一元微积分高难度习题

第一章、极限与连续

1．

求21)]1x x x -→+∞+-。 2

。求n 0≥x )。

3． 设3214

lim

1

x x ax x l x →---+=+，求常数,a l 。 4。求已知()0

lim x f x →存在，且

3x →=，求()0

lim x f x →．

5。极限s i n s i n

sin lim sin x t x t x

t x -→??

???

，并记此极限为()f x ，求函数()f x 的间断点并指出其间断类型。

6。求常数,a b ，

使()1

,0, 011

arctan , 1

-1x x f x ax b x x x ?

??

=+≤≤???>??

在所定义的区间上连续． 7。设()()21211lim ,1n n n n n x a x f x a x ax +→∞+--=--为常数，求()f x 的分段表达式，并确定常数a 的值，使()f x 在[0,)+∞上连续． 8．设101=x , n n x x +=+61( ,3,2,1=n ),试证数列{}n x 极限存在,并求此极限。

第二章、导数

1．设???

??=≠=.

0),0(,0,)

()(x f x x x f x F 其中)(x f 在0=x 处可导，0)0(≠'f ，0)0(=f ，则的是 )( 0x F x =（ ）

（A ）连续点； （B ）第一类间断点； （C ）第二类间断点； （D ）不能确定。

2．函数x x x x x f ---=3

2)2()(不可导点的个数是（ ）. (A)3； (B)2； (C)1； (D)0。

3．??

?

??≤>-=,0 ),(,0 ,cos 1)(2x x g x x x

x

x f 其中)(x g 是有界函数，则)(x f 在0=x 处（ ）（A ）极限不存在；（B ）极限存在但不连续；（C ）连续但不可导；（D ）可导。 4．设x x x x f -=2

)(，则)(x f （ ）（A ）处处不可导；（B ）处处可导；（C ）有且仅有一个不可导点；（D ）有且仅有两个不可导点。 5．设函数)(u f 可导，)(2

x f y =当自变量x 在1-=x 处取得增量1.0-=?x 时，相应的函数增量y ?的线性

主部为1.0，则=')1(f （ ） （A ）1-； （B ）1.0； （C ）1；（D ）5.0。

6．设x x x x f 2

33)(+=，则使)0()(n f 存在的最高阶导数阶数n 为（ ）（A ）0；（B ）1；（C ）2；（D ）3。

7．已知1)(-=' x f ，则=---→)

()2(lim

x x f x x f x

x 。

8．设)()2)(1()(n x x x x x f +++= ，则=')0(f 。 9．已知)2323(

+-=x x f y ，2arctan )(x x f ='，则==0

x dx dy

。 10.设x

x t

x t x t t f )(

lim )(-+=∞→，则=')(t f 。 11.设函数)(x y y =由方程x

y x y x sin )ln(32+=+确定，则.______0==x dx dy 12.设?????==t

t y t

t x sin cos ，则 =22dx y d 。 13.已知函数)(x y y =由方程0162

=-++x xy e y

确定，则='')0(y 。 14.设1

)(2

2

-=x x

x f ，则

=)()

(x f

n 。 15.已知x x xe e f -=')(，且0)0(=f ，则=)(x f 。

16.设)(x f 有一阶连续导数，2)1(='f ，求)(cos lim

0x x f dx

d

+→。 17.设曲线n

x x f y ==)(在点（1，1）处的切线交x 轴于点0) ,(n ξ，求)(lim n n f ξ+∞

→。

18.设函数)0()

ln(lim )(>+=∞→x n

x e x f n n n ，

（1）求)(x f 的表达式；（2）讨论)(x f 的连续性和可导性。 19.(1)已知x x e y x sin 1ln

--=，求)2

(π'y ；（2）设x y

x x e y sin +=+，求y '. 20.设函数)(x y y =由参数方程??

???=+=?+t u du u e y t x ln 2112,

21（1>t ）所确定，求9

22=x dx y d 。

21.设)](sin[2

x f y =，其中f 具有二阶导数，2

2

dx

y d 求。

22．（1）设4

cos )1()(2x x x x f n

n

π-=，求)1()(n f ；（2）已知x x y 5cos 3sin 2

?=，求)(n y 。

23.已知?????=≠=0 ,

00

,1sin )(x x x

x x f k

（k 为正常数），讨论k 为何值时存在二阶导数)0(f ''。 24.设函数()y y x =由方程322

2221y y xy x -+-=确定，求()y y x =的驻点，并判断它是否为极值点。

25.设λ是常数，试讨论方程sin 2x x π

λ-

=在开区间0,2π??

???

