2013广东高考文科数学试题及答案(完美版)

2013广东高考文科数学试卷及答案

一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分. 在每小题给出的四

个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设集合{}{}

22|20,,|20,S x x x x R T x x x x R =+=∈=-=∈，则S

T =（ ）

A. {}0

B. {}0,2

C. {}2,0-

D. {}2,0,2-

【答案】A ；

【解析】由题意知{}0,2S =-，{}0,2T =，故{}0S

T =；

2. 函数()

lg 11

x y x +=

-的定义域是（ ）

A. ()1,-+∞

B. [)1,-+∞

C. ()()1,11,-+∞

D. [)()1,11,-+∞

【答案】C ； 【解析】由题意知10

10

x x +>??

-≠?，解得1x >-且1x ≠，所以定义域为()()1,11,-+∞；

3. 若()34i x yi i +=+，,x y R ∈，则复数x yi +的模是（ ）

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5 【答案】D ；

【解析】因为()34i x yi i +=+，所以34xi y i -=+，根据两个复数相等的条件得：3y -=

即3y =-，4x =，所以x yi +43i =-，x yi +的模5==；

4. 已知51

sin 25

πα??+=

???，那么cos α=（ ） A. 25-

B. 15-

C. 15

D. 25

【答案】C ； 【解析】51sin sin()cos ()cos()cos 22225ππππααααα????

+=+=-+=-==

???????

；

5. 执行如图1所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出s 的值是（ ）

A. 1

B. 2

C. 4

D. 7 【答案】D ；

【解析】1i =时，1(11)1s =+-=；2i =时，1(21)2s =+-=；3i =时，

2(31)4s =+-=；4i =时，4(41)7s =+-=；

图1 图2

6. 某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是（ ）

A.

16 B. 13 C. 2

3

D. 1 【答案】B ；

【解析】由三视图可看出该三棱锥的底面为直角边为1的等腰直角三角形，高为2， 所以该三棱锥的体积111

112323

V =

????=； 7. 垂直于直线1y x =+且与圆2

2

1x y +=相切于第Ⅰ象限的直线方程是（ ）

A. 20x y +-=

B. 10x y ++=

C. 10x y +-=

D. 20x y ++= 【答案】A ；

【解析】设所求直线为l ，因为l 垂直直线1y x =+，故l 的斜率为1-，设直线l 的方程为

y x b =-+，化为一般式为0x y b +-=；因为l 与圆相切22

1x y +=相切，所以圆心(0,0)

到直线l 的距离12

b -=

=，所以2b =±，又因为相切与第一象限，所以0b >，故2b =，

所以l 的方程为20x y +-=；

8. 设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）

A. 若//,//l l αβ，则//αβ

B. 若,l l αβ⊥⊥，则//αβ

C. 若,//l l αβ⊥，则αβ//

D. 若,l αβα⊥//，则l β⊥ 【答案】B ；

【解析】若α与β相交，且l 平行于交线，则也符合A ，显然A 错；若,//l l αβ⊥，则αβ⊥，故C 错；,l αβα⊥//，若l 平行交线，则//l β，故D 错； 9. 已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为()1,0F ，离心率等于

1

2

，则C 的方程是（ ） A.

221

34x y += B. 2214x = C. 22142x y += D. 22

143x y +=

【答案】D ；

【解析】由焦点可知()1,0F 可知椭圆焦点在x 轴上，由题意知1

1,

2

c c a ==，所以

2,a b ==22

143

x y +

=； 10. 设a 是已知的平面向量且0a ≠，关于向量a 的分解，有如下四个命题：

① 给定向量b ，总存在向量c ，使a b c =+；

② 给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使a b c λμ=+；

③ 给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使a b c λμ=+； ④ 给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使a b c λμ=+.

上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是（ ）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

【答案】D ；

【解析】因为单位向量（模为1的向量，方向不确定）和一个不为零的实数可以表示任何一个向量，由题意可知A,B,C,D 均正确；

二、 填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.

（一）必做题（11~13题）

11. 设数列{}n a 是首项为1，公比为2-的等比数列，则1234a a a a +++=____________； 【答案】15；

【解析】由题意知11a =，22a =-，34a =，48a =-，所以；1234

a a a a +++

124815=+++=；

12. 若曲线2

ln y ax x =-在点()1,a 处的切线平行于x 轴，则a =_____________；

【答案】

12

； 【解析】因为2

ln y ax x =-，所以12y ax x

'=-

，因为曲线2

ln y ax x =-在点()1,a 处的切线平行于x 轴，所以1210x y a ='=-=，所以1

2

a =；

13. 已知变量,x y 满足约束条件30111x y x y -+≥??

