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【20套精选试卷合集】天津市和平区名校2019-2020学年高考数学模拟试卷含答案

高考模拟数学试卷

一、选择题

1. 已知集合A={x|y=lg(1-x)}，B={x|10x ->}，则 A ．{|0}A B x x =U

D ．A B =?I

【答案】D

2.下面是关于复数2z i =-的四个命题：1:||5p z =；2:p z 的共轭复数为2+i ；2

3:34p z i =-；

4121

p i z =+.其中真命题为( B ) A. 12p p ， B. 23p p ， C. 24p p ， D. 34p p ， 3.已知3sin 45πα??+= ???，则3sin 4πα??-= ???

( C ) A.

45 B. 45- C. 35 D. 35

- 4. 已知函数1()()22

x x

f x =-，则()f x

（A ）是奇函数，且在R 上是增函数（B ）是偶函数，且在R 上是增函数

（C ）是奇函数，且在R 上是减函数（D ）是偶函数，且在R 上是减函数

【答案】C

A ．0.024

B ．0.036

C ．0.06

D ．0.6

6.直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( C )

A.43 B ．2 C.83 D.1623

7. 中国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n = A ．2 B ．3

C ．4

D ．5 【答案】B

8. 直线30ax y -+=与圆()()2

124x y -+-=相交于A 、

==（A ）

A ．1 B

．2 D ．3

9.若函数a a x f x --=22)(在]1,(-∞上存在零点，则正实数a 的取值范围是B A ．（0,1） B ．]1,0( C ．（0,2） D ． ]2,0(

10.设双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于,B C

两点，过,B C 分别作AB ，AC 的垂线交于D ，若D 到直线BC 的距离不小于a+c ，则该双曲线的离心率的取值范围是（ C ）

A. (

1 B. (]

12，

C. )

∞ D. [

)2+∞，

11. 如图，络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为（ B ）

A ．8

B ．2

C ．8

D ．6

12. 已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为'

()f x ，若对于任意实数

x ，有()()f x f x '>，且()1y f x =-为奇函数，则不等式()x

f x e <的解集

为（ B ）

A ．(,0)-∞

B ．(0,)+∞

C ．4

(,)e -∞D ．4

(,)e +∞ 二、填空题

13. 若,x y 满足204000x y x y x y -+≥??+-≤?

?≥??≥?，则2z y x =-的最大值为 .2

14. 已知非零向量,a b r r 的夹角为60o

，且1,21b a b =-=r r r ，则a =r . 12

15. .在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222b a bc =-，23

A π

=，则角C 等于．

π 16.设数列{}n a 是首项为0的递增数列，()()[]*11

sin

,,,n n n n f x x a x a a n N n

+=-∈∈，满足：对于任意的[

)()0,1,n b f x b ∈=总有两个不同的根，则{}n a 的通项公式为______()12

n n n a π

-=．三、解答题

17. 已知数列{}n a 的首项1111,2n n n n a a a a a --==+. （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设数列{}n b 满足11221

n n n b a a b a b ++=-

L ，*n ∈N ，求{}n b 的前n 项和n T . 解：（1）

1111,2n n n n a a a a a --==+Q ，1

2n n a a -∴

-=，-----2分即1n a ??????

为等差数列，1121,21n n n a a n =-∴=-.-----5分

(2) 11221

12n n n b a a b a b ++=-L ,当1n ≥得1112

a b =. 当2n ≥，111111222n n n n n a b -??=-

--= ???，即212n n

n b -=.------7分 ()()2323113521

122221132321222222

n n n n n n T n n T +-=

++++--=++++K K ------10分 (1)-(2)得11

112123

,322222

n n n n n n n T T +-+=--∴=-.-----12分

18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是长方形，22AD CD PD ===，5PA =，二面角

120P AD C --o 为,点E 为线段PC 的中点，点F 在线段AB 上，且

AF =

．

（Ⅰ）平面PCD ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求棱锥C DEF -的高.

