2016届高三数学复习 第四章 第三节 y=Asin(ωx+φ)的图象和性质及其综合应用
第三节 y ＝Asin （ωx ＋φ）的图象和性质及其综合应用
A 组 专项基础测试 三年模拟精选
一、选择题
1．(2015·广东汕头模拟)函数y ＝cos ? ????4x ＋π3图象的两条相邻对称轴间的距离为( ) A.π
8
B.π4
C.π2
D ．π
解析 函数的周期为T ＝2π4＝π2，两条相邻对称轴间的距离为半个周期，即π
4.
答案 B
2．(2015·辽宁丹东模拟)设函数f (x )＝sin ? ????12x ＋θ－3cos ? ????12x ＋θ? ????|θ|<π2，且其图
象关于y 轴对称，则函数y ＝f (x )的一个单调递减区间是( )
A.?
????0，π2
B.? ??
??π2，π
C.? ????－π2，－π4
D.? ??
??3π2，2π
解析 因为f (x )＝sin ? ????12x ＋θ－3cos ? ????12x ＋θ＝2sin ? ????1
2x ＋θ－π3的图象关于y 轴对
称，所以θ＝－π6，所以f (x )＝－2cos 12x 在? ????－π
2，－π4递减，故选C.
答案 C
3．(2015·河北正定模拟)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)? ????ω>0，－π2<φ<π2的图象关于直
线x ＝2π
3
对称，它的周期为π，则( )
A ．f (x )的图象过点? ????0，12
B ．f (x )在????
??π12，2π3上是减函数 C ．f (x )的一个对称中心是?
??
??5π12，0
D ．将f (x )的图象向右平移|φ|个单位得到y ＝2sin ωx 的图象
解析 因为设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的图象关于直线x ＝2π
3对
称，它的周期为π，所以φ＝
π6，ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋π6)(ω>0，－π
2
<φ
<
π2)，因为f ? ????5π12＝0，所以f (x )的一个对称中心是? ??
??5π12，0，故选C. 答案 C
4．(2014·湖北黄冈调考)已知函数f (x )＝2sin(x ＋φ)的部分图象如图所示，则f ? ??
?
?2 008π3的值为( )
A ．－2
B ．2
C ．－ 3
D. 3
解析 由题意得f ? ????4π3＝2sin ? ??
??4π
3
＋φ
＝2，4π3＋φ＝2k π＋π2，φ＝2k π＋π2－4π3＝2k π－5π
6，其中k ∈Z .
因此f ?
????2 008π3＝2sin ? ??
??2 008π3＋2k π－5π6
＝2sin ? ????2k π＋668π＋4π3－5π6
＝2sin π
2＝2，选B.
答案 B
5．(2014·广东汕头4月模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)? ????其中A ＞0，|φ|＜π2的图象如图所示，为了得到g (x )＝cos 2x 的图象，则只要将f (x )的图象( )
A ．向右平移π
6个单位长度
B ．向右平移π
12个单位长度
C ．向左平移π
6
个单位长度
D ．向左平移π
12
个单位长度
解析 由图象知T 4＝7π12－π3＝π4，T ＝π，ω＝2，A ＝1.当x ＝7π12时，2x ＋φ＝3π
2
＋2k
π(k ∈Z )，得φ＝
π3＋2k π(k ∈Z )，∵|φ|＜π2，∴φ＝π3.f (x )＝sin ?
????2x ＋π312π
向左平移g (x )＝cos 2x ，故选D. 答案 D 二、填空题
6．(2015·山东烟台模拟)已知函数f (x )＝A cos 2
(ωx ＋φ)＋1? ????A >0，ω>0，0<φ<π2的最
大值为3，f (x )的图象与y 轴交点坐标为(0，2)，其相邻的两条对称轴的距离为2，则
f (1)＋f (2)＋…＋f (2 015)＝________．
解析 函数f (x )＝A cos 2
(ωx ＋φ)＋1(A >0，ω>0，0<φ<π2)的最大值为3，所以A ＝2，
其相邻的两条对称轴的距离为2，所以ω＝
π4，所以f (x )＝2cos 2? ??
??π
4x ＋φ＋1＝cos ? ????π2x ＋2φ＋2(A >0，ω>0，0<φ<π2)，又f (x )的图象与y 轴交点坐标为(0，2)，所
以φ＝π4，f (x )＝－sin π
2
x ＋2，
而f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝8，且周期为4，
所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2 015)＝503×8＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝4 030. 答案 4 030
7．(2014·河南南阳一模)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)? ????ω>0，－π2≤φ≤π2的图象上的
两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点? ????2，－12，则函数解析式f (x )＝________．
解析 据已知两个相邻最高及最低点距离为22，可得
? ??
??T 22
＋（1＋1）2＝22，解得T ＝4，故ω＝2πT ＝π2，即f (x )＝sin ? ????πx 2＋φ，又函数图象过点? ????2，－12，故f (2)
＝sin(π＋φ)＝－sin φ＝－12，又－π2≤φ≤π2，解得φ＝π
6，故f (x )＝
sin ?
??
??πx 2＋π6.
答案 sin ?
??
??πx 2＋π6
8．(2013·广东珠海质检)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角
函数y ＝a ＋A cos ????
??π6（x －6）(x ＝1，2，3，…，12，A >0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃.
解析 由题意得?
????a ＋A ＝28，a －A ＝18，∴?????a ＝23，
A ＝5，
∴y ＝23＋5cos ????
??π6（x －6）， x ＝10时，y ＝23＋5×? ??
??－12
＝20.5.
答案 20.5
一年创新演练
9．设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)－3sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π
2)，且其图象相邻的两
条对称轴为x 1＝0，x 2＝π
2
，则( )
A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在? ????0，π2上为增函数
B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在?
