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参数估计和假设检验习题解答

参数估计和假设检验习题

1.设某产品的指标服从正态分布，它的标准差σ已知为150，今抽了一个容量为26的样本，计算得平均值为1637。问在5％的显著水平下，能否认为这批产品的指标的期望值μ为1600?

解: 01:1600, :1600,H H μμ=≠标准差σ已知,拒绝域为2

Z z α>,取0.05,α=26,n =

0.0250.9752

1.96z z z α===,

由检验统计量

1.25 1.96Z =

==<,接受0:1600H μ=,

即,以95%的把握认为这批产品的指标的期望值μ为1600.

2.某纺织厂在正常的运转条件下，平均每台布机每小时经纱断头数为O.973根，各台布机断头数的标准差为O.162根，该厂进行工艺改进，减少经纱上浆率，在200台布机上进行试验，结果平均每台每小时经纱断头数为O.994根，标准差为0.16根。问,新工艺上浆率能否推广(α=0.05)?

解: 012112:, :,H H μμμμ≥<

3.某电器零件的平均电阻一直保持在2.64Ω，改变加工工艺后，测得100个零件的平均电阻为2.62Ω，如改变工艺前后电阻的标准差保持在O.06Ω，问新工艺对此零件的电阻有无显著影响(α=0.05)?

解: 01: 2.64, : 2.64,H H μμ=≠已知标准差σ=0.16,拒绝域为2

Z z α>,取0.0252

0.05, 1.96z z αα===,

100,n =

由检验统计量 3.33 1.96Z =

==>,接受1: 2.64H μ≠,

即, 以95%的把握认为新工艺对此零件的电阻有显著影响.

4.有一批产品，取50个样品，其中含有4个次品。在这样情况下，判断假设H 0：p ≤0.05是否成立(α=0.05)?

解: 01:0.05, :0.05,H p H p ≤>采用非正态大样本统计检验法,拒绝域为Z z α>,0.950.05, 1.65z α==,

50,n =

由检验统计量0.9733Z =

==<1.65,接受H 0：p ≤0.05.

即, 以95%的把握认为p ≤0.05是成立的.

5.某产品的次品率为O.17，现对此产品进行新工艺试验，从中抽取4O0件检验，发现有次品56

件，能否认为此项新工艺提高了产品的质量(α=0.05)?

解: 01:0.17, :0.17,H p H p ≥<采用非正态大样本统计检验法,拒绝域为Z z α<-,400,n =

0.950.05, 1.65z α=-=-,由检验统计量

400

1.5973i x np

Z -=

=-∑>-1.65, 接受0:0.17H p ≥,

即, 以95%的把握认为此项新工艺没有显著地提高产品的质量.

6.从某种试验物中取出24个样品，测量其发热量，计算得x =11958，样本标准差s =323，问以5％的显著水平是否可认为发热量的期望值是12100(假定发热量是服从正态分布的)?

解: 01:12100, :12100,H H μμ=≠总体标准差σ未知,拒绝域为2

(1)t t n α>-,24,n = x =11958,

s =323,0.0250.05,(23) 2.0687t α==, 由检验统计量

2.1537t =

==>2.0687,拒绝0:12100H μ=,接受1:12100,H μ≠ 即, 以95%的把握认为试验物的发热量的期望值不是12100.

7．某食品厂用自动装罐机装罐头食品，每罐标准重量为500克，每隔一定时间需要检查机器工

作情况。现抽得10罐，测得其重量为(单位：克):195，510，505，498，503，492，ii02，612，407，506.假定重量服从正态分布，试问以95％的显著性检验机器工作是否正常?

解: 01:500 :500H vs H μμ=≠,总体标准差σ未知,拒绝域为2

(1)t t n α>-,10,n =经计算得到

x =502, s =6.4979,取0.0250.05,(9) 2.2622t α==,由检验统计量

0.9733t =

==<2.2622, 接受0:500 H μ= 即, 以95%的把握认为机器工作是正常的.

