八年级数学上册探索勾股定理(第一课时)教案

探索勾股定理教学设计第（一）课时

教学设计思想：

本节内容需三课时讲授；勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论.本节意图让学生自己经过观察、归纳、猜想和验证，发现勾股定理.初中学生思维活跃，求知欲强，好奇心浓，所以处理教材内容上尽量发挥学生的学习主动性.设计方格纸上计算面积，用拼图的方法验证等活动，以真正实现学生在知识、智力、能力和全面提高.为面向全体学生，进行小组合作学习，通过交流、议论、取长补短，引导学生团结协作，互帮互学，从而达到共同提高的目的.

教学目标：

（一）知识与技能

1．体验勾股定理的探索过程，由特例猜想勾股定理，再由特例验证勾股定理．

2．会利用勾股定理解释生活中的简单现象．

（二）过程与方法

1．在学生充分观察、归纳、猜想、探索勾股定理的过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想．

2．在探索勾股定理的过程中，发展学生归纳、概括和有条理地表达活动过程及结论的能力．

（三）情感、态度与价值观

1．培养学生积极参与、合作交流的意识．

2．在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐，锻炼学生克服困难的勇气．

教学重点

探索和验证勾股定理．

教学难点

在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理．

教学方法

交流—探索—猜想．

在方格纸上，同学们通过计算以直角三角形的三边为边长的三个正方形的面积，在合作交流的过程中，比较这三个正方形的面积，由此猜想出直角三角形的三边关系．

教具准备

学生每人课前准备若干张方格纸、投影片

教学安排

3课时.

教学过程

Ⅰ．创设问题情境，引入新课

［师］上面三个小问题是我们以前讨论过的，我们简单的回忆一下．

［生］（1）三角形按角的大小来分类可分为：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形；

（2）对于一般三角形来说，我们可以用SAS（边角边）、ASA（角边角）、AAS（角角边）、SSS（边边边）来判断两个三角形全等；而对于直角三角形来说，除以上四种方法外，还可以用HL（即有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等）．

（3）两个直角三角形，有两边对应相等，有两种情况：

第一种情况：两条直角边对应相等，这时，我们可注意到它们的夹角也对应相等，利用SAS可判断它们全等．

第二种情况：一条直角边和斜边对应相等，利用HL公理即可判断它们全等．

综上所述，两个直角三角形，如果有两边对应相等，则这两个直角三角形全等．

［师］我们可以注意到直角三角形有它独有的一些特征．在我们学习和生活中，你是否还发现直角三角形的其他特征呢？

这节课，我们就来继续研究直角三角形．

Ⅱ．讲述新课

1．问题串

［师］

［生］在图1中，正方形A含1个小方格，所以它的面积是1个单位面积；正方形B 含1个小方格，所以B的面积也是1个单位面积；正方形C含2个小方格，所以C的面积是2个单位面积．

［师］如何求得正方形C的面积呢？

［生］正方形C 可划分为四个直角边长都为1个单位的四个全等的等腰直角三角形，

所以C 的面积为4×（21

×1×1）=2个单位面积．

［生］我们观察可发现，这四个等腰直角三角形重新拼摆，刚好可拼摆成2个小方格，所以C 的面积为2个单位面积．

［生］正方形C 还可以看成边长为2个单位的正方形面积的一半，即C 的面积为21

×22

=2

个单位面积．

［师］同学们能够不拘一格地积极思考问题，用多种方法去求得图1中C 的面积，值得发扬广大，那么图2，图3中的A ，B ，C 的面积是否可借鉴图1中的A ，B ，C 的求法获得呢？请与你的同学们讨论、交流。

［生］图2中，A 含有9个小方格或者说正方形A 的边长是3个单位长度，都可以求得A 的面积是9个单位面积；同理可求得B 含有9个小方格，所以B 的面积为9个单位面积；对于正方形C 来说，我们观察可发现它含有18个小方格，所以C 的面积为18个单位面积． ［师］看来，同学们已能从图2中很容易地就求得了A ，B ，C 的面积．是不是在求C 的面积时也和图1相类似，有多种求法呢？

［生］是的．在正方形C 中，我们可以把它的边缘的12个全等的等腰直角三角形拼摆成6个小方格，再加上中间的12个小方格，正方形C 共含有18个小方格，所以它的面积为18个单位面积；我们也可以把C 分割成四个直角边为3个单位长度的等腰直角三角形，