????0，π2上为减函数 C ．y ＝f (x )的最小正周期为2π，且在(0，π)上为增函数 D ．y ＝f (x )的最小正周期为2π，且在(0，π)上为减函数
解析 由已知条件得f (x )＝2cos ? ????ωx ＋φ＋π3，由题意得T 2＝π2，∴T ＝π，∵T ＝2πω，∴ω＝2.又∵f (0)＝2cos ? ????φ＋π3，x ＝0为f (x )图象的对称轴，∴f (0)＝2或－2，又∵
|φ|＜π2，∴φ＝－π3，此时f (x )＝2cos 2x ，它在? ????0，π2上为减函数，故选B.
答案 B
B 组 专项提升测试 三年模拟精选
一、选择题
10．(2015·河北衡水中学模拟)若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞
0，|φ|＜
π
2
)在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是这段图象的最高点与最低点，且OM →·ON →
＝0，则A ·ω＝( ) A.π6
B.
7π12
C.7
6
π D.73
π 解析 由题中图象知T 4＝π3－π
12
，∴T ＝π，∴ω＝2.
则M ?
????π12，A ，N ? ??
??712π，－A ，
由OM →·ON →＝0，得7π2
12
2＝A 2
，
∴A ＝
712π，∴A ·ω＝7
6
π.故选C. 答案 C
11．(2014·温州模拟)定义行列式运算13a a ∣24
a
a ∣)＝a 1a 4－a 2a 3.将函数f (x )＝sin cos x
x
∣的图象向
左平移n (n ＞0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则n 的最小值为( ) A.π6
B.π3
C.
5π6
D.
2π3
解析 依题意可得f (x )＝sin cos x x
∣＝3cos x －sin x ＝2cos ? ??
??
x ＋π6，图象向左平移n (n
＞0)个单位得f (x ＋n )＝2cos ? ????x ＋n ＋π6，要使平移后的函数为偶函数，则n 的最小值为
5π
6，故选C. 答案 C 二、填空题
12．(2013·金丽衢十二校联考)已知我省某海滨浴场的海浪高度y (米)是时间
t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作y ＝f (t )，下表是某日各时的浪高数据：
经长期观测，y ＝f (t )的曲线可近似地看成是函数y ＝A cos ωt ＋b 的图象．根据以上数据，你认为一日(持续24小时)内，该海滨浴场的海浪高度超过 1.25米的时长为________小时．
解析 依题意得?????A ＋b ＝1.5，
－A ＋b ＝0.5，2π
ω＝12，
A ＝0.5，b ＝1，ω＝π6，所以y ＝0.5cos π
6t ＋1.令y
＝0.5cos π6t ＋1＞1.25(t ∈[0，24])得cos π6t ＞12.又t ∈[0，24]，π
6t ∈[0，4π]，
因此0≤
π6t ＜π3或5π3＜π6t ≤2π或2π≤π6t ＜2π＋π3或2π＋5π3＜π
6
t ≤2π＋2π，即0≤t ＜2或10＜t ≤12或12≤t ＜14或22＜t ≤24，在一日内，海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间为8小时． 答案 8 三、解答题
13(2014·皖南八校三模)已知直线y ＝2与函数f (x )＝2sin 2
ωx ＋23sin ωx cos ωx －1(ω＞0)的图象的两相邻交点之间的距离为π.
(1)求f (x )的解析式，并求出f (x )的单调递增区间；
(2)将函数f (x )的图象向左平移π
4
个单位得到函数g (x )的图象，求函数g (x )的最大值及
g (x )取得最大值时x 的取值集合．
解 (1)f (x )＝2sin 2
ωx ＋23sin ωx cos ωx －1＝ 1－cos 2ωx ＋3sin 2ωx －1＝2sin ? ????2ωx －π6. 由题意可知函数的周期T ＝
2π
2ω
＝π，即ω＝1， 所以f (x )＝2sin ?
????2x －π6. 令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，其中k ∈Z ，解得k π－π6≤x ≤k π＋π
3，其中k ∈Z ，
即f (x )的单调递增区间为?
?????k π－π6，k π＋π3，k ∈Z .
(2)g (x )＝f ?
????x ＋π4
＝2sin ??????2? ????x ＋π4－π6＝2sin ? ????2x ＋π3， 则g (x )的最大值为2，此时有
2sin ? ????2x ＋π3＝2，即sin ?
????2x ＋π3＝1，即2x ＋π3＝2k π＋π2，其中k ∈Z .解得x ＝k π＋π
12(k ∈Z )，所以当g (x )取得最大值时x 的取值集合为????
??x ???x ＝k π＋π12，k ∈Z .
14．(2014·山东潍坊一模)已知函数f (x )＝3sin ωx ＋φ2·cos ωx ＋φ2＋sin 2ωx ＋φ
2(ω
＞0，0＜φ＜π2)，其图象的两个相邻对称中心的距离为π2，且过点? ????π3，1.
(1)求函数f (x )的表达式；
(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，a ＝5，S △ABC ＝25，角C 为锐角，
且满足f ? ????C 2－π12＝7
6
，求边c 的值．
解 (1)f (x )＝
32sin(ωx ＋φ)＋12[]1－cos （ωx ＋φ）＝sin ?
????ωx ＋φ－π6＋12.∵两个相邻对称中心的距离为π2，∴T ＝π.由2π
|ω|
＝π，ω＞0，得ω＝2.
又f (x )过点? ??
??π3，1，
∴sin ?
????2π3
＋φ－π6＋12＝1，
得cos φ＝12.又∵0＜φ＜π2，∴φ＝π
3.
∴f (x )＝sin ?
????2x ＋π6＋12.
(2)∵f ? ????C 2－π12＝7
6，得：sin C ＋12＝76，∴sin C ＝23.
∵角C 为锐角，∴cos C ＝
53
. 又∵a ＝5，S △ABC ＝12ab sin C ＝12·5·b ·2
3＝25，∴b ＝6.
