2016广东高考理数大二轮 专项训练【专题4】(3)推理与证明(含答案)

2016广东高考理数大二轮专项训练

第3讲推理与证明

考情解读 1.以数表、数阵、图形为背景与数列、周期性等知识相结合考查归纳推理和类比推理，多以小题形式出现.2.直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、数列及不等式等综合命题．

1．合情推理

(1)归纳推理

①归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．

②归纳推理的思维过程如下：

实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论

(2)类比推理

①类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．

②类比推理的思维过程如下：

观察、比较→联想、类推→猜测新的结论

2．演绎推理

(1)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：

①大前提——已知的一般原理；

②小前提——所研究的特殊情况；

③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．

(2)合情推理与演绎推理的区别

归纳和类比是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理；类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．

3．直接证明

(1)综合法

用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：

P?Q1→Q1?Q2→Q2?Q3→…→Q n?Q

(2)分析法

用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：

Q?P1→P1?P2→P2?P3→…→得到一个明显成立的条件

4．间接证明

反证法的证明过程可以概括为“否定——推理——否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛

盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程．用反证法证明命题“若p，则q”的过程可以用如图所示的框图表示．

肯定条件p否定结论q→导致逻辑矛盾→“既p，又綈q”为假→“若p，则q”为真5．数学归纳法

数学归纳法证明的步骤：

(1)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立．

(2)假设n＝k(k∈N*，且k≥n0)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立．

由(1)(2)可知，对任意n≥n0，且n∈N*时，命题都成立．

热点一归纳推理

例1(1)有菱形纹的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是()

A．26 B．31

C．32 D．36

(2)两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是()

A．48,49 B．62,63

C．75,76 D．84,85

思维启迪(1)根据三个图案中的正六边形个数寻求规律；(2)靠窗口的座位号码能被5整除或者被5除余1.

答案(1)B(2)D

解析(1)有菱形纹的正六边形个数如下表：

5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.

故选B.

(2)由已知图形中座位的排列顺序，可得：被5除余1的数和能被5整除的座位号临窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，分析答案中的4组座位号，只有D符合条件．

思维升华归纳递推思想在解决问题时，从特殊情况入手，通过观察、分析、概括，猜想出一般性结论，然后予以证明，这一数学思想方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广泛的应用．其思维模式是“观察——归纳——猜想——证明”，解题的关键在于正确的归纳猜想．

(1)四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1、2、3、4号位上(如图)，第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…这样交替进行下去，那么第202次互换座位后，小兔坐在第______号座位上．

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

(2)已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>7

2，则有

________________．

答案 (1)B (2)f (2n )>n ＋2

2

(n ≥2，n ∈N *)

解析 (1)考虑小兔所坐的座位号，第一次坐在1号位上，第二次坐在2号位上，第三次坐在4号位上，第四次坐在3号位上，第五次坐在1号位上，因此小兔的座位数更换次数以4为周期，因为202＝50×4＋2，因此第202次互换后，小兔所在的座位号与小兔第二次互换座位号所在的座位号相同，因此小兔坐在2号位上，故选B. (2)由题意得f (22)>42，f (23)>52，f (24)>6

2，

f (25)>7

2，所以当n ≥2时，有f (2n )>n ＋22.

故填f (2n )>n ＋22(n ≥2，n ∈N *)．

热点二 类比推理

例2 (1)在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝1

4.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体ABCD 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1

V 2

＝________.

(2)已知双曲正弦函数sh x ＝e x －e －

x 2和双曲余弦函数ch x ＝e x ＋e －

x

2

与我们学过的正弦函数和余弦

函数有许多类似的性质，请类比正弦函数和余弦函数的和角或差角．．．．．公式，写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个．．

类似的正确结论________． 思维启迪 (1)平面几何中的面积可类比到空间几何中的体积；(2)可利用和角或差角公式猜想，然后验证．

答案 (1)1

27

(2)ch(x －y )＝ch x ch y －sh x sh y

解析 (1)平面几何中，圆的面积与圆的半径的平方成正比，而在空间几何中，球的体积与半径的立方成正比，所以V 1V 2＝1

27

.

(2)ch x ch y －sh x shy ＝e x ＋e －

x 2·e y ＋e －

y 2－e x －e －

x 2·e y －e －

y

2

＝14(e x ＋y ＋e x －y ＋e －x ＋y ＋e －x －y －e x ＋y ＋e x －y ＋e －x ＋y －e －x －

y ) ＝14(2e x －y ＋2e －(x －y )

)＝e x －

y ＋e －(x －y )

2

＝ch(x －y )，故知ch(x ＋y )＝ch x ch y ＋sh x sh y ，

或sh(x －y )＝sh x ch y －ch x sh y ， 或sh(x ＋y )＝sh x ch y ＋ch x sh y .

思维升华 类比推理是合情推理中的一类重要推理，强调的是两类事物之间的相似性，有共同要素是产生类比迁移的客观因素，类比可以由概念性质上的相似性引起，如等差数列与等比数列的类比，也可以由解题方法上的类似引起．当然首先是在某些方面有一定的共性，才能有方法上的类比，例2即属于此类题型．一般来说，高考中的类比问题多发生在横向与纵向类比上，如圆锥曲线中椭圆与双曲线等的横向类比以及平面与空间中三角形与三棱锥的纵向类比等．

(1)若数列{a n }是等差数列，b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n

n

，则数列{b n }也为等差数列．类比

这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( ) A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c n

n

B ．d n ＝c 1·c 2·…·c n

n

C ．d n ＝

D ．d n ＝n

c 1·c 2·…·c n

(2)椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质，如对于椭圆有如下命题：AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)

的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 的中点，则k OM ·k AB ＝－b 2

a 2.那么对于双曲线则有

如下命题：AB 是双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 的

中点，则k OM ·k AB ＝________. 答案 (1)D (2)b 2a

2

解析 (1)由{a n }为等差数列，设公差为d ， 则b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ＝a 1＋n －1

2d ，

又正项数列{c n }为等比数列，设公比为q ，

则d n ＝n

c 1·c 2·…·c n c 112

n q

-，故选D.

(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)， 则有???

x 0

＝x 1

＋x 2

2

，y 0

＝y 1

＋y

2

2

.

将A ，B 代入双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1中得

x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22

a 2－y 2

2b 2＝1， 两式相减，得x 21－x 22a 2＝y 21－y 2

2

b

2，

即

(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＝(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2

，

即(y 1－y 2)(y 1＋y 2)(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝b 2

a 2， 即k OM ·k AB ＝

b 2

a

2.

热点三 直接证明和间接证明

例3 已知数列{a n }满足：a 1＝12，3(1＋a n ＋1)1－a n ＝2(1＋a n )

1－a n ＋1

，a n a n ＋1<0 (n ≥1)；数列{b n }满足：

b n ＝a 2n ＋1－a 2

n (n ≥1)．

(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；

(2)证明：数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列．

思维启迪 (1)利用已知递推式中的特点构造数列{1－a 2n }；(2)否定性结论的证明可用反证法． (1)解 已知3(1＋a n ＋1)1－a n ＝2(1＋a n )1－a n ＋1化为1－a 2n ＋11－a 2n ＝23，

而1－a 2

1＝34

，

所以数列{1－a 2n }是首项为34，公比为2

3的等比数列， 则1－a 2n ＝34×????23n －1，则a 2n

＝1－34×????23n －1， 由a n a n ＋1<0，知数列{a n }的项正负相间出现， 因此a n ＝(－1)n ＋

1

1－34×???

?23n －1

， b n ＝a 2n ＋1－a 2

n ＝－34×????23n ＋34×???

