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内切球和外接球例题

高考数学中的内切球和外接球问题

一、直接法(公式法)

1、求正方体的外接球的有关问题

例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为__＿_＿＿＿____＿＿_ ．27π．

例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上,若该正方体的表面积为24，则该球的体积为__________＿___. 43π.

2、求长方体的外接球的有关问题

例３（２0０7年天津高考题)一个长方体的各顶点均在同一球面上,且一个顶点上的三条棱长分别为

1,2,3,则此球的表面积为 .14π.

例4、（2０06年全国卷I）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为４，体积为16，则这个球的表面积为（ ). C．

A. 16π

B. 20πＣ. 24πＤ.

32π

3.求多面体的外接球的有关问题

例５. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的

顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为9

8，底面周长为3,则这个球的体积

为.

解设正六棱柱的底面边长为x，高为h，则有

63,1

x h

∴

??=

?．∴正六棱柱的底面圆的半径

，球心到底面的距离

.∴外接球的半径

221

R r d

=+=.

∴=

球

二、构造法(补形法)

1、构造正方体

例5 （20０8年福建高考题)若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为

3,则其外接球的表面积是____________＿__.9π

解据题意可知,该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为

3的正方体,于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.设其外接球的半径为R，则有

()()()()

222

23339

R=++=

.∴

.故其外接球的表面积2

S R

ππ

==.

小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为

a b c

、、,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体,于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R,则有222

2R a b c

=++.

出现“墙角”结构利用补形知识,联系长方体。

【例题】:在四面体中,共顶点的三条棱两两垂直,其长度分别为

1 / 4

2 / 4

,若该四面体的四个顶点在一个球面上,求这个球的表面积。

解：因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长所以：四面体外接球的直径为的长即:

所

以

球的表面积为

例 6.2四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ )

A. 3π

B. 4π Ｃ. 33π D ． 6π 解析：一般解法，需设出球心,作出高线，构造直角三角形,再计算球的半径.

在此，由于所有棱长都相等，我们联想只有正方体中有这么多相等的线段，所以构造一个正方体，再寻找棱长相等的四面体，四面体A BDE -满足条件,即

AB=AD=AE=BD=DE 2BE ==由此可求得正方体的棱长为1，体对角线为33，所以此球的表面积便可求得，故选A.

例7．在等腰梯形ABCD 中,AB=2DC=2，0

DAB=60∠,E 为AB 的中点,将

ADE ?与BEC ?分布沿ED 、EC 向上折起，使A B 、重合于点P ，则三棱锥P-DCE 的外接球的体积为（）．

A. 4327

B. 62

C. 68 D ． 6

解析：因为AE=EB=DC=1,0

DAB=CBE=DEA=60∠∠∠，所以

AE=EB=BC=DC=DE=CE=1AD =,即三棱锥P-DCE 为正四面体,至此，这与

例6就完全相同了,故选C.

例8 .已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，DA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，

DA=AB=BC=3O 的体积等于 .

解析：本题同样用一般方法时,需要找出球心，求出球的半径．而利用长方体模型很快便可找到球的直径，由于DA ABC ⊥平面,AB BC ⊥,联想长方体中的相应线段关系，构造长方体，又因为DA=AB=BC=3,则此长方体为正方体，所以CD 长即为外接球的直径,利用直角三角形解出CD=3．故球O 的体积

等于92π.

2、构造长方体

例９.已知点A 、B 、C 、D 在同一个球面上，B BCD A ⊥平面，BC DC ⊥，若6,AC=213,AD=8AB =,则球的体积是 .

解析：首先可联想到例8,构造下面的长方体,于是AD 为球的直径,O 为球心，

OB=OC=4为半径,要求B 、C 两点间的球面距离，只要求出BOC ∠即可,在

3 / 4

Rt ABC ?中,求出=4BC ,所以0

C=60BO ∠,故Ｂ、C 两点间的球面距离是43π.

三.多面体几何性质法

例1 0.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为1６，则

这个球的表面积是

A.16π Ｂ．20π C.24π D.32π 解设正四棱柱的底面边长为x ,外接球的半径为R ,则有2

416x =，解得

2x =.

∴2R R =

=∴= .∴这个球的表面积是

2424R ππ=．选C.小结本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接

球的直径”这一性质来求解的．

四．寻求轴截面圆半径法

例１1.正四棱锥S ABCD -

点

S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .

解设正四棱锥的底面中心为1O ,外接球的球心为O ,如图1所

示.∴由球的截面的性质，可得1OO ABCD ⊥平面．

又1SO ABCD ⊥平面，∴球心O 必在1SO 所在的直线上.

∴ASC ?的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的

半径.在ASC ?

中，由2SA SC AC ===，得222SA SC AC +=．∴

ASC AC ??是以为斜边的Rt .∴1

2AC

=是外接圆的半径,也是外接球的半径.故

43V π

球.

五 .确定球心位置法

例1１.在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --,则四面体ABCD 的外接球的体积为

A.12512π Ｂ.1259π C ．1256π D.125

3π

解设矩形对角线的交点为O ，则由矩形对角线互相平分，可知

OA OB OC OD ===.∴点O 到四面体的四个顶点A B C D 、、、的距离

相等，即点O 为四面体的外接球的球心，∴外接球的半径

2R OA ==

.故

O 1

图3

4 / 4

3412536V R ππ

==球.选Ｃ.

【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球

的球面上,且

，，，

,求球

的体积。

解：

且

，

, 因

为所以知

所以

所以可得图形为: 在中斜边为,在

中斜边为

,取斜边的中点

,在中

,在

中

所以

在几何体中

,即为该四面体的外接球的球心,

,所以该外接球的体积为