由余弦定理：c 2
＝a 2
＋b 2
－2ab cos C ＝5＋36－2·5·6·5
3
＝21， ∴c ＝21.
一年创新演练
15．如图是某市在城市改造中沿市内主干道季华路修建的圆形休闲广场，圆心为O ，半径为100 m ．其与季华路一边所在直线l 相切于点M ，A 为上半圆弧上一点，过点A 作l 的垂线，垂足为B .市园林局计划在△ABM 内进行绿化．设△ABM 的面积为S (单位：m 2
)．
(1)以∠AON ＝θ rad 为参数，将S 表示成θ的函数； (2)试确定当绿化的面积最大时点A 的位置及其最大面积． 解 (1)如题图，BM ＝AO sin θ＝100sin θ，
AB ＝MO ＋AO cos θ＝100＋100cos θ，θ∈(0，π)．
则S ＝1
2
MB ·AB
＝1
2
×100sin θ×(100＋100cos θ) ＝5 000(sin θ＋sin θcos θ)，θ∈(0，π)． (2)S ′＝5 000(2cos 2
θ＋cos θ－1) ＝5 000(2cos θ－1)(cos θ＋1)．
令S ′＝0，得cos θ＝12或cos θ＝－1(舍去)，此时θ＝π
3
.
当θ变化时，S ′，S 的变化情况如下表：
所以，当θ＝π3时，S 取得最大值S max ＝3 750 3 m 2
，此时AB ＝150 m ，即点A 到季华路
一边的距离为150 m.
16．某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)在某一个周期的图象时，列表并填入的部分数据如下表：
(1)求x 1，x 2，x 3的值及函数f (x )的表达式；
(2)将函数f (x )的图象向左平移π个单位，可得到函数g (x )的图象，求函数y ＝
f (x )·
g (x )在区间?
??
??
0，
5π3的最小值． 解 (1)由2π3ω＋φ＝0，8π
3ω＋φ＝π可得：
ω＝12，φ＝－π
3
.
由12x 1－π3＝π2；12x 2－π3＝3π2； 12x 3－π
3
＝2π可得： x 1＝
5π3，x 2＝11π3，x 3＝14π
3
. 又∵A sin ? ????12×5π3－π3＝2，∴A ＝2.
∴f (x )＝2sin ? ????12
x －π3. (2)由f (x )＝2sin ? ????12x －π3的图象向左平移π个单位，
得g (x )＝2sin ? ????12x －π3＋π2 ＝2cos ? ??
??x 2－π3的图象，
∴y ＝f (x )·g (x )
＝2×2sin ? ????x 2－π3·cos ? ????x 2－π3 ＝2sin ?
????x －2π3， ∵x ∈? ????0，5π3时，x －2π3∈? ????－2π3，π， ∴当x －2π3＝－π2时，即x ＝π
6
时，y min ＝－2.
高中常用三角函数公式大全
高中常用三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 半角公式 sin(2A )=2 cos 1A - cos(2A )=2 cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin( 2 π-a) = cosa cos(2 π-a) = sina sin(2π+a) = cosa
cos( 2 π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式 sina=2 )2 (tan 12tan 2a a + cosa=2 2 )2 (tan 1)2(tan 1a a +- tana=2 )2 (tan 12tan 2a a - 其它公式 a?sina+b?cosa=)b (a 22+×sin(a+c) [其中tanc= a b ] a?sin(a)-b?cos(a) = )b (a 22+×cos(a-c) [其中tan(c)=b a ] 1+sin(a) =(sin 2a +cos 2 a )2 1-sin(a) = (sin 2a -cos 2 a )2 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin （2kπ＋α）= sinα cos （2kπ＋α）= cosα tan （2kπ＋α）= tanα cot （2kπ＋α）= cotα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin （π＋α）= -sinα cos （π＋α）= -cosα tan （π＋α）= tanα cot （π＋α）= cotα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
高中三角函数公式大全
高中三角函数公式大全 2009年07月12日星期日19:27 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式sin3A = 3sinA-4(sinA)3cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan( 3+a)·tan(3-a) 半角公式 sin(2 A )=2cos 1A cos(2 A )=2cos 1A tan(2 A )=A A cos 1cos 1cot(2A )= A A cos 1cos 1tan(2A )=A A sin cos 1=A A cos 1sin 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a cos 2 b a
sina-sinb=2cos 2b a sin 2 b a cosa+cosb = 2cos 2b a cos 2 b a cosa-cosb = -2sin 2b a sin 2 b a tana+tanb=b a b a cos cos )sin(积化和差 sinasinb = -2 1[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 2 1[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1[sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin( 2-a) = cosa cos( 2-a) = sina sin( 2+a) = cosa cos(2 +a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式 sina=2)2 (tan 12tan 2a a cosa=22)2 (tan 1)2(tan 1a a
图像融合