?23n －1

＝14×???

?23n －1. (2)证明 假设存在某三项成等差数列，不妨设为b m 、b n 、b p ，其中m 、n 、p 是互不相等的正整数，可设m

而b n ＝14×????23n －1

随n 的增大而减小，

那么只能有2b n ＝b m ＋b p ，

可得2×14×????23n －1＝14×????23m －1＋14×????23p －1

，

则2×????23n －m

＝1＋???

?23p －m .(*) 当n －m ≥2时，2×????23n －m

≤2×????232＝89，(*)式不可能成立，则只能有n －m ＝1， 此时等式为4

3

＝1＋????23p －m ， 即13＝????23p －m ，那么p －m ＝log 2313，左边为正整数，右边为无理数，不可能相等． 所以假设不成立，那么数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列．

思维升华 (1)有关否定性结论的证明常用反证法或举出一个结论不成立的例子即可． (2)综合法和分析法是直接证明常用的两种方法，我们常用分析法寻找解决问题的突破口，然后用综合法来写出证明过程，有时候，分析法和综合法交替使用．

等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.

(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；

(2)设b n ＝S n

n

(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．

(1)解 由已知得???

a 1＝2＋1，

3a 1＋3d ＝9＋32，

所以d ＝2，

故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)，n ∈N *. (2)证明 由(1)得b n ＝S n

n

＝n ＋ 2.

假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ≠q ≠r )成等比数列，则b 2q ＝b p b r . 即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)． ∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0.

∵p ，q ，r ∈N *，∴?

????

q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，

∵(p ＋r 2)2

＝pr ，(p －r )2＝0，∴p ＝r 与p ≠r 矛盾．

所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列．

热点四 数学归纳法

例4 已知数列{a n }是各项均不为0的等差数列，S n 为其前n 项和，且满足S 2n －1＝12a 2

n ，n ∈N *，

数列{b n }满足b n ＝????

?

2n －1

，n 为奇数，12a n －1，n 为偶数，T n 为数列{b n }的前n 项和．

(1)求a n ，b n ；

(2)试比较T 2n 与2n 2＋n

3

的大小．

思维启迪 (1)利用{a n }的前n 项确定通项公式(公差、首项)，{b n }的通项公式可分段给出； (2)先求T n ，归纳猜想T n 与2n 2＋n

3的关系，再用数学归纳法证明．

解 (1)设{a n }首项为a 1，公差为d ，在S 2n －1＝1

2a 2n

中，

令n ＝1,2得????? a 21＝2S 1，a 22＝2S 3，即?????

a 21＝2a 1，

(a 1＋d )2

＝2(3a 1＋3d )，

解得a 1＝2，d ＝4，所以a n ＝4n －2.

所以b n ＝?

????

2n －

1，n 为奇数，

2n －3，n 为偶数.

(2)T 2n ＝1＋2×2－3＋22＋2×4－3＋24＋…＋22n －

2＋2×2n －3

＝1＋22＋24＋…＋22n －

2＋4(1＋2＋…＋n )－3n

＝1－4n 1－4＋4·n (n ＋1)2－3n ＝4n 3－1

3＋2n 2－n .

所以T 2n －(2n 2＋n 3)＝1

3(4n －4n －1)．

当n ＝1时，13(4n －4n －1)＝－1

3<0，

当n ＝2时，13(4n －4n －1)＝7

3>0，

当n ＝3时，13(4n －4n －1)＝51

3>0，…

猜想当n ≥2时，T 2n >2n 2＋n

3，

即n ≥2时，4n >4n ＋1. 下面用数学归纳法证明：

①当n ＝2时，42＝16,4×2＋1＝9,16>9，成立； ②假设当n ＝k (k ≥2)时成立，即4k >4k ＋1. 则当n ＝k ＋1时，4k ＋

1＝4·4k >4·(4k ＋1)

＝16k ＋4>4k ＋5＝4(k ＋1)＋1，

所以n ＝k ＋1时成立．

由①②得，当n ≥2时，4n >4n ＋1成立． 综上，当n ＝1时，T 2n <2n 2＋n

3，

当n ≥2时，T 2n >2n 2＋n

3

.

思维升华 在使用数学归纳法证明问题时，在归纳假设后，归纳假设就是证明n ＝k ＋1时的已知条件，把归纳假设当已知条件证明后续结论时，可以使用综合法、分析法、反证法．

已知f (n )＝1＋123＋133＋143＋…＋1n 3，g (n )＝32－1

2n

2，n ∈N *.

(1)当n ＝1,2,3时，试比较f (n )与g (n )的大小关系； (2)猜想f (n )与g (n )的大小关系，并给出证明． 解 (1)当n ＝1时，f (1)＝1，g (1)＝1， 所以f (1)＝g (1)，

当n ＝2时，f (2)＝98，g (2)＝11

8，所以f (2)

当n ＝3时，f (3)＝251216，g (3)＝312

216，

所以f (3)

(2)由(1)，猜想f (n )≤g (n )，下面用数学归纳法给出证明 ①当n ＝1,2,3时，不等式显然成立 ②假设当n ＝k (k ≥3)时不等式成立， 即1＋123＋133＋143＋…＋1k 3<32－1

2k 2，

那么，当n ＝k ＋1时，

f (k ＋1)＝f (k )＋1(k ＋1)3<32－12k 2＋1(k ＋1)3， 因为12(k ＋1)2－(12k 2－1(k ＋1)3) ＝k ＋32(k ＋1)3－1

2k 2 ＝

－3k －12(k ＋1)3k 2

<0.

所以f (k ＋1)<32－1

2(k ＋1)2＝g (k ＋1)，

即当n ＝k ＋1时，不等式成立．

由①②可知，对一切n ∈N *，都有f (n )≤g (n )成立．

1．合情推理的精髓是“合情”，即得到的结论符合“情理”，其中主要是归纳推理与类比推理．归纳推理是由部分得到整体的一种推理模式．类比推理是由此及彼的推理模式；演绎推理是一种严格的证明方式．

2．直接证明的最基本的两种证明方法是综合法和分析法，这两种方法也是解决数学问题时常见的思维方式．在实际解题时，通常先用分析法寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程．

3．数学归纳法是证明与正整数有关的数学命题的一种方法，在遇到与正整数有关的数学命题时，要考虑是否可以使用数学归纳法进行证明．

(1)在证明过程中突出两个“凑”字，即一“凑”假设，二“凑”结论，关键是在证明n＝k＋1时要用上n＝k时的假设，其次要明确n＝k＋1时证明的目标，充分考虑由n＝k到n＝k＋1时，命题形式之间的区别和联系，化异为同，中间的计算过程千万不能省略．

(2)注意“两个步骤、一个结论”一个也不能少，切忌忘记归纳结论．

真题感悟

1．(2014·福建)若集合{a，b，c，d}＝{1,2,3,4}，且下列四个关系：

①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4.有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，

d)的个数是________．

答案 6

解析由题意知①②③④中有且只有一个正确，其余三个均不正确，下面分类讨论满足条件的有序数组(a，b，c，d)的个数：(1)若①正确，即a＝1，则②③④都错误，即b＝1，c≠2，d ＝4.其中a＝1与b＝1矛盾，显然此种情况不存在；

(2)若②正确，即b≠1，则①③④都错误，即a≠1，c≠2，d＝4，则当b＝2时，有a＝3，c ＝1；当b＝3时，有a＝2，c＝1，此时有2种有序数组．

(3)若③正确，即c＝2，则①②④都错误，即a≠1，b＝1，d＝4，则a＝3，即此种情况有1种有序数组．

(4)若④正确，即d≠4，则①②③都错误，即a≠1，b＝1，c≠2，则当d＝2时，有a＝3，c ＝4或a＝4，c＝3，有2种有序数组；当d＝3时，有c＝4，a＝2，仅1种有序数组．

综上可得，共有2＋1＋2＋1＝6(种)有序数组．

2．(2014·陕西)观察分析下表中的数据：

答案 F ＋V －E ＝2

解析 观察F ，V ，E 的变化得F ＋V －E ＝2. 押题精练

1．圆周上2个点可连成1条弦，这条弦可将圆面划分成2部分；圆周上3个点可连成3条弦，这3条弦可将圆面划分成4部分；圆周上4个点可连成6条弦，这6条弦最多可将圆面划分成8部分．则n 个点连成的弦最多可把圆面分成________部分．( ) A ．2n －

1

B ．2n

C ．2n ＋

1

D ．2n ＋

2

答案 A

解析 由已知条件得：

由此可以归纳出，当点数为n 时，连成的弦数为n (n －1)2；弦把圆面分成的部分数为2n －

1，故

选A.

