高等数学作业下-6 (答案)

第十二章 习题答案

12.1 常微分方程的基本概念

1． （1）是 （2）是 （3）是 （4）是

2． （1）一阶 （2）二阶 （3）三阶 （4）一阶 （5）一阶 （6）三阶 3． （1）12=-x y （1）x

x e e y -+=

2

121 （1）x y cos -= 4． （1）C x y +-=cos ，由C +-=0cos 1得：C ＝2，故2cos +-=x y

（2）213123C x C x y C x y ,++=+='，代入初始条件得：21=C ，02=C 故方程的特解为：x x y 23+=。

5．（1）由题意，曲线满足的微分方程为：x y 2='，初始条件：41==x |y 。

（2）设曲线)x (y y =，则在曲线上任一点)y ,x (P 处的切线方程：)x X (y y Y -'=-。切线与x 轴的交点：),y y y x (

0'-'，故曲线所满足的微分方程为：2x y y y x ='

-'，初始条件为：11=-=x |y 。

12.2 一阶微分方程

1．（1）

dx x y

dy

23-=，变量可分离方程。 （2）33

321)

x

y (x y

y y

x y x dx dy +=+=，齐次方程。 （3）

x e y x x dx dy =+=1，一阶线性方程。 （4）23xy xy dx

dy

=-，贝努里方程。 （5）2

2

212

2)x

y (x y y

x xy dx dy +=+=，齐次方程。

（6）

2y y

x

dx dy +=，以y 为自变量x 为未知函数的一阶线性方程。 （7）

23x y yx dy

dx

=-，以y 为自变量，x 为未知函数的伯努利方程。 （8）dx e dy ye x y 32

=-，变量可分离方程。 2．（1）解：分离变量得

01

132=+++y ydy

x xdx ，两边积分：??=+++12211C y ydy x xdx 。即：

)x ln(12+C ln )y ln(=++12。故通解为：C )y )(x (=++1122。

（2）解：分离变量得

)

x (x dx y ydy 112

2+=+。积分得：)x ln(|x |ln )y ln(2

2121121+-=+ 1C ln +。即：2

2

2

11x x C

y +=+。 （3）解：分离变量得

112+=--x dx e dy y

，即：12+=-x dx e

dy e y y 。积分得：=--)e ln(y 2 |C |ln |x |ln 11-+，即：C e x y =-+)2)(1(。

3．（1）解：分离变量得dx x

arctgx dy 2

1+=。积分得：C )arctgx (y +=2

21。由00=)(y 得 0=C ，故满足条件的特解为：2

2

1)arctgx (y =。

（2）解：分离变量得

x

sin dx

y ln y dy =。积分得：1C ln |ctgx x csc |ln |y ln |ln +-=。即：)ctgx x (csc C y ln -=。由e )(

y =π

2

得1=C 。故特解为：ctgx x csc y ln -=。 （3）解：分离变量得

dx x

sin x

cos y dy -=+3。积分得：13C |x sin |ln |y |ln +-=+，即：x sin C y =

+3。由02=π)(y 得：3=C 。故特解为：33

-=

x

sin y 。 4．（1）解：方程可改写为

1212=-+x y

y

dy dx （以y 为自变量的一阶线性方程），相应齐次方程解为：y

e Cy x 1

2

=。常数变易，令y

e y )y (u x 12

=代入原方程得：112

='y

e y u ，

?+=-=--

C e )y

(d e u y

y

111。故原方程的通解为：y y e y )C e (x 1

21+=-。

（2）解：方程可改写为2

2

212

2)x

y (x y

y x xy dx dy -=

-=，这是齐次方程。令xu y =，dx du x u dx dy +=。代入方程得：212u u dx du x u -=+。即x dx du )

u (u u =--2211，亦即x

dx du )u u u (

=+-2121。积分得：12

1C ln x ln )u ln(u ln +=+-。从而得原方程的通解为：Cy y x =+22。

（3）解：方程可改写为2

1x x

x y y +-

=-

'。这是一阶线性方程，相应齐次方程解为：Cx y =。常数变易，令x )x (u y =代入原方程得：

2

11

x

u +-='，C arctgx u +-=。故原方程的通解为：x )C arctgx (y +-=。

（4）解：方程可改写为

1

22

2-=-y x x y dx dy 。这是贝努里方程。令2y u =，则方程化为：21

x u x

dx du =-这是一阶线性方程，相应齐次方程解为：Cx u =。常数变易，令x )x (u u 1=代入原方程得：x u ='1

，C x u +=2

21。故通解为：x )C x (y +=222

。 5．（1）解：方程可改写为2

211

1x

y x x y -=-+

'。这是一阶线性方程，相应齐次方程解为：21x C y -=。常数变易，令21x )x (u y -=代入原方程得：=-'21x u

211x -，C x x u +-=21。故通解为：2

211x )C x

x (y -+-=。代入初始条件得：1=C ，从面满足初始条件的特解为：21x x y -+=。

（2）解：这是齐次方程，可改写为121

222-+--='x

y )x y (x y

)x y (

y 。令xu y =，则：

u u dx du + 121222-+--=u u u u ，即x dx

du )

u )(u (u u =+++--111222。两边积分：?++-du ]u u u [1122

?

=x dx 。解得：Cx u u =++112。故：C y

x y

x =++2

2。代入初始条件得： 1=C ，所以方程特解为：y x y x +=+22。 （3）解：方程可改写为21

y x y

y -=++

'。这是贝努里方程，2=μ，令1-=y z ，原 方程化为：011

=+++

'-x z

z ，相应齐次方程解为：)x (C z 1+=。常数变易，令)x )(x (u z 1+=，代入相应线性方程：

11=+?')x ()x (u ，c )x ln(u ++=1，得原方程通解为：

)x ](C )x [ln(y

111

+++=，代入初始条件求得1=C ，故方程满足初始条件的特解为：

)x ]()x [ln(y

1111

+++=。 6．（1）因

x

Q

y xy y P ??=-=??236，所以是全微分方程。取0000==y ,x 。则=)y ,x (u

30

32253240

2

3

1

2335y xy y x x dx )y xy x (dy y x y +-+

=-++?? 。所以原方程的通解为：C y xy y x x =+-+

33225

3

1

23 。 （2）因

x

Q )y x (y P ??=+-=??2，所以是全微分方程。取0000==y ,x 。则=)y ,x (u

3

20

220

22

3

1y xy y x x a dy )y x (dx a x

y

+

--=+-?

?。所以原方程的通解为：C y xy y x x a =+

--3

2223

1 。 （3）因

x

Q e y P y ??==??，所以是全微分方程。取0000==y ,x 。则=)y ,x (u

20

2y xe dx e dy )y (y x y y

-=+-??

