人教版初中数学二次函数难题汇编含答案

人教版初中数学二次函数难题汇编含答案

一、选择题

1．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，有下面四个结论：0abc >①；

0a b c ②-+>； 230a b +>③；40c b ->④，其中正确的结论是( )

A ．①②

B ．①②③

C ． ①③④

D ． ①②④

【答案】D 【解析】 【分析】

根据抛物线开口方向得到a 0>，根据对称轴02b

x a

=-

>得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >；1x =-时，由图像可知此时0y >，所以

0a b c -+>；由对称轴1

23

b x a =-

=，可得230a b +=；当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a b c ++>，将23a b =-代入可得40c b ->.

【详解】

①根据抛物线开口方向得到0a >，根据对称轴02b

x a

=-

>得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >，故①正确. ②1x =-时，由图像可知此时0y >，即0a b c -+>，故②正确.

③由对称轴1

23

b x a =-

=，可得230a b +=，所以230a b +>错误，故③错误； ④当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a b c ++>，将③中230a b +=变形为

23a b =-，代入可得40c b ->，故④正确. 故答案选D. 【点睛】

本题考查了二次函数的图像与系数的关系，注意用数形结合的思想解决问题。

2．如图是函数223(04)y x x x =--≤≤的图象，直线//l x 轴且过点(0,)m ，将该函数在直线l 上方的图象沿直线l 向下翻折，在直线1下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m 的取值范围是（ ）

A ．m 1≥

B ．0m ≤

C ．01m ≤≤

D ．m 1≥或0m ≤

【答案】C 【解析】 【分析】

找到最大值和最小值差刚好等于5的时刻，则M 的范围可知. 【详解】

解：如图1所示，当t 等于0时， ∵2

(1)4y x =--， ∴顶点坐标为(1,4)-， 当0x =时，3y =-， ∴(0,3)A -， 当4x =时，5y =， ∴(4,5)C ， ∴当0m =时，

(4,5)D -，

∴此时最大值为0，最小值为5-； 如图2所示，当1m =时， 此时最小值为4-，最大值为1． 综上所述：01m ≤≤， 故选：C ．

【点睛】

此题考查了二次函数与几何图形结合的问题，找到最大值和最小值的差刚好为5的m 的值为解题关键．

3．如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）过点（1，0）和点（0，﹣2），且顶点在第三象限，设P=a ﹣b+c ，则P 的取值范围是( )

A ．﹣4＜P ＜0

B ．﹣4＜P ＜﹣2

C ．﹣2＜P ＜0

D ．﹣1＜P ＜0

【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】

解:∵二次函数的图象开口向上，∴a ＞0． ∵对称轴在y 轴的左边，∴b

2a

-

＜0．∴b ＞0． ∵图象与y 轴的交点坐标是（0，﹣2），过（1，0）点，代入得：a+b ﹣2=0． ∴a=2﹣b ，b=2﹣a ．∴y=ax 2+（2﹣a ）x ﹣2． 把x=﹣1代入得：y=a ﹣（2﹣a ）﹣2=2a ﹣4， ∵b ＞0，∴b=2﹣a ＞0．∴a ＜2．

∵a ＞0，∴0＜a ＜2．∴0＜2a ＜4．∴﹣4＜2a ﹣4＜0，即﹣4＜P ＜0． 故选A ． 【点睛】

本题考查二次函数图象与系数的关系，利用数形结合思想解题是本题的解题关键．

4．二次函数y ＝2ax bx c ++（a ≠0）图象如图所示，下列结论：①abc ＞0；②2a b

+＝0；③当m ≠1时，+a b ＞2am bm +；④a b c -+＞0；⑤若211ax bx +＝2

22ax bx +，

且1x ≠2x ，则12x x +＝2．其中正确的有（ ）

A ．①②③

B ．②④

C ．②⑤

D ．②③⑤

【答案】D 【解析】 【分析】

由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后

根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断 【详解】

解：抛物线的开口向下，则a ＜0； 抛物线的对称轴为x=1，则-

2b

a

=1，b=-2a ∴b>0，2a+b=0 ② 抛物线交y 轴于正半轴，则c ＞0；

由图像知x=1时 y=a+b+c 是抛物线顶点的纵坐标，是最大值，当m≠1 y=2am bm ++c 不是顶点纵坐标，不是最大值 ∴+a b ＞2am bm +（故③正确）

