线性代数练习册CH2
《线性代数》
练习册
第二章 矩 阵
§2.1矩阵的概念、§2.2 矩阵的运算
1.设矩阵231231A ??
?
=- ?
?
??
, 123210B --??= ?-??．计算矩阵,AB BA , 并比较二者是否相等.
2.举例说明下列命题不正确： （１）AB AC =，则B C =；
（２）2
A E =， 则A E =或A E =-.
3. 设矩阵110011001A ?? ?= ? ???
， 计算n
A , 其中n 为正整数．
4.设A 为n 阶矩阵，n 为奇数，且满足T
AA E =，1A =．求A E -．
5.设()1,2,3α=，()1,1/2,1/3β=,T
A αβ=,求n
A .
6.设n 维行向量(
)
11,0,,0,22
α= ，矩阵,2αααα=-=+T T A E C E ，其中E 是n 阶单位阵，求AC ．
7.设A 是n 阶实矩阵．证明: 如果T
AA O =，则A O =．
8.对于任意的n 阶矩阵A ，称其主对角线上n 个元素之和为A 的迹，用()tr A 表示，即
1
()n
ii i tr A a ==∑. 证明：对n 阶矩阵,A B ，有()()tr AB tr BA =.
§2.3 几种特殊结构的矩阵
1.设矩阵12n a a A a ??
?
?= ? ?
?
? ，其中12,,,n
a a a 两两不同．证明：与A 可交换的矩阵必是对角阵．
2. 设矩阵A 与任意n 阶方阵可交换，求A ．
3.设A ,B 是n 阶反对称矩阵, 证明：
(1)2
A 是对称矩阵；(2) A
B BA -是反对称矩阵．
4.设A 是n 阶对称矩阵， B 是n 阶反对称矩阵．证明：AB 是反对称矩阵的充分必要条件是AB BA =．
§2.4 方阵的逆矩阵
1.设A 为n 阶矩阵，且2
32A A E O --=，其中E 为n 阶单位矩阵．证明：A 可逆，并求1
A -．
2.设A 为n 阶非零实矩阵，*T A A =．证明：A 是可逆矩阵．
3.设A 是n 阶矩阵，证明：1
*
n A A
-=．
4.判断下列矩阵是否可逆, 如果可逆, 求其逆矩阵．
（1）100120123?? ? ? ??? （2）143120223?? ?-- ? ???
5.设矩阵100130
22501
2A ?
? ?
?= ? ?
??
?
，试求()1
*T A -??????．
§2.5 分块矩阵
1. 设矩阵34
1143
11002000
22A -??
?-
?
= ?
???
，利用分块矩阵求8A ．
2.已知111001
21001
13000004000002A ??
?
?
?= ?
? ??
?
，求1.A -
3. 设四阶矩阵A =()234,,,αγγγ，()234,,,B βγγγ=，其中234,,,,αβγγγ均为四维列向量，且已知行列式4, 1.A B ==求A B +．
4. 设0000
001000
10a a A b b ?? ?
?= ?
???, 1
00010000000c
c B
d d ??
? ?= ?
?
??
, 用矩阵的分块乘法求AB .
5.设A ,B 是n 阶矩阵．证明：+A B
A B A B B A
=-．
6.设A ,B 分别是m 阶，n 阶可逆矩阵，C 为n m ?矩阵．
证明：分块矩阵O A C B ?? ???可逆，并求1
O A C B -??
?
??
．
§2.6 矩阵的初等变换与初等矩阵
1. 设A 为n 阶可逆矩阵，B 是A 交换第i 行和第j 行所得的矩阵． （1）证明：B 是可逆矩阵．（2）求1
AB -．
2. 设A ，B 为三阶矩阵，将A 的第1行的（-2）倍加到第3行得到1A ，将B 的第1列乘
以 (-2) 得到1B ，已知11031257486A B ?? ?= ? ???
，求AB ． 3. 设矩阵122221425A -?? ?= ? ?-??，101021000B ??
?=- ? ???
，问是否存在可逆阵P ，使得PA B = ？若存在，试求P ．
4. 用初等变换法求下列矩阵的逆矩阵．
（1）A =111011001?? ? ? ???
（2）A =111210110-?? ? ?
?-??
5. 已知三阶矩阵A 的逆矩阵1111121113A -??
?= ? ???
，试求其伴随矩阵*A 的逆矩阵．
6. 解下列矩阵方程：
35412(1)12301X -????= ? ?-????
．
211113(1)210432111X -??-?? ?= ? ??
? ?-??
7. 设1111111111111111A --??
?
--
?= ?-- ?--??
. (1) 求2
A ．
(2) 证明2A E +可逆，并求1
(2)A E -+.
8. 设矩阵A =111111111-?? ?- ?
?-??
，已知*12A X A X -=+，试求矩阵X ．
9. 已知n 阶矩阵A =1
00110111??
?
?
?
?
??
，求A 中所有元素代数余子式的和.
§2.7 矩阵的秩
1．已知矩阵33021430.1562A -??
?
=-- ? ?--??
（1）计算A 的所有三阶子式；（2）利用（1）的结果求矩阵A 的秩.
2．把矩阵
11210224203061103
001-??
?
-- ?
?
-
?
??
化为阶梯形, 并求其秩.
3．讨论参数λ的取值，确定下列矩阵A 的秩:
（1）11121123224A λ-?? ?
=- ? ?-??
.
（2）31
1
44101171732
243A λ
??
?
?= ?
?
??
．
4.设B 是一个r r ?矩阵，C 是一个r n ?矩阵，且()r C r =．证明： （1）如果BC O =，那么B O =； （2）如果BC C =，那么B E =．
第二章综合练习题A
一、填空题
1． 设A 为n 阶方阵，B 满足关系式1()2
A B E =
+，且2A A =，则2B =________. 2． 设A 为n 阶方阵，且m
A E =，其中m 为正整数．若将A 的2
n n 2个元素用其代数余子
式ij A 代替，得到的矩阵记为B ，则m
B =_________.
