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二次函数思考题2

二次函数思考题2 姓名学号

1.已知：二次函数y =x 2

＋bx －3的图像经过点P （－2,5）．（1）求b 的值，并写出当1＜x ≤3时y 的取值范围；

（2）设点P 1（m ,y 1）、P 2（m +1,y 2）、P 3(m +2,y 3)在这个二次函数的图像上． ①当m =4时，y 1、y 2、y 3能否作为同一个三角形的三边的长？请说明理由；

②当m 取不小于5的任意实数时，y 1、y 2、y 3一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由．

2.已知：关于x 的方程

（1）当a 取何值时，二次函数的对称轴是x=-2；（2）求证：a 取任何实数时，方程总有实数根.

3.已知函数y=mx 2

－6x ＋1（m 是常数）．

⑴求证：不论m 为何值，该函数的图象都经过y 轴上的一个定点； ⑵若该函数的图象与x 轴只有一个交点，求m 的值．

012)31(2

=-+--a x a ax 12)31(2

-+--=a x a ax y 012)31(2=-+--a x a ax

4．如图，等腰梯形ABCD 的底边AD 在x 轴上，顶点C 在y 轴正半轴是，B （4,2），一次函数的图象平分它的面积，关于x 的函数的图象与坐标轴只有两个交点，求m 的值.

5.已如抛物线y = ax 2

+bx+c 与直线y=m +n 相交于两点，这两点的坐标分别是(0，)和(m-b ，m 2

– mb + n ，其中a ，b,c,m ，n 为实数，且a ，m 不为0. (1)求c 的值；

(2)设抛物线y = ax 2

+bx+c 与轴的两个交点是(，0)和(，0)，求

的值；

(3)当时，设抛物线y = ax 2

+bx+c 与轴距离最大的点为P

（，），求这时的最小值.

1-=kx y k m x k m mx y +++-=2)3(2

x 2

x 1x 2x 21x x 11≤≤-x x 0x 0y 0

6. 如图，直线交轴于A 点，交轴于B 点，过A 、B 两点的抛物线交轴于另一点C （3,0）. ⑴ 求抛物线的解析式;

⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ABQ 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由.

7.如图．平面直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为（－2，2），点B 的坐标为（6，6），抛物线经过A 、O 、B 三点，线段AB 交y 轴与点E ．（1）求点E 的坐标；（2）求抛物线的函数解析式；（3）点F 为线段OB 上的一个动点（不与O 、B 重合），直线EF 与抛物线交与M 、N 两点（点N 在y 轴右侧），连结ON 、BN ，当点F 在线段OB 上运动时，求?BON 的面积的最大值，并求出此时点N 的坐标；

33+=x y x y x

8.已知抛物线过点A （0，6），B （2，0），C （7，5

）. （1）求抛物线的解析式；

（2）若D 是抛物线的顶点，E 是抛物线的对称轴与直线AC 的交点，F 与E 关于D 对称，求证：∠CFE=∠AFE.

9.如图，抛物线2

y ax

bx c =++交x 轴于点(3,0)A -，点(1,0)

B ,交

y 轴于点(0,3)E -．点

C 是点A 关于点B 的对称点，点F 是线段BC 的中点，直线l 过点F 且与

y 轴平行．直线

y x m =-+过点C ，交y 轴于点D ．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点K 为线段AB 上一动点，过点K 作x 轴的垂线与直线CD 交于点H ，与抛物线交于点G ,求线段HG 长度的最大值；

（3）在直线l 上取点M ，在抛物线上取点N ，使以点A ，C ，M ，N 为顶点的四边是平行四边形，求点N 的坐标．

图①备用图

二次函数思考题2 姓名学号

1.已知：二次函数y =x 2

＋bx －3的图像经过点P （－2,5）．（1）求b 的值，并写出当1＜x ≤3时y 的取值范围；

（2）设点P 1（m ,y 1）、P 2（m +1,y 2）、P 3(m +2,y 3)在这个二次函数的图像上． ①当m =4时，y 1、y 2、y 3能否作为同一个三角形的三边的长？请说明理由；

②当m 取不小于5的任意实数时，y 1、y 2、y 3一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由．

【答案】解：（1）把点P 代入二次函数解析式得5= （－2）2

－2b －3，解得b=－2. 当1＜x ≤3时y 的取值范围为－4＜y ≤0.

