数论基础知识
数论基础知识.txt丶︶￣喜欢的歌，静静的听，喜欢的人，远远的看我笑了当初你不挺傲的吗现在您这是又玩哪出呢？全文:
数论的基本知识
本文将简单地介绍有关整数集合Z={…,-2,-1,0,1,2,…}和自然数集合N={0,1,2,…}的最基本的数论概念。
可除性与约数
一个整数能被另一个整数整除的概念是数论中的一个中心概念，记号d|a（读作“d 除a”）意味着对某个整数k，有 a = kd。0可被每个整数整除。如果a>0且d|a，则|d|?|a|。如果d|a，则我们也可以说a是d的倍数。如果a不能被d整除，则写作dFa。
如果d|a并且d?0，则我们说d是a的约数。注意，d|a当且仅当(-d)|a，因此定义约数为非负整数不会失去一般性，只要明白a的任何约数的相应负数同样能整除a。一个整数a的约数最小为1，最大为|a|。例如，24的约数有1，2，3，4，6，8，12和24。
每个整数a都可以被其平凡约数1和a整除。a的非平凡约数也称为a的因子。例如， 20的因子有2，4，5和10。
素数与合数
对于某个整数a>1，如果它仅有平凡约数1和a，则我们称a为素数(或质数)。素数具有许多特殊性质，在数论中举足轻重。按顺序，下列为一个小素数序列:
2，3，5，6，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，…
不是素数的整数a>1称为合数。例如，因为有3|39，所以39是合数。整数1被称为基数，它既不是质数也不是合数。类似地，整数 0和所有负整数既不是素数也不是合数。
定理 1
素数有无穷个。
证明：
假设素数只有有限的n个，从小到大依次排列为p1,p2,...,pn，则 x = (p1·p2·...·pn)+1 显然是不能被p1,p2,...,pn中的任何一个素数整除的，因此x也是一个素数，这和只有n 个素数矛盾，所以素数是无限多的。
这个证明的最早来自亚里士多德，非常漂亮，是反证法的经典应用，这个证明被欧拉称为“直接来自上帝的证明”，历代的数学家也对其评价很高。
除法定理，余数和同模
已知一个整数n，所有整数都可以分划为是n的倍数的整数与不是n的倍数的整数。对于不是n的倍数的那些整数，我们又可以根据它们除以n所得的余数来进行分类，数论的大部分理论都是基于上述分划的。下列定理是进行这种分划的基础。
定理2 (除法定理)
对任意整数a和任意正整数n，存在唯一的整数q和r，满足0 < r ? n，并且a = qn + r 。
这个定理是整数的基本定理之一，这里就不给出具体证明了。
值q=?a/n? 称为除法的商（? x? 表示地板符号floor，即小于等于x的最大整数）。值 r = a mod n 称为除法的余数。我们有n|a 当且仅当 a mod n = O，并且有下式成立：
(1)
或
(2)
当我们定义了一个整数除以另一个整数的余数的概念后，就可以很方便地给出表示同余的特殊记法。如果 (a mod n)=(b mod n)，就写作 a ≡ b (mod n)，并说a和b对模n是相等的。换句话说，当a和b除以n有着相同的余数时，有a ≡ b (mod n)。等价地有，a ≡ b (mod n)当且仅当n|(b - a)。如果a和b对模n不相等，则写作a T b (mod n)。例如， 61≡ 6 (mod 11)，同样，-13≡ 22≡2 (mod 5)。
根据整数模n所得的余数可以把整数分成n个等价类。模n 等价类包含的整数a为：
例如，[3]7={…,-11,-4,3,10,17,…}，该集合还有其他记法[-4]7和[10]7。a ∈[b]n 。就等同于a ≡ b(mod n)。所有这样的等价类的集合为:
(3)
我们经常见到定义
(4)
如果用0表示[0]n，用1表示[1]n。等等，每一类均用其最小的非负元素来表示，则上述两个定义(3)和(4)是等价的。但是，我们必须记住相应的等价类。例如，提到Zn的元素-1就是指[n-1]n，因为-1 = n-1 (mod n)。
公约数与最大公约数
如果d是a的约数并且也是b的约数，则d是a与b的公约数。例如，24与30的公约数为1,2,3和6。注意，1是任意两个整数的公约数。
公约数的一条重要性质为:
(5)
更一般地，对任意整数x和y，我们有
(6)
同样，如果a|b，则或者|a|?|b|，或者b=O，这说明：
(7)
两个不同时为0的整数a与b的最大公约数表示成gcd(a,b)。例如，gcd(24,30)=6，gcd(5,7)=1，gcd(0,9)=9。如果a与b不同时为0，则 gcd(a,b)是一个在1与min(|a|,|b|)之间的整数。我们定义gcd(O,0)=0，这个定义对于使gcd函数的一般性质(如下面的式 (11))普遍正确是必不可少的。
下列性质就是gcd函数的基本性质：
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
定理 3
如果a和b是不都为0的任意整数，则gcd(a,b)是a与b的线性组合集合{ ax + by : x,y ∈Z}中的最小正元素。
证明：
设s是a与b的线性组合集中的最小正元素，并且对某个x,y ∈Z，有s = ax + by，设q = ?a/s? ，则式(2)说明
因此，a mod s也是a与b的一种线性组合。但由于a mod s < s，所以我们有a mod s = O，因为s是满足这样的线性组合的最小正数。因此有s|a，并且类似可推得s|b。因此，s是a 与b的公约数，所以gcd(a，b)? s。因为gcd(a，b)能同时被a与b整除并且s是a与b 的一个线性组合，所以由式(6)可知gcd(a,b)| s 。但由gcd(a,b)|s 和s > O，可知 gcd(a,b)?s。而上面已证明gcd(a,b)?s，所以得到gcd(a,b) = s，我们因此可得到s是a与b的最大公约数。
推论 4
对任意整数a与b，如果d|a并且d|b，则d|gcd(a,b)。
证明：
根据定理3，gcd(a，b)是a与b的一个线性组合，所以从式(6)可推得该推论成立。
推论 5
对所有整数a 和b以及任意非负整数n，gcd(an ,bn)=n gcd(a,b)。
证明：
如果n = 0，该推论显然成立。如果n ≠ 0，则gcd(an,bn)是集合{anx + bny}中的最小正元素，即为集合{ax + by}中的最小正元素的n倍。
推论 6
对所有正整数n，a和b，如果n|ab并且gcd(a,n)=1，则n|b。
证明：
（略）
互质数
如果两个整数a与b仅有公因数1，即如果gcd(a,b)=1，则a与b称为互质数。例如，8和15是互质数，因为8的约数为1，2，4，8，而15的约数为1，3，5，15。下列定理说明如果两个整数中每一个数都与一个整数p互为质数，则它们的积与p与互为质数。
定理 7
对任意整数 a，b和p，如果gcd(a,p)=1且gcd(b,p)=1，则gcd(ab,p)=1。
证明：
由定理3可知，存在整数x，y，x'，y' 满足
