函数的表示法优质学案
1.2.2函数的表示法
第1课时函数的表示法
学习目标 1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点.2.掌握求函数解析式的常见方法.3.尝试作图并从图象上获取有用的信息．
知识点一解析法
思考一次函数如何表示？
答案y＝kx＋b(k≠0)．
梳理一般地，解析法是指：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．
知识点二图象法
一般地，图象法是指：用图象表示两个变量之间的对应关系；这样可以直观形象地表示两变量间的变化趋势．
知识点三列表法
思考在街头随机找100人，请他们依次随意地写一个数字．设找的人序号为x，x＝1,2,3，…，100.第x个人写下的数字为y，则x与y 之间是不是函数关系？能否用解析式表示？
答案对于任一个x的值，都有一个他写的数字与之对应，故x，y之间是函数关系，但因为人是随机找的，数字是随意写的，故难以用解析式表示．这时可以制作一个表格来表示x的值与y的值之间的对应关系．
梳理一般地，列表法是指：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．
函数三种表示法的优缺点
1．y ＝x ＋1与y ＝x ＋1，x ∈N 是同一个函数．(×) 2．在坐标平面上，一个图形就是一个函数图象．(×) 3．函数y ＝f (x )的图象上任一点(x 0，y 0)必满足y 0＝f (x 0)．(√) 4．列表法表示y ＝f (x )，y 对应的那一行数字可能出现相同的情况．(√)
类型一 解析式的求法
例1 根据下列条件，求f (x )的解析式． (1)f (f (x ))＝2x －1，其中f (x )为一次函数； 考点 求函数的解析式 题点 待定系数法求函数解析式 解 由题意，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 则f (f (x ))＝af (x )＋b ＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b ＝2x －1，
由恒等式性质，得?
????
a 2
＝2，
ab ＋b ＝－1，
∴????? a ＝2，b ＝1－2或?????
a ＝－2，
b ＝1＋ 2.
∴所求函数解析式为
(2)f (2x ＋1)＝6x ＋5； 考点 求函数的解析式 题点 换元法求函数解析式
解 方法一 设2x ＋1＝t ，则x ＝t －1
2， ∴f (t )＝6·t －1
2＋5＝3t ＋2. ∴f (x )＝3x ＋2.
方法二 f (2x ＋1)＝6x ＋5＝3(2x ＋1)＋2， ∴f (x )＝3x ＋2.
(3)f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x . 考点 求函数的解析式 题点 方程组法求函数解析式 解 ∵f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，
将x 换成－x ，得f (－x )＋2f (x )＝x 2－2x ， ∴联立以上两式消去f (－x )，得3f (x )＝x 2－6x ， ∴f (x )＝1
3x 2－2x .
反思与感悟 (1)如果已知函数类型，可以用待定系数法．
(2)如果已知f (g (x ))的表达式，想求f (x )的解析式，可以设 t ＝g (x )，然后把f (g (x ))中每一个x 都换成t 的表达式．
(3)如果条件是一个关于f (x )，f (－x )的方程，我们可以用x 的任意性进行赋值．如把每一个x 换成－x ，其目的是再得到一个关于f (x )，f (－x )的方程，然后利用消元法消去f (－x )． 跟踪训练1 根据下列条件，求f (x )的解析式．
(1)f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9； 考点 求函数的解析式 题点 待定系数法求函数解析式 解 由题意，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， ∵3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9， ∴3a (x ＋1)＋3b －ax －b ＝2x ＋9， 即2ax ＋3a ＋2b ＝2x ＋9，
由恒等式性质，得?
????
2a ＝2，
3a ＋2b ＝9，
∴a ＝1，b ＝3.
∴所求函数解析式为f (x )＝x ＋3. (2)f (x ＋1)＝x 2＋4x ＋1； 考点 求函数的解析式 题点 换元法求函数解析式
解 方法一 设x ＋1＝t ，则x ＝t －1， f (t )＝(t －1)2＋4(t －1)＋1， 即f (t )＝t 2＋2t －2.
∴所求函数解析式为f (x )＝x 2＋2x －2. 方法二 f (x ＋1)＝(x ＋1－1)2＋4(x ＋1－1)＋1 ＝(x ＋1)2＋2(x ＋1)－2， ∴f (x )＝x 2＋2x －2.
(3)2f ? ??
??
1x ＋f (x )＝x (x ≠0)．
考点 求函数的解析式 题点 方程组法求函数解析式
解 ∵f (x )＋2f ? ????1x ＝x ，将原式中的x 与1
x 互换，
得f ? ??
??1x ＋2f (x )＝1x .
