12.1.2轴对称

沙圪塔中学 12.1.2 轴对称 编者: 刘晓光 时间 班级 姓名 学好数学，争当人杰

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12.1.2 轴对称 学案

学习目标：

1、识记线段垂直平分线的定义

2、理解轴对称图形的性质

3、掌握并会用线段垂直平分线的性质 教学过程： 一、预习新知 （认真阅读P31页思考－P33页探究前的内容）

1、思考部分可在课本上沿MN 对折或用测量的方法进行探究 归纳: （1）线段垂直平分线的概念 ________________________ （2）轴对称的性质 1、________________________

2、________________________ 2、探究部分要动手操作，找出你发现的规律：P 1A ＝____，P 2A ＝____，

（特别注意l 与线段AB 的关系） 由此可得到线段垂直平分线的性质：________________________ 用我们以前学过的知识证明这个性质 二、课堂展示 1、如图，△ABC 中，AD 垂直平分BC ，AB ＝5，则

AC ＝_________.

2、△ABC

与△A ′B ′C ′，关于直线

l 对称，且AB ＝4,则A ′

B ′＝ _________. 3、 如图△AB

C 与△DEF 关于直线MN 对称，直线MN 与线段A

D 的位置关系是 ______.

4、如图△

ABC 中,BC 的垂直平分线交AB 于E ，若△ABC 的周长为10cm ，

BC ＝4cm ，则△ACE 周长为_________.

5、如图AD ⊥BC ，BD ＝DC ，点C 在AE 的垂直平分线上，AB 、CE 的长度有

什么关系，AB+BD 与DE 有什么关系？

思维延伸

如图所示，直线MN 和DE 分别是线段 AB 、BC 的垂直平分线，它们交于P 点，请问PA 和 PC 相等吗?为什么? 三、本节课你有什么收获? 1

3

4 A

B D

C E

轴对称图形知识点归纳

轴对称知识梳理 一、基本概念 1.轴对称图形 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点，叫做对称点. 2.线段的垂直平分线 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线 3.轴对称变换 由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换. 4.等腰三角形 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 5.等边三角形 三条边都相等的三角形叫做等边三角形. 二、主要性质 1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.或者说轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 2.线段垂直平分钱的性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 3.（1）点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标为P′（x，-y）. （2）点P（x,y）关于y轴对称的点的坐标为P″（-x，y）. 4.等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）. （2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合. （3）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴. （4）等腰三角形两腰上的高、中线分别相等，两底角的平分线也相等. （5）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半。 （6）等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个三角形的底边. 5.等边三角形的性质 （1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°. （2）等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴. （3）等边三角形每边上的中线、高和该边所对内角的平分线互相重合. 三、有关判定 1.与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 2.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）. 3.三个角都相等的三角形是等边三角形. 4.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

1-轴对称图形

〖进门测〗 1.如图，∠ADB=°． 2．如图，已知AE＝AF，AB＝AC，若用“SAS”证明△AEC≌AFB，还需要条件. 2题图 3题图 4题图 3．如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，点C是AD的中点，也是BE的中点，若DE=20米，则AB= 米． 4．如图，AD是△ABC的角平分线，∠B=32°，∠C=70°，∠BAD=. 5．在湖的两岸A、B间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接度量A、B两点间的距离．请你用学过的数学知识按以下要求设计一测量方案． （1）画出测量图案； （2）写出测量步骤（测量数据用字母表示）； （3）计算AB的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）．

数学学科教师讲义 教务主任签字：签字日期： 学员姓名：年级：课时数： 辅导科目：学科教师：上课次数： 课题 授课日期及时段 作业情况 作业布置 教学内容 〖知识要点〗 要点一、轴对称图形 轴对称图形的定义 一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴. 要点诠释： 轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定. 要点二、轴对称 1.轴对称定义 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点 要点诠释： 轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴对称的两个图形一定全等. 2.轴对称与轴对称图形的区别与联系 轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称. 例题1：判断轴对称图形 1、下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（） A．B．C．D．