ax+py=1
bx'+py'=1
把上面两个等式两边相乘，我们有
ab(xx')+p(ybx'+y'ax+pyy') = 1
因为1是ab与p的一个正线性组合，所以运用定理3就可以证明所需结论。
对于整数n1,n2,…,nk，如果对任何 i≠j 都有gcd(ni,nj)=1，则说整数n1,n2,…,nk两两互质。
唯一的因子分解
下列结论说明了关于素数的可除性的一个基本但重要的事实。
定理 8
对所有素数p和所有整数a，b，如果p|ab，则pla或者p|b。
证明：
为了引入矛盾，我们假设p|ab，但pFa并且pFb。因此，gcd(a,p)=1 且gcd(b,p)=1，这是因为p的约数只有1和p。又因为假设了p既不能被a也不能被b整除。据定理7可知，gcd(ab,p)=1；又由假设p|ab可知gcd(p,ab)=p，于是产生矛盾，丛而证明定理成立。
从定理8可推断出，一个整数分解为素数的因子分解式是唯一的。
定理 9 (唯一质因子分解)
任意的整数a能且仅能写成一种如下积的形式
其中pi为自然数中的第i个素数，p1 证明： （略） 例如，数6000可唯一地分解为24·31·53。 这个定理非常重要，在计算理论中很多重要的定理都可以基于这个定理来证明，因为这个定理实际上给出了Z和Z*的一一对应关系，换句话说，任何的整数a都可以用一组整数(e1,e2,…,er)来表示，，反之也成立，其中a和(e1,e2,…,er)满足定理9的公式。比如6000可以用一组整数(4,1,3)表示，因为6000=24·31·53。从另一个角度看，这也提供了一种大整数的压缩方法，可惜由于这种分解太费时间，所以此压缩方法并不可行:-(。但是在很多定理的证明中（尤其是计算理论，形式语言和数理逻辑的定理中），用这种方法可以将一串的整数用唯一的一个整数来表示。比如在一台图灵机中，输入是一串长度不定的整数，经过某种转换，输出另外一串长度不定的整数，我们可以用定理9将输入和输出都用唯一的一个整数来表示，这样转换的过程就看作是一个简单的从整数集到整数集的函数，对我们从理论上研 究这种转换过程提供了方便。歌德尔不确定性原理的证明中就利用了这种技巧，所以这种编码方式又称为哥德尔编码。再举个简单的例子，如果我们将中文的每个汉字编码，用一个整数表示一个汉字；将英文的26个字母编码，用一个整数表示一个字母，现在我们要将一句输入的中文翻译成英文句子输出，输入和输出都可以用一组整数表示，利用上面的哥德尔编码，可以将输入和输出用唯一的一个确定的整数表示，翻译的过程就是做某种函数运算，该函数是Z→Z的简单整数函数，只要找到了这个函数，就作出了机器翻译机来。事实上，世界上所有的能够用算法处理的过程都可以利用哥德尔编码转化成简单的整数函数来研究，这就是为什么计算理论中只研究简单的整数函数。 数论基础知识 小学数论问题，起因于除法算式：被除数÷除数＝商……余数 1.能整除：整除，因数与倍数，奇数与偶数，质数与合数，公因数与公倍数，分解质因数等； 2.不能整除：余数，余数的性质与计算（余数），同余问题（除数），物不知数问题（被除数）。 一、因数与倍数 1、因数与倍数 （1）定义： 定义1：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数。 定义2：如果非零自然数a、b、c之间存在a×b＝c，或者c÷a＝b，那么称a、b是c的因数，c是a、b 的倍数。 注意：倍数与因数是相互依存关系，缺一不可。（a、b是因数，c是倍数） 一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。 一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 （2）一个数的因数的特点： ①最小的因数是1，第二小的因数一定是质数； ②最大的因数是它本身，第二大的因数是：原数÷第二小的因数 （3）完全平方数的因数特征： ①完全平方数的因数个数是奇数个，有奇数个因数的数是完全平方数。 ②完全平方数的质因数出现次数都是偶数次； ③1000以内的完全平方数的个数是31个，2000以内的完全平方数的个数是44个，3000以内的完 全平方数的个数是54个。（312=961，442=1936，542=2916） 2、数的整除（数的倍数） （1）定义： 定义1：一般地，三个整数a、b、c，且b≠0，如有a÷b＝c，则我们就说，a能被b整除，或b能整除a，或a能整除以b。 定义2：如果一个整数a，除以一个整数b（b≠0），得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。（a≥b） （2）整除的性质： 如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。 如果a能被b整除，c是整数，那么a×c也能被b整除。 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。 （3）一些常见数的整除特征（倍数特征）： ①末位判别法 2、5的倍数特征：末位上的数字是2、5的倍数。 4、25的倍数特征：末两位上的数字是4、25的倍数。 8、125的倍数特征：末三位上的数字是8、125的倍数。 ②截断求和法（从右开始截） 9（及其因数3）的倍数特征：一位截断求和 99（及其因数3、9、11、33）的倍数特征：两位截断求和 999（及其因数3、9、27、37、111、333）的倍数特征：三位截断求和 ③截断求差法（从右开始截） 11的倍数特征：一位截断求差 101的倍数特征：两位截断求差 1001（及其因数7、11、13、77、91、143）的倍数特征：三位截断求差 数论基础知识 一质数和合数 （1）一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。 一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。 （2）自然数除0和1外，按约数的个数分为质数和合数两类。 任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式。 要特别记住：0和1不是质数，也不是合数。 （3）最小的质数是2 ，2是唯一的偶质数，其他质数都为奇数； 最小的合数是4。 （4）质数是一个数，是含有两个约数的自然数。 互质数是指两个数，是公约数只有一的两个数，组成互质数的两个数可能是两个质数（３和５），可能是一个质数和一个合数（３和４），可能是两个合数（４和９）或1与另一个自然数。 （５）如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 （６）１００以内的质数有２５个： ２、３、５、７、 １１、１３、１７、１９、 ２３、２９、３１、３７、 ４１、４３、４７、 ５３、５９、 ６１、６７、 ７１、７３、７９、 ８３、８９、 ９７ 二整除性 （１）概念 一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a 能被b整除（或者说b能整除a）。