2．在计算“1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k 项，k (k ＋1)＝1

3[k (k ＋1)(k ＋2)－(k －1)k (k ＋1)]，

由此得1×2＝1

3(1×2×3－0×1×2)，

2×3＝1

3(2×3×4－1×2×3)，

…

n (n ＋1)＝1

3

[n (n ＋1)(n ＋2)－(n －1)n (n ＋1)]．

相加，得1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)＝1

3

n (n ＋1)(n ＋2)．

类比上述方法，计算“1×2×3＋2×3×4＋…＋n (n ＋1)(n ＋2)”的结果为____________．

答案 1

4

n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)

解析 类比k (k ＋1)＝1

3

[k (k ＋1)(k ＋2)－(k －1)k (k ＋1)]，

可得到k (k ＋1)(k ＋2)＝1

4[k (k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)－(k －1)k (k ＋1)(k ＋2)]，

先逐项裂项，然后累加即得1

4

n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)．

(推荐时间：50分钟)

一、选择题

1．下列推理是归纳推理的是( )

A ．A ，

B 为定点，动点P 满足|P A |＋|PB |＝2a >|AB |，则P 点的轨迹为椭圆 B ．由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式

C ．由圆x 2

＋y 2

＝r 2

的面积πr 2

，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1的面积S ＝πab

D ．以上均不正确 答案 B

解析 从S 1，S 2，S 3猜想出数列的前n 项和S n ，是从特殊到一般的推理，所以B 是归纳推理． 2．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10等于( ) A ．28 B ．76 C ．123 D ．199

答案 C

解析 观察可得各式的值构成数列1,3,4,7,11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．

继续写出此数列为1,3,4,7,11,18,29,47,76,123，…，第十项为123，即a 10＋b 10＝123. 3．已知x >0，观察不等式x ＋1x

≥2

x ·1x ＝2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4

x 2≥33x 2·x 2·4x 2

＝3，…，由此可得一般结论：x ＋a

x n ≥n ＋1(n ∈N *)，则a 的值为( )

A ．n n

B ．n 2

C ．3n

D ．2n

答案 A

解析 根据已知，续写一个不等式：

x ＋33x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋33

x 3≥44x 3·x 3·x 3·33x

3＝4，由此可得a ＝n n .故选A. 4．已知函数f (x )是R 上的单调增函数且为奇函数，数列{a n }是等差数列，a 3>0，则f (a 1)＋f (a 3)＋f (a 5)的值( ) A ．恒为正数 B ．恒为负数 C ．恒为0 D ．可正可负

答案 A

解析 由已知得f (0)＝0，a 1＋a 5＝2a 3>0， 所以a 1>－a 5.

由于f (x )单调递增且为奇函数， 所以f (a 1)＋f (a 5)>f (－a 5)＋f (a 5)＝0， 又f (a 3)>0，所以f (a 1)＋f (a 3)＋f (a 5)>0. 故选A.

5．在平面内点O 是直线AB 外一点，点C 在直线AB 上，若OC →＝λOA →＋μOB →

，则λ＋μ＝1；类似地，如果点O 是空间内任一点，点A ，B ，C ，D 中任意三点均不共线，并且这四点在同一平面内，若DO →＝xOA →＋yOB →＋zOC →

，则x ＋y ＋z 等于( ) A ．0 B ．－1 C ．1 D ．±1

答案 B

解析 在平面内，由三角形法则， 得AB →＝OB →－OA →，BC →＝OC →－OB →. 因为A ，B ，C 三点共线，

所以存在实数t ，使AB →＝tBC →，即OB →－OA →＝t (OC →－OB →

)， 所以OC →＝－1t OA →＋(1t

＋1)OB →

.

因为OC →＝λOA →＋μOB →

，所以λ＝－1t ，μ＝1t ＋1，

所以λ＋μ＝1.

类似地，在空间内可得OD →＝λOA →＋μOB →＋ηOC →

，λ＋μ＋η＝1. 因为DO →＝－OD →

，所以x ＋y ＋z ＝－1.故选B.

6．已知f (n )＝32n ＋

2－8n －9，存在正整数m ，使n ∈N *时，能使m 整除f (n )，则m 的最大值为

( ) A ．24

B ．32

C ．48

D ．64

答案 D

解析 由f (1)＝64，f (2)＝704＝11×64，f (3)＝6 528＝102×64， 所以f (1)，f (2)，f (3)均能被64整除，猜想f (n )能被64整除． 下面用数学归纳法证明： ①当n ＝1时，由上得证；

②假设当n ＝k (k ∈N *)时，f (k )＝32k ＋

2－8k －9＝9k ＋

1－8k －9能被64整除，

则当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝9(k

＋1)＋1

－8(k ＋1)－9＝9×9k ＋

1－8k －17＝9f (k )＋64(k ＋1)．

由归纳假设，f (k )是64的倍数，又64(k ＋1)是64的倍数，所以f (k ＋1)能被64整除，所以当n ＝k ＋1时，猜想也成立． 因为f (1)不能被大于64的数整除， 所以所求m 的最大值等于64.故选D. 二、填空题

7．如图所示的是由火柴棒拼成的一列图形，第n 个图形由n 个正方形组成，

通过观察可以发现第4个图形中，火柴棒有________根；第n 个图形中，火柴棒有________根．

答案 13,3n ＋1

解析 易得第四个图形中有13根火柴棒，通过观察可得，每增加一个正方形，需增加三根火柴棒，所以第n 个图形中的火柴棒为4＋3(n －1)＝3n ＋1.

8．平面内有n 条直线，最多可将平面分成f (n )个区域，则f (n )的表达式为________． 答案 n 2＋n ＋22

解析 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……，n 条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝1＋n (n ＋1)2＝n 2＋n ＋2

2

个区域．

9．(2014·课标全国Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市． 由此判断乙去过的城市为________．

答案 A

解析 由题意可推断：甲没去过B 城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A ，C 城市，而乙“没去过C 城市”，说明乙去过城市A ，由此可知，乙去过的城市为A.

10．对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23???

3

5，33?????

7911

，

43

?????

13

15

1719

，….仿此，若m 3的“分裂数”中有一个是59，则m ＝________.

答案 8

解析 由已知可观察出m 3可分裂为m 个连续奇数，最小的一个为(m －1)m ＋1.当m ＝8时，最小的数为57，第二个便是59.所以m ＝8. 三、解答题

11．已知a ，b ，m 为非零实数，且a 2＋b 2＋2－m ＝0，1a 2＋4

b 2＋1－2m ＝0.