于是得关于f (x )的方程组?????
f (x )＋2f ? ??
??
1x ＝x ，f ? ????1x ＋2f (x )＝1
x ，
解得f (x )＝23x －x
3(x ≠0)． 类型二 函数的画法及应用 命题角度1 画函数图象
例2 画出函数y ＝|x |
x ＋x 的图象． 考点 函数图象
题点 求作或判断函数的图象 解 当x <0时，y ＝－x
x ＋x ＝x －1； 当x >0时，y ＝x
x ＋x ＝x ＋1.
取点A (－1，－2)，B (0，－1)，C (0,1)，D (1,2)．
其中，由于x ＝0不在定义域内，B ，C 两点画成空心点，图象如下：
反思与感悟 描点法作函数图象的三个关注点
(1)画函数图象时首先关注函数的定义域，所画图象横坐标的范围必须与定义域保持一致．
(2)图象是实线或实心点，定义域外的部分有时可用虚线或空心点来定
位整个图象．
(3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心点．
跟踪训练2 作出下列函数的图象并求出其值域． (1)y ＝2x ＋1，x ∈[0,2]； (2)y ＝2
x ，x ∈[2，＋∞)； (3)y ＝x 2＋2x ，x ∈[－2,2]． 考点 函数图象
题点 求作或判断函数的图象 解 (1)列表：
当x ∈[0,2]时，图象是直线的一部分， 观察图象可知，其值域为[1,5]．
(2)列表：
当x ∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y ＝2
x 的一部分，观察图象可知其值域为(0,1]．
(3)列表：
画出图象，图象是抛物线y ＝x 2＋2x 在－2≤x ≤2之间的部分． 由图可得函数的值域是[－1,8]．
命题角度2 函数图象的应用
例3 已知f (x )的图象如图所示，则f (x )的定义域为________，值域为________．
考点 函数图象 题点 函数图象的应用 答案 [－2,4]∪[5,8] [－4,3]
解析函数的定义域对应图象上所有点横坐标的取值集合，值域对应纵坐标的取值集合．
反思与感悟函数图象很直观，在解题过程中常用来帮助理解问题的数学本质，依托函数图象可以更直观地寻求问题的解决思路和要点．跟踪训练3函数f(x)＝x2－4x＋3(x≥0)的图象与y＝m有两个交点，求实数m的取值范围．
考点函数图象
题点函数图象的应用
解f(x)＝x2－4x＋3(x≥0)的图象如图，
f(x)与直线y＝m有2个不同交点，由图易知－1 类型三列表法表示函数及应用 例4已知函数f(x)由下表给出，求满足f(f(x))>f(3)的x的值. 考点函数的表示法 题点函数的表示法 解∵f(3)＝1. 当f(f(x))>1时，f(x)＝1或2. 当f(x)＝1时，x＝3. 当f(x)＝2时，x＝1. ∴满足条件的x的值为1或3. 反思与感悟列表法能直接地表示x的值与对应y的值，解题时要充 分利用这个特点给x求y或给y求x. 跟踪训练4若函数f(x)如下表所示： (1)求f(f(1))的值； (2)若f(f(x))＝1，求x的值． 考点函数的表示法 题点函数的表示法 解(1)∵f(1)＝2，∴f(f(1))＝f(2)＝1. (2)设f(x)＝t，由表知，当f(t)＝1时，对应的t＝2， 即f(x)＝2，再由表求得当且仅当x＝0或1时，f(x)＝2. ∴x＝0或x＝1. 1．已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))等于() A.1 B．2 C．3 考点函数的表示法 题点函数的表示法 答案 A 2．如果二次函数的图象开口向上且关于直线x＝1对称，且过点(0,0)，则此二次函数的解析式可以是() A．f(x)＝x2－1 B．f(x)＝－(x－1)2＋1 C ．f (x )＝(x －1)＋1 D ．f (x )＝(x －1)2－1 考点 求函数的解析式 题点 待定系数法求函数解析式 答案 D 3．已知正方形的边长为x ，它的外接圆的半径为y ，则y 关于x 的解析式为( ) A ．y ＝2 2x (x >0) B ．y ＝2 4x (x >0) C ．y ＝2 8x (x >0) D ．y ＝2 16x (x >0) 考点 求函数的解析式 题点 实际问题的函数解析式 答案 A 4．已知f ? ? ? ??x ＋1x ＝x 2＋x －2，则f (x )＝______________. 答案 x 2－2(x ≥2或x ≤－2) 解析 ∵f ? ????x ＋1x ＝? ????x ＋1x 2－2， 又| x ＋1 x | ≥2， ∴f (x )＝x 2－2(x ≥2或x ≤－2)． 5．画出y ＝2x 2－4x －3，x ∈(0,3]的图象，并求出y 的最大值、最小值． 考点 函数图象 题点 函数图象的应用 解 y ＝2x 2－4x －3(0 由图易知，当x＝3时，y max＝2×32－4×3－3＝3. 由y＝2x2－4x－3＝2(x－1)2－5， ∴当x＝1时，y min＝－5. 1．如何求函数的解析式 (1)待定系数法求函数解析式 当已知所要求的解析式f(x)的类型时，如是一次函数、二次函数等，即可设出f(x)的解析式，然后根据已知条件确定其系数． (2)已知f(g(x))＝h(x)，求f(x)，常用的有两种方法： ①换元法，即令t＝g(x)，解出x，代入h(x)中，得到一个含t的解析式，即为函数解析式，注意：换元后新元的范围． ②配凑法，即从f(g(x))的解析式中配凑出“g(x)”，即用g(x)来表示h(x)，然后将解析式中的g(x)用x代替即可． ③方程组法：当同一个对应关系中的含有自变量的两个表达式之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解． 2．如何作函数的图象 一般地，作函数图象主要有三步：列表、描点、连线．