记作b｜a.否则，称为a不能被b整除，（或b 不能整除a），记作b a。 如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。 （２）性质 性质1：（整除的加减性）如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c 整除。 即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。 例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。 也就是说，被除数加上或减去一些除数的倍数不影响除数对它的整除性。 性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a. 即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。 性质3：（整除的互质可积性）如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c 的积能整除a。 即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。 小学数论基础知识 数论基础知识 一质数和合数 （1）一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。 一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。 （2）自然数除0和1外，按约数的个数分为质数和合数两类。 任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式。 要特别记住：0和1不是质数，也不是合数。 （3）最小的质数是2 ，2是唯一的偶质数，其他质数都为奇数； 最小的合数是4。 （4）质数是一个数，是含有两个约数的自然数。 互质数是指两个数，是公约数只有一的两个数，组成互质数的两个数可能是两个质数（３和５），可能是一个质数和一个合数（３和４），可能是两个合数（４和９）或1与另一个自然数。 （５）如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 （６）１００以内的质数有２５个： ２、３、５、７、 １１、１３、１７、１９、 ２３、２９、３１、３７、 ４１、４３、４７、 ５３、５９、 ６１、６７、 ７１、７３、７９、 ８３、８９、 ９７ 二整除性 （１）概念 一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。记作b｜a.否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a），记作b a。 如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。 （２）性质 性质1：（整除的加减性）如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。 即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。 例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。 也就是说，被除数加上或减去一些除数的倍数不影响除数对它的整除性。 性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a. 即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。 性质3：（整除的互质可积性）如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b 与c的积能整除a。 奥数数论基础知识 一质数和合数 （1）一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。 一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。 （2）自然数除0和1外，按约数的个数分为质数和合数两类。 任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式。 要特别记住：0和1不是质数，也不是合数。（3）最小的质数是2 ，2是唯一的偶质数，其他质数都为奇数； 最小的合数是4。 （4）质数是一个数，是含有两个约数的自然数。 互质数是指两个数，是公约数只有一的两个数，组成互质数的两个数可能是两个质数（３和５），可能是一个质数和一个合数（３和４），可能是两个合数（４和９）或1与 另一个自然数。 （５）如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 （６）１００以内的质数有２５个：２、３、５、７、１１、１３、１７、１９、２３、２９、３１、３７、４１、４３、４７、５３、５９、６１、６７、７１、７３、７９、８３、８９、９７． 二整除性 （１）概念 一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。记作b｜a.否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a），记作b a。 如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。 （２）性质 性质1：（整除的加减性）如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。 即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。 例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。 也就是说，被除数加上或减去一些除数的倍数不影响除数对它的整除性。 性质2：如果b与c的积能整除a，那么b 与c都能整除a. 即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。性质3：（整除的互质可积性）如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。 