第十一讲 随机变量的数字特征(数学期望)
第十一讲 随机变量的数字特征
随机变量的概率特性：分布函数、密度函数以及分布律等，在描述随机变量时具有全面、完整、详细的特点，但分析过程比较复杂，且重点不够突出。
如, 在评价一批棉花的质量时, 人们关心的往往不是纤维长度的具体分布，而是纤维的平均长度和纤维长度与平均长度之间的偏离程度。平均长度较大, 偏离程度较小,质量就好。
1. 数学期望——描述随机变量的平均值 引例 一射手进行打靶练习，射手一次射击得分数X 是一个随机变量。设X 的分布律为
P{X=k}=k p ,k=0,1,2.
现在射击N 次，其中得0分的有0a 次，得1分的有1a 次，得2分的有2a 次. 0a +1a +2a = N. 他射击N 次得分的总和为00?a +11?a +
22?a 。于是平均一次射击的得分数为
∑==?+?+?2
210210k k N a
k N a a a
射击的平均得分数描述了射手的射击水平。
这里N a k /是事件｛X=k ｝的频率。当N 足够大时，N a k /在一定意义下接近于事件｛X=k ｝的概率k p ，也就是说，随机变量X 的观察值的算术平均∑=2
0/k k N ka 在一定意义
下接近于
∑
=20k k kp 。我们称∑=2
0k k kp 为随机变
量X 的数学期望或均值。
第四章 随机变量的 数字特征
前面讨论了随机变量的分布函数, 从中知道随机变量的分布函数能完整地描述随机变量的统计规律性.
但在许多实际问题中, 人们并不需要去全面考察随机变量的变化情况, 而只要知道它的某些数字特征即可.
例如, 在评价某地区粮食产量的水平时, 通常只要知道该地区粮食的平均产量;
又如, 在评价一批棉花的质量时, 既要注意纤维的平均长度, 又要注意纤维长度与平均长度之间的偏离程度, 平均长度较大, 偏离程度小, 则质量就较好. 等等
实际上, 描述随机变量的平均值和偏离程度的某些数字特征在理论和实践上都具有重要的意义, 它们能更直接、更简洁更清晰和更实用地反映出随机变量的本质.
本章将要讨论的随机变量的常用数字特征包括: 数学期望、方差、相关系数、矩.
§1 数学期望
定义 设离散型随机变量X 的分布律为
,2,1,}{===i p x X P i i
若级数∑∞
=1
i i i p x 绝对收敛, 则称级数∑∞
=1
i i i p x 的
和为随机变量X 的数学期望，记为)(X E ，即 .)(1∑∞
==i i i p x X E （1.1）
定义 设连续型随机变量X 的概率密度为
)(x f ,若积分
?
∞
∞
-dx x xf )(
绝对收敛, 则称积分?∞
∞
-dx x xf )(的值为随机
变量X 的数学期望，记为)(X E ，即
.)()(?
∞
∞
-=
dx x xf X E （1.2）
数学期望简称期望，又称为均值。若X 服从某一分布，也称)(X E 为这一分布的数学期望。
例１ 甲, 乙两人进行打靶, 所得分数分别记为21,X X , 它们的分布律分别为 ,8.02.002101i p X
1.03.06.02
102i p X 试评定他们的成绩的好坏. 解：
())(8.18.022.01001分=?+?+?=X E ())(5.01.023.016.002分=?+?+?=X E 这就意味着，如果甲进行很多次的射击，那么，所得分数的算术平均就接近于1.8，而乙的算术平均接近于0.5分。
很明显，乙的成绩远不如甲的成绩。
例２ 有2个相互独立工作的电子装置, 它们的寿命)2,1(=k X k 服从同一指数分布,其概率密度为
?????≤>=-0,
00
,1)(/x x e x f x θθ
,.0>θ 若将这2个电子装置串联联接组成整机, 求整机寿命(以小时计)N 的数学期望. 解：由题意知，整机寿命N=min(X 1, X 2). （为求N 的数学期望，先求N 的概率密度）.
)2,1(=k X k 的分布函数为
??
?≤>-=-0,00
,1)(/x x e x F x θ 于是，N 的分布函数为
??
?≤>-=--=-0,
00
,1)](1[1)(/22
min x x e x F x F x θ 因而，N 的概率密度为
?????≤>=-0,00,2)(/2min x x e
x f x θ
θ
于是N 的数学期望为
.2
2)()(0
2min θ
θ
θ
=
==?
?∞
-
∞
∞-dx e
x
dx x xf N E x
例３ 按规定，某车站每天8:00~9:00和
9:00~10:00之间都恰有一辆客车到站, 但到站的时刻是随机的, 且两者到站的时间相互独立. 其规律为
到站时刻
8:10 9:10 8:30 9:30 8:50
9:50 概率
1/6 3/6 2/6 一旅客8:20到车站, 求他候车时间的数学期望.
()θ
θ
θθ
x
x
x x
x
x
e
e
dx
e dx
x f x F --
-
∞--=-===?
?11
)(0
()θ
x
e
x F x F 22
min 1)](1[1-
-=--=
dt
te dt dx dx dt x
t dx e
x
t x
??∞
-∞
-
=
=
=
=
222
2
,2.2θ
θ
θ
θ
θ
θ
原积分或则令求积分
不定积分的分部积分公式：
??'-='vdx u uv dx v u
定积分的分部积分公式：
[]??
-=b
a
b
a b
a
vdu uv udv
设dt te I t ?∞
-=0
，则
[
][]
1
0lim )
(0
000
=-==+??????--=---=-==∞-∞
-∞-∞→∞
-∞-∞
-∞-???
??t
t t
t t t t
t t e dt e dt e e t dt
e te e td dt te I
解：设旅客的候车时间为X(以分计).X 的分布律为 X 10 30 50 70 90
k
p
63 62
6161? 6361? 6261? 候车时间的数学期望为
（分） 22.276
2
619063
617061615062306310)(=?
?+?
?+??+?+?=X E
例４ 某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式. 记使用寿命为X (以年计), 规定:
.
3000,3;2500,32;
2000,21;
1500,1元一台付款元一台付款元一台付款元一台付款>≤<≤<≤X X X X
设寿命X 服从指数分布, 概率密度为 ()?????≤>=-.0,00,10110/x x e x f x
试求该商店一台电器收费Y 的数学期望. 解：先求寿命X 落在各个时间区间的概率，即一台收费Y 的分布律.
