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矩阵的等价,相似合同的关系及应用

摘要 (1)

1引言 (2)

2矩阵间的三种关系 (2)

2.1 矩阵的等价关系 (2)

2.2 矩阵的合同关系 (3)

2.3. 矩阵的相似关系 (3)

3 矩阵的等价、合同和相似之间的联系与区别 (4)

3.1矩阵的相似与等价之间的关系与区别 (4)

3.2 矩阵的合同与等价之间的关系与区别 (5)

4矩阵的等价、合同和相似的应用 (6)

4.1矩阵等价的应用 (7)

4.2矩阵相似的应用 (9)

4.3矩阵合同的应用 (9)

4.4三种关系在概率统计中的应用 (10)

5结论 (12)

结束语 (12)

参考文献 (13)

摘要:

本文主要了解矩阵的三种的关系的性质、联系、区别及应用，总结它们之间的结论和定理并应用到各个相应的领域。并且详细说明了三者的相同点和不同点。关键字：

矩阵的等价关系及应用，矩阵的相似关系及应用，矩阵的合同关系及应用

1.引言

高等代数中我们讨论了矩阵的三种不同关系，它们分别为矩阵的等价、矩阵的相似和矩阵的合同等关系．那么为了更好的掌握它们，我们不仅要了解它们的定义、性质还要了解它们间的异同点，总结它们的规律，并且要了解它们在各个领域的应用，我们需要更好的知道在什么条件下等价、合同、相似是可以相互转化的，加什么条件才可以相互转化，如果不能相互转化，那么你能找到相应的特例吗？另外，三种矩阵的应用你知道它具体应用到什么领域吗?是如何应用的？

2.矩阵的三种关系

2.1矩阵的等价关系

定义2.1.1 : 两个s n ?矩阵,A B 等价的充要条件为：存在可逆的s 阶矩阵p 与可逆的 n 阶矩阵Q ，使得B PAQ =

矩阵A 与B 等价必须具备的两个条件：

（1）矩阵A 与B 必为同型矩阵（不要求是方阵）.

（2）存在s 阶可逆矩阵p 和n 阶可逆矩阵Q , 使B PAQ =. 2.1.2矩阵等价的性质：（1）反身性：即A A ?.

（2）对称性：若A B ?，则B A ?.

（3）传递性：若A B ?，B C ?，则A C ?. (4)A 等价于B 的充要条件是秩（A ）=秩（B ）

(5)设A 为m ×n 矩阵，秩（A ）=r ，则A 等价于????

??00

0r E ，即存在m 级可逆矩阵P ，n 级可逆矩阵Q ，

使

????

??=00

E PAQ .

(6)(Schur 定理) 任何n 级复方阵A 必相似于上三角形矩阵，即A 相似于?????

?n λλ0

其中n

λλ,,1 为矩阵A 的特征值.

定理2.2.1：若A 为m n ?矩阵，并且()r A r =，则一定存在可逆矩阵P （m 阶）和Q （n 阶），

使000r

m n

I PAQ B ???

???，其中r I 为r 阶单位矩阵. 推论2.2.1：设A B 、是两m n ?矩阵，则A B ?当且仅当()()r A r B =.

2.2 矩阵的合同关系

定义2.2.1 ：设,A B 均为数域p 上的n 阶方阵，若存在数域p 上的n 阶可逆矩阵p ，使得T P AP B =,则称矩阵为合同矩阵（若数域p 上n 阶可逆矩阵p 为正交矩阵），由矩阵的合同关系，得出矩阵A 与

B 合同必须同时具备的两个条件：

(1) 矩阵A 与B 不仅为同型矩阵而且是方阵. (2) 存在数域p 上的n 阶矩阵p ,T P AP B = 2.2.2矩阵合同的性质：

（1）反身性：任意矩阵A 都与自身合同.

（2）对称性：如果B 与A 合同，那么A 也与B 合同.

（3）传递性：如果B 与A 合同，C 又与B 合同，那么C 与A 合同. (4) 合同的两矩阵有相同的二次型标准型.

(5) 在数域P 上，任一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵. (6) 矩阵合同与数域有关.

因此矩阵的合同关系也是等价关系，而且由定义可以直接推得：合同矩阵的秩等. 定理2.2.1 ：数域F 上两个二次型等价的充要条件是它们的矩阵合同.

定理2.2.1 ：复数域上秩为r 的二次型，可以用适当的满秩线性变换化为标准形：

222

12r f y y y =++

2.3. 矩阵的相似关系

定义2.3.1 设,A B 均为数域p 上n 阶方阵，若存在数域p 上n 阶可逆矩阵p 使B AP P =-1,则称矩阵A 与B 为相似矩阵（若n 级可逆矩阵p 为正交阵，则称A 与B 为正交相似矩阵）. 由矩阵的相似关系，不难得到矩阵A 与B 相似，必须同时具备两个条件 (1) 矩阵A 与B 不仅为同型矩阵，而且是方阵 (2) 在数域p 上n 阶可逆矩阵P ，使得B AP P =-1 2.3.2相似矩阵的性质 (1)反身性 : T A E AE = ;

(2)对称性 :由T

B C AC =即得()

A C

--=;

（3）传递性: 111T A C AC =和2212T

A C A C =即得 ()()21212T

A C C A C C

(4) 1

11221122()P

k A k A P k P A P k P A P ---+=+（其中12,k k 是任意常数）；

(5）1

1212()()()P

A A P P A P P A P ---=；

(6）若A 与B 相似，则m A 与m B 相似（m 为正整数）； (7) 相似矩阵有相同的秩，而且，如果1

B P

AP -=为满秩矩阵，那么

()

P AP P A P -----==.

即满秩矩阵如果相似，那么它们的逆矩阵也相似. (8）相似的矩阵有相同的行列式；

即：如果1

B P

AP -=，则有：11

B P AP P

A P A --===

(9）相似的矩阵或者都可逆，或者都不可逆；并且当它们可逆时，它们的逆矩阵相似；设1

B P

AP -=，若B 可逆，则1

11()

P AP PA P -----==从而A 可逆.且1

-与1

-相似.

若B 不可逆，则1

()P AP -不可逆，即A 也不可逆.

下面这个性质是一个重要的结论，因此我们把它写成以下定理定理2.3.1 相似矩阵的特征值相同. 推论2.3.1 相似矩阵有相同的迹

3.矩阵的等价、合同和相似之间的联系与区别

3.1 矩阵的相似与等价之间的关系与区别

定理3.1.1相似矩阵必为等价矩阵，但等价矩阵未必为相似矩阵．

证明：设n 阶方阵,A B 相似，由定义3知存在n 阶可逆矩阵1P ，使得1

11P A P B -=，此时若记

1P P -=,1Q P = ,则有PAQ B =,因此由定义1得到n 阶方阵,A B 等价

但对于矩阵1000

0A ??=

???,1

210

0B ??

= ???

等价，A 与B 并不相似，即等价矩阵未必相似．但是当等价的矩阵满足一定条件时，可以是相似的，如下面定理

定理 3.1.2：对于n 阶方阵,A B ，若存在n 阶可逆矩阵,P Q 使PAQ B =,(A 与B 等价)，且PQ E = (E 为n 阶单位矩阵)，则A 与B 相似．

证明：设对于n 阶方阵A 与B ,若存在n 阶可逆矩阵,P Q ,使PAQ B =,即A 与B 等价．又知PQ E =,

若记11P P -= ,那么1Q P =,也即1

11P A P B -=,则矩阵,A B 也相似．

3.2 矩阵的合同与等价之间的关系与区别

定理3.2.1：合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为合同矩阵．

证明：设n 阶方阵,A B 合同，由定义2得，存在n 阶可逆矩阵1P ，使得11T

P AP B =，若记

P P =,1Q P =,则有PAQ B =因此由定义1得到n 阶方阵,A B 等价

但对于矩阵1

001A ??=

???,1201B ??

= ???

等价，A 与B 并不合同，即等价矩阵未必合同．

什么时候等价矩阵是合同的？

只有当等价矩阵的正惯性指数相同时等价矩阵是合同矩阵

3.3 矩阵的合同与相似之间的关系与区别

合同矩阵未必是相似矩阵

例单位矩阵 E 与 2E.