3． 设A ，B 均为n 阶矩阵，=2=3A B -，,则*12A B -=____________.
4． 设矩阵A ，B 满足*
28A BA BA E =-，其中A =100020001?? ?- ? ???，则B =_________.
5． 已知A =111102110210??
?- ? ?-??
，B 为4阶方阵, 且0B ≠，则()r AB =________. 二、选择题
1． 设三阶矩阵()23,2,3T
A αγγ=，()23,,2T
B βγγ=，其中23,,,αβγγ均为三维行向量，
已知18A =，2B =，则A B -=（ ）
（A ）1 . (B) 2. (C) 3. (D) 4.
2． 若a b b A b a b b b a ?? ?
= ? ???
，若A 的伴随矩阵的秩等于1，则必有（ ）．
（A ）20a b a b =+=或 （B ）20a b a b =+≠或 （C ）20a b a b ≠+=且. （D ）20a b a b ≠+≠且
3． 若A 为n 阶可逆矩阵，则下列结论不正确的是（ ）．
（A ）11
()=()k
k A A -- （B ）()=()T k
k T
A A （C ）*
*()=()k k
A A （D ）*
*
()=kA kA . 4． 设A ，B 为n 阶矩阵，*A ，*B 是其伴随矩阵，A O C O B ??=
?
??
，则*
C （ ）． （A ）*
*O O
A A
B B ??
? ??
?（B ）**O O B B A A ??
? ???（C ）**O O B A A B ??
? ??
?（D ） **O O A B B A ??
? ??
?
三、计算题
1． 设n 阶方阵A =01000
020*******n n ?? ?
? ? ?
- ? ??
?
（1） 求1
A -.
（2） 求A 的第i 行的代数余子式之和12i i in A A A +++ .
2． 设A ，B 为三阶矩阵，将A 第1行的（-3）倍加到第3行得到1A ，将B 的第1列乘以
（-3）得到1B ，再将1B 的第2列加到第1列得到2B ，已知12012101243A B ??
?= ? ???
求AB ．
四、证明题
1． 设,A B 均为n 阶方阵，且0B ≠，1()=()T
A E
B E ---，证 明 ：0A ≠.
2. 设,A B 及11A B --+均为n 阶可逆矩阵，证明A B +可逆，且
111111()()A B A A A B A ------+=-+.
第二章综合练习题B
一、填空题
1． 已知当A
=1212?
????
时，6A E =，则11A =__________. 2． 设,,A B C 均为n 阶方阵，且AB BC CA E ===，则222
A B C ++=_______.
3． 设1
A -存在，且2A A E =，则1*
()A -=____________. 4． 设,A B 均为n 阶方阵，且2,3A B ==-，则*
1
A B -=____________.
二、判断说明题
1． 设n （n >2）阶实矩阵()ij n n A a O ?=≠, 且ij ij a A =(,1,2,,)i j n = ,其中ij A 是元素ij
a
的代数余子式．则有T
AA E =．
2． 设A 为n （n >1）阶可逆矩阵，*A 是A 的伴随矩阵．则()
*
n-2
*=A A
A .
3． 设A 为n （n >1）阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵．则*0A =的充分必要条件是0A =
4． 设A 为n （n >1）阶方阵，则()1r A =的充分必要条件是T A αβ=，其中
12(,,,) T n a a a α=，12(,,,) T n b b b β=，这里i j a b 不全为零(,1,2,,) i j n =．
三、计算题
1． 已知三阶矩阵A 的逆矩阵为1111121113A -?? ?= ? ???
，求伴随矩阵*
A 的逆矩阵.
2． 设矩阵A 的伴随矩阵*
10000100101003
8A ??
?
?= ?
?-??
，且11
3ABA BA E --=+．求矩阵B ．
四、证明题
1． 设A 为n 阶非奇异矩阵，α为n 维列向量，b 为常数．记分块矩阵
*
T E O P A
A α??= ?-??，T A Q b αα
??
= ???
（1） 计算并化简PQ ；
（2） 证明：Q 可逆的充分必要条件是1
T A b αα-≠．
2． 设n 阶矩阵T
A E ξξ=-，其中ξ是n 维非零列向量．证明：
（1） 2A A =的充要条件是T
ξξ=1.
（2） 当T
ξξ=1时，A 是不可逆矩阵.
