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第4章习题

142 习题 4

1. f (x ) = x T A x ,A T = A , x ∈R n 。

(1) 若A 为半正定矩阵,试证f (x ) 在R n 中为凸函数。 (2) 若A 为正定矩阵,试证f (x ) 在R n

中为严格凸函数。

2. 求函数f (x,y ) =3axy –x 2- y 2

,(a >0) 的驻点,极值点。 3. 求函数f (x 1,x 2) =(x 1- x 12)2的极值点, 是否是严格的极值点? 4. 在半径为R 的已知圆的一切内接三角形中,求出其面积最大者。

5. 设 x =(x 1, x 2, x 3)T

, A = (a ij )3×3,A T

=A ,试直接展开f (x ) = x T

A x ,然后验证

?f (x ) = 2A x 。 6. 设f (x )在点x

(0)

的台劳展开式为

f (x ) = f (x (0)) +( x - x (0))T ?f (x (0)) +

2

1( x - x (0))T 2?f (x (0))( x - x (0))

试证:?f (x ) =?f (x

(0)

) +2?f (x

(0)

)( x - x

(0)

)

7. 判断下列函数是否是凸函数,凹函数,严格凸函数或严格凹函数。 (1) f (x 1,x 2) = 2x 12

+3x 22

, (2) g (x 1,x 2) = x 13-x 23,(x 1< -3

1)

(3)

h (x 1,x 2,x 3) = x 12+2x 22+x 32

- x 1x 2-2x 3-7x 1+12。

8. 设f (x )为定义在凸集D 上的凸函数,试证f (x )的任何局部极小点,同时也必为全局极 小点。

9. 设f (x )是在凸集D 上的可微凸函数,x *为D 的一个内点,若?f (x *) = 0,试证x * 为f (x )在D 上的全局极小点。

10. 对已知三点的函数值f (x 1),f (x 2),f (x 3),其中x 3-x 2 = x 2-x 1 = △x 。证明二次插值公 式

x = x 2+

)]

()(2)([2)]()([32131x f x f x f x x f x f +-?-

11. 已知f (x 1),f '(x 1) 及f (x 2),证明二次插值公式

x = x 1-

)

()()]()([)

()(21

1121212

12x f x x x f x f x f x x '---'-

12. 已知f '(x 1),f '(x 2),f '(x 1)≠f '(x 2),证明二次插值公式。

x = x 2+)

()()(212x f x f x f '-''( x 2-x 1)

13. 设f (x )=(x 1-1)2+(x 2-1)2, 用最速下降法求f (x )的最小值点, 取ε= 0.1,试证取初

第4章习题

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