文档库 最新最全的文档下载
当前位置:文档库 › 分段函数讲课教案20121218

分段函数讲课教案20121218

分段函数讲课教案20121218
分段函数讲课教案20121218

3.3分段函数及其应用举例

讲课教师:詹启发

【教学目标】

知识目标:

(1)理解分段函数的概念;会作分段函数的图像

(2)会运用分段函数知识解决实际问题

能力目标:

(1)掌握分段函数的作图方法;

(2)能建立简单实际问题的分段函数的关系式.

【教学重点】

(1)分段函数的概念及图像; (2)运用分段函数知识解决实际问题

【教学难点】

(1)建立实际问题的分段函数关系; (2)分段函数的图像.

【课时安排】

分两课时:第一课时解决建立分段函数的问题;第二课时解决作分段函数图象的问题

【教学设计】

(1)结合学生生活实际,利用生活的实例为载体,创设情境,激发兴趣;

(2)提供给学生素材后,给予学生充分的时间和空间,让学生在发现、探究、讨论、交流等活动中形成知识;提供数学交流的环境,培养合作意识.

【教学过程】

一.简要复习回顾函数的基础知识:

二.创设情景,兴趣导入

(一)引例:我国是一个缺水的国家,很多城市的生活用水远远低于世界的平均水平.为了加强公民的节水意识,某城市制定每户月用水收费(含用水费和污水处理费)标准:

那么,每户每月用水量x(m)与应交水费y(元)之间的关系是否可以用函数解析式表示出来?

(二)分析归纳出分段函数的概念:在自变量的不同取值范围内,有不同的对应法则,需要用不同的解析式来表示的函数叫做分段表示的函数,简称分段函数.

1.定义域:分段函数的定义域是自变量的各个不同取值范围的并集.

2.函数值:求分段函数的函数值()0

f x时,应该首先判断0x所属的取值范围,然后再把0x代入到相应的解析式中进行计算.

3.值域:自变量在各个不同范围所对应的函数值范围的并集

4.分段函数的图象分成自变量的不同的取值段来作

注意:分段函数在整个定义域上仍然是一个函数,而不是几个函数,只不过这个函数在定义域的不同范围内有不同的对应法则,需要用相应的解析式来表示.

三.典型例题

1例.设函数???>≤-=)

0()0(12)(2x x x x x f ⑴求函数的定义域;

⑵求()()()2,0,1f f f -的值.

课后巩固练习:

1eg .设函数???<<-≤<-+=)

30(1)02(12)(2x x x x x f ⑴求函数的定义域;

⑵求()()()2,0,1f f f -的值.

2例.某城市出租汽车收费标准为:当行程不超过3km 时,收费7元;行程超过3km,但不超过10km 时,在收费7元的基础上,超过3km 的部分,每公里收费1.0元;超过10km 时,超过部分除每公里收费1.5元外.试求车费y (元)与x (公里)之间的函数解析式.

课后巩固练习:

2eg .我国国内平信计费标准是:投寄外埠平信,每封信的质量不超过20g,付邮资0.80元;质量超过20g 后,每增加20g(不足20g 按照20g 计算)增加0.80元.试建立每封平信应付的邮资y (元)与信的质量x (g)之间的函数关系(设060x <<),并作出函数图像

四.归纳小结,强化思想

1.对分段函数需要注意什么?

2.解决函数类应用题的步骤是什么?

五.书面作业:习题3.3 A 组4T ;B 组2T

灵活处置部分:课后补充练习:运用知识 强化练习

4eg .已知函数?

??≥+<-=)0(1)0(1x x x x y ;⑴求函数的定义域;⑵求()()()2,0,1f f f -的值. 5eg .已知函数???≤<-≤+=)

30(3)0(12)(2x x x x x f ; ⑴求函数的定义域;⑵求)2(-f ;)0(f ;)3(f

分段函数教案

学科数学课型新授课课时2课时课题§3.3《函数的实际应用举例之分段函数》班级 教材高等教育出版社《数学》(基础模块)上册 教学目标知识目标 1.掌握分段函数的定义、图象和性质; 2.学会函数应用题一般解法; 3.理解分段函数在实际问题中的应用。 能力目标 1.能利用分段函数去解决一些的实际生活问题; 2.强化学生对函数应用题的分析能力和解答能力; 3.养成学生严谨、认真的数学做题习惯。 情感目标 1.培养学生的团队合作意识和竞争意识; 2.体会服务生活、服务专业的数学思想; 3.倡导“关心,关怀,关爱”的人文精神和“一方有难,八方 支援“的社会责任感。 教学重点 分段函数的定义、性质和图象以及函数应用题 的一般解法教学 用具 电脑及课件; 多媒体教室; 辅助软件。 教学 难点 能利用分段函数去解决一些的实际生活问题 教法学法微课教学法、情境教学法、引导教学法、激励教学法;自主学习法、代入学习法、探究学习法、合作学习法。 学情分析 有利因素:经贸专业的学生思维活跃,兴趣广泛;对一般函数的定义、性质和图像已经有了充足的理解,具备了对函数应用题的理解能力;对与自身专业相关的经贸类问题有较大兴趣。 不利因素:讨厌抽象的理论知识和枯燥的说教;在心理上对应用题存在厌恶感和恐惧感,缺乏解决函数应用题的信心和技巧。 设计思路 本节内容,我抛弃了传统的“先教后学”的教学模式,结合微课采用“反转课堂式”的信息化教学模式,学生课下可通过多种方式反复观看我提供的微课视频,进行自主学习。而课堂上,教师则有了更充足的时间进行知识的拓展和强化,通过五幅篇章配合情境主线,结合了专业与生活,强化了重点和难点,不仅巩固了自学成果,而且实现了教学目标。