。所以原方程的通解为：C y xe y =-2 。

7．（1）解：方程可改写为

2

1

)y x (dx dy +=。令u y x =+得：dx dy dx du +=1。方程化为： 211u dx du =-，即：221u

u dx du +=。分离变量得：dx du u u =+22

1。积分得： C x arctgu u +=-。所以通解为：C )y x (arctg y =+-。

（2）解：令u y x =-，dx du dx dy =-

1。代入方程得：112+=-u dx dy 。即dx u

du =-2。 积分得：C x u +=1。即：

y x C

x -=+1

。 （3）解：令u y y x ,u xy '=+'=。代和方程得：u ln x u dx du =。分离变量得：x

dx

u ln u du =。

积分得：Cx u ln =。故x C e xy =。

（4）令u y x =+，

dx du dx dy =+1代入方程得：0=+u sin dx du x 。分离变量：x

dx

u sin du -=。 积分得：

x C u sin u cos =-1，即：x

C )y x sin()y x cos(=++-1。由02=π)(y 得：2π=C 。

所以方程之通解为：

x

)y x sin()y x cos(21π

=++-。

8．解：根据题意，任意时刻物体的温度)t (T 满足方程：

)T T (K dt

dT

1--=其中0>K 为 比例系数。负号表示物体在空气中冷却。初始条件为：00T |T t ==。即：

???

?

??

?=--==001|)

(T

T T T K dt dT

t 分离变量： Kdt T T dT -=-1。积分得：t K Ce T T -=-1。由初始条件：00T |T t == 得：10T T C -=。故：110T e )T T ()t (T t K +-=-。

9．解：设曲线方程为)x (y y =，则在任一点)y ,x (M 的切线方程为：

)x X (dx

dy

y Y -=-；即dx dy x y X dx dy Y -+=

。由题意：22y x dx

dy x y +=-。即

21)x

y

(dx dy x y -=-。这是齐次方程。初始条件为：10==x |y 。令xu y =。方程化为：

x

dx

u du =+2

1。积分得：C y x y =++

22。代入初始条件得2=C 。故所求曲线方程为：

222=++y x y 。

10．解：设所求曲线)x (y y =。由题意，曲边梯形面积为：

?

x

ydx 0

。梯形OAPE 面积＝

x )y (121+。故：?=+-x x )y (x ydx 0312。两边求导：2

32

121x y x )y (y ='-+-即：

x

x y x y 1

61--=-

'。初始条件：01==x |y 。求解方程，由一阶线性方程解的公式：)x

x (x Cx dx e )x x (e

Ce

y dx x x

dx dx

x 16161

1

1

--=?+?

-?=?-。代入初始条件0|1==x y 得：5=C 所以曲线方程为：1652+-=x x y 。

12.3 可降阶的高价微分方程

1．（1）12221C )x cos e (y x ++=

' ；21224

1

C x C )x sin e (y x +++='' 。 （2）解：方程不显含未知函数y ，令p y ='，则p y '=''。代入方程得：x x

p

p +=

'。即：x x

p

p =-

'。这是一阶线性非齐次方程。解出其通解为：)C x (x p 1+=，故原方程的通解为：22

132

3C x C x dx )C x (x y x ++=+=?。 （3）解：方程不显含y ，令y p '=，则p y '=''。代入方程得：x

p

ln

p p x ='。这是一个齐次方程。令

u x

p

=，即ux p =，则u x u p '+='。代入方程得：u ln u u x u ='+。分离变量得：

x

dx

)u ln (u du =+-1。两边积分得：11C ln x ln )u ln ln(+=+-。即：

u ln +-1＝x C 1。即11+=x C e u 。故

11+=x C e x

p

。即：11+='x C xe y 。积分得：1

21

11111++-=

x C x C e C e C x y 2C +即为所求。 （4）解：方程不显含自变量x ，令：y p '=则dy dp p

y =''。代入方程得：022=-p dy

dp

yp

。即：22p dy

dp yp

=。分离变量得：)y ,p (,y dy

p dp 002≠≠=。两边积分得：

12C ln y ln p ln +=；即：21y C p =。所以21y C y ='，即：

dx C y

dy

12=。两边积分得：211

C x C y

+=-

即为所求。（又：C y =也是方程的解）。

2．（1）解：令p y ='则dy dp p

y =''。代入方程得：xp p )x (212='+。分离变量得212x

xdx

p dp += 两边积分得：121C ln )x ln(p ln ++=。即)x (C y 211+='。积分得方程通解是：

23

13

C )x x (C y ++=。由初始条件：3100='===x x |y ,|y 得1321==C ,C 。故所求

特解为：133++=x x y 。 （2）解法一：令p y ='则dy dp p

y =''。代入方程得：02=+p dy

dp yp 。当00≠≠y ,p 时分离变量得

y dy

p dp -=。所以y C p 1=，即y

C y 1='。所以dx C ydy 1=。故方程的通解为：212

2C x C y +=。由初始条件2

1

200=

'===x x |y ,|y 得4121==C ,C ，故所求特解为：422+=x y 。

解法二：由方程得0='')y y (，所以1C y y ='。即dx C ydy 1=。积分得：

2122C x C y +=为方程的通解。由初始条件可得所求特解为：422+=x y 。

3．解：由题意可知即是要求方程x y =''满足初始条件：2

1

010=

'=)(y ,)(y 的特解。将方程x y =''积分二次得期通解是：213

6C x C x y ++=。由10=)(y 得12=C 。由210=')(y 得： 211=C 。故12

63++=x

x y 即为所求。

4．解：设所求的曲线为)x (y y =。则此曲线在点)y ,x (P 处的法线方程是：

X (y y Y '

-=-1

)y ()x 0≠'-。它与x 轴交点是),y y x (0'+。故法线段PQ 长度是：2

2y )y y (+'

＝2

1

21])y ([y '+。根据题意得微分方程：

2

122

32111)

y (y )

y (y '+=

'+''。即=''y y

2

1y '+。且当1=x 时，1=y ，0='y 。令p y ='则dy

dp

p

y =''。代入方程得：

21p dy dp yp

+=，即：y dy p

pdp =+2

1。积分得：2

211p y C +=。又因为1=x 时，1=y ，0='y ，

即1=y 时0=p 。故有221p y +=，即：12

-±=y p 。即dx y dy ±=-1

2

。

积分上式，由11==x |y 得)x ()y y ln(112-±=-+。即所求曲线为：1

2-+

y y ＝)

x (e

1-±，亦即：)e e (y )x ()

x (112

1---+=

。 5． （1）线性无关 （2）线性相关 （3）线性相关 （4）线性无关 （5）线性无关 （6）线性相关

6．验证：将2

1x e y =与2

2x xe y =分别代入方程即得，略。又因

≠=x e

xe x x 2

2

常数，所以

2

2

21x x xe y ,e y ==线性无关。方程的通解为：2

2

21x x xe C e C y +=。

7．解：因)x (y ,)x (y ,)x (y 321都是方程)x (f y )x (q y )x (p y =+'+''的特解。由二阶非齐线性方程通解的结构之定理4（12章4．2之定理4）可知：)x (y )x (y 12-和