解：（Ⅰ）∵222AP PD AD =+，∴AD PD ⊥，又AD DC ⊥，∴AD ⊥平面PCD ，-----3分

又AD ?平面ABCD ，∴平面PCD ⊥平面

ABCD ． ………………5分

（Ⅱ）∵AD ⊥平面PCD ，120PDC ∴∠=o ----6分做EH DC ⊥于H ，HM DF ⊥于M,连EM ，则EM DF ⊥, 设棱锥C DEF -的高的高为h 如图，求得535

,,DF EH EM =

.----8分 1

,,234

EFD E DFC DFE S V V h --∴==∴=V Q 锥锥C -----10分

19. 进入12月以来，某地区为了防止出现重污染天气，坚持保民生、保蓝天，严格落实机动车限行等一系列“管控令”.该地区交通管理部门为了了解市民对“单双号限行”的赞同情况，随机采访了220名市民，将他们的意见和是否拥有私家车情况进行了统计，得到如下的22?列联表：

（1车”有关；

（2）为了了解限行之后是否对交通拥堵、环境污染起到改善作用，从上述调查的不赞同限行．．．．．的人员中按分层抽样抽取6人，再从这6人中随机抽出3名进行电话回访，求3人中至少抽到1名“没有私家车”人员的概率.

附：22

()()()()()

n ad bc k a b c d a c b d -=++++

解：（1）2

220(20704090)55

9.16710.828.601601101106

k ??-?=

=≈

x y

，解得2, 4.x y ==

在抽取的6人中，“没有私家车”的2名人员记为12,A A ，“有私家车”的4名人员记为1234,,,B B B B ,则所有的抽样情况如下：

{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}121122123124112113114123124134212213214223224234123124134234,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.

A A

B A A B A A B A A B A B B A B B A B B A B B

A B B A B B A B B A B B A B B A B B A B B A B B B B B B B B B B B B B B 共20种.

其中至少有1名“没有私家车”人员的情况有16种. 记事件A 为至少抽到1名“没有私家车”人员，则16

()0.8.20

P A =

= 20.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b

+=>>的离心率e =12,F F 为分别为

左、右焦点，过1F 的直线交椭圆C 于,P Q 两点，且2PQF ?的周长为8. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）设过点3,0M （）

的直线交椭圆C 于不同两点,A B ，N 为椭圆上一点，且满足OA OB tON u u u r u u u r u u u r

+=（O 为坐标原点）

，当AB <时，求实数t 的取值范围.

解：（Ⅰ）∵2222

3,4

c a b e a a -=== ∴22

4,a b = 又48 2.a a =∴=Q 2

1b ∴=，所以椭圆方程是2

214

x y += …………………………4分（Ⅱ）设1122(,),(,),(,),A x y B x y P x y AB N(x,y )，AB 的方程为(3),y k x =-

由22(3),

1,4

y k x x y =-???+=?? 整理得2222(14)243640k x k x k +-+-=.

由2422

2416(91)(14)0k k k k ?=--+＞，得215

k ＜.

22121222

24364

,.1414k k x x x x k k -+=?=++ ∴1212(,)(,),OA OB x x y y t x y +=++=u u u r u u u r

则2

122124()(14)

k x x x t t k =+=+,[]1212

2116()()6.(14)k y y y k x x k t t t k -=+=+-=+ 由点N 在椭圆上，得222222222

(24)1444,(14)(14)

k k t k t k +=++化简得222

36(14)k t k =+…① ………8分

又由12AB x =-即22

1212(1)()43,

k x x x x ??++-??＜

将12x x +，12x x 代入得2422

222

244(364)(1)3,(14)14k k k k k ??

-+-??++??

＜化简，得22

(81)(1613)0,k k -+＞则221810,8k k ->>

,∴21185k ＜＜

② 由①，得2

364t k t =- ,

联立②，解得234t <<

∴2t -<<

2t << ………………………12分 21. 已知函数()()()2

1ln ,2

f x x x

g x f x x bx =+=+-与直线20+x y =垂直. （Ⅰ）求

()

f x 在1x =处的切线方程；

（Ⅱ）当b=4时，求函数2

1()()2

g x f x x bx =+

-的单调递减区间；（Ⅲ）设1212,()x x x x <是函数()g x 的两个极值点，若7

b ≥，求12()()g x g x -的最小值. 解：（Ⅰ）∵1

()1f x x

'=+

，k=2，切线方程为210.x y --=

∵2

1()ln 32

g x x x x =+

- ∴2131

()3x x g x x x x

-+'=+-=………………………………3分

由题知0)(<'x g ∵0>x

∴

322

x +<<

()g x

的单调递减区间是??

.………………………5分注：区间开闭同样给分.

