最新五年级奥数讲义

第1讲 巧求周长和面积

几何是研究现实世界的空间形式与数量关系的一门科学，是日常生活和进一步学习必不可少的基础和工具。几何问题非常直观、有趣，但是仍然有的同学对解几何问题的基本方法掌握不好。之前已经学习了长方形和正方形的周长和面积公式，利用公式可以解决一些简单的标准图形的周长和面积问题，对于一些复杂的不规则图形的周长和面积问题，我们可以采用平移、转化、分割、添补、合并等方法，将问题转化为我们熟悉的、简单的图形问题，从而顺利的解决。

本讲掌握长度与面积的概念和基本计算方法。学会运用平移、标方向等方法处理某些长度计算问题；运用平移、旋转、对称等方法处理某些面积计算问题。

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巧求周长（三年级秋季） 巧求周长与面积（四年级暑假） 等积变换（四年级春季） 巧求周长与面积（本讲） 直线型面积（一）（五年级秋季） 直线型面积（二）（五年级秋季） 直线型面积（三）（五年级寒假）

知识要点

周长：围成一个图形的所有边长的总和就是这个图形的周长。 长方形周长公式：()()22a b =+?=+?长方形长方形周长长宽，记作：C 正方形周长公式：44a =?=?正方形正方形周长边长，记作：C 方法：公式法、平移线段法、标向法

面积：物体的表面或围成的平面图形的大小，叫做它们的面积。 长方形面积公式：a b =?=?长方形长方形面积长宽，记作：S 正方形面积公式：2a a a =?=?=正方形正方形面积边长边长，记作：S

三角形面积公式：11

22

a h =??=??三角形三角形面积底高，记作：S

平行四边形面积公式：a h =?=?平行四边形平行四边形面积底高，记作：S

梯形面积公式：()()11

22

a b h =??=?+?梯形梯形面积上底+下底高，记作：S

方法：公式法、割补法（将图形平移、对称、旋转）

例题详解

【例1】用若干个边长都是2厘米的平行四边形与三角形（如图所示）拼接成一个大的平行四边形，已知大平行四边形的周长是236厘米，那么平行四边形和三角形各有多少个？

【例2】如图，这个多边形任意相邻的两条边都互相垂直。这个多边形的周长是多少？

6

【例3】小申同学用编号为1、2、3、4、5的大小不同的正方形拼出一个长方形，如图所示，则编号为5正方形的周长是多少厘米？

【例4】申老师计划修建一个正方形的花坛，并在花坛周围种上3米宽的草坪，草坪的面积是300平方米，那么修建这个花坛需要占地多少平方米？

【例5】用同样大小的瓷砖铺一个正方形地面，两条对角线上铺黑色的，其它地方铺白色的，如图所示。如果铺满这块地面共用了101块黑色瓷砖，那么白色瓷砖用了多少块？

【例6】（日本小学数学奥林匹克大赛预赛第10题）如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为10厘米的正方形，则阴影部分四边形的面积是多少平方厘米？

【例7】如图，E、F、G、H分别是正方形ABCD各条边的中点，正方形ABCD 的面积是5，求中间阴影部分的面积。

C

D

B

A

E G

H

F

例8（湖北省数学邀请赛五年级初赛第6题）如图，平行四边形BDEF 的底BD=15厘米，三角形AFE 的高AG=15厘米，三角形ABC 的底BC=25厘米，则阴影部分的面积为多少平方厘米？

A .225 B.200 C.150 D.175

B

D

C

A

F

G

课后作业

【练习1】申老师班上有两个学生：真真、佳佳，他们是好朋友，放学后两人一起回家，真真走第一条路，佳佳走第二条路，他们的速度一样，那么谁会先到家

呢？

B

A

【练习2】如图所示，已知长方形的长AB是40厘米，剪去一个正方形ADFE 后剩下的长方形的周长是多少厘米？

A D

B

C E

F

【练习3】由六个正方形组成的“十字架”面积是150平方厘米，它的周长是多少厘米？

【练习4】如图是由16个大小一样的正方形组成的，如果这个图形的面积是400平方厘米，那么它的周长是多少厘米？

【练习5】（湖北省数学邀请赛五年级决赛第21题）如图，有边长分别是16分米和24分米的两个正方形，一条直线把这两个相连的正方形分成四部分。甲三角形的面积比乙三角形的面积多多少平方分米？