同济第六版《高等数学》教案WORD版-第01章 函数与极限

第一章函数与极限 教学目的: 1、理解函数的概念,掌握函数的表示方法,并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限的概念,理解函数左极限与右极限的概念,以及极限存在与左、右极限 之间的关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、了解极限存在的两个准则,并会利用它们求极限,掌握利用两个重要极限求极限 的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念,掌握无穷小的比较方法,会用等价无穷小求极限。 9、理解函数连续性的概念(含左连续与右连续),会判别函数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性,了解闭区间上连续函数的性质(有 界性、最大值和最小值定理、介值定理),并会应用这些性质。 教学重点: 1、复合函数及分段函数的概念; 2、基本初等函数的性质及其图形; 3、极限的概念极限的性质及四则运算法则; 4、两个重要极限; 5、无穷小及无穷小的比较; 6、函数连续性及初等函数的连续性; 7、区间上连续函数的性质。 教学难点: 1、分段函数的建立与性质; 2、左极限与右极限概念及应用; 3、极限存在的两个准则的应用; 4、间断点及其分类; 5、闭区间上连续函数性质的应用。 §1. 1 映射与函数 一、集合 1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为a?M. 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A?{a, b, c, d, e, f, g}. 描述法: 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为

分段函数及反函数教案

第 16次课 学生: 蒋昊秋 授课时间: 2012 年 7 月 28 日 10 : 00 --- 12 : 00 教师 唐文 审核教师 授课课题 解函数解析式 一、 授课目的与考点分析: 1. 会用待定系数法以及配凑法求函数解析式 2. 会求分段函数定义域及值域。 3. 掌握反函数的性质,会求反函数。 二、 授课内容: 一:函数解析式的常用方法: 1、直接法:由题给条件可以直接寻找或构造变量之间的联系。 例1. 已知函数y =f (x )满足xy <0,4x 2-9y 2=36,求该函数解析式。 说明:这是一个分段函数,必须分区间写解析式,不可以写成 229 3 x y -=± 的形式。 2、待定系数法:由题给条件可以明确函数的类型,从而可以设出该类型的函数的一般式,然后再求出各个参变量的值。 例2. 已知在一定条件下,某段河流的水流量y 与该段河流的平均深度x 成反比,又测得该段河流某段平均水深为2m 时,水流量为340m 3/s ,试求该段河流水流量与平均深度的函数关系式。 变式.已知()f x 为二次函数,过原点,且f(1)=3, f(3)=6,求()f x 的解析式 。 说明:二次函数的表达形式有三种:一般式:2 ()f x ax bx c =++;顶点式:2 ()()f x a x m n =-+;零点式: 12()()()f x a x x x x =--,要会根据已知条件的特点,灵活地选用二次函数的表达形式)。 3、换元法:题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式,可将内函数用一个变量代换。 例3. 已知2211 ()x x x f x x +++= ,试求()f x 。 说明:要注意转换后变量范围的变化,必须确保等价变形。 变式:(1)已知,sin )cos 1(2 x x f =-求()2 x f 的解析式 起航学校个性化辅导教案提纲

《分段函数》教学设计

微课——《分段函数》教学设计 天台第二职业技术学校占志勇 一、教学背景分析 (一)教学内容分析 1、本节课内容是全章知识的综合应用。这一节主要体现了强化应用意识的要求,让学生能把数学知识应用到生产、生活的实际中去,形成应用数学的意识。 2、在解决实际问题过程中常用到函数的知识有:函数的概念,函数解析式的确定,分段函数的概念及性质。在方法上涉及到数形结合的思想方法。本节的学习,既是对知识的复习,也是对方法和思想的再认识。 3、数学在职高属于基础课程,学习目的是为专业课程服务,为学生将来的社会生活服务,本节内容正体现了这一特点。 (二)学情分析 学生对分段函数的表示方法是完全陌生的,需要一个接受过程。分段函数是一个函数还是两个或多个函数,学生可能会理解错误。正确理解分段函数的概念对学生来讲是个难点。 二、教学目标和教学重点、难点 (一)知识目标 (1)理解分段函数的概念; (2)了解实际问题中的分段函数问题。 (二)能力目标 会求分段函数的定义域和分段函数在x0处的函数值f(x0)。 (三)情感目标 (1)体会数学与生活实际的密切联系,激发学习兴趣; (2)通过学习探索过程,培养分析问题解决问题的能力。 (四)教学重点

分段函数的概念。 (五)教学难点 会求分段函数在x0处的函数值f(x0)。 三、教学方法 (一)教法 1、启发式教学、问题引导,由特殊到一般; 2、激发兴趣、发挥学生主观能动性。 (二)学法 实践操作、主动参与、成功参与、快乐体验。 四、教学设计

是难点需 要仔细讲解分 析 ( x≤ 10

五、教学总结 本微课的设计采用黑板图片作为PPT的背景图片,意在让学员感受到学习的环境氛围,使人由如在教室的感觉。 该设计遵循教材实例,但不局限于教材,采用先特殊后一般的教学模式,使学员更容易接受分段函数这个知识点。两个练习题的设计是由易到难,作业设计既强化了知识点又体现了数学源于生活又服务于生活。