（Ⅲ）∵x

x b x b x x x g 1

)1()1(1)(2+--=--+='

令 0)(='x g ，得01)1(2

=+--x b x

∵1212,()x x x x <是函数()g x 的两个极值点 ∴1212,()x x x x <是01)1(2

=+--x b x 的两个根

∴121-=+b x x ，121=x x …………………………………………6分

])1(2

1[ln ])1(21[ln )()(22

22121121x b x x x b x x x g x g --+---+

=- 221121221ln

()(1)()2x x x b x x x =+----22

112121221ln ()()()2

x x x x x x x x =+--+- )(21ln )(21ln )(21ln 1

22121212

1212

22121x x x x x x x x x x x x x x x x --=--=--=…………8分

令21x x t =

，则)1

(21ln )()()(21t

t t t h x g x g --==- ∵210x x << ∴ )1,0(2

∈=

x x t 又27≥b ，所以251≥-b ，所以4

2521)()()1(212212

212≥++=+=+=-t t x x x x x x b

整理有041742≥+-t t ，解得4

41≤≤-

t ∴]4

,0(∈t …………………………………………11分

而02)1()11(211)(2

2<--=+-='t

t t t t h ，所以)(t h 在]41,0(单调递减 ()115

2ln 248

h t h ??≥=- ???

故)()(21x g x g -的最小值是

2ln 28

-.…………………………12分 22.（本题满分10分）已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos sin x y θ

θ=??

（θ为参数），直线l

经过定点()1,1P ，倾斜角为

π．（Ⅰ）写出直线l 的参数方程，将圆锥曲线C 的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，到到曲线'C 写出

'C 标准方程；

（Ⅱ）设直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，求PA PB ?的值．解：（Ⅰ）Q l 经过定点()1,1P ，倾斜角为

∴ 直线l

的参数方程为1112x y t ?=+???

?=+??（t 为参数）……………………2分 2

sin cos 1θθ+=Q ，且2cos sin x y θ

θ=??

， ∴圆锥曲线C 的标准方程为2

214

x y += …………………………………………4分（Ⅱ）把直线l 的参数方程代入圆锥曲线C 的标准方程得

72304

t t ++-=①…………………………………………………………6分设12,t t 是方程①的两个实根，则1212

t t =-,…………………………………………8分

23.已知函数()|21|-23f x x x =-+．（Ⅰ）求不等式()f x x ≥的解集；

（Ⅱ）若不等式()(),0y

f x m m m ≤+

>，对任意的实数,x y ∈R 恒成立，求实数a 的最小值．解：（Ⅰ）34231()|21|-23=44,2214,2x f x x x x x x ?

<-??

=-+---≤

?-≥??，

()f x x ∴≥的解集为45x x ?

?≤-???

（Ⅱ）|21|-23-1-3=4x x -+≤Q 当1m ≠时，24,4y y y

a m a m m m ∴+

≥≥-即，令,y m t =()224,a t ≥--+ 当且仅当2,m 2,log 2y

m t y ===即时，4a ≥，

当1m =时，依题意知3a ≥，综上所述，a 的最小值为3.

高考模拟数学试卷

本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．参考公式：

样本数据1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y L 的回归方程为：y bx a ∧

其中1

()()()n n

i i

i i n

i i i i x x y y x y nx y

b x x x nx

====---=

--∑∑∑∑， 121

2,n n

x x x y y y x y n n

++???+++???+=

=，a y bx =-．b 是回归方程得斜率，a 是截距．

一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知复数12,z z 在复平面内对应的点分别为(0,1),(1,3)A B -，则2

z z = A ．13i -+ B ．3i

-- C ．3i + D ．3i -

2．已知集合2{|log (1)}A x y x ==+，集合1

{|(),0}2

x B y y x ==>，则A B I = A ．(1,)+∞ B ．(1,1)- C ．(0,)+∞ D ．(0,1)