与轴对称相关的最值问题

图（5） C B 与轴对称相关的最值问题 【典型题型一】 ：如图，直线 l 和l 的异侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA+PB 【典型题型二】如图，直线l 和l 的同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA+PB 最小。 【练习】1、(温州中考题)如图（5），在菱形ABCD 中，AB=4a,E 在BC 上， EC=2a ，∠BAD=1200 ,点P 在BD 上，则PE+PC 的最小值是（ ） 解：如图（6），因为菱形是轴对称图形，所以BC 中点E 关于对角线 BD 的对称点E 一定落在AB 的中点E 1，只要连结CE 1，CE 1即为PC+PE 的最小值。这时三角形CBE 1是含有300 角的直角三角形，PC+PE=CE 1=23a 。所以选（ D ）。 2、如图（13），一个牧童在小河南4英里处牧马，河水向正东方流去，而他正位于他的小屋B 西8英里北7英里处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他能够完成这件事所走的最短距离是（ ） （A ） 4+185英里 （B ） 16英里 （C ） 17英里 （D ） 18英里 3．如图，C 为线段BD 上一动点，分别过点B 、D 作AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，连接AC 、EC 。 已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x. 请问点C 满足什么条件时，AC ＋CE 的值最小? 4．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，D 是BC 边的中点，E 是AB 边上 一动点，则EC ＋ED 的最小值为_______。 即是在直线AB 上作一点E ，使EC+ED 最小作点C 关于直线AB 的对称点C'，连接DC'交 AB 于点E ，则线段DC'的长就是EC+ED 的最小值。在直角△DBC'中DB=1，BC=2， 根据勾股定理可得，DC'= 5 5．如图，等腰Rt △ABC 的直角边长为2，E 是斜边AB 的中点，P 是AC 边 上的一动点，则PB+PE 的最小值为 即在AC 上作一点P ，使PB+PE 最小 作点B 关于AC 的对称点B'，连接B'E ，交AC 于点P ，则B'E = PB'+PE = PB+PE B'E 的长就是PB+PE 的最小值 在直角△B'EF 中，EF = 1，B'F = 3根据勾股定理，B'E = 10 6．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内， 在对角线AC 上有一点P ，使PD ＋PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A ．2 3 B ．2 6 C ．3 D ． 6 即在AC 上求一点P ，使PE+PD 的值最小点D 关于直线AC 的对称点是点B ， 连接BE 交AC 于点P ，则BE = PB+PE = PD+PE ，BE 的长就是PD+PE 的最小值BE = AB = 2 3 7．如图，若四边形ABCD 是矩形， AB = 10cm ，BC = 20cm ，E 为边BC 上的一个动点，P 为BD 上的一个动点，求PC+PD 的最小值； 作点C 关于BD 的对称点C'，过点C'，作C'B ⊥BC ，交BD 于点P ，则C'E 就是PE+PC 的最小 值直角△BCD 中，CH = 20 5 错误！未定义书签。直角△BCH 中，BH = 8 5 △BCC'的面积为： BH ×CH = 160 所以 C'E ×BC = 2×160 则CE' = 16 ' B A

轴对称与坐标轴

第三节、轴对称与坐标轴 今日复习 1.对称点的坐标特征:两点关于x轴对称，横坐标________,纵坐标________;关于y轴对称,纵坐标________;横坐标________;关于原点对称，横、纵坐标均________. 2.(1)当图形上各点的横坐标不变,纵坐标加上m,图形将纵向平移|m|个单位，若m>0,则向________平移;若m<0,则向________平移. (2)当图形上各点的纵坐标不变，横坐标加上m,图形将横向平移|m|个单位，若m>0,则向________平移;若m<0,则向________平移. 名师点拨 1.点P(a,b)关于第一、三象限角平分线的对称点为(b,a),点P(a,b)关于第 二、四象限角平分线的对称点为(-b,-a) 2.求平行四边形第四个顶点坐标最常用的方法是:线段的坐标平移法则.

本章回顾与思考 今日复习 1.点(a,b)与________关于直线y=x对称,点(a,b)与________关于直线y=-x 对称,遇到无公式、法则可套用的对称问题，就画出图形,借助图形的几何性质解决. 2.平行于x轴直线上的点,横坐标可任意取值,纵坐标不变;平行于y轴直线上的点,纵坐标可任意取值,横坐标不变, 3.两点间的距离公式:=________.特别地，当//x轴时,=________;当//y轴时,=|| 4.线段中点坐标公式:已知点P是线段AB的中点，且A(),B(),P(),则________. 名师点拨 1.直角坐标系中三角形的面积求法: (1)当三角形有一边在坐标轴上或平行于坐标轴时，先用三角形的顶点坐标表示其底边和高，再用公式求面积。 (2)当三角形的三边都不平行于坐标轴时，先过顶点向坐标轴作平行线，构造矩形，再用矩形面积减去三个小三角形的面积。 2.线段与图像的平移:其中一组对应点的平移规律就是整个图形的平移规律.

美丽的轴对称图形

《美丽的轴对称图形》教案 第二课时美丽的轴对称图形 一、教学目标： 1、学生通过观察、操作，初步感知轴对称现象。 2、让学生能在方格纸上画出简单的轴对称图形。 3、通过观察操作活动，发展学生的空间观念，培养学生的观察能力和动手操作能力，学会欣赏数学美，增强学生学习的兴趣。 二、教学重点： 观察操作，初步感知轴对称现象。 三、教学难点： 结合实例感知轴对称现象。 四、教具准备： 实体标本：美丽的蝴蝶、黄绿色的蜻蜓、红艳艳的枫叶及京剧脸谱等图形 五、学具准备： 图画纸、彩色纸、剪刀、实体标本、树叶若干片、胶水若干瓶、图形、画有等距离点子的方格纸。 六、教学过程： 观察激情： 教师出示实物标本：美丽的蝴蝶、黄绿色的蜻蜓、红艳艳的枫叶及京剧脸谱等图形。这些昆虫标本、树叶及图形好看吗？学生被这些鲜艳的色彩、美丽的图案吸引住了，异口同声地说：“很美，很漂亮”。“他们有什么特征？”生：“两边的形状是一样的”。“你在日常生活中还见过类似特征的东西吗？”同学们纷纷举手抢答，教师根据学生的回答（如飞机、剪刀、花瓶、黑板、镜子等）把这些图形贴或画在黑板上，接着说：“今天我们一起来认识、研究这类图形有什么共同的特征，通过你们自己动手、动脑学会一种新本领，并运用你学到的新本领设计出许多更多、更美的东西和图案，使我们的生活变的更丰富，美丽。” 操作明理： 剪剪、折折、发现特征。 （1）指导学生把图画纸对折，如左图画出小树图。用剪刀沿图案剪下来，打开观察。（2）自己在用一张彩色指对折，在折好的一侧画出自己想画图形的一半，在剪下来打开（有的是一朵花、有的是一片树叶或各种装饰图案等）教师问：“这些图形虽各不相同，但它们有一个共同的特征，你能找出来吗？”（两半图形完全相同，大小一样）。 （3）请学生把打开的两半、再沿折痕对折，你又发现了什么？（两半完全重合） （4）教师把印有下列图案的工作纸、分别发给每个小组，要求照刚才的方法对折观察，讨论总结这些图形也有什么特征。 师生共同概括出：如果把一个图形沿着一条直线对折过来，在直线两边的图形完全重合，这种图形就是轴对称图形，折痕所在的这条直线是这个图形的对称轴。