1群、环、域概念 A1：加法的封闭性：如果a 和b 属于G ，则a+ｂ也属于G A2：加法结合律：对G 中的任意元素a,b,ｃ,ａ＋(b+c)=（a ＋ｂ)+c A3:加法单位元:G 中存在一个元素0，使得对于G 中的任意元素ａ，有a+０=０+a A4:加法逆元:对于Ｇ中的任意元素a ，G 中一定存在一个元素a,使得 ? a+（-a)＝（－a)＋a ＝０ Ａ5：加法交换律:对于Ｇ中的任意元素a 和b ，有a+b=ｂ+a M1:乘法的封闭性:如果a 和b 属于Ｇ,则ａｂ也属于G M2:乘法结合律：对于G 中的任意元素a,b,ｃ有ａ(bc)＝(ab ）c M3：乘法分配了:对于Ｇ中的任意元素a,b,ｃ,有a(b ＋c)＝ab+ac 和(a ＋ｂ)ｃ=ac+ｂc M4：乘法交换律：对于G 中的任意元素a ，b 有a ｂ＝ba M5:乘法单位元:对于G 中的任意元素a,在Ｇ中存在一个元素１，使得a1=１a ＝ａ M6:无零因子:对于G 中的元素ａ,b,若ab=0，则必有a=0或ｂ=0 M7：乘法逆元：如果a 属于G ，且a 不为０,则G 中存在一个元素1-a ，使得 111==--a a aa 满足A1--－A ４称为群 满足A1--－Ａ5称为可交换群 满足Ａ1-－-M ３称为环 满足A1---M ４称为可交换换 满足A １---Ｍ６称为整环 满足A1－－-M ７称为域 2循环群：如果群中的每一个元素都是一个固定元素)(G a a ∈的幂k a （k 为整数), 则称群G 是循环群。我们认为元素a 生成了群G ，或者说ａ是群G 的 生成元。 循环群总是交换群 3模运算 )mod ()mod (n b n a =则称整数ａ和b 是模n 同余的，可以表示为：)(mod n b a ≡ 若b 整除ａ。则用符号：a |b 表示。其性质可表示如下： ①如果a|1,那么a=-1或1。 ②如果ａ｜ｂ,且b|a ，那么a=b 或ａ=-b 第34讲数论基础知识应用 【培训提示】 1. 运用整数本身的基本特性分析解答简单的整数问题。 2.运用枚举方法和归纳方法的技巧。 数论是研究整数性质的一个数学分支。虽然数论问题看似简明，但是要解释清楚，并且证明它却是困难的；又因为整数以及相关的一些数学知识正是小学数学学习的重点，所以在各级各类的数学竞赛中，数论问题占有相当大的比重。 小学数学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整数性、带余除法、奇偶性、质数与合数、约束与倍数、整数的分解与分析等。分析解答数论问题，常常需要采取一些特殊的方法和技巧，本讲着重学习研讨用枚举法和归纳法分析解答数论问题的方法和技巧。 【培训示例】 例1 用三位数abc中的三个数字还可以组成五个三位数，如果这五个三位数加起 来的和是3194，那么三位数abc是是多少？（a、b、c都是不等于0的整数） 例2 从自然数1,2,3...2005中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和能被18整除？ 例3 将自然数N接写在任意一个自然数的右面得到一个新数。如果所得到的新数正好能被N 整除，那么N就称为“魔术数”。问小于2005的自然数中有多少个魔术数？ 例4 有三张扑克牌，牌面数字都在10以内。把这三张牌洗好后，分别法给甲、乙、丙三人，每人都把自己的牌的数字记下后再重新洗牌、发牌、记数，这样反复几次后，三人各自记录的数字的和顺次为13,15,23。问：这三张牌的数字分别是多少？ 例5 有一摞卡片共100张，如果将上面的第一张去掉，把下一张卡片放在这摞卡片的最下面；在把上面的第一张（即原来这摞卡片的第三张）去掉，把下一张卡片（即原来这摞卡片的第四张）放在这摞卡片的最下面。反复这样做，知道手中只剩下一张卡片，那么最后剩下的这张卡片是原来这摞卡片的第几张？ 例6 若要用天平秤出1克、2克、3克...40克这些不同的整数克重量，至少要用多少个砝码？这些砝码的重量分别是多少克？ 数论基础知识 小学数论问题,起因于除法算式：被除数÷除数＝商……余数 1.能整除：整除,因数与倍数,奇数与偶数,质数与合数,公因数与公倍数,分解质因数等； 2.不能整除：余数,余数的性质与计算（余数）,同余问题（除数）,物不知数问题（被除数）。 一、因数与倍数 1、因数与倍数 （1）定义： 定义1：若整数a能够被b整除,a叫做b的倍数,b就叫做a的因数。 定义2：如果非零自然数a、b、c之间存在a×b＝c,或者c÷a＝b,那么称a、b是c的因数,c是a、b 的倍数。 注意：倍数与因数是相互依存关系,缺一不可。（a、b是因数,c是倍数） 一个数的因数个数是有限的,最小的因数是1,最大的因数是它本身。 一个数的倍数个数是无限的,最小的倍数是它本身,没有最大的倍数。 （2）一个数的因数的特点： ①最小的因数是1,第二小的因数一定是质数； ②最大的因数是它本身,第二大的因数是：原数÷第二小的因数 （3）完全平方数的因数特征： ①完全平方数的因数个数是奇数个,有奇数个因数的数是完全平方数。 ②完全平方数的质因数出现次数都是偶数次； ③1000以内的完全平方数的个数是31个,2000以内的完全平方数的个数是44个,3000以内的完 全平方数的个数是54个。（312=961,442=1936,542=2916） 2、数的整除（数的倍数） （1）定义： 定义1：一般地,三个整数a、b、c,且b≠0,如有a÷b＝c,则我们就说,a能被b整除,或b能整除a,或a能整除以b。 定义2：如果一个整数a,除以一个整数b（b≠0）,得到一个整数商c,而且没有余数,那么叫做a能被b 整除或b能整除a,记作b|a。（a≥b） （2）整除的性质： 如果a、b能被c整除,那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。 如果a能被b整除,c是整数,那么a×c也能被b整除。 如果a能被b整除,b又能被c整除,那么a也能被c整除。 如果a能被b、c整除,那么a也能被b和c的最小公倍数整除。 （3）一些常见数的整除特征（倍数特征）： ①末位判别法 2、5的倍数特征：末位上的数字是2、5的倍数。 4、25的倍数特征：末两位上的数字是4、25的倍数。 8、125的倍数特征：末三位上的数字是8、125的倍数。 ②截断求和法（从右开始截） 9（及其因数3）的倍数特征：一位截断求和 99（及其因数3、9、11、33）的倍数特征：两位截断求和 999（及其因数3、9、27、37、111、333）的倍数特征：三位截断求和 ③截断求差法（从右开始截） 11的倍数特征：一位截断求差 101的倍数特征：两位截断求差 1. 倍数规律 末位系：2的倍数规律是末位数是偶数（即末位数是2的倍数），5的倍数规律是末位数是0或5（也即末位数是5的倍数）；4的倍数规律是末两位数是4的倍数（例如：28是4的倍数，则128、1128、23574335435328都是4的倍数），同样，25的倍数规律也是末两位是25的倍数；8的倍数规律是末三位是8的倍数，125的倍数规律是末三位是125的倍数。 练习：23400是上面提到的哪些数的倍数？（提示：0是任何数的倍数。） 