图像融合 实验目的 1.熟悉图像融合的意义和用途，理解图像融合的原理； 2.掌握图像融合的一般方法； 3.掌握运用MATLAB软件进行图像融合的操作。 实验原理 图像融合（Image Fusion）技术是指将多源信道所采集到的关于同一目标的图像经过一定的图像处理，提取各自信道的信息，最后综合成同一图像以供观察或进一步处理。 高效的图像融合方法可以根据需要综合处理多源通道的信息，从而有效地提高了图像信息的利用率、系统对目标探测识别地可靠性及系统的自动化程度。其目的是将单一传感器的多波段信息或不同类传感器所提供的信息加以综合，消除多传感器信息之间可能存在的冗余和矛盾，以增强影像中信息透明度，改善解译的精度、可靠性以及使用率，以形成对目标的清晰、完整、准确的信息描述。 这诸多方面的优点使得图像融合在医学、遥感、计算机视觉、气象预报及军事目标识别等方面的应用潜力得到充分认识、尤其在计算机视觉方面，图像融合被认为是克服目前某些难点的技术方向；在航天、航空多种运载平台上，各种遥感器所获得的大量光谱遥感图像（其中分辨率差别、灰度等级差别可能很大）的复合融合，为信息的高效提取提供了良好的处理手段，取得明显效益。 一般情况下，图像融合由低到高分为三个层次：数据级融合、特征级融合、决策级融合。数据级融合也称像素级融合，是指直接对传感器采集来得数据进行处理而获得融合图像的过程，它是高层次图像融合的基础，也是目前图像融合研究的重点之一。这种融合的优点是保持尽可能多得现场原始数据，提供其它融合层次所不能提供的细微信息。 图像融合最简单的理解就是两个（或多个）图像间的相加运算。这一技术广泛
应用于多频谱图像理解和医学图像处理等领域。主要分为空域和频域相加。 一、应用MATLAB软件进行两幅图像的融合的主要方法有： 1.图像直接融合； 2.图像傅立叶变换融合； 3.图像小波变换融合。 图像融合的MATLAB程序如下： （1）调入、显示两幅图像的程序语句 load A; X1=X;map1=map; load B; X2=X;map2=map; %打开图像 subplot(1,2,1) image(X1),colormap(map1); title(‘图像map1’) subplot(1,2,2) image(X2),colormap(map2); title(‘图像map2’) %显示两幅图像 （2）两幅图像直接融合的程序语句 figure,subplot(1,3,1) image((X1+X2)/2),colormap(map2); %在空域内直接融合 title(‘两图像直接相加融合’) %显示融合后的图像，并命名为“两图像直接相加融合” （3）两幅图像傅立叶变换融合的程序语句 F1=fft2(X1); F2=fft2(X2); %分别计算两幅图像的快速傅立叶变换
高中数学三角函数公式大全 (1)
三角函数 1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）： {} Z k k ∈+?=,360 |αββο ②终边在x 轴上的角的集合： {} Z k k ∈?=,180|οββ ③终边在y 轴上的角的集合：{ } Z k k ∈+?=,90180|ο οββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{} Z k k ∈?=,90|οββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,45180|οοββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{} Z k k ∈-?=,45180|οοββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k ο360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+=οο180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k ο180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系：οο90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝180 π≈0.01745（rad ） 3、弧长公式：r l ?=||α. 扇形面积公式：21 1||22 s lr r α==?扇形 4、三角函数：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离为r ，则 =αsin r x =αcos ； x y = αtan ； y x =αcot ； x r =αsec ；. αcsc 5、三角函数在各象限的符号：正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 6、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. SIN \COS 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域
高三三角函数公式大全
第一部分三角函数公式 2两角和与差的三角函数 cos(α+β)=cosα2cosβ-sinα2sinβ cos(α-β)=cosα2cosβ+sinα2sinβ sin(α±β)=sinα2cosβ±cosα2sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα2tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα2tanβ) 2和差化积公式： sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 2积化和差公式： sinα2cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα2sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα2cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα2sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] 2倍角公式： sin(2α)=2sinα2cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=(cosα)^2-(sinα)^2=2(cosα)^2-1=1-2(sinα)^2 tan(2α)=2tanα/(1-tan^2α) cot(2α)=(cot^2α-1)/(2cotα) sec(2α)=sec^2α/(1-tan^2α) csc(2α)=1/2*secα2cscα 2三倍角公式： sin(3α) = 3sinα-4sin^3α = 4sinα2sin(60°+α)sin(60°-α) cos(3α) = 4cos^3α-3cosα = 4cosα2cos(60°+α)cos(60°-α) tan(3α) = (3tanα-tan^3α)/(1-3tan^2α) = tanαtan(π/3+ α)tan(π/3-α)
高中三角函数公式大全