)x (y )x (y 13-皆为)x (f y )x (q y )x (p y =+'+''相应齐次方程的特解。又因：≠--)

x (y )x (y )

x (y )x (y 1312常数，线性无关。故通解为)x (y (C ))x (y )x (y (C y y 221311+-+=

))x (y 1-。（12章4．1之定理2及4．2之定理3）。整理即得：1211y )C C (y --= )x (y C )x (y C 2231++。

12.4 高阶线性方程

1．（1）解：特征方程为：022

=-+r r 。特征根：1221=-=r ,r 。所以通解为：

x x e C e C y 221+=-。

（2）解：特征方程为：042

=-r r 。特征根：4021==r ,r 。故通解为：x e C C y 421+=。 （3）解：特征方程为：05842

=+-r r 。特征根：i r ,2

1

121±

=。所以通解为： )x sin C x cos

C (e y x 2

221+=。

（4）解：特征方程为：012

=+r 。特征根：i r ,±=21。所以通解为：

x C x C y sin cos 21+=。

（5）解：特征方程为：0442

=+-r r 。特征根：221==r r 。所以通解为：

x e )x C C (y 21+=。

（6）解：特征方程为：05121042

3

4

=+-+-r r r r ，即：052122=+--)r r ()r (的

特征根：121=,r ，i r ,2143±=。所以通解为：x cos C (e e )C C (y x x x 2321++=

)x sin C 24+。

2．（1）解：特征方程为：0342=+-r r 。特征根：3121==r ,r 。所以通解为：

x x e C e C y 321+=，x x e C e C y 3213+='。由初始条件：???=+=+1036

2121

C C C C 解得：41=C ，22=C ，所以满足条件的特解为：x x e e y 324+=。

（2）解：特征方程为：02942

=++r r 。特征根：i r ,5221±-=。所以通解为：

)x sin C x cos C (e y x 55212+=-。22122552C (x cos )C C [(e y x -++-='-

]x sin )C 551-。由初始条件得：01=C ，32=C 故特解：x sin e

y x

532-=。

（3）解：特征方程为：01442

=++r r 。特征根：2

1

21-

==r r 。所以通解为： x e

)x C C (y 2

121-+=，x e )x C C C (y 21

2122

21

--

-='由初始条件得：21=C ，12=C 故方程之特解x e

)x (y 2

12-+=。

3．解特征方程为：092

=+r 。特征根：i r ,321±=。所以通解为：x sin C x cos C y 3321+= 由题意其初始条件为：11='-=π=π=X X |y ,|y 。由通解和x cos C x sin C y 333321+-='得

11=C ，312-=C 。所以积分曲线为：x sin x cos y 33

1

3+=。

4．解：设所求运动规律为：)t (x x =，按题意可得：dt dx x dt x d 3422-=即043

22=-+x dt dx

dt

x d

其初始条件是：0100====t t |dt dx ,|y 。二阶常系数齐次线性微分方程04322=-+x dt dx dt

x d 的通解为：t t e C e C x 421-+=。由初始条件可知：??

?=-=+0

412121C C C C ，解得：54

1=C ，

512=

C ，因此所求运动规律为：)e e (x t

t 445

1-+=)cm (。 5．解：由题意知对应的特征方程有二重根 m r r ==21，故方程的通解是

x

m e

)x C C (y 21+=。由初始1100='===x x |y ,|y 得：???=+=11211C m C C 故???-==m C C 11

2

1。

故满足初始条件的特解为m x e ]x )m ([y -+=11。

6．解：由题意知求满足下列条件的)x (u 和)x (v ：00=)(u ，12

=π

')(

u ；00=)(v 且：)(v )(u 00'='。方程0134='+''y y y ＋的通解是：x cox C (e )x (v y x 312-==

)x s i n C 32+。

而0294='''y y y ＋－的通解：)x sin C x cox C (e )x (u y x 55432+==。由题设知00=)(u 12=π')(u 代入)x (u 得03=C ，2

4π-=e C 。所以：

x sin e )x (u x 52

12π

-=

即为所求。 对于)x sin C x cox C (e

)x (v y x

33212+==-由00=)(v 得01=C 。于是=y

x

sin C e )x (v x 322-=则

)