两个矩阵的正负惯性指数相同故合同但作为实对称矩阵的特征值不同, 故不相似相似矩阵未必合同

例如A 与B 相似，则存在可逆矩阵P 使B=P\BP ,如果P 的逆矩阵与P 的转置矩阵不相等，则相似矩阵不是合同矩阵

定理3.3.1：正交相似矩阵必为合同矩阵，正交合同矩阵必为相似矩阵．

证明：若存在一个正交矩阵P ,即T P P E =使得1P AP B -=即~A B ，同时有1T B P AP P AP -==，所以A 与B 合同.

同理可知，若存在一个正交矩阵P ，使得T P AP B =即A 与B 合同，则有

B P AP P AP A B -==?

定理3.3.2：如果A 与B 都是n 阶实对称矩阵，且有相同的特征根．则A 与B 既相似又合同．证明：设A 与B 的特征根均为n λλλ ,,21，由于A 与n 阶实对称矩阵，一定存在一个n 阶正交矩阵 Q 使得?????

??=-n AQ Q λλλ.

同时，一定能找到一个正交矩阵P 使得????

?=-n BP P λλλ.

，从而有BP P AQ Q 11--=

将上式两边左乘P 和右乘1

-P

,得(

)

(

)

(

1-------===QP

A QP

AQP

PQ B

由于T

Q Q E =，T P P E =，1

P P E -=

有()

()()

()

T Q P Q P

Q Q P

E -------====，所以，1

-P Q 是正交矩阵，由定

理知A 与B 相似．

定理3.3.3：若n 阶矩阵A 与B 中只要有一个正交矩阵，则AB 与B A 相似且合同．

证明：不妨设A 是正交矩阵，则A 可逆，取U=A ，有()()111

U ABU A ABA A A

BA ---===，则

AB 与B A 相似，又知A 是正交阵，由合同矩阵的定义知AB 与B A 既相似又合同．

定理3.3.4：若A 与B 相似且又合同，C 与D 相似也合同，则有???? ??C A 0

0与???

??D B 00 既相似又合同．证明: 因为A 与B ,C 与D 相似，则存在可逆矩阵1P ,2P ，使111122,P AP B P C P D --==，令1

200

P P P ??=

???，则1

11200

P P P ---??= ?

??且1000

A B

P P C D -?

???= ? ?????，故???? ?

?C A

00与???

?D B

00相似．又因为A 与B 合同，C 与D 合同，故存在可逆矩阵12,Q Q ，122,T T Q AQ B Q C Q D ==，令1

200

Q Q Q ??=

???

而1200T

T Q Q

Q ??= ???111122220000000

00000

T T T T T

Q Q A

A Q Q A Q Q Q Q C C Q Q C ????????????== ? ? ? ? ? ?????????

???? 112200

0T T

Q AQ D Q CQ ????=

? ???

? 故???? ??C A 00与???

??D B

00合同．

4.矩阵的等价、合同和相似在实际问题中的应用

4.1矩阵等价的应用

例4.4.1试从等价标准形的角度给出齐次线性方程组0m n A X ?=的一种解法．

解设A 的秩等于r ，存在m 阶可逆阵P 和n 阶可逆阵Q ，使000r

E PAQ ??

???

，于是线性方程组0A X =可化为

0000r E P

Q X --??= ???

，

记12

n y y Y Q X y -?? ? ?== ? ???

：

，则原方程组等价于 12

000

0r n y y E y ?? ??? ?= ? ??? ??

，即120r y y y ==== ．令()12

1,,,,,,r

r n

Q q q q q q += ，

容易验证12,,,r r n q q q ++ 都是0A X =的

解，从而它们构成0A X =的一基础解系． □

下面是具体的操作过程．首先构造矩阵

()n m n n

A B E +???

= ?

??，然后对矩阵B 作如下的初等变换：

对A （即B 的前m 行）作初等的行变换，对B 作初等的列变换，

则经过有限次上述的初等变换后，B 可变为

000r n

E A B E Q ???? ?

?=→ ? ? ?

???

，此时Q 的后n r -个列向量构成0A X =的一基础解系．

试从等价标准形的角度给出非齐次线性方程组m n A X b ?=的一种解法．

解下面仅给出具体的操作过程，至于其原理可按例19的方式得到．首先构造矩阵

()()

m n n A

b B E +?+??

??，然后对矩阵B 作如下形式的初等变换：对B 的前m 行(),A b 作行的初等变换，对B 的前n 列n A E ??

???

作列的初等变换，

则经过有限次上述变换后，B 可变为

00000r n

E A b b B E Q

'??

=→

? ??? ??

，

记11r r m b b b b b +?? ? ? ?'= ? ? ? ? ??? ，()121,,,,,,r r n Q q q q q q += ，此时可得如下的结论：A X b =有解当且仅当

120r r m b b b ++==== ；当120r r m b b b ++==== 时，1122r r b q b q b q +++ 是A X b =的一个特

解，12,,,r r n q q q ++ 是A X b =所对应的齐次线性方程组0A X =的一基础解系．试从等价标准形的角度给出可逆矩阵的逆矩阵的一种求法．

解设A 是个n 阶可逆阵，A 的秩等于n ，存在可逆阵P 和Q ，使PAQ E =，11A P Q --=，进而1A Q P -=．这给出了求逆矩阵的一种方法．

首先构造矩阵 220n n

A E

B E

???

??，然后对B 进行如下形式的初等变换：对B 的前n 行(),A E 进行初等的行变换，

对B 的前n 列A E ??

???

进行初等的列变换，则经过有限次上述变换后，B 可变为

00A E E P B E

????

=→

? ?????

，由此求得1

Q P -=．

4.2矩阵相似的应用例4.2.1判断矩阵1261

031

4A --???

?=-????--?? ， 3

202101

1C ??

=--?

???--??

是否相似？解：对A ，C 的特征矩阵E A λ-，E C λ-分别作初等变换可得：

E A λ-=12

4λλλ+-???

?-????-??→2

100

(1)λλ??

??-?

???-??

E C λ-=32

101

1λλλ--???

?+????-??→2

0100

(1)λλ??

??-?

???-??

所以A ，C 有相同的初等因子1λ-，2(1)λ-，所以A ，C 相似. 4.3矩阵合同的应用例4.3.1设?????

=12

1211

A ，?

???

??=430

01B ，??

??=10

211

C 。不难验证：B AC C T =即矩阵A ，B 合同，但A 的特征值为

1和

3；B 的特征值为 1和4

3。相似矩阵与合同矩阵还有着一定的内在联系，

即相似或合同的两矩阵分别有相同的秩。另外，在一定条件下，两者是等价的。若矩阵A ，B 正交相似时，则它们既是相似的又是合同的。

本题说明矩阵相似与合同在一定条件下是相通的。例4.3.2 已知????? ?

?=40

0040

004A ，????? ?

?=40

0140

014A ，???

?=20

0022

022

A 。试判断A ，

B ，

C 中哪些矩阵相似，哪些矩阵合同？

解：矩阵A 的秩和矩阵B,C 的秩不等，故A 不可能与B ，C 相似或合同，只有讨论B ， C 了；A 的秩为3，而B ，C 的秩为2，故A 和B ，C 既不相似又不合同，又B 的迹是8，而C 的迹是6，不相等，故B 和C 不相似，最后，C 是对称矩阵，而B 不是，所以，B 和C 也不合同。所以，矩阵A ，B ，C 相互之间既不相似又不合同。

4.4三种关系在概率统计中的应用

例4.4.1 某公司对所生产的产品通过市场营销调查得到的统计资料表明，已经使用本公司的产品客户中有60%表示仍回继续购买该公司产品，在尚未使用该产品的被调查者中，25%的客户表示将购买该产品，目前该产品在市场的占有率60%，能否预测n 年后该产品市场占有状况？解：设第i 年购买该公司产品的客户为i x ，不购买该公司产品的客户为i y ，则有 i i i y x x 25,06.01+=+，写成矩阵的形式：???? ??????