轴对称图形张齐华精编

轴对称图形张齐华精编 Document number：WTT-LKK-GBB-08921-EIGG-22986

张齐华《轴对称图形》实录 我心飞翔整理 一、谈话导入： 师：好，同学们，恩简单自我介绍一下，我姓张，同学们可以称呼我张老师。哎呀！张老师的记性特别差，刚刚一接触就忘了，咱们是六几班啊 生：六（1）班。 师：今天，张老师非常高兴，和咱们碧波小学的六（1）班的同学在接近吃午饭的时候，咱们一起来，上这一节课。张老师觉得高兴，同学们，你们觉得高兴吗 生：高兴。（大声齐说） 师：声音给了张老师不少的信心。说实话，张老师一开始也是满怀着期待和高兴的心情，来准备上这堂课的。可是呀，一走进这会场，张老师可有点高兴不起来了，为什么呢是因为张老师心里呀有那么一点小小的担心，谁知道张老师现在可能担心什么来，你说。 生：恩，我认为你是在担心怕我们表现不好。 师：他觉得怕你们会表现不好，同学们，你们会这样吗生：不会。（齐说） 师：不是这样的，哎，你说。 生：老师可能在担心上课时候会出错。 师：其余同学有这担心吗 生：没有。（齐说） 师：同学们不担心，我也不担心了。好，你来。 生：我觉得老师会觉得我们有一点紧张。 师：紧张吗 生：不紧张。 师：我也不担心这个。这样吧，张老师就直说好不好其实张老师的担心非常的简单，就一个字，猜也猜不出来，张

老师最担心的是咱们六（1）班的同学会不会“玩”。弯腰说：会玩吗 生（大声说）：会。 师：张老师有点不大相信，说实话啊，现在的孩子还真不怎么会玩。你们真会玩 生：会。 师：口说无凭，老师这有一张白纸（出示一张白纸）如果是你的话，你会怎么玩（生无声），不是都说挺会玩吗好，你来。 生：我会折飞机。 师：哎呀！第一次听说女孩也会折飞机，挺好！来，你。生：我会折青蛙。 师：然后…… 生：然后跟同学一起玩。 师：你真是调皮、可爱。好的！ 生：我会把它折成一小块一小块的，折成星星，然后呢，许个愿望！ 师：呀，很有诗意！挺好！来，这位女同学。 生：我会把这张纸裁剪成一个窗花。 师：恩，好。看来咱们这一班同学还真会玩。想知道张老师怎么玩这张纸吗（想）那可就认真瞧了。 师：先把这张纸对折，然后啊从这个折痕的地方，任意地撕下一块。虽然任意，但是撕的还是挺认真的。（师边操作边说）想玩吗 生：想。 师：谁都有机会。每个同学桌上都有一张白纸，不妨这样来玩一玩。开始！ 操作一：学生撕纸（师：撕的时候可要认真了。）秒。

第7讲轴对称最值模型(原卷版)

中考数学几何模型7：轴对称最值模型名师点睛拨开云雾开门见山

B' Q D A' A P B C

典题探究启迪思维探究重点例题1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，动点P满足S△P AB＝S矩形ABCD，则点P到A，B两点距离之和P A+PB的最小值为． 变式练习>>> 1．如图Rt△ABC和等腰△ACD以AC为公共边，其中∠ACB＝90°，AD＝CD，且满足AD⊥AB，过点D 作DE⊥AC于点F，DE交AB于点E，已知AB＝5，BC＝3，P是射线DE上的动点，当△PBC的周长取得最小值时，DP的值为（）

A．B．C．D． 例题2. 如图所示，凸四边形ABCD中，∠A＝90°，∠C＝90°，∠D＝60°，AD＝3，AB＝，若点M、N分别为边CD，AD上的动点，求△BMN的周长的最小值. 变式练习>>> 2．如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（）

A．140°B．100°C．50°D．40° 例题3. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，CB＝CA＝4，∠A的平分线交BC于点D，若点P、Q分别是AC 和AD上的动点，则CQ+PQ的最小值是． 变式练习>>> 3．如图，已知等边△ABC的面积为4，P、Q、R分别为边AB、BC、AC上的动点，则PR+QR的最小

值是（） A．3B．2C．D．4 例题4. 如图，∠MON＝30°，A在OM上，OA＝2，D在ON上，OD＝4，C是OM上任意一点，B是ON上任意一点，则折线ABCD的最短长度为． 变式练习>>> 4. 如图，在长方形ABCD中，O为对角线AC的中点，P是AB上任意一点，Q是OC上任意一点，已知：

