任意两条无差异曲线不能相交；第 4.无差异曲线可以有许多条，离原点近的无差异曲线效用水平低，离原点远的无差异曲线效用水平高。 6.消费品的边际替代率的涵义？为什么它是递减的？ 商品的边际替代率是指消费者在保持原有的效用水平 或满足程度不变的前提下，增加一单位某种商品的消 费时，而需放弃的另一种商品的消费数量。一般用MRS 表示。如下式： 它表示为得到一单位X商品，所必须放弃的商品Y的数量。因为随着商品X的增加，其边际效用是递减的。同时，随着商品Y逐渐减少，Y的边际效用是递增的。所以，随着X的增加，每单位X可以替代的商品Y的数量越来越少。所以商品的边际替代率递减的根本原因在于商品的边际效用递减。 7.城市由于水资源不足，自来水紧张，根据边际效用递减原理，设计一种方案供政府来缓解或消除这个问题，并回答这种措施:1.对消费者剩余有何影响？2.对生产资源的配置有何有利或不利的效应？3.对于城市居民的收入分配有何影响？能否有什么补救的办法？ 可用提高自来水的使用价格来缓解或消除这个问题。自来水的价格提高，一方面，用户会减少（节约）用水；另一方面，可扩大自来沙丘生产或供给。这样，自来水供应紧张的局面也许可能得到缓解或消除。（1）采取这一措施，会使用户消费者剩余减少。在图中，横轴代表自来水的数量，纵轴代表自来水的价格。直线D代表自来水的需求曲线。当自来水价格从P1提高到P2时，用户对自来水的需求量从Q1下降到Q2。于是，消费者剩余从三角形CP1B减少为三角形CP2A （2）对生产者资源配置的有利效应是节约了用水，可使之用于人们更需要的用途上，从而使水资源得到更合适更有效的使用，但这样做，也许会造成其他资源的浪费，比方说，工厂里本来用水来冷却物体，现在要改变用电来冷却.的使用，但这样做，也许会造成其他资源的浪费，比方说，工厂里本来用水来冷却物体，现在要改变用电来冷却，增加了对电和有关装置的需求。如果自来水价格提高过度，必然会带来更多其他资源的消耗，这是不利的一面。(3)如果城市居民收入不变，自来水的价格提高无异是降低了居民的实际收入，补救的办法，也许是给居民增加货币式资或予以价格补贴。 8.什么是边际报酬递减规律？这一规律发生作用的条件是什么？:又称边际收益递减规律，是指在其他条件不变的情况下，如果一种投入要素连续地等量增加，增加到一定产值后，所提供的产品的增量就会下降，即可变要素的边际产量会递减。这就是经济学中著名的边际报酬递减规律。
需求价格弹性
5.需求价格弹性和总销售收入的关系 （1）如果E d＞1，即需求富有弹性的商品，价格上升会使销售收入减少，价格下降会使销售收入增加。销售收入与价格变动成反方向变动趋势。 【例题19：单选题】假设某商品需求价格弹性系数为2，当商品的价格为１时，销售量为10，厂商的销售收入为10；当商品的价格上升10%时，商品的销售收入为（）. A 8.8 B 10 C 12 D 7.6 【答案】A 【解析】当商品的价格上升10%时，商品的销售量下降20%，此时商品的价格为1.1，商品的销售量为10*（1-20%）=8，商品的销售收入为8.8.显然提价后，厂商的销售收入下降了。 （2）如果E d＜1，即需求缺乏弹性的商品，价格上升会使销售收入增加，价格下降会使销售收入减少。销售收入与价格变动成同方向变动趋势。 【例题20 】假设某商品需求价格弹性系数为0.5，当商品的价格为１时，销售量为10，厂商的销售收入为１×10=10；当商品的价格上升10%时，商品的销售量下降5%，此时商品的价格为1.1，商品的销售量为10*（1-5%）=9.5，商品的销售收入为1.1*9.5=10.45.显然提价后，厂商的销售收入上升了。 （3）如果E d=1，即需求单位弹性的商品，价格变动不会引起销售收入的变动。 【综上】 企业对于需求富有弹性(即需求弹性系数大于1)的商品适用实行薄利多销的方法。 【例题20：2012年单选】通常情况下，生产者通过提高某产品单位销售价格而增加其销售总收入的前提条件是该产品的（）。 A.需求价格弹性系数大于1 B.需求收入弹性系数大于1 C.需求收入弹性系数小于1 D.需求价格弹性系数小于1 【答案】 D 【解析】通过本题掌握需求价格弹性与销售收入的关系
稳定性