乙

丁

丙

甲

【练习6】如图，阴影部分是一个长方形，它的四周是四个正方形，如果这四个正方形的周长和是240厘米，面积和是1000平方厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米

轻松一刻

《打哪儿知道》 尤拉：“妈妈，我向您提个问题行吗？” 妈妈：“行啊，你提吧。” 尤拉：“我生下来时，您打哪儿知道我叫尤拉呢？”

第二讲 质数与合数

一、教学目标

1、认识质数与合数

2、学习分解质因数

3、学习质数与合数的应用

二、知识体系

特殊数的整除 ------> 奇偶分析法 ------> 整除 ------> 奇数与偶数 ↓ ↓ ↓ ↓ 三年级 四年级暑假 四年级秋季 四年级春季

质数与合数 --------> 约数与倍数 ------> 数论综合------> 同余定理 ↓ ↓ ↓ ↓ 五年级暑假 五年级暑假 五年级暑假 五年级秋季

三、知识要点

(0),a b b a b a b b a ≠÷阿拉伯数字无疑是人类历史上最伟大的发明之一，其本身蕴含的规律更是数学学科中最璀璨的明珠！质数和合数的分类产生了哥德巴赫猜想等世界著名的命题，学习质数与合数，窥探数字的奥秘！

对于自然数自然数和若没有余数，则是的倍数，是的约数。特殊地，0是任意非零自然数的倍数

质数：除了1和本身，没有其他约数的正整数叫质数。 合数：除了1和本身，还有其他约数的正整数叫合数。

特殊地，1既不是质数也不是合数。

最小的合数是4，最小的质数是2，且2是唯一的偶质数。

质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。 互质数：公约数只有1的两个正整数，叫做互质数。

分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

例题详解

【例1】请写出100以内的质数

【例2】判断下列数是否为质数：101 107 111 113 119 123 131 143 139 181 193

【例3】对7个不同质数求和，和为58，则最大的质数是多少？

【例4】用1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数字组成质数，如果每个数字都

要用到并且只能用一次，那么这9个数字最多能组成多少个质数？

【例5】(2004年走美杯)分解质因数20034＝

【例6】四个连续自然数的乘积是3024，这四个自然数中最大的一个是多少？

【例7】若将17拆成若干个的质数之和，使得这些质数的乘积尽可能大，那么这个最大的乘积是多少？

【例8】（迎春杯少年数学邀请赛决赛）一个长方形的长、宽、高是连续的3个自然数，它的体积是39270立方厘米，那么这个长方形的表面积是多少平方厘米？

回家作业

【练习1】判断下列数是否为质数：

103 109 117 127 137 149 191 197 247

【练习2】有一个质数，它加上10是质数，加上14也是质数，把它求出来。【练习3】A，B，C为3个小于20的质数，A＋B＋C＝30，求这三个质数。

【练习4】9个连续的自然数，他们都大于80，那么其中质数最多有多少个

【练习5】三个质数的乘积恰好等于它们的和的7倍，求这三个质数

【练习6】在放暑假的8月份，小申有五天是在外婆家过的。这五天的日期除去一天是合数外，其它四天的日期全是质数。这四个质数分别是这个合数减去1，这个合数加上1，这个合数乘上2再减1，这个合数乘上2再加1。问：小申是哪几天在外婆家住的？

医生替一名脾气不好的患者检查身体。

“你哪儿不舒服？”他关切地问道。

“先生，”病人咆哮道，“既然你已经收了诊金，那就该由你来找。”

“我明白了，”医生想了一会说，“请你给我一个钟头时间，我出去找一位朋友-----他是一个兽医。我知道，只有这家伙才能不向患者提任何问题就能够作出诊断。”

