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楼梯计算(手算)详解[1]

第8章楼梯结构设计计算

楼梯的平面布置,踏步尺寸、栏杆形式等由建筑设计确定。板式楼梯和梁式楼梯是最常见的现浇楼梯,宾馆和公共建筑有时也采用一些特种楼梯,如螺旋板式楼梯和剪刀式楼梯(图8-1)。此外也有采用装配式楼梯的。这里主要介绍板式楼梯和梁式楼梯的计算机构造特点。

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(a)剪刀式楼梯(b)螺旋板式楼梯

图8-1 特种楼梯

楼梯的结构设计包括以下内容:

1) 根据建筑要求和施工条件,确定楼梯的结构型式和结构布置;

2) 根据建筑类别,按《荷载规范》确定楼梯的活荷载标准值。需要注意的是楼梯的活荷载往往比所在楼面的活荷载大。生产车间楼梯的活荷载可按实际情况确定,但不宜小于3.5kN /m(按水平投影面计算)。除以上竖向荷载外,设计楼梯栏杆时尚应按规定考虑栏杆顶部水平荷载0.5kN/m(对于住宅、医院、幼儿园等)或1.0kN/m(对于学校、车站、展览馆等);

3).进行楼梯各部件的内力计算和截面设计;

4) 绘制施工图,特别应注意处理好连接部位的配筋构造。

1.板式楼梯

板式楼梯由梯段板、休息平台和平台梁组成(图8-2)。梯段是斜放的齿形板,支承在平台梁上和楼层梁上,底层下端一般支承在地垄墙上。板式楼梯的优点是下表面平整,施工支模较方便,外观比较轻巧。缺点是斜板较厚,约为梯段板斜长的1/25—1/30,其混凝土

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图8-2 板式楼梯的组成

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图8-3 梯段板的内力

用量和钢材用量都较多,一般适用于梯段板的水平跨长不超过3m 时。

板式楼梯的计算特点:梯段斜板按斜放的简支梁计算(图8-3),斜板的计算跨度取平台梁间的斜长净距'

n l 。

设楼梯单位水平长度上的竖向均布荷载q g p +=(与水平面垂直),则沿斜板单位斜长上的竖向均布荷载αcos '

p p =(与斜面垂直),此处α为梯段板与水平线间的夹角(图8-4),将'

p 分解为:

ααα

c o s c o s c o s ''?==p p p x

αααs i n c o s s i n ''?==p p p y

此处

','y x p p 分别为'p 在垂直于斜板方向及沿斜板方向的分力,忽略'y p 对梯段板的影

响,只考虑'x p 对梯段板的弯曲作用。

设n l 为梯段板的水平净跨长, 'n l 为其斜向净跨长, 因 αcos 'n n l l = 故斜板弯矩:

2

222max 81)cos (cos 81)'('81n n n x pl l p l p M =?==αα

斜板剪力:

αααcos 21

)cos (cos 21''212max

?=?=n n n x pl l p l p V

因此,可以得到简支斜板(梁)计算的特点为:

1) 简支斜梁在竖向均布荷载p (沿单位水平长度)作用下的最大弯矩,等于其水平投影长度的简支梁在户作用下的最大弯矩;

2) 最大剪力等于斜梁为水平投影长度的简支粱在p 作用下的最大剪力值乘以αcos ; 3) 截面承载力计算时梁的截面高度应垂直于斜面量取。

虽然斜板按简支计算,但由于梯段与平台梁整浇,平台对斜板的变形有一定约束作用,故计算板的跨中弯矩时,也可以近似取102

max n ql M =。为避免板在支座处产生裂缝,应在板上面配置一定量钢筋,一般取Ф8@200mm ,长度为4n l 。分布钢筋可采用Ф6或Ф8,每级踏步一根。

平台板一般都是单向板,可取lm 宽板带进行计算,平台板一端与平台梁整体连接,另

一端可能支承在砖墙上,也可能与过梁整浇,跨中弯矩可近似取为

2

81pl M =

,或取

2

101pl M ?