2018中考专题复习轴对称最值

2015中考专题复习一一轴对称之最值 例题讲解 1. （2013?苏州）如图，在平面直角坐标系中，Rt △ OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上.顶点B 的坐标为（3, 岳，点C 的坐标为（3, 0）,点P 为斜边OB 上的一个动点，则 PA+PC 的最小值为（ ） A . |：： B. ? C . - ' D . 2.「 2 ~2~ 2. （2011?本溪）如图，正方形 ABCD 的边长是4, / DAC 的平分线交DC 于点E ,若点P 、Q 分别是AD 和AE 上的动点，贝U DQ+PQ 的最小值（ ） A . 2 B . 4 C . 2 ] D . 4.:: 3. （2013?宛城区一模）点A , B 均在由边长为1的相同小正方形组成的网格的格点上， 建立平面直角坐标 系 如图所示，若P 是x 轴上使得|PA - PB|的值最大的点，Q 是y 轴上使得QA+QB 的值最小的点，则OP+OQ= （ ） A . 7 B . 4 C . 14 2 3 4. 如图，A 是半圆上的一个二等分点, 径r=1，贝U PA+PB 的最小值是（ 6. 如图，MN 是OO 的直径，点A 是半圆上的三等分点，点 B 是劣弧AN 的中点，点P 是直径MN 上一 动点.若 MN=2 一；贝U PA+PB 的最小值是（ ） B 是半圆上的一个六等分点，P 是直径MN 上的一个动点，O O 半 使点P 到点A 和点B (0, 0) A B Q -■ (4, 0) B . (-2, ) 5.如图，在平面直角坐标系中，点 的距离之和最小，则点 P 的坐标是（ 4) , B (4, 2),在x 轴上取一点P , D A B D C . (2, 0)

八年级数学上册：平面直角坐标系中的轴对称 练习(含答案)

八年级数学上册：平面直角坐标系中的轴对称练习(含答案) 一．选择题（共8小题） 1．点（3,2）关于x轴的对称点为（） A．（3,﹣2）B．（﹣3,2）C．（﹣3,﹣2）D．（2,﹣3） 2．点P（﹣2,1）关于y轴对称的点的坐标为（） A．（﹣2,﹣1）B．（2,1）C．（2,﹣1）D．（﹣2,1） 3．已知点A（3x﹣6,4y+15）,点B（5y,x）关于x轴对称,则x+y的值是（） A．0B．9C．﹣6D．﹣12 4．已知两点的坐标分别是（﹣2,3）和（2,3）,则下列情况：其中正确的有（） ①两点关于x轴对称 ②两点关于y轴对称 ③两点之间距离为4． A．3个B．2个C．1个D．0个 5．点A（a,4）、点B（3,b）关于x轴对称,则（a+b）2014的值为（） A．0B．﹣1 C．1D．72010 6．平面直角坐标系中的点P（2﹣m,m）关于x轴的对称点在第四象限,则m的取值范围在数轴上可表示为（） A．B．C．D． 7．点（6,3）关于直线x=2的对称点为（） A．（﹣6,3）B．（6,﹣3）C．（﹣2,3）D．（﹣3,﹣3） 8．两个完全相同的三角形纸片,在平面直角坐标系中的摆放位置如图所示,点P 与点P′是一对对应点,若点P的坐标为（a,b）,则点P′的坐标为（） A．（﹣a,﹣b）B．（b,a）C．（3﹣a,﹣b）D．（b+3,a） 二．填空题（共12小题） 点的坐标是_________ ． 9．已知点P（6,3）关于原点的对称P 1 10．在平面直角坐标系中,点A关于y轴对称的点A′的坐标为（﹣2,7）,则点A的坐标为_________ ．

11．已知点P（3,﹣1）关于y轴的对称点Q的坐标是（a+b,1﹣b）,则a b的值为_________ ．12．在直角坐标系中,如果点A沿x轴翻折后能够与点B（﹣1,2）重合,那么A、B两点之间的距离等于_________ ． 13．若|3a﹣2|+|b﹣3|=0,求P（a,b）关于y轴的对轴点P′的坐标为_________ ．14．如图,在平面直角坐标系中,一颗棋子从点P（0,﹣2）处开始依次关于点A（﹣1,﹣1）,B （1,2）,C（2,1）作循环对称跳动,即第一次跳到点P关于点A的对称点M处,接着跳到点M 关于点B的对称点N处,第三次再跳到点N关于点C的对称点处,…,如此下去．则经过第2011次跳动之后,棋子落点的坐标为_________ ． 15．已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,先将△ABC向右平移5个单位得△A 1B 1 C 1 , 再把△A 1B 1 C 1 以x轴为对称轴作轴对称图形△A 2 B 2 C 2 ,则点C 2 的坐标是_________ ． 第14题图第15题图 16．已知P 1点关于x轴的对称点P 2 （3﹣2a,2a﹣5）是第三象限内的整点（横、纵坐标都为整 数的点,称为整点）,则P 1 点的坐标是_________ ． 17．在平面直角坐标系中．过一点分別作x轴与y轴的垂线,若与坐标轴围成矩形的周长与面积相等,则这个点叫做和谐点．给出以下结论：①点M（2,4）是和谐点；②不论a为何值时,点P（2,a）不是和谐点；③若点P（a,3）是和谐点,则a=6；④若点F是和谐点,则点F关于坐标轴的对称点也是和谐点．正确结论的序号是_________ ． 18．（1）善于思考的小迪发现：半径为a,圆心在原点的圆（如图1）,如果固定直径AB,把圆内的所有与y轴平行的弦都压缩到原来的倍,就得到一种新的图形﹣椭圆（如图2）．她受祖冲之“割圆术”的启发,采用“化整为零,积零为整”、“化曲为直,以直代曲”的方法,正确地求出了椭圆的面积,她求得的结果为_________ ；