内根的个数。并证明你自己的结论。

三、中值定理及导数应用

1．设不恒为常数的函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 内可导，且有()()f a f b =，证明：在

(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()0f ξ'>。

2。

已知2

lim []x t x e a dt b -→+∞

+

=?

，求常数,a b 。 3．求函数2

ln ,1()2,1

x x x f x x x x -≤?=?-，使得2

22

1()(1)f ξξξ-'=+。

5．设()f x 在[,]a b 二阶连续可导，证明存在(,)a b ξ∈，使得

31

()(

)()()()224

b a

a b f t dt f b a f b a ξ+''=-+-?

。 6． 设()x ?在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)0,(1)1??==，证明：存在不同的,(0,1)ξη∈，使得

12

3()()

?ξ?η+=''。7。已知()x ?在[1,3]连续，(1,3)内二阶可导，则存在(1,3)ξ∈，使得()(1)2(2)(3)?ξ???''=-+。 8。求由方程230x y xy +-=确定的函数()y y x =在0x >内的极值。 9。设()f x 在(1,3)-内二阶可导，且()0f x ''>，又2

()cos lim

2sin x f x x

x

→-=，证明：在(1,3)-内，()1f x ≥。10。设()f x 二阶连续可导，且0

()

(0)0,lim

1||

x f x f x →'''==，则有（ ） （A ）(0)f 是()f x 的极大值；（B ）(0)f 是()f x 的极小值；（C ）(0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点；（D ）(0)f 不是()f x 的极值，(0,(0))

f 也不是曲线()y f x =的拐点。 11。设b a e >>，比较,b a

a b 的大小。

12

。证明：方程0ln x

x e

π=-?在(0,)+∞内有且仅有两个不同的实根。 13．设函数()f x 在(,)(0)a a a ->上连续，在0x =处可导，且(0)0f '≠。（1）证明：对于任意给定的

(,)x a a ∈-，至少存在一点(0,1)θ∈，使得0

()()[()()]x x f t dt f t dt x f x f x θθ-+=--??

；

（2）求0

lim x θ→。14。设函数()g x 在[,]a b 上连续，函数()f x 在[,]a b 上满足()()()()0f x g x f x f x '''+-=，又

()()0f a f b ==，问()f x 在[,]a b 上是否一定恒为常数0？

15． 求ln (1)(1)

lim 1x

x

x

x x xa a a ln a a

→+∞-+++，其中a 为不等于1的正数。 16。求110(1)lim[]x

x x x e →+。17。求220ln(1)ln(1)lim sec cos x x x x x x x

→+++-+-。 18。设0()

ln(1)

sin lim 1ln x

x f x x A a x a →+

=--，其中0,1a A >≠，求30()lim x f x x →。

19。求,a b 使得5

(cos )sin lim

x x a b x x

x

→-+存在，并求此极限。 20．设()f x 具有二阶导数，在0x =的某去心邻域内()0f x ≠，且0()

lim 0x f x x →=，(0)4f ''=，求10()lim[1]x x f x x

→+。21。设()f x 在0x =处具有二阶导数，且30ln(1)()

lim

2x x xf x x

→++=，试求(0),(0)f f '及(0)f ''。 22．证明：02x <<时，2

4ln 240x x x x --+>。

23．设方程3

2

330x x k --=在(,)-∞+∞内有且只有一个实根，求k 的取值范围。 24．设01x <<，则有

11111ln 2ln(1)2

x x -<-<+。 25．设()f x ''在(,)a b 内存在，且()()0f a f b ''==，证明：存在一点(,)a b ξ∈，使得2

4

|()||()()|()f f b f a b a ξ''≥

--。26。求曲线2

2cot 2sin x y θθ

=??

=?的凹凸区间和拐点。

27．设PQ 是抛物线24x y =的弦，且它在这条抛物线过P 点的法线上，求弦PQ 的长度的最小值。 28．设()y y x =由方程2222x xy y -+=所确定，求()y y x =的极值。

29．设111,sin n n x x x +==，1,2,

n =。（1）证明：数列{}n x 收敛；（2）求2

1

1lim()n x n n n

x x +→∞。

30．宽为6公分的长方形纸片，用其右下角折叠到左边的沿线上的B '处

（见图），问B '在什么位置时，折痕DC 为最短？

第四章、不定积分

1．（1）证明：奇函数的原函数是偶函数。（2）判断命题“偶函数

的原函数是奇函数”是否正确，如不正确，举反例说明。 2．设()F x 是()f x

的一个原函数，(1)4F =

，若当0x >

时，有()()f x F x =

，试求()f x 。 3．已知

sin x x

是函数()f x 的一个原函数，求3

()x f x dx '?。 计算下列不定积分：4。

1sin 1sin x dx x +-?； 5。22221,()()dx a b x a x b ≠++?； 6。2

max{1,}x dx ?