3．在四边形ABCD 中，“AB DC =uu u r uuu r ，且0AC BD ?=uu u r

”是“四边形ABCD 是菱形”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．当4

x π

时，函数()sin()(0)f x A x A ?=+>取得最小值，则函数3(

y f x π

=- A ．是奇函数且图像关于点(

,0)2

对称 B ．是偶函数且图像关于点(,0)π对称

C ．是奇函数且图像关于直线2

x π

对称 D ．是偶函数且图像关于直线x π=对称

5．一简单组合体的三视图及尺寸如图(1)示（单位 cm ）则该组合体的体积为．

A. 720003

cm B. 640003

侧视图

C. 560003cm

D. 440003cm 图（1） 6．已知等差数列{}n a 满足，18130,58a a a >=，则前n 项和

n S 取最大值时，n 的值为

A.20

B.21

C.22

D.23 7．在图（2）的程序框图中，任意输入一次(01)x x ≤≤与(01)y y ≤≤，则能输出数对(,)x y 的概率为

A ．14

B ．13

C ．34

D ． 23

8．已知方程sin x k x

=在(0,)+∞有两个不同的解,αβ（αβ<）

，则下面结论正确的是： A ．1tan()4

1π

ααα++=- B ．1tan()41πα

αα-+=+ C ．1tan()4

1π

βββ++

- D ．1tan()41πβ

ββ

-+=+ 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9－13题）

9．计算：112

log sin15log cos15+o o = ．

10．若二项式1()2n x x

的展开式中，第4项与第7项的二项式系数相等，则展开式中6x 的系数

为．(用数字作答) 11．一般来说，一个人脚掌越长，他的身高就越高，现对10名成年人的脚掌长x 与身高y 进行测量，

得到数据（单位均为cm ）如上表，作出散点图后，发现散点在一条直线附近，经计算得到一些数据：

101

()()577.5i

i x x y y =--=∑，10

()

82.5i

i x x =-=∑；某刑侦人员在某案发现场发现一对裸脚印，量得每个

脚印长为26.5cm ，则估计案发嫌疑人的身高为 cm ．

12．已知圆C 经过直线220x y -+=与坐标轴的两个交点，且经过抛物线2

8y x =的焦点，则圆C 的方程为．

13．函数()f x 的定义域为D ，若对任意的1x 、2x D ∈，当12x x <时，都有12()()f x f x ≤，则称函数()f x 在D 上为“非减函数”．设函数()g x 在[0,1]上为“非减函数”，且满足以下三个条件：（1）(0)0g =；（2）

()()32

x g g x =；

（3）(1)1()g x g x -=-,则(1)g = 、 5

()12

g = ．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

脚长

身高 141 146[ 154 160 169 176[ 181 188 197 203

图（2）

y ≥x 2?任意输入y （0≤y ≤1）输出数对(x,y)

是

开始

否

结束

任意输入x （0≤x ≤1）

14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线1C ：22ρ=和曲线2C ：cos()24

ρθ+=，则12C 的

距离等于2的点的个数为．

15．(几何证明选讲选做题)如图（3）所示，AB 是⊙O 的直径，过圆上一点 E 作切线ED ⊥AF ，交AF 的延长线于点D ，交AB 的延长线于点C.若CB=2，

CE=4，则AD 的长为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）

在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足sin 3cos c A a C =．（1）求角C 的大小；（2）求3sin sin()2

A B π

-+的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小．

17. （本小题满分12分）

根据公安部最新修订的《机动车驾驶证申领和使用规定》：每位驾驶证申领者必须通过《科目一》（理论科目）、《综合科》（驾驶技能加科目一的部分理论）的考试.已知李先生已通过《科目一》的考试，且《科目一》的成绩不受《综合科》的影响，《综合科》三年内有5次预约考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾驶证，不再参加以后的考试，否则就一直考到第5次为止.设李先生《综合科》每次参加考试通过的概率依次为0.5，0.6，0.7，0.8，0.9．

（1）求在三年内李先生参加驾驶证考试次数ξ的分布列和数学期望；（2）求李先生在三年内领到驾驶证的概率.

18．（本小题满分14分）

如图（4），在等腰梯形CDEF 中，CB 、DA 是梯形的高，2AE BF ==，22AB =,现将梯形沿CB 、DA 折起，使//EF AB 且2EF AB =，得一简单组合体ABCDEF 如图（5）示，已知,,M N P 分别为,,AF BD EF 的中点．

（1）求证：//MN 平面BCF ；（2）求证： AP ⊥DE ；

（3）当AD 多长时，平面CDEF 与

平面ADE 所成的锐二面角为60o ？图（4）图（5）

19．（本小题满分14分）

如图（6），设点)0,(1c F -、)0,(2c F 分别是椭圆)1(1:2

22>=+a y a

x C

的左、右焦点，P 为椭圆C 上任意一点，且12PF PF ?uuu r uuu r

最小值为0．

D C B

E F

N P

图（3）

C A

F 2

F 1

（1）求椭圆C 的方程；

（2）若动直线12,l l 均与椭圆C 相切，且12//l l ，试探究在x 轴上是否存在定点B ，点B 到12,l l 的距离之积恒为1？若存在，请求出点B 坐标；若不存在，请说明理由．