-≤≤??≥?

，则z x y =+的最大值是_____________；

【答案】5；

【解析】作出可行域可得直角梯形的四个顶点分别为(1,1),(1,2),(1,1),(1,4)--，代入可知z 的最大值为145z =+=；

（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题）

14. （坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=，以极点为原点，

极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为___________________；

【答案】2

2

(1)1x y -+=；

【解析】因为曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=；所以2

cos 2cos 1cos 2x ρθθθ===+① ，sin 2sin cos sin 2y ρθθθθ===②；①可变形得：cos21x θ=-③，②可变形得：

sin 2y θ=；由22sin 2cos 21θθ+=得：22(1)1x y -+=；

15. （几何证明选讲选做题）如图3，在矩形ABCD 中，3AB =，3BC =，BE AC ⊥，

垂足为E ，则ED =___________； 【答案】

212

； 【解析】因为在矩形ABCD 中，3AB =，3BC =，BE AC ⊥，所以0

30BCA ∠=，

所以0

3

cos3032

CE CB =?=

；在CDE 中，因为060ECD ∠=，由余弦定理得： ()

2

2

22203333121

2cos 603

232224

DE CE CD CE CD ??

=+-???=+

-?

??= ? ???

，所以21

CD =

；

三、 解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明和演算步骤.

16. （本小题满分12分）

已知函数(),12f x x x R π?

?=

-∈ ??

?.

（1） 求3f π??

???

的值； （2） 若3cos 5θ=，3,22πθπ??∈ ???，求6f πθ?

?- ??

?.

【答案与解析】

（1）133124f ππππ????

=-===

? ?????

；

（2）因为3cos 5θ=，3,22πθπ??

∈ ???，所以4sin 5θ==-；

cos cos sin sin 6612333f ππππππθθθθθ???????-=--=-=+ ? ? ??

???????

314

525210?=?-?=???

；

17. （本小题满分12分）

从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：

（1） 根据频数分布表计算苹果的重量在[)90,95的频率；

（2） 用分层抽样的方法从重量在[)80,85和[)95,100的苹果中共抽取4个，其中重

量在[)80,85的有几个？

（3） 在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[)80,85和[)95,100中各有

一个的概率；

【答案与解析】

（1）重量在[)90,95的频率20

0.450

=

=； （2）若采用分层抽样的方法从重量在[)80,85和[)95,100的苹果中共抽取4个，则重量在

[)80,85的个数5

41515=?=+；

（3）设在[)80,85中抽取的一个苹果为x ，在[)95,100中抽取的三个苹果分别为,,a b c ，从抽出的4个苹果中，任取2个共有(,),(,),(,),(,),(,),(,)x a x b x c a b a c b c 6种情况，其中

符合“重量在[)80,85和[)95,100中各有一个”的情况共有(,),(,),(,)x a x b x c 种；设“抽

出的4个苹果中，任取2个，求重量在[)80,85和[)95,100中各有一个”为事件A ，则事

件A 的概率31

()62

P A =

=； 18. （本小题满分14分）

如图4，在边长为1的等边三角形ABC 中，,D E 分别是,AB AC 上的点，AD AE =，

F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点

G . 将ABF ?沿AF 折起，得到如图5所示的三棱锥

A BCF -，其中22

BC =

. （1） 证明：DE BCF //平面； （2） 证明：CF ABF ⊥平面； （3） 当2

3

AD =时，求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -.