。考虑到板支座的转动会受到一定约束,一般应将板下部受力钢筋在支座附近

弯起一半,必要时可在支座处板上面配置一定量钢筋,伸出支承边缘长度为4n l , 如图(8-5)所示。

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图8-4 斜板上的荷载 图8-5 平台板配筋

例8-1 某公共建筑现浇板式楼梯,楼梯结构平面布置见图(8-6)。层高3.6m ,踏步尺寸150× 300mm 。采用混凝土强度等级C25,钢筋为HPB235 和 HRB335。楼梯上均布活荷载标准值=3.5kN /m 2,试设计此楼梯。 1. 楼梯板计算

板倾斜度 ,5.000150==αtg 894.0cos =α 设板厚h=120mm ;约为板斜长的1/30。 取lm 宽板带计算 (1) 荷载计算

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图8-6 例8-1的楼梯结构平面

荷载分项系数 2.1=G γ 4.1=Q

γ

基本组合的总荷载设计值 m kN p /82.124.15.32.16.6=?+?= 表8-1 梯段板的荷载

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(2) 截面设计

板水平计算跨度m l n 3.3=

弯矩设计值

m kN pl M n ?=??==

96.133.382.1210110122

mm h 100201200=-=

117.010010009.111096.13262

01=???==

bh f M

c s αα

614.0124.0117.0211211=<=?--=--=b s ξαξ

2

01703210124

.010010009.11mm f bh f A y

c s =???=

=

ξ

α

%27.021027

.145.045.0%59.01201000703min 1===>=?==

y t s f f bh A ρρ

选配?10@110mm, A s =714mm 2

分布筋?8,每级踏步下一根,梯段板配筋见图(8-7)。

表8-2 平台板的荷载

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2. 平台板计算

设平台板厚h=70mm, 取lm 宽板带计算。 (1) 荷载计算 总荷载设计值

m kN p /19.85.34.174.22.1=?+?=

(2) 截面设计 板的计算跨度

m l 76.12/12.02/2.08.10=+-=

弯矩设计值

m kN pl M ?=??==

54.276.119.810110122

mm h 5020700=-=

085.05010009.111054.22

6

2

01=???==

bh f M

c s αα

614

.009.0085.0211211=<=?--=--=b s ξαξ

2

0125521009

.05010009.11mm f bh f A y

c s =???=

=

ξ

α

%27.021027

.145.045.0%364.0701000255min 1===>=?==

y t s f f bh A ρρ

选配?6/8@140mm, A s =281mm 2 平台板配筋见图(8-7)。

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图8-7 梯段板和平台板配筋

3. 平台梁B1计算

设平台梁截面 mm b 200= mm h 350= (1) 荷载计算

总荷载设计值 m kN p /44.304.193.82.195.14=?+?= (2) 截面设计

计算跨度 m l l n 53.3)24.06.3(05.105.10=-== 弯矩设计值

m kN pl M ?=??==

4.4753.344.30818122

剪力设计值

KN pl V n 1.5136.344.3021

21=??==

截面按倒L 形计算,

mm h b b f f 550705200'5'=?+=+=

mm h 315353500=-= 经计算属第一类T 形截面, 采用HRB335钢筋

07.03155509.11104.4726

2

0'1=???==

h b f M

f c s αα

55.0074.007.0211211=<=?--=--=b s ξαξ

2

0'1508300074

.03155509.11mm f h b f A y

f c s =???=

=

ξ

α

%2.045.0%73.0350200508

min 1==>=?==

y

t s f f bh A ρρ

选2?14+1?16,A s =509.1mm 2 斜截面受剪承载力计算 配置箍筋?6@200mm

kN V kN h S A f bh f V sv yv

t u 1.5141.79315200

3.28221025.131520027.17.025.17.000=>=????+???=+=

满足要求

平台梁配筋见图(8-8)。

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图8-8 平台梁配筋

2.梁式楼梯

梁式楼梯由踏步板,斜梁和平台板、平台梁组成(图8-9)。其荷载传递为:

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1)踏步板

踏步板按两端简支在斜梁上的单向板考虑,计算时一般取一个踏步作为计算单元,踏步板为梯形截面,板的计算高度可近似取平均高度2/)(21h h h +=(图8-10)板厚一般不小于30mm~40mm ,每一踏步一般需配置不少于2?6的受力钢筋,沿斜向布置间距不大于300mm 的?6分布钢筋。

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图8-9 梁式楼梯的组成图8-10 踏步板

2)斜边梁

斜边梁的内力计算特点与梯段斜板相同。踏步板可能位于斜梁截面高度的上部,也可能位于下部,计算时可近似取为矩形截面。图(8-11)为斜边梁的配筋构造图。

3)平台梁

平台梁主要承受斜边梁传来的集中荷载(由上、下楼梯斜梁传来)和平台板传来的均布荷载,平台梁一般按简支梁计算。

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图8-11 斜梁的配筋

例8-2某数学楼楼梯活荷载标准值为2.5kN/m2,踏步面层采用30mm厚水磨石,底面为20mm厚,混合砂浆抹灰,混凝土采用C25,梁中受力钢筋采用HRB335,其余钢筋采用HPB235,楼梯结构布置如图(8-12)所示。试设计此楼梯。

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(a)楼梯结构平面 (b)楼梯结构剖面

图8-12 梁式楼梯结构布置图

解: 1. 踏步板(TB 一1)的计算

(1)荷载计算 (踏步尺寸mm mm b a 15030011?=?。底板厚d=40mm) 恒荷载

踏步板自重

m

kN /08.1253.02045

.0195.02.1=??+?