《线性代数》习题集(含答案)
《线性代数》习题集（含答案） 第一章 【1】填空题 （1） 二阶行列式 2a ab b b =___________。 （2） 二阶行列式 cos sin sin cos αα α α -=___________。 （3） 二阶行列式 2a bi b a a bi +-=___________。 （4） 三阶行列式x y z z x y y z x =___________。 （5） 三阶行列式 a b c c a b c a b b c a +++=___________。 答案：1.ab(a-b)；2.1；3.()2 a b -；4.3 3 3 3x y z xyz ++-；5.4abc 。 【2】选择题 （1）若行列式12 5 1 3225x -=0，则x=（）。 A -3； B -2； C 2； D 3。 （2）若行列式11 1 1011x x x =，则x=（）。 A -1 ， B 0 ， C 1 ， D 2 ，
（3）三阶行列式2 31 503 2012985 23 -=（）。 A -70； B -63； C 70； D 82。 （4）行列式 000 000 a b a b b a b a =()。 A 4 4 a b -；B () 2 2 2a b -；C 4 4 b a -；D 44 a b 。 （5）n 阶行列式0100 0020 0001000 n n - =（）。 A 0； B n ！； C （-1）·n ！； D () 1 1!n n +-?。 答案：1.D ；2.C ；3.A ；4.B ；5.D 。 【3】证明 33()by az bz ax bx ay x y z bx ay by az bz ax a b z x y bz ax bx ay by az y z x ++++++=++++ 答案：提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和，即得结果。 【4】计算下列9级排列的逆序数，从而确定他们的奇偶性： （1）134782695；（2）217986354；（3）987654321。 答案：（1）τ（134782695）=10，此排列为偶排列。 （2）τ（217986354）=18，此排列为偶排列。 （3）τ（987654321）=36，此排列为偶排列。 【5】计算下列的逆序数： （1）135 （2n-1）246 （2n ）；（2）246 （2n ）135 （2n-1）。 答案：（1） 12n （n-1）；（2）1 2 n （n+1） 【6】确定六阶行列式中，下列各项的符号：
太原理工大学2011级《线性代数》练习册(一)
一. 判断题（正确打√，错误打×） 1. n 阶行列式ij a 的展开式中含有11a 的项数为1-n .( × ) 正确答案：)!(1-n 解答：方法1因为含有11a 的项的一般形式是n nj j a a a 2211， 其中n j j j 32是1-n 级全排列的全体，所以共有)!(1-n 项. 方法2 由行列式展开定理 =21 2222111211nn n n n n a a a a a a a a a n n A a A a A a 111111+++2211 ， 而n n A a A a 1111++22 中不再含有11a ，而11A 共有)!(1-n 项，所以含有11a 的项数是 )!(1-n . 注意：含有任何元素ij a 的项数都是)!(1-n . 2. 若n 阶行列式ij a 中每行元素之和均为零，则ij a 等于零.( √ ) 解答：将 nn n n n n a a a a a a a a a 21 2222111211 中的n 、、、 32列都加到第一列，则行 列式中有 一列元素全为零，所以ij a 等于零. 3. 3 3 22 44114 4 332211 000000a b b a a b b a a b a b b a b a =.( √ ) 解答：方法1按第一列展开
3 3 2244 1144 11 41413 3 22413322 414 4 33221 1=-=-=0 00 000a b b a a b b a a b b a b b a a a b b a b b a b b a a a a b a b b a b a ) (. 方法2 交换2，4列，再交换2，4行 2 2 3344 114 4 3322114 4 3322110 000000=0 00000 0-=0 00 0000a b b a a b b a a b b a a b b a a b a b b a b a =3 32 2 4411 a b b a a b b a . 方法3 Laplace 展开定理：设在n 阶行列式D 中任意取定了)(1-≤≤1n k k 个行，由这k 行元素所组成的一切k 阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式D . 所以按2，3行展开 3 +2+3+24 4 33221 1 1-=0 00 000)(a b a b b a b a 33 224411a b b a a b b a =3 3 2 244 11 a b b a a b b a . 4. 若n 阶行列式ij a 满足ij ij A a =,n j i ，， ,,21=,则0≥ij a .(√) 解答：由行列式展开定理 nn n n n n a a a a a a a a a 21 2222111211 n n A a A a A a 111111+++=2211 0≥+++=2 n a a a 1212211 . 5. 若n 阶行列式ij a 的展开式中每一项都不为零,则0≠ij a .( × )
西南大学线性代数作业答案
西南大学线性代数作业答案
第一次 行列式部分的填空题 1．在5阶行列式ij a 中，项a 13a 24a 32a 45a 51前的符 号应取 + 号。 2．排列45312的逆序数为 5 。 3．行列式2 5 1122 1 4---x 中元素x 的代数余子式是 8 ． 4．行列式10 2 3 25403--中元素-2的代数余子式是 —11 。 5．行列式25 11 22 14--x 中，x 的代数余子式是 — 5 。 6．计算00000d c b a = 0 行列式部分计算题 1．计算三阶行列式 3 811411 02--- 解：原式=2×（—4）×3+0×（—1）×（—1）+1×1×8—1×（—1）× （—4）—0×1×3—2×（—1）×8=—4 2．决定i 和j ，使排列1 2 3 4 i 6 j 9 7 为奇排列. 解：i =8，j =5。
3．(7分)已知0010413≠x x x ，求x 的值． 解：原式=3x 2—x 2—4x=2 x 2—4x=2x(x —2)=0 解得：x 1=0；x 2=2 所以 x={x │x ≠0；x ≠2 x ∈R } 4．(8分)齐次线性方程组 ?? ? ??=++=++=++000z y x z y x z y x λλ 有非零解，求λ。 解：()211 1 1 010001 1 111111-=--= =λλλλλD 由D=0 得 λ=1 5．用克莱姆法则求下列方程组： ?? ? ??=+-=++=++10329253142z y x z y x z y x 解：因为 33113 210421711 7021 04 21 911 7018904 2 1 351 1321 5 421231 312≠-=?-?=-------=-------=）（r r r r r r D 所以方程组有唯一解，再计算： 81 1 11021 29 42311-=-=D 108 1 103229543112-==D 135 10 13291 5 31213=-=D 因此，根据克拉默法则，方程组的唯一解是：