7．2411x dx x ++?； 8。4225x dx x x ++?； 9。22ln(1)1x x dx x ++?； 10

。

11． sin cos sin cos x x

dx x x

+?

； 12. 22221

(0)sin cos dx ab a x b x ≠+? 13.

sin cos 3sin cos x

x x x e dx x x e ++++?

14.

15.

16. 28

1(1)dx x x +? 17. 2

(arctan )x x dx ? 18. 求不定积分2

21

()

n n

I dx x a =+?的递推公式. 19. 22411x dx x x +++?

20.

21.

7

tan xdx ? 22.

351

sin cos dx x x ?

第五章、定积分及其应用 1．极限

222)1()21()11(lim

n

n n

n n n +++∞

→ 等于（ ）（A ）?212

ln xdx （B ）?21ln 2xdx （C ）?+21)1ln(2dx x （D ）?+212)1(ln dx x 2．证明不等式

22

4

22

2

e dx e e

x

x

≤≤?-。 3．设函数)(x f 在[]π,0上连续,且0)(0

=?π

dx x f ,

0cos )(0

=?

π

xdx x f 。试证：在()π,0内至少存在两个不同的点1ξ和2ξ，使 0)()(21==ξξf f .

4．设??

?

??<-=>=010,00

,1)(x x x x f ，?=x dt t f x F 0

)()(，下面结论中正确的是（ ） （A ）)(x F 在0=x 处不连续；

（B ）)(x F 在),(+∞-∞内连续，在0=x 处不可导；（C ）)(x F 在),(+∞-∞内可导，且满足)()(x f x F ='； (D) )(x F 在),(+∞-∞内可导，但不一定满足)()(x f x F ='。 5．设函数dt t x S x

?

=0

cos )(， （1）当n 为正整数，且ππ)1(+<≤n x n 时，证明)1(2)(2+<≤n x S n ；

（2）求极限

x

x S x )

(lim

+∞

→。 6．求函数?+=x tdt t x F 0arctan )1()(的极值．

7．把+

→0x 时的无穷小量???

===

x

x x

dt t dt t tdt 0

30

2

sin ,tan ,cos 2

γβα排列起来，使排在后面的是前

一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是（ ）（A ）γβα,, （B ）βγα,, （C ）γαβ,, (D) αγβ,,

８．利用递推公式计算积分?

=

2

sin π

xdx I n n ． ９．计算反常积分?

+∞

∞-++2

2)1(x x dx

．

１０．设XOY 平面上有正方形{}10,10|),(≤≤≤≤=y x y x D 及直线)0(:≥=+t t y x l ，若)(t S 表示正方形D 位于直线l 左下方部分的面积，试求

?

≥x

x dt t S 0

)0()(．

第六章、多元函数微分学 1．设函数???

??=+≠++=0

, 0 0 ,),(222

2242y x y x y x y x y x f ，则在)0 ,0(点处（ ）.

（A ）连续，偏导数存在；（B ）连续，偏导数不存在；（C ）不连续，偏导数存在；（D ）不连续，偏导数不存在。 2．设z y x u =

，则=??)2,2,3(y

u （ ）.（A ）3ln 4； （B ）3ln 8； （C ）3ln 324； （D ）3ln 162。

3．函数223333y x y x z --+=的极小值点是（ ）（A ）（0，0）；（B ）（2，2）；（C ）（0，2）；（D ）（2，0）。 4.已知函数),(y x f 在点(0,0)的某个邻域内连续, 且1)

(),(lim

2

220

=+-→→y x xy

y x f y x , 则（ ）.(A)点(0,0)不是),(y x f 的极值点； (B)点(0,0)是),(y x f 的极大值点.(C)点(0,0)是),(y x f 的极小值点；(D)根据所给条件

无法判断点(0,0)是否为),(y x f 的极值点.

5．)()(1y x y xy f x z +?+=，f 、?具有二阶偏导数，则=???y

x z

2 。

6．设),sin (22y x y e f z x +=，其中f 具有二阶连续偏导数， 则

=???y

x z

2 。 7.设)()(1y x y xy f x z ++=?,?,f 具有二阶连续导数, 则y

x z

???2=__________.

8.设)(x f y =由方程1)cos(2-=-+e xy e y

x 所确定,则曲线)(x f y =在点)1,0(处的法线方程为_______.