作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表描出图象，画图时要注意一些关键点，如与坐标轴的交点，端点的虚、实问题等． 3．如何用函数图象 常借助函数图象研究定义域、值域、函数变化趋势及两个函数图象交点问题． 一、选择题 1．以下形式中，不能表示“y是x的函数”的是() A B. C．y＝x2 D．x2＋y2＝1 考点函数的表示法 题点函数的表示法 答案 D 解析D中，当x＝0时，有两个y值与它对应，根据函数的定义知，x2＋y2＝1不能表示y是x的函数． 2．一次函数f(x)的图象过点A(－1,0)和B(2,3)，则下列各点在函数f(x)的图象上的是() A．(2,1) B．(－1,1) C．(1,2) D．(3,2) 考点求函数的解析式 题点待定系数法求函数解析式 答案 C 第一章 集合与函数概念 1.2.2 函数的表示法 第1课时 函数的表示法 课时目标 1.掌握函数的三种表示方法——解析法、图象法、列表法.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当方法表示函数． 函数的三种表示法 (1)解析法——用____________表示两个变量之间的对应关系； (2)图象法——用______表示两个变量之间的对应关系； (3)列表法——列出______来表示两个变量之间的对应关系． 一、选择题 1．一个面积为100 cm 2的等腰梯形，上底长为x cm ，下底长为上底长的3倍，则把它的高y 表示成x 的函数为( ) A ．y ＝50x (x >0) B ．y ＝100x (x >0) C ．y ＝50x (x >0) D ．y ＝100x (x >0) 2．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口) 给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点 到6点不进水不出水．则正确论断的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．如果f (1x )＝x 1－x ，则当x ≠0时，f (x )等于( ) A.1x B.1x －1 C.11－x D.1x －1 4．已知f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )等于( ) A ．2x ＋1 B ．2x －1 C ．2x －3 D ．2x ＋7 5．若g (x )＝1－2x ，f [g (x )]＝1－x 2x 2，则f (12 )的值为( ) A ．1 B ．15 C ．4 D ．30 6．在函数y ＝|x |(x ∈[－1,1])的图象上有一点P (t ，|t |)，此函数与x 轴、直线x ＝－1及x ＝t 围成图形(如图阴影部分)的面积为S ，则S 与t 的函数关系图可表示为( ) 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 7．一个弹簧不挂物体时长12 cm ，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例．如果挂上3 kg 物体后弹簧总长是13.5 cm ，则弹簧总长y (cm)与所挂物体质量x (kg)之间的函数关系式为_________________________________________________________ _______________． 8．已知函数y ＝f (x )满足f (x )＝2f (1x )＋x ，则f (x )的解析式为____________． 9．已知f (x )是一次函数，若f (f (x ))＝4x ＋8，则f (x )的解析式为__________________． 三、解答题 10．已知二次函数f (x )满足f (0)＝f (4)，且f (x )＝0的两根平方和为10，图象过(0,3)点，求f (x )的解析式． 11．画出函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题： (1)比较f (0)、f (1)、f (3)的大小； (2)若x 1 1．2．2函数的表示法（2课时） 一．教学目标 1．知识与技能 （1）明确函数的三种表示方法； （2）会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数； （3）通过具体实例，了解简单的分段函数及应用． 2．过程与方法： 学习函数的表示形式，其目的不仅是研究函数的性质和应用的需要，而且是为加深理解函数概念的形成过程． 3．情态与价值 让学生感受到学习函数表示的必要性，渗透数形结合思想方法。 二．教学重点和难点 教学重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念． 教学难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象． 三．学法 学法：学生通过观察、思考、比较和概括，从而更好地完成本节课的教学目标． 四．学习流程 （一）、知识连线 1、函数的三种表示法：__________ , __________ , __________ 。 2、什么是分段函数？分段函数表示的是_____个函数 3、设A 、B 是两个非空的_____，如果按照某种确定的_________，使对于集合A 中的___________，在集合B 中都有___________和它对应，那么就称对应f ：A →B 为_____________的一个映射。