(1)求证：1a 2＋4b 2≥9

a 2＋

b 2；

(2)求证：m ≥7

2

.

证明 (1)(分析法)要证1a 2＋4b 2≥9

a 2＋

b 2成立，

只需证(1a 2＋4

b 2)(a 2＋b 2)≥9，

即证1＋4＋b 2a 2＋4a 2

b 2≥9，

即证b 2a 2＋4a 2

b

2≥4.

根据基本不等式，有b 2a 2＋4a 2

b 2≥2

b 2a 2·4a 2

b 2

＝4成立， 所以原不等式成立．

(2)(综合法)因为a 2＋b 2＝m －2，1a 2＋4

b 2＝2m －1，

由(1)，知(m －2)(2m －1)≥9， 即2m 2－5m －7≥0， 解得m ≤－1或m ≥7

2.

又∵a 2＋b 2＝m －2>0

∴m >2,故m ≤－1舍去， ∴m ≥72

.

12．若不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>a

24对一切正整数n 都成立，求正整数a 的最大值，并

证明结论．

解 方法一 当n ＝1时，11＋1＋11＋2＋13＋1>a

24，

即2624>a

24

，所以a <26. 而a 是正整数，所以取a ＝25， 下面用数学归纳法证明 1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>2524. ①当n ＝1时，已证得不等式成立． ②假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立， 即

1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1>25

24

. 则当n ＝k ＋1时， 有1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋1

3(k ＋1)＋1

＝

1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4－1k ＋1>2524＋[13k ＋2＋13k ＋4－2

3(k ＋1)

]． 因为13k ＋2＋13k ＋4－23(k ＋1)

＝

6(k ＋1)(3k ＋2)(3k ＋4)－2

3(k ＋1)

＝18(k ＋1)2－2(9k 2＋18k ＋8)(3k ＋2)(3k ＋4)(3k ＋3)

＝

2

(3k ＋2)(3k ＋4)(3k ＋3)

>0，

所以当n ＝k ＋1时不等式也成立．

由①②知，对一切正整数n ，都有1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>25

24，

所以正整数a 的最大值为25.

方法二 设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1

3n ＋1

则f (n ＋1)－f (n )＝13n ＋2＋13n ＋3＋13n ＋4－1

n ＋1

＝

13n ＋2＋13n ＋4－23n ＋3＝2

(3n ＋2)(3n ＋4)(3n ＋3)

>0， ∴数列{f (n )}为递增数列， ∴f (n )min ＝f (1)＝12＋13＋14＝26

24，

∴

1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋13n ＋1>a 24

对一切正整数n 都成立可转化为a 24

∴a <26.

故正整数a 的最大值为25.

推理与证明

推理与证明 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

第3讲推理与证明 【知识要点】 1.归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理 2．类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质。类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。3．类比推理的一般步骤： ①找出两类事物之间的相似性或者一致性。 ②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想） 【典型例题】 1、（2011江西）观察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，则72011的末两位数字为 （） A、01 B、43 C、07 D、49 2、（2011江西）观察下列各式：55=3125，56=15625，57=78125，…，则52011的末四位数字为（） A、3125 B、5625 C、0625 D、8125 3、（2010临颍县）平面内平行于同一条直线的两条直线平行，由此类比思维，我们可以得到（） A、空间中平行于同一平面的两个平面平行 B、空间中平行于同一条直线的两条直线平行 C、空间中平行于同一条平面的两条直线平行 D、空间中平行于同一条直线的两个平面平行

4、（2007广东）设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a，b∈S，对于有序元素对（a，b），在S中有唯一确定的元素与之对应）有a* （b*a）=b，则对任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是（） A、（a*b）*a=a B、[a*（b*a）]*（a*b）=a C、b*（b*b）=b D、（a*b）*[b*（a*b）]=b 5、（2007广东）如图是某汽车维修公司的维修点环形分布图．公司在 年初分配给A，B，C，D四个维修点某种配件各50件．在使用前发 现需将A，B，C，D四个维修点的这批配件分别调整为40，45， 54，61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调 整，最少的调动件次（n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n）为（） A、15 B、16 C、17 D、18 6、（2006陕西）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a+2b，2b+c，2c+3d，4d，例如，明文1，2，3， 4对应密文5，7，18，16．当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为（） A、4，6，1，7 B、7，6，1，4 C、6，4，1，7 D、1，6，4，7 7、（2006山东）定义集合运算：A⊙B={z︳z=xy（x+y），x∈A，y∈B}，设集合A={0， 1}，B={2，3}，则集合A⊙B的所有元素之和为（） A、0 B、6 C、12 D、18 8、（2006辽宁）设⊕是R上的一个运算，A是V的非空子集，若对任意a，b∈A，有a⊕b ∈A，则称A对运算⊕封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于零）四则运算都封闭的是（）

高考真题分类汇编——推理与证明 (5)

高考真题分类汇编——推理与证明 合情推理与演绎推理 1．[2014·北京卷] 学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有() A．2人B．3人C．4人D．5人 答案：B 2．[2014·北京卷] 对于数对序列P：(a1，b1)，(a2，b2)，…，(a n，b n)，记 T1(P)＝a1＋b1，T k(P)＝b k＋max{T k－1(P)，a1＋a2＋…＋a k}(2≤k≤n)， 其中max{T k－1(P)，a1＋a2＋…＋a k}表示T k－1(P)和a1＋a2＋…＋a k两个数中最大的数． (1)对于数对序列P：(2，5)，(4，1)，求T1(P)，T2(P)的值； (2)记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对(a，b)，(c，d)组成的数对序列P：(a，b)，(c，d)和P′：(c，d)，(a，b)，试分别对m＝a和m＝d两种情况比较T2(P)和T2(P′)的大小； (3)在由五个数对(11，8)，(5，2)，(16，11)，(11，11)，(4，6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5(P)最小，并写出T5(P)的值．(只需写出结论) 解：(1)T1(P)＝2＋5＝7， T2(P)＝1＋max{T1(P)，2＋4}＝1＋max{7，6}＝8. (2)T2(P)＝max{a＋b＋d，a＋c＋d}， T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}． 当m＝a时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋d＋b. 因为a＋b＋d≤c＋b＋d，且a＋c＋d≤c＋b＋d，所以T2(P)≤T2(P′)． 当m＝d时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋a＋b. 因为a＋b＋d≤c＋a＋b，且a＋c＋d≤c＋a＋b，所以T2(P)≤T2(P′)． 所以无论m＝a还是m＝d，T2(P)≤T2(P′)都成立． (3)数对序列P：(4，6)，(11，11)，(16，11)，(11，8)，(5，2)的T5(P)值最小， T1(P)＝10，T2(P)＝26，T3(P)＝42，T4(P)＝50，T5(P)＝52. 3.[2014·福建卷] 若集合{a，b，c，d}＝{1，2，3，4}，且下列四个关系： ①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是________． 答案：6 解析：若①正确，则②③④不正确，可得b≠1不正确，即b＝1，与a＝1矛盾，故①不正确； 若②正确，则①③④不正确，由④不正确，得d＝4；由a≠1，b≠1，c≠2，得满足条件的有序数组为a＝3，b＝2，c＝1，d＝4或a＝2，b＝3，c＝1，d＝4. 若③正确，则①②④不正确，由④不正确，得d＝4；由②不正确，得b＝1，则满足条件的有序数组为a＝3，b＝1，c＝2，d＝4； 若④正确，则①②③不正确，由②不正确，得b＝1，由a≠1，c≠2，d≠4，得满足条件的有序数组为a＝2，b＝1，c＝4，d＝3或a＝3，b＝1，c＝4，d＝2或a＝4，b＝1，c＝3，d＝2； 综上所述，满足条件的有序数组的个数为6. 3.[2014·广东卷] 设数列{a n}的前n项和为S n，满足S n＝2na n＋1－3n2－4n，n∈N*，且S3