第三讲 约数与倍数

一、教学目标

1、掌握约数与倍数的性质以及求法；

2、会利用约数与倍数之间的关系解决问题。

二、知识体系

奇数与偶数（四年级暑假） 数论一 （四年级秋季）

约数与倍数（四升五暑假） 数论综合（五年级秋季、寒假） 数论（整除）

质数与合数（四升五暑假） 数阵图（四、五年级春季、寒假）

同余定理（五年级秋季） 数字迷（四、五年级春季、寒假）

考点：①求最大公约数、最小公倍数 ②约数的个数

③应用题

三、知识要点

约数和倍数的定义：如果一个自然数a 能被自然数b 整除，那么称a 为b 的倍数，b 为a

的约数。

最大公约数的定义：如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是

这若干个自然数的公约数，公约数中最大的一个就称为这若干个自然数的最大公约数。例如（4，6）＝2，（6，9，15）＝3。

最小公倍数的定义：如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是

这若干个自然数的公倍数，公倍数中最小的一个就称为这若干个自然数的最小公倍数。例如：[4，6] ＝12，[6，9，15] ＝90。

最小公倍数

1、求最小公倍数的方法：

①分解质因数的方法

例如[]23321823 242318242372=?=?=?=，，所以，

②短除法求最小公倍数：

例如 218 24

39 12 3 4 所以[]1824233472=???=，

③[]()

,,a b

a b a b ?=

.

2、最小公倍数的性质：

①两个数的任意公倍数都是他们最小公倍数的倍数。

②两个互质的数的最小公倍数就是这两个数的乘积。

③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数。

最大公约数

1、求最大公约数的方法：

①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。

例如()

18233, 24=2223,1824236

=?????=?=

所以，

②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘。

例如218 24

39 12

3 4

，所以()

1824236

=?=

，

③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公

约数。用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除以大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数为0为止。那么，最后一个除数就是所求的最大公约数。（如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的）

例如，求105，165的最大公约数：

165105160 10560=145 6045=1151530÷=??????÷??????÷??????÷=??????

；；； 45

所以105，165的最大公约数为15。

2、最大公约数的性质：

①几个数都除以他们的最大公约数，所得几个商都是互质数；

②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；

③几个数都乘以一个自然数n，所得的积最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n。

例题详解

【例1】1）24 36 45 60这四个数中，哪些数含有约数8？

2）24 36 45 60这四个数中，哪些数含有约数9？

3）24 36 45 60这四个数中，哪些数含有约数15？

【例2】（06年中环杯四年级复赛）从一张长1617毫米，宽693毫米的长方形纸片上，剪下一个边长最大的正方形。如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形。按照上面的过程不断的重复，最后能剪得正方形多少个？最后剪得的正方形边长是多少毫米？请画示意图表示。

【例3】边长为自然数，面积为210的形状不同的长方形共有多少种？

【例4】把长120厘米，宽80厘米的铁板裁成尽可能大的相等的正方形，而且没有剩余，可以裁成多少块？

【例5】现在有香蕉42千克，苹果112千克，桔子70千克，平均分给幼儿园的几个班，每个班分到的这三种水果的数量分别相等，那么最多分给了几个班？每个班至少分到三种水果各多少千克？

【例6】求48和80的最小公倍数（用两种不同的方法）

【例7】（05年小学生数学报全国邀请赛）今年祖父的年龄是小申年龄的6倍，若干年后是他的5倍，再过若干年后是他的4倍。今年祖父、小申各是多少岁，

【例8】有一个自然数，被6除余1，被5除余1，被4除余1，这个自然数最小是几？

回家作业

【练习1】请用辗转相除法求899与372的最大公约数。

【练习2】请用短除法求42与108的最小公倍数。

【练习3】有一盘水果，3个3个地数余2个，4个4个的数余3个，5个5个的数余4个，问这个盘子里最少有多少个水果？

【练习4】一块长方形的纸，长75厘米，宽60厘米，要把这张纸裁成米娜及相等的小正方形，而纸无剩余，且使变长最长，问可裁成几张？

【练习5】有三根铁丝，一根长54米，一根长72米，一根长36米，要把它们

截成同样长的小段，不许剩余，每段最长是多少米？

【练习6】两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是540，这样的自然数一共有多少组？

一男养一猪，特烦它，就想把它给扔了，但是此猪认得回家的路，扔了好多次都没有成功。某日，此人驾车弃猪，当晚打电话给他的妻子问：“猪归否？”其妻曰：“归矣。”男非常气愤，大吼道：“快让它接电话，我迷路了。”