x sin x cox (e C )x (v x 323322-='-，

又

由

于

)5cos 55sin 2(21)(2x x e x u x +=

'-π，π-='e )(u 250所以π-=='e C v 253)0(2，即得π-=e C 652故得)x (v ＝x sin e x 56

5

2π--。

12.5 常系数线性方程

1．（1）解：对应齐次方程的特征方程为：092

=+r ，特征根为：i r ,±=21。非齐次方程

自由项x e )x ()x (f 32-=，3=λ不是特征根，故)B Ax (e y x

*+=3。

（2）解：对应齐次方程的特征根为：i r ,±=21，非齐次方程自由项x sin x )x (f 4=，

i i =ω+λ是特征根。故]x cos )D Cx (x sin )B Ax [(x y *+++=。

（3）解：对应齐次方程的特征根为：01=r ，62=r 非齐次方程自由项132

+=x )x (f ，

0=λ是单特征根，故)C Bx Ax (x y *++=2。

（4）解：对应齐次方程的特征根为：i r ,±=121，非齐次方程自由项x sin xe )x (f x =。

i i +=ω+λ1是特征根。故]x sin )D Cx (x cos )B Ax [(xe y x *+++=。

（5）解：对应齐次方程的特征根为：121=,r ，非齐次方程自由项x xe )x (f =，1=λ是

二重特征根。故)B Ax (e x y x *+=2。

（6）解：对应齐次方程的特征根为：i r ,±=21，方程自由项为)x cos x x (sin e )x (f x +=，

i i +=ω+λ1不是特征根，故]x sin )D Cx (x cos )B Ax [(e y x *+++=。

（7）解：对应齐次方程的特征根为：121±=,r ，非齐次方程自由项x cos x )x (f 2=

)x (f )x (f x c o s x x 21222+=+=

，其中21x )x (f =，x cos x

)x (f 22

2=。对于2x y y =-''，B Ax y ~+=1。对于x cos x

y y 22

=-''，+++=Ex (x cos )C Cx (y ~22

x s i n )F 2。故x sin )F Ex (x cos )C Cx (B Ax y ~y ~y *2221+++++=+=。

（8）解：对应齐次方程的特征根为：121±=,r ，非齐次方程自由项x cos x cos )x (f 3?=

)x (f )x (f )x c o x x (c o s 212421+=+=

。其中x cos )x (f 4211=，x cos )x (f 22

12= 对于x co s x y y 42=-''，x sin B x cos A y ~441+=。对于x co s x

y y 22

=-''，

x sin D x cos C y ~222+=。故：x cos C x sin B x cos A y ~y ~y *24421++=+=

x s i n D 2

+ 2．（1）解：对应齐次方程的特征根为：01=r ，12-=r ，故对应齐次方程的通解为：

x e C C y -+=21。自由项x )x (f =，0=λ是特征根，所以)B Ax (x y *+=。代入

方程解得121-==B ,A ，得x x y *

-=2

2。所以通解为：x x e C C y x -++=-2221。

（2）解：对应齐次方程的特征根为：221=,r ，故对应齐次方程通解为：x

e

)x C C (y 221+=

自由项x sin )x (f 22=，i i 2=ω+λ不是特征根，故x sin B x cos A y *

22+=。

代入方程解得041==

B ,A ，所以x cos y *24

1

=。所以方程的通解为：

x cos e )x C C (y x 24

1

221+

+=。 （3）解：对应齐次方程的特征根为：221-=,r ，对应齐次方程通解为：x

e )x C C (y 221-+=自由项x a e )x (

f =。

当2-≠a 时，a 不是特征根，x a *Ae y =，代原方程解得2

21

)

a (A +=

故x a *e )

a (y 2

21

+=

。 当2-=a 时，a 是二重特征根，x

a *

e Bx y 2=代入原方程：

21=B 故2

2x a *

e x y = 故原方程通解为：???

???

?-=++-≠++?+--2

212

222212221a ,

e )x x C C (a ,)a (e e )x C C (x x a x

。

3．（1）解：对应齐次方程的特征根为：01=r ，12=r ，故对应齐次方程的通解为：

x e C C y 21+=。自由项3=)x (f ，0=λ是特征根，所以Ax y *=。代入方程解

得：3-=A 所以x y *3-=。故方程的通解为：x e C C y x

321-+=。由初始条件

得：021=+C C ，132=-C 得41-=C ，42=C 。故方程满足初始条件的特解为：x e y x

344-+-=。

（2）解：对应齐次方程的特征根为：01=r ，22=r ，故对应齐次方程的通解为：

x e C C y 221+=。自由项)x x (e )x (f x 32-+=，1=λ不是特征根。所以方程

特解为：)C Bx Ax (e y x *++=2

。代入方程解得1-=A ，1-=B ，

1=C 。所以

)x x (e y x *12-+-=，故方程的通解为：

)x x (e e C C y x x 12221-+-+=。由初始条件得：2121=++C C ，12=C 得01=C ，12=C 。故方程满足初始条件的特解为：)x x (e e y x x 122-+-=。

（3）解：对应齐次方程的特征根为：i r ,221±=，对应齐次方程的通解为：

x sin C x cos C y 2221+=自由

)x x (e )x (f x 32-+=，i i 2=ω+λ是特征

根。所以方程特解为：)x sin B x cos A (x y *22+=。代入方程解得4

1-

=A ， 0=B 。所以x cos x y *24-=。故通解：x cos x

x sin C x cos C y 24

2221-+=。

由初始条件可得：411=C ，8

1

2=C 。故满足初始条件的特解为：

x cos x

x sin x cos y 24

281241-+=。

4．解：?

?

?+

?-=?x

x

x du )u (u du )u (x e )x (0

。求导得：+?-?-=?'?)x (x du )u (e )x (x

x 0

??-

=?x

x

du )u (e )x (x 0

再求导得：)x (e

)x (x

?-=?''。即x e )x ()x (=?+?''。初

始条件1010=?'=?)(,)(，x e )x ()x (=?+?''的通解为x sin C x cos C )x (21+=?

x e 2

1+

。代入初始条件解得：211=C ，212=C 。故x e x sin x cos )x (21

2121++=?。

5．解：??ππρρρ?+=20309312

t t d )(f d e

)t (f =?ρρρπ+πt t d )(f e 3093

122， )t (tf te )t ('f t π+π=π181829故)C t (e )t (f t +π=π2992

又因10=)(f ，得：

1=C 。所以)t (e )t (f t 19292

+π=π即为所求。

兰州大学高等数学课程作业题及答案

兰州大学高等数学课程作业题及答案一单选题 1. 图片3-5 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： (D) 标准答案： (D)

2. 图片443 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (D) 标准答案： (B) 3. 图片363 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： (D) 标准答案： (D)

4. 图片2-9 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： (C) 标准答案： (C) 5. 图片1-4 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： (B) 标准答案： (B) 6. 图片3-14 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0

用户得分： 0.0 用户解答： (A) 标准答案： (B) 7. 图片4-5 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (B) 标准答案： (A) 8. 图片2-1 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： (A) 标准答案： (A) 9. 图片4-9 (A) (B) (C)

(D) 本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (C) 标准答案： (D) 10. 图片238 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (C) 标准答案： (D) 11. 图片241 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 0.0

微积分课后题答案第九章习题详解

第9章 习题9-1 1． 判定下列级数的收敛性： (1) 11 5n n a ∞ =?∑（a ＞0）； (2) ∑∞ =-+1 )1(n n n ; (3) ∑∞ =+13 1 n n ; (4) ∑∞ =-+12)1(2n n n ; (5) ∑∞ =+11ln n n n ; (6) ∑∞ =-12)1(n n ; (7) ∑∞ =+11 n n n ; (8) 0(1)21n n n n ∞ =-?+∑． 解：（1）该级数为等比级数，公比为 1a ,且0a >,故当1 ||1a <,即1a >时，级数收敛，当1 | |1a ≥即01a <≤时，级数发散. （2） Q n S =+++L 1= lim n n S →∞ =∞ ∴ 1 n ∞ =∑发散. （3）113 n n ∞ =+∑是调和级数11n n ∞=∑去掉前3项得到的级数，而调和级数11 n n ∞ =∑发散，故原 级数 11 3 n n ∞ =+∑发散. （4）Q 1112(1)1(1)22 2n n n n n n n ∞ ∞-==?? +--=+ ???∑∑ 而11 12n n ∞ -=∑,1(1)2m n n ∞ =-∑是公比分别为1 2的收敛的等比级数，所以由数项级数的基本性质