高中三角函数公式大全 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π-a) 半角公式 sin(2A )=2cos 1A - cos(2A )=2cos 1A + tan(2 A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+ 积化和差 sinasinb = -21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 21[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1[sin(a+b)-sin(a-b)] 万能公式 sina=2)2(tan 12tan 2a a + cosa=22)2(tan 1)2(tan 1a a +- tana=2 )2 (tan 12tan 2a a - 其它公式 a?sina+b?cosa=)b (a 22+×sin(a+c) [其中tanc=a b ] a?sin(a)-b?cos(a) = )b (a 22+×cos(a-c) [其中tan(c)=b a ]
《图像与知识点的整合》教学设计
九年级化学《金属与盐酸、稀硫酸的反应》微课教学设计 教学目标 1．知识与技能 初步认识常见金属与盐酸、硫酸的置换反应，能用置换反应解释一些与日常生活有关的化学问题。 2．过程与方法 认识科学探究的基本过程，能进行初步的探究活动；初步学会运用比较、归纳、概括等方法对获取的信息进行加工，使学生逐步形成良好学习习惯和方法。 3．情感态度与价值观 培养学生勤于思考、勇于创新实践、严谨求实的科学精神。 导入 很多金属不仅能与氧气反应，而且还能与盐酸或稀硫酸反应。金属与盐酸或稀硫酸能否反应以及反应的剧烈程度，也可反映金属的活泼程度。下面，我们就通过实验来比较镁、锌、铁、铜的活动性。 探究活动 金属与盐酸、稀硫酸的反应 1、观看实验视频； 3、讨论： ①哪些金属能与盐酸、稀硫酸发生反应？反应的剧烈程度如何？反应后生成什么气体？哪些金属不能与盐酸、稀硫酸发生反应？根据反应时是否有氢气产生，将金属分为两类。 ②对于能发生的反应，从反应物和生成物的物质类别如单质、化合物的角度分析，这些反应有什么特点？将这一类反应与化合反应、分解反应进行比较。 教师点拨 1、这几个反应的共同特点为：由一种单质与一种化合物反应，生成另一种单质和另一种化合物。
2、概念：由一种单质与一种化合物反应，生成另一种单质和另一种化合物的反应叫做置换反应。 3、表示式：A+BC==B+AC 4、结论：镁、锌、铁的金属活动性比铜的强，它们能置换出盐酸或稀硫酸中的氢。 5、根据金属能否与盐酸、稀硫酸反应及其反应的剧烈程度可以判断金属活动性的强弱。知识应用 1、根据上述探究实验的现象，你能推断出：镁、锌、铁、铜中，的化学性质最活泼， 的化学性质最不活泼；活动性由强到弱的顺序为：。 2、判断下列反应的类型： ①2Mg+O22MgO ②3Fe+2O2Fe3O4 ○3Fe+H 2 SO 4 ==FeSO 4 +H 2 ↑○42Al+3CuO 4 =Al(SO 4 ) 3 +3Cu ○52LiOH+CO 2 ═Li 2 CO 3 +H 2 O ○62KMnO 4 =====K 2 MnO 4 +MnO 2 +O 2 ↑ 应用拓展 1、将X、Y、Z三块大小相同的金属片分别投入到10﹪的稀盐酸中，X表面无明显现象，Y表面缓慢地产生气泡，Z表面迅速产生大量气泡，则X、Y、Z的金属活动顺序为（） A、X>Z>Y B、Z>Y>X C、X>Y>Z D、Z>X>Y 2、镁条和铁片中分别与溶质质量分数相等的稀盐酸反应，有关量的关系图像如下，其中错误的是（） 本课小结 很多金属不仅能与氧气反应，而且还能与盐酸或稀硫酸反应。金属与盐酸或稀硫酸能否反应以及反应的剧烈程度，也可反映金属的活动性：能与盐酸、稀硫酸发生的比不反应的强；反应越剧烈的活动性越强；根据化学反应方程式能够定性和定量分析金属与酸反应的图像问题。 △
高中三角函数公式大全及经典习题解答
高中三角函数公式大全及经典习题解答 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
用心辅导中心 高二数学 三角函数 知识点梳理: ⒈L 弧长=αR=nπR 180 S 扇=21L R=2 1R 2 α=3602R n ?π ⒉正弦定理： A a sin =B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） ⒊余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2 =a 2 +b 2 -2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= ⒋S ⊿=2 1a a h ?=2 1ab C sin =2 1bc A sin =2 1ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr =))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) ⒌同角关系： ⑴商的关系：①θtg =x y =θ θ cos sin =θθsec sin ? ② θθθ θθcsc cos sin cos ?=== y x ctg ③θθθtg r y ?== cos sin ④θθθθcsc cos 1sec ?== =tg x r ⑤θθθctg r x ?== sin cos ⑥θθθθsec sin 1csc ?== =ctg y r ⑵倒数关系：1sec cos csc sin =?=?=?θθθθθθctg tg ⑶平方关系：1csc sec cos sin 222222=-=-=+θθθθθθctg tg ⑷)sin(cos sin 22?θθθ++= +b a b a （其中辅助角?与点（a,b ） 在同一象限，且a b tg =?） ⒍函数y=++?)sin(?ωx A k 的图象及性质：（0,0>>A ω）
影像引导
影像引导经皮立体定向椎体成形术 技术介绍：最初进针点的定位是手术操作中至关重要的步骤之一。在进针的过程中，为保持穿刺针正确地置入，往往需要进行多次细微的调整。但是，这些位置的调整却不能弥补因进针点选择不当或进针角度考虑不周所造成的错误。在“经典穿刺过程”中，应将椎体置于标准的前后位和侧位X线投照中。前后位透视观察，上下终板应呈一直线，双侧椎弓根显示良好，棘突位于正中线。侧位透视观察，肋骨、椎弓根、神经孔和连续的椎体后缘应排列成行，这种体位可清晰显示椎体的两侧，利于穿刺针的进针。如果使用单项透视系统，建议在手术开始时应记录C形臂前后位和侧位的坐标，以此来提高术中视野转换的效率。应该注意的是很多病人在不经意的情况下会轻微地挪动身体，随着手术的进行，这种情况会一直持续并会越来越频繁，病人会越来越疲惫和烦躁。这是，为了保证一个合适的穿刺针位置，必须不断地调整C形臂的角度。 笔者使用了一种稍微不同的定位策略，应用一个向椎弓根倾斜的角度投照。开始，将C形臂向头足方向旋转，是椎弓根与椎体的中上1/3重叠，然后倾斜旋转C形臂使椎弓根内侧皮质显示最佳。这种斜位的透视方法在进针的全过程中均能清楚地显示椎弓根（最重要的是椎弓根的内侧皮质）。这种方法的另一优点是由可能通过单一的椎弓根入路将骨水泥注入到椎体的两侧，避免了第二次穿刺。 一旦确定了手术节段和进针点，用1%的利多卡因或0.25%的布比卡因皮下注射局部麻醉。针道要谨慎地抵达椎弓根，并使得骨膜得到充分的麻醉。完成这些措施之后，在应用较大口径穿刺针的手术中病人就很少有不适感。用手术刀作一小皮肤切口，以利于较大口径的穿刺针通过皮肤。