踏步面层重 m kN /35.065.0)15.03.0(2.1=?+?

(计算踏步板自重时,前述ABCDE 五角形踏步截面面积可按上底为

mm d 45894.0/40cos /==?,下底为mm d b 195894.0/40150cos /1=+=+?,高为

a 1=300mm 的梯形截面计算。)

踏步抹灰重

m kN /14.01702.0894.03

.02.1=???

g=1.08+0.35+0.14=1.57kN/m 使用活荷载 m kN q /05.13.05.24.1=??= 垂直于水平面的荷载及垂直于斜面的荷载分别为

m kN q g /62.2=+

m kN q g /34.2894.062.2''=?=+

(2)内力计算

斜梁截面尺寸选用150mmX350mm ,则踏步的计算跨度为

m b l l n 68.115.053.10=+=+=

踏步板的跨中弯矩

kNm

l q g M 826.068.134.281)''(8122

0=??=+=

(3)截面承载力计算

取一踏步()150300(11mm mm b a ?+?为计算单元, 已知,894.0'5626cos cos 0

==?等效矩形截面的高度h 和宽度b 为

mm d b h 4.12940894.015032

cos 321=+??=+=

?

mm a b 7.251894.0/30075.0cos /75.01=?==?

则:

mm a h h s 4.109204.1290=-=-=

0248.04.1097.2519.111026.825

2

01=???==

bh f M

c s αα

614.00252.00248.0211211=<=?--=--=b s ξαξ

2

014.362100252

.04.1097.2519.11mm f bh f A y

c s =???=

=

ξ

α

%27.021027

.145.045.0%112.04.1297.2514.36min 1===<=?==

y t s f f bh A ρρ

则: 2min 9.874.1297.2510027.0mm bh A s =??==ρ

踏步板应按min ρ配筋,每米宽沿斜面配置的受力钢筋

m

mm A s /9.261894.03001000

9.872=??=

,为保证每个踏步至少有两根钢筋,故选用

?8@150(A s =335mm 2)

2. 楼梯斜梁(TL 一1)计算 (1) 荷载

踏步板传来 m

kN /99.73.01

)15.0253.1(62.221=??+??

斜梁自重

m kN /56.1894.01

2515.0)04.035.0(2.1=?

??-?

斜梁抹灰

m kN /28.0894.01

21702.0)04.035.0(2.1=?

???-?

楼梯栏杆 m kN /12.01.02.1=? 总计 m kN q g /95.9=+ (2) 内力计算

取平台梁截面尺寸mm mm h b 450200?=?,则斜梁计算跨度:

m b l l n 8.32.06.30=+=+=

斜梁跨中弯矩和支座剪力为:

m

kN l q g M ?=??=+=0.188.395.981)(8122

kN l q g V n 9.176.395.921

)(21=??=+=

(3) 截面承载能力计算

取mm a h h 315353500=-=-= 翼缘有效宽度'f b

按梁跨考虑

mm l b f 6336/'0==

按梁肋净距考虑 mm b s b f 91515021530

2'0=+=+=

由于

,1.0350/40/'>=h h f 'f b 可不按翼缘厚度考虑,最后应取mm b f 633'=.

判别T 形截面类型:

m

kN M m kN h h h b f f f f c ?=>?=?-???=-1882)405.0315(406339.11)'5.0(''01α故按等一类T 型截面计算

025.03156339.111018'26

2

01=???==

h b f M

f c s αα

550.00264.0025.0211211=<=?--=--=b s ξαξ

2

011873000264

.03156339.11'mm f h b f A y

f c s =???=

=

ξ

α

%2.045.0%36.0350150187

min 1==>=?==

y

t s f f bh A ρρ

故选用2

12, 2

226mm A s =

由于无腹筋梁的抗剪能力:

N V N bh f V t c 1790025.4200531515027.17.07.00=>=???==

可按构造要求配置箍筋, 选用双肢箍?6@300.