0952.0110
1}1{}1500{101
1
101
010
=-=???
???-==≤==---?e e dx
e X P Y P x x
0861.010
1}21{}2000{102
1012
1
102
1
10
=-=???
???-==≤<==----?
e e e dx e X P Y P x x
以Y 1表示“第一班车的到站时刻”，以Y 2表示事件“第二班车的到站时刻”，
则“顾客候车时间为10分钟”相当于P{Y 1=8:30}，
而“顾客候车时间为50分钟”相当于P{Y 1=8:10，Y 2=9:10}.
7408
.0}3{}3000{0779
.0}32{}2500{=>===≤<==x P Y P X P Y P
一台收费Y 的分布律为
Y
1500
2000
2500
3000
k p
0.0952 0.0861 0.0779 0.7408
Y 的数学期望
).(15.27327408.030000779.025000861.020000952.01500)(元=?+?+
?+?=Y E 即平均一台收费2732.15元。 例５ 设)(~λπX ,求E(X). 解：X 的分布律为
.0,,2,1,0,!
}{>==
=-λλλ
k k e
k x P k
X 的数学期望为
.!)
1(!
)(1
1
λλλ
λλλλλ
λ
=?=-==-∞
=-∞
=--∑∑e e k e
k e
k
X E k k k k
即E(X)=λ.
例６ 设),(~b a U X ,求E(X). 解：X 的概率密度为
???
??<<-=.
,0,1
)(其它b x a a
b x f
X 的数学期望为
[]
2
)(2)
(21
)()(E 222
b a a b a b x a b dx a
b x dx x xf X b a
b
a +=--=-=
-==?
?∞
∞
-
即数学期望位于区间(a,b)的中点。
∑∑∞
=--∞
=-=0
10
!!k k k k k k
e k e k λλλλ
λ
λ
λ
λ
λλe n k n
k k =++
++
+=-∑∞
=- !
!
21!
)
1(2
1
1
该级数的收敛半径为R=∞.
（课间休息）
2. 随机变量的函数的数学期望
定理1 设Y 是随机变量X 的函数: Y=g(x)（g 是连续函数）.
(i) X 是离散型随机变量，它的分布律为 P{X=x k }=p k , k=1,2,...,若∑∞
=1)(k k k p x g 绝对收敛，则有
[]∑∞
===1)()()(k k k p x g X g E Y E （1.3）
(ii)X 是连续型随机变量，它的概率密度为
)(x f .若?∞
∞-dx x f x g )()(绝对收敛，则有
[]?∞
∞
-==dx x f x g X g E Y E )()()()( （1.4）
注: (i)定理的重要性在于:求)]([X g E 时, 不必知道)(X g 的分布, 只需知道X 的分布即可. 这给求随机变量函数的数学期望带来很大方便;
(ii) 上述定理可推广到二维以上的情形, 即有
定理2 设),(Y X 是二维随机向量,
),(Y X g Z =, 且)(Z E 存在, 则
（1）若),(Y X 为离散型随机向量, 其概率分布为),2,1,(},{ ====j i p y Y x X P ij j i 则Z 的数学期望为
,),()],([)(11∑∑∞
=∞
===j i ij j i p y x g Y X g E Z E
（2） 若),(Y X 为连续型随机向量, 其概率密度为),(y x f 则Z 的数学期望为
.),(),()],([)(?
?
∞
∞-∞
∞
-==dx y x f y x g Y X g E Z E
例７ 设风速V 在（0，a ）上服从均匀分布，即具有概率密度
?????<<=.
,
00,1)(其它a v a
v f
又设飞机机翼受到的正压力W 是V 的函数，
2kV W =(k>0,常数)，求W 的数学期望。
解：
2030
2
23
13)()(ka v a k dv a
kv
dv v f kv W E a
a
=???
???===?
?∞∞
-
例８ 设随机变量),(Y X 的概率密度
??
?
??><<=.,0,1,1
,23
),(2
3其它x x y x y x y x f 求数学期望.1),(??
? ??XY E Y E 解：?
?
∞∞-∞
∞
-=dxdy y x yf Y E ),()(
??∞∞-∞∞-=dxdy y x f xy XY
E ),(1)1
(
以上两式中的被积函数取非零值的区域由以下三条曲线决定：x=1, y=x, y=1/x.结合图形知
[]??????
?
∞
∞∞∞∞∞-∞
∞
--
===??
????==1
2131131
123)21(ln 3ln 3ln 12323
),()(x
xd dx
x x dx y x dx dy y x y dxdy
y x yf Y E x
x
x x
.4
3212312343lim 1232ln 3lim )(ln 2132ln 31
213132121
2=?
?????-=+??????????-=+??????-=+???
???-=∞
∞∞→∞∞
→∞∞
???x dx x x x dx x
x x x d x x x x x .53
23),(1)1
(1
134=?
?
????==?
???∞
∞∞-∞∞-dx dy y x dxdy
y x f xy
XY E x x
3.数学期望的性质
（1）设C 是常数，则有;)(C C E =
（2）设X 是一个随机变量，C 是常数，则有
);()(X CE CX E =
（3）设X,Y 是两个随机变量，则有
);()()(Y E X E Y X E +=+
这一性质可推广到任意有限个随机变量之和
的情况.
（4）设Y X ,是相互独立的随机变量, 则有
)()()(Y E X E XY E =.
这一性质可推广到任意有限个相互独立的随机变量之积的情况.
性质3和性质4的证明：
以连续型随机变量为例。设二维随机变量(X,Y)的概率密度为),(y x f ，其边缘概率密度为)(x f X ，)(y f Y ，则
特注：若已知)()(E(XY)Y E X E =，并不能够断定X 和Y 相互独立。
dxdy
y x f y dxdy y x f x dxdy
y x f y x ),(),(),()(Y)E(X ------??
?
?
??
∞∞∞
∞
∞∞∞
∞
∞
∞∞
∞
+=+=+
)()(Y E X E +=.
又设X 和Y 相互独立，
).()()()()()(),(E(XY)------Y E X E dy y yf dx x xf dxdy
y f x yf x dxdy
y x f xy Y X Y X =????????????===???
?
??