数位和系：3或9的倍数规律是各个数位相加之和是3或9的倍数（例如：1+2+3=6是3的倍数但不是9的倍数，则123、321、213等等都是3的倍数而不是9的倍数；3+6=9既是3的倍数也是9的倍数，所以36、63也既是3的倍数也是9的倍数。） 练习：[ ]里能填哪些数可以使12[ ]34是3的倍数？9的倍数呢？ 数位差系：11的倍数规律是从后往前数奇数位上的数之和减去偶数位上的数之和是11的倍数。（若不够减则可通过加上11的倍数使其够减。）例：231，从后往前数，第1位是1，第2位3，第3位是2，所以奇数位的和是1+2=3，偶数位的和是3，所以奇数位和减偶数位和等于3-3=0是11的倍数，因此231就是11的倍数。6160，奇数位和等于1+0=1，偶数位和等于6+6=12，奇数位和减偶数位和不够减，但加上一个11以后就够减了，变成了1+11-12=0是11的倍数，所以6160是11的倍数。 7、11、13的倍数有个公共的规律，即将末3位与之前断开，形成两个新的数之差是7、11、13的倍数。例如：1012，把末三位断开后刚好变成了1与014（也就是12），于是这两数的差是11，因此是13的倍数，因此1014就是13的倍数。 练习：判断下列各数是不是7、11或13的倍数。 1131、25795、34177、12345 2. 分解质因数 把一个整数拆成成若干个质数（质数即只有1和本身作为因数的大于一的整数，如2、3、5、7……）相乘的形式。例：“1002255=???”就叫做把100分解质因数，而不能是1002105=??，因为10还可以进一步分解为25?。 练习：把下列各数分解质因数。 36= 24= 81= 96= 3. 质因数与整除的关系 例：12223=??，则12的倍数分解质因数后都得包含至少两个2和一个3（看上道题36和24的分解结果。）；12的因数分解质因数以后则必须包含了两个2和一个3之内，比如623=?、422=?、2、3都包含在12分解质因数的“组成”里。 练习：例如上面告诉的方法，以及36分解质因数的结果（上道题），写出36所有的因数。 欧几里得算法 欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个正整数a，b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理： 定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) (a>b 且a mod b 不为0) 证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b 假设d是a,b的一个公约数，则有 d|a,d|b，而r = a - kb，因此d|r 因此d也是（b,a mod b）的公约数 因此（a,b）和（b,a mod b）的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证欧几里得算法模板 int gcd(int n,int m) { int t,r; if(n 行程问题 基本行程问题平均速度火车过桥流水行船接送问题电梯行程 数论问题 奇偶分析数的整除约数倍数进位制余数问题完全平方数 几何问题 小学几何五大模型勾股定理与弦图巧求周长立体图形的体积 计数问题 加法原理乘法原理容斥原理排列组合枚举法归纳法 应用题 鸡兔同笼问题年龄问题盈亏问题牛吃草问题工程问题浓度问题 计算问题 分数列项与整数列项繁分数的计算数学计算公式换元法找规律 其他 数阵图与数字谜操作与策略抽屉原理逻辑推理不定方程染色问题 小学六年级奥数基础知识——数论一 一质数和合数 （1）一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。 一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。 （2）自然数除0和1外，按约数的个数分为质数和合数两类。 任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式。 要特别记住：0和1不是质数，也不是合数。 （3）最小的质数是2 ，2是唯一的偶质数，其他质数都为奇数； 最小的合数是4。 （4）质数是一个数，是含有两个约数的自然数。 互质 是指两个数，是公约数只有一的两个数，组成互质数的两个数可能是两个质数（３和５），可能是一个质数和一个合数（３和４），可能是两个合数（４和９）或1与另一个自然数。 （５）如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 （６）１００以内的质数有２５个：２、３、５、７、１１、１３、１７、１９、２３、２９、３１、３７、４１、４３、４７、５３、５９、６１、６７、７１、７３、７９、８３、８９、９７． 注意：两个质数中差为1的只有3-2 ；除2外，任何两个质数的差都是偶数。 二整除性 （１）概念 一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得 第一节 整数的p 进位制及其应用 正整数有无穷多个，为了用有限个数字符号表示出无限多个正整数，人们发明了进位制，这是一种位值记数法。进位制的创立体现了有限与无限的对立统一关系，近几年来，国内与国际竞赛中关于“整数的进位制”有较多的体现，比如处理数字问题、处理整除问题及处理数列问题等等。在本节，我们着重介绍进位制及其广泛的应用。 基础知识 给定一个m 位的正整数A ，其各位上的数字分别记为021,,,a a a m m --，则此数可以简记为：021a a a A m m --=（其中01≠-m a ）。 由于我们所研究的整数通常是十进制的，因此A 可以表示成10的1-m 次多项式，即 012 21 11010 10 a a a a A m m m m +?++?+?=---- ，其中1,,2,1},9,,2,1,0{-=∈m i a i 且 01≠-m a ，像这种10的多项式表示的数常常简记为10021)(a a a A m m --=。在我们的日常 生活中，通常将下标10省略不写，并且连括号也不用，记作021a a a A m m --=，以后我们所讲述的数字，若没有指明记数式的基，我们都认为它是十进制的数字。但是随着计算机的普及，整数的表示除了用十进制外，还常常用二进制、八进制甚至十六进制来表示。特别是现代社会人们越来越显示出对二进制的兴趣，究其原因，主要是二进制只使用0与1这两种数学符号，可以分别表示两种对立状态、或对立的性质、或对立的判断，所以二进制除了是一种记数方法以外，它还是一种十分有效的数学工具，可以用来解决许多数学问题。 为了具备一般性，我们给出正整数A 的p 进制表示： 012 21 1a p a p a p a A m m m m +?++?+?=---- ，其中1,,2,1},1,,2,1,0{-=-∈m i p a i 且 01≠-m a 。而m 仍然为十进制数字，简记为p m m a a a A )(021 --=。 