线性代数练习册第五章题目及答案(本)复习进程
第五章 相似矩阵与二次型 §5-1 方阵的特征值与特征向量 一、填空题 1.已知四阶方阵A 的特征值为0，1，1，2，则||A E λ-＝ 2(1)(2)λλλ-- 2.设0是矩阵??? ? ? ??=a 01020101A 的特征值，则=a 1 3.已知三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，则2 32B A A =-的特征值为 1,5,8 ；||A ＝ -2 ；A 的对角元之和为 2 . 4.若0是方阵A 的特征值，则A 不可逆。 5. A 是n 阶方阵，||A d =，则*AA 的特征值是,,,d d d ???（共n 个） 二、选择题 1.设1λ，2λ为n 阶矩阵A 的特征值，1ξ，2ξ分别是A 的属于特征值1λ，2λ的特征向量，则（ D ） （A ）当1λ=2λ时，1ξ，2ξ必成比例 （B ）当1λ=2λ时，1ξ，2ξ必不成比例 （C ）当1λ≠2λ时，1ξ，2ξ必成比例 （D ）当1λ≠2λ时，1ξ，2ξ必不成比例 2.设a=2是可逆矩阵A 的一个特征值，则1 A -有一个特征值等于 （ C ） A 、2； B 、-2; C 、 12; D 、-1 2 ; 3.零为方阵A 的特征值是A 不可逆的（ B ） A 、充分条件； B 、充要条件; C 、必要条件; D 、无关条件;
三、求下列矩阵的特征值和特征向量 1.1221A ?? = ??? 解：A 的特征多项式为12(3)(1)2 1A E λλλλλ --==-+- 故A 的特征值为123,1λλ==-. 当13λ=时，解方程()30A E x -=. 由221132200r A E --???? -= ? ?-???? : 得基础解系111p ?? = ??? ，故1(0)kp k ≠是13λ=的全部特征向量. 当21λ=-时，解方程()0A E x +=.由22112200r A E ???? += ? ????? : 得基础解系211p -?? = ??? ，故2(0)kP k ≠是21λ=-的全部特征向量. 2.100020012B ?? ?= ? ??? 解：B 的特征多项式为 2100020(1)(2)0 1 2B E λ λλλλλ --= -=--- 故B 的特征值为1231,2λλλ===. 当11λ=时，解方程()0B E x -=. 由000010010001011000r B E ???? ? ? -= ? ? ? ????? :
线性代数复习题及答案
《 线性代数复习提纲及复习题 》 理解或掌握如下内容： 第一章 n 阶行列式 .行列式的定义，排列的逆系数，行列式性质，代数余子式， 行列式的计算，三角化法及降阶法，克莱姆法则。 第二章 矩阵及其运算 矩阵的线性运算，初等变换与初等矩阵的定义，方阵的逆矩阵定义及性质 方阵的逆矩阵存在的充要条件，用初等变换求逆矩阵，矩阵方程的解法，矩阵的秩的定义及求法；齐次线性方程组只有零解、有非零解的充要条件，；非齐次线性方程组有解的充要条件，解的判定。 第三章 线性方程组 ｎ维向量的线性运算，向量组线性相关性的定义及证明，向量空间，向量组的极大线性无关组、秩； 齐次线性方程组的基础解系，解的结构，方程组求解；非齐次线性方程组解的结构，用初等变换解方程组，增广矩阵含有字母元素的方程组的求解。 复习题： 一、填空 （1）五阶行列式的项5441352213a a a a a 前的符号为 负 ； （2）设)3,3,2(2),3,3,1(-=+-=-βαβα，则α= （1，0，0） ； （3）设向量组γβα,,线性无关，则向量组γβαβα2,,+-线性 无关 ； （4）设* A 为四阶方阵A 的伴随矩阵，且*A =8，则12)(2-A = 4 ； （5）线性方程组054321=++++x x x x x 的解空间的维数是 4 ； （6）设???? ? ??=k k A 4702031，且0=T A 则k = 0或6 ； （7）n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩r(A)秩是r,则其解空间的维数是 n-r ； （8）的解的情况是：方程组b Ax b A R A R 2),,()3(== 有解 ； （9）方阵A 的行向量组线性无关是A 可逆的 充要 条件；
线性代数练习册-答案
第一章 行列式习题答案 二、三阶行列式及n 阶行列式的定义部分习题答案 1.计算下列二阶行列式 （1） 23112 =； （2） cos sin 1sin cos θθθ θ -=； （3） 111112122121 2222 a b a b a b a b ++++1122112211221122a a a b b a b b 1221 12211221 1221a a a b b a b b （4） 11121112 21222122 a a b b a a b b + 11221122 1221 1221a a b b a a b b 2.计算下列三阶行列式 （1）103 12 126231-=--； (2)11 1213222332 33 a a a a a a a 112233 112332 a a a a a a 1122332332a a a a a （3）a c b b a c c b a 3 3 3 3a b c abc 3.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）3214； （2）614235. 123t 112217t （3）() ()() 123225 24212n n n n --- 当n 为偶数时，2n k ，排列为 143425 2122 21 223 412 k k k k k k k k --+++-1122(1)(1)t k k k (1)(2)21k k 2 2 (1) 1 3 1 31 42 n k k k k k k n
其中11(1)(1)k k 为143425 2122k k k k --+的逆序 数；k 为21k 与它前面数构成的逆序数；(1) (2) 21k k 为 23,25, ,2(21)k k k k 与它们前面数构成的逆序数的和； 113131k k k k 为2k ，22,24,,2k k 与它们前面数构成的逆序数的和. 当n 为奇数时，21n k ，排列为 142345 2122 23 225 412 k k k k k k k k ++++++1122t k k (1)21k k 2 2 1 3 32 3432n k k k k k k n 其中1122k k 为142345 2122k k k k +++的逆序数； (1)21k k 为23,25, ,2(21)k k k k 与它们前面数构成的逆序数的和；3323k k k k 为2,22, ,2k k 与它们前面数构成的逆序数的 和. 4.确定,i j ，使6元排列2316i j 为奇排列. 解：4,5i j ，()()23162431655t i j t ==为奇排列. 5.写出4阶行列式中含有1321a a 的项. 解：13213244a a a a ；13213442a a a a - 6.按定义计算下列行列式： （1） 0001 002003004000(4321) (1) 2424 （2） 00 000000000 a c d b (1342) (1) abcd abcd