稳定性 (stability) 系统受到扰动后其运动能保持在有限边界的区域内或回复到原平衡状态的性能。稳定性问题是自动控制理论研究的基本问题之一。稳定性分为状态稳定性和有界输入-有界输出稳定性。 状态稳定性如果充分小的初始扰动只引起系统偏离平衡状态的充分小的受扰运动，则称系统是稳定的。如果当时间趋于无穷大时，所有这些受扰运动均回复到原平衡状态，则称系统是渐近稳定的。如果对任意初始扰动引起的受扰运动，系统都能随时间趋于无穷大而回复到平衡状态，则称系统是全局或大范围渐近稳定的。 有界输入－有界输出稳定性如果对应于每个有界的输入，系统的输出均是有界的,就称系统是有界输入-有界输出稳定的，简称BIBO稳定。一个向量信号称为有界，是指组成信号的每一个分量的函数值都为有限值。对于可用常系数线性微分方程描述的系统，在系统是联合能控和能观测时（见能控性和能观测性），BIBO稳定等价于全局渐近稳定。在线性控制理论中，系统稳定即指其平衡状态是全局渐近稳定。 稳定性的判别判定系统稳定性主要有两种方法：①李雅普诺夫方法：它同时适用于线性系统和非线性系统，定常系统和时变系统。对于线性定常系统，这种方法在使用上并不简便（见李雅普诺夫稳定性理论。②基于对系统传递函数的极点分布的判别方法：只适用于线性定常系统。传递函数的极点即是其分母多项式为零的代数方程的根。这种方法在应用上比较简便。其中按代数方法进行判
别的为代数稳定判据，如劳思稳定判据和胡尔维茨稳定判据；按复变函数方法进行判别的有奈奎斯特稳定判据和米哈伊洛夫稳定判据；按图解方法通过研究极点随增益的变化关系来进行判别的为根轨迹法。除此之外，在研究某些类型的稳定性问题时，也常采用波波夫稳定判据。而泛函分析和微分几何的方法也已在研究稳定性问题中得到应用。 稳定性 (stability) 在一定条件下，物体在偏离平衡位臵后能恢复到原来平衡位臵的性能。如塔式起重机一般要加适当的配重，使其承受各种载荷时重心始终在支承点周围的范围内而不翻倒。液压缸的活塞杆、压力机的丝杆、起重机钢结构的受压弦杆等细长杆，都要进行稳定性校核。焊接箱形结构的腹板存在薄板稳定性问题。薄壁压力容器受外压或抽真空时，需要考虑容器形状的稳定性，如失稳便会发生凹凸变形。 失稳及其形式物体偏离平衡位臵后不能恢复到原来位臵叫失稳。如细长杆或薄壁结构在过大的压应力作用下，原来的平衡形式突然改变，发生显著变形，杆变弯，容器的曲率半径发生显著变化，细长杆或薄壁结构就产生失稳。结构失稳的形式有：①压杆的载荷超过临界值时，原来的直线平衡形式失去稳定性，可能转为弯曲平衡形式，载荷逐渐加大时，实际弯曲变形也随之加大，但并未丧失承载能力。②受外压的球形薄壁容器失稳变形后所能承受的力已小于临界力，即结构丧失了原有的承载能力。③扁拱形薄板零件或扁壳形零件，其凸面承受压力时逐渐产生变形，当压力达到临界值时便失去稳定，其平衡位臵发生跳跃，突然变
需求的价格点弹性的几何意义
需求的价格点弹性的几何意义 先考虑线性需求曲线的点弹性。用图1来说明。 图1 线型需求曲线的点弹性 在图中，线性需求曲线分别与纵坐标和横坐标相交于A、B两点，令C点为该需求曲线上的任意一点。从几何意义看，根据点弹性的定义，C点的需求的价格弹性可以表示为： d dQ P GB CG GB CB FO e dP Q CG OG OG AC AF =-?=?=== 由此可得出这样一个结论：线性需求曲线上的任何一点的弹性，都可以通过由该点出发向价格轴或数量轴引垂线的方法来求得。 线性需求曲线上的点弹性有一个明显的特征：在线性需求曲线上的点的位置越高，相应的点弹性系数值就越大；相反，位置越低，相应的点弹性系数值就越小。这一特征在图2 (a)中得到了充分的体现。在图(a)中，随着需求曲线上的点的位置由最低的A点逐步上升到最高的E点的过程，相应的点弹性由e d＝0逐步增加到e d＝∞。具体地分析，在该线性需求曲线的中点C，有e d＝1，因为CA=EC。在中点以下部分的任意一点如B点，有e d<1，因为BA
第五章李雅普诺夫稳定性分析