??=???? ??++i i i i y x y x 75.04.025.06

.011，其中，???

??=???? ??4.06.000y x ，令?

? ??=i i i y x U ，???

? ??=75.04.025.06

.0P ，则有01PU U =，022U P U =，……，0U P U n

n =，由()()35.01--=-λλλP E 得P 的特征值1λ=1，2λ=0.35，分别解()=-x P E λ0，i=1,2，得到相应的特征向量为()T

8,51=α，()

1,12-=α，令???

?-=18

T ，则???

??-=-5811

1311

T ，于是???? ??=-35.00

PT T

，则1

35.0001-???

??=T T P ，

???

? ?????? ??-???? ?????? ??-=4.06.058

35.000

11815

131n n U ，当n=5

时，计算5U ≈???

? ??641

.0385

.0。这说明该产品市场占有率将由0.6下降到0.385，因此该公司应根据这份预测报告分析原因，采取措施，才能保持并提高是市产场占有率。

例4.4.2某公司对职工进行分批脱产培训，现有在岗职工8000人，脱产培训2000人，计划每年从在岗职工中抽调30%的人参加脱产培训，而在培训人员中让60%的人结业回到工作岗位上，设n 年后在岗职工于脱产培训人数分别为,n n x y ，记为向量n n x y ??

???，若职工总人数不变.

求11n n x y ++?? ???与n n x y ?? ???的关系式，并写成矩阵形式11n n x y ++?? ???=n n x A y ??

???；

求n n x y ??

???

，且当n 充分大时，求在岗职工人数与脱产培训人数之比. 解：（1）110.70.6,0.30.4;n n n n n n x x y y x y ++=+=+ 得11n n x y ++?? ???=0.70.60.3

0.4n n x y ???? ?

?????=n n x A y ??

???

. （:1）（2）由（1）式可得n n x y ?? ???=n n n x A y ??

???，其中008000,2000x y ==，

为计算n n x y ??

???

，先求n A .

由E A λ-0.7

0.6

(0.1)(1)0.3

0.4

λλλλ--=

=----，

对于1λ=0.1，解（0.1E -A ）x=0，得基础解系(1,1)T

对于21,λ=解()0E A x -=，得基础解系(2,1)T -，令P=1

1??

?-??，则1

121113P --??

= ???

，1

0.1001P

AP -??=

???

. 1

10.10100010

A P P P P ---????∴== ?

?????

2121001111130

--??????= ?

? ?-????

?? 则 00000

0(210)2(110

)13(110)(1210)n

n n n

n x x x y A y y x y ----??

+-????

== ? ? ?-+???????

所以当n 充分大时，000021:():

()2:13

n n x y x y x y ≈

++=.

例4.4.3某公司对所生产的产品通过市场营销调查得到的统计资料表明，已经使用本公司的产品客户中有60%表示仍回继续购买该公司产品，在尚未使用该产品的被调查者中，25%的客户表示将购买该产品，目前该产品在市场的占有率为 60%，能否预测n 年后该产品市场占有状况？解：设第i 年购买该公司产品的客户为i x ，不购买该公司产品的客户为i y ，则有

10.60.25i i i x x y +=+，写成矩阵的形式

110.60.250.40.75i i i i x x y y ++??????= ? ? ???????，

其中000.60.4x y ????= ? ?????，令i i x y ????

? ???

??i=0.6

0.25U ， P=0.40.75，则有10200n

U U U U P U === 2，，n P P ，U ，

由 E λ=-P (1)(0.35)λλ--，得P 的特征值1210.35λλ==，。

分别解i E λ（-P ）x=0,i=1,2,得到相应的特征向量为()25,8,(1,1),T

αα==-1518

1T ??=

?-??令，则1

1118513T -??

?-??

，于是1

1000.35T

P T -??=

???，则1

100

0.35n

P T T -??=

???

，

5110

10.618100.35850.413n n U ????????=

? ? ? ?--????????，当

5n =时，计算5U ≈0.3850.641??

???

. 这说明该产品市场占有率将由0.6下降到0.385，因此该公司应根据这份预测报告分析原因，采取措

施，才能保持并提高是市产场占有率.

结论

关于矩阵的等价、合同、相似的关系和应用，我们得知了： 1. 合同矩阵一定是等价矩阵，等价矩阵不一定是合同矩阵 2. 相似矩阵一定是等价矩阵，等价矩阵不一定是相似矩阵

3. 对于n 阶方阵,A B ，若存在n 阶可逆矩阵,P Q 使PAQ B =,(A 与B 等价)，且P Q E = (E 为n

阶单位矩阵)，则A 与B 相似．

4. 等价矩阵的正惯性指数相同时等价矩阵是合同矩阵

5. 如果A 与B 都是n 阶实对称矩阵，且有相同的特征根．则A 与B 既相似又合同．

6. 若n 阶矩阵A 与B 中只要有一个正交矩阵，则AB 与B A 相似且合同．

7. 相似矩阵的特征值相同.

8. 相似矩阵有相同的迹.

9.若A 与B 相似且又合同，C 与D 相似也合同，则有???? ??C A

0与???

??D B

00 既相似又合同．

参考文献

[1] 智婕.矩阵的等价、相似、合同的联系[J].甘肃：牡丹江师范学院学报（自然科学版），2011:2-3

[2] 王晓玲.侯建文，矩阵的三种关系[J].山西：山西太谷师范学学报，2003:1-2

[3] 张禾瑞.高等代数[M].北京：高等教育出版社，1983.

[4] 廖玉怀.矩阵的等价关系探究[J].云南，云南文山学院数理系，2009，卷期页码

[5]Zhiwen Han.Michael A. Kruge.John C. Crelling.B.Arthur StankiewiczOrganic Geochemistry，爱思唯尔期刊,1994-1

[6]姚慕生.高等代数学[M].复旦：复旦大学出版社,1999.

[7]北大数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数[M].北京：高等教育出版社，1988 .

[8]李志惠，李永明.高等代数中的典型问题与方法[M].北京：科学出版社，2006.

[9]同济大学教研室. 线性代数[M].北京：高等教育出版社.，2001.

[10]阎家灏.线性代数[M].重庆：重庆大学出版社.，1994.

矩阵的合同-等价与相似的联系与区别

矩阵的合同，等价与相似的联系与区别一、基本概念与性质（一）等价： 1、概念。若矩阵A 可以经过有限次初等变换化为B ，则称矩阵A 与B 等价，记为A B ?。 2、矩阵等价的充要条件： A B ?.{P Q A B ?同型，且人r(A)=r(B)存在可逆矩阵和，使得PAQ=B 成立 3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。（二）合同： 1、概念，两个n 阶方阵A,B ，若存在可逆矩阵P ，使得A B ?P T AP B =成立，则称A,B 合同，记作A B ?该过程成为合同变换。 2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B 均为实对称矩阵，则A B ??二次型x T Ax 与x T Bx 有相等的E 负惯性指数，即有相同的标准型。（三）相似 1、概念：n 阶方阵A,B ，若存在一个可逆矩阵P 使得1B P AP -=成立，则称矩阵A,B 相似，记为~A B 。 2、矩阵相似的性质：

~A B 11~,~,~(,) |E-A |||,()(),T T k k A B A B A B A B E B A B tr A tr B A B λλ--=-?=前提，均可逆即有相同的特征值（反之不成立） r(A)=r(B) 即的逆相等 |A|=|B| 3、矩阵相似的充分条件及充要条件： ①充分条件：矩阵A,B 有相同的不变因子或行列式因子。 ②充要条件：~()()A B E A E B λλ?-?- 二、矩阵相等、合同、相似的关系（一）、矩阵相等与向量组等价的关系：设矩阵 12(,,,)n A λλλ=L ，12(,,,)m B βββ=L 1、若向量组（12,,,m βββL ）是向量组（12,,,n λλλL ）的极大线性无关组,则有m n ≤，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。而矩阵B 与A 亦不同型，虽然()()r A r B =但不能得出A B ?。 2、若m=n ，两向量组（12,,,n λλλL ）?（12,,,m βββL ）则有矩阵A,B 同型且()()~,,r A r B A B A B A B =??;r()()A r B A B =??。 3、若r()()A B A r B ??=?两向量组秩相同，?两向量组等价，即有1212(,,,)(,,,)n n A B λλλβββ?≠>?L L 综上所述：矩阵等价与向量等价不可互推。（二）、矩阵合同。相似，等价的关系。 1、联系：矩阵的合同、相似、等价三种关系都具有等价关系，因为三者均具有自反性、对称型和传递性。 2、合同、相似、等价之间的递推关系