（2）①m=4时，y 1、y 2、y 3的值分别为5、12、21，由于5+12＜21，不能成为三角形的三边长．

②当m 取不小于5的任意实数时，y 1、y 2、y 3的值分别为m 2

－2m －3、m 2

－4、m 2

＋2m －3，由于， m 2

－2m －3＋m 2

－4＞m 2

＋2m －3，（m －2）2

－8＞0，当m 不小于5时成立，即y 1＋y 2＞y 3成立．

所以当m 取不小于5的任意实数时，y 1、y 2、y 3一定能作为同一个三角形三边的长，

2.已知：关于x 的方程

（1）当a 取何值时，二次函数的对称轴是x=-2；（2）求证：a 取任何实数时，方程总有实数根. 【答案】

(1)解：∵二次函数的对称轴是x=-2∴ 解得a=-1经检验a=-1是原分式方程的解.

所以a=-1时，二次函数的对称轴是x=-2；（2）1）当a=0时，原方程变为-x-1=0，方程的解为x= -1；

2）当a≠0时，原方程为一元二次方程，，当方程总有实数根，∴

012)31(2

=-+--a x a ax 12)31(2

-+--=a x a ax y 012)31(2

=-+--a x a ax 12)31(2

-+--=a x a ax y 22)

31(-=---

a 12)31(2

-+--=a x a ax y 012)31(2

=-+--a x a ax 时，042

≥-ac b ()[]0)12(4a 312

≥----a a

整理得，

∵a≠0时总成立

所以a 取任何实数时，方程总有实数根. 3.已知函数y=mx 2

－6x ＋1（m 是常数）．

⑴求证：不论m 为何值，该函数的图象都经过y 轴上的一个定点； ⑵若该函数的图象与x 轴只有一个交点，求m 的值．【答案】解：⑴当x=0时，．

所以不论为何值，函数的图象经过轴上的一个定点（0，1）．

⑵①当时，函数的图象与轴只有一个交点；

②当时，若函数的图象与

轴只有一个交点，则方程

有两个相等的实数根，所以，．

综上，若函数的图象与轴只有一个交点，则的值为0或9．

4．如图，等腰梯形ABCD 的底边AD 在x 轴上，顶点C 在y 轴正半轴是，B （4,2），一次函数的图象平分它的面积，关于x 的函数的图象与坐标轴只有两

个交点，求m 的值.

【答案】解：过B 作BE ⊥AD 于E ，连结OB 、CE 交于点P ，

∵P 为矩形OCBE 的对称中心，则过P 点的直线平分矩形OCBE 的面积. ∵P 为OB 的中点，而B （4，2） ∴P 点坐标为（2，1）在Rt △ODC 与Rt △EAB 中，OC ＝BE ，AB ＝CD ∴Rt △ODC ≌Rt △EAB （HL ）， ∴S △ODC ＝S △EBA

∴过点（0，-1）与P （2，1）的直线即可平分等腰梯形面积，这条直线为y=kx-1 ∴2k-1=1，∴k=1

又∵的图象与坐标轴只有两个交点，故 ①当m ＝0时，y ＝-x+1,其图象与坐标轴有两个交点（0，1），（1，0）

②当m≠0时，函数的图象为抛物线，且与y 轴总有一个交点（0，2m+1）

0122=+-a a 0)1(2

≥-a 0)1(2

≥-a 012)31(2

=-+--a x a ax 1y =m 2

61y mx x =-+y 0m =61y x =-+x 0m ≠2

61y mx x =-+x 2610mx x -+=2(6)40m --=9m =2

61y mx x =-+x m 1-=kx y k m x k m mx y +++-=2)3(2

k m x k m mx y +++-=2)3(2

k m x k m mx y +++-=2)3(

若抛物线过原点时，2m+1=0，即m=，此时△＝（3m+1）2

-4m(2m+1)=＞0

∴抛物线与x 轴有两个交点且过原点，符合题意.