20．（本小题满分14分）

已知函数()(0,1x

f x x x α

αα=

>+为常数，数列{}n a 满足：11

a =

，1()n n a f a +=，*n N ∈．（1）当1α=时，求数列{}n a 的通项公式；

（2）在（1）的条件下，证明对*n N ?∈有：12323412(5)

12(2)(3)

n n n n n a a a a a a a a a n n ++++++=

++L ；

（3）若2α=，且对*n N ?∈，有01n a <<，证明：121

n n a a ++-<． 21．（本小题满分14分）

已知函数()ln f x x =，2

()()g x f x ax bx =++，函数()g x 的图象在点(1,(1))g 处的切线平行于x 轴．（1）确定a 与b 的关系；

（2）试讨论函数()g x 的单调性；

（3）证明：对任意*

n N ∈，都有()2

ln 1n

i i n i

=-+>

∑成立．

数学(理科) 参考答案及评分说明

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．一．选择题：CDCC BBDC 解析： 4．依题意可得3(

)sin 4

y f x A x π

=-=-，故选C. 5．由三视图知，该组合体由两个直棱柱组合而成，故其体积3

60401020405064000()V cm =??+??=，故选B.

6．由81358a a =得115(7)8(12)a d a d +=+13

d a ?=-

，由1(1)n a a n d =+- 113(1)()061a n a =+--

≥6412133n ?≤=,所以数列{}n a 前21

故n S 取最大值时，n 的值为21，选B.

7．依题意结合右图易得所求的概率为：1

121133

x dx -

=-=?，选D. 8．解析：

sin |sin |x k x kx x

=?=，要使方程

sin (0)x k k x

=>在(0,)+∞有两个不同的解，则|sin |

y x =的图像与直线(0)y kx k =>有且仅有三个公共点，所以直线y kx =与|sin |y x =在3,2ππ?? ??

内相切，且切于点(,sin )ββ-，由sin cos tan β

ββββ

--=

?=，1tan()41πβ

ββ

+∴+=

-，选C 二．填空题：9.2；10.9； 11.185.5；12. 22115()()2

x y -+-= [或22

20x y x y +---=]；13.1（2分）、

12（3分）；14.3；15. 24

. 解析：

10.根据已知条件可得：36

369n n C C n =?=+=，所以(n x 的展开式的通项为

399219

91()2r r

r r r T C x

C x --+==，令39622r r -=?=，所以所求系数为2291

()92C =.

11.回归方程的斜率10

()()

577.5

782.5

()

i i

i x x y y b x x ==--=

=-∑∑，24.5x =，171.5y =，截距0a y bx =-=，即回归方程为7y x ∧=，当26.5x =，185.5y ∧

=， 12．易得圆心坐标为11(,)22，半径为52r =

, 故所求圆的方程为22115

()()222

x y -+-=【或2220x y x y +---=. 】

13．在（3）中令x=0得(0)1(1)0g g =-=，所以(1)1g =，在（1）中令1x =得1

()(1)322

g g ==，在（3）中令1

x =

得11()1()22g g =-，故11()22g =

，因1513122<<，所以151()()()3122

g g g ≤≤，故51

()122

g =． 14．将方程22ρ=与cos()24

ρθ+=化为直角坐标方程得

222(22)x y +=与20x y --=，知1C 为圆心在坐标原点，半径为22的圆，

2C 为直线，因圆心到直线20x y --=的距离为2，故满足条件的点的个数3n =. 15．设r 是⊙O 的半径．由2CE CA CB =?，解得r=3.由CO OE CA AD =

解得24

AD =. 三．解答题：

16．解：（1）由sin 3cos c A a C =结合正弦定理得，

sin sin 3cos a c c

A C

C ==

----2分从而sin 3cos C C =，tan 3C =，-----------------------------------------------4分 ∵0C π<<，∴3