矩阵的合同变换

矩阵的合同变换摘要：矩阵的合同变换是高等代数矩阵理论中，基本交换。在《高等代数》里，我们仅讨论简单而直接的变换，而矩阵的合同变换与矩阵相似变换，二次型等有着诸多相同性质和联系。关键词：矩阵秩合同对角化定义1：如果矩阵A 可以经过一系列初等变换变成B ，则积A 与B 等价，记为A B ? 定义2：设A ，B 都是数域F 上的n 阶方阵，如果存在数域F 上的n 阶段可逆矩阵P 使得1B P Ap -=，则称A 和B 相似A B : 定义3：设A ，B 都是数域F 上的n 阶矩阵，如果存在数域F 上的一个n 阶可逆矩阵P ，使得 T P AP B = 那么就说，在数域F 上B 与A 合同。以上三个定义，都具有自反性、传逆性、对称性、性。定理1：合同变换与相似变换都是等价变换证明：仅证合同变换，相似变换完全相似因为P 可逆，所以P 存在一系列初等矩阵的乘积，即1 2 m P Q Q Q =L 。此时7 11 T T T m n P Q Q Q -=L 边为一系列初等矩阵的乘积若111T T T T m n m B P AP Q Q Q AQ Q -==L L 则B 由A 经过一系列初等变换得到。所以A B ?，从而知合同变换是等价变换。定理2：合同变换与相似变换，不改变矩阵

从而11 1 ()PQ QP ---= 又由于1 111()()()QP QP T QP P TQT ----= 1()T T QP P TQ -= T QQ = 1 QQ -= E = 1 QP -∴为正交矩阵所以A B :且A B ? 定时5：两合同矩阵，若即PTAP B =，若A 为对称矩阵，则B 为对称阵，而两相似矩阵则不一定有些性质证明：A B ?即T P AP B =，若对称阵，则T A A = ()T T T B P AP = T T P A P = T P AP = B = 所以B 边为对称阵 [注]：相似矩阵对此结论不具有一般性，它在什么情况下成立呢？引理6：对称矩阵相似于对角阵?A 的每一个特征根λ有秩||I A n s λ-=-，S 为λ的重数.

线性代数关于等价、相似、合同的对比

定义2.5.3如果一个矩阵A经过有限次的初等变换变成矩阵B，则称A与B等价，记为A~B。等价具有反身性即对任意矩阵A，有A与A等价；对称性若A与B等价，则B与A等价传递性若A与B等价，B与C等价，则A与C等价。 2.5.5用矩阵的初等变换求解矩阵方程最常见的方程有以下两类：（1）设A是n阶可逆矩阵，B是n×m矩阵，求出矩阵X满足AX＝B 原理：AX＝B时（2）设A是n阶可逆矩阵，B是m×n矩阵，求出矩阵X满足XA＝B。解：由方程XA＝B XAA-1＝B A-1解为x= B A-1 要注意的是，矩阵方程XA＝B的解为x= B A-1，而不可以写成x= A-1B。因为X满足XA＝B X T满足A T X T＝B T从而有X T=（A T）-1 B T=（BA-1）T 所以，可以先用上述方法求解A T X T＝B T，再把所得结果X T转置即得所需的X＝BA-1。定义3.3.2（向量组的等价）如果向量组R能由向量组S线性表出，反之,向量组S也能由向量组R线性表出，则称向量组R与S等价。向量组之间的等价关系有下列基本性质：设A,B,C为三个同维向量组，则有定义5.2.1 设A和B是两个n阶方阵，如果存在某个n阶可逆矩阵p使得B=p-1AP。则称A 和B是相似的，记为A～B。

当两个n阶方阵A和B之间存在等式B=P-1AP时，我们就说A经过相似变换变成了B。同阶方阵之间的相似关系有以下三条性质：（1）反身性 A～A，这说明任意一个方阵都与自己相似。事实上，有矩阵等式（2）对称性若A～B则B～A，这说明A和B相似与B和A相似是一致的。事实上，有（3）传递性若A～B，B～C则A～CP，这说明当A和B相似，B和C相似时，A和C一定相似。事实上，由B=P-1AP，C=Q-1BQ即可推出C=Q-1P-1APQ=（PQ）-1A（PQ）定理5.2.1 相似矩阵必有相同的特征多项式，因而必有相同的特征值，相同的迹和相同的行列式。需注意的是A与B不一定有相同的特征向量。定理5.2.2n阶方阵A与对角阵P-1AP =相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。两个重要结论：（1）任意一个无重特征值的方阵一定相似于对角矩阵；（2）对角元两两互异的三解矩阵一定相似于对角矩阵；（3）若A中任一k的特征根对应有k个线性无关特征向量，则A一定与对角阵∧相似. 定义5.3.4 如果一个同维向量组不含零向量，且其中任意两个向量都正交（两两正交），则称该向量组为正交向量组。定义5.3.5 若是 R n中的一个正交向量组，且其中每个向量都是单位向量，则称这个向量组为标准正交向量组。（正交单位向量组）定理5.3.1 正交向量组必线性无关。必有向量组正交，且是标准正交组。(正交单位向量组) 定义5.3.5 如果n阶实方阵A满足，则称A为正交矩阵。定义5.4.1 设A，B都是n阶方阵，若存在正交阵P使得，则称A与B正交相似。定理5.4.3 （对称矩阵基本定理）对于任意一个n阶实对称矩阵A，一定存在n阶正交矩阵P，使得对角矩阵中的n个对角元就是A 的n个特征值。反之，凡是正交相似于对角矩阵的实方阵一定是对称矩阵。定理5.4.4 两个有相同特征值的同阶对称矩阵一定是正交相似矩阵定义6.1.3 设A，B都是n阶方阵，若存在可逆阵P使得。则称A与B合同。

初等变换与等价矩阵

第六讲初等变换与初等矩阵一、考试内容与考试要求考试内容矩阵的初等变换；初等矩阵；矩阵的等价．考试要求（1）掌握矩阵的初等变换及用途；（2）了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念．二、知识要点引入由于初等行变换具有不改变线性方程组的解、初等变换不改变矩阵秩等特点，初等变换在线性代数课程的学习中占有重要的作用，它的应用贯穿了全课程的内容，这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算，必须十分熟练．本讲通过对初等变换这个知识点的用途进行总结，学习相关内容． 1．初等变换与初等矩阵线性方程组的基本方法即中学课程中的消元法：用同解变换把方程组化为阶梯形方程组．线性方程组的同解变换有三种：①交换两个方程的上下位置．②用一个非0的常数乘某个方程．③把某个方程的倍数加到另一个方程上．以上变换反映在增广矩阵上就是三种初等行变换．（1）初等变换矩阵有以下三种初等行变换： ①交换两行的位置； ②用一个非0的常数乘某一行的各元素； ③把某一行的倍数加到另一行上．(称这类变换为倍加变换) ．类似地，矩阵还有相应的三种初等列变换，初等行变换与初等列变换统称初等变换．每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵（行最简形）．一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是惟一的，但是其非零行数和台角位置是确定的．一个矩阵用初等行变换化得的行最简形是惟一的．行最简形矩阵应用最多，它的特点是：非零行的第一个非零元素为1，且这些非零元所在的列的其他元素都是0．注：表示初等变换：r ：表示初等行变换； c ：表示初等列变换； i j r r ? ：将第i行与第j行进行对换， j i r kr + 将第i行各个元素的k倍加到第j行相应元素上；等等．（2）矩阵的等价矩阵之间的关系有三种情形：等价、相似与合同．其中相似与合同分别在第十四讲和第