知111(1)2 2n n n n ∞ -=??-+ ???∑收敛，即原级数收敛. （5）Q ln ln ln(1)1 n n n n =-++ 于是(ln1ln 2)(ln 2ln 3)[ln ln(1)]n S n n =-+-+-+L ln1ln(1)ln(1)n n =-+=-+ 故lim n n S →∞ =-∞,所以级数 1 ln 1 n n n ∞ =+∑发散. （6）Q 2210,2n n S S +==- ∴ lim n n S →∞ 不存在，从而级数 1 (1) 2n n ∞ =-∑发散. （7）Q 1 lim lim 10n n n n U n →∞ →∞+==≠ ∴ 级数 1 1 n n n ∞ =+∑发散. （8）Q (1)(1)1 , lim 21212 n n n n n n U n n →∞--==++ ∴ lim 0n x U →∞≠，故级数1 (1)21n n n n ∞ =-+∑发散. 2． 判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和： (1) ∑∞ =??? ??+13121n n n ； (2) ※ ∑∞ =++1)2)(1(1n n n n ; (3) ∑∞ =?1 2sin n n n π ; (4) 0πcos 2n n ∞ =∑． 解：Q （1）1111, 23n n n n ∞ ∞==∑∑都收敛，且其和分别为1和12，则1112 3n n n ∞ =?? + ???∑收敛，且其 和为1+ 12=3 2 . （2）Q 11121(1)(2)212n n n n n n ?? =-+ ?++++??

高等数学作业上-1 (答案)

第一章函数 极限 连续 §1函数 1． 解：（1） 要使24sin x -有意义，必须.2,042≤≥-x x 即使所以定义域为[-2，2]. （2）当时，且1 3≠≠x x 3 41 2+-x x 有意义;而要使2+x 有意义，必须,2-≥x 故函数 的定义域为：).,3()3,1()1,2[+∞-、、 （3）,1010.101110ln 110ln arccos e x e e x e x x ≤≤∴≤≤≤≤-，即有意义，则使要使即 定义域为].10,10 [ e e （4）要使)1(+x tg 有意义，则必有.,2,1,0,2 1 ±±=+≠ +k k x ππ ;即函数定义域为 .,2,1,0,12? ?? ?? ?±±=-+≠∈ k k x R x x ππ且 （5）当有意义，时有意义；又当时x arctg x x x 1 033≠-≤故函数的定义域为： ].3,0()0(、，-∞ （6）x k k x k sin )2,1,0()12(2时当 ±±=+≤≤ππ有意义；有要使216x -有意义， 必须有.44≤≤-x 所以函数的定义域为：].,0[],4[ππ、 -- 2． .2)2 1(,2)21 (,2)0(,1)2(,2)3(2 1-=-====f f f f f 3． 解：3134,34)]([22≤≤-+--+-= x x x x x x g f 有意义；必须因此要使， 即[])(x g f 的定义域为[1，3]。 4．解? ?? ??>-=<=???? ???>-=<=; 0,1,0,0,0, 1,1, 1,1, 0, 1,1)]([x x x e e e x g f x x x ?????????>=<==, 1,1,1,1,1,)]([) (x e x x e e x f g x f 。 5．有意义，时当)(sin 1sin 0x f x ≤≤故其定义域为).2,1,0]()12(,2[ ±±=+k k k ππ。 6．???-<++-≥+=+?? ?<+-≥-=-; 1,52, 1,32)1(;1,52, 1,12)1(2 2 x x x x x x f x x x x x x f

高等数学作业下-2 (答案)

第八章 习题答案 8．1 多元函数基本概念 1．解：=),(y x f )225(9 1 22y x xy --。 2．解：).sin sin())(,(),sin sin(sin )],([x x x x f x g y x y x y x g f =?= 3．解：（1）0。（2）a e 。（3）1。（4）0。（利用有界量乘以无穷小量仍为无穷小量。） （5）y x y x y x y x y x 1102222+≤++≤++≤ ，且.0)11(lim =+∞ →∞→y x y x 从而.0lim 22=++∞ →∞→y x y x y x （6）22)21()( 022x x y x xy ≤+≤ ，且0)21(lim 2=+∞→x x ，所以原式0=。 4．解：不存在。因沿不同路径趋近时极限值不同。 5．解：⑴),(y x f 的定义域为0≠+y x 。 )(a 当0≠+y x ，1≠+y x 时),(y x f 的表达式为初等函数，故连续。 )(b 当100=+y x 时，=-++-+=→+→+211 )11ln(11lim ),(lim y x y x y x f y x y x =+→20)1ln(1 lim t t t ),(200y x f =，即),(y x f 在 100=+y x 时也连续。故),(y x f 的间断线为0=+y x 。 ⑵)(a 当02 2 ≠+y x 时),(y x f 的表达式为初等函数，故连续。 )(b 当02 2 =+y x 时，2222001)1(lim ),(lim k k x k kx y x f x kx y x +=+=→=→，显然k 取不同值时得不同极限，即),(lim 0 0y x f y x →→不存在，故),(y x f 在)0,0(点不连续。 ⑶)(a 当022≠+y x 时),(y x f 连续。)(b 当02 2=+y x 时，因y x y x f +≤),(，故 0),(lim 00 =→→y x f y x ，从而)0,0(0),(lim 0 f y x f y x ==→→，即),(y x f 处处连续。 8．2 偏导数与全微分 1.解：（1） )2cos(4),2cos()2sin(2222222y x ye y z y x e y x xe x z x x x +=??+++=??。

高等数学基础作业答案

高等数学基础第一次作业点评1 第1章 函数 第2章 极限与连续 (一)单项选择题 ⒈下列各函数对中,(C )中的两个函数相等. A 、 2 )()(x x f =,x x g =)( B 、 2)(x x f = ,x x g =)( C 、 3 ln )(x x f =,x x g ln 3)(= D 、 1)(+=x x f ,1 1)(2--=x x x g ⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞,则函数)()(x f x f -+的图形关于( C )对称. A 、 坐标原点 B 、 x 轴 C 、 y 轴 D 、 x y = ⒊下列函数中为奇函数就是( B ). A 、 )1ln(2 x y += B 、 x x y cos = C 、 2 x x a a y -+= D 、 )1ln(x y += ⒋下列函数中为基本初等函数就是( C ). A 、 1+=x y B 、 x y -= C 、 2 x y = D 、 ? ??≥<-=0,10 ,1x x y ⒌下列极限存计算不正确的就是( D ). A 、 12lim 2 2 =+∞→x x x B 、 0)1ln(lim 0 =+→x x C 、 0sin lim =∞→x x x D 、 01 sin lim =∞→x x x ⒍当0→x 时,变量( C )就是无穷小量. A 、 x x sin B 、 x 1 C 、 x x 1 sin D 、 2)ln(+x 点评:无穷小量乘以有界变量为无穷小量 ⒎若函数)(x f 在点0x 满足( A ),则)(x f 在点0x 连续。 A 、 )()(lim 00 x f x f x x =→ B 、 )(x f 在点0x 的某个邻域内有定义 C 、 )()(lim 00 x f x f x x =+→ D 、 )(lim )(lim 0 x f x f x x x x -+→→= 二、填空题 ⒈函数)1ln(3 9 )(2x x x x f ++--= 的定义域就是 .}33{>-≤x x x 或 ⒉已知函数x x x f +=+2)1(,则=)(x f .x x -2 ⒊=+ ∞→x x x )211(lim .21 e

大学高等数学上习题(附答案)

《高数》习题1（上） 一．选择题 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? - + ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 10．设()f x 为连续函数，则()10 2f x dx '?等于（ ）. （A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -????（C ）()()1 202f f -??? ?（D ）()()10f f - 二．填空题 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3． ()21ln dx x x = +?. 三．计算 1．求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分x xe dx -?