∞
∞∞
∞∞∞∞
∞∞
∞∞
∞
例９ 一民航送客车载有20位旅客自机场开出, 旅客有10个车站可以下车. 如到达一个车站没有旅客下车就不停车. 以X 表示停车的次数, 求E (X ) (设每位旅客在各个车站下车是等可能的, 并设各旅客是否下车相互独立).
解：引入随机变量
??
?=站有人下车，在第站没有人下车，
在第i i X i ,1,010,,2,1 =i 则1021X X X X +++= ,且
)(E )()(E(X)1021X X E X E +++= 又第i 个旅客在第i 站下车的概率为10
1
，不下车的概率为
109，20个旅客在第i 站都不下车的概率为20109）（，因此，i X 的分布律为 20)109(}0{==i X P ，20)10
9
(-1}1{==i X P
10,,2,1 =i 因此，
10
,,2,1,1091109111090)E(X 20
2020
i =??
?
??-=??
?????
???? ??-?+???
???=i
)
(784.8109110)(10)(20次=???
?
??????? ??-=?=i X E X E 例１０ 设一电路中电流I(A)与电阻R(Ω)是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为
???≤≤=,,0,102)(其它，i i i g ?????≤≤=,
,0,309
)(2
其它，r r r h 试求电压V=IR 的均值。 解：)()()()(R E I E IR E V E ==
).(2
33681323613292)()(3
041
3303102V r i dr r di i dr r rh di i ig =?=???
??????????=????????????=????????????=????∞∞-∞∞-
选讲例题 某公司计划开发一种新产品市场，并试图确定该产品的产量。他们估计出售一件产品可获利ｍ元，而积压一件产品导致ｎ元的损失。再者他们预测销售量Y(件)服从指数分布，其概率密度为
()?????≤>=-.0,
00
,1/y y e y f y Y θθ，0>θ，
问若要获得利润的数学期望最大，应生产多少件产品（m, n, θ均为已知）？
解：假设实际生产x 件（0>x ）。随机变量Y 可以理解为市场的需求量，则能够获得的利润与Y 的函数关系如下：
获得利润的数学期望为
[]?∞
∞
-=dy y f y Q Y Q E Y )()()(
因0≤y 时，0)(=y f Y ，因此，
[]?∞
=0
)()()(dy y f y Q Y Q E Y
又)(y Q 为分段函数，因此以上积
??
?<--≥=x
Y Y x n mY x
Y mx ),(,
Q(Y)， 获得利润的数学期望为
[][]nx
ee n m n m dy e
mx dy e
y x n my dy
y f y Q Y Q E x x
y x
y Y -+-+=+--==-∞
--∞
???θθ
θ
θθθ
θ
//0
/0
)()(1
1
)()()()(
令[]0)()(/=-+=-n e n m Y Q E dx
d
x θ 得.ln ??
?
??+-=n m n x θ
而[]0)()(/22<+-=-θ
θx e n m Y Q E dx
d 故知当.ln ??
?
??+-=n m n x θ时E(Q)取得极大值，
且可知这也是最大值。
分化为
[][]??∞
+--=x
Y x
Y dy
y mxf dy
y f y x n my Y Q E )()()()(0
即
[][]??∞--+--=
x
y x
y dy e m x dy e y x n m y Y Q E θθ
θ
θ
/0
/1
1)()(
附录 （洛必达法则）
定理 设
（1） 当a x →时，函数)()(x F x f 及都趋于零；
（2） 在点a 的某取心领域内，)()(x F x f ''及都存在且0)(≠'x F ; （3） )
()
(lim
x F x f a
x ''→存在（或为无穷大）； 那末
.)()
()()(lim lim
x F x f x F x f a
x a
x ''=→→
特别声明，对于∞→x 时的未定式0
，以及对于a x →或∞→x 时的未定式∞
∞，洛必达法则同样成立。
随机变量的数字特征试题答案
随机变量的数字特征试题 答案 It was last revised on January 2, 2021
第四章 随机变量的数字特征试题答案 一、 选择（每小题2分） 1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（D ） A. E （X ）=，D （X ）= B. E （X ）=，D （X ）= C. E （X ）=2，D （X ）=4 D. E （X ）=2，D （X ）=2 2、设随机变量X 与Y 相互独立，且X~N （1，4），Y~N （0，1），令Y X Z -=，则D （Z ）= （C ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 6? 3、已知D （X ）=4，D （Y ）=25，cov （X ，Y ）=4，则XY ρ =（C ） A. 0.004 B. C. D. 4 4、设X ，Y 是任意随机变量，C 为常数，则下列各式中正确的是（D ） A ． D （X+Y ）=D （X ）+D （Y ） B ． D （X+C ）=D （X ）+C C ． D （X -Y ）=D （X ）-D （Y ） D ． D （X -C ）=D （X ） 5、设随机变量X 的分布函数为???? ???≥<≤-<=4, 14 2,12 2, 0)(x x x x x F ，则E(X)=（D ） A ． 31 B ． 21 C ．2 3 D ． 3 6、设随机变量X 与Y 相互独立，且)61,36(~B X ，)3 1 ,12(~B Y ，则)1(+-Y X D = （C ） A ． 34 B ． 37 C ． 323 D ． 3 26
7、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，)31 ,8(~B Y ，X 与Y 相互独立，则 )43(--Y X D =（C ） A ． -13 B ． 15 C ． 19 D ． 23 8、已知1)(=X D ，25)(=Y D ，XY ρ=，则)(Y X D -=（B ） A ． 6 B ． 22 C ． 30 D ． 46 9、设)3 1 ,10(~B X ，则)(X E =（C ） A ． 31 B ． 1 C ． 3 10 D ． 10 10、设)3,1(~2N X ，则下列选项中，不成立的是（B ） A. E （X ）=1? B. D （X ）=3? C. P （X=1）=0 D. P （X<1）= 11、设)(X E ，)(Y E ，)(X D ，)(Y D 及),cov(Y X 均存在，则)(Y X D -=（C ） A ． )(X D +)(Y D B ． )(X D -)(Y D C ．)(X D +)(Y D -2),cov(Y X D ．)(X D +)(Y D +2),cov(Y X 12、设随机变量)2 1 ,10(~B X ，)10,2(~N Y ，又14)(=XY E ，则X 与Y 的相关系数 XY ρ=（D ） A ． B ． -0.16 C ． D ． 13、已知随机变量X 的分布律为 25 .025.012p P x X i -，且E （X ）=1?，则常数x =( B) A ． 2 B ． 4 C ． 6 D ． 8 14、设随机变量X 服从参数为2的指数分布，则随机变量X 的数学期望是（C ） A. B. 0 C. D. 2 15、已知随机变量X 的分布函数为F(x)=?? ?>--other x e x 00 12，则X 的均值和方差分别为（D ）