：b ＞0，b+2a=0；（故②正确） 又由①②③得：abc ＜0 （故①错误） 由图知：当x=-1时，y ＜0；即a-b+c ＜0，b ＞a+c ；（故④错误）

⑤若211ax bx +＝222ax bx +得211ax bx +-(222ax bx +)=2

11ax bx +-ax 22-bx 2=a(x 12-x 22)+b(x 1-

x 2)=a(x 1+x 2)（x 1-x 2）+b(x 1-x 2)= （x 1-x 2）[a(x 1+x 2)+b]= 0 ∵1x ≠2x ∴a(x 1+x 2)+b=0 ∴x 1+x 2=2b a

a a

-=-=2 （故⑤正确） 故选D ．

考点：二次函数图像与系数的关系.

5．如图，二次函数()2

00y ax bx c a =++=≠的图象与x 轴正半轴相交于A 、B 两点，

与y 轴相交于点C ，对称轴为直线2x =，且OA OC =，则下列结论：

①0abc >；②930a b c ++<；③1c >-；④关于x 的方程()2

00ax bx c a ++=≠有

一个根为1

a

-

，其中正确的结论个数有（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

【答案】C 【解析】 【分析】

由二次图像开口方向、对称轴与y 轴的交点可判断出a 、b 、c 的符号，从而可判断①；由图像可知当x ＝3时，y ＜0，可判断②；由OA ＝OC ，且OA ＜1，可判断③；把﹣

1

a

代入

方程整理得ac 2－bc ＋c ＝0，结合③可判断④；从而得出答案. 【详解】

由图像开口向下，可知a ＜0，与y 轴的交点在x 轴的下方，可知c ＜0，又对称轴方程为x ＝2，∴﹣

2b

a

＞0，∴b ＞0，∴abc ＞0，故①正确；由图像可知当x ＝3时，y ＞0，∴9a ＋3b ＋c ＞0，故②错误；由图像可知OA ＜1，∵OA ＝OC ，∴OC ＜1，即﹣c ＜1，故③正确；假设方程的一个根为x ＝﹣

1a ，把﹣1

a

代入方程，整理得ac 2－bc ＋c ＝0， 即方程有一个根为x ＝﹣c ，由②知﹣c ＝OA ，而当x ＝OA 是方程的根，∴x ＝﹣c 是方程的根，即假设成立，故④正确.故选C. 【点睛】

本题主要考查二次函数的图像与性质以及二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握二次函数的相关知识是解答此题的关键.

6．如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，DC BC ⊥，4cm DC =，6cm BC =，

3cm AD = ，动点P ，Q 同时从点B 出发，点P 以2cm /s 的速度沿折线BA AD DC

--运动到点C ，点Q 以1cm/s 的速度沿BC 运动到点C ，设P ，Q 同时出发s t 时，BPQ ?的面积为2

cm y ，则y 与t 的函数图象大致是( )

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】B 【解析】 【分析】

分三种情况求出y 与t 的函数关系式. 当0≤t≤2.5时：P 点由B 到A ；当2.5≤t≤4时，即P 点在AD 上时；当4≤t≤6时，即P 点从D 到C 时.即可得出正确选项． 【详解】

解：作AE ⊥BC 于E ，根据已知可得，

AB 2=42+（6-3）2， 解得，AB=5cm ． 下面分三种情况讨论:

当0≤t≤2.5时：P 点由B 到A ，2

1442255

y t t t ==g

g g ,y 是t 的二次函数.最大面积= 5 cm 2; 当2.5≤t≤4时，即P 点在AD 上时，1

422

y t t =?=, y 是t 的一次函数且最大值=

21

448cm 2

??=; 当4≤t≤6时，即P 点从D 到C 时，()21

1226,2

y t t t t =?-=-+y 是t 的二次函数 故符合y 与t 的函数图象是B ． 故选：B ． 【点睛】

此题考查了函数在几何图形中的运用.解答本题的关键在于分类讨论求出函数解析式，然后进行判断.