广东省2016年高考生物试题及答案(Word版)

广东省2016年高考生物试题及答案 （全卷满分90分.时间40分） 第I卷 一. 选择题：本题共6小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的 1. 下列与细胞相关的叙述，正确的是 A．核糖体、溶酶体都是具有膜结构的细胞器 B．酵母菌的细胞核内含有DNA和RNA两类核酸 C．蓝藻细胞的能量来源于其线粒体有氧呼吸过程 D．在叶绿体中可进行CO2的固定但不能合成ATP 2. 离子泵是一张具有ATP水解酶活性的载体蛋白，能利用水解ATP释放的呢量跨膜运输离子。 下列叙述正确的是 A．离子通过离子泵的跨膜运输属于协助扩散 B．离子通过离子泵的跨膜运输是顺着浓度阶梯进行的 C．动物一氧化碳中毒会降低离子泵跨膜运输离子的速率 D．加入蛋白质变性剂会提高离子泵跨膜运输离子的速率3 3. 若除酶外所有试剂均已预保温，则在测定酶活力的试验中，下列操作顺序合理的是 A．加入酶→加入底物→加入缓冲液→保温并计时→一段时间后检测产物的量 B．加入底物→加入酶→计时→加入缓冲液→保温→一段时间后检测产物的量 C．加入缓冲液→加入底物→加入酶→保温并计时→一段时间后检测产物的量 D．加入底物→计时→加入酶→加入缓冲液→保温并计时→一段时间后检测产物的量4 4. 下列与神经细胞有关的叙述，错误的是 A．ATP能在神经元线粒体的内膜上产生 B．神经递质在突触间隙中的移动消耗ATP C．突触后膜上受蛋白体的合成需要消耗ATP D．神经细胞兴奋后恢复为静息状态消耗ATP 5. 在漫长的历史时期内，我们的祖先通过自身的生产和生活实践，积累了对生态方面的感性认识和 经验，并形成了一些生态学思想，如：自然与人和谐统一的思想。根据这一思想和生态学知识，下列说法错误的是 1

苏教版数学高二-2.1素材 《合情推理与演绎证明》文字素材1

高考中的类比推理 大数学家波利亚说过：“类比是某种类型的相似性，是一种更确定的和更概念性的相似。”应用类比的关键就在于如何把关于对象在某些方面一致性说清楚。类比是提出新问题和作出新发现的一个重要源泉，是一种较高层次的信息迁移。 例1 半径为r 的圆的面积2 )(r r S ?=π，周长r r C ?=π2)(，若将r 看作),0(+∞上的变量，则r r ?=?ππ2)'(2， ①，①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R 的球，若将R 看作),0(+∞上的变量，请你写出类似于①的式子：_________________，②，②式可用语言叙述为___________. 解：由提供的形式找出球的两个常用量体积、表面积公式，类似写出恰好成立， ,3 4)(3R R V π=24)(R r S π=. 答案：①)'3 4(3R π.42R π= ②球的体积函数的导数等于球的表面积函数。 点评：主要考查类比意识考查学生分散思维，注意将圆的面积与周长与球的体积与表面积进行类比 例2 在等差数列｛a n ｝中，若a 10=0，则有等式a 1＋a 2＋……＋a n =a 1＋a 2＋……＋a 19－n （n ＜19，n ∈N *）成立。类比上述性质，相应地：在等比数列｛b n ｝中，若b 9=1，则有等式 成立。 分析：这是由一类事物（等差数列）到与其相似的一类事物（等比数列）间的类比。在等差数列｛a n ｝前19项中，其中间一项a 10=0，则a 1＋a 19= a 2＋a 18=……= a n ＋a 20－n = a n ＋1＋a 19－n =2a 10=0，所以a 1＋a 2＋……＋a n ＋……＋a 19=0，即a 1＋a 2＋……＋a n =－a 19－a 18－…－a n ＋1，又∵a 1=－a 19， a 2=－a 18，…，a 19－n =－a n ＋1，∴ a 1＋a 2＋……＋a n =－a 19－a 18－…－a n ＋1= a 1＋a 2＋…＋a 19－n 。相似地，在等比数列｛b n ｝的前17项中，b 9=1为其中间项，则可得b 1b 2…b n = b 1b 2…b 17－n （n ＜17，n ∈N * ）。 例3 在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB 、AC 互相垂直，则AB 2＋AC 2= BC 2。”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得到的正确结论是：“设三棱锥A —BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两相互垂直，则 ________________”。 分析：这是由低维（平面）到高维（空间）之间的类比。三角形中的许多结论都可以类比到三棱锥中（当然必须经过论证其正确性），像直角三角形中的勾股定理类比到三侧面两两垂直的三棱锥中，则有S △ABC 2＋S △ACD 2＋S △ADB 2= S △BCD 2。需要指出的是，勾股定理的证明也可进行类比。如在Rt △ABC 中，过A 作AH ⊥BC 于H ，则由AB 2=BH ·BC ，AC 2=CH ·BC 相加即得AB 2＋AC 2=BC 2；在三侧面两两垂直的三棱锥A —BCD 中，过A 作AH ⊥平面BCD 于H ，类似地由S △ABC 2=S △HBC ·S △BCD ，S △ACD 2=S △HCD ·S △BCD ，S △ADB 2=S △HDB ·S △BCD 相加即得S △ABC 2＋S △ACD 2＋S △ADB 2= S △BCD 2。

推理与证明(教案)

富县高级中学集体备课教案 年级：高二科目：数学授课人：授课时间：序号：第节课题第三章§1.1 归纳推理第 1 课时 教学目标1、掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。 2、通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。 3、感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。 重点归纳推理及方法的总结中心 发言 人王晓君 难点归纳推理的含义及其具体应用 教具课型新授课课时 安排 1课 时 教法讲练结合学法归纳总结个人主页 教学过程 教一、原理初探 ①引入：“阿基米德曾对国王说，给我一个支点，我将撬起整个地球！” ②提问：大家认为可能吗？他为何敢夸下如此海口？理由何在？ ③探究：他是怎么发现“杠杆原理”的？ 正是基于这两个发现，阿基米德大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“杠杆原理”。 ④思考：整个过程对你有什么启发？ ⑤启发：在教师的引导下归纳出：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。 二、新课学习 1、哥德巴赫猜想 哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想: (a) 任何一个≥6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。 (b) 任何一个≥9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。这就是着名的哥德巴赫猜想200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法观察猜想证明 归纳推理的发展过程