四、随机变量的数字特征(答案)
概率论与数理统计练习题 、选择题: 二、填空题: 1 4.设随机变量 X 的密度函数为f(x) e |x| ( x )，则E(X) 0 三、计算题： 1.袋中有5个乒乓球，编号为1 , 2, 3, 4, 5，从中任取3个，以X 表示取出的3个球中最大编 号，求E(X) 解：X 的可能取值为3, 4, 5 E(X) 3 丄 4 色 5 3 4.5 10 10 5 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 系 _____ 第四章 专业 ______ 班 _________ 随机变量的数字特征(一) 学号 1 ?设随机变量 X 的可能取值为0, 1, 相应的概率分布为 0.6,0.3 , .01，则 E(X) 0.5 2 .设X 为正态分布的随机变量，概率密度为 f(x) 2?2 e (x 1)2 2 8 ，贝U E(2X 1) ，则 E(X 3X 2) 116/15 1 ?设随机变量X ,且 E(X)存在，则 E(X)是 (A )X 的函数 (B )确定常数 随机变量 (D )x 的函数 2 .设X 的概率密度为 f(x) 1 x e 9 9 0 ，则 E( 9X) 3 ?设 x x e 9 dx 1 (B) 9 x x e 9dx (C ) (D ) 1 是随机变量, E( )存在，若 ￥，则 E() E() (B)罟 (C ) E() P(X 3) 1 10 ， P(X 4) C 5 3 10 P(X 5) § 10
2 ?设随机变量X 的密度函数为f(X ) 2 (1 %)0甘它1，求E(X) 0 其它 2 3?设随机变量X~N(,)，求E(|X I) (1) Y 1 e 2X ( 2)Y 2 max{ X, 2} 解：(1) E(Y) 2x x 1 e e dx 0 3 (2) EM) 2 x 2e dx xe 0 2 x dx 2 2e 2 3e 2 2 2 e (3) E(Y 3) 2 e x dx 2e x 0 2 dx 1 c 2 c 2 」 2 3e 2e 1 e 概率论与数理统计练习题 ________ 系 _______ 专业 ______ 班 ___________________学号 _________ 第四章 随机变量的数字特征(二) 、选择题: 解：E(X) X 2(1 x)dx 解： |x (x )2 1 — dx 令y 2 y I y |e 2dy 4 .设随机变量 X 的密度函数为f (x) x 0 ，试求下列随机变量的数学期望。 x 0 (3) Y min{ X,2} 2 2~ 2 o ye dy
随机变量的数字特征
第四章 随机变量的数字特征 一、填空题 1. 设随机变量X 服从参数为1的指数分布，则数学期望____________)(2=+-X e X E 。 2. 若随机变量X 服从均值为2，方差为2 σ的正态分布，且3.0)42(=<
四、随机变量的数字特征(答案)
概率论与数理统计练习题 系 专业 班 学号 第四章 随机变量的数字特征（一） 一、选择题： 1．设随机变量X ，且()E X 存在，则()E X 是 [ B ] （A ）X 的函数 （B ）确定常数 （C ）随机变量 （D ）x 的函数 2．设X 的概率密度为910()9 00 x e x f x x -?≥?=??
随机变量的数字特征试题答案
第四章 随机变量的数字特征试题答案 一、选择（每小题2分） 1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（D ） A. E （X ）=，D （X ）=? B. E （X ）=，D （X ）= C. E （X ）=2，D （X ）=4? D. E （X ）=2，D （X ）=2 2、设随机变量X 与Y 相互独立，且X~N （1，4），Y~N （0，1），令Y X Z -=，则D （Z ）=? （??C?） A. 1 ? B. 3 C. 5? D. 6? 3、已知D （X ）=4，D （Y ）=25，cov （X ，Y ）=4，则XY ρ =（C ） A. 0.004? B. ? C. ? D. 4 4、设X ，Y 是任意随机变量，C 为常数，则下列各式中正确的是（?D ） A ． D （X+Y ）=D （X ）+D （Y ） ?B ． D （X+C ）=D （X ）+C C ． D （X-Y ）=D （X ）-D （Y ） ?D ． D （X-C ）=D （X ） 5、设随机变量X 的分布函数为???? ???≥<≤-<=4, 14 2,12 2, 0)(x x x x x F ，则E(X)=（D ） A ． 31 ?B ． 21 C ．2 3 ?D ． 3 6、设随机变量X 与Y 相互独立，且)61,36(~B X ，)3 1 ,12(~B Y ，则)1(+-Y X D =（C ） A ． 34 ? B ． 37 C ． 323 ? D ． 3 26 7、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，)3 1 ,8(~B Y ， X 与Y 相互独立，则)43(--Y X D =（C ） A ． -13 ? B ． 15 C ． 19 ? D ． 23 8、已知1)(=X D ，25)(=Y D ，XY ρ=，则)(Y X D -=（B ） A ． 6 ?B ． 22 C ． 30 ?D ． 46 9、设)3 1,10(~B X ，则)(X E =（C ） A ． 31 ?B ． 1 C ． 3 10 ?D ． 10 10、设)3,1(~2 N X ，则下列选项中，不成立的是（B ） A. E （X ）=1? B. D （X ）=3? C. P （X=1）=0? D. P （X<1）= 11、设)(X E ，)(Y E ，)(X D ，)(Y D 及),cov(Y X 均存在，则)(Y X D -=（C ） A ． )(X D +)(Y D ?B ． )(X D -)(Y D
第四章 随机变量的数字特征试题答案