7．已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，有以下结论：

①a +b +c ＜0；②a ﹣b +c ＞1；③abc ＞0；④9a ﹣3b +c ＜0；⑤c ﹣a ＞1．其中所有正确结论的序号是( )

A ．①②

B ．①③④

C ．①②③④

D ．①②③④⑤

【答案】D 【解析】 【分析】

根据抛物线的开口方向可得出a 的符号，再由抛物线与y 轴的交点可得出c 的值，然后进一步根据对称轴以及抛物线得出当x 1=、 x 1=-、x 3=-时的情况进一步综合判断即

可．

【详解】

由图象可知，a＜0，c=1，

对称轴：x=

b

1 2a

-=-，

∴b=2a，

①由图可知：当x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，正确；

②由图可知：当x=?1时，y＞1，∴a?b+c＞1，正确；

③abc=2a2＞0，正确；

④由图可知：当x=?3时，y＜0，∴9a?3b+c＜0，正确；

⑤c?a=1?a＞1，正确；

∴①②③④⑤正确．

故选：D．

【点睛】

本题主要考查了抛物线的函数图像性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键．

8．将抛物线y＝x2﹣4x+1向左平移至顶点落在y轴上，如图所示，则两条抛物线.直线y＝﹣3和x轴围成的图形的面积S（图中阴影部分）是（）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】B

【解析】

【分析】

B，C分别是顶点，A是抛物线与x轴的一个交点，连接OC，AB，阴影部分的面积就是平行四边形ABCO的面积.

【详解】

抛物线y＝x2﹣4x+1=(x-2)2-3的顶点坐标C(2.-3), 向左平移至顶点落在y轴上,此时顶点B(0,-3)，点A是抛物线与x轴的一个交点，连接OC，AB，

如图，阴影部分的面积就是ABCO的面积，S=2×3=6；

故选：B．

【点睛】

本题考查二次函数图象的性质，阴影部分的面积；能够将面积进行转化是解题的关键．

9．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线. 不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h （单位：m ）与足球被踢出后经过的时间t （单位：s ）之间的关系如下表：

下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m ；②足球飞行路线的对称轴是直线92

t =

；③足球被踢出9s 时落地；④足球被踢出1.5s 时，距离地面的高度是11m. 其中正确结论的个数是（ ） A ．1 B ．2

C ．3

D ．4

【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】

解：由题意，抛物线的解析式为y =ax （x ﹣9），把（1，8）代入可得a =﹣1， ∴y =﹣t 2+9t =﹣（t ﹣4.5）2+20.25，

∴足球距离地面的最大高度为20.25m ，故①错误， ∴抛物线的对称轴t =4.5，故②正确，

∵t =9时，y =0，∴足球被踢出9s 时落地，故③正确， ∵t =1.5时，y =11.25，故④错误，∴正确的有②③， 故选B ．

10．如图，抛物线2y ax bx c =++ 与x 轴交于点A （﹣1，0），顶点坐标（1，n ），与y 轴的交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点），则下列结论：①abc ＞0；②3a +b ＜

0；③﹣

4

3

≤a ≤﹣1；④a +b ≥am 2+bm （m 为任意实数）；⑤一元二次方程2ax bx c n ++= 有两个不相等的实数根，其中正确的有（ ）

A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．5个

【答案】B 【解析】

解：∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵顶点坐标（1，n ），∴对称轴为直线x =1，∴2b a

-

=1，∴b =﹣2a ＞0，∵与y 轴的交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点），∴3≤c ≤4，∴abc ＜0，故①错误；

3a +b =3a +（﹣2a ）=a ＜0，故②正确；

∵与x 轴交于点A （﹣1，0），∴a ﹣b +c =0，∴a ﹣（﹣2a ）+c =0，∴c =﹣3a ，∴3≤﹣3a ≤4，∴﹣

4

3

≤a ≤﹣1，故③正确； ∵顶点坐标为（1，n ），∴当x =1时，函数有最大值n ，∴a +b +c ≥am 2+bm +c ，∴a +b ≥am 2+bm ，故④正确；