若抛物线不过原点，且与x 轴只有一个交点，也合题意，

此时△′＝（3m+1）2

-4m(2m+1)=0 解之得：m 1=m 2=-1 综上所述，m 的值为m=0或或-1. 5.已如抛物线y = ax 2

+bx+c 与直线y=m +n 相交于两点，这两点的坐标分别是(0，)和(m-b ，m 2

– mb + n ，其中a ，b,c,m ，n 为实数，且a ，m 不为0. (1)求c 的值；

(2)设抛物线y = ax 2

+bx+c 与轴的两个交点是(，0)和(，0)，求

的值；

(3)当时，设抛物线y = ax 2

+bx+c 与轴距离最大的点为P

（，），求这时的最小值. 【答案】解:(1)∵（0，）在y ＝ax 2＋bx ＋c 上，∴ ＝a×02

＋b×0＋c ，∴ c ＝.(1分) (2)又可得 n ＝。∵ 点（m －b ，m 2－mb ＋n ）在y ＝ax 2＋bx ＋c 上，∴ m 2

－mb ＝a （m －b ）2＋b （m －b ），∴（a －1）（m －b ）2

＝0，（2分）若（m －b ）＝0，则（m －b ， m2－mb ＋n ）与（0，）重合，与题意不合．∴ a ＝1．（3分，只要求出a ＝1，即评3分） ∴抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋c ，就是y ＝x 2

＋bx ．△＝b 2－4ac ＝b 2

－4×（）＞0，（没写出不扣分）∴抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋c 与x 轴的两个交点的横坐标

就是关于x 的二次方程0＝ax 2

＋bx ＋c 的两个实数根，∴由根与系数的关系，

412

x 2

x 1x 2x 21x x 11≤≤-x x 0x 0y 0y 21-

1-2

21-

1-2

-21-

得x 1x 2＝．（4分） (3)抛物线y ＝x 2

＋bx 的对称轴为x ＝，最小值为．（没写出不

扣分）设抛物线y ＝x 2

＋bx 在x 轴上方与x 轴距离最大的点的纵坐标为H ，在x 轴下方与x 轴距离最大的点的纵坐标为h ． ① 当<－1，即b ＞2时，在x 轴上方与x 轴距离最大的点是（1，y o ），∴｜H ｜＝y o ＝

＋b ＞， (5分)，在x 轴下方与x 轴距离最大的点是（－1，yo ），∴｜h ｜＝｜y o ｜＝｜

－b ｜＝b －＞， (6分)，∴｜H ｜＞｜h ｜．∴这时｜y o ｜的最小值大于

(7分) ② 当－1≤≤0，即0≤b≤2时，在x 轴上方与x 轴距离最大的点是（1，yo ），∴｜H ｜＝y o ＝

＋b≥，当b ＝0时等号成立.在x 轴下方与x 轴距离最大点的是（，），∴｜h ｜＝｜｜＝≥，当b

＝0时等号成立.∴这时｜y o ｜的最小值等于

.(8分) ③ 当0＜≤1，即－2≤b＜0时,在x 轴上方与x 轴距离最大的点是（－1，y o ），∴｜H ｜＝y o ＝1＋（－1）b －

＝－b ＞，在x 轴下方与x 轴距离最大的点是（，），∴｜h ｜＝｜y o ｜＝｜｜＝＞12.