第四章随机变量的数字特征试题答案 一、 选择（每小题2分） 1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（D ） A.E （X ）=0.5，D （X ）=0.5?B.E （X ）=0.5，D （X ）=0.25 C.E （X ）=2，D （X ）=4?D.E （X ）=2，D （X ）=2 2 Y X -=，则34） A C 5A 6、)1= （C ） A ．3 4?B ．3 7C ． 323?D ．3 26 7、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，)3 1 ,8(~B Y ，X 与Y 相互独立，则 )43(--Y X D =（C ） A ．-13? B ．15 C ．19? D ．23 8、已知1)(=X D ，25)(=Y D ，XY ρ=0.4，则)(Y X D -=（B ）
A ．6? B ．22 C ．30? D ．46 9、设)3 1 ,10(~B X ，则)(X E =（C ） A ．31? B ．1 C ．3 10?D ．10 10、设)3,1(~2N X ，则下列选项中，不成立的是（B ） A.E （X ）=1? B.D （X ）=3? C.P （X=1）=0? D.P （X<1）=0.5 11 A ．C ．12、XY ρ= （D 13x =(B) A ． 14、（C ） A.-15、为（A ．C ．21)(,41)(== X D X E ?D ．4 1 )(,21)(==X D X E 16、设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为
则)(XY E =（B ） A ．9 1-?B ．0 C ．9 1?D ．3 1 17、已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量X 的方差为（D ） A 18，0.5)，则A 19，则X A 20， 则21（B A C 22、设n X X X ,,,21 是来自总体),(2σμN 的样本，对任意的ε>0，样本均值X 所满足的切比雪夫不等式为（B ） A ．{}2 2 εσεμn n X P ≥ <-?B ．{} 22 1ε σεμn X P -≥<- C ．{}2 2 1ε σεμn X P - ≤≥-?D ．{}2 2 εσεμn n X P ≤ ≥-
第三章 随机变量的数字特征答案
第三章 随机变量的数字特征答案 一、1、35；2、 6175；;259,59,259, 563、σ σμ1 , =±=b a ； 4、()(),2 1212 1211 )(2 2 2 212111 2??? ? ??-- ---+-? = ? = = x x x x e e e x πππ ? ），（～所以2 1 1N ξ ，2 1 ,12 = ===σ ξμξD E 5、2 1-；6.a=2,b=0,或a=-2,b=2；32)(=ξE 或31 ； 7、()()125,01022===+=+=+=+a D a b a D b a b aE b a E ξξξξ 所以2,5 1 2,51=-=-== b a b a 或 8、()()6.2022,2=++=++=+ηξρηξηξηξηξξηD D D D Cov D D D ()()4.232,2=-+=-+=-ηξρηξηξηξηξξηD D D D Cov D D D 9、148，57； 10、()()()()n D a E D a E i i 2 2 ,,,σξ ξσξξ= ===所以 二、1、C 2、B 3、C 4、B 5、C 三、1、,2.03.023.004.02-=?+?+?-=ξE ()8.23.023.004.02222 2=?+?+?-=ξE ()() ()() ( )04.114,412,4.1353532 222=-==-=+=+ξξξξξξE E D D E E 2、ξ~[]10,0U ，()32512010,5210 02 =-==+=ξξD E ， 3 35=ξD 3、4)(,1)2 (==ξξ D D ，则 1)(,4)1(==-ξξ E D 所以0)1(=-ξE 所以 ()()()() 2 2 2111404E D E ξξξ-=-+-=+= 4、()()()()()()32323223,2D D D D Cov ξηξηξηξη-=+-=+-+- ()( )941225.6D D ξηρ=+-=
条件数学期望及其应用
条件数学期望及其应用 The ways of finding the inverse matrix and it ’s application Abstract ：The passage lists the ways of calculating the first type of curvilinear integral,and discusses it ’s application in geometry and in physical. Keywords ：Curvilinear integral;Continuous;Integrable; Lateral area. 0前言 在曲线积分中，被积函数可以是标量函数或向量函数.积分的值是路径各点上的函数值乘上相应的权重（一般是弧长，在积分函数是向量函数时，一般是函数值与曲线微元向量的标量积）后的黎曼和.带有权重是曲线积分与一般区间上的积分的主要不同点.物理学中的许多公式在推广之后都是以曲线积分的形式出现.曲线积分是物理学中重要的工具. 1条件数学期望 1.1条件数学期望的定义 定义1 设X 是一个离散型随机变量，取值为},,{21 x x ，分布列为 },,{21 p p .又事件A 有0)( A P ，这时 ,2,1,) () }({)|(| i A P A x X P A x X P P i i A i 为在事件A 发生条件下X 的条件分布列.如果有 A i i i p x | 则称 A i i i p x A X E |]|[ ． 为随机变量X 在条件A 下的条件数学期望（简称条件期望）． 定义2 设X 是一个连续型随机变量，事件A 有0)( A P ，且X 在条件A 之
随机变量的数字特征
随机变量的数字特征 讨论随机变量数字特征的原因 （1） 在实际问题中，有的随机变量的概率分布 难确定，有的不可能知道，而它的一些数字特征较易确定。 （2）实际应用中，人们更关心概率分布的数字特征。 （3）一些常用的重要分布，如二项分布、泊松 分布、指数分布、正态分布等，只要知道了它们的某些数字特征，就能完全确定其具体的分布。 §4.1 数学期望 一、数学期望的概念 1.离散性随机变量的数学期望 例4．1：大学一年级某班有32名同学，年龄情况如下： 解： 平均年龄=1 4810721 224218201019718217+++++?+?+?+?+?+? 25.19= 把上式改写为： 32 12232421328203210193271832217?+?+?+?+?+?