2016年广东高考满分作文精选

2016高考满分作文：分数不是衡量孩子的唯一标准 我看到这样一则引人深思的漫画：第一幅图中一个满脸笑意的孩子拿着一张100分的卷子，颊上是他父母鼓励的唇印，与之形成鲜明对比的另一个拿着一张55分卷子的孩子，他愁苦的脸上巴掌印触目惊心;而第二幅图中，那个曾考100分的孩子只考了98分，脸上也因此添了一道巴掌印，另一个孩子却因为这次考了61分而获得了父母的吻。 这则漫画反映了如今家长对孩子成绩过于关注的现状“一个孩子无论成绩好坏，退步了就打，进步了就夸，仿佛那白卷子上鲜红的数字就是衡量他的唯一标准，仿佛那冷冰冰的成绩就是孩子的一切，我理解父母们望子成龙、望女成凤的心态，但我认为，他们这种过度关注孩子成绩的“唯成绩”主义不利于孩子的健康发展。 私以为，如今的孩子已不及昔日的孩子快乐，而越来越大的学业压力是一个极重要的原因。家长们将太多的期望寄予孩子，他们严苛的要求成了残酷的枷锁，将孩子牢牢捆绑在童年那绚丽的梦境之外。我知道很多孩子，他们一考不好就担惊受怕，生怕回到家里会经受父母“狂风暴雨”的洗礼。他们一想到考试就不寒而栗。他们的快乐童年已支离破碎，从来就只存在于记忆中遥不可及的一隅。的确，他们都是漫画中的孩子，无论55分还是98分，只要未到标准，便被家长呵斥。笔者曾听过这样一句话：“你折断了我的翅膀，却怪我不会飞翔。”漫画中的家长用他们对“分”的严厉要求折断了孩子的翅膀，当“分”真正成为了孩子的“命根”，孩子早已失去了自由翱翔的能力。 然而，事实证明，分数的确不是评价孩子的唯一标准，善良、勇敢、责任心等等，也许是比智力更聪明更为宝贵的品质。同样，分数的高低并不一定代表着孩子以后的成就大小。中学时成绩平平的马云，却成为了今日的互联网大亨;科举屡屡不中的柳永，却在“浅斟低唱”中为后人留下了凄婉动人的词句。 所以，笔者恳请家长们，别让自己的孩子成为漫画中的孩子，别让他们在分数中迷失自己，希望家长们除了关注孩子的成绩，也要关注他们的其他方面，让他们均衡、全面、快乐地成长。 要知道，一个孩子无论考了55分、61分、98分、还是100分，都值得他的父母，在他脸上留下爱的一吻。但愿漫画中孩子的不幸更少地在我们身边的孩子身上复制! 点评： 一、观点鲜明，有重点有分寸。 文章的开头，用了占全文不足六分之一的篇幅，全面、准确地介绍漫画内容，为中心论点的阐述、展开打下坚实的基础。接着，扼要点明了对漫画寓意的理解，提出“‘唯成绩’主义不利于孩子的健康成长”的见解，文章由此展开。从题目到文中多处的论述可以看出，作者并未像相当多的考生那样，片面否定分数的重要性，而是在立场鲜明的同时，做到讲分寸、有弹性，彰显了作者深刻的思辨能力。 二、内容详实，有感情有层次。 本文与众不同之处，是能够用饱含情感的笔触，阐述“如今的孩子已不及昔日的孩子快乐”的现象并分析原因，议论文中具有本文这种能感动读者的文段的，实不多见。“你折断了我的翅膀，却怪我不会飞翔”的语句令人动容、引人深思。文章就此从“就事论事”的层次进入“因事说理”的层次，提出“分数”之外“善良、勇敢、责任心”等评价标准;进一步提出“分数的高低并不一定代表着孩子以后成就的大小”，举例虽少，但极为典型有说服力。 文章结尾表达期望，点到即止，有荡气回肠之感。 当然，本文也有三点可以提高的地方：

(整理)合情推理和演绎推理》.

第十七章推理与证明 ★知识网络★ 第1讲合情推理和演绎推理 ★知识梳理★ 1.推理 根据一个或几个事实(或假设)得出一个判断,这种思维方式叫推理. 从结构上说,推理一般由两部分组成,一部分是已知的事实(或假设)叫做前提,一部分是由已知推出的判断,叫结论. 2、合情推理: 根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出的推理叫合情推理。 合情推理可分为归纳推理和类比推理两类： （1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理 （2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。 3.演绎推理: 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。三段论是演绎推理的一般模式，它包括：（1）大前提---已知的一般原理；（2）小前提---所研究的特殊情况；（3）结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断。 ★重难点突破★ 重点:会用合情推理提出猜想,会用演绎推理进行推理论证,明确合情推理与演绎推理的区别与联系

难点:发现两类对象的类似特征、在部分对象中寻找共同特征或规律 重难点：利用合情推理的原理提出猜想，利用演绎推理的形式进行证明 1、归纳推理关键是要在部分对象中寻找共同特征或某种规律性 问题1<；…. 对于任意正实数,a b ≤成立的一个条件可以是 ____. 点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22，故22=+b a 2、类比推理关键是要寻找两类对象的类似特征 问题2：已知抛物线有性质：过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于A 、B 两点，则当AB 与抛物线的对称轴垂直时，AB 的长度最短；试将上述命题类比到其他曲线，写出相应的一个真命题为 ． 点拨：圆锥曲线有很多类似性质，“通径”最短是其中之一，答案可以填：过椭圆的焦点作一 直线与椭圆交于A 、B 两点，则当AB 与椭圆的长轴垂直时，AB 的长度最短（22 2||a b AB ≥） 3、运用演绎推理的推理形式(三段论)进行推理 问题3：定义[x]为不超过x 的最大整数，则[-2.1]= 点拨：“大前提”是在],(x -∞找最大整数，所以[-2.1]=-3 ★热点考点题型探析★ 考点1 合情推理 题型1 用归纳推理发现规律 [例1 ] 通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。 2 3135sin 75sin 15sin 020202= ++；23150sin 90sin 30sin 0 20202=++； 23165sin 105sin 45sin 020202=++；23 180sin 120sin 60sin 020202=++ 【解题思路】注意观察四个式子的共同特征或规律（1）结构的一致性,（2）观察角的“共性” [解析]猜想：2 3 )60(sin sin )60(sin 0 2202= +++-ααα 证明：左边=2 00 2 2 00 )60sin cos 60cos (sin sin )60sin cos 60cos (sin ααααα+++- = 2 3 )cos (sin 2322=+αα=右边 【名师指引】（1）先猜后证是一种常见题型 （2）归纳推理的一些常见形式：一是“具有共同特征型”，二是“递推型”，三是“循环型”（周期性） [例2 ] (09深圳九校联考) 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂 巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂 巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图

2021届高考数学一轮复习《算法初步、推理与证明、复数》测试卷及答案解析

2021届高考数学一轮复习测试卷 算法初步、推理与证明、复数 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．适合2i ()i x x y -=-的实数x ，y 的值为（ ） A ．0=x ，2=y B ．0=x ，2-=y C ．2=x ，2=y D ．2=x ，0=y 2．将2019化为二进制数是（ ） A ．211111100011（） B ．21111100001（） C ．2111111000011（） D ．21111100111（） 3．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高． 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（ ） A ．甲、乙、丙 B ．乙、甲、丙 C ．丙、乙、甲 D ．甲、丙、乙 4．当2 53 m - <<时，复数(32)(5)i z m m =++-在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 第二象限 第三象限 D ．第四象 5．该边程序运行结果为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 6．已知数列11， 21，12，31，22，13，41，32，23，14 ，依它的前10项的规律，这个数列的第2019项2019a 满足（ ） A ．2019110a ≤≤ B ．201910a > C ．20191010 a << D ． 20191 110 a ≤< 7．已知i 为虚数单位，则复数37i i z +=的实部与虚部分别为（ ） A ．7，3- B ．7，3i - C ．7-，3 D ．7-，3i 8．“二进制”来源于我国古代的《易经》，该书中有两类最基本的符号：“一”和“一一”，其中“一”在二进制中记作“1”，“—一”在二进制中记作“0”，例如二进制数(2)1011化为十进制的计算如下： 3210(2)(10)10111202121211=?+?+?+?=，若从两类符号中任取2个符号进行排列，则得到的 二进制数所对应的十进制数大于2的概率为（ ） A ．0 B ． 1 2 C ． 13 D ． 14 9．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：222 233=，33 3388 =，444 41515=5552424=则按照以上规律，若88 88n n =具有“穿墙术”，则n =（ ） A ．35 B ．48 C ．63 D ．80 10．已知复数2 i(3i) z =-，i 为虚数单位，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 11．秦九韶算法01(1,2,)n k k n k V a k n V V x a --=?=???? =+?是将求n 次多项式11()n n n n f x a x a x --=++ 2210a x a x a +++的值转化为求n 个一次多项式的值．已知7632()2341f x x x x x =-+-+，求 (2)f ，那么4V =（ ）