分段函数教学设计

2.1.3生活中的成本计算 一、教学目标 知识与技能:以水费、出租车计费和个税为实例,学会构建分段函数模型解决生活中简单的成本计算问题 过程与方法:通过解决生活成本问题,初步建立利用分段函数解决生活问题的数学思想,学会借助数学模型解题 情感与价值观:通过生活实例,感悟数学建模与生活的联系,提升数学建模能力 二、教学重难点 重点:建立分段函数模型解决生活中的成本 难点:在复杂背景下,将分段函数模型中各段对应的表达式数学化、符号化 三、教学过程 (一)问题呈现 从2014年元旦起萧山区实行阶梯式水价 1.若我家4月份用水量是20立方米,则4月份水费是多少? 2.请建立所要的交水费和用水量之间的数学模型 (1)分析:从收费标准看,所交水费是分段计算的。先找到所用水量的级数,再确定水价 (2)假设:本月用水量是立方米,所交水费元 (3)模型构建 当用水量为一级,即时, 当用水量为二级,即时, 当用水量为三级,即时, (4)模型求解 设计意图:以具体实例引出分段函数,熟悉利用分段函数建模流程 (二)方法归纳 定义:对自变量不同取值,有着不同的函数表达式,这样的函数通常叫做“分段函数”。 注意:对于分段函数,因为在不同的定义范围内,函数有着不同的对应关系,所以必须 先分段研究,再合并函数表达式。 构造分段函数时,要对自变量取值范围做合理划分,不重不漏。 150≤x ) x (...y 254410531552-+?+?=?? ? ??>-+?+?≤<-+?≤<=2525441053155225 151553155215 052x ),x (...x ),x (..x ,x .y x y x

分段函数的几种常见题型和解法

函数的概念和性质 考点 分段函数 分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 本文就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下: 1.求分段函数的定义域和值域 例1.求函数1222[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x x x x +∈-?? =-∈??∈+∞? 的定义域、值域. 2.求分段函数的函数值 例2.已知函数2 |1|2,(||1)()1,(||1)1x x f x x x --≤?? =?>?+?求12[()]f f .

例3.求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤?? =+<≤??-+>? 的最大值. 4.求分段函数的解析式 例4.在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线(如图所示), 则函数()f x 的表达式为( ) 222(10) .()2(02)x x x A f x x +-≤≤?=?+<≤? 222(10) .()2(02)x x x B f x x --≤≤?=?-<≤? 222(12) .()1(24)x x x C f x x -≤≤?=?+<≤? 2 26(12) .()3(24)x x x D f x x -≤≤?=?-<≤? y x

反函数怎么表示【整理反函数数学教案】

反函数怎么表示【整理反函数数学教案】 反函数数学教案数学教案【数学教案】教学目标1.使学生了解 反函数的概念;2.使学生会求一些简单函数的反函数;3.培养学生 用辩证的观点观察、分析解决问题的能力。 教学重点1.反函数的概念;2.反函数的求法。 教学难点反函数的概念。 教学方法师生共同讨论教具装备幻灯片2张第一张:反函数的定义、记法、习惯记法。(记作A);第二张:本课时作业中的预习 内容及提纲。 教学过程(I)讲授新课(检查预习情况)师:这节课我们来学 习反函数(板书课题)§2.4.1反函数的概念。 同学们已经进行了预习,对反函数的概念有了初步的了解,谁来复述一下反函数的定义、记法、习惯记法?生:(略)(学生回答 之后,打出幻灯片A)。 师:反函数的定义着重强调两点:(1)根据y=f(x)中x与y的 关系,用y把x表示出来,得到x=φ(y);(2)对于y在c中的 任一个值,通过x=φ(y),x在A中都有惟一的值和它对应。 师:应该注意习惯记法是由记法改写过来的。 师:由反函数的定义,同学们考虑一下,怎样的映射确定的函数才有反函数呢?生:一一映射确定的函数才有反函数。 (学生作答后,教师板书,若学生答不来,教师再予以必要的启示)。 师:在y=f(x)中与y=f-1(y)中的x、y,所表示的量相同。(前 者中的x与后者中的x都属于同一个集合,y也是如此),但地位 不同(前者x是自变量,y是函数值;后者y是自变量,x是函数值。)在y=f(x)中与y=f–1(x)中的x都是自变量,y都是函数值,

即x、y在两式中所处的地位相同,但表示的量不同(前者中的x是 后者中的y,前者中的y是后者中的x。)由此,请同学们谈一下, 函数y=f(x)与它的反函数y=f–1(x)两者之间,定义域、值域存在 什么关系呢?生:(学生作答,教师板书)函数的定义域,值域分 别是它的反函数的值域、定义域。 师:从反函数的概念可知:函数y=f(x)与y=f–1(x)互为反函数。 从反函数的概念我们还可以知道,求函数的反函数的方法步骤为:(1)由y=f(x)解出x=f–1(y),即把x用y表示出;(2)将 x=f–1(y)改写成y=f–1(x),即对调x=f–1(y)中的x、y。 (3)指出反函数的定义域。 下面请同学自看例1(II)课堂练习课本P68练习1、2、3、4。 (III)课时小结本节课我们学习了反函数的概念,从中知道了 怎样的映射确定的函数才有反函数并求函数的反函数的方法步骤, 大家要熟练掌握。 (IV)课后作业一、课本P69习题2.41、2。 二、预习:互为反函数的函数图象间的关系,亲自动手作题中要求作的图象。 板书设计课题:求反函数的方法步骤:定义:(幻灯片)注意:小结一一映射确定的函数才有反函数函数与它的反函数定义域、值 域的关系。