一元二次方程2ax bx c n ++=有两个相等的实数根x 1=x 2=1，故⑤错误． 综上所述，结论正确的是②③④共3个．故选B ．

点睛：本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，主要利用了二次函数的开口方向，对称轴，最值问题，以及二次函数图象上点的坐标特征，关键在于根据顶点横坐标表示出a 、b 的关系．

11．已知抛物线y ＝x 2+2x ﹣m ﹣1与x 轴没有交点，则函数y ＝的大致图象是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】B 【解析】

【分析】

由题意可求m＜﹣2，即可求解．

【详解】

∵抛物线y＝x2+2x﹣m﹣1与x轴没有交点，

∴△＝4﹣4（﹣m﹣1）＜0

∴m＜﹣2

∴函数y＝的图象在第二、第四象限，

故选B．

【点睛】

本题考查了反比例函数的图象，二次函数性质，求m的取值范围是本题的关键．

12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过原点O，与x轴另一交点为A，顶点为B，若△AOB为等边三角形，则b的值为（）

A3B．﹣3C．﹣3D．﹣3

【答案】B

【解析】

【分析】

根据已知求出B（﹣

2

,

24

b b

a a

-

），由△AOB为等边三角形，得到

2

b

4a

＝tan60°×（﹣

2

b

a

），

即可求解；

【详解】

解：抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过原点O，∴c＝0，

B（﹣

2

,

24

b b

a a

-

），

∵△AOB为等边三角形，

∴

2

b

4a

＝tan60°×（﹣

2

b

a

），

∴b＝﹣3故选B．【点睛】

本题考查二次函数图象及性质，等边三角形性质；能够将抛物线上点的关系转化为等边三角形的边关系是解题的关键．

13．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结

论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③1

3

＜a＜

2

3

；④b＞c．其中含所有正确结论的选项是

（）

A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④

【答案】B

【解析】

【分析】

根据对称轴为直线x=1及图象开口向下可判断出a、b、c的符号，从而判断①；根据对称性得到函数图象经过（3，0），则得②的判断；根据图象经过（-1，0）可得到a、b、c 之间的关系，从而对④作判断；从图象与y轴的交点B在（0，-2）和（0，-1）之间可以判断c的大小得出③的正误．

【详解】

①∵函数开口方向向上，

∴a＞0；

∵对称轴在y轴右侧

∴ab异号，

∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，

∴c＜0，

∴abc＞0，

故①正确；

②∵图象与x轴交于点A（-1，0），对称轴为直线x=1，

∴图象与x轴的另一个交点为（3，0），

∴当x=2时，y＜0，

∴4a+2b+c＜0，

故②错误；

③∵图象与y轴的交点B在（0，-2）和（0，-1）之间，

∴-2＜c＜-1

∵-12b

a ， ∴b=-2a ，

∵函数图象经过（-1，0）， ∴a-b+c=0， ∴c=-3a ， ∴-2＜-3a ＜-1， ∴

13＜a ＜2

3

；故③正确 ④∵函数图象经过（-1，0）， ∴a-b+c=0， ∴b-c=a ， ∵a ＞0，

∴b-c ＞0，即b ＞c ； 故④正确； 故选B ． 【点睛】

主要考查图象与二次函数系数之间的关系．解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．

14．在同一平面直角坐标系中，函数y=ax 2+bx 与y=bx+a 的图象可能是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】C 【解析】

试题解析：A 、对于直线y=bx+a 来说，由图象可以判断，a ＞0，b ＞0；而对于抛物线y=ax 2+bx 来说，对称轴x=﹣

2b

a

＜0，应在y 轴的左侧，故不合题意，图形错误． B 、对于直线y=bx+a 来说，由图象可以判断，a ＜0，b ＜0；而对于抛物线y=ax 2+bx 来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误．

C 、对于直线y=bx+a 来说，由图象可以判断，a ＜0，b ＞0；而对于抛物线y=ax 2+bx 来说，

图象开口向下，对称轴x=﹣

2b

a

位于y 轴的右侧，故符合题意， D 、对于直线y=bx+a 来说，由图象可以判断，a ＞0，b ＞0；而对于抛物线y=ax 2+bx 来说，图象开口向下，a ＜0，故不合题意，图形错误． 故选C ．