第二节 整数的性质及其应用（1） 基础知识 整数的性质有很多，这里我们着重讨论整数的整除性、整数的奇偶性，质数与合数、完全平方数及整数的尾数等几个方面的应用。 1．整除的概念及其性质 在高中数学竞赛中如果不加特殊说明，我们所涉及的数都是整数，所采用的字母也表示整数。 定义：设b a ,是给定的数，0≠b ，若存在整数c ，使得bc a =则称b 整除a ，记作a b |，并称b 是a 的一个约数(因子)，称a 是b 的一个倍数，如果不存在上述c ，则称b 不能整除a 记作b a 。 由整除的定义，容易推出以下性质： (1)若c b |且a c |，则a b |(传递性质)； 第一节整数的p进位制及其应用 正整数有无穷多个，为了用有限个数字符号表示出无限多个正整数，人们发明了进位制，这是一种位值记数法。进位制的创立体现了有限与无限的对立统一关系，近几年来，国内与国际竞赛中关于“整数的进位制”有较多的体现，比如处理数字问题、处理整除问题及处理数列问题等等。在本节，我们着重介绍进位制及其广泛的应用。 基础知识 给定一个m位的正整数A，其各位上的数字分别记为，则此数可以简记为：（其中）。 由于我们所研究的整数通常是十进制的，因此A可以表示成10的次多项式，即，其中 且，像这种10的多项式表示的数常常简记为。在我们的日常生活中，通常将下标10省略不写，并且连括号也不用，记作，以后我们所讲述的数字，若没有指明记数式的基，我们都认为它是十进制的数字。但是随着计算机的普及，整数的表示除了用十进制外，还常常用二进制、八进制甚至十六进制来表示。特别是现代社会人们越来越显示出对二进制的兴趣，究其原因，主要是二进制只使用0与1这两种数学符号，可以分别表示两种对立状态、或对立的性质、或对立的判断，所以二进制除了是一种记数方法以外，它还是一种十分有效的数学工具，可以用来解决许多数学问题。 为了具备一般性，我们给出正整数A的p进制表示： ，其中且。而仍然为十进制数字，简记为。 第二节整数的性质及其应用（1） 基础知识 整数的性质有很多，这里我们着重讨论整数的整除性、整数的奇偶性，质数与合数、完全平方数及整数的尾数等几个方面的应用。 1．整除的概念及其性质 在高中数学竞赛中如果不加特殊说明，我们所涉及的数都是整数，所采用的字母也表示整数。 定义：设是给定的数，，若存在整数，使得则称整除，记作，并称是的一个约数(因子)，称是的一个倍数，如果不存在上述，则称不能整除记作。 初等数论学习总结 本课程只介绍初等数论的的基本内容。由于初等数论的基本知识和技巧与中学数学有着密切的关系， 因此初等数论对于中学的数学教师和数学系(特别是师范院校)的本科生来说，是一门有着重要意义的课程，在可能情况下学习数论的一些基础内容是有益的．一方面通过这些内容可加深对数的性质的了解，更深入地理解某些他邻近学科，另一方面，也许更重要的是可以加强他们的数学训练，这些训练在很多方面都是有益的．正因为如此，许多高等院校，特别是高等师范院校，都开设了数论课程。 最后，给大家提一点数论的学习方法，即一定不能忽略习题的作用，通过做习题来理解数论的方法和技巧，华罗庚教授曾经说过如果学习数论时只注意到它的内容而忽略习题的作用，则相当于只身来到宝库而空手返回而异。 数论有丰富的知识和悠久的历史，作为数论的学习者，应该懂得一点数论的常识，为此在辅导材料的最后给大家介绍数论中著名的“哥德巴赫猜想”和费马大定理的阅读材料。 初等数论自学安排 第一章：整数的可除性（6学时）自学18学时 整除的定义、带余数除法 最大公因数和辗转相除法 整除的进一步性质和最小公倍数 素数、算术基本定理 [x]和{x}的性质及其在数论中的应用 习题要求3p ：2，3 ； 8p ：4 ；12p ：1；17p ：1，2，5；20p ：1。 第二章：不定方程（4学时）自学12学时 二元一次不定方程c by ax =+ 多元一次不定方程c x a x a x a n n =++ 2211 勾股数 费尔马大定理。 习题要求29p ：1，2，4；31p ：2，3。 第三章：同余（4学时）自学12学时 同余的定义、性质 剩余类和完全剩余系 欧拉函数、简化剩余系 欧拉定理、费尔马小定理及在循环小数中的应用 习题要求43p ：2，6；46p ：1；49p ：2，3；53p 1，2。 第四章：同余式（方程）（4学时）自学12学时 同余方程概念 孙子定理 高次同余方程的解数和解法 素数模的同余方程 威尔逊定理。 习题要求60p ：1；64p ：1，2；69p ：1，2。 第五章：二次同余式和平方剩余（4学时）自学12学时 二次同余式 单素数的平方剩余与平方非剩余 勒让德符号 二次互反律 雅可比符号、 素数模同余方程的解法 习题要求78p ：2； 81p ：1，2，3；85p ：1，2；89p ：2；93p ：1。 第一章：原根与指标（2学时）自学8学时 指数的定义及基本性质 原根存在的条件 指标及n 次乘余 模2 及合数模指标组、 1.数论---- 数的整除和余数 2.1基本概念和基本性质 2.1.1定义 整数a除以整数b （b旳），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。 2.1.2表达式和读法 b I a,读着b能整除a;或a能被b整除；b i a,不能整除； 2.1.3基本性质 ①传递性：如果a|b,b|c,那么a|c;即b是a的倍数，c是b的倍数，则c肯定是a的 倍数； ②加减性：如果a|b、a|c，那么a|（b c）; ③因数性：如果ab|c，那么a|c, b|c;即如果ab的积能整除c,则a或b皆能整除c; ④互质性，如果a|c，b|c，且（a,b）=1,那么ab|c,即如果a能整除c,b能整除c， 且ab互质，则ab的积能整除c; ⑤a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。 2.2数的整除的判别法 221末位判别法 2.2.2数字和判别法（用以判别能否被3或9整除） 各数位上数字的和是3或9的倍数，则能被3或9整除。 173652乜:1+7+3+6+5+2 的和除以3 或9; 简便算法，利用整除的加减性，可以去掉1个或多个9，剩下数字的和x再除以3或9;如果x> 9,则余数为x-9;如果x< 9,则余数为X。 2.2.3奇偶数位判别法（用以判别能否被11整除） 从右往左编号，编号为奇数的为奇数位，编号为偶数的为偶数位，看奇数位上的数字的和与偶数位上的数字的和的两者之差是否能被11整除； 81729033-11:奇数位和为6,偶数位和为27;如果奇数位和比偶数位和小， 则奇数位和加1个或多个11，直到够减。余数的判断法与整数位的判断法一致。 224三位一截判别法（用以判别能否被7/11/13整除） 2.2.4.1基本用法 从右往左三位一截并编号，编号为奇数的为奇数段，编号为偶数的为偶数段，看奇数段的数字的和与偶数段的数字的和的两者之差是否能被7、11、13整除; 女口，86372548，奇数段的和为（548+86 ），偶数段的和为372，求两者差看能否被7整除，同样，不够减前面加1个或多个7,直到够减，余数位的判断法与整数位的判断法一致。 