第六章 李雅普诺夫稳定性分析 在反馈控制系统的分析设计中，系统的稳定性是首先需要考虑的问题之一。因为它关系到系统是否能正常工作。 经典控制理论中已经建立了劳斯判据、Huiwitz 稳定判据、Nquist 判据、对数判据、根轨迹判据等来判断线性定常系统的稳定性，但不适用于非线性和时变系统。分析非线性系统稳定性及自振的描述函数法，则要求系统的线性部分具有良好的滤除谐波的性能；而相平面法则只适合于一阶、二阶非线性系统。 1892年俄国学者李雅普诺夫（Lyapunov ）提出的稳定性理论是确定系统稳定性的更一般的理论，它采用状态向量来描述，不仅适用于单变量、线性、定常系统，还适用于多变量、非线性、时变系统。 §6-1 外部稳定性和内部稳定性 系统的数学模型有输入输出描述（即外部描述）和状态空间描述（即内部描述），相应的稳定性便分为外部稳定性和内部稳定性。 一、外部稳定性 1、定义（外部稳定性）： 若系统对所有有界输入引起的零状态响应的输出是有界的，则称该系统是外部稳定的。 (外部稳定性也称为BIBO （Bounded Input Bounded Output ）稳定性) 说明： （1）所谓有界是指如果一个函数)(t h ，在时间区间],0[∞中，它的幅值不会增至无穷，即存在一个实 常数k ，使得对于所有的[]∞∈0 t ，恒有∞<≤k t h )(成立。 （2）所谓零状态响应，是指零初始状态时非零输入引起的响应。 2、系统外部稳定性判据 线性定常连续系统 ∑),,(C B A 的传递函数矩阵为 Cx y Bu Ax x =+= BU A sI X BU X A sI CX Y BU AX sX 1)()(--==-=+= B A sI C s G 1 )()(--= 当且仅当)(s G 极点都在s 的左半平面内时，系统才是外部稳定（或BIBO 稳定）的。
需求价格弹性和实际意义
需求价格弹性理论及其实际意义 对于企业而言毛利润最大化是其最终目标。而总利润TR=P*Q，这里的价格和需求量并不是互相独立的，两者之间存在着密切的联系。理清两者的联系，通过调整，在销售量与单位利润之间达到巧妙的平衡使总利润达到最大化，是企业决策的关键。而需求价格弹性理论正好能解决这一问题，从这方面看，弄清这一理论并将其运用于实际之中对每个参与社会中的经济行为的人来说是非常必要的。接下来，我将仔细分析需求价格弹性理论及其在实际中的应用。 一．需求价格弹性理论 由需求曲线可知，一般情况下，当一种商品的价格发生变化时，这种商品的需求量会发生变化。但是，商品需求量的变化与价格变化的关系究竟是怎样呢？譬如，当一种商品的价格下降百分之一时，这种商品的需求量究竟分别会上升多少呢？需求价格弹性理论就是专门为解决这一类问题而设立的。 需求的价格弹性表示在一定时期内一种商品的需求量变动对于该商品的价格变动的反应程度。或者说，表示在一定时期内当一种商品的价格变化百分之一时所引起的该商品需求量变化的百分比。其公式为： 一般情况下，需求的价格弹性实际上是负数；也就是说，由于需求规律的作用，价格和需求量是呈相反方向变化的，价格下跌，需求量增加；价格上升，需求量减少。因此，需求量和价格的相对变化量符号相反，所以需求价格弹性系数总是负数。由于他的符号始终不变，为了简单起见，习惯上将需求看做为一个正数，因为我们知道它是个负数。 需求的价格弹性分为价格弧弹性和点弹性，两者的本质相同。它们的区别仅在于：前者表示价格变动量较大时的需求曲线上两点之间的弹性，而后者表示价格变动量无穷小时的需求曲线上某一点的弹性。 ●需求价格弹性的种类： （1）弧弹性 (a)弧弹性的含义及公式：需求价格弹性的弧弹性表示某商品需求曲线上两点之间的需求量的变动对于价格的变动的反应程度。简单地说，它表示需求曲线上两点之间的弹性。以 表示需求的价格弹性系数，则需求的价格弧弹性公式为： =（ΔQ/Q)/(ΔP/P) 此公式为从一点到另一点的弧弹性公式，当所求的弧弹性为曲线的弧弹性时，其公式为： (b) 弧弹性的类型
控制系统的稳定性
3.8 控制系统的稳定性 3.8 控制系统的稳定性 稳定性是控制系统最重要的特性之一。它表示了控制系统承受各种扰动，保持其预定工作状态的能力。不稳定的系统是无用的系统，只有稳定的系统才有可能获得实际应用。我们前几节讨论的控制系统动态特性，稳态特性分析计算方法，都是以系统稳定为前提的。 3.8.1 稳定性的定义 图3.26（a）是一个单摆的例子。在静止状态下，小球处于A位置。若用外力使小球偏离A而到达A’，就产生了位置偏差。考察外力去除后小球的运动，我们会发现，小球从初始偏差位置A'，经过若干次摆动后，最终回到A点，恢复到静止状态。图3.26（b）是处于山顶的一个足球。足球在静止状态下处于B位置。如果我们用外力使足球偏离B位置，根据常识我们都知道，足球不可能再自动回到B位置。对于单摆，我们说A位置是小球的稳定位置，而对于足球来说，B则是不稳定的位置。 图 3.26 稳定位置和不稳定位置 （a）稳定位置；(b)不稳定位置 处于某平衡工作点的控制系统在扰动作用下会偏离其平衡状态，产生初始偏差。稳定性是指扰动消失后，控制系统由初始偏差回复到原平衡状态的性能。若能恢复到原平衡状态，我们说系统是稳定的。若偏离平衡状态的偏差越来越大，系统就是不稳定的。 在控制理论中，普遍采用了李雅普诺夫（Liapunov）提出的稳定性定义，内容如下： 设描述系统的状态方程为 (3.131)