C π

=；--------------------------------------------------------------6分

（2）由（1）知23

B A π

--------------------------------------------------------------7分 3sin()3cos 2

A B A B π

=----------------------------------------8分 23cos(

A A π

=-- 223cos

cos sin sin 33

A A A ππ=--------9分 31cos 2A A =

+sin()6

A π

=+--------------10分 ∵203A π<<

，∴5666

A πππ

<+< x-y-2=0o

当6

A π

sin()2

A B π

取得最大值，------------------------------11分

此时,3

A B π

．-----------------------------------------------------------------------12分

17.解. (1) ξ的取值为1,2,3,4，5. -------------------------------1分 (1)0.5P ξ==,

(2)(10.5)0.60.3P ξ==-?=

(3)(10.5)(10.6)0.70.14

P ξ==-?-?=

(4)(10.5)(10.6)(10.7)0.80.048

P ξ==-?-?-?=(5)(10.5)(10.6)(10.7)(10.8)0.012P ξ==-?-?-?-=--------------------6分

【或(5)1(1)(2)(3)(4)0.012P P P P P ξξξξξ==-=-=-=-==】

∴ξ的分布列为：

∴10.520.330.1440.04850.012E ξ=?+?+?+?+?=1.772--------10分（2）李先生在三年内领到驾照的概率为：

1(10.5)(10.6)(10.7)(10.8)(10.9)0.9988P =--?-?-?-?-=-----------------12分

18．（1）证明：连AC ，∵四边形ABCD 是矩形，N 为BD 中点，

∴N 为AC 中点，--------------------------------------------------------------1分在ACF ?中，M

为AF 中点，故//MN CF --------------------------3分 ∵CF ?平面BCF ，MN ?平面BCF ，//MN ∴平面BCF ；---4分（其它证法，请参照给分）

（2

）依题意知,DA AB DA AE ⊥⊥ 且AB AE A =I ∴AD ⊥平面ABFE

∵AP ?平面ABFE ，∴AP AD ⊥，------------------5分 ∵P 为EF 中点，∴FP AB ==结合//AB EF ，知四边形ABFP 是平行四边形

∴//AP BF ，2AP BF ==----------------------------------------------------7分

而2,AE PE ==2

AP AE PE += ∴90EAP ∠=o ，即AP AE ⊥-----8分又AD AE A =I ∴AP ⊥平面ADE ，

∵DE ?平面ADE ，

∴AP ⊥DE .------------------------------------------------9分（3）解法一：如图，分别以,,AP AE AD 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系

设(0)AD m m =>，则(0,0,0),(0,0,),(0,2,0),A D m E P 易知平面ADE 的一个法向量为(2,0,0)AP =uu u r

，-----------10分

C D

设平面DEF 的一个法向量为(,,)n x y z =r ，则0

n PE n DE ??=???=??r uur r uuu r

故22020x y y mz -+=??

-=?，即0

x y y mz -=??-=?

令1x =，则21,y z m ==，故2

(1,1,)n m =r ----------------------------------------11分

∴2

cos ,4||||

22AP n AP n AP n m

?<>==+uu u r r

uu u r r uu u r r ，

依题意，

422m =

，2m =，-------------------------------------------------------13分即2AD =时，平面CDEF 与平面ADE 所成的锐二面角为60o ．------------------------14分

【解法二：过点A 作AM DE ⊥交DE 于M 点，连结PM ，则,DE PM ⊥

∴AMP ∠为二面角A-DE-F 的平面角，---------------------------------------------------------11分由AMP ∠=600，AP=BF=2得AM 23

tan 603

AP =

，-------------------------------------12分又AD AE AM DE ?=?得2223

223

AD AD =?+，解得2AD =

，即2AD =时，平面CDEF 与平面ADE 所成的锐二面角为60o ．----14分】

19.解：（1）设),(y x P ，则有),(1y c x P F +=，),(2y c x P F -=-------------1分

[]a a x c x a

a c y x PF PF ,,112

21-∈-+-=-+=? -----------------2分由12PF PF ?uuu r uuu r

最小值为0得210122=?=?=-a c c ，-------------------3分

∴椭圆C 的方程为12

=+y x ．---------------------------------------------4分

（2）①当直线12,l l 斜率存在时，设其方程为,y kx m y kx n =+=+--------------------5分把1l 的方程代入椭圆方程得2

(12)4220k x mkx m +++-=

∵直线1l 与椭圆C 相切，∴2

164(12)(22)0k m k m ?=-+-=，化简得

2212m k =+-------------------------------------------------------------------------------------7分