（观察：映射与函数的关系） （二）、知识演练 4、阅读分析课文中例3、4、 5、 6、7 5、练习课本P23第1，2，4题 6、 已知f ( x )= 求f ｛f [ f ( 3 1 ) ]｝的值 7、已知f ( x +1)=2x 2 -4x ，求f ( x ) x 1{ 2X (0＜x ＜1） （x ≥1） 8、设f ( 11+x )=112-x ,则f ( x )= __________ , f ( -3 )= _______ 9、若f ( x )= a x 3+cx x b +，其中a 、b 、 c 都是常数，且f (1)=10，则f ( -1)= _______ 10、画出下列函数的图像： （1） （2）y=|x-2| （3）y=x |x |+ x 11、设集合A={a ，b ，c }，B={1，0}，则从A 到B 的映射共有______个 12、在给定A →B 的映射f ：（x ，y ）→（x+y ，x-y ）下，集合A 中的元素（2，1）对应着B 中的元素______ （三）、知识提升 13、函数y=f ( x )的图像与直线x=a 有（ ）个交点 A 、1 B 、0 C 、至多有1 D 、可能有2 14、设函数f ( x )的定义域为R ，且满足下列两个条件： ①存在x 1≠ x 2，使f ( x 1 )≠ f ( x 2 )； ②对任意x ，y ∈R ，有f ( x+y )= f ( x ) f ( y )， 求f ( 0 )的值 （四）、归纳总结 1、通过本节你学习了哪些知识？ 2、在解决分段函数时应注意什么问题？ （五）、作业布置 x 1y={ x (0＜x ＜1） （x ≥1） 函数的表示方法 1、 能根据不同需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数； 2、 了解简单的分段函数，并能简单应用； 一、函数的常用表示方法简介： 1、解析法 如果函数()()y f x x A =∈中，()f x 是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表达函数的方法叫做解析法（公式法）。 例如，s =602t ，A =π2 r ，2S rl π=,2)y x = ≥等等都是用解析式表示函 数关系的。 特别提醒： 解析法的优点：（1）简明、全面地概括了变量间的关系；（2）可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值；（3）便于利用解析式研究函数的性质。中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数。 解析法的缺点：（1）并不是所有的函数都能用解析法表示；（2）不能直观地观察到函数的变化规律。 2、列表法： 通过列出自变量与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法。 例如：初中学习过的平方表、平方根表、三角函数表。我们生活中也经常遇到列表法，如银行里的利息表，列车时刻表，公共汽车上的票价表等等都是用列表法来表示函数关系的. 特别提醒： 列表法的优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。这种表格 常常应用到实际生产和生活中。 列表法的缺点：对于自变量的有些取值，从表格中得不到相应的函数值。 3、图象法： 用函数图象表示两个变量之间的函数关系的方法，叫做图像法。 例如：气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的。 特别提醒： 图像法的优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质。 图像法的缺点：不能够精确地求出某一自变量的相应函数值。 二、函数图像： 1、判断一个图像是不是函数图像的方法： 要检验一个图形是否是函数的图像，其方法为：任作一条与x轴垂直的直线，当该直线保持与x轴垂直并左右任意移动时，若与要检验的图像相交，并且交点始终唯一的，那么这个图像就是函数图像。 2、函数图像的作图方法大致分为两种： （1）描点作图法。步骤分三步：列表，描点，连线成图。 （2）图像变换法。利用我们熟知基本初等函数图像，将其进行平移、对成等变换，从而得到我们所求的函数图像的方法。 三、根据函数图像确定函数的定义域和值域： 1、由函数图像来确定函数的值域的方法是看函数图像在y轴上的正投影所覆盖的区域； 2、由函数图像来确定函数的定义域的方法是看函数图像在x轴上的正投影所覆盖的区域； 四、分段函数图像： 有些函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数通常称为分段函数。由此可知，作分段函数的图像时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出。 函数的表示方法 一、教学目标 １．总结函数三种表示方法． ２．了解三种表示方法的优缺点． ３．会根据具体情况选择适当方法． 4．利用数形结合思想，据具体情况选用适当方法解决问题的能力． 二、重点难点： 重点: １．认清函数的不同表示方法，知道各自优缺点． ２．能按具体情况选用适当方法． 难点 函数表示方法的应用． 三、合作探究 Ⅰ．提出问题，创设情境 我们在上节课里已经看到或亲自动手用列表格．写式子和画图象的方法表示了一些函数．这三种表示函数的方法分别称为列表法、解析式法和图象法．那么，请同学们思考一下，从前面的例子看，你认为三种表示函数的方法各有什么优缺点？在遇到具体问题时，该如何选择适当的表示方法呢？ 这就是我们这节课要研究的内容． 从所填表中可清楚看到三种表示方法各有优缺点．在遇到实际问题时，就要根据具体情况、具体要求选择适当的表示方法，有时为了全面地认识问题，需要几种方法同时使用． 四、精讲精练 例：一水库的水位在最近5小时内持续上涨，下表记录了这5小时的水位高度． １．由记录表推出这5小时中水位高度y（米）随时间t?（时）变化的函数 解析式，并画出函数图象． ２．据估计这种上涨的情况还会持续2小时，预测再过2小时水位高度将达到多少米？ 解：１．由表中观察到开始水位高10米，以后每隔1小时，水位升高0．05米，?