式中x(t)为n维状态向量，f(x(t),t)是n维向量，它是各状态变量和时间t的函数。如果系统的某一状态,对所有时间t，都满足 (3.132) 则称为系统的平衡状态。是n维向量。当扰动使系统的平衡状态受到破坏时，系统就会偏离平衡状态，在时，产生初始状态=x。在时，如果对于任一实数，都存在另一实数，使得下列不等式成立 (3.133) (3.134) 则称系统的平衡状态为稳定的。 式中称为欧几里德范数，定义为： (3.135) 矢量的范数是n维空间长度概念的一般表示方法。 这个定义说明，在系统状态偏离平衡状态，产生初始状态以后，即以后，系统的状态将会随时间变化。对于给定的无论多么小的的球域S()，总存在另一个的球域，只要初始状态不超出球域，则系统的状态 的运动轨迹在后始终在球域S()内，系统称为稳定系统。 当t无限增长，如果满足： (3.136) 即系统状态最终回到了原来的平衡状态，我们称这样的系统是渐近稳定的。对于任意给定的正数，如果不存在另一个正数，即在球域内的初始状态，在后，的轨迹最终超越了球域S()，我们称这种系统是不稳定的。 图3.27是二阶系统关于李雅普诺夫稳定性定义的几何说明。
需求价格弹性教案
第二章 市场运行：需求与供给 第五节 需求价格弹性 （第一部分2学时） 【教学目的】：让学生理解弹性、需求价格弹性的含义；掌握需求价格弹性的计算方法。 【前课回顾】：上节课讲了需求与供给的均衡：在市场条件下，需求和供给两个力量在相互作用的情况下会产生均衡的价格和数量，即市场均衡（Market Equilibrium ）。市场均衡出现在需求曲线和供给曲线的交点上。在该点上消费者愿意购买商品的数量正好等于生产者愿意生产商品的数量。但是该均衡是在不断变化着的，变化后又会达到新的均衡。（5分钟） 【新课导入】：在现实生活中我们会经常见到一些现象，如商家通过降低价格的方法来增加销售量从而增加销售收入和提高利润水平的做法称为“薄利多销”。还有，如农业大丰收，农产品储量丰富，农产品的价格下降，农民虽然多产了粮却反而收入下降的现象叫做“谷贱伤农”。上述这两种现象当中到底蕴含着怎样的经济学原理呢？（5分钟） 【授课内容】： 一、需求价格弹性 （一）弹性（Elasticity ）源于物理学，指的是某一物体对外部力量的的敏感程度或反应程度。 表示因变量对自变量变化的敏感程度或反应程度。 公式： 2121 E =Y Y y y X Y Y X X x x Y X X -??===?-??因变量的相对变化自变量的相对变化 (其中：E 是弹性系数，X 是自变量，Y 是因变量) 含义：自变量每变化一个百分点时，因变量会变化的百分点，这是一个比值，表示了两个变量各自变化量的比例关系，与其变量的计量单位无关。 [例1]： “基础设施投资增加1%，区域经济的GDP 将被拉动提升1%”（出自世界
银行：《1994年世界发展报告》） 在上述的弹性系数是1。 （二）、需求价格弹性 是指某商品的需求量对其价格变化的敏感程度或反应程度。 即是需求量变化的百分比与价格变化的百分比之比。 公式： Q =d Q P Q E P P Q P ??=??? d E ——需求价格弹性系数 Q ——需求量 Q ?——需求变化量 P ——价格 P ?——价格变化量 {注意}： 1、我们将所有的百分比变动视为正数，从而去掉数值中的负号。这意味着尽管有反方向变动的可能，但是需求价格弹性均不小于零。同样，当说到某产品的需求价格弹性大即是指其绝对值大。 2、弹性定义使用的是相对变化的百分比，而非实际变化量，并与变量单位无关。 3、计算公式中的“价格”和“需求量”，通常采用平均值计算。 即中点法： 1212Q [()2]=[()2]d Q Q Q Q E P P P P P ??+=??+ ??→弧弹性 当P ?趋于无穷小时，我们可以计算某一点处的需求价格弹性，用“微积分”得出“点弹性”。 公式： =d dQ Q dQ P E dP P dP Q =? （三）、需求价格弹性的计算 1、中点法