图4 图5

（1）证明：在图4中，因为ABC 是等边三角形，且AD AE =，所以

AD AE

AB AC

=，//DE BC ；

在图5中，因为//DG BF ，//GE FC ，所以平面DGE //平面BCF ，所以DE BCF //平面；

（2）证明：在图4中，因为因为ABC 是等边三角形，且F 是BC 的中点，所以AF BC ⊥； 在图5中，因为在BFC 中

，1,2BF FC BC ==

=，所以222

BF FC BC +=，BF CF ⊥，又因为AF CF ⊥，所以CF ABF ⊥平面；

（3）因为,AF CF AF BF ⊥⊥，所以AF ⊥平面BCF ，又因为平面DGE //平面BCF ，所以AF ⊥平面DGE

；所以

1

1111113

323233F DEG DGE

V S

FG DG GE FG -=??=????=???=； 19. （本小题满分14分）

设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2*

1441,n n S a n n N +=--∈，且

2514,,a a a 构成等比数列；

（1）

证明：2a =

（2） 求数列{}n a 的通项公式； （3） 证明：对一切正整数n ，有

1223

11111

2

n n a a a a a a ++++

<. （1）证明：因为2*

1441,n n S a n n N +=--∈，令1n =，则212441S a =--，

即22145a a =+，

所以2a =

（2）当2n ≥时，()

()2

21144441411n n n n n a S S a n a n -+??=-=------??2214n n a a +=--， 所以22

1(2)n n a a +=+，因为{}n a 各项均为正数，所以12n n a a +=+；

因为2514,,a a a 构成等比数列，所以2

2145a a a ?=，即2222(24)(6)a

a a +=+，解得23a =，

因为2a =11a =， 212a a =+ ，符合12n n a a +=+，所以12n n a a +=+对

1n =也符合，所以数列{}n a 是一个以11a =为首项，2d =为公差的等差数列，

1(1)221n a n n =+-?=-；

（3）因为

111111

()(21)(21)22121

n n a a n n n n +==-+--+，所以

1223

1111111111111

()()()21323522121

n n a a a a a a n n ++++

=-+-+???+--+ 11111111111

2133521212121212

n n n n n ????=-+-+???-=-=< ? ?-+++????； 所以对一切正整数n ，有

1223

111

11

2

n n a a a a a a ++++

<. 20. （本小题满分14分）

已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y --=的距离为

设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点.

（1） 求抛物线C 的方程；

（2） 当点()00,P x y 为直线l

上的定点时，求直线AB 的方程； （3） 当点P 在直线l

上移动时，求AF

BF ?的最小值. 【答案与解析】

（1）因为抛物线焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y --=的距离为

2

所以2

d =

=

，又因为0c >，所以解得1c =，抛物线的焦点坐标为(0,1)，所以抛物线C 的方程为2

4x y =；

（2）因为抛物线的方程为2

4x y =，即214y x =

，所以1

2

y x '=

，设过()00,P x y 点的切线l '与抛物线的切点坐标为21(,

)4

m m ，所以直线l '的斜率2

001142y m k m x m -==-，解得10m x =

20m x

=

A 点坐标为2111

(,)4

m m ，B 点坐标

为2221(,)

4

m m ==0=>，所以12m m ≠；2212

1201211114

4()42

AB m m k m m x m m -==+=-；

所以直线AB 的方程为210111()42y m x x m -

=-，代入整理得：01

2y x =； （3）A 点坐标为2111(,)4m m ，B 点坐标为2

221(,)4

m m ，F 点坐标为()0,1，因为

0020x y --=；所以100m x x =+=+

200m x x ==，1202m m x +=，12048m m x =-；因此

AF BF ?=

()22222222

12121212121211111111()1()2144164164m m m m m m m m m m m m ??????=++=+++=++-+ ?????????

()2

2220000001139(48)22(48)12692()16422

x x x x x x ??=

-+--+=-+=-+??，

所以当032x =时，AF BF ?取最小值9

2；

21. 设函数()()3

2

f x x kx x k R =-+∈.

（1） 当1k =时，求函数()f x 的单调区间；

（2） 当0k <时，求函数在[,]k k -上的最小值m 和最大值M . 【答案与解析】

（1） 因为()32

f x x kx x =-+，所以2

()321f x x kx '=-+；当1k =时，

2212

()3213()033

f x x x x =-+=-+>，所以()f x 在R 上单调递增；

（2） 因为2

()321f x x kx '=-+，2

2

(2)4314(3)k k ?=--??=-；

① 当0?≤时，即0k ≤<时，()0f x '≥，()f x 在R 上单调递增，此时无最小

值和最大值；

② 当0?>时，即k <令()0f x '=，解得x =

=

或263k k x --==；令()0f x '>，解得3k x -<或

x >；令()0f x '<，解得x <<；因为

033k k k ++<=<-

，2333

k k k

k ->=>

作()f x 的最值表如下：