2.2.4.2特殊用法 ①一般求空格数 如果中间有空格，则利用加减性加或减除数7的倍数，分别从右边和左边抵消缩减位数，到最后看7的哪个倍数与缩减后的末位数相同，并看7的哪个倍数与缩减后的首位数相同，则前一个倍数的十位数和后一个倍数的个位数的和即为空格中应填的数。注意，如果这个数加或减7后为1到9间的自然数，则加或减7后的这个数也为正确答案。 395864 □ 82365，答案为5 463925 □ 01234，答案为1 和8 ②特殊求空格数 根据整除的因数性，如果1个数能被1001整除，则这个数能被7、11、13、 77、91、143整除，因为： 7X11 X13=1001; 77X13=1001; 99 X11=1001； 小学奥数知识点大全：数论问题 1．奇偶性问题 奇+奇=偶奇×奇=奇 奇+偶=奇奇×偶=偶 偶+偶=偶偶×偶=偶 2．位值原则 形如：abc=100a+10b+c 3．数的整除特征： 整除数特征 2末尾是0、2、4、6、8 3各数位上数字的和是3的倍数 5末尾是0或5 9各数位上数字的和是9的倍数 11奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，两者之差是11的倍数 4和25末两位数是4（或25）的倍数 8和125末三位数是8（或125）的倍数 7、11、13末三位数与前几位数的差是7（或11或13）的倍数 4．整除性质 ①如果c|a、c|b，那么c|(ab)。 ②如果bc|a，那么b|a，c|a。 ③如果b|a，c|a，且（b,c）=1,那么bc|a。 ④如果c|b,b|a,那么c|a. ⑤a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。 5．带余除法 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,那么一定有另外两个整数q和r，0≤r＜b,使得a=b×q+r 当r=0时，我们称a能被b整除。 当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）。用带余数除式又可以表示为a÷b=q……r,0≤r＜ba=b×q+r 6.唯一分解定理 任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即 n=p1×p2×...×pk 7.约数个数与约数和定理 设自然数n的质因子分解式如n=p1×p2×...×pk那么： n的约数个数：d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1) n的所有约数和：（1+P1+P1+…p1）（1+P2+P2+…p2）…（1+Pk+Pk+…pk） 8.同余定理 ①同余定义：若两个整数a，b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b对于模m同余，用式子表示为a≡b(modm) ②若两个数a，b除以同一个数c得到的余数相同，则a，b的差一定能被c整除。 ③两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。 ④两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差。 ⑤两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。 9．完全平方数性质 ①平方差：A-B=（A+B）（A-B），其中我们还得注意A+B，A-B同奇偶性。 ②约数：约数个数为奇数个的是完全平方数。 约数个数为3的是质数的平方。 ③质因数分解：把数字分解，使他满足积是平方数。 ④平方和。 10．孙子定理（中国剩余定理） 11．辗转相除法 12．数论解题的常用方法： 枚举、归纳、反证、构造、配对、估计 代数数论入门指南 一般代数数论都是先在具体的代数数环上出发的，常常可以在Dedekind整环上统一处理，然后通过数域的完备化发展到局部域，最后建立局部与整体类域论，本文主要科普的是局部类域论之前的代数数论基础概念。 先从迹与范的概念开始，它们实际上都源于线性代数，是特征多项式上的两个特殊的系数。设A与B是两个交换环，且B是秩为n 的自由A-模，那么任何b∈B都可以视为B的乘子L_b(x)=bx，那么这个乘子就是一个线性变换（给定基之后可以写成n×n矩阵），它的迹、范与特征多项式就是元素b对于扩张B/A的特征多项式。分别记作Tr（b），N（b）与f_b(X). 代数数论中最常见的还是域的扩张，设L/K是有限n次扩域，u∈L在K上的不可约多项式的（可能重复的）根分别为u_1,…，u_s，则u的迹与范分别为： Tr(u)=[L:K(u)]Σu_i; N(u)=(∏u_i)^[L:K(u)] 假若K是整环A的函数域，a∈L是A上的整元素，那么a对于L/K的特征多项式的系数（特别是迹与范）在A上都是整的且属于K。特别当A是整闭的，那么它们的系数搜属于A. 假若L/K是有限n次可分扩域，那么其迹形式T(u,v)=Tr(uv)是非退化的对称双线性型。可定义L的元素a_1,…,a_n对L/K的判别式为：Disc（a_1,…,a_n）=det[Tr(a_ia_j]=（det[σ_ia_j])^2，1≤ij≤n 其中σ_i是L的K-共轭。 若L=K(a),a在K上的极小多项式为f(x)=(x-a_1)…(x-a_n)，其中 a_i=σ_i(a)，则定义a对于f（x）的判别式为： Disc（1,a,…,a^(n-1)）=∏(i＜j)(a_i-a_j)^2=(-1)^n(n-1)/2Nf'(a) 这里f"(a)称为a的微分或差分（different）. 通过对三项式f（x）=x^n+bx+c的验证，这里的判别式与通常二三次多项式的判别式是一致的（见[1]). 代数数环都是Dedekind整环，其理想可以被唯一分解为素理想之积，下面我们就着重研究素理想。基本假设是这样的：A是分式域为K的Dedekind整环，L/K是n次可分扩张，B是A在L内的整闭包。 奥数数论基础知识 一质数与合数 (1)一个数除了1与它本身,不再有别的约数,这个数叫做质数(也叫做素数)。 一个数除了1与它本身,还有别的约数,这个数叫做合数。 (2)自然数除0与1外,按约数的个数分为质数与合数两类。 任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式。 要特别记住:0与1不就是质数,也不就是合数。 (3)最小的质数就是2 ,2就是唯一的偶质数,其她质数都为奇数; 最小的合数就是4。 (4)质数就是一个数,就是含有两个约数的自然数。 互质数就是指两个数,就是公约数只有一的两个数,组成互质数的两个数可能就是两个质数(３与５),可能就是一个质数与一个合数(３与４),可能就是两个合数(４与９)或1与另一个自然数。 (５)如果一个质数就是某个数的约数,那么就说这个质数就是这个数的质因数。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。 (６)１００以内的质数有２５个:２、３、５、７、１１、１３、１７、１９、２３、 ２９、３１、３７、４１、４３、４７、５３、５９、６１、６７、７１、７３、７９、８３、８９、９７. 二整除性 (１)概念 一般地,如a、b、c为整数,b≠0,且a÷b=c,即整数a除以整除b(b不等于0),除得的商c正好就是整数而没有余数(或者说余数就是0),我们就说,a能被b整除(或者说b能整除a)。记作b｜a、否则,称为a不能被b 整除,(或b不能整除a),记作b a。 如果整数a能被整数b整除,a就叫做b的倍数,b就叫做a的约数。 (２)性质 性质1:(整除的加减性)如果a、b都能被c整除,那么它们的与与差也能被c整除。 即:如果c｜a,c｜b,那么c｜(a±b)。 例如:如果2｜10,2｜6,那么2｜(10＋6),并且2｜(10—6)。 也就就是说,被除数加上或减去一些除数的倍数不影响除数对它的整除性。 性质2:如果b与c的积能整除a,那么b与c 都能整除a、 即:如果bc｜a,那么b｜a,c｜a。 性质3:(整除的互质可积性)如果b、c都能整除a,且b与c互质,那么b与c的积能整除a。 即:如果b｜a,c｜a,且(b,c)=1,那么bc｜a。 例如:如果2｜28,7｜28,且(2,7)=1, 那么(2×7)｜28。 性质4:(整除的传递性)如果c能整除b,b能整除a,那么c能整除a。 即:如果c｜b,b｜a,那么c｜a。 例如:如果3｜9,9｜27,那么3｜27。(３)数的整除特征 ①能被2整除的数的特征:个位数字就是0、2、4、6、8的整数、 ②能被5整除的数的特征:个位就是0 五年级数学0基础班 数论入门之数的整除 一、知识站点： 1．数的整除性质； 2．整除问题中的常用方法； 3．整除性质的综合运用。 二、知识讲解与相关例题： 1．数的整除性质： ⑴尾数系除数：2，5，4，25，8，125； ⑵和系除数：3，9，99； ⑶奇偶段数系除数：7，11，13； ⑷综合除数系：如6，45，72等。 (★) 有如下几个自然数：12，14，117，152，195，253，434，575，1001，1375中，哪些是2，4，8的倍数？哪些是5，25，125的倍数？哪些是3，9的倍数？哪些是7，11，13的倍数？ 2．整除问题中的常用方法： ⑴因数拆分法： ⑵试除法： 3．整除性质的综合运用： 运用整除性质可以帮助我们解决很多的问题，如数字谜，简单应用题等。 (★★) 四位数1A6B是45的倍数，请求出A、B的和。 (★★) 从1~9九张数字卡片中选出4张组成一个四位数，使它是99的倍数。这个四位数最小是多少？ (★★) 四位数20AB是17的倍数，那么两位数AB的最小值是多少？ (★★★)（2012数学解题能力展示五年级初赛） 一个电子钟表上总把日期显示为八位数，如2011年1月1日显示为20110101。如果2011年最后一个能被101整除的日子是2011ABCD，那么ABCD＝。 【本讲小结】 1．数的整除性质； 2．整除问题中的常用方法； 3．整除性质的综合运用。 附送 思思 你见，或者不见我 我就在那里 不悲不喜 你念，或者不念我 课就在那里 不来不去 你爱，或者不爱我 有效期就在那里 不增不减 你跟，或者不跟我 我的手就在你手里 不舍不弃 来我的班里 或者 2019初中奥数数论基础知识归纳 一质数和合数 (1)一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫 做素数)。一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。 (2)自然数除0和1外，按约数的个数分为质数和合数两类。 任何一个合数都能够写成几个质数相乘的形式。 要特别记住：0和1不是质数，也不是合数。 (3)最小的质数是2 ，2是的偶质数，其他质数都为奇数; 最小的合数是4。 (4)质数是一个数，是含有两个约数的自然数。 互质数是指两个数，是公约数只有一的两个数，组成互质数的两个数 可能是两个质数(3和5)，可能是一个质数和一个合数(3和4)，可能 是两个合数(4和9)或1与另一个自然数。 (5)如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 (6)100以内的质数有25个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、 29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、 83、89、97 . 二整除性 (1)概念 一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除 b(b不等于0)，除得的商c正好是整数而没有余数(或者说余数是0)， 我们就说，a能被b整除(或者说b能整除a)。记作b|a.否则，称为a 不能被b整除，(或b不能整除a)，记作b a。 如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。(2)性质性质1：(整除的加减性)如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。 即：如果c|a，c|b，那么c|(a±b)。 例如：如果2|10，2|6，那么2|(10+6)，并且2|(10—6)。也就是说，被除数加上或减去一些除数的倍数不影响除数对它的整除性。性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a. 即：如果bc|a，那么b|a，c|a。 性质3：(整除的互质可积性)如果b、c都能整除a，且b和c互质， 那么b与c的积能整除a。 即：如果b|a，c|a，且(b，c)=1，那么bc|a。 例如：如果2|28，7|28，且(2，7)=1, 那么(2×7)|28。 性质4：(整除的传递性)如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。即：如果c|b，b|a，那么c|a。 例如：如果3|9，9|27，那么3|27。 (3)数的整除特征 ①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数. ②能被5整除的数的特征：个位是0或5。突破口 ③能被3(或9)整除的数的特征：各个数位数字之和能被3(或9)整除。判断能被3(或9)整除的数还能够用“弃3(或9)法”：小学奥数数论专题知识总结
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