知识点3需求的价格弹性弹性一般含义1弹性的一般概念弹性
知识点3：需求的价格弹性 一、弹性一般含义 1、弹性的一般概念：弹性（Elasticity ）表示作为因变量的变量的相对变动对于作为自变量的变量的相对变动的反应程度。或者说，是因变量变动的百分比和自变量变动的百分比之比。 2、一般表达式 3、弧弹性与点弹性的一般表达式 Y X X Y X X Y Y e d ???-=??-= Y X dX dY X dX Y dY X X Y Y lim e o p d ?- ==??-=→? 二、 需求的价格弹性的含义 需求的价格弹性:一种商品的需求的变动对于该商品的价格变动的反应程度。 需求的价格弹性可以分为点弹性与弧弹性。 1 .需求价格弧弹性 (1)含义：需求价格弧弹性指某商品需求曲线上两点之间的需求量相对变动对价格相对变动的反映程度。简单地说，它表示需求曲线上两点之间的弧弹性。 (2)需求的价格弧弹性的计算：假定需求函数为Q d =f （P ），以e d 表示需求的价格弹性系数，则需求的价格弧弹性的公式为： Q P P Q P P Q Q e d ???-=??-= 设某种商品的需求函数Q d =2400-400P ，几何图形如图2－3示。 应该如何计算相应的弧弹性值呢？弧弹性计算如下: 由a 点到b 点(即降价时)： =-=???- =d d e Q P P Q e 由b 点到a 点(即涨价时)： 800 45----=???-=b b b a b a d Q P P Q Q P P Q e 显然，由a 点到b 点和由b 点到a 点的弧弹性数值是不相同的。其原因在于：尽管在上 面两个计算中，Q ?和P ?的绝对值都相等，但由于P 和Q 所取的基数值不相同，所以，两种计算结果便不相同。 （3）中点弧弹性计算公式： 自变量的变动比例 因变量的变动比例弹性系数=
系统稳定性意义以及稳定性的几种定义
一、引言： 研究系统的稳定性之前，我们首先要对系统的概念有初步的认识。 在数字信号处理的理论中，人们把能加工、变换数字信号的实体称作系统。由于处理数字信号的系统是在指定的时刻或时序对信号进行加工运算，所以这种系统被看作是离散时间的，也可以用基于时间的语言、表格、公式、波形等四种方法来描述。从抽象的意义来说，系统和信号都可以看作是序列。但是，系统是加工信号的机构，这点与信号是不同的。人们研究系统还要设计系统，利用系统加工信号、服务人类，系统还需要其它方法进一步描述。描述系统的方法还有符号、单位脉冲响应、差分方程和图形。 电路系统的稳定性是电路系统的一个重要问题，稳定是控制系统提出的基本要求，也保证电路工作的基本条件；不稳定系统不具备调节能力，也不能正常工作，稳定性是系统自身性之一，系统是否稳定与激励信号的情况无关。对于线性系统来说可以用几点分布来判断，也可以用劳斯稳定性判据分析。对于非线性系统的分析则比较复杂，劳斯稳定性判据和奈奎斯特稳定性判据受到一定的局限性。 二、稳定性定义： 1、是指系统受到扰动作用偏离平衡状态后，当扰动消失，系统经过自身调节能否以一定的准确度恢复到原平衡状态的性能。若当扰动消失后，系统能逐渐恢复到原来的平衡状态，则称系统是稳定的，否则称系统为不稳定。 稳定性又分为绝对稳定性和相对稳定性。 绝对稳定性。如果控制系统没有受到任何扰动，同时也没有输入信号的作用，系统的输出量保持在某一状态上，则控制系统处于平衡状态。 （1）如果线性系统在初始条件的作用下，其输出量最终返回它的平衡状态，那么这种系统是稳定的。 （2）如果线性系统的输出量呈现持续不断的等幅振荡过程，则称其为临界稳定。（临界稳定状态按李雅普洛夫的定义属于稳定的状态，但由于系统参数变化等原因，实际上等幅振荡不能维持，系统总会由于某些因素导致不稳定。因此从工程应用的角度来看，临界稳定属于不稳定系统，或称工程意义上的不稳定。） （3）如果系统在初始条件作用下，其输出量无限制地偏离其平衡状态，这称系统是不
需求价格弹性