考点：二次函数的图象；一次函数的图象．

15．抛物线2y ax bx c =++（,,a b c 是常数），0a >，顶点坐标为1(,)2

m .给出下列结论：①若点1(,)n y 与点23(2)2n y -，在该抛物线上，当1

2

n <

时，则12y y <；②关于x 的一元二次方程210ax bx c m -+-+=无实数解，那么（ ）

A ．①正确，②正确

B ．①正确，②错误

C ．①错误，②正确

D ．①错误，②错误 【答案】A 【解析】 【分析】

①根据二次函数的增减性进行判断便可；

②先把顶点坐标代入抛物线的解析式，求得m ，再把m 代入一元二次方程ax 2-bx+c-m+1=0的根的判别式中计算，判断其正负便可判断正误． 【详解】

解：①∵顶点坐标为1,2m ??

???

,12n <

∴点（n ，y 1）关于抛物线的对称轴x=1

2

的对称点为（1-n ，y 1）， ∴点（1-n ，y 1）与2322n y ??

-

???

，在该抛物线的对称轴的右侧图像上, 31(1)2022n n n ??

---=-< ???

Q

3

122

n n ∴-<

- ∵a ＞0，

∴当x ＞1

2

时，y 随x 的增大而增大， ∴y 1＜y 2，故此小题结论正确；

②把1,2m ??

???

代入y=ax 2+bx+c 中，得1142m a b c =++,

∴一元二次方程ax 2-bx+c-m+1=0中，

△=b 2-4ac+4am-4a 2

211444()4042b ac a a b c a a b a ??

=-+++-=+-<

???

∴一元二次方程ax 2-bx+c-m+1=0无实数解，故此小题正确； 故选A ． 【点睛】

本题主要考查了二次函数图象与二次函数的系数的关系，第①小题，关键是通过抛物线的对称性把两点坐标变换到对称轴的一边来，再通过二次函数的增减性进行比较，第②小题关键是判断一元二次方程根的判别式的正负．

16．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图所示，则下列结论正确的个数有（ ） ①c ＞0；②b 2－4ac ＜0；③ a －b ＋c ＞0；④当x ＞－1时，y 随x 的增大而减小．

A ．4个

B ．3个

C ．2个

D ．1个

【答案】C 【解析】 【分析】

由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据抛物线与x 轴交点及x=-1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】

解：由图象可知，a ＜0，c ＞0，故①正确；抛物线与x 轴有两个交点，则b2-4ac>0,故②错误;∵当x=-1时，y>0,即a-b+c>0， 故③正确;

由图象可知，图象开口向下，对称轴x ＞-1，在对称轴右侧， y 随x 的增大而减小，而在对称轴左侧和-1之间，是y 随x 的增大而减小，故④错误． 故选：C ． 【点睛】

本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时，对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时，对称轴在y 轴右．常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）．抛物线与x 轴交点个数由判别式确定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．