分段函数的实际应用-教案

分段函数的实际应用 清远工贸职业技术学校数学组 教师:陈学军班级:15春数控1班课时安排:1课时 课程分析 职业高中数学课程教学是专业建设与专业课程体系改革的一部分,应与专业课教学融为一体,立足于为专业课服务,解决实际生活中常见问题,结合中职学生的实际,强调数学的应用性,以满足学生在今后的工作岗位上的实际应用为主,这也体现了新课标中突出应用性的理念。 分段函数的实际应用在本课程中的地位: (1)函数是高中数学学习的重点和难点,函数的思想贯穿于整个高中数学之中,分段函数在科技和生活的各个领域有着十分广泛的应用。 (2)本节所探讨学习分段函数在生活生产中的实际问题上应用,培养学生分析与解决问题的能力,养成正确的数学化理性思维的同时,形成一种意识,即数学“源于生活、寓于生活、用于生活”。 教材分析 教材使用的是中等职业教育课程改革国家规划教材,分段函数内容安排在第三章函数的最后一部分讲解。本节内容是在学生熟知函数的概念,表示方法和对函数性质有一定了解的基础上研究分段函数,同时深化学生对函数概念的理解和认识,也为接下来学习指数函数和对数函数作了良好铺垫。由生活生产中的实际问题入手,求得分段函数此部分知识以学生生活常识为背景,可以引导学生分析得出,分段函数作图可以略讲由学生自己完成。 学情分析 (1)知识层面:学生在初中学习了一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数这些基本初等函数图像和性质,对函数有一定程度的认识和理解;在本学期对函数知识又进一步系统的学习,加深学生对函数概念和性质的理解,为学习分段函数奠定良好的基础。 (2)能力层面:学生对函数具有一定的理解,在此基础上能够建立简单实际问题的分段函数的关系式,通过分段函数的应用,培养学生分析与解决问题的能力,了解什么是数学建模,提高学生基本科学素质。 教学目标

分段函数的几种常见题型及解法

分段函数的几种常见题型及解法 分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 笔者就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下: 1.求分段函数的定义域和值域 例1.求函数1222[1,0]; ()(0,2);3 [2,);x x f x x x x +∈-?? =-∈?? ∈+∞?的定义域、值域. 【解析】 作图, 利用“数形结合”易知()f x 的定义域为 [1,)-+∞, 值域为(1,3]-. 2.求分段函数的函数值 例2.(05年浙江理)已知函数2 |1|2,(||1) ()1,(||1)1x x f x x x --≤?? =?>?+?求12 [()]f f . 【解析】 因为311222()|1|2f =--=-, 所以3 12 22 3 2 14[()]()1() 13 f f f =-== +-. 3.求分段函数的最值 例3.求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤?? =+<≤??-+>? 的最大值.

【解析】当0x ≤时, max ()(0)3f x f ==, 当01x <≤时, m ax ()(1)4f x f ==, 当1x >时, 5154x -+<-+=, 综上有m ax ()4f x =. 4.求分段函数的解析式 例4.在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线(如图所示), 则函数()f x 的表达式为( ) 222(10) .()2(02)x x x A f x x +-≤≤?=?+<≤? 222(10) .()2(02)x x x B f x x --≤≤?=?-<≤? 222(12) .()1(24)x x x C f x x -≤≤?=?+<≤? 2 26(12) .()3(24)x x x D f x x -≤≤?=?-<≤? 【解析】 当[2,0]x ∈-时, 1 2 1y x =+, 将其图象沿x 轴向右平移2个单位, 再沿y 轴向下 平移 1个单位, 得解析式为11 2 2 (2)111y x x = -+-= -, 所以 ()22 ( [f x x x = + ∈-, 当[0,1]x ∈时, 21y x =+, 将其图象沿x 轴向右平移2 个单位, 再沿y 轴向下平移1个单位, 得解析式2(2)1124y x x =-+-=-, 所以 1 2 ()2([0,2])f x x x = +∈, 综上可得2 22(10) ()2(02)x x x f x x +-≤≤?=?+<≤?, 故选A . 5.作分段函数的图像 例5.函数|ln | |1|x y e x =--的图像大致是( ) y x

2021届高考数学复习教学案:反函数 (1)

课题:2.4.2 反函数(2) 教学目的: ⒈使学生了解互为反函数的函数图象间的关系的定理及其证明. ⒉会利用互为反函数的函数图象间的关系解决有关问题. 教学重点:互为反函数的函数图象间的关系定理及其证明,定理的应用; 教学难点:定理的证明(但教材不作要求). 授课类型:新授课 课时安排:1课时 教具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1.反函数的定义; 2.互为反函数的两个函数) (x f y=与) (1x f y- =间的关系: ----定义域、值域相反,对应法则互逆; 3.反函数的求法:一解、二换、三注明 4. 在平面直角坐标系中,①点A(x,y)关于x轴的对称点'A(x,-y); ②点A(x,y)关于y轴的对称点'A(-x,y);③点A(x,y)关于原点的对称点'A(-x,-y);④点A(x,y)关于y=x轴 的对称点'A(?,?); 5.我们已经知道两个互为反函数的函数间有着必然的联系(在定义域、值域和对应法则方面). 函 数图象是从“形”的方面反映这个函数的自变量x与因变量y之间的关系.因此,互为反函数的函数图象间也必然有一定的关系,今天通过观察如下图像研究—互为反函数的函数图象间的关系. ①) ( 2 3R x x y∈ - =的反函数是) ( 3 2 R x x y∈ + = ②) ( 3R x x y∈ =的反函数是) ( 3R x x y∈ = ) (x f y=的图象和它的反函数) (1x f y- =的图象关于直线x y=对称. 2.证明结论(不要求掌握,根据实际情况处理) 证明:设M(a,b)是) (x f y= 则当x=a时,) (x f有唯一的值b a f= ) (.