8.有一种新安眠药，据说在一定剂量下，能比某种旧安眠药平均增加睡眠时间3小时，根据资料

用某种旧安眠药时，平均睡眠时间为20.8小时。标准差为1.6小时，为了检验这个说法是否正确，收集到一组使用新安眠药的睡眠时间为26.7，22.O ，24.1，21.O ，27 .2，25.0，23.4。试问：从这组数据能否说明新安眠药已达到新的疗效(假定睡眠时间服从正态分布，α=0.05)。

解: 01:23.8 :23.8H vs H μμ≥<,已知总体标准差σ =1.6,拒绝域为Z z α<-,7,n =经计算得到

x =24.2,取0.950.05, 1.65z α=-=-,由检验统计量

0.6614

x Z =

==>-1.65, 接受0:23.8H μ≥

即, 以95%的把握认为新安眠药已达到新的疗效.

9．测定某种溶液中的水份，它的l0个测定值给出x =0.452%,s =O.037%，设测定值总体服从正

态分布,μ为总体均值,σ为总体的标准差,试在5％显著水平下,分别检验假(1)H 0: μ=O.5％; (2)H 0: σ=O.04％。

解:(1)H 01: μ=O.5％,11:0.5%H μ≠, 总体标准差σ未知,拒绝域为2

(1)t t n α>-,10,n =

x =0.452%,s =O.037%,取0.0250.05,(9) 2.2622t α==,由检验统计量

4.102t =

==>2.2622,拒绝H 0: μ=O.5％, (2) H 02:σ=0.04%, H 12:σ≠0.04%,拒绝域为2222

(1) (1)n n ααχχχχ-≤-≥-或,10,n =取α=0.05,

0.975

0.025

(9) =2.7 (9)19.023χ

χχ

≥=,,由检验统计量2

(1)(101)0.000377.70060.0004n s χσ--=

==,

即2

2.77.700619.023χ<=<,接受H 02:σ=0.04%.

10.有甲、乙两个试验员，对同样的试样进行分析，各人试验分析结果见下表(分析结果服从正态分布

解:(1)2222

0112

1112:, :,H H σσσσ=≠拒绝域为121212

(1,1) (1,1)F F n n F F n n α

α-

≤--≥--或,128,

n n ==取α=0.05, 0.9750.0250.0251(7,7)0.2004 , (7,7) 4.99(7,7)

F F F =

==,经计算22

0.2927,0.2927,s s == 由检验统计量2212/0.2927/0.29271F s s ===,

接受22

0112:,H σσ=

(2) 02121212:, :H H μμμμ=≠拒绝域为122

(2)t t n n α>+-,128,n n == 0.0250.05,(14) 2.1448t α==,

并样本得到22

21122

12(1)(1)2

n s n s s n n -?+-?=+-=0.2927, w s =0.5410, 由检验统计量

-0.6833t =

=<2.1448, 接受0212:,H μμ=

即, 以95%的把握认为甲、乙两试验员试验分析结果之间无显著性的差异.

11.为确定肥料的效果，取1000株植物做试验。在没有施肥的100株植物中，有53株长势良好；在已施肥的900株中，则有783株长势良好，问施肥的效果是否显著(α=O.01)?

解:(1)22220112

1112:, :,H H σσσσ=≠拒绝域为121212

(1,1) (1,1)F F n n F F n n α

α-

≤--≥--或,取α=0.01,

12100,900,n n ==0.9950.0050.0051

(99,899)0.7843 , (99,899) 1.3(899,99)

F F F =

==,计算

125353783783(1)0.2491,(1)0.1131,100100900900

s s =

?-==?-= 由检验统计量 2212/0.2491/0.1131 2.2025F s s ===, 拒绝220112:,H σσ=

(2) 02121212:, :H H μμμμ≤>拒绝域为12(2)t t n n α>+-,12100,900,n n ==0.010.01,() 2.4121t α=∞≥

并样本得到22

21122

12(1)(1)2

n s n s s n n -?+-?=+-=0.1266, w s =0.3558, 由检验统计量

-9.0656x y t =

==<2.4121, 接受0212:,H μμ≤

即, 以95%的把握认为施肥的效果有显著性的差异. (备注: 0.005(99,899)F =1.43+(1.43-1.69)*0.5=1.3, 0.025(899,99)F =1.36+(1.36-1.53)*0.5=1.275)

12.在十块地上同时试种甲、乙两种品种作物，设每种作物的产量服从正态分布，并计算得

x =30.97,y =21.79,x s =26.7,y s =12.1。这两种品种的产量有无显著差别(α=O.01)?