轴对称图形

轴对称图形 一、教材分析 1、教材的地位及作用 对称是数学中一个非常重要的概念，教科书分为轴对称和中心对称两部分讲述。“轴对称和轴对称图形”这一节是在学生学过等腰三角形的性质，以及线段垂直平分线的性质定理，及逆定理的基础上安排的一节内容。它是前面所学知识在生活中的应用，也是后面学习中心对称的重要的基础知识。本节课是在学习了“轴对称定义及性质”的基础上进行的。通过本节课的教学，主要是训练学生初步的审美能力和初步的图案设计操作技能，拓展学生的空间想象能力。 因此，这一节课无论在知识上，还是对学生观察能力的培养上，都起着十分重要的作用。 2、教学目标 根据学生已有的认知基础及本课教材的地位、作用依据教学大纲确定本课的教学目标为： （1）经历对现实生活中的有关图形的观察和联想，学生进一步丰富自己的生活经验，更深层次的理解轴对称图形的概念，学会画轴对称图形的对称轴，并能用适当的图形和语言表达自己的思考结果。 （2）在观察、比较、实践操作等活动中，正确区分轴对称

和轴对称图形，掌握利用所学知识画轴对称图形。 （3）学生养成主动动手、动脑的良好习惯，培养自己的探究问题、发现问题、解决问题的能力。 （4）在学习的过程中体验良好的情感、态度等价值观，并积极主动参与、与同伴合作交流，提高自己的审美情趣、发展和创新意识。 3、教学重点与难点 本节课的教学重点是学生识别轴对称图形与画轴对称图形的对称轴，这是因为： （1）《九年义务教育初中学数学教学大纲》中明确要求学生理解轴对称、轴对称图形的概念，了解轴对称的性质，会画已知图形关于某直线的轴对称图形。 （2）学习知识的目的在于应用，轴对称图形在现实生活中应用非常广泛。如建筑设计的轴对称，服装设计中的轴对称，民间美术中处处体现着对称的美学原则。 本节课的教学难点是正确区分轴对称与轴对称图形的两个不同概念，原因有两点： （1）学生对轴对称图形比较熟悉，但往往不能够完全掌握它的定义； （2）轴对称与轴对称图形的联系，体现了中学数学中的整体思想，需要学生有较强的思维能力，这对于初二学生来说有

几何最值—轴对称求最值(含答案)

学生做题前请先回答以下问题 问题1：几何最值问题的理论依据是什么？ 答：两点之间，________________；（已知两个定点） _______________最短（已知一个定点、一条定直线）； 三角形____________________（已知两边长固定或其和、差固定）． 答： 问题2：做题前，读一读，背一背： 答：直线L及异侧两点A B 求作直线L上一点P,使P与A B 两点距离之差最大 作A点关于L的对称点A1,连接A1B,并延长交L的一点就是所求的P点. 这样就有：PA=PA1,P点与A,B的差PA-PB=PA1-PB=A1B. 下面证明A1B是二者差的最大值. 首先在L上随便取一个不同于P点的点P1,这样P1A1B就构成一三角形,且P1A1=P1A. 根据三角形的性质,二边之差小于第三边,所以有： P1A1-P1B

几何最值—轴对称求最值 一、单选题(共7道，每道14分) 1.如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，且点E在正方形ABCD的内部，在对角线AC上存在一点P，使得PD+PE的值最小，则这个最小值为( ) B. . 答案：C 《 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：轴对称—线段之和最小 2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以AC为一边在△ABC外侧作等边三角形ACD，过点D作 DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E．AB=10cm，BC=6cm，P是直线DE上的一点，连接PC，PB，则△PBC 周长的最小值为( ) 答案：A 解题思路：

初中数学教程平面直角坐标系中的轴对称

15.1轴对称图形 第2课时平面直角坐标系中的轴对称 教学目标 【知识与能力】 1. 能够作轴对称图形； 2. 能够经过探索利用坐标来表示轴对称； 3. 能够用轴对称的知识解决相应的数学问题。 【过程与方法】 在探索问题的过程中体会知识间的关系，感受平面直角坐标系与生活的联系。 【情感态度价值观】 培养学生的应用意识和探究精神。 教学重难点 【教学重点】 1. 能够作轴对称图形； 2. 能够经过探索利用坐标来表示轴对称； 3. 能够用轴对称的知识解决相应的数学问题。 【教学难点】 用轴对称知识解决相应的数学问题。 课前准备 课件、教具等。 教学过程 一、情境导入 十一黄金周，北京吸引了许多游客．一天，小红在天安门广场玩，一位外国友人向小红问西直门的位置，可小红只知道东直门的位置，不过，小红想了想，就准确地告诉了他．你知道为什么吗？ 结合老北京的地图向学生介绍：老北京城关于中轴线成轴对称设计，东直门、西直门就关于中轴线对称．如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为x轴和y轴，就可以在这个平面图上建立直角坐标系，各个景点的地理位置就可以用坐标表示出来．