反函数(教学设计)教学设计

3.7 反函数 【高教版中职(基础)数学第一册第三章3.7“反函数”第一节】 一、教材与学生的数学现实分析 1.现在的世界已进入信息时代,计算机和互联网迅速普及,计算机科学和信息科学蓬勃发展,由此促使了离散教学的地位日益上升,于是映射成了数学中最基本的概念之一。映射也是日常生活中许多现象的抽象,中学生学习映射的概念.有多方面的用处,本教材就是运用映射的观点阐述反函数的概念,给出了反函数的求法,与传统的方法不同,我们的创新,使得反函数概念的本质容易理解,反函数的求法严谨且易于掌握。所以,抓住反函数这一典型课题,通过科学的设计,使学生亲历将映射的观念惯穿始终的由特殊抽象到一般思维过程,感受知识的形成与发展规律是至关重要的。 2.此前学生已经学习了映射的基本概念,同时也学习了函数的基本性质,对于理论性的研究有了初步的尝试,有了一定得分析、对比、抽象概括的能力,但毕竟以前接触的函数等知识较为简单,而反函数的知识较为抽象,因此本节的设计更加具体、细致、突出学生的主动认知性。 3.考虑到中学生基础较差,辨析与理解力较低。所以本节应用两个较简单的例子引入,而且应用了“对应法则”这个很熟悉的词来寻找互为反函数的关系,又将其应用至求反函数的整个过程中,使学生原本厌学的情绪有所转化,激发他们的学习兴趣,进一步培养他们的学习能力。 通过以上分析,可得出: 1)学习重点和难点:重点是反函数概念的理解、应用和在代数中有着重要和广泛应用的由特殊到一般的化归思想;难点是反函数概念的理解。 2)教学方法:引导类比探索法,从具体到抽象,让学生充分感受和理解知识的发生、发展过程,展开学生的思维,培养学生抽象概括能力。 3)教学工具:多媒体教学 二、教学目标 知识目标:(1)对反函数概念的理解。 (2)给定函数的反函数的求法。 能力目标:让学生亲自体验知识的形成过程,加深对知识及其内在联系的理解,并进一步强化映射、函数知识的应用。培养学生的逻辑推理、逆向思维、 发散思维、综合归纳的能力。 情感目标:(1)培养学生对立统一的辩证唯物主义观点。 (2)在民主、和谐的教学气氛中,促进师生的情感交流。 三、教学过程

高中数学1.2.2函数的表示法第2课时分段函数教案新人教A版必修1

第2课时分段函数 [目标]1. 了解分段函数的概念,会求分段函数的函数值,能画出分段函数的图象,培 养数学运算核心素养;2.能在实际问题中列出分段函数, 并能解决有关问题,培养数学建模 核心素养. [重点]分段函数求值、分段函数的图象及应用. [难点]对分段函数的理解. 分段函数 [填一填] 如果函数y = f (x ) ,x € A 根据自变量x 在A 中不同的取值范围,有着不同的对应关系, 则称这样的函数为分段函数. [答一答] 1. 分段函数的定义域部分可以相交吗? 提示:分段函数的定义域部分是不可以相交的,这是由函数定义中的唯一性决定的. 2. 分段函数各段上的对应关系不同,那么分段函数是由几个函数构成的呢? 提示:(1)分段函数是一个函数,切不可把它看成是几个函数,它只不过是在定义域的 不同子集内解析式不一样而已. (2)分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式,并且必须指明各 段函数自变量的取值范围. 3. 已知函数f (x )的图象如图所示,则 f (x )的值域为[—4,3]. “要点整合夯基础 横mum ■■主学儿 整介知讯?Am* 知识点

解析:由题图可知,当 x € [ — 2,4]时,f (x ) € [ — 2,3];当 x € [5,8]时,f (x ) € [— 4,2.7].故函数f (x )的值域为[—4,3]. B. (0,+m ) D. ( —s, 0) U (0 ,+口 的定义域为 ,值域为 . [分析]分段函数的定义域、值域 ?各段函数的定义域、值域. [答案](1)D (2)( — 1,1) ( — 1,1) |x | 1, x >0, [解析] ⑴ 由于f (x )= = 故定义域为(一s, 0) U (0,+s ). x — 1, x <0, (2)由已知定义域为 {x |01 或 x <— 1 , 7典例讲练破题型 ............ 术栏口曲过漏童眇缭兀訪* 制析鞘点.全潮^ 类型一 分段函数的定义域、值域 |x | A. R C. (—s, 0) ”-X? + , 0

分段函数的几种常见题型及解法好

分段函数的几种常见题型及解法 分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 若能画出其大致图像, 定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解, 方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解, 使问题得到大大简化 1.求分段函数的定义域和值域 例1.求函数1222[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x x x x +∈-?? =-∈??∈+∞? 的定义域、值域. 2.求分段函数的函数值 例2.已知函数2 |1|2,(||1)()1,(||1)1x x f x x x --≤?? =?>?+?求12[()] f f . 3.求分段函数的最值 例3.求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤?? =+<≤??-+>? 的最大值. 4.求分段函数的解析式 例4.在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线(如图所示), 则函数()f x 的表达式为( ) 2 22(10) .()2(02)x x x A f x x +-≤≤?=?+<≤?