矩阵等价与向量组等价的关系

矩阵等价与向量组等价的关系矩阵是指排成n行m列的一个数表。在线性代数中矩阵是一个重要而有力的工具，应用于线性代数的始末，与线性代数的每一章节内容都有牵连。向量是一个数组。如果向量仅有一个分量，它就是通常意义上的数；如果向量的分量有两个或三个，在解析几何中，它表示平面或空间的有向线段。在几何上与线性代数中向量的运算具有相同或相应的法则。向量可以作为特殊的矩阵，也可作为矩阵的一部分。n个m维列向量组成的向量组即可作成一个m×n矩阵。所以矩阵与向量组之间有着千丝万缕的联系。例如矩阵与其行向量组及列向量组均有相同的秩，方阵可逆的充要条件是其行（列）向量组线性无关等。但是矩阵的等价与向量组的等价却没有任何必然的联系！矩阵等价的定义：如果矩阵A可以经过有限次初等变换成为矩阵B，就称矩阵A与矩阵B等价。矩阵等价的两个充要条件：存在可逆矩阵P、Q，使得PAQ =B；A与B同型，且r(A)=r(B)。向量组的等价，是指两个向量组能相互线性表示。矩阵等价与向量组等价有如下关系： 1.两矩阵等价，它们的行向量组与列向量组不一定等价！（《2012考研数学复习大全》理工类338页有说明及具体反例） 2.两个向量组等价，它们作成的矩阵不一定等价！（向量组等价，两向量组中所含向量个数可以不同，但矩阵等价，两矩阵必定具有相同的行数与列数）在什么情况下矩阵等价其行向量组或列向量组等价呢？ 1.若矩阵A经初等列变换成为矩阵B，即存在可逆矩阵Q，使AQ=B，也可以写为（α1，α2，…，αn）Q=（β1，β2，…，βn），

此时可知B的列向量组可以由A的列向量组线性表示，因为Q为初等矩阵的乘积，所以可逆，对AQ=B两边右乘Q-1，有A=BQ-1，故A的列向量组可以由B的列向量组线性表示。此时可得A的列向量组与B的列向量组等价。 2.同理可知：若矩阵A经初等行变换成为矩阵B，则A的行向量组与B的行向量组等价。 3.矩阵进行初等行变换后，其列向量组不一定等价！矩阵进行初等列变换后，其行向量组不一定等价！（见《2012考研数学复习大全》理工类312页注）在什么情况下向量组等价其对应的矩阵也等价呢？ 1.若向量组A与向量组B均有n个列（行）向量，且两个向量组等价，则这两个向量组所作成的矩阵A与B等价！（因向量组A与向量组B等价，则它们有相同的秩，又A与B 作成的矩阵A与B有相同的行与列，且秩相等，故矩阵A与B等价） 2.要求两个向量组有相同个数的向量，是因为矩阵等价的首要条件是两矩阵具有相同的行数与列数，故只有对于均有n个向量的两个m维向量组A与B，才有可能讨论其对应的矩阵A与B是否等价。

矩阵的等价-合同-相似的联系与区别

目录摘要....................................................................................................................... I 引言. (1) 1矩阵间的三种关系 (1) 1.1 矩阵的等价关系 (1) 1.2 矩阵的合同关系 (1) 1.3. 矩阵的相似关系 (2) 2 矩阵的等价、合同和相似之间的联系 (3) 3矩阵的等价、合同和相似之间的区别 (6) 结束语 (6) 参考文献 (6)

摘要:等价、合同和相似是矩阵中的三种等价关系，在矩阵这一知识块中占有举足轻重的地位.矩阵可逆性、矩阵的对角化问题、求矩阵特征根与特征向量、化二次型的标准形等诸多问题的解决都要依赖于这三种等价关系. 根据等价、合同和相似的联系的研究的结论是其一可利用等价矩阵的性质来确定相似矩阵或合同矩阵的性质．其二可利用正交相似与正交合同的一致性，得到二者间彼此的转化．关键词:矩阵的等价;矩阵的相似;矩阵的合同;等价条件

引言：在高等代数中，讨论了矩阵的三种不同关系，它们分别为矩阵的等价、矩阵的相似和矩阵的合同等关系．本文首先介绍了这三种关系以及每种关系的定义，性质，相关定理及各自存在的条件，然后给出了这三种矩阵关系间的联系，即相似矩阵、合同矩阵必为等价矩阵，相似为正交相似，合同为正交合同时，相似与合同一致．还有矩阵的相似与合同之等价条件．并对这些结论作了相应的理论证明，最后给出了他们的区别和不变量. 1矩阵间的三种关系 1.1 矩阵的等价关系定义1 两个s n ?矩阵,A B 等价的充要条件为：存在可逆的s 阶矩阵p 与可逆的 n 阶矩阵Q ，使B PAQ = 由矩阵的等价关系，可以得到矩阵A 与B 等价必须具备的两个条件：（1）矩阵A 与B 必为同型矩阵（不要求是方阵）. （2）存在s 阶可逆矩阵p 和n 阶可逆矩阵Q , 使得B PAQ =. 性质1 （1）反身性：即A A ?. （2）对称性：若A B ?，则B A ? （3）传递性：即若A B ?，B C ?，则A C ? 定理1 若A 为m n ?矩阵，且()r A r =，则一定存在可逆矩阵P （m 阶）和Q （n 阶），使得000r m n I PAQ B ??? == ???.其中r I 为r 阶单位矩阵. 推论1 设A B 、是两m n ?矩阵，则A B ?当且仅当()()r A r B =. 1.2 矩阵的合同关系定义2 设,A B 均为数域p 上的n 阶方阵，若存在数域p 上的n 阶可逆矩阵p ，使得T P AP B =,则称矩阵为合同矩阵（若数域p 上n 阶可逆矩阵p 为正交矩阵），由矩阵的合同关系，不难得出矩阵A 与B 合同必须同时具备的两个条件： (1) 矩阵A 与B 不仅为同型矩阵，而且是方阵.

矩阵的合同,等价与相似的联系与区别

矩阵的合同，等价与相似的联系与区别 200509113 李娟娟一、基本概念与性质（一）等价： 1、概念。若矩阵A 可以经过有限次初等变换化为B ，则称矩阵A 与B 等价，记为A B ?。 2、矩阵等价的充要条件： A B ?.{P Q A B ?同型，且人r(A)=r(B)存在可逆矩阵和，使得PAQ=B 成立 3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。（二）合同： 1、概念，两个n 阶方阵A,B ，若存在可逆矩阵P ，使得A B ?P T AP B =成立，则称A,B 合同，记作A B ?该过程成为合同变换。 2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B 均为实对称矩阵，则A B ??二次型x T Ax 与x T Bx 有相等的E 负惯性指数，即有相同的标准型。（三）相似 1、概念：n 阶方阵A,B ，若存在一个可逆矩阵P 使得1B P AP -=成立，则称矩阵A,B 相似，记为~A B 。 2、矩阵相似的性质：

~A B 11~,~,~(,) |E-A |||,()(),T T k k A B A B A B A B E B A B tr A tr B A B λλ--=-?=前提，均可逆即有相同的特征值（反之不成立） r(A)=r(B) 即的逆相等 |A|=|B| 3、矩阵相似的充分条件及充要条件： ①充分条件：矩阵A,B 有相同的不变因子或行列式因子。 ②充要条件：~()()A B E A E B λλ?-?- 二、矩阵相等、合同、相似的关系（一）、矩阵相等与向量组等价的关系：设矩阵 12(,,,)n A λλλ= ，12(,,,)m B βββ= 1、若向量组（12,,,m βββ ）是向量组（12,,,n λλλ ）的极大线性无关组,则有m n ≤，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。而矩阵B 与A 亦不同型，虽然()()r A r B =但不能得出A B ?。 2、若m=n ，两向量组（12,,,n λλλ ）?（12,,,m βββ ）则有矩阵A,B 同型且()()~,,r A r B A B A B A B =?? r()()A r B A B =??。 3、若r()()A B A r B ??=?两向量组秩相同，?两向量组等价，即有1212(,,,)(,,,)n n A B λλλβββ?≠>? 综上所述：矩阵等价与向量等价不可互推。（二）、矩阵合同。相似，等价的关系。 1、联系：矩阵的合同、相似、等价三种关系都具有等价关系，因为三者均具有自反性、对称型和传递性。 2、合同、相似、等价之间的递推关系