设X 为从该班任选一名同学的年龄，其概率分布为 定义4.1：设离散型随机变量X 的分布列为： 若 ∑k k k p x 绝对收敛（即 +∞ <=∑∑k k k k k k p x p x ），则称它为X 的 数学期望或均值（此时，也称X 的数学期望存在），记为E(X),即 若 ∑k k k p x 发散，则称X 的数学期望不存在。 说明： （1）随机变量的数学期望是一个实数，它体现了随机变量取值的平均； （2） 要注意数学期望存在的条件： ∑k k k p x 绝对 收敛； （3） 当X 服从某一分布时，也称某分布的数学 期望为EX 。 ∑=k k k p x EX
例4．2：设X服从参数为p的两点分布，求EX EX=p 例4．3：设X~B(n,p)，求EX EX=np 例4．4：设X服从参数为λ的泊松分布，求EX EX=λ 2.连续型随机变量的数学期望 定义4.2: 设连续型随机变量X 的概率密度为f(x).若积分 ?+∞∞-dx x xf) ( 绝对收敛，（即?∞∞ - +∞ < dx x f x) ( ），则称它 为X的数学期望或均值（此时，也称X的数学期望存在），记为E(X),即 ) ( ) (?∞∞- =dx x xf X E 若?∞∞ - +∞ = dx x f x) ( ， 则称X的数学期望不存在。 例4.5:设X服从U[a,b],求E(X)。 EX= 2b a+ 例4.6:设X服从参数为λ的指数分布，求EX EX=λ 例4.7: ) , ( ~2σ μ N X，求EX
随机变量的数字特征教案
§2.3.1随机变量的数字特征（二） 学习目标 1．熟练掌握均值公式及性质． 2．能利用随机变量的均值解决实际生活中的有关问题． 学习过程 【任务一】双基自测 1．分布列为 的期望值为 ( ) A ．0 B ．－1 C ．－13 D ．12 2．设E (ξ)＝10，则E (3ξ＋5)等于 ( ) A ．35 B ．40 C ．30 D ．15 3．某一供电网络，有n 个用电单位，每个单位在一天中使用电的机会是p ，供电网络中一天平均用电的单位个数是 ( ) A ．np (1－p ) B ．Np C ．n D ．p (1－p ) 4．两封信随机投入A 、B 、C 三个空邮箱中，则A 邮箱的信件数ξ的数学期望E (ξ)＝________ 【任务二】题型与解法 题型一 二项分布的均值 例1：一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中仅有一个选项正确．每题选对得5分，不选或选错不得分，满分
100分．学生甲选对任意一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个．分别求学生甲和学生乙在这次测验中成绩的均值． 跟踪训练1英语考试有100道选择题，每题4个选项，选对得1分，否则得0分．学生甲会其中的20道，学生乙会其中的80道，不会的均随机选择．求甲、乙在这次测验中得分的期望． 题型二超几何分布的均值 例2一名博彩者，放6个白球和6个红球在一个袋子中，定下规矩：
凡是愿意摸彩者，每人交1元作为手续费，然后可以一次从袋中摸出5个球，中彩情况如下表： 试计算：（1）摸一次能获得20元奖品的概率； （2）按摸10 000次统计，这个人能否赚钱？如果赚钱，则净赚多少钱？ 跟踪训练2厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品． （1）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验．求至少有1件是合格品的概率；
随机变量的数字特征
第四章随机变量的数字特征 【基本要求】理解随机变量的数学期望与方差的概念，掌握它们的性质与计算方法；掌握计算随机变量函数的数学期望方法；掌握二项分布、泊松分布、正态分布和指数分布的数学期望和方差；了解协方差、相关系数、矩的概念、性质及计算方法。 【本章重点】数学期望与方差的概念、性质与计算方法；求随机变量函数的数学期望的方法；二项分布、泊松分布、正态分布和指数分布的数学期望和方差。 【本章难点】数学期望与方差的概念计算方法；随机变量函数的数学期望的计算方法；协方差、相关系数、矩的概念、性质及计算方法 【学时分配】7-9学时 分布函数:) x F≤ =——全面描述随机变量X取值的统计规律。但是，在实际问题中 P X ) ( (x 分布函数的确定并不是一件容易的事，而且有时我们也不需要知道分布函数，只需知道随机变量的某些数字特征就够了。例如： 评价粮食产量，只关注平均产量； 研究水稻品种优劣，只关注每株平均粒数； 评价某班成绩，只关注平均分数、偏离程度； 评价射击水平，只关注平均命中环数、偏离程度。 描述变量的平均值的量——数学期望， 描述变量的离散程度的量——方差。 §4.1 数学期望 教学目的：使学生理解掌握随机变量的数学期望的实际意义及概念，会计算具体分布的数学期望； 使学生理解掌握随机变量函数的数学期望的计算及数学期望的性质。 教学重点、难点：数学期望的概念及其计算；随机变量函数的数学期望的计算及数学期望的性质。
教学过程： (一) 数学期望的概念 先看一个例子:一射手进行打靶练习,规定射入 区域2e 得2分, 射入区域1e 得1分,脱靶即射入 区域0e 得0分.设射手一次射击的得分数X 是一个 e 0 随机变量，而且X 的分布律为P{X=k}=k p ,k=0,1,2 现射击N 次，其中得0分0a 次，得1分1a 次，得2分2a 次，0a +1a +2a =N.则他射击N 次得分的总和为0a 0+ 1a 1+ 2a 2,他平均一次射击的得分数为 ∑==?+?+?2 210210k k N a k N a a a ，因为当N 充分大时, 频率k p 概率稳定值 ??→?N a k 。 所以当N 充分大时, 平均数∑=??→?2 k k k p x x 稳定值 。 显然,数值∑=2 k k k p x 完全由随机变量X 的概率分布确定,而与试验无关，它反映了平均数的大小。 定义: 1.离散型随机变量的数学期望:设离散型随机变量X 的分布律为{}k k P X x p ==，1,2,3k =…若级数1 k k k x p ∞ =∑绝对收敛，则称级数1 k k k x p ∞ =∑为随机变量X 的数学期望，记为()E X ,即()E X ＝1 k k k x p ∞ =∑。 2.连续型随机变量的数学期望:设连续型随机变量X 的密度函数为()f x ，若积分()xf x dx ∞ -∞ ?绝对 收敛，则称积分()xf x dx ∞-∞ ?的值为随机变量X 的数学期望，记为()E X 。即()E X ＝()xf x dx ∞ -∞ ?。 数学期望简称期望，又称为均值。 (二) 数学期望的计算 关键是：求出随机变量的分布律或者密度函数。 1、离散型——若 则()E X ＝1k k k x p ∞ =∑ （绝对收敛）
随机变量的数字特征(答案)
概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第四章 随机变量的数字特征（一） 一、选择题： 1．设随机变量X ，且()E X 存在，则()E X 是 [ B ] （A ）X 的函数 （B ）确定常数 （C ）随机变量 （D ）x 的函数 2．设X 的概率密度为910()9 00 x e x f x x -?≥?=??