将针置于椎弓根的中上外1/3处，小心地通过椎弓根进入椎体。穿刺针的最终位置是使外套管的前端位于椎体的前中1/3交界处并尽可能靠近椎体（上、下、外）的中央。当穿刺针轨道需要调整时，应尽可能在针尖位于椎弓根内时及早进行。随着穿刺针的进一步深入，针道调整的效果渐差，并且可由于穿刺针的过度扭转造成椎弓根骨折。透视下，针尖应始终保持在椎弓根内侧皮质边缘的外侧，直到其向前进入到椎体内为止。若内侧皮质找到破坏可损伤硬膜囊、脊髓和撕裂硬膜外静脉。若椎体塌陷相对较轻并局限在一侧，则应选择病变侧椎弓根进针。若塌陷较为严重，则开始应在椎体残留较多的一侧进针。若椎体中央部严重塌陷，则单一的椎弓根穿刺不大可能使PMMA的分布越过中线到达椎体的另一侧。这种病例往往需要经双侧椎弓根穿刺进行手术。 一旦在侧位透视观察到针尖已经通过椎体的后缘，则可在连续X线透视引导下加快进针的速度。有意识麻醉下的病人在术中可轻微地挪动身体，使得透视不能反映真正的侧位图像。椎体是一个圆形的结构，如果穿刺针在椎体内进针过前，可使偏离中线的针尖穿透椎体前侧的骨皮质。若侧位透视显示针尖未超越椎体的前中1/3交界处，即使针尖偏离中线处也仍然会位于椎体内。错误的前置穿刺针可能刺破位于胸椎和上腰椎的前方的主动脉和下腔静脉。
像素级图像融合
毕业设计（论文）设计(论文)题目像素级图像融合方法 姓名：李桂楠 学号： 2 学院：机电与信息工程学院 专业：自动化 年级2011级 指导教师：孙甲冰
目录 摘要 (4) Abstract (5) 第一章绪论 (1) 1.1课题背景及来源 (1) 1.2图像融合的理论基础和研究现状 (1) 1.3图像融合的应用 (1) 1.4图像融合的分类 (1) 第二章像素级图像融合的预处理 (3) 2.1图像增强 (3) 2.2图像校正 (6) 2.3图像配准 (6) 第三章像素级图像融合的方法综述 (8) 3.1加权平均图像融合方法 (8) 3.2 HIS空间图像融合方法 (8) 3.3 主成分分析图像融合方法 (8) 3.4 伪彩色图像融合方法 (9) 第四章基于小波变换的像素级图像融合概述 (10) 4.1 小波变换的基本理论 (10) 4.2 基于小波变换的图像融合 (11) 4.3基于小波变换的图像融合性能分析 (12)
第五章像素级图像融合方法的研究总结与展望 (19) 参考文献 (20) 谢辞.................................. 错误!未定义书签。
摘要 近些年，随着科学技术的飞速发展，各种各样的图像传感器出现在人们的视野前，这种样式繁多的图像传感器在不同的成像原理和不同的工作环境下具有不同功能。而因为多传感器的不断涌现，图像融合技术也越来越多的被应用于医学、勘探、海洋资源开发、生物学科等领域。 图像融合主要有像素级、决策级和特征级三个层次，而像素级图像融合作为基础能为其他层次的融合提供更准确、全面、可依赖的图像信息。本文的主要工作是针对像素级的图像融合所展开的。 关键词 图像融合理论基础、加权平均、图像融合方法、小波变换、
引导图像滤波
图像引导滤波 摘要：这篇文章中,我们提出一个新颖的显式图像滤波器称为引导过滤器。起源于一个局部的线性模型,指导滤波器通过考虑指导图像的内容计算滤波输出,这种滤波器可以输入图像本身或另一个不同的形象。引导过滤器可以像流行的双边滤波器[1]一样作为edge-preserving平滑算子,但它具有更好的边缘附近的效果。引导滤波器也是一个超越平滑的更一般的概念:它可以将指导图像的结构转化为滤波输出,使新的过滤应用程序像图像去雾和引导羽化一样。此外,无论要点大小和强度范围,引导自然过滤器有一个快速和非近似线性时间算法。目前,这是一个最快的edge-preserving过滤器。实验表明,引导滤波器是在多种多样的计算机视觉和计算机图形学的应用都可以起作用的和有效率滤波器,包括边缘感知平滑、细节增强,HDR压缩,图像消光/羽化、去雾、联合采样等等。 关键词：边缘保持滤波，双边滤波器，线性时间过滤 1简介 在计算机视觉和计算机图形学大多数应用涉及到图像滤波，以抑制和/或提取的图像内容。简单的线性平移不变（LTI）滤波器具有明确的内核，诸如均值(均值滤波是典型的线性滤波算法，它是指在图像上对目标像素给一个模板，该模板包括了其周围的临近像素（以目标象素为中心的周围8个像素，构成一个滤波模板，即去掉目标像素本身），再用模板中的全体像素的平均值来代替原来像素值。概述: 均值滤波也称为线性滤波，其采用的主要方法为邻域平均法。线性滤波的基本原理是用均值代替原图像中的各个像素值，即对待处理的当前像素点（x，y），选择一个模板，该模板由其近邻的若干像素组成，求模板中所有像素的均值，再把该均值赋予当前像素点（x，y），作为处理后图像在该点上的灰度个g（x，y），即个g（x，y）=1/m ∑f（x，y）m为该模板中包含当前像素在内的像素总个数。不足: 均值滤波本身存在着固有的缺陷，即它不能很好地保护图像细节，在图像去噪的同时也破坏了图像的细节部分，从而使图像变得模糊，不能很好地去除噪声点。 clear all; img2=imread('D:\3.bmp'); I=rgb2gray(img2); %读入预处理图像 imshow(I) %显示预处理图像 K1=filter2(fspecial('average',3),I)/255; %进行3*3均值滤波 K2=filter2(fspecial('average',5),I)/255; %进行5*5均值滤波 K3=filter2(fspecial('average',15),I)/255; %进行7*7均值滤波 figure,imshow(K1) figure,imshow(K2) figure,imshow(K3))，高斯(高斯滤波是一种线性平滑滤波，适用于消除高斯噪声，广泛应用于图像处理的减噪过程。通俗的讲，高斯滤波就是对整幅图像进行加权平均的过程，每一个像素点的值，都由其本身和邻域内的其他像素值经过加权平均后得到。高斯滤波的具体操作是：用一个模板（或称卷积、掩模）扫描图像中的每一个像素，用模板确定的邻域内像素的加权平均灰度值去替代模板中心像素点的值。在图像处理中，高斯滤波一般有两种实现方式，一是用离散化窗口
所有三角函数公式
诱导公式 常用的诱导公式有以下几组： 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ＋α）＝sinα （k∈Z） cos（2kπ＋α）＝cosα （k∈Z） tan（2kπ＋α）＝tanα （k∈Z） cot（2kπ＋α）＝cotα （k∈Z） 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα 公式三： 任意角α与-α的三角函数值之间的关系： sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα 公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα
sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα sin（3π/2＋α）＝－cosα cos（3π/2＋α）＝sinα tan（3π/2＋α）＝－cotα cot（3π/2＋α）＝－tanα sin（3π/2－α）＝－cosα cos（3π/2－α）＝－sinα tan（3π/2－α）＝cotα cot（3π/2－α）＝tanα (以上k∈Z) 注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。 诱导公式记忆口诀 上面这些诱导公式可以概括为： 对于π/2*k ±α(k∈Z)的三角函数值， ①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变； ②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan. （奇变偶不变） 然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。 （符号看象限） 例如： sin(2π－α)＝sin(4·π/2－α)，k＝4为偶数，所以取sinα。 当α是锐角时，2π－α∈(270°，360°)，sin(2π－α)＜0，符号为“－”。 所以sin(2π－α)＝－sinα 上述的记忆口诀是： 奇变偶不变，符号看象限。 公式右边的符号为把α视为锐角时，角k·360°+α（k∈Z），-α、180°±α，360°-α 所在象限的原三角函数值的符号可记忆 水平诱导名不变；符号看象限。 ＃ 各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正弦(余割)；三两切；四余弦(正割)”． 这十二字口诀的意思就是说： 第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“＋”； 第二象限内只有正弦是“＋”，其余全部是“－”； 第三象限内切函数是“＋”，弦函数是“－”；
三角函数公式大全(很详细)
高中三角函数公式大全[图] 1 三角函数的定义1.1 三角形中的定义 图1 在直角三角形中定义三角函数的示意图在直角三角形ABC，如下定义六个三角函数： ?正弦函数 ?余弦函数 ?正切函数 ?余切函数 ?正割函数 ?余割函数 1.2 直角坐标系中的定义
图2 在直角坐标系中定义三角函数示意图在直角坐标系中，如下定义六个三角函数： ?正弦函数 r ?余弦函数 ?正切函数 ?余切函数 ?正割函数
?余割函数 2 转化关系2.1 倒数关系 2.2 平方关系 2 和角公式 3 倍角公式、半角公式3.1 倍角公式 3.2 半角公式
3.3 万能公式 4 积化和差、和差化积4.1 积化和差公式
证明过程 首先，sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα（已证。证明过程见《和角公式与差角公式的证明》）因为sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα（正弦和角公式） 则 sin(α-β) =sin[α+(-β)] =sinαcos(-β)+sin(-β)cosα =sinαcosβ-sinβcosα 于是 sin(α-β)=sinαcosβ-sinβcosα（正弦差角公式） 将正弦的和角、差角公式相加，得到 sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ 则 sinαcosβ=sin(α+β)/2+sin(α-β)/2（“积化和差公式”之一） 同样地，运用诱导公式cosα=sin(π/2-α)，有 cos(α+β)= sin[π/2-(α+β)] =sin(π/2-α-β) =sin[(π/2-α)+(-β)] =sin(π/2-α)cos(-β)+sin(-β)cos(π/2-α) =cosαcosβ-sinαsinβ 于是 cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ（余弦和角公式） 那么 cos(α-β) =cos[α+(-β)] =cosαcos(-β)-sinαsin(-β) =cosαcosβ+sinαsinβ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ（余弦差角公式） 将余弦的和角、差角公式相减，得到 cos(α+β)-cos(α-β)=-2sinαsinβ 则
高中三角函数公式大全
高中三角函数公式大全 诱导公式29个 sin(α+2kπ)=sinα cos(α+2kπ)=cosα tan(α+2kπ)=tanα sin(α+π)=-sinα cos(α+π)=-cosα tan(α+π)=tanα cot(α+π)=cotα sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα cot(π-α)=-cotα tan(π-α)=-tanα sin(2π-α)=sinα cos(2π-α)=cosα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα 两角和差公式6个 cos(α+β)=cosαcosβ-s inαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβsin(α+β)=sinαcosβ+cosαcosβ
sin(α-β)=sinαcosβ-sinαcosβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ) 倍角公式5个 sin(2α)=2sinαcosα cos(2α)=cos^2α-sin^2α =2cos^2α-1 =1-2sin^2α tan(2α)=2tanα/(1-tan^2α) 半角公式5个 sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) tan(α/2)=(1-cosα)/sinα =sinα/(1+cosα) 万能公式2个 sin(2α)=2tanα/(1+tan^2α) cos(2α)=(1-tan^2α)/(1+tan^2α) 积化和差4个 sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2 cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2 cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2 sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2 和差化积4个 sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 同角关系8个 sin^2α+cos^2α=1 sec^2α=1/cos^2α=tan^2α+1 csc^2α=1/sin^2α=cot^2α+1 tanα=sinα/cosα cotα=cosα/sinα tanαcotα=1 sinαcscα=1 cosαsecα=1
放疗图像引导(一)：各种成像技术介绍