提问：这些景点关于坐标轴的对称点你可以找出来吗？这些对称点的坐标与已知点的坐标有什么关系呢？ 二、合作探究 探究点一：关于坐标轴对称的点的坐标特点 【类型一】 求已知点关于x 轴(或y 轴)对称的点的坐标 例1 如图，点A 关于y 轴的对称点的坐标是( ) A ．(5，3) B ．(3，5) C ．(5，－3) D ．(3，－5) 解析：根据“关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答即可．由图可知，点A 的坐标是(－5，3)，所以，点A 关于y 轴的对称点的坐标是(5，3)．故选A. 方法总结：本题考查了关于x 轴、y 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：(1)关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；(2)关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 【类型二】 利用两点成轴对称的性质求整式或字母的值 例2 在平面直角坐标系中，点A 关于x 轴对称的点的坐标为(7x ＋6y －13，y ＋x －4)，点A 关于y 轴对称的点的坐标为(4y －2x －2，－6x －4y ＋5)，求点A 的坐标． 解析：设点A 的坐标为(a ，b )，则它关于x 轴的对称点为A ′(a ，－b )，关于y 轴的对称点为A ″(－a ，b )，即A ′与A ″的横、纵坐标分别互为相反数．据此可列方程组求出x ，y 的值． 解：由题意，得?????y ＋x －4＝－（－6x －4y ＋5），7x ＋6y －13＝－（4y －2x －2）.解得? ????x ＝－1，y ＝2.所以点A 的坐标为(－8，3)． 方法总结：解答这类题的关键是弄清同一点关于两坐标轴对称的点的横、纵坐标之间的关系，再据此列方程或方程组求解． 探究点二：作关于x 轴(或y 轴)对称的图形 例3 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标分别是A (－4，1)、B (－2， 4)、C (－1，2)． (1)△ABC 关于y 轴的对称图形是△A ′B ′C ′，请写出点A ′，B ′，C ′的坐标并作出

轴对称最值问题专项提升附答案

学员姓名：________________ 学员年级：________________ 授课教师：_________________ 所授科目：_________ 上课时间：______年____月____日 （ ～ ）； 共_____课时 （以上信息请老师用正楷字手写） 轴对称最值问题专项提升 【知识点】最短路径 两点之间，线段最短 例：四边形ABCD 中，∠BAD=0120，∠B=∠D=0 90,在BC ，CD 上分别找一点M ，N ，使?AMN 周长最小，则∠AMN+∠ANM 的度数是（ ） A.0130 B.0120 C.0110 D.0100 例：如图，P ，Q 分别为?ABC 的边AB ，AC 上的定点,在BC 上求作一点M ，使?PQM 周长最小。 一．解答题（共6小题） 1．已知：如图所示，M （3，2），N （1，﹣1）．点P 在y 轴上使PM+PN 最短，求P 点坐标． 2．如图，△ABC 的边AB 、AC 上分别有定点M 、N ，请在BC 边上找一点P ，使得△PMN 的周长最短． 保留作图痕迹） 3．如图△ABC 是边长为2的等边三角形，D 是AB 边的中点，P 是BC 边上的动点，Q 是AC 边上的动点，当P 、Q 的位置在何处时，才能使△DPQ 的周长最小？并求出这个最值．

4．如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10，OA上有一点Q，OB上有一定点R．若△PQR周长最小，求它的最小值． 5．如图，已知A、B是锐角α的OM边上的两个定点，P在ON边上运动．问P点在什么位置时，PA2+PB2的值最小？ 6．如图，两个生物制药厂A与B座落于运河河岸的同一侧．工厂A和B距离河岸l分别为4千米和2千米，两个工厂的距离为6千米．现要在运河的工厂一侧造一点C，在C处拟设立一个货物运输中转站，并建设直线输送带分别到两个工厂和河岸，使直线运送带总长最小．如图建立直角坐标系． （1）如果要求货物运动中转站C距离河岸l为a千米（a为一个给定的数，0≤a≤2），求C点设在何处时，直线输送带总长S最小，并给出S关于a的表达式． （2）在0≤a≤2范围内，a取何值时直线输送带总长最小，并求其最小值．

轴对称图形一

轴对称图形一 1、如图,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的外角平分线相交于点F,连接AF,则下列结论正确的有 ( ) A. AF平分BC B. AF平分∠BAC C. AF⊥BC D. 以上都不对 2、如图,两条笔直的公路相交于点A,村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂A,B,D, 已知AB=AD=3公里,BC=CD=5公里,村庄C到公路的距离为4公里,则村庄C到公路的距离是( ) A. 3公里 B. 4公里 C. 5公里 D. 6公里 3、如图是标准跷跷板的示意图.横板AB的中点过支撑点O,且绕点O只能上下转动。如果∠OCA=90°,∠CAO=20°,则小孩玩耍时,跷跷板可以转动的最大角度为( ) A. 20° B. 40° C. 60° D. 80° 4、如图,有两个长度相等的滑梯(即BC=EF),左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等,则∠B=25°,则∠F等于( ) A. 45° B. 55° C. 65° D. 75° 5、如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,CD平分∠ACB,DE⊥BC于点E.若BC=15cm,则△DEB的周长为( ) A. 5cm B. 10cm C. 15cm D. 无法确定 6、如图,已知EA⊥AB,BC∥EA,EA=AB=2BC,D为AB的中点,那么下列式子不能成立的是( ) A. DE=AC B. DE⊥AC C. ∠CAB=45° D. ∠EAF=∠ADF 7、如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,AD=5,BC=9,以A为中心将腰AB顺时针旋转90°至AE,连接DE,则△ADE的面积等于( ) A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 8、如图,在四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=∠CDA=90°,BE⊥AD于点E,且四边形ABCD 的面积为9,则BE长为( ) A. 3 B. 4 C. 4.5 D. 5 9、如图,在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,D是AC的中点,EC⊥BD于点E,交BA的延长线于点F,若BF=12,则△FBC的面积为( ) A. 40 B. 46 C. 48 D. 50 10、如图,以△ABC的边AB,AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG,连接EG,则△ABC与△AEG的面积之间的关系为( )