《线性代数(一)》2011年下半年第一次
《线性代数（一）》2011年下半年第一次作业 一.填空题（4x6=24分） 1.计算3阶行列式 2 311273 8 2 -=- 。 2.已知排列1r46s97t3为奇排列，则r ，s ，t 的取值分别为 。 3.用行列式的性质计算：=++ +1 11 c b a b a c a c b 。 4.设A 为3阶方阵，而且 9A =-， 则 = A A T ； * A A = ； = * * ) (A ； 1 * 4A A --= . （注：* A 为A 的伴随矩阵.） 5.设11140012 5A B ???? == ? ????? ，, 则 = AB ； T B A = ；= 2 A ；n A = 。 6. 设 2 ()53p t t t =-+与矩阵3 162A -??= ?-?? ，则2 2()53p A A A I =-+= 。 二.选择题（4x9=36分） 1. 120 2 1 k k -≠-的充分必要条件是（ ）。 A 、1k ≠- B 、3k ≠ C 、31k k ≠≠-且 D 、31k k ≠≠-或 2、如果11 1213 21 222331 32 33 1a a a D a a a a a a ==，1D =1131 1232 1333 31323321 22 23 441631228652015a a a a a a a a a a a a +--+---，那么 1D =（）。 A 、80 B 、-120 C 、120 D 、60 3.如果30 40 50x ky z y z kx y z +-=?? +=??--=? 有非零解，则（） A 、01k k ==或 B 、01k k ==-或 C 、11k k ==-或 D 、31k k =-=-或
线性代数习题及答案(复旦版)1
线性代数习题及答案 习题一 1. 求下列各排列的逆序数. (1) 341782659； (2) 987654321； (3) n (n 1)…321； (4) 13…(2n 1)(2n )(2n 2)…2. 【解】 (1) τ(341782659)=11; (2) τ(987654321)=36; (3) τ(n (n 1)…3·2·1)= 0+1+2 +…+(n 1)= (1) 2 n n -; (4) τ(13…(2n 1)(2n )(2n 2)…2)=0+1+…+(n 1)+(n 1)+(n 2)+…+1+0=n (n 1). 2. 略.见教材习题参考答案. 3. 略.见教材习题参考答案. 4. 本行列式4512312 123122x x x D x x x = 的展开式中包含3x 和4 x 的项. 解： 设 123412341234 () 41234(1)i i i i i i i i i i i i D a a a a τ = -∑ ，其中1234,,,i i i i 分别为不同列中对应元素 的行下标，则4D 展开式中含3 x 项有 (2134)(4231)333(1)12(1)32(3)5x x x x x x x x x ττ-????+-????=-+-=- 4D 展开式中含4x 项有 (1234)4(1)2210x x x x x τ-????=. 5. 用定义计算下列各行列式. (1) 0200 001030000004 ； (2)1230 0020 30450001 . 【解】(1) D =(1)τ(2314)4!=24; (2) D =12. 6. 计算下列各行列式.
线性代数练习册
线性代数练习冊 第一章 行列式 一、 填空： 1、 =4 8 39 32 6871 （ ） 。 2、=2290387431（ ） 。 3、=3 421（ ） 。 4、=8191910161714121（ ） 。 5、=0786989444222211（ ） 。 6、4 095230357268015中元素31a 的余子式等于（ ）。
7、 40952 3035 7210 011中元素( )的余子式等于4 092305 72。 8、 409523035 7268015中元素31a 的代数余子式等于（ ）。 9、 400523035 7218901按第（ ）列展开计算最简单。 10、 4 095 23035 7210011中元素32a 的代数余子式等（ ）。 二、 选择填空： 1、下列行列式中，（ ）的值等于6。 （a ） 4 321 (b) 1321 (c) 4 839 920 891 (d) 4 616360261 2、若行列式 02 12 =k ，则k ＝（ ） (a)1 (b)-1 (c) 0 (d)不存在 3、若行列式 02 14 2=k ，则k ＝（ ）
(a)1 (b)-1 (c) 0 (d)不存在 4、若行列式 62 12=k ，则k ＝（ ） (a)4 (b)-4 (c) 0 (d)不存在 5、若行列式 22 12 -=k ，则k ＝（ ） (a)1 (b)-1 (c) 0 (d)不存在 6、如果6==i f c h e b g d a D ，则=i f c h e b g d a 333（ ） (a)6 (b)18 (c)162 (d)54 7、如果6==i f c h e b g d a D ，则=i f c h e b g d a 232323（ ） (a)36 (b)8276?? (c)72 (d)216 8、如果6==i f c h e b g d a D ，则=i f c h e b g d a 333（ ） (a)6 (b)18 (c)162 (d)54 9、如果6==i f c h e b g d a D ，则=i f c h e b g d a 333333（ ） (a)6 (b)18 (c)162 (d)54 10、如果6222==i f c h e b g d a D ，则=i f c h e b g d a 333（ ） (a)6 (b)18 (c)9 (d)54 三、 判断题（对，填“√”；错，填“?”。） 1、行列式的行数和列数可以不相等。（ ） 2、行列式的行数和列数必须相等。（ ） 3、用一个数k 乘一个行列式，等于用k 乘此行列式的每一个元素。（ ） 4、用一个数k 乘一个行列式，等于用k 乘此行列式的某一行元素。（ ）
2013年春-西南大学《线性代数》作业及答案