同理，2212n k =+-----------------------------------------------------------------------------8分 ∴22m n =，若m n =，则12,l l 重合，不合题意，∴m n =------------------------9分设在x 轴上存在点(,0)B t ，点B 到直线12,l l 的距离之积为1，则

22||||

111

kt m kt m k k +-?=++，即2222||1k t m k -=+，--------------------------------------10分把2

12k m +=代入并去绝对值整理，

22(3)2k t -=或者22(1)0k t -=

前式显然不恒成立；而要使得后式对任意的k R ∈恒成立

则210t -=，解得1t =±；----------------------------------------------------------------------12分 ②当直线12,l l 斜率不存在时，其方程为2x =

2x =---------------------------13分

定点(1,0)-到直线12,l l 的距离之积为(221)1+=；定点(1,0)到直线12,l l 的距离之积为(21)(21)1-=；

综上所述，满足题意的定点B 为(1,0)-或(1,0) --------------------------------------------14分 20．解：（1）当1α=时，1()1n n n n a a f a a +==

+，两边取倒数，得111

1n n

a a +-=，----2分故数列1{

}n a 是以1

2a =为首项，为公差的等差数列， 1

n a =+，11n a n =

+，*n N ∈．------------------------------------------------------------4分（2）证法1：由（1）知1

n a n =

+，故对1,2,3...k = 121(1)(2)(3)k k k a a a k k k ++=

+++111

[]2(1)(2)(2)(3)

k k k k =-++++-------------6分

∴12323412......n n n a a a a a a a a a +++++

1111111[()()...]223343445(1)(2)(2)(3)

n n n n =-+-++-????+?+++ 111[]223(2)(3)n n =-?++(5)

12(2)(3)

n n n n +=

++．----------------------------------------9分． [证法2：①当n=1时，等式左边11

23424=

??，等式右边1(15)112(12)(13)24

?+==?+?+，左边=右边，等式成立；-----------------------------------------------------------------5分 ②假设当(1)n k k =≥时等式成立，即12323412(5)

......12(2)(3)

k k k k k a a a a a a a a a k k ++++++=++，

则当1n k =+时

12323412123(5)1

......12(2)(3)(2)(3)(4)

k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a k k k k k ++++++++++=

+++++32(5)(4)129201212(2)(3)(4)12(2)(3)(4)

k k k k k k k k k k k k ++++++==

++++++2(1)4(1)(23)(1)(2)(6)(1)[(1)5]12(2)(3)(4)12(2)(3)(4)12[(1)2][(1)3]

k k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++++++===++++++++++

这就是说当1n k =+时，等式成立，-------------------------------------------------------8分综①②知对于*n N ?∈有：12323412(5)

......12(2)(3)

n n n n n a a a a a a a a a n n ++++++=

++．----9分]

（3）当2α=时，12

2()1n

n n n

a a f a a +==+ 则122

21(1)11n n

n n n n n n n

a a a a a a a a a ++-=

-=-++，---------------------------------------------10分 ∵01n a <<， ∴2122

111(1)

()121n n n n

n n n n n n

a a a a a a a a a a +++-+-=-≤?++--------------------------------11分 2

4(1)2(1)2

n n n a a a +=

?+-++ 11

24121

n a a =

++-+14222≤-21+=--------------------13分 ∵1n n a a =-与2

n n a a +=

+不能同时成立，∴上式“=”不成立，即对*n N ?∈，121

n n a a ++-<

．-----------------------------------------------------------14分【证法二：当2α=时，12

2()1n

n n n

a a f a a +==

+，则3

122

211n n n

n n n n n

a a a a a a a a +--=-=++----------------------------------------------------10分又122

(0,1),1,1n n n n

a a a a +∈∴

=>+Q *11

,[,1),2

n n n a a a n N +∴>∴∈∈------------------------------------------------------------------11分

令321

(),[,1),12x x g x x x -=

∈+则4222

41(),(1)x x g x x --+'=+------------------------------------12分当1[,1),()0,2x g x '∈<所以函数()g x 在1[,1)2单调递减，故当3

211()

132122[,1),()12101()2

x g x -+∈≤

=<+所以命题得证--------------------------------14分】【证法三：当2α=时，12

2()1n

n n n

a a f a a +==

+，*11221

(0,1),1,,[,1),12

n n n n n n n a a a a a n N a a ++∈∴=>∴>∴∈∈+Q -------------------------11分 11112222

112212()11(1)(1)

n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a --+-----=

-=?-++++

1112211124222()()1125(1)(1)22

n n n n n n a a a a a a ----?