高等数学同济第七版7版下册习题 全解

数，故 /, = Jj( x2 + y1)3d(j = 2jj(x2+ y1) 3dcr. fh i)i 又由于D3关于;t轴对称，被积函数(/ +r2)3关于y是偶函数，故jj(x2 +j2)3dcr=2j(x2+y2)3da=2/2. Dy 1)： 从而得 /, = 4/2. (2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于^轴对称，而被积函数/(x,y)关于y是奇函数，即fix, -y) = -f(x,y) ,PJ jf/(x,y)da =0； D 如果积分区域D关于：K轴对称，而被积函数/(x，y)关于：c是奇函数，即/(~x,y)=-/(太，y)，则 =0. D ?3.利用二重积分定义证明： (1)jj da=(其中(7为的面积)； IJ (2)JJ/c/( X ,y)drr =Aj|y’(A:，y)do■(其中A：为常数)； o n (3 ) JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr + jJ/( x ,y) dcr ,其中 /) = /)! U /)2，，A 为两个 I) b\ lh 尤公共内点的W K域. 证(丨)由于被枳函数./U,y)=1,故山二t积分定义得 n"

jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A

高等数学作业下-5 (答案)

第十一章 习题答案 1． 1常数项级数的概念及基本性质 1．解：（1） +?+?+ ?+?+ ?6515 414 31321211 （2） -+ -+ -5 14 13 12 11 (3) +++ ++5 4 3 2 5 !54 ! 43 !32 !21!1 (4) +????????+ ??????+ ????+??+ 10 8642975318 64275316 425314 2312 1 2． 解：（1）1 21-= n u n （2）1 2+-= n n u n （3）) 2(6422 n x u n n ??= （4）1 2) 1(1 1 +-=++n a u n n n 3． 解：（1）013 1lim lim ≠==∞→∞ →n n n n u ，∴级数发散（不满足级数收敛的必要条件） 。 （2）原级数可写为 )4 13 12 11(3 1 +++ + 。∵括号内级数为调和级数发散，∴原级数发散。 （3）原级数为公比等于2 3的几何级数，∵ 123>，∴原级数发散。 （4）原级数为发散的调和级数 +++++ 5 14 13 12 11去掉前三项，∴原级数发散。 （5）原级数为公比等于9 8-的几何级数，19 8<- ，∴原级数收敛。 （6）∵级数 ++ + 3 2 2 12 12 1收敛（公比 12 1<的几何级数） ，级数 ++ + 3 2 3 13 13 1收敛 （公比 13 1<的几何级数） ，∴原级数收敛（收敛级数可以逐项相加减）。 4． 解：（1）a a a a a a a a a a S n n n n -= - ++- +- +-=+-+1 21 2125 73 53)()()()( ， a a a S n n n n -=-=+∞ →∞ →1)(lim lim 12，∴此级数收敛。 （2）]) 2)(1(1) 1(1 [ 21 ) 2)(1(1 ++- += ++= n n n n n n n u n +?- ?+ ?- ?+ ?- ?= ∴)5 414 31 (21 )4 31321 ( 21)3 212 11 ( 21 n S ])2)(1(1 ) 1(1 [ 21 ++- ++ n n n n =]) 2)(1(1 21[21++-n n ， 4 1 ])2)(1(121[21lim =++-= ∞ →n n S n n ，∴此级数收敛。

高等数学课后习题答案第六章

习题六 1. 指出下列各微分方程的阶数： (1)一阶 (2)二阶 (3)三阶 (4)一阶 2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解： 2(1)2,5xy y y x '==; 解：由2 5y x =得10y x '=代入方程得 22102510x x x x ?=?= 故是方程的解. (2)0,3sin 4cos y y y x x ''+==-; 解：3cos 4sin ;3sin 4cos y x x y x x '''=+=-+ 代入方程得 3sin 4cos 3sin 4cos 0x x x x -++-=. 故是方程的解. 2(3)20,e x y y y y x '''-+== ; 解：2222e e (2)e ,(24)e x x x x y x x x x y x x '''=+=+=++ 代入方程得 2e 0x ≠. 故不是方程的解. 12121212(4)()0,e e .x x y y y y C C λλλλλλ'''-++==+ 解：12122211221122e e ,e e x x x x y C C y C C λλλλλλλλ'''=+=+ 代入方程得 1212122211221211221212e e ()(e e )(e e )0.x x x x x x C C C C C C λλλλλλλλλλλλλλ+-++++= 故是方程的解. 3. 在下列各题中，验证所给二元方程为所给微分方程的解： 22(1)(2)2,;x y y x y x xy y C '-=--+= 证：方程 22x xy y C -+=两端对x 求导： 220x y xy yy ''--+= 得 22x y y x y -'= - 代入微分方程，等式恒成立.故是微分方程的解. 2(2)()20,ln().xy x y xy yy y y xy '''''-++-== 证：方程ln()y xy =两端对x 求导： 11y y x y '' = + (*) 得 (1)y y x y '= -. (*)式两端对x 再求导得

中国人民大学出版社第四版高等数学一第6章课后习题详解

高等数学一第6章课后习题详解 课后习题全解 习题6-2 ★ 1．求由曲线 x y =与直线 x y =所围图形的面积。 知识点：平面图形的面积 思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解： 见图6-2-1 ∵所围区域D 表达为X-型：?? ?<<<

∵所围区域D 表达为X-型：?????<<< <1 sin 2 0y x x π， （或D 表达为Y-型：???<<<

∴所围区域D 表达为Y-型：?? ?-<<<<-2 2 422y x y y ， ∴23 16 )32 4()4(2 2 32 222= -=--=- - ? y y dy y y S D （由于图形关于X 轴对称，所以也可以解为： 2316 )324(2)4(22 32 22=-=--=? y y dy y y S D ） ★★4．求由曲线 2x y =、24x y =、及直线1=y 所围图形的面积 知识点：平面图形面积 思路：所围图形关于Y 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单 解：见图6-2-4 ∵第一象限所围区域1D 表达为Y-型：? ??<<<