222(10) .()2(02)x x x B f x x --≤≤?=?-<≤? 222(12) .()1(24)x x x C f x x -≤≤?=?+<≤? 2 26(12) .()3(24)x x x D f x x -≤≤?=?-<≤? 5.作分段函数的图像 例5.函数|ln ||1|x y e x =--的图像大致是( ) A C D 6.求分段函数得反函数 例6已知()y f x =是定义在R 上的奇函数, 且当0x >时, ()31x f x =-, 设 ()f x 得反函数为()y g x =, 求()g x 的表达式. 7.判断分段函数的奇偶性 例7.判断函数22(1)(0) ()(1)(0) x x x f x x x x ?-≥?=?-+

高中一年级数学反函数教学设计

高中一年级数学反函数教学设计 一、教材分析: 1、教材的地位与作用 “反函数”一节课是《高中代数》第一册的重要内容。这一节课与函数的基本概念有着紧密的联系,通过对这一节课的学习,既可以让学生接受、理解反函数的概念并学会反函数的求法,又可使学生加深对函数基本概念的理解,还为日后反三角函数的教学做好准备,起到承上启下的重要作用。 2、重点与难点:反函数的定义和求法 二、教学目标分析: (1)知识与技能:使学生接受、理解反函数的概念,并能判定一个函数是否存在反函数;使学生能够求出指定函数的反函数,并能理解原函数和反函数之间的内在联系; (2)能力与方法:培养学生发现问题、观察问题、解决问题的能力; (3)情感与态度:使学生树立对立统一的辩证思维观点。 三、学情分析: 学生已经学习了函数的基本概念和表示法,掌握了函数的基本知识,理解反函数的概念及互为反函数的两个函数的性质和特征,更有助于学生将函数的思想理解得更透彻。 四、教学过程设计 1、创设问题情境: 导入阶段的教学中,抓住反函数也是函数这一实质,以对函数概念的复习来引出反函数。指明函数是一种映射的实质,分析原函数中映射的具体情况,进而引导学生考虑,若将定义域、值域互换,此时映射还是不是一个函数呢? 首先提问学生函数基本概念,使学生明白函数是一种单值对应,即映射。再出示电脑动画,以函数y=2x来具体分析,结合图象引导学生注意:在定义域内所有自变量,都能在值域内找到唯一确定的一个函数值,即存在x→y的单值对应,例如:1→2,2→4,3→6,……若将定义域与值域互换,则对应变为2→1,4→2,6→3,…这种对应是否构成单值对应,即映射呢?这种对应是否构成函数呢?至此,引出反函数的概念,为概念的新授做好准备。 设计意图:这样的引入方式,抓住了反函数概念的实质,确保学生不会产生概念上的偏差。此外,可以使学生明白新知识来源于旧知识,促使学生主动运用函数的研究方法去学习反函数,为顺利完成教学任务做好思维上的准备。 2、知识建构: 给出概念后,必须防止学生对于反函数f-1(y)形式的误解(以为是1/f(x))。此外,还

函数反函数 教案

函数反函数教案 教案示例 反函数 教学目标 使学生了解反函数的概念,初步掌握求反函数的方法. 通过反函数概念的学习,培养学生分析问题,解决问题的能力及抽象概括的能力. 通过反函数的学习,帮助学生树立辨证唯物主义的世界观. 教学重点,难点 重点是反函数概念的形成与认识. 难点是掌握求反函数的方法. 教学用具 投影仪 教学方法 自主学习与启发结合法 教学过程 揭示课题 今天我们将学习函数中一个重要的概念----反函数. 反函数(板书) (一)反函数的概念(板书) 二.讲解新课 教师首先提出这样一个问题:在函数中,如果把当作因变量,把当作自变量,能否构成一个函数呢?(让学生思考后回答,要讲明理由)可以 根据函数的定义在的允许取值范围内的任一值,按照法则

都有唯一的与之相对应.(还可以让学生画出函数的图象,从形的角度解释“任一对唯一”) 学生解释后教师指出不管从哪个角度,它都是一个函数,即有反 函数,而且把这个函数称为的反函数.那么这个反函数的解析式是什么呢? 由学生回答出应为 .教师再提出它作为函数是没有问题的,但不太符合我们的表示习惯,按习惯用表示自变量,用表示因变量,故 它又可以改写成 ,改动之后带来一个新问题: 和是同一函数吗? 由学生讨论,并说明理由,要求学生能从函数三要素的角度去认识,并给出解释,让学生真正承认它们是同一函数.并把叫做的反函数.继而再提出: 有反函数吗?是哪个函数? 学生很快会意识到是的反函数,教师可再引申为 与是互为反函数的.然后利用问题再引申:是不是所有的函 数都有反函数呢?如果有,请举出例子.在教师启发下学生可以举出象这样的函数,若将当自变量,当作因变量,在允许取值范围内一个可能对两个 (可画图辅助说明,当时,对应 ),不能构成函数,说明此函数没有反函数. 通过刚才的例子,了解了什么是反函数,把对的反函数的研究过程一般化,概括起来就可以得到反函数的定义,但这个数学的抽象概括,要求比较高,因此我们一起阅读书上相关的内容. 反函数的定义:(板书)(用投影仪打出反函数的定义) 为了帮助学生理解,还可以把定义中的换成某个具体简单的函数如解释每一步骤,如得 ,再判断它是个函数,最后改写为 .给出定义后,再对概念作点深入研究. 2.对概念得理解(板书)

分段函数教学设计

生活中的成本计算 一、教学目标 知识与技能:以水费、出租车计费和个税为实例,学会构建分段函数模型解决生活中简单的成本计算问题 过程与方法:通过解决生活成本问题,初步建立利用分段函数解决生活问题的数学思想,学会借助数学模型解题 情感与价值观:通过生活实例,感悟数学建模与生活的联系,提升数学建模能力 二、教学重难点 重点:建立分段函数模型解决生活中的成本 难点:在复杂背景下,将分段函数模型中各段对应的表达式数学化、符号化 三、教学过程 (一)问题呈现 从2014年元旦起萧山区实行阶梯式水价 1.若我家4月份用水量是20立方米,则4月份水费是多少 2.请建立所要的交水费和用水量之间的数学模型 (1)分析:从收费标准看,所交水费是分段计算的。先找到所用水量的级数,再确定水价 (2)假设:本月用水量是 立方米,所交水费 元 (3)模型构建 当用水量为一级,即 时, 当用水量为二级,即 时, 当用水量为三级,即 时, (4)模型求解 150≤x ) x (...y 254410531552-+?+?=?? ? ??>-+?+?≤<-+?≤<=2525441053155225 151553155215 052x ),x (...x ),x (..x ,x .y x y