也可算得C 的面积为4×（21

×32

）=18个单位面积．

［生］如果把组成C 的四个等腰直角三角形沿正方形的边向外翻，我们观察又可发现C

在边长为6个单位长度的正方形中，并且C 的面积恰好是这个正方形面积的一半即21

×62

=18

个单位面积．

［生］图3与图1，图2类似，所以我们可用同样的方法观察求得A ，B ，C 各含4个，4个，8个小方格，面积分别为4个，4个，8个单位面积．

［师］把三个图中A ，B ，C 的面积分别填入上面的表格中，你能发现它们的关系吗？ ［生］C 的面积=A 的面积+B 的面积． （表格略）

［师］很好！但是A ，B ，C 的面积为什么会有这种关系呢？我们接着观察这三个图，你能发现什么？

［生］在前面您说过这节课我们主要研究直角三角形，而在这三个图中，都是三个正方形围着一个直角三角形．

［师］的确如此，从图中我们可以发现：三个正方形好像是“长”在直角三角形的三边上．

［生］这说明三个正方形的边长分别是以直角三角形的三边为边长得到的．

［师］那么，（3）的结论即C的面积=A的面积+B的面积与三角形有什么关系？这个关系说明什么？大家可以讨论、交流．

［生］C是斜边上的正方形，所以C的面积是斜边的平方；A，B是两直角边上的正方形，所以A，B的面积分别是这两条直角边的平方．根据A，B，C的面积关系，我们不难发现：斜边的平方就等于两直角边的平方和．

［师］但是，我们也不难发现上面3个图中的直角三角形是等腰直角三角形？如果不是等腰直角三角形，而是一般的直角三角形，会不会也有这种三边关系呢？

2．做一做

（让学生先独立思考，然后填写上面的表格．最后以小组为单位充分交流各自的想法，特别是在计算斜边上的正方形的面积即正方形C的求法）

［师生共析］根据图4，图5可填表如下：

我们先来观察图4，不难看出A ，B 分别含有16个小方格，9个小方格，所以A 、B 的面积分别为16个单位面积，9个单位面积，但斜边上的正方形C 的面积的计算较为复杂，我们可用以下几种方法求得：

第一种方法：将正方形C 分割成4个直角边长分别为3、4全等的直角三角形和中间的

一个小方格，利用计算三角形面积的公式可得正方形C 的面积为4×（21

×3×4）+1=24+1=25

个单位面积．

第二种方法：直接数正方形C 中含有多少个小方格，但需要适当的拼凑，在第一种方法中，我们将正方形分割成5部分，直角三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ和一个小方格，其中直角三角形Ⅰ、Ⅲ可拼凑成一个长和宽分别为3和4的长方形，含有12个小方格，同理Ⅱ、Ⅳ也可拼凑成12个小方格，所以正方形C 中共有12+12+1=25个小方格即C 的面积为25个单位面积．

第三种方法：可将直角三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ沿正方形C 的边外翻，就得到一个边长为7个单位长度的正方形，这时正方形C 的面积就为（49－1）÷2+1=25个单位面积．

图5与图4同理．

我们从上表不难发现16+9=25，4+9=13即C 的面积=A 的面积+B 的面积．

［师］图4和图5中的三个正方形A ，B ，C 也是由中间的直角三角形“长”出来的，你能从三个正方形的面积关系与直角三角形的三边联系吗？

［生］图4中的正方形A ，B ，C 的面积分别是直角三角形两条直角边的平方和斜边的平方，根据三个正方形的面积关系，我们不难发现，在这个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．由图5我们也可得出同样的结论．

3．议一议

［师］我们通过对前面几个直角三角形的讨论，分析，你能归纳出直角三角形三边长度存在的关系吗？用自己的语言表达你的重大发现与同伴交流．

［生］在直角三角形中，两条直角边长度的平方和等于斜边的平方．

［师］这是由前面几个特例猜想出来的，是否合理呢？我们不妨作几个直角三角形检验一下．例如，作一个分别以5厘米、12厘米为直角边的直角三角形，然后测量斜边的长度，通过计算看一下直角三角形三边的规律还成立吗？

