文档库

最新最全的文档下载
当前位置:文档库 > 函数与导数经典例题(含答案)

函数与导数经典例题(含答案)

函数与导数

1. 已知函数3

2

()4361,f x x tx tx t x R =+-+-∈,其中t R ∈. (Ⅰ)当1t =时,求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程; (Ⅱ)当0t ≠时,求()f x 的单调区间;

(Ⅲ)证明:对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点.

【解析】(19)本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、

函数的零点、解不等式等基础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法,满分14分。 (Ⅰ)解:当1t =时,3

2

2

()436,(0)0,()1266f x x x x f f x x x '=+-==+-

(0) 6.f '=-所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为6.y x =-

(Ⅱ)解:2

2

()1266f x x tx t '=+-,令()0f x '=,解得.2

t x t x =-=或

因为0t ≠,以下分两种情况讨论:

(1)若0,,t

t t x <<-则

当变化时,(),()f x f x '的变化情况如下表:

函数与导数经典例题(含答案)

所以,()f x 的单调递增区间是(),

,,;()2t t f x ?

?-∞-+∞ ?

??的单调递减区间是,2t t ??

- ???

。 (2)若0,t

t t >-<

则,当x 变化时,(),()f x f x '的变化情况如下表:

函数与导数经典例题(含答案)

所以,()f x 的单调递增区间是(),,,;()2t t f x ??

-∞-+∞

???

的单调递减区间是,.2t t ??- ???

(Ⅲ)证明:由(Ⅱ)可知,当0t >时,()f x 在0,2t ?

? ???

内的单调递减,在,2t ??

+∞

???

内单调递增,以下分两种情况讨论: (1)当1,22

t

t ≥≥即时,()f x 在(0,1)内单调递减, 2(0)10,(1)643644230.f t f t t =->=-++≤-?+?+<

所以对任意[2,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点。

(2)当01,022t t <

<<<即时,()f x 在0,2t ?? ???内单调递减,在,12t ??

???

内单调递增,若33177(0,1],10.244t f t t t ??

∈=-+-≤-< ???

2(1)643643230.f t t t t t =-++≥-++=-+>

所以(),12t f x ??

???

在内存在零点。

若()3377(1,2),110.244t t f t t t ??∈=-+-<-+<

?

??

(0)10f t =->

所以()0,

2t f x ?

?

???

在内存在零点。 所以,对任意(0,2),()t f x ∈在区间(0,1)内均存在零点。

综上,对任意(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点。

2. 已知函数21

()32

f x x =

函数与导数经典例题(含答案)

+,()h x = (Ⅰ)设函数F (x )=18f (x )-x 2[h (x )]2,求F (x )的单调区间与极值;

(Ⅱ)设a ∈R ,解关于x 的方程33

lg[(1)]2lg ()2lg (4)24

f x h a x h x --=---;

(Ⅲ)设*n ∈N ,证明:1

()()[(1)(2)()]6

f n h n h h h n -+++≥.

本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识,考查数形结合、函数

与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力.

解:(Ⅰ)223()18()[()]129(0)F x f x x h x x x x =-=-++≥,

2()312F x x '∴=-+.

令()0F x '∴=,得2x =(2x =-舍去).

当(0,2)x ∈时.()0F x '>;当(2,)x ∈+∞时,()0F x '<,

故当[0,2)x ∈时,()F x 为增函数;当[2,)x ∈+∞时,()F x 为减函数. 2x =为()F x 的极大值点,且(2)824925F =-++=.

(Ⅱ)方法一:原方程可化为42233

log [(1)]log ()log (4)2

f x h a x h x --=---,

即为4222log (1)log log log x -=,且,14,x a x

函数与导数经典例题(含答案)

函数与导数经典例题(含答案)

函数与导数经典例题(含答案)

①当14a <≤时,1x a <<,则14a x

x

--=

,即2640x x a -++=, 364(4)2040a a ?=-+=-

>,此时3x ==±1x a <<,

函数与导数经典例题(含答案)

函数与导数经典例题(含答案)

此时方程仅有一解3x =

②当4a >时,14x <<,由14a x

函数与导数经典例题(含答案)

x x

--=-,得2

640x x a -++=,364(4)204a a ?=-+=-,

函数与导数经典例题(含答案)

若45a <<,则0?>,方程有两解3x = 若5a =时,则0?=,方程有一解3x =; 若1

a ≤或5

a >,原方程无解.