设计意图:以具体实例引出分段函数,熟悉利用分段函数建模流程 (二)方法归纳 定义:对自变量不同取值,有着不同的函数表达式,这样的函数通常叫做“分段函数”。 注意:对于分段函数,因为在不同的定义范围内,函数有着不同的对应关系,所以必须先分段研究,再合并函数表达式。 构造分段函数时,要对自变量取值范围做合理划分,不重不漏。 设计意图:对模型和方法小结,提醒构建模型分段时注意点 (三)实战演练 A同学从镇上出发坐公交到萧山汽车东站后发现,若再坐公交去学校怕迟到,于是打算坐出租车。经百度地图查询推荐路线:全程有千米,11个红绿灯(预计等待4分钟),车费约18元。18元够了吗萧山出租车计费方式(如下图) 一般出租车计价器显示以“元”为单位,即小于等于元舍去,大于等于元进为1元。设计意图:通过更贴近生活的事例计算,巩固分段函数模型的求值 (四)学以致用 《中华人民共和国个人所得税法》规定,个人全月工资等收入不超过3500元时,不必交税,超过3500元的部分为当月应纳税所得额,税款分段累计 全月工资收入额 税率 x

2014年高考一轮复习数学教案:2.5 反函数

2.5 反函数 ●知识梳理 1.反函数定义:若函数y =f (x )(x ∈A )的值域为C ,由这个函数中x 、y 的关系,用y 把x 表示出来,得到x =?(y ).如果对于y 在C 中的任何一个值,通过x =?(y ),x 在A 中都有唯一的值和它对应,那么,x =?(y )就表示y 是自变量,x 是自变量y 的函数.这样 的函数x =?(y )(y ∈C )叫做函数y =f (x )(x ∈A )的反函数,记作x =f -1 (y ). 在函数x =f -1(y )中,y 表示自变量,x 表示函数.习惯上,我们一般用x 表示自变量,y 表示函数,因此我们常常对调函数x =f -1 (y )中的字母x 、y ,把它改写成y =f -1 (x ). 2.互为反函数的两个函数y =f (x )与y =f -1 (x )在同一直角坐标系中的图象关于直线y =x 对称. 3.求反函数的步骤: (1)解关于x 的方程y =f (x ),得到x =f -1(y ). (2)把第一步得到的式子中的x 、y 对换位置,得到y =f -1(x ). (3)求出并说明反函数的定义域〔即函数y =f (x )的值域〕. ●点击双基 1.(2005年北京东城区模拟题)函数y =-1 1+x (x ≠-1)的反函数是 A.y =- x 1-1(x ≠0) B.y =-x 1+1(x ≠0) C.y =-x +1(x ∈R ) D.y =-x -1(x ∈R ) 解析:y =-1 1+x (x ≠-1)?x +1=-y 1?x =-1-y 1.x 、y 交换位置,得y =-1- x 1. 答案:A 2.函数y =log 2(x +1)+1(x >0)的反函数为 A.y =2x -1-1(x >1) B.y =2x -1 +1(x >1) C.y =2x +1-1(x >0) D.y =2x +1+1(x >0) 解析:函数y =log 2(x +1)+1(x >0)的值域为{y |y >1},由y =log 2(x +1)+1,解得x =2y -1 -1. ∴函数y =log 2(x +1)+1(x >0)的反函数为y =2x -1-1(x >1). 答案:A 3.函数f (x )=-12+x (x ≥-2 1)的反函数 A.在[- 2 1,+∞)上为增函数 B.在[- 2 1,+∞)上为减函数 C.在(-∞,0]上为增函数 D.在(-∞,0]上为减函数 解析:函数f (x )=-12+x (x ≥-2 1)的值域为{y |y ≤0},而原函数在[-2 1,+∞) 上是减函数,所以它的反函数在(-∞,0]上也是减函数. 答案:D 4.(2005年春季上海,4)函数f (x )=-x 2(x ∈(-∞,-2])的反函数f -1(x )

反函数教学设计

教学过程(教学过程的表述不必详细到将教师、学生的所有对话、活动逐字记录,但是应该把主要环节的实施过程很清楚地再现。) 教学环 节 教师活动预设学生行为设计意图 1.复习引入 1.什么叫映射?,函数 与映射的关系是什么?下 列两个从集合A到B,A到 C的对应是函数吗?为什 么?如果是,写出函数的 解析式 2.倒过来,从集合B到A, C 到A的对应是函数吗?为 什么?如果是,请写出函 数解析式? 3.函数y=2x, {} 1,2,3,4 x∈的反函数解 析式是什么? 1.从函数与映射的关系 出发,从具体事例出发, 让学生通过分组讨论判 断数集之间映射的逆映 射是否为函数,构成函数 的条件是什么? 2.通过这个例子引出反 函数的概念,让学生探讨 归纳反字的意义. 3.学生讨论 2 y x=它不符 合我们的习惯,我们习惯 用x表示自变量,用y 表示函数值,故可改写成 2 x y=, 由于反函数是一 种特殊的函数,所 以一定要讲清它 的特殊性以及它 和原函数之间的 关系,是学生明白 反函数体现的是 两个函数之间的 关系,特别要强调 反字,所以设计问 题时,从函数与映 射的关系出发,从 具体事例出发,让 学生判断数集之 间映射的逆映射 是否为函数