［生］1．作一个直角∠MCN；

2．以C为圆心，分别以5厘米、12厘米为半径画弧交CM、CN于点A，B；

3．连结AB．

用刻度尺量出斜边AB的长度（强调注意测量的误差）为13厘米．经检验斜边

AB2=132=169，两直角边平方和AC2+BC2=52+122=25+144=169．即两直角边的平方和等于斜边的平方．

［师］很好．同学们不妨多作几个不同的直角三角形，用上面的方法检验直角三角形三边的关系．

［师生共析］通过特例猜想、检验，我们不难发现，直角三角形的三边的规律是成立的，这就是我们将要介绍的重点内容——勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．

4．读一读（课本P6）

古代人就对勾股定理有过深入的研究，几大文明古国都有相应的勾股定理的记载．我国是最早发现勾股定理的国家之一．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角．如果勾（即直角三角形中较短的直角边）等于3，股（即直角三角形中较长的直角边）等于4，那么弦（即直角三角形中的斜边）等于5，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，在这本书中的另一处，还记载了勾股定理的一般形式．因此，我们也把勾股定理称为商高定理，而把商高称为“勾股先师”．在西方，把勾股定理又称为“毕达哥拉斯”定理．相传二千多年，希腊著名数学家毕达哥拉斯学派首先证明了勾股定理，因此他们还举行了一次空前规模的庆祝活动，宰杀了一百头牲畜．但因此也引发了数学的第一次危机——边长为1的正方形的对角线的长度不能用整数或分数来表示．

关于勾股定理的记载还有很多，同学们如果有兴趣，可查阅有关这方面的资料。

所以说勾股定理有着悠久的历史，它反映了古代人民的聪明才智．

5．想一想

［师］小明的妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机．小明量了电视机的荧屏后，发现荧屏只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了，你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？

［生］我听爸爸说过，29英寸或74厘米的电视机，是指荧屏对角线的长度，而不是其长或宽．

［生］可是，连结荧屏的对角线将长方形的荧屏分成全等的两个直角三角形．根据勾股定理，长2+宽2=742，可582+462≠742，这是为什么呢？

［生］因为荧屏边框遮盖了一部分，所以实际测量存在一些误差．

［师］的确如此，但这里我们要知道一个生活常识，29英寸（74厘米）指的是荧屏的对角线的长度，而非荧屏的长或宽．

6．例题讲解

［例］在△ABC中，∠C=90°

（1）若a=8，b=6，则c=_________；

（2）若c=20，b=12，则a=_________；

（3）若a：b=3：4，c=10，则a=_________，b=_________．

［师生共析］

分析：在△ABC中，∠C=90°，所以有关系：a2+b2=c2．在此关系式中，涉及到三个量，利用方程的思想，可“知二求一”．

解：根据题意可得a2+b2=c2．

（1）若a=8，b=6，所以82+62=c2．即c2=100，c＞0，所以c=10；

（2）若c=20，b=12，所以a2+122=202，即a2=202－122=（20+12）（20－12）=32×8=162，a＞0，所以a=16；

（3）若a：b=3：4，可设a=3x，b=4x，所以（3x）2+（4x）2=102．化简，得9x2+16x2=100，25x2=100，x2=4，x=2（x＞0），所以a=3x=6；b=4x=8．

评注：综合上述解法可以发现，形（即△ABC为直角三角形）与数（a2+b2=c2）的统一，所以我们说勾股定理是形与数的结合．

Ⅲ．课时小结

先由学生自己总结，然后师生共同完成．这节课我们主要研究：

1．从特例猜想出勾股定理；

2．用特例检验了勾股定理；

3．简单了解了勾股定理的历史，应用．

Ⅳ．课后作业

1．课本P7，习题1．1．

2．到网上或图书室查阅关于勾股定理的资料．

Ⅴ．活动与探究

有一根70cm的木棒，要放在长、宽、高分别是50cm、40cm、30cm的木箱中，能放进去吗？

过程：在实际生活中，往往工程设计方案比较多，应用所学的知识进行计算方可解决，而此题正是需要我们大胆实践和创新，用我们学过的勾股定理和丰富的空间想像力来解决．我们可注意到木棒虽比木箱的各边都长，按各边的大小放不进去，但木箱是立体图形，可以利用空间的最长长度．如AC′．

结果：由下图可得，AA′=30cm，A′B′=50cm，B′C′=40cm．△A′B′C′，△AA′C′都为直角三角形．由勾股定理，得A′C′2=A′B′2+B′C′2．在Rt△AA′C′中．AC′最长，则AC′2=AA′2+A′B′2+B′C′2=302+402+502=5000＞702．

故70cm的棒能放入长、宽、高分别为50cm，40cm，30cm的大箱中．板书设计