方法二:原方程可化为422log (1)log (4)log ()x h x h a x -+-=-,

即222

1

log (1)log log 2

x -+=10,

40,

函数与导数经典例题(含答案)

函数与导数经典例题(含答案)

0,(1)(4).

x x a x x x a x ->??->???

->??--

=-?214,(3) 5.x x a a x ?<

?

函数与导数经典例题(含答案)

函数与导数经典例题(含答案)

函数与导数经典例题(含答案)

=--+? ①当14a <≤时,原方程有一解3x = ②当45a <<时,原方程有二解3x =± ③当5a =时,原方程有一解3x =;

④当1a ≤或5a >时,原方程无解.

(Ⅲ)由已知得(1)(2)()]12h h h n n +++=+++,

11

()()66

f n h n -=.

函数与导数经典例题(含答案)

设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且

1

()()6

n S f n h n =-(*n ∈N )

从而有111a S ==,当2100k ≤≤

时,1

k k k a S S -=-

函数与导数经典例题(含答案)

函数与导数经典例题(含答案)

又1

[(4(46

k a k k +-221

6=

函数与导数经典例题(含答案)

函数与导数经典例题(含答案)

函数与导数经典例题(含答案)

函数与导数经典例题(含答案)

函数与导数经典例题(含答案)

106=>. 即对任意2k ≥时,有k a >11a

=1212n a a a n ++

+≥++

+.

函数与导数经典例题(含答案)

函数与导数经典例题(含答案)

则(1)(2)()n S h h h n ≥+++,故原不等式成立.

3. 设函数ax x x a x f +-=2

2ln )(,0>a (Ⅰ)求)(x f 的单调区间;

(Ⅱ)求所有实数a ,使2

)(1e x f e ≤≤-对],1[e x ∈恒成立.

注:e 为自然对数的底数. 【解析】(21)本题主要考查函数的单调性、导数运算法则、导数应用等基础知识,同时考查抽象

概括、推理论证能力。满分15分。 (Ⅰ)解:因为2

2

()ln .0f x a x x ax x =-+>其中

所以2()(2)()2a x a x a f x x a x x

-+'=-+=-

由于0a >,所以()f x 的增区间为(0,)a ,减区间为(,)a +∞

(Ⅱ)证明:由题意得,(1)11,f a c a c =-≥-≥即 由(Ⅰ)知()[1,]f x e 在内单调递增,

要使2

1()[1,]e f x e x e -≤≤∈对恒成立,

只要222

(1)11,()f a e f e a e ae e

=-≥-??=-+≤?

解得.a e =

4. 设2

1)(ax e x f x

+=,其中a 为正实数.

(Ⅰ)当3

4

=

a 时,求()f x 的极值点; (Ⅱ)若()f x 为R 上的单调函数,求a 的取值范围.

【解析】(18)(本小题满分13分)本题考查导数的运算,极值点的判断,导数符号与函数单调变化之间的关系,求解二次不等式,考查运算能力,综合运用知识分析和解决问题的能力.

解:对)(x f 求导得.)1(1)(2

22ax ax

ax e x f x

+-+=' ①

(I )当34

=

a ,若.21,23,0384,0)(212===+-='x x x x x f 解得则 综合①,可知

函数与导数经典例题(含答案)

所以,231=

x 是极小值点,2

1

2=x 是极大值点.