华东理工大学高等数学(下册)第9章作业答案

第9章（之1） （总第44次） 教学内容:§微分方程基本概念 *1． 微分方程7 359)(2xy y y y =''''-''的阶数是 （ ） （A ）3； （B ）4； （C ）6； （D ）7． 答案（A ） 解 微分方程的阶数是未知函数导数的最高阶的阶数． *2． 下列函数中的C 、α、λ及k 都是任意常数，这些函数中是微分方程04=+''y y 的通解的函数是 （ ） （ （A ）x C x C y 2sin )2912(2cos 3-+=； （B ）)2sin 1(2cos x x C y λ+=； （C ）x C k x kC y 2sin 12cos 22++=； （D ）)2cos(α+=x C y ． 答案 （D ） 解 二阶微分方程的通解中应该有两个独立的任意常数． （A ）中的函数只有一个任意常数C ； （B ）中的函数虽然有两个独立的任意常数，但经验算它不是方程的解； （C ）中的函数从表面上看来也有两个任意常数C 及k ，但当令kC C =时，函数就变成了 x C x C y 2sin 12cos 2 ++=，实质上只有一个任意常数； （D ）中的函数确实有两个独立的任意常数，而且经验算它也确实是方程的解． *3．在曲线族 x x e c e c y -+=21中，求出与直线x y =相切于坐标原点的曲线． : 解 根据题意条件可归结出条件1)0(,0)0(='=y y ， 由x x e c e c y -+=21， x x e c e c y --='21，可得1,02121=-=+c c c c ， 故21,2121-==c c ，这样就得到所求曲线为)(2 1 x x e e y --=，即x y sinh =． *4．证明：函数y e x x =-233321 2 sin 是初值问题??? ????===++==1d d ,00d d d d 0022x x x y y y x y x y 的解．

高等数学第六版课后全部答案

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f ( x, y)ds + ∫ f ( x, y)ds . L2 证明划分L, 使得L1和L2的连接点永远作为一个分点, 则 ∑ f (ξi,ηi )Δsi = ∑ f (ξi,ηi )Δsi + i =1 i =1 n n1 n1 答 dMx=yμ(x, y)ds, dMy=xμ(x, y)ds . 令λ=max{Δsi}→0, 上式两边同时取极限 λ→0 λ→0 lim ∑ f (ξi ,ηi )Δsi = lim ∑ f (ξi ,ηi )Δsi + lim i =1 i =1 即得 ∫L f (x, y)ds =∫L 1 f ( x, y)ds + ∫ f ( x, y)ds . L2 3. 计算下列对弧长的曲线积分: aw i = n1 +1 曲线 L 对于 x 轴和 y 轴的静矩元素分别为 案 ∑ f (ξi,ηi )Δsi . ∑ f (ξi,ηi )Δsi , n

高等数学上复旦第三版 课后习题答案

283 高等数学上（修订版）（复旦出版社） 习题六 无穷数级 答案详解 1．写出下列级数的一般项： (1)111135 7 ++++ ； (2)2 2242462468x x x x x ++++?????? ； (3)3579 3579 a a a a -+-+ ； 解：(1)1 21 n U n =-； (2)()2 !! 2n n x U n = ； (3)() 21 1 121 n n n a U n ++=-+； 2．求下列级数的和： (1)()()() 11 11n x n x n x n ∞ =+-+++∑ ； (2) ( )1 221n n n n ∞ =+-++∑； (3)23 111 5 55+ ++ ； 解：(1)()()() ()()()()1 11111211n u x n x n x n x n x n x n x n = +-+++?? -= ?+-++++??

284 从而()()()()()()() ()()()()()()()1111 1211212231111111211n S x x x x x x x x x n x n x n x n x x x n x n ?-+-= +++++++?? ++ - ?+-++++? ?? -= ?++++?? 因此() 1lim 21n n S x x →∞ =+，故级数的和为 () 121x x + (2)因为()()211n U n n n n =-+-++- 从而()()()() ()()()()3243322154432112112 1 12 21 n S n n n n n n n n =-+-----+-++---+-++-=+-++-=+-+++ 所以lim 12n n S →∞ =-，即级数的和为12-． (3)因为2111 5551115511511145n n n n S =+ ++????-?? ???? ?=-????=-?? ????? 从而1lim 4 n n S →∞ =，即级数的和为14 ． 3．判定下列级数的敛散性： (1) ( )1 1n n n ∞ =+-∑； (2) ()() 11111661111165451n n +++++???-+ ； (3) ()23133222213333 n n n --+-++- ；

《高等数学基础》作业

高等数学基础 形成性考核册 专业：建筑 学号： 姓名：牛萌 河北广播电视大学开放教育学院 （请按照顺序打印，并左侧装订）

高等数学基础形考作业1： 第1章 函数 第2章 极限与连续 （一）单项选择题 ⒈下列各函数对中，（ C ）中的两个函数相等． A. 2 )()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f = ，x x g =)( C. 3 ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，1 1 )(2--=x x x g ⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（ C ）对称． A. 坐标原点 B. x 轴 C. y 轴 D. x y = ⒊下列函数中为奇函数是（ B ）． A. )1ln(2 x y += B. x x y cos = C. 2 x x a a y -+= D. )1ln(x y += ⒋下列函数中为基本初等函数是（ C ）． A. 1+=x y B. x y -= C. 2 x y = D. ?? ?≥<-=0, 10 ,1x x y ⒌下列极限存计算不正确的是（ D ）． A. 12lim 2 2 =+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0 =+→x x C. 0sin lim =∞→x x x D. 01 sin lim =∞→x x x ⒍当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量． A. x x sin B. x 1 C. x x 1 sin D. 2)ln(+x ⒎若函数)(x f 在点0x 满足（ A ），则)(x f 在点0x 连续。 A. )()(lim 00 x f x f x x =→ B. )(x f 在点0x 的某个邻域内有定义 C. )()(lim 00 x f x f x x =+→ D. )(lim )(lim 0 x f x f x x x x -+→→=

高等数学(下)课后习题答案

高等数学（下） 习题七 1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置： A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4); D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0). 解：点A在第Ⅰ卦限；点B在第Ⅱ卦限；点C在第Ⅷ卦限； 点D在xOy面上；点E在yOz面上；点F在x轴上. 2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？zOx面上的呢？ 答: 在xOy面上的点，z=0; 在yOz面上的点，x=0; 在zOx面上的点，y=0. 3. x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？ 答：x轴上的点，y=z=0; y轴上的点，x=z=0; z轴上的点，x=y=0. 4. 求下列各对点之间的距离： （1）（0，0，0），（2，3，4）；（2）（0，0，0），（2，-3，-4）； （3）（-2，3，-4），（1，0，3）；（4）（4，-2，3），（-2，1，3）. 解：（1）s= (2) s== (3) s== (4) s== 5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离. 解：点(4，-3，5)到x轴，y轴，z轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）. 故 s== s== x s== y s==. 5 z 6. 在z轴上，求与两点A（-4，1，7）和B（3，5，-2）等距离的点. 解：设此点为M（0，0，z），则