矩阵的合同,等价与相似的联系与区别

矩阵的合同，等价与相似的联系与区别一、基本概念与性质（一）等价： 1、概念。若矩阵A可以经过有限次初等变换化为B，则称矩阵A与B等价，记为A = B。 2、矩阵等价的充要条件： A厂「 A.B同型，且人r（A）=r（B） A - B ：= { 存在可逆矩阵P和Q,使得PAQ=?立 3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。（二）合同： 1、概念，两个n阶方阵A,B，若存在可逆矩阵P，使得A三B P T AP二B 成立，则称A,B合同，记作A三B该过程成为合同变换。 2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B均为实对称矩阵，则A二B=二次型X T A X 与X T BX有相等的E负惯性指数，即有相同的标准型。（三）相似 1、概念：n阶方阵A,B，若存在一个可逆矩阵P使得B = P4AP成立，则称矩阵A,B相似，记为A~B。 2、矩阵相似的性质：

A T? B T, A k ~ B k,A- ~ B-(前提，A, B均可逆) |XE-A |=|XE -B|即A,B有相同的特征值(反之不成立) A ~ B r(A)=r(B) tr(A) =tr(B)即A,B的逆相等 |A|=|B| 3、矩阵相似的充分条件及充要条件: ①充分条件：矩阵A,B有相同的不变因子或行列式因子。 ②充要条件：A?Bu (.E—AtCE—B) 二、矩阵相等、合同、相似的关系 (一)、矩阵相等与向量组等价的关系：设矩阵 A 乂i,，2,||l, n)，B=C'1, -2JH, m) 1、若向量组(川，d )是向量组(’1,'2,川Jn )的极大线性无关组，则有m ^n，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。而矩阵B与A亦不同型，虽然r(A)=r(B)但不能得出A三B。 2、若m=n，两向量组('1,'2^1,'n)= ( -1, -2^1, -m )则有矩阵A,B 同型且 r(A)二r(B)二 A ?B, ALJ B, A 二 B r( A) = r (B)= Am B。 3、若A三B= r( A) = r(B)=两向量组秩相同，?二两向量组等价，即有 A 三 B =(1, ‘2,川，n)三Ci「2,川，常) 综上所述：矩阵等价与向量等价不可互推。 (二)、矩阵合同。相似，等价的关系。 1、联系：矩阵的合同、相似、等价三种关系都具有等价关系，因为三者均具有自反性、对称型和传递性。 2、合同、相似、等价之间的递推关系 ①相似=等价：A?B=A,B同型且r(A)=r(B)= A三B

合同与相似概念区别

代数中“合同”与“相似”概念的区别辨析在《高等代数》中队与多个矩阵有“合同”与“相似”的概念，关于这两组概念在定义上有很多相似的地方（合同——'B C A C =，相似——-1B C AC =），并且在《高等代数》在讲到“（欧式空间下）实对称矩阵的标准形”时有如下的定理：因此在这里给我们一种印象，即矩阵间的合同与相似在某种条件下画了=“”，这究竟是怎么回事，为此我们应该去深入的探求矩阵“合同”与“相似”之间的联系。这个过称是循序渐进的，在学习“双线性函数”后，又对这个问题有了更深刻的理解，并且大胆的估计，“合同”与“相似”在概念上的区别会是代数问题上的一类大问题，现在对这个问题的思考结果归纳如下让我们先从线性变换这一概念出发，我们知道在对线性空间上的线性变换的有关性质直接的进行研究是不好做的，为此我们引进了“线性变换的矩阵”这一概念，即在一个线性变换，n 维空间的一组基，一个n 阶矩阵之间建立起了一对一的关系，关系如图而我们知道同一个线性变换在不同的一组基下，它所对应的矩阵是不同的，而这些矩阵之间的关系我们把它定义为“相似”，并且我们可以知道这些相似矩阵之间有这样的关系1B X AX -=,X 为这两组基之间的过渡矩阵，回顾“相似”概念，我们可以看出，“相似”的提出时基于“线性变换”。“相似”是同一个线性变换在不同基下的矩阵之间的关系，我们在提炼一下，“相似”的出现是同一个线性变换在不同背景之下的不同的表现形式之间的关系，这对后面区别“合同”与“相似”有很重要的意义下面我们再来看看“合同”概念。《高等代数》在二次型的章节中对二次型化标准形的过程中首次提出了“合同“的概念。对一个二次型进行非退化的线性替换，这样的二次型的不同矩阵之间的关系定义为“合同”，即'B C A C =。而回顾“合同”的概念，我们可以发现，“合同”的概念是基于二次型的化简中产生的概念，而当我们学习了双线性函数的内容后就会发现“合同”的概念是基于双线性函数提出的,因此在这里我们有必要提出双线性函数的有关内容：双线性函数类比欧式空间中的线性变换是线性空间上的一种映射，所谓的“双线性”是指在固定一个自变量的情况下，另一个自变量满足“线性”的关系。为了研究着这种特殊的映射在空间下的性质，我们有引进了双线性函数的“度量矩阵”，并以此矩阵来研究双线性函数的有关性质。于是双线性函数与空间的一组基、一个n 阶矩阵也建立起了一种一一对应的关系，如图 1'n A n T T AT T AT -=对于任意一个级实对称矩阵，都存在一个级正交矩阵，使得 → 对空间元素的作用直接体现在基上变换的运算可反映在矩阵的运算上线性变换空间的一组基一个矩阵线性变换→ 对空间元素的作用直接体现在基上变换的运算可反映在矩阵的运算上双线性函数空间的一组基一个矩阵双线性函数

矩阵的三种等价关系

矩阵的三种等价关系摘要本文主要介绍矩阵的三种等价关系的定义及性质、各关系之间的不变量即等价不变量、合同不变量、相似不变量以及它们之间的联系。同时，也将λ-矩阵的等价关系与矩阵的相似关系加以联系，这样增加了矩阵相似方法的判断也加强了知识的衔接。关键字矩阵；矩阵的等价关系；矩阵的合同关系；矩阵的相似关系 A matrix of three equivalence relations Abstract This paper mainly introduces three kinds of equivalent relation matrix and the three equivalence relations with the nature of the property, the connection between them and the three kinds of relations that equivalent invariants, contract invariant, similar invariants. At the same time, will also be equivalent relation of matrix and matrix similarity relation to contact, which increases the matrix similarity method judgment also strengthened the convergence of knowledge. Key words matrix; the equivalence relation of matrix ;the contract relation of matrix ;the similar relation of matrix.