专题19 推理与证明

精锐教育学科教师辅导讲义

(2)直接证明与间接证明主要渗透到其他知识板块中，要注意在复习相应的板块时，培养选择合理证明方法的能力． 四、知识讲解 第一节 归纳与类比 （一）高考目标 1．了解归纳与类比的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解归纳与类比在数学发现中的作用． 2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理． 3．了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异． 考向预测 1．考查的重点是对合情推理和演绎推理的理解及应用． 2．主要是以选择题和填空题的形式出现，难度不大，多以中低档题为主． （二）课前自主预习 知识梳理 1．根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该事物中每一个都有这种属性，这种推理方式称为 2．根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，这种推理过程称为 3．归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理；类比推理是两类事物特征之间的推理． 归纳推理和类比推理是最常见的合情推理． （三）、基础自测 1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2 a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2、a 3、a 4，猜想a n ＝( ) A. 2n ＋ 2 B. 2n n ＋ C.22n －1 D.2 2n －1 [答案] B [解析] 由S n ＝n 2a n 知S n ＋1＝(n ＋1)2 a n ＋1 ∴S n ＋1－S n ＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2 a n ∴a n ＋1＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2 a n ，∴a n ＋1＝ n n ＋2 a n (a ≥2)， 当n ＝2时，S 2＝4a 2，又S 2＝a 1＋a 2，∴a 2＝a 13 ＝1 3 ， a 3＝24a 2＝16，a 4＝35 a 3＝110 . 由a 1＝1，a 2＝13，a 3＝16，a 4＝1 10， 猜想a n ＝2 n n ＋ ，故选B. 2．利用归纳推理推断，当n 是自然数时，18 (n 2－1)[1－(－1)n ]的值( ) A ．一定是零 B ．不一定是整数 C ．一定是偶数 D ．是整数但不一定是偶数 [答案] C [解析] 当n ＝1时，值为0；当n ＝2时，值为0；当n ＝3时，值为2；当n ＝4时，值为0；当n ＝5时，值为6.

2016年高考广东英语高考真题

2016英语试题 Ⅰ. 语言知识及应用(共两节。满分45分) 第一节完形填空(共15小题；每小题2分，满分30分) 阅读下面短文，掌握其大意，然后从1~15各题所给的A、B、C和D项中，选出最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。 Robby was 11 years old when his mother dropped him off for his first piano lesson. I 1 that students begin at an earlier age, which I explained to Robby, but Robby said that it had been his mother’s 2 to hear him play the piano. So I took him as a student. Hard as Robby tried, he 3 the basic sense of music. However, he persisted, and at the end of each weekly 4 , he always said, “ My mom’s going to hear me play some day.” But it seemed 5 . He just did not have any inborn (天生的) ability. I only knew his mother from a distance as she 6 Robby off or waited in her old car to pick him up. She always 7 and smiled but never visited my class. Then one day Robby stopped coming to our lessons. He telephoned me and said his mother was 8 . Several weeks later I was preparing my students for the upcoming recital (独奏会) when Robby came and asked me if he could be in the recital. “Miss Hondorf… I’ve just got to9 !” he insisted. The night for the recital came. The high school gymnasium was packed with parents, friends and relatives. The recital went off well. 10 Robby came up on stage. I was 11 when he announced that he had chosen Mozart’s Concerto (协奏曲) No. 21 in C Major. I was not prepared for what I heard next. His fingers were light on the keys. He played so 12 that everyone rose to applaud him. In tears I ran up on 13 . “Oh! Robby! How did you do it?” “Well, Miss Hondorf… I kept on practicing at home. Remember I told you my mom was sick? Well, 14 she had cancer and passed away this morning. And well…she was born deaf, so tonight was the15 time she ever heard me play…” 1. A. prefer B. imagine C. suppose D. wish 2. A. plan B. belief C. need D. dream 3. A. held B. lacked C. hid D. showed 4. A. seminar B. lesson C. test D. show 5. A. meaningless B. senseless C. useless D. hopeless 6. A. put B. saw C. dropped D. sent 7. A. waved B. waited C. jumped D. left

专题十二 推理与证明第三十二讲 推理与证明答案

专题十二 推理与证明 第三十二讲 推理与证明 答案部分 2019年 1.解析：由题意，可把三人的预测简写如下： 甲：甲乙． 乙：丙乙且丙甲． 丙：丙乙． 因为只有一个人预测正确， 如果乙预测正确，则丙预测正确，不符合题意． 如果丙预测正确，假设甲、乙预测不正确， 则有丙乙，乙甲， 因为乙预测不正确，而丙乙正确，所以只有丙甲不正确， 所以甲丙，这与丙乙，乙甲矛盾．不符合题意． 所以只有甲预测正确，乙、丙预测不正确， 甲乙，乙丙． 故选A ． 2010-2018年 1．B 【解析】解法一 因为ln 1x x -≤(0x >)，所以1234123ln()a a a a a a a +++=++ 1231a a a ++-≤，所以41a -≤，又11a >，所以等比数列的公比0q <． 若1q -≤，则2 12341(1)(10a a a a a q q +++=++） ≤， 而12311a a a a ++>≥，所以123ln()0a a a ++>， 与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾， 所以10q -<<，所以2131(1)0a a a q -=->，2 241(1)0a a a q q -=-<， 所以13a a >，24a a <，故选B ． 解法二 因为1x e x +≥，1234123ln()a a a a a a a +++=++，

所以1234 12312341a a a a e a a a a a a a +++=++++++≥，则41a -≤， 又11a >，所以等比数列的公比0q <． 若1q -≤，则2 12341(1)(10a a a a a q q +++=++） ≤， 而12311a a a a ++>≥，所以123ln()0a a a ++> 与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾， 所以10q -<<，所以2131(1)0a a a q -=->，2 241(1)0a a a q q -=-<， 所以13a a >，24a a <，故选B ． 2．D 【解析】解法一 点(2,1)在直线1x y -=上，4ax y +=表示过定点(0,4)，斜率为a -的直线，当0a ≠时，2x ay -=表示过定点(2,0)， 斜率为1 a 的直线，不等式2x ay -≤表示的区域包含原点，不等式4ax y +>表示的区域不包含原点．直线4ax y +=与直线2x ay -=互相垂直，显然当直线4ax y +=的斜率0a ->时，不等式4ax y +>表示的区域不包含点(2,1)，故排除A ；点(2,1)与点(0,4)连线的斜率为3 2 - ，当32a -<-，即3 2 a >时，4ax y +>表示的区域包含点(2,1)，此时2x ay -<表示的 区域也包含点(2,1)，故排除B ；当直线4ax y +=的斜率32a -=-，即3 2 a =时， 4ax y +>表示的区域不包含点(2,1)，故排除C ，故选D ． 解法二 若(2,1)A ∈，则21422 a a +>?? -?≤，解得32a >，所以当且仅当3 2a ≤时， (2,1)A ?．故选D ． 3．D 【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁一人优秀一人良好，乙 看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果，故选D ． 4．A 【解析】n S 表示点n A 到对面直线的距离（设为n h ）乘以1n n B B +长度一半，即 11 2 n n n n S h B B += ，由题目中条件可知1n n B B +的长度为定值，那么我们需要知道n h 的关系式，过1A 作垂直得到初始距离1h ，那么1,n A A 和两个垂足构成了等腰梯形，那么