这样的规律可以表示为： y=0．05t+10（0≤t≤7） 这个函数的图象如下图所示： ２．再过2小时的水位高度，就是 t=5+2=7时，y=0．05t+10的函数值，从解 析式容易算出：y=0．05×7+10=10．35 从函数图象也能得出这个值数． 2小时后，预计水位高10．35米． 就上面的例子中提几个问题大家思考： １．函数自变量t的取值范围：0≤t≤7是如何确定的？ ２．2小时后的水位高是通过解析式求出的呢，还是从函数图象估算出的好？ ３．函数的三种表示方法之间是否可以转化？ １．从题目中可以看出水库水位在5小时内持续上涨情况，?且估计这种上涨情况还会持续2小时，所以自变量t的取值范围取0≤t≤7，超出了这个范围，?情况将难以预计． ２．2小时后水位高通过解析式求准确，通过图象估算直接、方便．?就这个题目来说，2小时后水位高本身就是一种估算，但为了准确而言，?我认为还是通过解析式求出较好． ３．从这个例子可以看出函数的三种不同表示法可以转化，因为题目中只给出了列表法，而我们通过分析求出解析式并画出了图象，所以我认为可以相互转化． 练习： １．用列表法与解析式法表示n边形的内角和m是边数n的函数． ２．用解析式与图象法表示等边三角形周长L是边长a的函数． 3、甲车速度为20米／秒，乙车速度为25米／秒．现甲车在乙车前面500米，设x秒后两车之间的距离为y米．求y随x（0≤x≤100）变化的函数解析式，并画出函数图象． 五、课堂小结 通过本节课学习，我们认识了函数的三种不同的表示方法，并归纳总结出三种表示方法的优缺点，学会根据实际情况和具体要求选择适当的表示方法来解决 函数的表示法 【教学目标】 掌握函数的三种表示方法,通过函数的各种表示及其相互转化来加强对函数概念的理解. 【重点难点】 重点：函数的三种表示方法． 难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数. 【教学过程】 一、情景设置 我们前面已经学习了函数的定义，函数的定义域的求法，两个函数是否相同的判定方法，那么函数的表示方法常用的有哪些呢？ 、、。 二、探索研究 1．结合1.2.1的三个实例，讨论三种表示方法的定义: 解析法: 图像法： 列表法： 2．某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用三种表示法表示函数y=f(x). 思考：比较三种表示法，它们各自的特点是什么? 解析法的特点: 图像法的特点： 列表法的特点： 三、教学精讲 三种表示法应该注意什么？ ①函数图象既可以连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等； ②解析法：必须注明函数的定义域，否则使函数解析式有意义的自变量的取值范围是函数的定义域；不是所有的函数都能用解析法表示。 ③图像法：根据实际情景来决定是否连线； ④列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征。 例1．下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级及班级平均分表： 请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析． 注意：本例为了研究学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，这样更便于研究成绩的变化特点。 例2.已知f(x)为二次函数,且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求f(x)的解析式 答案:① f(x)=x2-2x-1 例3.①已知f(x+1)=x+2 x,求f(x)的解析式. ②已知f(x+1x )=x 2+1x 2+1 x ,求f(x)的解析 式 答案:①f(x)=x 2-1(x ≥1) ②f(x)=x 2-x+1(x ≠1) 四、课堂练习 1.已知f(x)是一次函数,且ff(x)]=4x-1,求f(x) 答案:f(x)=x-1 3 或f(x)=-2x+1 2.周长为l,的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆的框架（如 图），若矩形底边长为2x ，求此框架围城图形的面积y 关于的函数表达式，并写出它的定义域. 五、本节小结 函数的三种表示方法． 【教学后记】 D C B A 1.2.2 函数的表示方法 第一课时 函数的几种表示方法 【教学目标】 1．掌握函数的三种主要表示方法 2．能选择恰当的方法表示具体问题中的函数关系 3．会画简单函数的图像 【教学重难点】 教学重难点：图像法、列表法、解析法表示函数 【教学过程】 一、复习引入： 1．函数的定义是什么？函数的图象的定义是什么？ 2．在中学数学中，画函数图象的基本方法是什么？ 3．用描点法画函数图象，怎样避免描点前盲目列表计算？怎样做到描最少的点却能显示出图象的主要特征？ 二、讲解新课：函数的表示方法 表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种. ⑴解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式. 例如，s=602 t ，A=π2 r ，S=2rl π,y=a 2 x +bx+c(a ≠0),y= 2-x (x ≥2)等等都是用解析 式表示函数关系的. 优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数. ⑵列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系. 学号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 身高 125 135 140 156 138 172 167 158 169 用列表法来表示函数关系的.