利用轴对称性质求几何最值

轴对称中几何动点最值问题总结 轴对称的作用是“搬点移线”，可以把图形中比较分散、缺乏联系的元素集中到“新的图形”中，为应用某些基本定理提供方便。比如我们可以利用轴对称性质求几何图形中一些线段和的最大值或最小值问题。 利用轴对称的性质解决几何图形中的最值问题借助的主要基本定理有三个： （1）两点之间线段最短； （2）三角形两边之和大于第三边； （3）垂线段最短。 初中阶段利用轴对称性质求最值的题目可以归结为：两点一线，两点两线，一点两线三类线段和的最值问题。下面对三类线段和的最值问题进行分析、讨论。 （1）两点一线的最值问题:（两个定点+ 一个动点） 问题特征：已知两个定点位于一条直线的同一侧，在直线上求一动点的位置，使动点与定点线段和最短。 核心思路：这类最值问题所求的线段和中只有一个动点，解决这类题目的方法是找出任一定点关于直线的对称点，连结这个对称点与另一定点，交直线于一点，交点即为动点满足最值的位置。 变异类型：实际考题中，经常利用本身就具有对称性质的图形，比如等腰三角形，等边三角形、正方形、圆、二次函数、直角梯形等图形，即其中一个定点的对称点就在这个图形上。 1. 如图,等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点, 若AE=2,EM+CM的最小值为( ) A．4 B.8 C. D.

2.如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（） A．15° B.22.5° C.30° D. 45° 3.如图，Rt△ABC中，AC=BC=4，点D，E分别是AB，AC的中点，在CD上找一点P，使PA+PE 最小，则这个最小值是 _____________. 4.（2006?）如图，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是_____________.

用坐标表示轴对称(一)

用坐标表示轴对称（一） 年级：八年级学科：数学执笔：季金金审核：数学备课组课型：新授 【学习目标】在平面直角坐标系中，确定轴对称变换前后两个图形中特殊点的位置关系，再利用轴对称的性质作出成轴对称的图形【学习重点】用坐标表示轴对称 【学习难点】利用转化的思想，确定能代表轴对称图形的关键点 【教学过程】 一、复习轴对称图形的有关性质 二、新课 完成书本的思考 总结规律：点（x，y）关于x轴的对称点的坐标是 点（x，y）关于y轴的对称点的坐标是 三、小结 问:从本节课的学习中你有何收获? 四、作业： 复习巩固1，3 五、练习 1.点M（1，2）关于x轴对称的点的坐标为（） A：（－1，－2） B：（－1，2） C：（1，－2） D：（2，－1） 2.和点P（－3，2）关于y轴对称的点是( ) A.(3， 2) B.(－3，2) C. (3，－2) D.(－3，－2) 3.在平面直角坐标系中，点P（-1，1）关于x轴的对称点在（） A．第一象限B。第二象限C。第三象限D。第四象限 4.已知A、B两点的坐标分别是（-2，3）和（2，3），则下面四个结论：① A、B关于x轴对称；②A、B关于y轴对称；③A、B关于原点对称；④若A、B之间的距离为4，其中正确的有（） A：1个 B：2个 C：3个 D：4个

5.点（1，2）关于x轴对称的点的坐标为（） A (-1 , 2) B (-1 , -2) C (1 , -2) D (-3 , 2) 6.点P（2，-3）关于y轴的对称点的坐标是（） A（2，3）B（-2，-3）C（-2，3）D（-3，2） 7.已知A、B两点的坐标分别是(-2，3)和(2，3），则下面四个结论： ①A、B关于x轴对称；②A、B关于y轴对称；③A、B关于原点对称；④ A、B之间的距离为4，其中正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8.已知M(0，2)关于x轴对称的点为N，线段MN的中点坐标是( ) A.(0，-2) B.(0，0) C.(-2，0) D.(0，4) 9.平面内点A(-1，2)和点B(-1，6)的对称轴是( ) A.x轴 B.y轴 C.直线y=4 D.直线x=-1 2. 10.点P 关于 x 轴对称点P＇的坐标为（4，-5）,那么点P 关于 y 轴对称点P" 的坐标为：（） A (-4，5) B (4，-5) C (-4，-5) D (-5，-4) 11.如果点（-3 ，3）和点（3 , a）关于y轴对称那么a= 12.已知点（x,y）与点（-2，-3）关于x轴对称，那么x+y= 13.点（-3，4）和点（3，4）关于轴对称。 点p（—5）关于x轴的对称点是（）。 14.分别写出下列各点关于x轴与y轴对称的点。 （1，9）（0，8） (3, —8) (—2, 9)