条件数学期望及其应用
实用文档 文案大全条件数学期望及其应用 The ways of finding the inverse matrix and it's application Abstract：The passage lists the ways of calculating the first type of curvilinear integral,and discusses it's application in geometry and in physical. Keywords：Curvilinear integral;Continuous;Integrable; Lateral area. 0前言 在曲线积分中，被积函数可以是标量函数或向量函数.积分的值是路径各 点上的函数值乘上相应的权重（一般是弧长，在积分函数是向量函数时，一般是函数值与曲线微元向量的标量积）后的黎曼和.带有权重是曲线积 分与一般区间上的积分的主要不同点.物理学中的许多公式在推广之后都 是以曲线积分的形式出现.曲线积分是物理学中重要的工具. 1条件数学期望 1.1条件数学期望的定义 定义1设X是一个离散型随机变量，取值为},,{21?xx，分布列 为},,{21?pp.又事件A有0)(?AP，这时 ,2,1,)()}({)|(|??????iAPAxXPAxXPP iiAi
为在事件A发生条件下X的条件分布列.如果有 ???Aiii px| 则称 ??． Aiii pxAXE|]|[ 为随机变量X在条件A下的条件数学期望（简称条件期望）． 定义2设X是一个连续型随机变量，事件A有0)(?AP，且X在条件A 之 实用文档 ??????dxAXxf)|(称为随机变量文案大全下的条件分布密度函数为)|(Axf．若 X在条件A下的条件数学期望． 定义3设),(YX是离散型二维随机变量，其取值全体为 },2,1,),,{(??jiyx ii， 联合分布列为 ?,2,1,),,(????jiyYxXPp iiij， 在i yY?的条件下X的条件分布列为?,2,1),|(|????iyYxXPp iiji若 ???jiii px|， 则 ??? jiiii pxyYXE|]|[ 为随机变量X在i yY?条件下的条件数学期望． 定义4 设),(YX是连续型二维随机变量，随机变量X在yY?的条件下的条件密度函数为)|(|yxp YX，若 ??????dxyxpx YX)|(|， 则称
随机变量的数字特征归纳
第四章 随机变量的数字特征 ㈠ 数学期望 表征随机变量取值的平均水平、“中心”位置或“集中”位置． 1、数学期望的定义 (1) 定义 离散型和连续型随机变量X 的数学期望定义为 {}?????==?∑∞ ∞ - d )( )()( ， ， 连续型离散型x x xf x X x X k k k P E 其中Σ表示对X 的一切可能值求和．对于离散型变量，若可能值个数无限，则要求级数绝对收敛；对于连续型变量，要求定义中的积分绝对收敛；否则认为数学期望不存在． ①常见的离散型随机变量的数学期望 1、离散型随机变量的数学期望 设离散型随机变量的概率分布为 ，若，则称级数为随 机变量 的数学期望（或称为均值），记为 , 即 2、两点分布的数学期望 设 服从0—1分布，则有 ，根据定义， 的数学期望为 . 3、二项分布的数学期望 设 服从以 为参数的二项分布， ，则 。 4、泊松分布的数学期望 设随机变量 服从参数为的泊松分布，即，从而有 。 ①常见的连续型随机变量的数学期望 1)均匀分布
设随机变量ξ服从均匀分布，ξ～U [a，b] (a
随机变量分布及数字特征
第十章 随机变量分布及数字特征 10.1 随机变量 10.2 离散型随机变量分布 1、学时：2学时 2、过程与方法： 结合实例介绍随机变量概念，离散型随机变量的概率分布、分布列、分布函数、概率及性质. 3、教学要求： （1）掌握随机变量及离散型随机变量的概率分布、分布列、分布函数、概率及性质 （2）几种常见概率分布 教学重点：离散型随机变量的概率分布、分布列、分布函数、概率及性质 教学难点：离散型随机变量的分布函数 教学形式：多媒体讲授 教学过程： 一、新课教学内容 10.1 随机变量 概率论与数理统计是从数量上来研究随机现象的统计规律，因此我们必须把随机事件数量化． 在随机试验中，结果有多种可能性，试验结果样本点很多可以与数值直接发生关系，如产品检验，我们关心的是抽样中出现的废品件数．商店销售我们重视每天销售额，利润值．在投骰子中是每次出现的点数等． 但是也有不少试验结果初看与数字无直接关系，但我们可通过如下示性函数使之数值化，比如，产品合格与不合格令???=01ξ 不合格 合格 事件10A A X ?=??发生与否用 不发生发生 这些事件数值化后，数量是会
变化的称为变量．变量取值机会有大有小所以叫随机变量 ． 定义1：在某一随机试验中，对于试验的每一个样本点ω都唯一对应一个数，这样依不同样本点ω而取不同值的点叫随机变量．通常用希腊字母或大写英文字母X 、Y 、Z 等表示．用小写英文字母i i y x 、表示随机变量相应于某个试验结果所取的值． 举例： 1°投骰子出现的点数用随机变量X 表示，X 可取值为{ }，，，，，，654321 2°电信局话务台每小时收到呼叫次数用Y 表示，Y 可取值为{}Λ210，， 3°总站每五分钟发某一路车，乘客在车站候车时间{} 50≤≤=t t ξ 4°某一电子零件的寿命用{} 30000≤≤=t t T 按其取值情况可以把随机变量分成两类： （1）离散型随机变量：取有限个或无限可列个值．如例1°、2°． （2）非离散型随机变量：可在整个数轴上取值或取实数某部分区间的全部值．非离散型随机变量范围较广，本书只研究其中常遇见的一种称为连续型随机变量如例3°、4°． 例1 设有2个一级品，3个二级品的产品，从中随机取出3个产品，如果用X 表示取出产品中一级品的个数，求X 取不同值时相应概率． 解 X 可取值为{}210，， 101)0(3533===C C X P 53)1(352312===C C C X P 103 )2(35 1 322==C C C X P 例2 抛一枚匀称的硬币，引进一变量Y 令???=0 1Y 出现反面 出现正面求出现正面与反面概率： 解 21)0(= =Y P 2 1)1(==Y P 10.2 离散型随机变量分布 10.2.1 离散型随机变量的概率分布 例1 某汽车公司销售汽车数据表示在过去100天营业时间是有24天每天销售汽车是为0辆，38天
随机变量数字特征习题课