矩阵合同变换

矩阵的合同变换摘要：矩阵的合同变换是高等代数矩阵理论中，基本交换。在《高等代数》里，我们仅讨论简单而直接的变换，而矩阵的合同变换与矩阵相似变换，二次型等有着诸多相同性质和联系。关键词：矩阵秩合同对角化定义1：如果矩阵A 可以经过一系列初等变换变成B ，则积A 与B 等价，记为A B ? 定义2：设A ，B 都是数域F 上的n 阶方阵，如果存在数域F 上的n 阶段可逆矩阵P 使得1B P Ap -=，则称A 和B 相似A B 定义3：设A ，B 都是数域F 上的n 阶矩阵，如果存在数域F 上的一个n 阶可逆矩阵P ，使得T P AP B = 那么就说，在数域F 上B 与A 合同。以上三个定义，都具有自反性、传逆性、对称性、性。定理1：合同变换与相似变换都是等价变换证明：仅证合同变换，相似变换完全相似因为P 可逆，所以P 存在一系列初等矩阵的乘积，即12 m P Q Q Q =。此时71 1T T T m n P Q Q Q -=边为一系列初等矩阵的乘积若111 T T T T m n m B P AP Q Q Q AQ Q -== 则B 由A 经过一系列初等变换得到。所以 A B ?，从而知合同变换是等价变换。定理2：合同变换与相似变换，不改变矩阵的秩证明：由知，合同变换与相似变换都是等价变换，所以不改变秩定理3：相似矩阵有相同特征多项式证明：共1A B B P AP -= 1||det ||del I B I P AP λλ--=- 又因为I λ为对称矩阵所以11det ||||||I P AP P I A P λλ---=-

矩阵的等价标准形应用

第3讲矩阵的等价标准形的应用设矩阵m n A ?的秩rank A r =，则存在m 阶可逆矩阵P 和n 阶可逆阵Q ，使 00 0r E PAQ ??= ??? ，我们把000r E ?? ??? 称为A 的等价标准形．熟知两个同形矩阵等价当且仅当它们具有相同的秩，即它们具有相同的等价标准形．矩阵的等价标准形能帮助我们解决许多问题．例1 每个方阵A 均可写成A BC =，其中B 是可逆阵，C 是幂等阵（即2 C C =）．证设A 的秩rank A r =，则存在可逆阵P 和Q ，使000r E A P Q ?? = ??? ．记B PQ =， 100 0r E C Q Q -??= ??? ，显然B 是个可逆阵，2 C C =是个幂等阵，并且A BC =．例2 设n 阶方阵A 的秩rank A r =，证明存在可逆阵P ，使1 P AP -的后n r -行全是零．证存在可逆阵P 和Q ，使1000r E P AQ -??= ???，从而1 1 000r E P AP Q P --??= ??? 的后n r -行全是零．例3 设n 阶矩阵A 的秩rank A r n =<，证明存在非零n 阶矩阵B ，使0BA AB ==．证由例1知存在可逆阵1A 和幂等阵2A ，使12A A A =．记()1 21B E A A -=-，显然0B ≠，且 ()()11211212210BA E A A A A A A E A A AB --=-==?-?=．例4 设n 阶矩阵A ，B 满足AB E =，证明BA E =．证存在n 阶矩阵P ，Q ，使得000r E PAQ ?? = ??? ，这里r =rank A ，我们断言r n =．事实上，从AB E =易知 1 1 00 0r E PAQ Q B P Q B --???== ??? ， 11 000r E E Q BP --??=? ??? ，由此显然得到r n =，此时11PAQ Q BP E --==，从而111 E Q BP PAQ Q BAQ ---=?=，进而BA E =．例5 设n 阶幂等阵A （即2 A A =）的秩rank A r =，证明存在可逆阵P ，使

矩阵等价相似合同的关系

矩阵等价相似合同的关系等价指的是两个矩阵的秩一样。合同指的是两个矩阵的正定性一样，也就是说，两个矩阵对应的特征值符号一样。相似是指两个矩阵特征值一样。相似必等价，合同必等价。 1.等价矩阵：同型矩阵A，B的秩相等，那么A，B等价，即是随意两个秩相等的同型矩阵通过初等变换都可以相互转化相等与另一个。 2.相似矩阵的定义是:存在可逆矩阵P，使得P--1AP=B，则称B是A的相似矩阵。原因：A与B相似有一个必要条件就是A与B的特征值相同，即|B-aE|=|A-aE| 所以|B-aE|=|P--1||A-aE||P|，所以|B-aE|=|P--1AP-aP--1EP|，即|B-aE|=|P--1AP-aE|所以B=P--1AP 3.合同矩阵定义：若存在可逆矩阵C,使得C T AC=B，即A与B合同。对于合同矩阵要从二次型说起，二次型为：f=X T AX。可通过X=CY变换，即把X=CY带入，于是f=（CY)T A(CY)=Y T[C T AC]Y，其中令C T AC=B，即A与B合同。首先相似不一定合同，合同也不一定相似，但是如果相似或者合同则必然等价，而等价却不能反推出相似或者合同，原因是前者只能是对方阵，而后者则只需要同型。相似合同和等价都具有反身性。对称性和传递性，合同和相似能推出等价是因为他们的秩相等。而对于矩阵A只有当他是实对称矩阵时，存在C T AC=C--1AC，即这个时候矩阵合同和相似可以等价，这个时候C是正交矩阵，然而当C 不是正交矩阵时，则只能满足其中一个条件，或者说如果P--1AP=B,即A与B相似，但如果P不是正交矩阵，则不能称A与B合同，如果P T AP=B，即A与B合同，但是PP T≠I,则一样不能推出相似。相似必合同，合同必等价。等价就是矩阵拥有相同的r。矩阵合同，C T AC=B，矩阵乘以可逆矩阵他的r不变，r(B)=r(C T AC)=r(AC)=r（A），等价。同理两矩阵相似一定等价。矩阵相似一定合同，因为两矩阵相似，有相同的特征多项式和特征根，就一定有相同的r，惯性系数一定相同，可以化成相同的标准形，矩阵合同的充要条件是有相同的r和规范形（A、B都有其对应的对角形矩阵，结合定义即可推出），标准形相等规范形一定相等，所以相似一定合同。

等价、相似、合同的关系

矩阵等价、相似与合同的区别与联系等价、相似与合同是矩阵的三大变换.应了解其定义，关系及有关性険. 1）定义及相互之间的关系设川，舟是曲X并矩璋.若花 S阶可逆矩阵卩和用阶可逆矩阵0,使得PAQ=B t则称￡与j?等价，记为A=B■设〃是科谕方阵，若存在用阶可龙矩阵尸，使^P-i AP = Bf则称Z 与苏祸似，记为A -肌若存在闯阶可湮矩阵P使猱戸AP= E贝U称』与舟合同-记为4R ;若存总艸阶正交矩阵0 使得Q l AQ= Q^AQ= B则称M与E正交相f以.由定文可知其关系*如下图所示* 2）性质（1）等价、相似与合同都具有反身性、对称性及传递性，即 A - At At A a A （反身性）；若A", A~ R,则丹=』，E- A A｛对称性）；若』卷R, 若A", K?C则貝?C；若, B^C则/ = C（传递性）? （2） A = E O A 与耳司型＞且rank A = rank S?若rank 4 = F *则（￡A= r，称旨者为矩阵』的等价标准形 O O ⑶rank A= rank B ? det A - det B J A与E的释3E 澄7冃司“ 注听给閔都是必要条件，即由rank A= rank B?或det A = dctB ,或J4 与必的特征值相同不能筆知』?J!.但若/与J?都可对兔址，旦特花值相同，则4- J?.

（3）用正交相似变换可将/化简成 Q J AQ=Q-l AQ^ 对实对称矩阵/的这三种变换，一个比一个特殊，一个比一个限毛:更多，各有其优诀点?总的来说则为：限制越少则化简后的形式越简单，但变换后丢掉原矩阵的性质就越多.如（1）的形式量简单.但变换后只保留了秩不变：（2）的形式虽然比（1）稍复杂.叵变换后保留秩不变，对称性不变，正、负惯性指数不变；（3）的形式又更复杂一点，但变换后保留秩不变，对称性不变，正、负惯性指数不变，特征值不变.