222222 (4)1(7)35(2) z z -++-=++-- 解得14 9 z= 即所求点为M（0，0， 14 9 ）. 7. 试证：以三点A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形. 证明：因为|AB|=|AC|=7.且有 |AC|2+|AB|2=49+49=98=|BC|2. 故△ABC为等腰直角三角形. 8. 验证：()() ++=++ a b c a b c. 证明：利用三角形法则得证.见图7-1 图7-1 9. 设2,3. u v =-+=-+- a b c a b c试用a , b, c表示23. u v - 解： 232(2)3(3) 224393 5117 u v -=-+--+- =-++-+ =-+ a b c a b c a b c a b c a b c 10. 把△ABC的BC边分成五等份，设分点依次为D 1，D2，D3，D4，再把各分点与A连接， 试以AB=c，BC=a表示向量 1 D A, 2 D A, 3 D A和 4 D A. 解： 11 1 5 D A BA BD =-=-- c a 22 2 5 D A BA BD =-=-- c a 33 3 5 D A BA BD =-=-- c a 44 4 . 5 D A BA BD =-=-- c a 11. 设向量OM的模是4，它与投影轴的夹角是60°，求这向量在该轴上的投影. 解：设M的投影为M'，则 1 Pr j cos604 2. 2 u OM OM =?=?= 12. 一向量的终点为点B（2，-1，7），它在三坐标轴上的投影依次是4，-4和7，求这向量

关于高等数学课后习题答案

习题6?2 1? 求图6?21 中各画斜线部分的面积? (1) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 6 1]2132[)(10 22310=-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 1|)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A ? 解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1? e ]? 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e ?

(3) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?3? 1]? 所求的面积为 3 32]2)3[(1 32=--=?-dx x x A ? (4) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?1? 3]? 所求的面积为 3 32 |)313()32(31323 12= -+=-+=--?x x x dx x x A ?

2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积? (1) 22 1x y =与x 2?y 2?8(两部分都要计算)? 解? 3 423 8cos 16402+=-=?ππ tdt ? 3 46)22(122-=-=ππS A ? (2)x y 1=与直线y ?x 及x ?2? 解? 所求的面积为 ?-=-= 2 12ln 2 3)1(dx x x A ?

(3) y ?e x ? y ?e ?x 与直线x ?1? 解? 所求的面积为 ?-+=-=-1 021)(e e dx e e A x x ? (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解 所求的面积为 3? 求抛物线y ??x 2?4x ?3及其在点(0? ?3)和(3? 0)处的切线所围成的图形的面积? 解? y ???2 x ?4?

华东理工大学高等数学(下册)第11章作业答案

第 11 章（之1）（总第59次） 教材内容：§11.1多元函数 1．解下列各题： **（1）. 函数连续区域是 ??????? ． 答： **（2）. 函数 ， 则（ ） (A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续 答：（A ） **2. 画出下列二元函数的定义域： （1）= u y x -； 解：定义域为：{ } x y y x ≤) ,(，见图示阴影部分： （2）)1ln(),(xy y x f +=； 解：{} 1),(->xy y x ，第二象限双曲线1-=xy 的上方，第四象限双曲线1-=xy 的下方（不包括边界，双曲线1-=xy 用虚线表示）． （3）y x y x z +-= ． 解：()()? ? ?-≠≥????≠+≥+-?≥+-y x y x y x y x y x y x y x 000．

***3. 求出满足2 2, y x x y y x f -=?? ? ??+的函数()y x f ,. 解：令?? ? ??=+=x y t y x s ， ∴?? ???+=+=t st y t s x 11 ∴()() ()t t s t t s s t s f +-=+-=111,22 222， 即 ()()y y x y x f +-=11,2． ***4. 求极限： ()() 2 2 0,0,11lim y x xy y x +-+→． 解：()( )( ) ( )( ) 2 222 2 22 2 112111110y x xy y x y x xy xy y x xy ++++≤ +++= +-+≤ () 01 122 2→+++= xy y x （()()0,0,→y x ） ∴ ()() 011lim 2 2 0,0,=+-+→y x xy y x ． **5. 说明极限()()2 22 20,0, lim y x y x y x +-→不存在． 解：我们证明()y x ,沿不同的路径趋于()0,0时，极限不同． 首先，0=x 时，极限为()()1lim 22 22220,0,0-=-=+-→=y y y x y x y x x ， 其次，0=y 时，极限为()()1lim 22 22220,0,0==+-→=x x y x y x y x y ， 故极限()()2 22 20,0,y y lim +-→x x y x 不存在． **6. 设1 12sin ),(-+= xy x y y x f ，试问极限 ),(lim ) 0,0(),(y x f y x →是否存在？为什么？ 解：不存在，因为不符合极限存在的前提，在)0,0(点的任一去心邻域内函数 1 12sin ),(-+= xy x y y x f 并不总有定义的，x 轴与y 轴上的点处函数),(y x f 就没有定义．

兰大网络教育高等数学课程作业及答案

高等数学(2)课程作业_A 一、单选题 1.(4分)图2 ? A.A ? B.B ? C.C ? D.D 知识点：高等数学／基础知识/微积分 收起解析 答案D 2.(4分)图19-13 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C) ? D.(D) 知识点：多元函数微分 收起解析

答案B 3.(4分)图14-27 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C) ? D.(D) 知识点：曲线积分及其应用收起解析 答案C 4.(4分)图14-24 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C) ? D.(D) 知识点：曲线积分及其应用收起解析 答案C

5. (4分)图20-43 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C) ? D.(D) 知识点：空间解析几何与向量代数收起解析 答案D 6.(4分)图19-15 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C)

知识点：多元函数微分收起解析 答案A 7.(4分)图23-18 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C) ? D.(D)知识点：重积分 收起解析 答案D 8.(4分)图17-104 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C)

知识点：无穷级数 收起解析 答案B 9.(4分)图20-83 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C) ? D.(D) 知识点：空间解析几何与向量代数收起解析 答案A 10.(4分)图14-26 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C) ? D.(D) 知识点：曲线积分及其应用

答案C 11.(4分)图12 ? A.A ? B.B ? C.C ? D.D 知识点：高等数学／基础知识/微积分收起解析 答案D 12. (4分)图18-44 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C) ? D.(D) 知识点：常微分方程