3. 平台梁(TL 一2)计算 (1) 荷载

斜梁传来的集中力 kN Q G 9.188.395.921

=??=

+

平台板传来的均布恒荷载

m

kN /99.2)2.026

.1()1702.02506.065.0(2.1=+??+?+?

平台板传来的均布活荷载 m

kN /5.35.2)2.026

.1(4.1=?+?

平台梁自重 m kN /34.225)06.045.0(2.02.1=?-?? 平台梁抹灰 m kN /32.017)06.045.0(02.02.12=?-??? 总计 m kN q g /15.9=+ (2) 内力计算(计算简图见图8-13) 平台梁计算跨度

m a l l n 00.424.076.30=+=+= m m l l n 00.495.376.305.105.10<=?==

故取 m l 95.30= 跨中弯矩

m kN b b a Q G l Q G l q g M ?=??????++?-??+??=?

????

?+++-+++=56225.0)225.068.1(9.18295.39.18295.315.9812)2()(2)(2)(81202

支座剪力

kN Q G l q g V n 0.559.18276.315.921

)(2)(2

1

=?+??+++=

考虑计算的斜截面应取在斜梁内侧,故

kN V 1.369.1876.315.921

=+??=

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图8-13 平台梁计算简图

(3) 正截面承载力计算 翼缘有效宽度b f ’, 按梁跨度考虑

mm l b f 6586/39506/'0===

按梁肋净距考虑 mm b s b f 1000200216002'0=+=+=

最后应取

mm b f 658'=

判别T 型截面类型:

m

kN M m kN h h h b f f f f c ?=>?=?-???=-56167)605.0415(606589.11)'5.0(''01α按第一类T 形截面计算

045.04156589.111056'26

2

01=???==

h b f M

f c s αα

550.0046.0045.0211211=<=?--=--=b s ξαξ

2

01498300046

.04156589.11'mm f h b f A y

f c s =???=

=

ξ

α

%2.045.0%55.0450200498

min 1==>=?==

y

t s f f bh A ρρ

选用2

18(A s =509m 2)

(4) 斜截面承载力计算 由于无腹筋梁的承载力

N V N bh f V t c 361007378741520027.17.07.00=>=???==

可按构造要求配置箍筋, 选用双肢箍?6@200。

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(a)TB —1; (b)TL 一1; (c)TL 一2 图8-14 踏步板、斜梁和平台梁配筋图

(5)附加箍筋计算

采用附加箍筋承受由斜梁传来的集中力,若附加箍筋仍采用双肢箍筋?6,则附加箍筋总数为:

59

.12103.28218900

1=??=+=

yv sv f nA Q G m 个

斜梁侧需附加2个?6的双肢箍筋。

踏步板(TB 一1)、斜梁(TL 一1)和平台梁(TL 一2)的配筋图如图(8-14a 、b 、 c)所示。

3.现浇楼梯的一些构造处理

1) 当楼梯下净高不够,可将楼层梁向内移动(图8-15),这样板式楼梯的梯段就成为折线形。对此设计中应注意两个问题:(1)梯段中的水平段,其板厚应与梯段相同,不能处理成和平台板同厚;(2)折角处的下部受拉纵筋不允许沿板底弯折,以免产生向外的合力将该处的混凝土崩脱,应将此处纵筋断开,各自延伸至上面再行锚固。若板的弯折位置靠近楼层梁,板内可能出现负弯矩,则板上面还应配置承担负弯矩的短钢筋(图8-16)。

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图8-15 楼层梁内移时 图8-16 板内折角时的配筋

2) 若遇折线形斜梁,梁内折角处的受拉纵向钢筋应分开配置,并各自延伸以满足锚固要求,同时还应在该处增设箍筋。该箍筋应足以承受未伸入受压区域的纵向受拉钢筋的合力,且在任何情况下不应小于全部纵向受拉钢筋合力的35%。由箍筋承受的纵向受拉钢筋的合力,可按下式计算(图8-17)。

未伸人受压区域的纵向受拉钢筋的合力

2cos

211α

s y s A f N =

楼梯计算(手算)详解[1]

全部纵向受拉钢筋合力的35%为

2cos

7.02α

s y s A f N =

式中 A s ——全部纵向受拉钢筋的截面面积; A s1——未伸人受压区域的纵向受拉钢

筋的截面面积:

α——构件的内折角。

图8-17 折线形斜梁内折角处配筋

按上述条件求得的箍筋, 应设置在长度为

α

83htg s =的范围内。