放疗图像引导（一）：各种成像技术介绍 图像引导放射治疗（IGRT），是在患者进行治疗前、治疗中利用各种影像设备，对肿瘤及正常器官进行监控，并根据器官位置的变化调整治疗位置、治疗条件，使照射野紧紧“追随”靶区。所以图像引导对于放射治疗的重要性，好比瞄 准镜对于狙击步枪，卫星导航定位系统对于远程导弹。 接下来我们扒一扒那些不同厂家不同设备的图 像引导成像技术。 1、电子射野影像系统（Electronic Portal Imaging Device,EPID）这种成像技术出现比较早，在2006 年前是应用最广的成像技术，一般以6MV兆伏级X线进行 拍片验证，可用较少的剂量获得较好成像质量。具有体积小、分辨率高、灵敏度高、能响范围宽等优点，临床上摄片操作简单，成本低、容易实现。既可以离线校正验证射野的大小、形状、位置和患者摆位，也可以直接测量射野内剂量，是一种简单实用的二维影像验证设备。 缺点是摄野片骨和空气对比度都较低,软组织显像 不清晰，太依赖操作人员主观判断。 随着技术的发展，基于非晶硅平板探测器的EPID，可以直接测量射野内剂量，是一种快速的二维剂量测量系统，用EPID系统进行剂量学验证的研究开始不断增多，逐渐兴
起并推向临床。笔者相信EPID会迎来第二春。 2、KV级锥形束CT（Cone Beam CT,CBCT）这种成像技术是目前应用最广的图像引导技术，它使用大面积非晶硅数字化X射线探测板，机架旋转一周就能获取和重建一定体积范围内的CT图像。这个体积内的CT影像重建后的三维影像模型，可以与治疗计划的患者模型匹配比较,并自动计算出治疗床需要调节的参数。 从机器图可以看到CBCT具有体积小、重量轻、开放式架构的特点，可以直接整合到直线加速器上。CBCT的图像质量空间分辨率高，操作简单快捷。放疗中最常使用的容积成像功能，可以快速完成在线校正治疗位置，深得技师喜爱。同时它也具有在治疗位置进行X线透视、摄片等功能，不过这些临床功能使用不多（后续文章会完整介绍CBCT的功能）。它的缺点是密度分辨率较低，尤其是低对比度密度分辨率与先进的临床诊断CT相比，还有一定差距。与MV CBCT相比，它的KV级图像与MV级治疗不是同源。 3、直加+CT组合系统这种成像技术是西门子ONCOR机器的图像引导解决方案，在一台ONCOR直线加速器配备一台多排Somatom CT机，CT机与加速器共用治疗床。该解决方案的优势在于大幅提高了影像的空间分辨率和成像质量，不过该系统相对KV级CBCT复杂很多，国内装机不多。
高中数学公式总结：三角函数公式大全
高中数学公式总结：三角函数公式大全 三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是学习方法网为大家整理的三角函数公式大全： 锐角三角函数公式 sin =的对边 / 斜边 cos =的邻边 / 斜边 tan =的对边 / 的邻边 cot =的邻边 / 的对边 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2） （注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A）） 三倍角公式 sin3=4sinsin(/3+)sin(/3-) cos3=4coscos(/3+)cos(/3-) tan3a = tan a tan(/3+a) tan(/3-a) 三倍角公式推导 sin3a
=sin(2a+a) =sin2acosa+cos2asina 辅助角公式 Asin+Bcos=(A^2+B^2)^(1/2)sin(+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asin+Bcos=(A^2+B^2)^(1/2)cos(-t)，tant=A/B 降幂公式 sin^2()=(1-cos(2))/2=versin(2)/2 cos^2()=(1+cos(2))/2=covers(2)/2 tan^2()=(1-cos(2))/(1+cos(2)) 推导公式 tan+cot=2/sin2 tan-cot=-2cot2 1+cos2=2cos^2 1-cos2=2sin^2 1+sin=(sin/2+cos/2)^2 =2sina(1-sina)+(1-2sina)sina =3sina-4sina cos3a =cos(2a+a)
高三三角函数公式练习题及答案
三角函数公式 1．同角三角函数基本关系式 sin2α＋cos2α=1 sinα cosα =tanα tanαcotα=1 2．诱导公式 (奇变偶不变，符号看象限) （一）sin(π－α)＝___________ sin(π+α)＝___________ cos(π－α)＝___________ cos(π+α)＝___________ tan(π－α)＝___________ tan(π+α)＝___________ sin(2π－α)＝___________ sin(2π+α)＝___________ cos(2π－α)＝___________ cos(2π+α)＝___________ tan(2π－α)＝___________ tan(2π+α)＝___________ （二）sin(π 2 －α)＝____________ sin( π 2 +α)＝ ____________ cos(π 2 －α)＝____________ cos( π 2 +α)＝ _____________ tan(π 2 －α)＝____________ tan( π 2 +α)＝ _____________ sin(3π 2 －α)＝____________ sin( 3π 2 +α)＝ ____________ cos(3π 2 －α)＝____________ cos( 3π 2 +α)＝ ____________ tan(3π 2 －α)＝____________ tan( 3π 2 +α)＝
____________ sin(－α)＝－sin α cos(－α)=cos α tan(－α)=－tan α 公式的配套练习 sin(7π－α)＝___________ cos(5π 2 －α)＝___________ cos(11π－α)＝__________ sin(9π 2 +α)＝____________ 3． 两角和与差的三角函数 cos(α+β)=cos αcos β－sin αsin β cos(α－β)=cos αcos β＋sin αsin β sin (α+β)=sin αcos β＋cos αsin β sin (α－β)=sin αcos β－cos αsin β tan(α+β)= tan α+tan β 1－tan αtan β tan(α－β)= tan α－tan β 1＋tan αtan β 4． 二倍角公式 sin2α=2sin αcos α cos2α=cos 2α－sin 2α＝2 cos 2α－1＝1－2 sin 2 α tan2α=2tan α 1－tan 2 α 5． 公式的变形 （1） 升幂公式：1＋cos2α＝2cos 2α 1—cos2α＝2sin 2 α （2） 降幂公式：cos 2α＝1＋cos2α2 sin 2 α＝1－cos2α2 （3） 正切公式变形：tan α+tan β＝tan(α+β)（1－tan αtan β） tan α－tan β＝tan(α－β)（1＋tan αtan β) （4） 万能公式（用tan α表示其他三角函数值） sin2α＝2tan α1+tan 2α cos2α＝1－tan 2 α 1+tan 2 α tan2α＝2tan α1－tan 2 α 6． 插入辅助角公式