21-2b -4

2+-b 2

521212

212

21422+-b 422+-b 4

2+b 212

21212

2b -422+-b 422+-b 4

2+b

∴ 这时｜y o ｜的最小值大于

.(9分) ④ 当1＜，即b ＜－2时，在x 轴上方与x 轴距离最大的点是（－1，y o ）， ∴｜H ｜＝

－b ＞，在x 轴下方与x 轴距离最大的点是(1，y o )，∴｜h ｜＝｜＋b ｜＝－（b ＋）＞，∴｜H ｜＞｜h ｜,∴这时｜y o ｜的最小值大于 (10分) 综上所述，当b ＝0，x 0＝0时，这时｜y o ｜取最小值，为｜y o ｜＝. (11分)

6. 如图，直线交轴于A 点，交轴于B 点，过A 、B 两点的抛物线交轴于另一点C （3,0）. ⑴ 求抛物线的解析式;

⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ABQ 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】解：（1）设抛物线的解析式为：y=ax 2

+bx+c 。 ∵直线交轴于A 点，交轴于B 点， ∴A 点坐标为（-1,0）、B 点坐标为（0,3）.

又∵抛物线经过A 、B 、C 三点，∴，解得：，

∴抛物线的解析式为：y=-x 2

+2x+3．

（2）∵y=-x 2

+2x+3=，∴该抛物线的对称轴为x=1．

设Q 点坐标为（1，m ），则，又

b -

212

5212123

33+=x y x y x 33+=x y x y 09303

a b c a b c c -+=??++=??=?

123a b c =-??

=??=?2

(1)4x --+AQ BQ =

=AB =

当AB=AQ

解得：，∴Q 点坐标为（1

）或（1

，）；

当AB=BQ

，

∴Q 点坐标为（1，0）或（1，6）；

当AQ=BQ

，解得：，

∴

Q 点坐标为（1，1）．

∴抛物线的对称轴上是存在着点Q （1

）、（1，

）、（

1，0）、（1，6）、（1，1），使△ABQ 是等腰三角形．

解：（1）设直线AB 的函数解析式为y ＝mx ＋n 将点A （－2，2），B （6，6）代入得：

???－2m ＋n ＝26m ＋n ＝6

得m ＝12，n ＝3∴y ＝12x ＋3当x ＝0时y ＝3 ∴E (0，3)

(2)设抛物线的函数解析式为y ＝ax ＋bx 将A （－2，2）B (6，6)代入得???4a －2b ＝2

36a ＋6b ＝6

解得a ＝14，b ＝－12∴抛物线的解析式为y ＝14x 2－1

（3）

m ==120,6m m ===1m =

过点N 做x 轴的垂线NG ，垂足为G ，交OB 于点Q ，过B 作BH ⊥x 轴于H ，设N (x ，

4x 2

－12

x )

则Q （x ，x ）则S ?BON ＝ S ?BON ＋ S ?BON

＝12×QN ×OG ＋12×QN ×HG ＝12×QN ×(OG ＋HG )＝12×QN ×OH ＝1

2〔x －(14x 2－12x ) 〕×6

＝－34x 2＋92x ＝－34(x －3)2

＋274

(0＜x ＜6)

∴当x ＝3时，?BON 面积最大，最大值为274此时点N 的坐标为（3，34）

8.如图11，已知抛物线过点A （0，6），B （2，0），C （7，5

）. （1）求抛物线的解析式；

（2）若D 是抛物线的顶点，E 是抛物线的对称轴与直线AC 的交点，F 与E 关于D 对称，求证：∠CFE=∠AFE.

解：（1）抛物线经过点A （0，6），B （2，0），C （7，

）的抛物线的解析式为y =ax 2+bx +c ，则：642054972c a b c a b c ??=?

++=???++=?

解得1

,4, 6.2

a b c ==-=

∴此抛物线的解析式为2

1462

y x x =

-+ （2）过点A 作AM ∥x 轴，交FC 于点M ，交对称轴于点N. ∵抛物线的解析式21462y x x =

-+可变形为()2

1422

y x =-- ∴抛物线对称轴是直线x =4，顶点D 的坐标为（4，－2）.则AN=4. 设直线AC 的解析式为11y k x b =+,

则有1116

572

b k b =??

?+=??，解得11

1,62k b =-=.∴直线AC 的解析式为1 6.2y x =-+ 当x=4时，1

46 4.2

y =-?+=∴点E 的坐标为（4，4）， ∵点F 与E 关于点D 对称，则点F 的坐标为（4，－8）设直线FC 的解析式为22y k x b =+,

则有222248

572

k b k b +=-??