2013年春 西南大学《线性代数》作业及答案(共5次,已整理) 第一次作业 【单选题】9.下列n 阶(n>2)行列式的值必为0的有： B:行列式非零元素的个数小于n 个。 【单选题】1.有二阶行列式，其第一行元素是（1，3），第二行元素是（1，4），该行列式的值是: B:1 【单选题】2.有二阶行列式，其第一行元素是（2，3），第二行元素是（3，-1），则该行列式的值是：A:-11 【单选题】3.有三阶行列式，其第一行元素是（0，1，2），第二行元素是（-1，-1，0），第三行元素是（2，0，-5），则该行列式的值是：B:-1 【单选题】4.有三阶行列式，其第一行元素是（1，1，1），第二行元素是（3，1，4），第三行元素是（8，9，5），则该行列式的值是：C:5 【单选题】5. 行列式A 的第一行元素是（k,3,4)，第二行元素是(-1,k,0)，第三行元素是(0,k,1)，如果行列式A 的值等于0，则k 的取值应是：C:k=3或k=1 【单选题】6. 6.排列3721456的逆序数是：C:8 【单选题】7. .行列式A 的第一行元素是（-3，0，4），第二行元素是（2，a ，1),第三行元素是（5，0，3），则其中元素a 的代数余子式是：B:-29 【单选题】8.已知四阶行列式D 中第三行元素为（-1，2，0，1），它们的余子式依次分别为5，3，-7，4，则D 的值等于. C:-15 【论述题】行列式部分主观题 行列式部分的填空题 1．在5阶行列式ij a 中，项a 13a 24a 32a 45a 51前的符号应取 + 号。 2．排列45312的逆序数为 5 。 3．行列式25 1 122 1 4---x 中元素x 的代数余子式是 8 ． 4．行列式1 02325 4 3 --中元素-2的代数余子式是 —11 。
线性代数练习册附答案
第1章 矩阵 习 题 1. 写出下列从变量x , y 到变量x 1, y 1的线性变换的系数矩阵： (1)???==011y x x ； (2) ?? ?+=-=? ?? ?cos sin sin cos 11y x y y x x 2.(通路矩阵)a 省两个城市a 1,a 2和b 省三个城市b 1,b 2,b 3的交通联结情况如图所示，每条线上的数字表示联结这两城市的不同通路总数.试用矩阵形式表示图中城市间的通路情况. 3. 设????? ??--=111111111Α，??? ? ? ??--=150421321 B ，求3AB -2A 和A T B . 4. 计算 (1) 2 210013112???? ? ??
(2) ???? ? ??????? ??1)1,,(2 1 22212 11211y x c b b b a a b a a y x 5. 已知两个线性变换 32133212311542322y y y x y y y x y y x ++=++-=+=?????,??? ??+-=+=+-=323 3122 11323z z y z z y z z y ,写出它们的矩阵表 示式,并求从321,,z z z 到321,,x x x 的线性变换.
6. 设f (x )=a 0x m + a 1x m -1+…+ a m ，A 是n 阶方阵，定义f (A )=a 0A m + a 1A m - 1+…+ a m E . 当f (x )=x 2 -5x +3，??? ? ??--=3312A 时，求f (A ). 7. 举出反例说明下列命题是错误的. (1) 若A 2= O ，则A = O . (2) 若A 2= A ，则A = O 或A = E . .
线性代数习题集(带答案)
第一部分 专项同步练习 第一章 行列式 一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4． =0 00100100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 00110000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6．在函数1 3232 111 12)(x x x x x f ----= 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2
7. 若2 1 33 32 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 7341111 1 326 3 478 ----= D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 001 01 11 10 403 --= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题
线性代数习题集(带答案)
第一部分专项同步练习 第一章行列式 一、单项选择题 1．下列排列是 5 阶偶排列的是( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列j1 j2 j n 的逆序数是k , 则排列j n j2 j1的逆序数是( ). n! (A) k (B) n k (C) k 2 n(n 1) (D) k 2 3. n 阶行列式的展开式中含a11a12 的项共有( )项. (A) 0 (B) n 2 (C) (n 2)! (D) (n 1)! 0 0 0 1 4． 1 1 ( ). 1 0 0 0 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 0 0 1 0 5.0 1 1 ( ). 1 0 0 0 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 2x x 1 1 6．在函数 1 x 1 2 f (x) 中 3 2 x 3 3 x 项的系数是( ). 0 0 0 1 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 1
7. 若 a a a 11 12 13 1 D a a a ，则 21 22 23 2 a a a 31 32 33 2a a 13 a 33 a 11 a 31 2a 12 2a 32 11 D 2a a a 2a ( ). 1 21 23 21 22 2a 31 (A) 4 (B) 4 (C) 2 (D) 2 a a 11 ，则 12 8．若 a a a 21 22 a 12 a 11 ka 22 ka 21 ( ). 2 (D) k2a (A) ka (B) ka (C) k a 9．已知 4 阶行列式中第 1 行元依次是4, 0, 1, 3, 第 3 行元的余子式依次为2, 5,1, x, 则x ( ). (A) 0 (B) 3 (C) 3 (D) 2 8 7 4 3 10. 若 6 2 3 1 D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). 1 1 1 1
线性代数与概率统计全部答案(随堂 作业 模拟)
1.行列式？ B．4 2.用行列式的定义计算行列式中展开式，的系数。 B．1，-4 3.设矩阵，求=？ B．0 4.齐次线性方程组有非零解，则=？（） C．1 5.设，，求=？（） D． 6.设，求=？（） D． 7.初等变换下求下列矩阵的秩，的秩为？（） C．2 1.求齐次线性方程组的基础解系为（） A． 2.袋中装有4个黑球和1个白球，每次从袋中随机的摸出一个球，并换入一个黑球，继续进行，求第三次摸到黑球的概率是（） D．