矩阵的合同变换

矩阵的合同变换摘要：矩阵的合同变换是高等代数矩阵理论中，基本交换。在《高等代数》里，我们仅讨论简单而直接的变换，而矩阵的合同变换与矩阵相似变换，二次型等有着诸多相同性质和联系。关键词：矩阵秩合同对角化定义1：如果矩阵A 可以经过一系列初等变换变成B ，则积A 与B 等价，记为A B ? 定义2：设A ，B 都是数域F 上的n 阶方阵，如果存在数域F 上的n 阶段可逆矩阵P 使得1B P Ap -=，则称A 和B 相似A B 定义3：设A ，B 都是数域F 上的n 阶矩阵，如果存在数域F 上的一个n 阶可逆矩阵P ，使得T P AP B = 那么就说，在数域F 上B 与A 合同。以上三个定义，都具有自反性、传逆性、对称性、性。定理1：合同变换与相似变换都是等价变换证明：仅证合同变换，相似变换完全相似因为P 可逆，所以P 存在一系列初等矩阵的乘积，即12m P Q Q Q =。此时71 1T T T m n P Q Q Q -=边为一系列初等矩阵的乘积若111T T T T m n m B P AP Q Q Q AQ Q -== 则B 由A 经过一系列初等变换得到。所以A B ?，从而知合同变换是等价变换。定理2：合同变换与相似变换，不改变矩阵的秩证明：由知，合同变换与相似变换都是等价变换，所以不改变秩定理3：相似矩阵有相同特征多项式证明：共1A B B P AP -= 1||det ||del I B I P AP λλ--=- 又因为I λ为对称矩阵所以11det ||||||I P AP P I A P λλ---=- 1||||||P I A P λ-=- ||I A λ=- 注①合同不一定有相同特征多项式定理4：如果A 与B 都是n 阶实对称矩阵，且有相同特征根，则A 与B 相似且合同

解析矩阵间的等价、相似、合同变换关系及其应用

解析矩阵间的等价、相似、合同变换关系及其应用摘要：等价、合同和相似是矩阵中的三种等价关系，在矩阵这一知识块中占有具足轻重的地位。矩阵可逆性、矩阵的对角化问题、求矩阵特征根与特征向量、化二次型的标准形等诸多问题的解决都要依赖于这三种等价关系。本文先阐述了三种关系相关的定义、定理，并进行比较得出三种关系间的区别，结合实例具体体现三种关系的差别与应用。关键词：矩阵的等价、矩阵的相似、矩阵的合同引言随着技术的发展，矩阵在实际生产中发挥着越来越明显的作用，尤其是矩阵所具有的特点以及特有的变化方式，受到各行的重视。在高等代数中，讨论了矩阵的三种不同关系，它们分别为矩阵的等价、矩阵的相似和矩阵的合同等关系。本文首先介绍了这三种关系以及每种关系的定义，性质，相关定理及各自存在的条件，然后给出了这三种矩阵关系间的联系，即相似矩阵、合同矩阵必为等价矩阵，相似为正交相似，合同为正交合同时，相似与合同一致，还有矩阵的相似与合同之等价条件，并给出例子加以说明。一、矩阵的三种关系 1）矩阵的等价关系定义：两个S ×n 矩阵A ，B 等价的充要条件为：存在可逆的s 阶矩阵P 与可逆的n 阶矩阵Q ，使B =PAQ 。由矩阵的等价关系，可以得到矩阵A 与B 等价必须具备两个条件：（1）矩阵A 与B 为同型矩阵，不要求是方阵；（2）存在存在可逆的s 阶矩阵P 与可逆的n 阶矩阵Q ，使B =PAQ 。性质：（1）反身性：即A ≌A ；（2）对称性：若A ≌B ，则B ≌A ；（3）传递性：即若A ≌B ，B ≌C 则A ≌C ； 2）矩阵的合同关系定义：设A ，B 均为数域p 上的n 阶方阵，若存在数域p 上的n 阶可逆方阵P ，使得B AP P ='则称矩阵A 与B 为合同矩阵（若若数域p 上n 阶可逆矩阵p 为正交矩阵），由矩阵的合同关系，不难得出矩阵A 与B 合同必须同时具备的两个条件：（1）矩阵A 与B 不仅为同型矩阵，而且是方阵。（2）存在数域p 上的n 阶矩阵P ，B AP P ='。

矩阵的等价,合同,相似的联系与区别

目录摘要 ............................................................................................................... I 引言 . (1) 1矩阵间的三种关系 (1) 1.1 矩阵的等价关系 (1) 1.2 矩阵的合同关系 (1) 1.3. 矩阵的相似关系 (2) 2 矩阵的等价、合同和相似之间的联系 (3) 3矩阵的等价、合同和相似之间的区别 (5) 结束语 (6) 参考文献 (6)

引言：在高等代数中，讨论了矩阵的三种不同关系，它们分别为矩阵的等价、矩阵的相似和矩阵的合同等关系．本文首先介绍了这三种关系以及每种关系的定义，性质，相关定理及各自存在的条件，然后给出了这三种矩阵关系间的联系，即相似矩阵、合同矩阵必为等价矩阵，相似为正交相似，合同为正交合同时，相似与合同一致．还有矩阵的相似与合同之等价条件．并对这些结论作了相应的理论证明，最后给出了他们的区别和不变量. 1矩阵间的三种关系 1.1 矩阵的等价关系定义1 两个s n ?矩阵,A B 等价的充要条件为：存在可逆的s 阶矩阵p 与可逆的 n 阶矩阵Q ，使B PAQ = 由矩阵的等价关系，可以得到矩阵A 与B 等价必须具备的两个条件：（1）矩阵A 与B 必为同型矩阵（不要求是方阵）. （2）存在s 阶可逆矩阵p 和n 阶可逆矩阵Q , 使得B PAQ =. 性质1 （1）反身性：即A A ?. （2）对称性：若A B ?，则B A ? （3）传递性：即若A B ?，B C ?，则A C ? 定理1 若A 为m n ?矩阵，且()r A r =，则一定存在可逆矩阵P （m 阶）和 Q （n 阶），使得00 0r m n I PAQ B ??? == ???.其中r I 为r 阶单位矩阵. 推论1 设A B 、是两m n ?矩阵，则A B ?当且仅当()()r A r B =. 1.2 矩阵的合同关系定义2 设,A B 均为数域p 上的n 阶方阵，若存在数域p 上的n 阶可逆矩阵 p ，使得T P AP B =,则称矩阵为合同矩阵（若数域p 上n 阶可逆矩阵p 为正交矩阵），由矩阵的合同关系，不难得出矩阵A 与B 合同必须同时具备的两个条件： (1) 矩阵A 与B 不仅为同型矩阵，而且是方阵. (2) 存在数域p 上的n 阶矩阵p ,T P AP B =

矩阵的合同,等价与相似的联系与区别

~A B 11~,~,~(,) |E-A |||,()(),T T k k A B A B A B A B E B A B tr A tr B A B λλ--=-?=前提，均可逆即有相同的特征值（反之不成立） r(A)=r(B) 即的逆相等 |A|=|B| 3、矩阵相似的充分条件及充要条件： ①充分条件：矩阵A,B 有相同的不变因子或行列式因子。 ②充要条件：~()()A B E A E B λλ?-?- 二、矩阵相等、合同、相似的关系（一）、矩阵相等与向量组等价的关系：设矩阵 12(,,,)n A λλλ=，12(,,,)m B βββ= 1、若向量组（12,,,m βββ）是向量组（12,,,n λλλ）的极大线性无关组,则有m n ≤，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。而矩阵B 与A 亦不同型，虽然()()r A r B =但不能得出A B ?。 2、若m=n ，两向量组（12,,,n λλλ）?（12,,,m βββ）则有矩阵A,B 同型且()()~,,r A r B A B A B A B =??r()()A r B A B =??。 3、若r()()A B A r B ??=?两向量组秩相同，?两向量组等价，即有1212(,,,)(,,,)n n A B λλλβββ?≠>? 综上所述：矩阵等价与向量等价不可互推。（二）、矩阵合同。相似，等价的关系。 1、联系：矩阵的合同、相似、等价三种关系都具有等价关系，因为三者均具有自反性、对称型和传递性。 2、合同、相似、等价之间的递推关系

矩阵的等价,相似 合同的关系及应用

矩阵的合同-等价与相似的联系与区别

矩阵的合同变换

线性代数关于等价、相似、合同的对比

初等变换与等价矩阵

矩阵等价与向量组等价的关系

矩阵的等价-合同-相似的联系与区别

矩阵的合同,等价与相似的联系与区别

矩阵的合同,等价与相似的联系与区别

合同与相似概念区别

矩阵的三种等价关系

矩阵合同变换

矩阵的等价标准形应用

矩阵等价相似合同的关系

等价、相似、合同的关系

矩阵的合同变换

解析矩阵间的等价、相似、合同变换关系及其应用

矩阵的等价,合同,相似的联系与区别

矩阵的合同,等价与相似的联系与区别

矩阵的等价,相似合同的关系及应用