第二节 需求价格弹性 一、需求价格弹性定义 1、定义 所谓需求价格弹性是指某种商品的需求量相对其价格变化的反应程度，即需求量变化的百分比与价格变化的百分比之比。其计算公式为 E P ＝- P P Q Q ?? “—”号为保证弹性系数非负添加的。 切线斜率连线斜率边际值平均值===-=dQ dP Q P Q P dP dQ E d . 补充： 1、Q=2400-400P,Ed=400P/Q 2、Ed=0.5，P1=0.2元/斤，Q1=100斤。如价格下调10%，下调10%，则Q2=100+100×5%=105斤
3 、 4、如下图： P 线性需求曲线上点弹性的大小2、点弹性与弧弹性 当我们计算价格变化后该段区间内该商品弹性时，我们通常取价格变化前后、需求量变化前后的中点值代入公式，称为弧弹性。 弧E P ＝-Q Q P P ??＝-2 1212121Q Q P P Q Q P P --++ 当我们计算某商品在某价格水平下的弹性时候，我们称为点弹性，计算公式为 点E P ＝-0lim P Q Q P P ?→??＝-d d Q P P Q ? 思考：需求曲线越陡，价格弹性越小；需求需求越平缓，价格弹性越大。
要点：某商品的需求价格弹性与需求曲线斜率和需求曲线上的特定点有关。同一曲线上两点和两条不同曲线的交点比较。 二、需求价格弹性分类 1、需求完全无弹性，即Ed=0 无论价格如何变化，需求总量一定。价格变动对需求量无影响，需求曲线是一条垂直横轴的线。 2、需求完全有弹性，即Ed→∞ 价格的任何变化都会引起需求量无限变化。此时价格既定，需求量是无限的，需求曲线是一条与横轴平行的线，价格的微小变动会导致需求量发生无穷大的变化。 3、需求单位弹性，即Ed =1 需求量变动百分比与价格变动百分比相等。 4、需求缺乏弹性，即0＜Ed ＜1 需求量变动百分比小于价格变动百分比，需求曲线是条较为陡峭倾斜的线。生活必需品多属此类。 5、需求富有弹性，即Ed ＞1 需求量变动的百分比大于价格变动的百分比，需求曲线是一条较为平坦的线。奢侈品多属此类。
自动控制理论 自考 习题解答第5章稳定性分析分解
第五章 稳定性分析 5—1 解： （1） 系统的特征方程为020) 1(2 12=++?=++ s s s s 。 因为二阶特征方程的所有项系数大于零，满足二阶系统的稳定的充分必要条件，即两个特征根均在S 平面的左半面，所以此系统稳定。 （2） 系统的特征方程为030) 1(3 12=+-?=-+ s s s s 。 因为二阶特征方程的项系数出现异号，不满足二阶系统的稳定的充分必要条件，所以此系统不稳定。 （注：BIBO 稳定意旨控制系统的输入输出（外部）稳定，系统稳定的充分必要条件是输出与输入之间传递函数的极点均在S 平面的左半平面。若传递函数无零极点对消现象时，内部稳定与外部稳定等价。此系统只含极点不含零点，所以传递函数的极点和特征方程的特征根等价，故直接可以用特征根的位置判系统的稳定性。） 5—2 解： （1） 特征方程中所有项系数大于零，满足稳定的必要条件； 又 三阶系统的系数内项乘积大于外项乘积（5011020?>?），满足稳 定的充分条件。 ∴ 该控制系统稳定。 （2） 特征方程中所有项系数大于零，满足稳定的必要条件； 特征方程中所有项系数大于零，满足稳定的必要条件；列写Routh
故系统有两个特征根在S平面的右半部。 （3） 特征方程中所有项系数大于零，满足稳定的必要条件； 又 三阶系统的系数内项乘积小于外项乘积（300 20? ?），不满足 < 8 1 稳定的充分条件。 ∴该控制系统不稳定。 （4） 特征方程中所有项系数大于零，满足稳定的必要条件； 稳定。由于第一列元素符号变化两次，系统特征根有两个在右半平面，其它4个根在左半平面。
（5） 特征方程中所有项系数大于零，满足稳定的必要条件； 不稳定。 由于表中出现全为0的行，为确定特征根的分布可构造辅助方程 012048402324,43324=+?=+?=++=s s s s s s k 利用辅助方程的导数方程的对应项系数代替全零行元素，继续完成表的列写。结果：第一列元素无负数，右半平面无根，有4个根在虚轴上。 5—3 解： （1）系统开环极点为-1、-2、-3，均在S 平面的右半平面，所以开环系统稳定； 闭环系统的特征方程为 0261160) 3)(2)(1(20 123=+++?=++++ s s s s s s 特征方程的系数均大于零，满足系统稳定的必要条件；又有内项系数乘积大于外项系数乘积，满足系统稳定的充分条件。所以该系统闭环稳定。 （2）系统开环极点为0、-1、-2、-3，有一个在原点处，所以开环系统不稳定； 闭环系统的特征方程为 02061160) 3)(2)(1(20 1234=++++?=++++ s s s s s s s s 特征方程的系数均大于零，满足系统稳定的必要条件； 列写