板书设计: §2.4.1反函数 1.反函数的概念 注意: ①②③ 例1 例2. 2.求反函数的基本步骤 课后反思: 在教学过程中,教师通过设疑启发、引导,再结合学生分组讨论,探究总结,突出了学生的教学主体地位,实现了新课程中师生都是主体的教育教学理念,以积极的双边活动使学生主动自觉地发现概念、发现方法。培养了学生的观察分析能力和思维的全面性。具体教学中,教师创设问题情境,学生在这一情境中去讨论分析、探究发现,以符合学生思维的形式发展了学生的能力,达到了教学目标,优化了整个教学。

反函数知识点总结讲义教案

班级:一对一 所授年级+科目: 高一数学 授课教师: 课次:第 次 学生: 上课时间: 教学目标 理解反函数的意义,会求函数的反函数;掌握互为反函数的函数图象之间的关系,会利用反函数的性质解决一些问题. 教学重难点 反函数的求法,反函数与原函数的关系. 反函数知识点总结教案 【知识整理】 一.函数的定义 如果在某个变化过程中有两个变量x 和y ,并且对于x 在某个围的每一个确定的值,按照某个对应法则, y 都有唯一确定的值和它对应,那么y 就是x 的函数, x 就叫做自变量, x 的取值围D 称为函数的定义域,和x 的值对应的y 的值叫做函数值,函数值的集合A 叫做函数的值域,记为: )(x f y = x ∈D. 二.反函数定义 一般地,函数)(x f y = (x ∈D),设它的值域为A,我们根据这个函数中x , y 的关系,用y 把 x 表示出,得到)(y x ?= ,如果对于 y 在 A 中的任何一个值,通过)(y x ?= , x 在D 中都有唯 一的值和它对应,那么,)(y x ?= 就表示y 是自变量,x 是自变量y 的函数,这样的函数)(y x ?= (y ∈A)叫做函数)(x f y = ( x ∈D)的反函数.记作:)(1 y f x -= 反函数)(1 y f x -=中,x 为因变量,y 为自变量,为和习惯一致,将x , y 互换得: )(1x f y -= ( x ∈A). 注:并非所有的函数都有反函数.反函数存在的条件:从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数; 三.主要方法: 1.求反函数的方法步骤: ①求出原函数的值域,即求出反函数的定义域; ②由)(x f y =反解出)(1 y f x -= (把x 用y 表示出来); ③将x , y 互换得: )(1 x f y -=,并写出反函数的 定义域 2. 分段函数的反函数的求法:逐段求出每段的反函数及反函数的定义域,再合成分段函数. 3. 原函数与反函数的联系

正反函数教案高中数学反函数教案

正反函数教案|高中数学反函数教案 教学目标 1.使学生了解反函数的概念; 2.使学生会求一些简单函数的反函数; 3.培养学生用辩证的观点观察、分析解决问题的能力。 教学重点 1.反函数的概念; 2.反函数的求法。 教学难点 反函数的概念。 教学方法 师生共同讨论 教具装备 幻灯片2张 第一张:反函数的定义、记法、习惯记法。(记作A); 第二张:本课时作业中的预习内容及提纲。 教学过程 (I)讲授新课 (检查预习情况) 师:这节课我们来学习反函数(板书课题)§2.4.1 反函数的概念。 同学们已经进行了预习,对反函数的概念有了初步的了解,谁来复述一下反函数的定义、记法、习惯记法? 生:(略) (学生回答之后,打出幻灯片A)。 师:反函数的定义着重强调两点:

(1)根据y= fx中x与y的关系,用y把x表示出来,得到x=φ(y); (2)对于y在c中的任一个值,通过x=φ(y),x在A中都有惟一的值和它对应。 师:应该注意习惯记法是由记法改写过来的。 师:由反函数的定义,同学们考虑一下,怎样的映射确定的函数才有反函数呢? 生:一一映射确定的函数才有反函数。 (学生作答后,教师板书,若学生答不来,教师再予以必要的启示)。 师:在y= fx中与y= f -1y中的x、y,所表示的量相同。(前者中的x与后者中的 x都属于同一个集合,y也是如此),但地位不同(前者x是自变量,y是函数值;后者y 是自变量,x是函数值。) 在y= fx中与y= f –1x中的x都是自变量,y都是函数值,即x、y在两式中所处的地位相同,但表示的量不同(前者中的x是后者中的y,前者中的y是后者中的x。) 由此,请同学们谈一下,函数y= fx与它的反函数y= f –1x两者之间,定义域、值 域存在什么关系呢? 生:(学生作答,教师板书)函数的定义域,值域分别是它的反函数的值域、定义域。 师:从反函数的概念可知:函数y= f x与y= f –1x互为反函数。 从反函数的概念我们还可以知道,求函数的反函数的方法步骤为: (1)由y= f x解出x= f –1y,即把x用y表示出; (2)将x= f –1y改写成y= f –1x,即对调x= f –1y中的x、y。 (3)指出反函数的定义域。 下面请同学自看例1 (II)课堂练习课本P68练习1、2、3、4。 (III)课时小结 本节课我们学习了反函数的概念,从中知道了怎样的映射确定的函数才有反函数并求 函数的反函数的方法步骤,大家要熟练掌握。 (IV)课后作业 一、课本P69习题2.4 1、2。

相关文档
相关文档 最新文档