3.设A，B为随机事件，，，，=?( ) A． 4.设随机变量X的分布列中含有一个未知常数C，已知X的分布列为 ，则C=?( ) B． 5. 44．，且，则=？（） B．-3 一．问答题 1．叙述三阶行列式的定义。 1.三阶行列式的定义:对于三元线性方程组使用加减消元法.得到 2．非齐次线性方程组的解的结构是什么？ 2.非齐次线性方程组的解的结构:有三种情况,无解.有唯一解.有无穷个解 3．什么叫随机试验？什么叫事件？ 3.一般而言，试验是指为了察看某事的结果或某物的性能而从事的某种活动。一个试验具有可重复性、可观察性和不确定性这3个特别就称这样的试验是一个随机试验。每次试验的每一个结果称为基本事件。由
基本事件复合而成的事件称为随机事件（简称事件）。 4．试写出随机变量X的分布函数的定义。 4.设X是随机变量，对任意市属x，事件｛X
线性代数练习册习题及答案本
第四章 线性方程组 §4-1 克拉默法则 一、选择题 1．下列说法正确的是（ C ） A.n 元齐次线性方程组必有n 组解； B.n 元齐次线性方程组必有1n -组解； C.n 元齐次线性方程组至少有一组解，即零解； D.n 元齐次线性方程组除了零解外，再也没有其他解. 2．下列说法错误的是（ B ） A.当0D ≠时，非齐次线性方程组只有唯一解； B.当0D ≠时，非齐次线性方程组有无穷多解； C.若非齐次线性方程组至少有两个不同的解，则0D =； D.若非齐次线性方程组有无解，则0D =. 二、填空题 1．已知齐次线性方程组1231231 230020 x x x x x x x x x λμμ++=?? ++=??++=?有非零解， 则λ= 1 ，μ= 0 . 2．由克拉默法则可知，如果非齐次线性方程组的系数行列式0D ≠, 则方程组有唯一解i x = i D D . 三、用克拉默法则求解下列方程组 1．832623x y x y +=??+=? 解： 8320 62 D = =-≠ 1235 32 D = =-， 28212 63 D = =- 所以，125,62D D x y D D = ===-
2．123123123 222310x x x x x x x x x -+=-?? +-=??-+-=? 解： 2131 12112122 130 3550111 01 r r D r r ---=--=-≠+--- 11222 10051 1321135 011011D r r ---=-+-=---， 2121215 052 1322 1310 10 1 101 D r r --=-+-=-----， 3121225 002 1122 115 1 1 110 D r r --=+=--- 所以， 3121231,2,1D D D x x x D D D = ===== 3．21 241832x z x y z x y z -=?? +-=??-++=? 解： 13201 0012 412041200 183 583 D c c --=-+-=≠- 13110110014114020 283285D c c -=-+=， 2322 11 2 102 112100 123 125 D c c -=-+=--， 313201 01 2 4120 4120 182 582 D c c =-=-- 所以， 3121,0,1D D D x y z D D D = =====
2015年秋西南大学《线性代数》第1次作业
一、填空题(每小题3分，共15分) 1. 若矩阵???? ? ??=20001011k k A 是正定矩阵，则k 满足( k>1 ). 2. A 为3阶方阵, 且2||-=A ,*A 是A 的伴随矩阵, 则=+-|4|*1A A ( -4 ). 3. A 为5×3矩阵, R (A ) = 3, ???? ? ??=300020201B , 则R (AB ) = ( 3 ). 4. 设三阶方阵A 的特征值为1，2，-1，则1 *21-?? ? ??A 的特征值为( -1,-2,1 ). 5. 设,1011???? ??=A 则???? ? ?=10200912009A . 二、单选题(每小题3分，共15分) 1. 已知A 为n 阶方阵，且满足A 2 = 2E ， E 为单位阵，则=--1)(E A （ A ）. (A)A E + (B)A E - (C)E A - (D) A 2. n 阶方阵A 与对角阵相似的充要条件是 ( C ). (A) A 是实对称阵 (B) A 有n 个互异特征值 (C) A 有n 个线性无关的特征向量 (D) A 的特征向量两两正交 3. 已知线性方程组的系数矩阵A 是54?矩阵，且A 的行向量组线性无关，则下列结论正确的是（ C ）. (A) A 的列向量组线性无关 (B) 线性方程组的增广矩阵的任意四个列向量线性无关 (C) 线性方程组的增广矩阵的行向量组线性无关
(D) 线性方程组的增广矩阵的列向量组线性无关 4. 矩阵A 与B 相似, 则下列说法不正确的是（ B ）. (A) R (A ) = R (B ) (B) A = B (C) B A = (D) A 与B 有相同的特征值 5. 如果0λ是n 阶矩阵A 的特征值, 那么必有（ A ）. (A) 0||0=-E A λ (B) 0||0≠-E A λ (C) 0=-E A 0λ (D) 0≠-E A 0λ 三、判断题（下列叙述正确的打“√”，错误的打“×”，每小题3分，共15分) 1. 设A 、B 为两个不可逆的同阶方阵，则|A | = |B | . （ √ ） 2. 若A 可逆，则A 的伴随矩阵A *也可逆. （ √ ） 3. 若Ax = b （b ≠ 0）有无穷多解，则Ax = 0也有无穷多解. （ √ ） 4. 如果n 维向量组321,,ααα，对于任意一组不全为零的数321,,k k k ，总有0≠++332211αααk k k 成立， 则向量组321,,ααα线性无关. （ √ ） 5. 设A 、B 为同阶方阵，则必有(A + B )(A －B )＝A 2－B 2 （ × ） 四、(10分)设4阶方阵A 、B 、C 满足方程1T 1)2(--=-C A B C E ，试求矩阵A ， 其中??????? ??---=1000210032102321B , ?????? ? ??=1000210002101021C . 设4阶方阵A 、B 、C 满足方 程 ，试求矩阵A ，其中
江苏理工学院线性代数指导用书答案[完整版]
线性代数指导用书答案 辅导一 练习题： 1. 计算下列二阶行列式 （1）-19 （2）8 （3）-14 （4）-14 2. 计算下列三阶行列式 （1）12 （2）12 （3）-7 （4）1 （5）0 3. 计算下列行列式 （1）24 （2）24 （3）24 （4）24 4. 根据行列式的定义填空 （1）abcde （2）abcde （3）1 （4）()1 1!n n +-(按第一列展开) （5）() (1)2 1!n n n -- （6）() 1 12111n n n a a a a +-- 5. 解线性方程组 （1）31x y =??=-? （2）1223 1 3x x ?=????=?? （3）123x y z =??=??=? （4）123112x x x =??=-??=? 6. 21k =-或 第一次作业： 1. 用对角线法则计算下列行列式 （1）-43 （2）-3 （3）-1 （4）-1 （5）18 （6）5 （7）-8 （8）18 2. 解线性方程组 （1）21x y =-??=? （2）1275x x =-??=? （3）12365 1525x x x ?=?? ? =-?? ? =?? （4）123 112x x x =??=??=?