结构的稳定性
《结构的稳定性》教学设计 一、教学日期 2010年1月13日下午1：40 二、教学目标 知识与技能： 理解结构稳定的概念以及通过实验分析总结出影响结构稳定的主要因素。 过程与方法： 通过探究、讨论、分析等教学方法，使学生懂得应用相关的理论知识。 情感态度与价值观： 增强学生对结构稳定性的认识。培养创新品质，提高审美意识。渗透安全教育，德育教育。 三、教材分析 本节是“苏教版”《技术与设计2》第一章第二节《稳固结构的探析》中“结构的稳定性”内容。该章的总体设计思路是：认识结构、探析结构、设计结构、欣赏结构。“结构”与“设计”是该章的两个核心概念。是对结构认识的基础上作进一步深入的学习，而结构的稳定性是结构设计中需要考虑的重要因素之一，可使学生对结构的基本认识有一个更深入的认识与巩固，为后续的结构的强度，结构的设计等教学奠定良好的基础。利用探究，讨论，对比等方法提高学生创新的品质和分析能力。 四、学情分析 学生在前面的学习中已经初步掌握了结构的基本知识。因此在教学中尽量多列举些涉及结构的稳定性的生活实例，便于师生进行互动探讨，帮助学生加深对影响结构稳定因素的理解。基于学生对三角形结构的结实稳固和物体结构的重心越低越稳定相关知识已经通过其它学科在理论有所了解，本节课主要精力放在对具体实物结构稳定性的分析上，主要让学生了解影响结构稳定性的几个基本因素。 五、教学重难点 重点：影响结构稳定性的主要因素：重心位置，支撑面的大小和结构的形状难点：（1）接触面与支撑面（2）利用所学的知识解决生活中的有关现象六、教学策略 在教学中为了使学生掌握相关知识，教师切实的去创造环境，调动学生的各个方面的能力，如：表述的能力、思考的能力、发现问题的能力、解决问题的能力、合作学习的能力等。把课堂还给学生、让学生成为课堂的主体，让学生去说、去想、去做，以“影响结构稳定的主要因素”为主线，通过举例，图片和实物展示激发学生的学习兴趣和创造灵感，以达到应用知识的目的。 七、教学环境和资源 教学环境： 科技楼五楼通用技术实验室 教学资源： 多媒体、不倒翁、矿泉水瓶、纸、板条、屏风等 八、教学方法 讲授法、技术试验法、分析讨论、小组合作法、自主探究法、观察发现法、案
需求的价格点弹性的几何意义
先考虑线性需求曲线的点弹性。用图1来说明。 图1 线型需求曲线的点弹性 在图中，线性需求曲线分别与纵坐标和横坐标相交于A、B两点，令C点为该需求曲线上的任意一点。从几何意义看，根据点弹性的定义，C点的需求的价格弹性可以表示为：由此可得出这样一个结论：线性需求曲线上的任何一点的弹性，都可以通过由该点出发向价格轴或数量轴引垂线的方法来求得。 线性需求曲线上的点弹性有一个明显的特征：在线性需求曲线上的点的位置越高，相应的点弹性系数值就越大；相反，位置越低，相应的点弹性系数值就越小。这一特征在图2 (a)中得到了充分的体现。在图(a)中，随着需求曲线上的点的位置由最低的A点逐步上升到最高的E点的过程，相应的点弹性由e d＝0逐步增加到e d＝∞。具体地分析，在该线性需求曲线的中点C，有e d＝1，因为CA=EC。在中点以下部分的任意一点如B点，有e d<1，因为BA
汽车理论课后习题答案第五章汽车的操纵稳定性
第五章 5. 1 轿车（每个）前轮胎的侧偏刚度为-50176N/ rad、外倾刚度为-7665N/rad。若轿车向左转弯，将使两前轮均产生正的外倾角，其大小为40。设侧偏刚度与外倾刚度均不受左、右轮载荷转移的影响.试求由外倾角引起的前轮侧偏角。 答: 由题意：F Y=^"k =■■ 故由外倾角引起的前轮侧偏角： :二- k k= _ ?0 5. 2 6450轻型客车在试验中发现过多转向和中性转向现象，工程师们在前悬架上加装前横向稳定杆以提高前悬架的侧倾角刚 度，结果汽车的转向特性变为不足转向。试分析其理论根据（要求有 必要的公式和曲线） 答: 稳定性系数：K=m b L g k J k、k2变化， 原来K兰0,现在K>0,即变为不足转向。 5. 3汽车的稳态响应有哪几种类型？表征稳态响应的具体参数有哪些？它们彼此之间的关系如何（要求有必要的公式和曲线）？答：汽车稳态响应有三种类型：中性转向、不足转向、过多转向。 几个表征稳态转向的参数： 1前后轮侧偏角绝对值之差 二转向半径的比R/R。；