选修2-2第一章推理与证明练习题

推理与证明过关检测试题 1.考察下列一组不等式： ,5252522233?+?>+ ,5252523344?+?>+ ,525252322355?+?>+.将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等 式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是 . 2．已知数列{}n a 满足12a =，111n n n a a a ++=-（*n ∈N ），则3a 的值为 ， 1232007 a a a a ????的值为 ． 3. 已知2() (1),(1)1()2f x f x f f x += =+ *x N ∈（），猜想(f x ）的表达式为（ ） A.4()22x f x =+； B.2()1f x x =+； C.1()1f x x =+； D.2 ()21 f x x =+. 4. 某纺织厂的一个车间有技术工人m 名（m N *∈），编号分别为1、2、3、……、m ，有n 台（n N * ∈）织布机，编号分别为1、2、3、……、n ，定义记号i j a ：若第i 名工人操作了第j 号织布机，规定1i j a =， 否则0i j a =，则等式41424343n a a a a +++ +=的实际意义是（ ） A 、第4名工人操作了3台织布机； B 、第4名工人操作了n 台织布机； C 、第3名工人操作了4台织布机； D 、第3名工人操作了n 台织布机. 5. 已知* 111()1()23f n n N n =++++∈，计算得3(2)2f =，(4)2f >，5(8)2f >，(16)3f >， 7 (32)2 f >，由此推测：当2n ≥时，有 6. 观察下图中各正方形图案，每条边上有(2)n n ≥个圆圈，每个图案中圆圈的总数是n S ，按此规律推出：当2n ≥时，n S 与n 的关系式 24n S == 38n S == 412n S == 7.观察下式：1=12 ，2+3+4=32 ，3+4+5+6+7=52 ，4+5+6+7+8+9+10=72 ，…，则可得出一般结论： . 8.函数()f x 由下表定义： 若05a =，1()n n a f a +=，0,1,2,n =，则2007a = ． 9.在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 第二件首饰是由6颗珠宝构成如图1所示的正六边形, 第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形, 第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形, 第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形, 以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,使它构成更大的正六边形,依此推断第6件首饰上应有_______颗珠宝;则前n 件首饰所用珠宝总数为_ 颗.(结果用n 表示) ……

推理与证明练习题汇编

合情推理与演绎推理 1．下列说法正确的是 （ ） A.类比推理是由特殊到一般的推理 B.演绎推理是特殊到一般的推理 C.归纳推理是个别到一般的推理 D.合情推理可以作为证明的步骤 2．下面使用类比推理结论正确的是 ( ) A ．“若33a b ?=?,则a b =”类推出“若00a b ?=?,则a b =”； B ．“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ?=?”； C ．“若()a b c ac bc +=+” 类推出“a b a b c c c +=+ （c ≠0）”； D ．“n n a a b =n （b ）” 类推出“n n a a b +=+n （b ）” 3、下面几种推理是合情推理的是（ ） （1）由正三角形的性质，推测正四面体的性质； （2）由平行四边形、梯形内角和是360?，归纳出所有四边形的内角和都是360?； （3）某次考试金卫同学成绩是90分，由此推出全班同学成绩都是90分； （4）三角形内角和是180?，四边形内角和是360?，五边形内角和是540?， 由此得凸多边形内角和是()2180n -? A ．（1）（2） B ．（1）（3） C ．（1）（2）（4） D ．（2）（4） 4．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→ 明文（解密）.已知加密规则为：明文,,,a b c d 对应密文2,2,23,4a b b c c d d +++， 例如，明文1,2,3,4，对应密文5,7,18,16，当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密 得到的明文为（ ） A ．4,6,1,7 B ．7,6,1,4 C ．6,4,1,7 D ．1,6,4,7 5.观察以下各式：???=++++++=++++=++=;710987654;576543,3432;112 222， 你得到的一般性结论是______________________________________________________. 6、在十进制中01232004410010010210=?+?+?+?，那么在5进制中数码2004 折合成十进制为 （ ） A.29 B. 254 C. 602 D. 2004 7、黑白两种颜色的正六形地面砖块按 如图的规律拼成若干个图案，则第五 个图案中有白色地面砖（ ）块. A.21 B.22 C.20 D.23

合情推理与演绎推理的意义

合情推理与演绎推理的意义 （1)合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推导过程。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。 （2)在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论，探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养。例如，在研究球体时，我们会自然地联想到圆。由于球与圆在形状上有类似的地方，即都具有完美的对称性，都是到定点的距离等于定长的点的集合，因此我们推测圆的一些特征，球也可能有。 圆的切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于圆的半径，类似地，我们推测可能存在这样的平面，与球只交于一点，该点到球心的距离等于球的半径。平面内不共线的3个点确定一个圆，类似地，我们猜想空间中不共面的4个点确定一个球等。 演绎推理是数学中严格证明的工具，在解决数学问题时起着重要的作用。“三段论”是演绎推理的一般模式，前提和结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论也必定是正确的。 例如，三角函数都是周期函数，sinx是三角函数，因此推导证明出该函数是周期函数。又如，这样一道问题“证明函数f(x)=-x+2x在（－0,1)上是增函数”。大前提是增函数的定义，小前提是推导函数f(x)在（－c,1)上满足增函数的定义，进而得出结论。 合情推理从推理形式上看，是由部分到整体、个别到一般、由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理。从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确。 就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程。但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理。因此，合情推理与演绎推理是相辅相成的。

推理与证明

第3讲推理与证明 【知识要点】 1.归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理 2．类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质。类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。 3．类比推理的一般步骤： ①找出两类事物之间的相似性或者一致性。 ②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想） 【典型例题】 1、（2011?江西）观察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，则72011的末两位数字为（） A、01 B、43 C、07 D、49 2、（2011?江西）观察下列各式：55=3125，56=15625，57=78125，…，则52011的末四位数字为（） A、3125 B、5625 C、0625 D、8125 3、（2010?临颍县）平面内平行于同一条直线的两条直线平行，由此类比思维，我们可以得到（） A、空间中平行于同一平面的两个平面平行 B、空间中平行于同一条直线的两条直线平行 C、空间中平行于同一条平面的两条直线平行 D、空间中平行于同一条直线的两个平面平行 4、（2007?广东）设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a，b∈S，对于有序元素对（a，b），在S中有唯一确定的元素与之对应）有a*（b*a）=b，则对任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是（） A、（a*b）*a=a B、[a*（b*a）]*（a*b）=a C、b*（b*b）=b D、（a*b）*[b*（a*b）]=b 5、（2007?广东）如图是某汽车维修公司的维修点环形分布图．公司在年初分配给A，B，C，D四个维修 点某种配件各50件．在使用前发现需将A，B，C，D四个维修点的这批配件 分别调整为40，45，54，61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要 完成上述调整，最少的调动件次（n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的 调动件次为n）为（） A、15 B、16 C、17 D、18 6、（2006?陕西）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a+2b，2b+c，2c+3d，4d，例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16．当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为（） A、4，6，1，7 B、7，6，1，4 C、6，4，1，7 D、1，6，4，7 7、（2006?山东）定义集合运算：A⊙B={z︳z=xy（x+y），x∈A，y∈B}，设集合A={0，1}，B={2，3}，则 集合A⊙B的所有元素之和为（） A、0 B、6 C、12 D、18