公共汽车上的票价表 优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值. ⑶图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系. 例如，气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，课本 中我国人口出生率变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的. 优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质. 三、例题讲解 例1某种笔记本每个5元，买 x ∈{1,2,3,4}个笔记本的钱数记为y （元），试写出以x 为自变量的函数y 的解析式，并画出这个函数的图像 解：这个函数的定义域集合是{1,2,3,4}，函数的解析式为 y=5x ，x ∈{1,2,3,4}. 1.2.2函数的表示法 第1课时函数的表示法 1．函数的表示法 (1)解析法：□1用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． (2)图象法：□2用图象表示两个变量之间的对应关系． (3)列表法：□3列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 2．对三种表示法的说明 (1)解析法：利用解析式表示函数的前提是变量间的对应关系明确，且利用解析法表示函数时要注意注明其定义域． (2)图象法：图象既可以是连续的曲线，也可以是离散的点． (3)列表法：采用列表法的前提是函数值对应清楚，选取的自变量要有代表性． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何一个函数都可以用列表法表示．() (2)任何一个函数都可以用解析法表示．() (3)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线．() 答案(1)×(2)×(3)× 2．做一做 (1)函数f(x)是一次函数，若f(1)＝1，f(2)＝2，则函数f(x)的解析式是________． (2)某教师将其1周课时节次列表如下： X(星期)12345 Y (节次) 2 4 5 3 1 从这个表中看出这个函数的定义域是________，值域是________． (3)(教材改编P 23T 3)画出函数y ＝|x ＋2|的图象． 答案 (1)f (x )＝x (2){1,2,3,4,5} {2,4,5,3,1} (3) 探究1 作函数的图象 例1 作出下列函数的图象并求出其值域． (1)y ＝2 x ，x ∈[2，＋∞)； (2)y ＝x 2＋2x ，x ∈[－2,2]． 解 (1)列表： x 2 3 4 5 … y 1 23 12 25 … 画图象，当x ∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y ＝2 x 的一部分(图1)，观察图象可知其值域为(0,1]． 1 §1.2.2 函数的表示法（1） 1. 明确函数的三种表示方法（解析法、列表法、图 象法），了解三种表示方法各自的优点，在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数； 2. 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 1921 复习1： （1）函数的三要素是 、 、 . （2）已知函数21 ()1 f x x =-，则(0)f = ， 1 ()f x = ，()f x 的定义域为 . （3）分析二次函数解析式、股市走势图、银行利率表的表示形式. 复习2：初中所学习的函数三种表示方法？试举出日常生活中的例子说明. 二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务：函数的三种表示方法 讨论：结合具体实例，如：二次函数解析式、股市走势图、银行利率表等，说明三种表示法及优缺点. 小结： 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 优点：简明；给自变量求函数值. 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 优点：直观形象，反应变化趋势. 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 优点：不需计算就可看出函数值. ※ 典型例题 例1 某种笔记本的单价是2元，买x (x ∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y 元．试用三种表示法表示函数()y f x =. 变式：作业本每本0.3元，买x 个作业本的钱数y （元）. 试用三种方法表示此实例中的函数. 反思： 例1及变式的函数图象有何特征？所有的函数都可用解析法表示吗？ 例2 邮局寄信，不超过20g 重时付邮资0.5元，超过20g 重而不超过40g 重付邮资1元. 每封x 克（0 学案14：函数的表示法 【课前预习,听课有针对性】 1. 若()23,(2)(),()f x x g x f x g x =--=则的表达式为 （ ） A ． 2x+1 B ． 2x —1 C ．2x —3 D ． 2x+7 2．已知1)1(+=+x x f ，则函数)(x f 的解析式为 （ ） A ．2)(x x f = B ．)1(1)(2≥+=x x x f C ．)1(22)(2≥+-=x x x x f D ．)1(2)(2≥-=x x x x f 3．若一次函数y=f (x)在区间[]1,2-上的最大值为3，最小值为1，则y=f (x)的解析式为_____________． 