?+=??，解得227,222k b ==-.

∴直线AC 的解析式为7

22.2

y x =

- ∵AM 与x 轴平行，则点M 的纵坐标为6. 当y =6时，则有

226,2

x -=解得x =8. ∴AM =8,MN=A M —MN=4∴AN =MN ∵FN ⊥AM ∴∠ANF=∠MNF

又NF=NF ∴△ANF ≌△MNF ∴∠CFE=∠AFE

9.如图，抛物线2

y ax bx c =++交x 轴于点(3,0)A -，点(1,0)B ,交y 轴于点(0,3)E -．点C 是点A 关于点B 的对称点，点F 是线段BC 的中点，直线l 过点F 且与y 轴平行．直线

y x m =-+过点C ，交y 轴于点D ．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点K 为线段AB 上一动点，过点K 作x 轴的垂线与直线CD 交于点H ，与抛物线交于点G ,求线段HG 长度的最大值；

（3）在直线l 上取点M ，在抛物线上取点N ，使以点A ，C ，M ，N 为顶点的四边是平行

四边形，求点N 的坐标．

图①备用图

【答案】解：（1）设抛物线的函数表达式(1)(3)y a x x =-+ ∵抛物线与y 轴交于点(0,3)E -，将该点坐标代入上式，得1a =． ∴所求函数表达式(1)(3)y x x =-+，即223y x x =+-．（2）∵点C 是点A 关于点B 的对称点，点(3,0)A -，点(1,0)B ，∴点C 的坐标是(5,0)C ．

将点C 的坐标是(5,0)C 代入y x m =-+，得5m =． ∴直线CD 的函数表达式为5y x =-+．

设K 点的坐标为(,0)t ，则H 点的坐标为(,5)t t -+，G 点的坐标为2

(,23)t t t +-． ∵点K 为线段AB 上一动点，∴31t -≤≤．

∴222

341

(5)(23)38()2

HG t t t t t t =-+-+-=--+=-++

． ∵3312-≤-≤，∴当32t =-时，线段HG 长度有最大值41

．

（3）∵点F 是线段BC 的中点，点(1,0)B ，点(5,0)C ，∴点F 的坐标为(3,0)F ． ∵直线l 过点F 且与y 轴平行，∴直线l 的函数表达式为3x =． ∵点M 在直线l 上，点N 在抛物线上，

∴设点M 的坐标为(3,)M m ，点N 的坐标为2

(,23)N n n n +-． ∵点(3,0)A -，点(5,0)C ，∴8AC =．分情况讨论： ①

若线段AC 是以点A ，C ，M ，N 为顶点的四边是平行四边形的边，则须MN ∥AC ，

且MN ＝AC ＝8．

当点N 在点M 的左侧时，3MN n =-．∴38n -=，解得5n =-． ∴N 点的坐标为(5,12)N -．

当点N 在点M 的右侧时，3MN n =-．∴38n -=，解得11n =． ∴N 点的坐标为(11,40)N ．

②若线段AC 是以点A ，C ，M ，N 为顶点的平行四边形的对角线，由“点C 与点A 关于点B 中心对称”知：点M 与点N 关于点B 中心对称．取点F 关于点B 对称点P ，则点P 的坐标为(1,0)P -．过点P 作NP ⊥x 轴，交抛物线于点N ．将1x =-代入223y x x =+-，得4y =-．过点N ，B 作直线NB 交直线l 于点M ．在△BPN 和△BFM 中，

∵90NPB MBF BF BP BPN BFM ∠=∠??

=??∠=∠=??

∴△BPN ≌△BFM ． ∴NB ＝MB ．

∴四边形点ANCM 为平行四边形． ∴坐标为(1,4)--的点N 符合条件．

∴当点N 的坐标为(5,12)-，(11,40)，(1,4)--时，以点A ，C ，M ，N 为顶点的四边是平行四边形．