∴数列1{}n n a a +-单调递减，

12121

213212121081()2

n n a a a a +?

+∴-≤-=

-=<+，所以命题得证------------------------------------------------------------------------------------------14分】 21．解：（1）依题意得2

()ln g x x ax bx =++，则1

'()2g x ax b x

++ 由函数()g x 的图象在点(1,(1))g 处的切线平行于x 轴得：'(1)120g a b =++= ∴21b a =---------------------------------------------------------------------------3分

（2）由（1）得22(21)1'()ax a x g x x -++=(21)(1)

ax x x

--=

----------------------4分 ∵函数()g x 的定义域为(0,)+∞

∴当0a ≤时，210ax -<在(0,)+∞上恒成立，

由'()0g x >得01x <<，由'()0g x <得1x >，

即函数()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞单调递减；-------------------------------5分当0a >时，令'()0g x =得1x =或1

2x a

=，若

112a <，即12a >时，由'()0g x >得1x >或102x a <<，由'()0g x <得1

12x a

<<，

即函数()g x 在1(0,)2a ，(1,)+∞上单调递增，在1

(,1)2a

单调递减；-----------------6分若

112a >，即102a <<时，由'()0g x >得12x a >

或01x <<，由'()0g x <得1

12x a

<<，即函数()g x 在(0,1)，1(

,)2a +∞上单调递增，在1

(1,)2a

单调递减；------------7分若

112a =，即1

a =时，在(0,)+∞上恒有'()0g x ≥，即函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，------------------------------------------------------------------8分

综上得：当0a ≤时，函数()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞单调递减；当102a <<时，函数()g x 在(0,1)单调递增，在1(1,)2a 单调递减；在1

(,)2a

+∞上单调递增；当1

a =时，函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，当12a >

时，函数()g x 在1(0,)2a 上单调递增，在1(,1)2a

单调递减；在(1,)+∞上单调递增．

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------9分

（3）证法一：由（2）知当1a =时，函数2

()ln 3g x x x x =+-在(1,)+∞单调递增，

2ln 3(1)2x x x g ∴+-≥=-，即2ln 32(1)(2)x x x x x ≥-+-=---，------------11分

令*11,x n N n =+

∈，则2111

ln(1)n n n

+>-，-------------------------------------12分2222111111111111

ln(1)ln(1)ln(1)...ln(1)...123112233n n n

∴++++++++>-+-+-++-

2222111111111111

ln[(1)(1)(1)...(1)]...123112233n n n

∴++++++>-+-+-++-

即()21

ln 1n

i i n i =-+>

∑------------------------------------------------------------------------------14分【证法二：构造数列{}n a ，使其前n 项和ln(1)n T n =+，则当2n ≥时，111

ln()ln(1)n n n n a T T n n

-+=-==+，---------------------------------11分显然1ln 2a =也满足该式，故只需证221

111

ln(1)n n n n n

-+>=---------------------------------------------------------12分令1x n

，即证2ln(1)0x x x +-+>，记2

()ln(1)h x x x x =+-+，0x > 则11(21)'()12120111x x h x x x x x x

-+=-+=>+++， ()h x 在(0,)+∞上单调递增，故()(0)0h x h >=，

∴221111

ln(1)n n n n n

-+>

=-成立， 2222111111111111

ln(1)ln(1)ln(1)...ln(1)...123112233n n n

∴++++++++>-+-+-++-

即()2

ln 1n

i i n i

=-+>

∑．----------------------------------------------------------------------------14分】【证法三：令2

()ln(1)i n

i i n n i ?==-=+-∑，

则2(1)()ln(2)ln(1)(1)n n n n n n ??+-=+-

-++2

111

ln(1)11(1)

n n n =+-++++----10分令11,1x n =+

+则(1,2]x ∈，*1

1,,1

x n N n =-∈+ 记2

()ln (1)(1)ln 32h x x x x x x x =--+-=+-+-----------------------12分 ∵1(21)(1)()230x x h x x x x

--'=

+-=>∴函数()h x 在(1,2]单调递增，又(1)0,(1,2],()0,h x h x =∴∈>当时即(1)()0n n ??+->，

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