第四讲数论综合（一）

一、教学目标

1、掌握并熟练运用能被

2、

3、

4、

5、

6、8、9、11等数整除的自然数的特征；

2、训练学生对自然数的快速分解，记住并会运用几个特殊数（111、1001等）；

二、知识体系

奇数与偶数（四年级暑假）数论一（四年级秋季）

约数与倍数（四升五暑假）数论综合（五年级秋季、寒假）

数论（整除）

质数与合数（四升五暑假）数阵图（四、五年级春季、寒假）

同余定理（五年级秋季） 数字迷（四、五年级春季、寒假）

考点：①被2、3、4、5、6、7、8、9、11整除的数的特征

②分解因式

三、知识要点

当两个整数a 和b （0b ≠），a 被b 除的余数为0时（商为整数），则称a 被b 整除或b 整除a ，也把a 叫作b 的倍数，b 叫作a 的约数；如果a 被b 除所得的余数不为0，则称a 不能被b 整除，或b 不整除a

数的整除特征

①一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除； 一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除； 一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除； ②一个数各位数字之和能被3整除，这个数就能被3整除； 一个数各位数字之和能被9整除，这个数就能被9整除；

③如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个就能被11整除。

④如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除；

⑤部分特殊数的分解：111337; 1001=71113; 11111=41271; 10001=73137=?????；

199535719; 1998=233337; 2007=33223; 2008=222251=???????????? 210101371337, 2009=741,=????2011是质数。

求一个数所有约数的个数： 用分解质因数形式表示：

312123n

p p p p n

N a a a a =???????（12n a a a N ???、、为合数的不同质因数） 那么所求的约数个数为()()()()1231111;n A p p p p =+?+?+????+

()()()32504237,31211124=??+?+?+=例如：那么它有个约数

完全平方数有奇数个约数。

求一个数所有约数的和：

()()()010*********n n n

n n n S a a a a a a a a a =++????++???+?????++???+

()()()320

1

2

3

1

2

1

504237222233377151381560

S =??=+++?++?+=??=例如：，那么它所有约数的和为：

最大公约数与最小公倍数：

如果m 为A 、B 的最大公约数，且,,A ma B mb ==那么a 、b 互质，所以A 、B 的最小公倍数为mab ，所有最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：

①,A B ma mb m mab ?=?=?即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个

数的积

②最大公约数是A B A B A B +-、、、及最小公倍数的约数

例题详解

【例1】720约数有多少个？

【例2】（国际数学邀请赛）360的所有约数的和是（）。

【例3】甲数是24，甲、乙两数的最小公倍数是168，最大公约数是4，求乙数。

a a a a a能被11整除，求满足条件的整数a？

【例4】1234

【例5】（小学数学世界邀请赛）有一个五位数可同时被9和11整除。若将这个

五位数的第一位、第三位与第五位数码移除，则可得到两位数35；若将这个五位数的前三位数码移除，则剩下的两位数可被9整除；若将这个五位数的末三位数码移除，则剩下的两位数也可以被9整除，请问这个五位数是什么？

【例6】（《小数报》竞赛）用六位数可以表示日期，例如，960310表示1996年3月10日。在表示1996年3月份和4月份日期的61个六位数中，能被3整除的六位数共有个。

【例7】一个各位数字互不相同的五位数，能被3、5、7、11整除，那么这个五位数最小是，最大是。

【例8】老师共为学校买了28支价格一样的钢笔，共付了人民币9（）.2（）元。已知（）数字相同，请问每支钢笔的价格是多少？