解:(1)22220112

1112:, :,H H σσσσ=≠拒绝域为121212

(1,1) (1,1)F F n n F F n n α

α-

≤--≥--或,1210,n n ==取

α=0.01, 0.9950.0050.0051(9,9)0.1529 , (9,9) 6.54(9,9)

F F F =

==,有题设22

712.89,146.41,x y s s ==

由检验统计量2212/712.89/146.41 4.8691F s s ===, 接受22

0112:,H σσ=

(2) 02121212:, :H H μμμμ≥<,拒绝域为12(2)t t n n α<-+-,0.010.01,(18) 2.5524t α==-,1210,n n ==

并样本得到22

21122

12(1)(1)2

n s n s s n n -?+-?=+-=(9×712.89+9×146.41)/18=429.6500, w s =20.7280, 由检验统计量

0.9903x y t =

==>-2.5524, 接受0212:,H μμ≥

即, 以95%的把握认为此两品种作物产量有显著差别,并且是第一种作物的产量显著高于第

二种作物的产量.

13.从甲、乙两店备买同样重量的豆，在甲店买了10次，算得y =116.1颗，10

21()i i y y =-∑=1442；

在乙店买了13次，计算x =118颗，13

()i i x x =-∑=2825。如取α=0.01，问是否可以认为甲、乙两店的

豆是同一种类型的(即同类型的豆的平均颗数应该一样)？

解:(1)22220112

1112:, :,H H σσσσ=≠拒绝域为121212

(1,1) (1,1)F F n n F F n n α

α-

≤--≥--或,110,n =

213,n =取α=0.01, 0.005 (12,9) 5.20F =,0.9950.0051(12,9)0.1605 ,(9,12)

F F =

=,有题设2

235.25,x

s =

2160.2222,y s =由检验统计量22

/235.25/160.2222 1.4683x y F s s ===, 接受220112

:,H σσ= (2) 02121212:, :H H μμμμ=≠,拒绝域为122

(2)t t n n α>+-,0.0050.01,(11) 3.1058t α==,110,n =

213,n =并样本得到22

21122

12(1)(1)2

n s n s s n n -?+-?=+-=(2823+1442)/11=387.7273, w s =19.6908, 由检验统计量

0.2294x y t =

==<3.1058, 接受0212:,H μμ=

即, 以95%的把握认为此甲、乙两店的豆是同一种类型的.

14.有甲、乙两台机床加工同样产品，从此两台机床加工的产品中随机抽取若干产品，测得产品直

径(单位：Illm)为机床甲：20.5，19.8，19.7，20.4，20.1，20.0，19.0，19.9; 机床乙：19.7，20.8，20.5，19.8，19.4，20.6，19.2.试比较甲、乙两台机床加工的精度有无显著差异（α=5％)?

解:(1)22220112

1112:, :,H H σσσσ=≠拒绝域为121212

(1,1) (1,1)F F n n F F n n α

α-

≤--≥--或,128,7n n ==,

取α=0.05, 0.9750.0250.0251(8,7)0.2041 , (8,7) 4.53(7,8)

F F F =

==,经计算22

0.2164,0.3967,s s == 由检验统计量 2212/0.2164/0.39670.5455F s s ===, 接受22

0112:,H σσ=

(2) 02121212:, :H H μμμμ=≠拒绝域为122

(2)t t n n α>+-, 128,7n n ==,0.0250.05,(13) 2.1604t α==,

并样本得到22

112212(1)(1)70.216460.3967

0.2996213

n s n s s n n -?+-??+?===+- w s =0.5474, 由检验统计量

-0.2657t =

=<2.1604, 接受0212:,H μμ=

即, 以95%的把握认为甲、乙两台机床加工的精度结果之间无显著性的差异.

15．某工厂所生产的某种细纱支数的标准差为1.2，现从某日生产的一批产品中，随机抽16缕进行支数测量，求得样本标准差为2.1，问纱的均匀度是否变劣?