练习题： 1. 234x =或或 2. （1）6k （2）k （3）15k - （4）3k 3. 计算下列行列式 （1）6123000 （2）1000 （3）2 （4）-63 （5）-3 （6）0 （7）900 （8）1 （9）4x （10）()()3 31x x +- （11）() ()11!2 n n n n +- （12）()2!n n - （13）()1n x x n -+ （14）()()1 11n n --- 第二次作业： 1. 6k - 2. 计算下列行列式 （1）160 （2）1 （3）5 （4）-8 （5）-4 （6）5 3. 计算下列行列式 （1）221n i i =-∑ （2）12n b b b
线性代数练习题及答案精编
线性代数练习题 一 选择题 1B A ,都是n 阶矩阵，且0=AB , 则必有:（ ） (A) 0A =或0=B . (B) 0A B == . (C) 0=A 或.0=B (D) 0A B == 2设1011,1101a b c d -??????= ??? ?-?????? 则a b c d ?? = ???（ ） (A)01. 11?? ?-?? (B)11. 10-?? ??? (C)11. 11-?? ??? (D)11. 01?? ?-?? 3若 A 为n m ?矩阵,且n m r A R <<=)(则( )必成立. （A ）A 中每一个阶数大于r 的子式全为零。 （B ）A 是满秩矩阵。 （C ）A 经初等变换可化为??? ? ??000r E （D ）A 中r 阶子式不全为零。 4 向量组 s ααα ,,21,线性无关的充分条件是( ) （A ） s ααα ,,21均不是零向量. （B ） s ααα ,,21中任一部分组线性无关. （C ） s ααα ,,21中任意两个向量的对应分量都不成比例. （D ） s ααα ,,21中任一向量均不能由其余S-1个向量线性表示. 5 齐次线性方程组0AX =是非齐次线性方程组AX B =的导出组,则( )必定成立. （A ）0AX =只有零解时, AX B =有唯一解. （B ）0AX =有非零解时, AX B =有无穷多解. （C ）α是θ=AX 的任意解,0γ 是AX B =的特解时,0γα+是AX B =的全部解. （D ）12γγ，是AX B =的解时, 21γγ+ 是0AX =的解. 6若θ≠B ,方程组B AX =中, 方程个数少于未知量个数，则有( )
线性代数题目及解析。
一. 判断题（正确打√，错误打×） 1若s α不能由121,,,-s ααα 线性表示，则s ααα,,,21 线性无关. (×) 解答：反例：取01=α，02≠α，则2α不能由1α线性表示，但21,αα线 性相关. 2. 如果β可由321,,ααα唯一线性表示,则321,,ααα线性无关.(√) 解答：向量β能由向量组A 唯一线性表示的充分必要条件是 m R R m m ==),,,(),,,,(2121αααβααα ； 所以3),,(321=αααR ，所以321,,ααα线性无关. 3. 向量组的秩就是它的极大线性无关组的个数.(×) 解答：正确结论： 向量组的秩就是它的极大线性无关组所含向量的个数. 4. 若向量组γβα,,只有一个极大无关组，则γβα,,线性无关. (×) 解答：反例：取0,0==≠γβα，则向量组γβα,,只有一个极大无关 组α，但γβα,,线性相关. 正确命题：若γβα,,线性无关，则γβα,,只有一个极大无关组. 二. 单项选择题 1.设向量组（1）:321,,ααα与向量组（2）:21,ββ等价，则( A ). （A ） 向量组（1）线性相关; （B ）向量组（2）线性无关; （C ）向量组（1）线性无关; （D ）向量组（2）线性相关.
解答：因为等价的向量组具有相同的秩，所以 32),(),,(21321<≤=ββαααR R ，所以向量组（1）线性相关. 2. 3维向量组1234,,,αααα中任意3个向量都线性无关，则向量组中（A ） （A ）每一个向量都能由其余三个向量线性表示; （B ）只有一个向量能由其余三个向量线性表示; （C ）只有一个向量不能由其余三个向量线性表示; （D ）每一个向量都不能能由其余三个向量线性表示. 解答：因为4个3维向量线性相关，所以1234,,,αααα线性相关，而1234,,,αααα中任意3个向量都线性无关，所以每一个向量都能由其余三个向量线性表示.所以选（A ） 3. 设n 维向量组m ααα,,,21 线性无关，则(B ). （A ）向量组中增加一个向量后仍线性无关; （B ）向量组中去掉一个向量后仍线性无关; （C ）向量组中每个向量都去掉第一个分量后仍线性无关; （D ）向量组中每个向量任意增加一个分量后仍线性无关. 解答：根据“全体无关则部分无关”知选项（B ）正确. 注意（D ），“向量组中每个向量任意增加一个分量后”不是 原来的接长向量组，所以不能保证还线性无关.