4．若二次函数y=f (x)过点()()()0,3,1,4,1,6-，则f (x)=_______________. 5．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)+g(x)= 11-x ,则f(x)= ___ 【及时巩固,牢固掌握知识】 A 组 夯实基础，运用知识 6. 下列各函数解析式中，满足)(21)1(x f x f = +的是（ ） A ． 2x B ． 21+x C ． x -2 D ． x 21log 7．已知32)121(+=-x x f ，且 6)(=m f ，则m 等于（ ） A ．41- B ． 41 C ． 23 D ． 2 3- 8. 若2 )(,2)(x x x x e e x g e e x f --+=-=，则)2(x f 等于 （ ） A ．)(2x f B ． )]()([2x g x f + C ．)(2x g D ． )()(2x g x f ? 9. 已知221111x x x x f +-=??? ??+-，则)(x f 的解析式可取为（ ） A ．21x x + B ． 212x x +- C ． 212x x + D ．－21x x + B 组 提高能力，灵活迁移 10. 若函数)1,0)((log ≠>+=a a b x y a 的图象过两点(-1，0)和(0，1)，则( ) A ．a=2,b=2 B ． a= 2 ,b=2 C ．a=2,b=1 D ．a= 2 ,b= 2 11. 若函数)(x f 满足关系式1()2()3f x f x x -=，则的表达式为__________. 12. 设函数1 1)(+=x x f 的图象为1C ，若函数)(x g 的图象2C 与1C 关于x 轴对称，则)(x g 的解析式为________________. 13．已知,sin )cos 1(2x x f =-求()2x f 的解析式。 14．已知)(x f 是定义在R 上的函数，且)2()(+=x f x f 恒成立，当)0,2(-∈x 时，2)(x x f =，则当[]3,2∈x 时，函数)(x f 的解析式为 （ ） A ．42-x B ．42 +x C ．2)4(+x D ． 2)4(-x 2019-2020学年高三数学第一轮复习 14 函数的表示法----求解析式 教学案（教师版） 一、课前检测 1．若函数()f x 满足2(1)2f x x x +=-，则f = . 答案：6- 2.已知()()()23,2f x x g x f x =++=，则()g x = . 答案：21x - 3. 若)(x f 是一次函数，14)]([-=x x f f 且，则)(x f = . 答案：()123f x x =- 或()21f x x =-+ 二、知识梳理 求函数解析式的题型有： 1.已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法； 解读： 2.已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法； 解读： 3.已知函数图像，求函数解析式； 解读： 4.()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法； 解读： 5.应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等． 解读： 三、典型例题分析 例1 设2211(),f x x x x +=+ ，求()f x 的解析式. 答案：()22f x x =- 变式训练1：设(cos )cos 2,(sin )f x x f x =求的解析式. 答案：()2sin 1f x x =- 变式训练2：设33221)1(,1)1(x x x x g x x x x f +=++=+， 求)]([x g f . 答案：()22f x x =-，()33g x x x =-，642[()]692f g x x x x =-+- 小结与拓展：配凑法 例2 设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f 的解析式. 答案：2()56f x x x =-+ 变式训练1：已知21lg f x x ??+= ???，求)(x f 的解析式. 答案：2()lg 1f x x =- 变式训练2：设x x f 2cos )1(cos =-，求)(x f 的解析式. 答案：2()21f x x x =++ 小结与拓展：换元法 例3 已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+， 求()f x 的解析式； 答案：()27f x x =+ 变式训练1：已知12()3f x f x x ??+= ??? ，求)(x f 的解析式. 答案：1()2f x x x =- 2019-2020学年高中数学 1.2.2《函数的表示法》导学案 新人教A 版 必修1 姓名: 班级: 组别: 组名:____________ 【学习目标】 1、明确函数的三种表示方法，会根据不同的实际情境选择合适的方法表示函数； 2、通过具体实例，了解简单的分段函数及其应用 3、知道映射的定义； 【重点难点】 重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念 难点：分段函数的表示、求值及其图象 【知识链接】 我们在初中接触过的函数有些是用表格的形式呈现的，如小明从小学一年级至六年级每 年的身高与体重之间对应的函数关系，可以用一个表格的形式表示出来；有的可以用函数解 析式，如二次函数1232-+=x x y ；当然有的也可以用图象表示，如二次函数的图象是一条 抛物线. 