(II )若)(x f 为R 上的单调函数,则)(x f '在R 上不变号,结合①与条件a>0,知

0122≥+-ax ax

在R 上恒成立,因此,0)1(4442

≤-=-=?a a a a 由此并结合0>a ,知.10≤

5. 已知a ,b 为常数,且a ≠0,函数f (x )=-ax+b+axlnx ,f (e )=2(e=2.71828…是自然对数

的底数)。

(I )求实数b 的值;

(II )求函数f (x )的单调区间;

(III )当a=1时,是否同时存在实数m 和M (m

与曲线y=f (x )(x ∈[

1

e

,e])都有公共点?若存在,求出最小的实数m 和最大的实数M ;若不存在,说明理由。

【解析】22.本小题主要考查函数、导数等基础知识,考查推理论证能力、抽象概括能力、运算

求解能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想,满分14分。

解:(I )由()22,f e b ==得

(II )由(I )可得()2ln .f x ax ax x =-++ 从而'()ln .f x a x =

0a ≠因为,故:

(1)当0,a >时由f'(x)>0得x>1,由f'(x)<0得0<<<>时由得由得

综上,当0a >时,函数()f x 的单调递增区间为(1,)+∞, 单调递减区间为(0,1);

当0a >时,函数()f x 的单调递增区间为(0,1), 单调递减区间为(1,)+∞。

(III )当a=1时,()2ln ,'()ln .f x x x x f x x =-++=

由(II )可得,当x 在区间1

(,)e 内变化时,'(),()f x f x 的变化情况如下表:

函数与导数经典例题(含答案)

又22,'()([,])f x x e e e

-

<=∈所以函数的值域为[1,2]。 据经可得,若1,2

m M =??=?,则对每一个[,]t m M ∈,直线y=t 与曲线1()([,])y f x x e e =∈都有

公共点。

并且对每一个(,)

(,)t m M ∈-∞+∞,

直线y t =与曲线1

()([,])y f x x e e

=∈都没有公共点。 综上,当a=1时,存在最小的实数m=1,最大的实数M=2,使得对每一个[,]t m M ∈,直线y=t

与曲线1

()([,])y f x x e e

=∈都有公共点。

6. 设函数32()2f x x a x b x a =+++,2

()32

gx x x =-+,其中x R ∈,a 、b 为常数,已知曲线()y f x =与()y g x =在点(2,0)处有相同的切线l 。

(I ) 求a 、b 的值,并写出切线l 的方程;

(II )若方程()()f x g x m x +=有三个互不相同的实根0、x 、x ,其中12x x <,且对任意的[]12,x x x ∈,()()(1)fx

g x m x +<-恒成立,求实数m 的取值范围。 【解析】20.本题主要考查函数、导数、不等式等基础知识,同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力,以及函数与方程和特殊与一般的思想,(满分13分)

解:(Ⅰ)2

()34,()2 3.f x x ax b g x x ''=++=-

由于曲线()()y f x y g x ==与在点(2,0)处有相同的切线,

故有(2)(2)0,(2)(2) 1.f g f g ''====

由此得8820,2,

1281, 5.

a b a a a b b +++==-???

?

++==??解得

所以2,5a b =-=,切线l 的方程为20x y --=

(Ⅱ)由(Ⅰ)得3

2

()452f x x x x =-+-,所以3

2

()()32.f x g x x x x +=-+ 依题意,方程2

(32)0x x x m -+-=有三个互不相同的实数120,,x x , 故12,x x 是方程2320x x m -+-=的两相异的实根。 所以1

94(2)0,.4

m m ?=-->>-即

又对任意的12[,],()()(1)x x x f x g x m x ∈+<-成立,

特别地,取1x x =时,111()()f x g x mx m +-<-成立,得0.m < 由韦达定理,可得12121230,20,0.x x x x m x x +=>=-><<故 对任意的1221[,],0,0,0x x x x x x ∈≤-≥>有x-x

则12111()()()()0,()()0f x g x mx x x x x x f x g x mx +-=--≤+-=又 所以函数12()()[,]f x g x mx x x x +-∈在的最大值为0。

于是当0m <时,对任意的12[,],()()(1)x x x f x g x m x ∈+<-恒成立,

综上,m 的取值范围是1(,0).4

-