第12讲 随机变量的数字特征习题课 教学目的：掌握随机变量的数字特征，了解切比雪夫不等式和大数定律。 教学重点：理解数学期望和方差的概念，掌握它们的性质与计算，熟悉常用分布的数 学期望和方差。 教学难点：随机变量函数的数学期望。 教学时数：2学时 教学过程： 一、知识要点回顾 1. 随机变量X 的数学期望()E X 2. 对离散随机变量 ()()i i i E X x p x =∑ 3. 若1,2,i =，则假定这个级数绝对收敛，否则就没有数学期望。 4. 对连续随机变量 ()()E X xf x dx +∞ -∞ =? 5. 假定这个广义积分绝对收敛，否则就没有数学期望。 6. 随机变量X 的函数()g X 的数学期望[()]E g X ，其中()g X 为实函数。 7. 对离散随机变量 [()]()()i i i E g X g x p x =∑ 8. 对连续随机变量 [()]()()E g X g x f x dx +∞ -∞ =? 9. 假定所涉及的无穷级数绝对收敛，所涉及的广义积分绝对收敛。 10. 二维随机变量(,)X Y 的函数(,)g X Y 的数学期望[(,)]E g X Y ，其中(,)g X Y 为二元 实函数。 11. 对离散随机变量 [(,)](,)(,)i j i j i j E g X Y g x y p x y =∑∑ 12. 对连续随机变量 [(,)](,)(,)E g X Y g x y f x y dxdy +∞ +∞ -∞ -∞ =? ? 13. 假定所涉及的无穷级数绝对收敛，所涉及的广义积分绝对收敛。 14. 数学期望的性质（假定所涉及的数学期望都存在） 15. (), ()E c c c =为常数 16. ()(), ()E cX cE X c =为常数
§条件数学期望和条件方差
§2.6条件分布与条件数学期望 一、条件分布 我们知道随机变量的分布列全面地描述了随机变量的统计规律，如果要同 时研究两个随机变量，就需要他们的联合分布列，设二维随机变量（）的可 能取值为（）i.j=1.2…,为了计算联合分布列，利用乘法公式： 其中是表示在“”的条件下””的条件概率，常常记作 j=1.2…容易验证这时有 1） i=1.2… 2） 这说明具有分布列的两个性质， 事实上因而确是一个分布列，它描述了在””的条件 下，随机变量的统计规律，当然一般来说这个分布列与原来的分布列 不同，称为条件分布列。 如果（）的联合分布列已知，则边际分布列为： 从而 由对称性，同时还有 反过来，如果已知，（或，）也可求得联合分布列 。 设与相互独立 显然当与相互独立时，。 二、条件数学期望 既然是一个分布列，当然可以对这个分布列求数学期望； 1、定义 定义：设随机变量在“”条件下的条件分布列为，
又，则称为在“”条件下的条件数学期望，简称条件期望，记作。 例1：某射手进行射击，每次击中目标的概率为p(0 第四章 随机变量的数字特征 1． 解：令A 表示一次检验就去调整设备的事件，设其概率为p ，T 表示每次检验发现的次品个数，易知(10,0.1)T B ~，且(4,)X B p ~。 得， 0010119 1010(){1}1{1}1(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)0.2639p P A P T P T C C ==>=-≤=--=。 因为(4,)X B p ~，得()4 1.0556E X p =?=。 2． 解：1500 3000 2220 1500 ()()(3000)5001000150015001500x x E X xf x dx dx x dx +∞ -∞ -= =+-=+=?? ?。 3． 解：1 ()(2)0.400.320.30.2k k i E X x p ∞ == =-?+?+?=-∑； 2 21 (35)(35)170.450.3170.313.4k k i E X x p ∞ =+=+=?+?+?=∑ 22(35)3()513.4E X E X +=+=。 4．解：（1）0 ()(2)2()2 ()22(| )2x x x E Y E X E X xf x dx x e dx xe e dx +∞ +∞ +∞ --+∞ --∞ ==== =-+=???. （2）223300 1 1 33 ()()()|X x x x E Y E e e f x dx e dx e +∞ +∞ ----+∞ -∞ == = =-=??. 5．解：（1）3 33 1 1 1 ()10.420.230.42i i i ij i i j E X x p x p ? ==== ==?+?+?=∑∑∑. 3 3 3 1 1 1 ()10.300.410.30j j j ij j j i E Y y p y p ?======-?+?+?=∑∑∑. （２） 7 1 11 ()10.2(0.50.1)...0.50.10.1315i i i E Z z p ===-?+-?++?+?=-∑。 2 2 1 ()40.400.340.3 2.8 k k i E X x p ∞ ===?+?+?=∑ 随机变量的数字特征章节测试题 一、选择题(本大题共15个小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知随机变量X 满足D (X )＝2，则D (3X ＋2)＝( ) A ．2 B ．8 C ．18 D ．20 2．设服从二项分布X ～B (n ，p )的随机变量X 的均值与方差分别是15和45 4，则n 、p 的 值分别是( ) A ．50，1 4 B ．60，14 C ．50，3 4 D ．60，3 4 . 3．某次语文考试中考生的分数X ～N (90,100)，则分数在70～110分的考生占总考生数的百分比是( ) A ．68.26% B ．95.44% C ．99.74% D ．31.74% 4．某市期末教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正态分布，则由如图曲线可得下列说法中正确的是（ ） Ａ．甲学科总体的方差最小 Ｂ．丙学科总体的均值最小 Ｃ．乙学科总体的方差及均值都居中 Ｄ．甲、乙、丙的总体的均值不相同 5．设随机变量X 和Y 独立同分布，若记随机变量,=-=+U X Y V X Y ，则随机变量U 与V 必然（ ） Ａ．不独立 Ｂ．独立 Ｃ．相关系数不为零 Ｄ．相关系数为零 6．若X 是离散型随机变量，P (X ＝x 1)＝23，P (X ＝x 2)＝13，且x 1＜x 2.又已知E (X )＝4 3，D (X ) ＝2 9 ，则x 1＋x 2的值为( ) A.53 B.73 C.11 3 D ．3 7．已知X 为随机变量，且E (X ), D (X )均存在，则下列式子不成立的是( ) .[()]() .[()]2() .[()]0.[()]() =+=-==A E E X E X B E X E X E X C E X E X D D E X E X 8．设随机变量X 服从[,]a b 上的均匀分布，若1 ()2,()3==E X D X ，则均匀分布中的常 数,a b 的值分别为( ) .1,3.1,2.2,3.2,2========A a b B a b C a b D a b第四章 随机变量的数字特征课后习题参考答案
第四章随机变量的数字特征单元测试题