轴对称图形1

轴对称图形（认识轴对称图形一） 教学内容：P16、P17 教学目标： 1、结合欣赏民间艺术的剪纸图案，以及服饰、工艺品与建筑等图案，感知现实世界中普遍存在的对称现象。 2、通过折纸、剪纸、画图、图形分类等操作活动，体会对称图形的特征，能在方格纸上画出简单图形的轴对称图形。 教学重点： 理解对称图形的特征，能画出简单图形的轴对称图形。 教学难点： 判断对称图形，按要求画出对称图形。 教学准备： 1.教具：投影片、图片、剪刀、彩纸。 2.学具：蝴蝶几何图片、彩笔、剪刀和三张手工纸。 教学过程： 一、创设情境、提出问题 出示一些对称图形，引导学生观察： 1、你们看这些图形好看吗？观察这些图形有什么特点？ 2、你能举出一些特点和上图一样的物体图形吗？ 3、从哪儿可以分为左边和右边？请同学到前边来指一指。你怎么知道图形的左边和右边相同？还有别的办法吗？ 二、合作探究、解决问题 1、体会对称图形的特征 活动一：用手中的蝴蝶图形动手试一试，同桌互相讨论。（对折，图形左右两边完全合在一起，也就是完全重合。） 活动二：你能不能很快剪出一个图形，使左右两边能完全重合？可以小组讨论，看一看其他同学是怎么剪的。（把纸对折起来，再剪。） 2、认识对称图形 板贴展示学生剪出的图形。让学生找出这些图形的特点， 问：你们剪出的这些图形都有什么特点？ 师：像这样的图形就是对称图形。（板书课题） 折痕所在的这条直线叫做对称轴（画在图上）。 问：现在你能说一说什么是对称图形？什么是对称轴吗？ 以小组为单位，说一说，自己刚才剪的图形叫做什么图形？为什么？ 3、在生活中你还见过哪些图形是对称的？ 三、巩固练习 （一）反馈练习： 1、投影出示第13页“看一看、说一说”题：判断下面的图形是不是对称图形？为什么？ 2、拿出自己课前准备的图形，折一折，看一看哪些是对称图形？找一找它们的对称轴。

§ 3.3 轴对称与坐标变化

安徽省灵璧中学集体备课课时教案（试行） 年级：八学科：数学第周 章节与课题§3.3 轴对称与坐标变化课时安排 1 第1课时主备人张松辅助备课人马云单永娣 授课人使用日期 本课时学习目标或学习任务【知识目标】： 1、在同一直角坐标系中，感受图形上点的坐标变化与图形的轴对称变换之间的关系． 2、经历图形坐标变化与图形轴对称之间关系的探索过程，发展形象思维能力和数形结合意识。 【能力目标】： 1．经历探究物体与图形的形状、大小、位置关系和变换的过程，掌握空间与图形的基础知识和基本技能，培养学生的探索能力。 【情感目标】 1．丰富对现实空间及图形的认识，建立初步的空间观念，发展形象思维。 2．通过有趣的图形的研究，激发学生对数学学习的好奇心与求知欲，能积极参与数学学习活动。 3．通过“坐标与轴对称”，让学生体验数学活动充满着探索与创造。 本课时重点难点或学习建议重点：1．能在平面直角坐标系中，根据坐标找出点，由点求出坐标. 2．平行于坐标轴的直线上的点的坐标关系及坐标轴上点的坐标的确定. 难点：1．在平面直角坐标系中，根据坐标找出点，由点求出坐标. 2．熟练掌握平行于坐标轴的直线上的点的坐标关系及坐标轴上点的坐标的确定. 本课时教学资源的使用教学重点： 经历图形坐标变化与图形轴对称之间关系的探索过程，明确图形坐标变化与图形轴对称之间关系。 教学难点： 由坐标的变化探索新旧图形之间的变化探索过程，发展形象思维能力和数形结合意识。 教学过程 学习要求或学 法指导 教师二次备课栏 教学过程： 第一环节创设问题情境，引入新课 『师』：在前几节课中我们学习了平面直角坐标系的有关知识，会画平面直角坐标系；能在方格纸上建立适当的直角坐标系，描述物体的位置；在给定的直角坐标系下，会根据坐标描出点的位置，由点的位置写出它的坐标。 我们知道点的位置不同写出的坐标就不同，反过来，不同的坐标确定不同的点。如果坐标中的横（纵）坐标不变，纵（横）坐标按一定的规律变化，或者横纵坐标都按一定的规律变化，那么图形是否会变化，变化的规律是怎样的，这将是本节课中我们要研究的问题。 1. 探索两个关于坐标轴对称的图形的坐标关系 1.在如图所示的平面直角坐标系中，第一、二象限内各有一面小旗。 两面小旗之间有怎样的位置关系？对应点A与A1的坐标又有什 么特点？其它对应的点也有这个特点吗？ 2.在右边的坐标系内，任取一点，做出这个点关于y轴对称的点， 看看两个点的坐标有什么样的位置关系，说说其中的道理。 2.变式。发展 3.如果关于x轴对称呢？ 在这个坐标系里作出小旗ABCD关于x轴的对称图形，它的各 个顶点的坐标与原来的点的坐标有什么关系？ 4.关于x轴对称的两点，它们的横坐标，纵坐标； 关于y轴对称的两点，它们的横坐标，纵坐标。 3.运用。巩固 5.已知点P(2a-3，3)，点A（－1，3b+2）， （1）如果点P与点A关于x轴对称，那么a+b= ； （2）如果点P与点A关于y轴对称，那么a+b= 。 练习：拿出方格纸，并在方格纸上建立直角坐标系，根据我读出的点的坐标在纸上找到相应的点，并依次用线段将这些点连接起来。坐标是（0，0），（5，4），（3，0），（5，1），（5，－1），（3，0），（4，－2），（0，0）。 『师』：你们画出的图形和我这里的图形（挂图）是否相同？ 『生』：相同。引导发现法 本节课学生通过“坐标与轴对称”这样一个趣味性较强的话题，深切感受图形坐标的变化与图形形状的变化之间的密切关系，也进一步加深对“数形结合思想”的认识