【学习过程】 阅读课本19至20页的内容，尝试回答以下问题： 知识点二 分段函数 阅读课本21至22页的内容，尝试回答以下问题： 定义：例5中得出的票价与里程之间的函数关系式中对于不同范围内的x 对应不同的y 的表 达式，像这种在定义域的不同部分对应________________的函数称为分段函数. 注意：①虽然分段函数在定义域的不同部分对应不同的对应关系，但分段函数是一个函数， 不能误认为分段函数是“几个函数”； ②分段函数的定义域是各段定义域的并集 ③分段函数的值域是各段函数值域的并集 同步练习： 若函数?? ???≥<<--≤+=2,222,2,2)(2x x x x x x x f ， (1) 试求)]3([),3(),5(---f f f f 的值； (2) 若1)(=a f ，求a 的值； (3) 写出函数的定义域、值域； (4) 作出函数的图象. 知识点三 映射 阅读课本22页至23页的内容，尝试回答下列问题： 1、一般地，设B ,A 是_____________,如果按照某种确定的___________,使对于集合A 中的 ____________，在集合B 中都有______________________,那么就称____________为从集合 A 到集合 B 的一个_______.集合A 中的元素叫原象，集合B 中与A 中的元素相对应的元素 叫象. 2、与函数概念相比，在映射的概念中只是将函数概念中的__________换为____________,所 以可以说函数是一种特殊的映射，但映射不一定是函数. 同步练习：1、下列集合A 到集合B 的对应中，哪些是A 到B 的映射？ （1）B y A x x y x f B N ∈∈-=→==,,:,Z ,A 对应法则； （2）B x A x x y x f R B R A ∈∈=→==++,,1:,,； （3）{}{}B y A x x y x f B A ∈∈±=→--=--=,,,2,1,1,2,4,1,1,4：对应法则； （4）{}三角形平面内边长不同的等边=A ，{}平面内半径不同的圆=B ，对应法则 圆：作等边三角形的内切f . 2、已知在）（y x ,映射f 下的象是),(2y x y x -+， 2019-2020年高中数学《1.2.2函数的表示法1》学案新人教A版必修 1 学习目标 1. 明确函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法），了解三种表示方法各自的优点，在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数； 2. 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 19~ P21，找出疑惑之处） 复习1： （1）函数的三要素是、、 . （2）已知函数，则，= ，的定义域为 . （3）分析二次函数解析式、股市走势图、银行利率表的表示形式. 复习2：初中所学习的函数三种表示方法？试举出日常生活中的例子说明. 二、新课导学 ※学习探究 探究任务：函数的三种表示方法 讨论：结合具体实例，如：二次函数解析式、股市走势图、银行利率表等，说明三种表示法及优缺点. 小结： 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 优点：简明；给自变量求函数值. 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 优点：直观形象，反应变化趋势. 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 优点：不需计算就可看出函数值. ※典型例题 例1 某种笔记本的单价是2元，买x(x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用三种表示法表示函数. 变式：作业本每本0.3元，买x个作业本的钱数y（元）. 试用三种方法表示此实例中的函数. 反思：例1及变式的函数图象有何特征？所有的函数都可用解析法表示吗？ 例2 邮局寄信，不超过20g重时付邮资0.5元，超过20g重而不超过40g重付邮资1元. 每封x克（0 1.2.2 函数的表示法(二) 自主学习 1．了解分段函数的概念，会画分段函数的图象，并能解决相关问题． 2．了解映射的概念及含义，会判断给定的对应关系是否是映射． 1．分段函数 (1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． (2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集． (3)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象． 2．映射的概念 设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射。 3．映射与函数 由映射的定义可以看出，映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A ，B 必须是非空数集． 对点讲练 分段函数的求值问题 【例1】 已知函数f (x )＝????? x ＋2 (x ≤－1)，x 2 (－12011—2012学年数学人教A版必修1同步教学案：1.2.2 函数的表示法 第1课时 函数的表示法
人教A版数学《函数的表示法》导学案
高一函数的表示方法
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函数的几种表示方法
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函数的表示方法1导学案人教A版必修1
北京第十八中学高三数学第一轮复习 14 函数的表示法学案
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