3.静态储备系数S.M. 彼此之间的关系见参考书公式(5-13) (5-16) (5-17 )。 5. 4举出三种表示汽车稳态转向特性的方法，并说明汽车重 心前后位置和内、外轮负荷转移如何影响稳态转向特性？ 答：方法： 1. ：丄时为不足转向，：?.「-「? 时 为中性转向，二丘<0时为过多转向； 2. R/R0>1时为不足转向，R/R0=1时为中性转向， R/R0V1时为过多转向； 3 . S.M.>0时为不足转向，S.M.=O时为中性转向， S.M.vO时为过多转向。 汽车重心前后位置和内、外轮负荷转移使得汽车质心至前后轴距离a、b发生变化，K也发生变化。 5.5汽车转弯时车轮行驶阻力是否与直线行驶时一样？ 答：否，因转弯时车轮受到的侧偏力，轮胎产生侧偏现象，行驶阻力不一样。 5. 6主销内倾角和后倾角的功能有何不同？ 答：主销外倾角可以产生回正力矩，保证汽车直线行驶；主销内 倾角除产生回正力矩外，还有使得转向轻便的功能。 5. 7横向稳定杆起什么作用？为什么有的车装在前恳架，有 的装在后悬架，有的前后都装？ 答：横向稳定杆用以提高悬架的侧倾角刚度。
系统的稳定性以及稳定性的几种定义
系统的稳定性以及稳定性的几种定义 一、系统 研究系统的稳定性之前，我们首先要对系统的概念有初步的认识。在数字信号处理的理论中，人们把能加工、变换数字信号的实体称作系统。由于处理数字信号的系统是在指定的时刻或时序对信号进行加工运算，所以这种系统被看作是离散时间的，也可以用基于时间的语言、表格、公式、波形等四种方法来描述。从抽象的意义来说，系统和信号都可以看作是序列。但是，系统是加工信号的机构，这点与信号是不同的。人们研究系统还要设计系统，利用系统加工信号、服务人类，系统还需要其它方法进一步描述。描述系统的方法还有符号、单位脉冲响应、差分方程和图形。 中国学者钱学森认为：系统是由相互作用相互依赖的若干组成部分结合而成的，具有特定功能的有机整体，而且这个有机整体又是它从属的更大系统的组成部分。 二、系统的稳定性 一个系统，若对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则称该系统是有界输入有界输出(Bound Input Bound Output------ BIBO)稳定的系统，简称为稳定系统。即，若系统对所有的激励|f(·)|≤Mf ，其零状态响应|yzs(·)|≤My(M为有限常数），则称该系统稳定。 三、连续（时间）系统与离散(时间)系统 连续系统：时间和各个组成部分的变量都具有连续变化形式的系统。系统的激励和响应均为连续信号。 离散系统：当系统各个物理量随时间变化的规律不能用连续函数描述时，而只在离散的瞬间给出数值，这种系统称为离散系统。系统的激励和响应均为离散信号。 四、因果系统 因果系统 (causal system) 是指当且仅当输入信号激励系统时，才会出现输出（响应）的系统。也就是说，因果系统的（响应）不会出现在输入信号激励系统的以前时刻。即输入的响应不可能在此输入到达的时刻之前出现的系统；也就是说系统的输出仅与当前与过去的输入有关，而与将来的输入无关的系统。 判定方法 对于连续时间系统： t=t1的输出y(t1)只取决于t≤t1的输入x(t≤t1)时，则此系统为因果系统。 特殊的：当该系统为线性移不变系统时，系统的冲激响应函数h(t)，在t≤t1的条件下，h(t)=0，则此系统为因果系统； 对于离散时间系统： n=n1的输出y(n1)只取决于n≤n1的输入x(n≤n1)时，则此系统为因果系统，特殊的：当该系统为线性移不变系统时，系统的冲激响应函数h(n)，在n≤n1的条件下，h(n)=0，则此系统为因果系统。 举例说明 函数：1.y(t)=x(sin(t)) 不是因果系统，因为y(-π)=x(0), 表明y(t)在一段时间内可能取决于未来的x(t)。 2.y（t）=x（t）cos（t+1)是因果系统，cos（t+1)是时变函数，相当于一个已知的函数波形，所以x（t）的当前值影响了y（t）的当前值。 五、连续系统稳定性与离散系统稳定性的充分必要条件（证明见教材） （1）连续系统稳定的充分必要条件