9．设函数),(y x z z =由方程0)2 ,(22=+-?y e z x z 确定，其中具有 ?连续偏导数，则

=??x z ， =??y

z

. 10．设3

2) , ,(z xy z y x f =，其中) ,(y x z z =是由方程03222=-++xyz z y x 所确定的隐函数，则=)1 ,1 ,1(x f 。

11.设二元函数),1ln()1(y x xe

z y

x +++=+则._________)0,1(=dz

12.函数),(v u f 由关系式)(]),([y g x y y xg f +=确定, 其中函数)(y g 可微, 且0)(≠y g , 则v

u f ???2=_______.

13．设),(y x f 具有连续的偏导数，且1)1,1(=f ，a f x =)1,1(，b f y =)1,1(。令)),(,(,()(x x f x f x f x =?，求)1(?，)1(?'。

14.设)(u f 具有二阶连续偏导数,且???

? ??+??? ??=y x yf x y f y x g ),(,求y x g y x g x ???-??2

2222. 15．设函数),,(z y x f u =具有连续偏导数，且),(y x z z =由方程z y x ze ye xe =-所确定，求du 。

16．设变换???+=-=ay

x v y x u 2，可把方程06222=??-???+??y z y x z x z 化简为02=???v u z

(其中z 有二阶连续偏导数)，求常数a 。 17．设函数)(x u u =由方程组??

?

??===

0),(0),,(

),(z x h z y x g y x f u 确定，其中h g f , ,可微，且0,0≠??≠??y g z h ，求dx du 。

18. 设)(x f 在),1[∞+上有连续的二阶导数，0)1(=f ，1)1(='f ，且二元函数 )()(2222y x f y x z ++= 满足

02

2

22=??+??y z

x z ，求)(x f 在),1[∞+的最大值。 19.过曲线72492

2

=+y x 在第一象限部分中哪一点作的切线 与原曲线及坐标轴之间所围成的图形面积最小？ 20．某公司可通过电台及报纸两种方式做销售

某商品的广告，据统计资料，销售收入R （万元）与电台广告费

(1x 之间有如下经验公式： 22212121211028321415),(x x x x x x x x R ---++=，求（1）在广告费用不限的情况下，求最优广告策略；（2）若提供的广告费用为万元5.1，求相应的最优广告策略。 21.求曲面1=++

z y x 的一张切平面，使其在三个坐标轴上的截距之积为最大。

22.求证：0 ,0 ,1≥≥≥y x n 时成立不等式 n n n y x y x )2

(2+≥+。

23.设),(y x z z =是由方程01821062

22=+--+-z yz y xy x 确定的函数,求),(y x z z =的极值点极值.

第七章、二重积分及其应用 1．计算D

I σ=

，其中D 是由222x y a +≤及222x y ax +≥所围成图形的公共部分。

2．计算

y x y

x

D

d d ??

，其中D 为由02,2,2=-==x y x y xy 所围成的第一象限部分． 3．计算

??D

ydxdy ，其中D 是由直线2-=x ，0=y ，2=y 以及曲线 22y y x --

=所围成的平面区域．

4．计算

()

3

max ,D

xy x d σ??，其中：(){}1101,,D x y x y =-≤≤≤≤．

5．求：

sin D

y

dxdy y ??，其中：D 是以()()()000111,,,,,为顶点的三角形区域． 6．求由直线x y x ==,2及曲线1=xy 所围成的平面区域面积．

7．求锥面22y x z +=被柱面x z 22=所割下部分的曲面面积．

8．估计积分22

10

1

100cos sin x y I d x y σ+≤=

++??

的值．

9。计算

221

()x y x y dxdy +≤+??

．

10．设函数()f u 连续, 区域{

}

22

(,)2D x y x y y =+≤, 则

()D

f xy dxdy ??等于（ ）（A

）11()dx f xy dy -??

（B ）

2sin 2

00

(sin cos )d f r dr π

θ

θθθ?? （C

）2

2()dy f xy dx ??

（D ）2sin 20

(sin cos )d f r rdr πθθθθ??

11．计算二重积分

2

21D

x

y d σ+-??，其中{}0101(,),D x y x y =≤≤≤≤．

12．设{}

0,0,4,2

2≥≥≤+=y x y x y x D ，()f x 为D 上的正值连续函数，,a b 为常数，

求：D

σ．

13．

设1,D

I σ=?? ??+=

D d y x I σ)cos(222, ??

+=D

d y x I σ2

223)cos(, 其中{}

221(,)D x y x y =+≤，则：

（ ）（A ）321I I I >>； （B ）123I I I >>； （C ）213I I I >>； （D ）312I I I >> 14．交换二次积分的积分顺序

11

2

(,)y

dy f x y dx --?

?

= ．

15．设区域2

2

2

{(,):}D x y x y R =+≤，则22

22()D

x y dxdy a b +??= ．

16．求由曲面228y x z --=，22y x z +=所围立体的体积．