17．若二次函数y ＝x 2﹣2x+2在自变量x 满足m≤x≤m+1时的最小值为6，则m 的值为（ ）

A ．5,5,15,12-+-

B ．5,51-+

C ．1

D ．5,15--

【答案】B 【解析】 【分析】

由抛物线解析式确定出其对称轴为x=1，分m ＞1或m+1＜1两种情况，分别确定出其最小值，由最小值为6，则可得到关于m 的方程，可求得m 的值． 【详解】

∵y ＝x 2﹣2x+2＝（x ﹣1）2+1， ∴抛物线开口向上，对称轴为x ＝1，

当m ＞1时，可知当自变量x 满足m≤x≤m+1时，y 随x 的增大而增大， ∴当x ＝m 时，y 有最小值，

∴m 2﹣2m+2＝6，解得m ＝1+5或m ＝1﹣5（舍去），

当m+1＜1时，可知当自变量x 满足m≤x≤m+1时，y 随x 的增大而减小， ∴当x ＝m+1时，y 有最小值，

∴（m+1）2﹣2（m+1）+2＝6，解得m ＝5（舍去）或m ＝﹣5， 综上可知m 的值为1+5或﹣5． 故选B ． 【点睛】

本题主要考查二次函数的性质，用m 表示出其最小值是解题的关键．

18．已知抛物线y=x 2+2x 上三点A （﹣5，y 1），B （2.5，y 2），C （12，y 3），则y 1，y 2，y 3满足的关系式为（ ）

A ．y 1＜y 2＜y 3

B ．y 3＜y 2＜y 1

C ．y 2＜y 1＜y 3

D ．y 3＜y 1＜y 2 【答案】C 【解析】 【分析】

首先求出抛物线y=x 2+2x 的对称轴，对称轴为直线x=-1；然后根据A 、B 、C 的横坐标与对称轴的位置，接着利用抛物线的增减性质即可求解；由B 离对称轴最近，A 次之，C 最远，则对应y 的值大小可确定. 【详解】 ∵抛物线y=x 2+2x ， ∴x=-1，

而A （-5，y 1），B （2.5，y 2），C （12，y 3）， ∴B 离对称轴最近，A 次之，C 最远， ∴y 2＜y 1＜y 3．

故选:C ． 【点睛】

本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．

19．已知二次函数2()y x h =-- (h 为常数),当自变量x 的值满足25x ≤≤时,与其对应的函数值y 的最大值为-1,则h 的值为( ) A ．3或6 B ．1或6

C ．1或3

D ．4或6

【答案】B 【解析】

分析：分h ＜2、2≤h≤5和h ＞5三种情况考虑：当h ＜2时，根据二次函数的性质可得出关于h 的一元二次方程，解之即可得出结论；当2≤h≤5时，由此时函数的最大值为0与题意不符，可得出该情况不存在；当h ＞5时，根据二次函数的性质可得出关于h 的一元二次方程，解之即可得出结论．综上即可得出结论． 详解：如图，

当h ＜2时，有-（2-h ）2=-1， 解得：h 1=1，h 2=3（舍去）；

当2≤h≤5时，y=-（x-h ）2的最大值为0，不符合题意； 当h ＞5时，有-（5-h ）2=-1， 解得：h 3=4（舍去），h 4=6． 综上所述：h 的值为1或6． 故选B ．

点睛：本题考查了二次函数的最值以及二次函数的性质，分h ＜2、2≤h≤5和h ＞5三种情况求出h 值是解题的关键．

20．如图1，在△ABC 中，∠B ＝90°，∠C ＝30°，动点P 从点B 开始沿边BA 、AC 向点C 以恒定的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以恒定的速度移动，两点同时到达点C ，设△BPQ 的面积为y （cm 2）．运动时间为x （s ），y 与x 之间关系如图2所示，当点P 恰好为AC 的中点时，PQ 的长为（ ）

A．2 B．4 C．23D．43

【答案】C

【解析】

【分析】

点P、Q的速度比为3：3，根据x＝2，y＝63，确定P、Q运动的速度，即可求解．【详解】

解：设AB＝a，∠C＝30°，则AC＝2a，BC＝3a，

设P、Q同时到达的时间为T，

则点P的速度为3a

T

，点Q的速度为

3a

T

，故点P、Q的速度比为3：3，

故设点P、Q的速度分别为：3v、3v，

由图2知，当x＝2时，y＝63，此时点P到达点A的位置，即AB＝2×3v＝6v，BQ＝2×3v＝23v，

y＝1

2

?AB×BQ＝

1

2

?6v×23v＝63，解得：v＝1，

故点P、Q的速度分别为：3，3，AB＝6v＝6＝a，

则AC＝12，BC＝63，

如图当点P在AC的中点时，PC＝6，

此时点P运动的距离为AB+AP＝12，需要的时间为12÷3＝4，则BQ＝3x＝43，CQ＝BC﹣BQ＝63﹣43＝23，过点P作PH⊥BC于点H，

PC＝6，则PH＝PC sin C＝6×1

2

＝3，同理CH＝3，则HQ＝CH﹣CQ＝33

3，

PQ22

PH HQ

+39

+3，

故选：C．

【点睛】

本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．