解:01: 1.2, : 1.2,H H σσ=≠ 拒绝域为2222

(1) (1)n n ααχχχχ-≤-≥-或,16,n =取α=0.05,

0.975

0.025

(15) = 0.0364 (15)27.4884χ

χχ

≥=,,由检验统计量2

(1)(161)2.145.93751.2n s χσ--=

==,

即2

45.937527.4884χ=>, 拒绝H 0:σ=1.2

即, 以95%的把握认为生产的纱的均匀度是变劣了。

16．从一批钉子中抽取16枚，测得其长度为(单位：m):2.14,2.10,2.13,2.15,2.13,2.12, 2.13,2.10,2.15,2.12,2.14,2.10,2.13,2.11,2.14,2.11.设钉长分布为正态，试在下列情况下求总体

期望值μ的90％置信区间： (1)已知σ=0.Ol(cm)；(2) σ为未知。

解:

>> y1=[2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.10 2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11] >>mean(y1),得到点估计 1y =0.1250, n =16 (1) 已知σ=0.Ol,~(0,1)

x N ,取0.952

0.1, 1.65z z αα===

包含总体期望值μ的90％置信区间为2

(//x z x z αασσ-+

(2) σ为未知, ~(1)

x t n -,取0.052

0.1,(1)(15) 1.7531t n t αα=-==

包含总体期望值μ的90％置信区间为0.050.05((15)(15)/x t s x t s -?+?

17.包糖机某日开工包了12包糖，称得的重量(单位：两)分别为10.1，10.3，10.4，10.5，10.2，

9.7，9.8，10.1，10.0，9.9, 9.8,10.3，假设重量服从正态分布，试由此数据对糖包的平均重量作置信度为95%的区间估计。

解:

>>x10=[10.1 10.3 10.4 10.5 10.2 9.7 9.8 10.1 10.0 9.9 9.8 10.3] >> [mu,sigma,muci,sigmaci]=normfit(x10,0.05)

得到平均重量点估计 mu = 10.0917, 置信区间为 muci =[9.9281,10.2553],

sigma = 0.2575, 置信区间为 sigmaci =[0.1824,0.4371]

18.某电子产品的某一参数服从正态分布，从某天生产的产品中抽取15只产品，测得该参数为3.0,2.7,2.9,2.8,3.1,2.6,2.5,2.8,2.4,2.9,2.7,2.6,3.2,3.0,2.8。试对该参数的期望值和方差作置信度分别为95%和99％的区间估计。

解:

>> x12=[3.0 2.7 2.9 2.8 3.1 2.6 2.5 2.8 2.4 2.9 2.7 2.6 3.2 3.0 2.8] 取定α=0.05,

>> [mu,sigma,muci,sigmaci]=normfit(x12,0.05)

得到参数的期望值点估计mu =2.8000, 95%置信区间为muci =[2.6762, 2.9238]; 方差点估计sigma =0.2236, 95%置信区间为sigmaci=[0.1637, 0.3527] 取定α=0.05,

>> [mu,sigma,muci,sigmaci]=normfit(x12,0.01)

得到参数的期望值点估计mu=2.8000, 99%置信区间为muci=[2.6281,2.9719]

方差点估计sigma =0.2236, 99%置信区间为sigmaci=[0.1495,0.4145]

19.为了在正常条件下，检验一种杂交作物的两种新处理方案，在同一地区随机挑选8块地段，

解：

>> x=[86 87 56 93 84 93 75 79],>> mean(x) 得到81.6250x =

>> y=[80 79 58 91 77 82 74 66],>> mean(y) 得到75.8750y =

128,n n == 计算22

21122

12(1)(1)2

n s n s s n n -?+-?=+-，得到w s ,

取定α=0.05, 由样本统计量

122

(2)t t n n α=

最后，得到x y μμ

-的置信水平为95%的一个置信区间为

12122

((2)(2)x y t n n s x y t n n s αα--+-?-++-? 20.设两位化验员A 、B 独立地对某种聚合物的含氯量用相同的方法各作了10次测定，其测定值

的方差2s 依次为0.5419和0.6065，设2A σ和2

B σ分别是A 、B 两化验员测量数据总体的方差，且总体服从正态分布，求方差比2A σ/2B σ的置信度为90％的置信区间。

解:1210,n n ==22

0.5419,0.6065A

B s s ==,取α=0.1,0.05(9,9) 3.18F =， 0.950.051

(9,9)0.3145 , (9,9)

F F ==

方差比2A σ/2

B σ的置信度为90％的置信区间为

2212121211(,)(1,1)(1,1)

A A

B B s s s F n n s F n n αα-----