2014二次函数中参数的运用3
二次函数中平移与全等三角全等或相似的应用考查
平移：点平移时，注意坐标的变化规律，直线平移时注意K 值不变,b 变，二次函数平移时抓住顶点的平移平化。 全等三角形：要丛全等条件找到对应关系，是一种还是多种变化对应关系 相似三角形：要抓住特殊角的对应性，再来确定相似中的其他关系。
如图，抛物线与x 轴交于A ()0,1 、)03(，
-B 两点，与y 轴交于点C (),3,0设抛物线的顶点为D . （1）求该抛物线的解析式与顶点D 的坐标.
（2）试判断△BCD 的形状,并说明理由.
（3）探究坐标轴上是否存在点P ,使得以C A P 、、为顶点的三角形与△BCD 相似? 若存在,请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
解:(1)设抛物线的解析式为c bx ax y ++=2
由抛物线与y 轴交于点)3,0(C ,可知3=c .即抛物线的解析式为32++=bx ax y .
把点A ()0,1、点)03(，-B 代入，得?
??=+-=++03390
3b a b a 解得2,1-=-=b a
∴抛物线的解析式为322
+--=x x y .…（3分） ∵4)1(3222
++-=+--=x x x y
∴顶点D 的坐标为
)4,1-（…………（5分） (2) △BCD 是直角三角形.…………（6分）
理由如下：解法一：过点D 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为F E 、（7分）
∵在R t △BOC 中，，，33==OC OB ∴182
22=+=OC OB BC
在R t △CDF 中，，，1341=-=-==OC OF CF DF ∴22
22=+=CF DF CD 在R t △BDE 中，，，2134=-=-==OE OB BE DE ∴202
22=+=BE DE BD
∴2
22BD CD BC =+
∴△BCD 为直角三角形.………………（10分） 解法二：过点D 作DF ⊥y 轴于点F …（7分） 在R t △BOC 中，∵33==OC OB ，
∴OC OB = ∴
45=∠OCB ……………………………………………………（8分）
∵在R t △CDF 中，1341
=-=-==OC OF CF DF ， x
y
D
B
A
O
C
第26题图
x
y D
B
A
O C
F
E 解法一
x
y
D
B
A
O
C F 解法二
∴CF DF = ∴
45=∠DCF ………………………………………………（9分）
∴-=∠ 180BCD DCF ∠－
90=∠OCB
∴△BCD 为直角三角形. ………………………………………………………（10分） （3）坐标轴上存在点P ,使得以C A P 、、为顶点的三角形与△BCD 相似. …（11分）
符合条件的点P 的坐标为：)09(),3
1
0(),00(321，，，
--P P P .………………………（14分）
（12分）（2013?荆门）已知关于x 的二次函数y=x 2﹣2mx+m 2
+m 的图象与关于x 的函数y=kx+1的图象交于两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）；（x 1＜x 2） （1）当k=1，m=0，1时，求AB 的长；
（2）当k=1，m 为任何值时，猜想AB 的长是否不变？并证明你的猜想． （3）当m=0，无论k 为何值时，猜想△AOB 的形状．证明你的猜想． （平面内两点间的距离公式
）．
考点： 二次函数综合题．
分析： （1）先将k=1，m=0分别代入，得出二次函数的解析式为y=x 2
，直线的解析式为y=x+1，
联立
，得x 2
﹣x ﹣1=0，根据一元二次方程根与系数的关系得到x 1+x 2=1，x 1?x 2=
﹣1，过点A 、B 分别作x 轴、y 轴的平行线，两线交于点C ，证明△ABC 是等腰直角
三角形，根据勾股定理得出AB=AC ，根据两点间距离公式及完全平方公式求出AB=；同理，当k=1，m=1时，AB=； （2）当k=1，m 为任何值时，联立
，得x 2
﹣（2m+1）x+m 2
+m
﹣1=0，根据一元二次方程根与系数的关系得到x 1+x 2=2m+1，x 1?x 2=m 2
+m ﹣1，同（1）可求出AB=； （3）当m=0，k 为任意常数时，分三种情况讨论：①当k=0时，由
，得A （﹣
1，1），B （1，1），显然△AOB 为直角三角形；②当k=1时，联立，得x 2
﹣
x ﹣1=0，根据一元二次方程根与系数的关系得到x 1+x 2=1，x 1?x 2=﹣1，同（1）求出
AB=，则AB 2=10，运用两点间的距离公式及完全平方公式求出OA 2+OB 2
=10，由勾股定理的逆定理判定△AOB 为直角三角形；③当k 为任意实数时，联立
，
得x 2
﹣kx ﹣1=0，根据一元二次方程根与系数的关系得到x 1+x 2=k ，x 1?x 2=﹣1，根据
两点间距离公式及完全平方公式求出AB 2=k 4+5k 2+4，OA 2+OB 2═k 4+5k 2
+4，由勾股定理的逆定理判定△AOB 为直角三角形． 解答： 解：（1）当k=1，m=0时，如图．
由
得x 2
﹣x ﹣1=0，
∴x 1+x 2=1，x 1?x 2=﹣1，
过点A、B分别作x轴、y轴的平行线，两线交于点C．
∵直线AB的解析式为y=x+1，
∴∠BAC=45°，△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC=|x2﹣x1|==；
同理，当k=1，m=1时，AB=；
（2）猜想：当k=1，m为任何值时，AB的长不变，即AB=．理由如下：由，得x2﹣（2m+1）x+m2+m﹣1=0，
∴x1+x2=2m+1，x1?x2=m2+m﹣1，
∴AB=AC=|x2﹣x1|==；
（3）当m=0，k为任意常数时，△AOB为直角三角形，理由如下：
①当k=0时，则函数的图象为直线y=1，
由，得A（﹣1，1），B（1，1），
显然△AOB为直角三角形；
②当k=1时，则一次函数为直线y=x+1，
由，得x2﹣x﹣1=0，
∴x1+x2=1，x1?x2=﹣1，
∴AB=AC=|x2﹣x1|==，
∴AB2=10，
∵OA2+OB2=x12+y12+x22+y22
=x12+x22+y12+y22
=x12+x22+（x1+1）2+（x2+1）2
=x12+x22+（x12+2x1+1）+（x22+2x2+1）
=2（x12+x22）+2（x1+x2）+2
=2（1+2）+2×1+2
=10，
∴AB2=OA2+OB2，
∴△AOB是直角三角形；
③当k为任意实数，△AOB仍为直角三角形．
由，得x2﹣kx﹣1=0，
∴x1+x2=k，x1?x2=﹣1，
∴AB2=（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2
=（x1﹣x2）2+（kx1﹣kx2）2
=（1+k2）（x1﹣x2）2
=（1+k2）[（x1+x2）2﹣4x1?x2]
=（1+k2）（4+k2）
=k4+5k2+4，
∵OA2+OB2=x12+y12+x22+y22
=x12+x22+y12+y22
=x12+x22+（kx1+1）2+（kx2+1）2
=x12+x22+（k2x12+2kx1+1）+（k2x22+2kx2+1）
=（1+k2）（x12+x22）+2k（x1+x2）+2
=（1+k2）（k2+2）+2k?k+2
=k4+5k2+4，
∴AB2=OA2+OB2，
∴△AOB为直角三角形．
点评：本题考查了二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有一元二次方程根与系数的关
系，平面内两点间的距离公式，完全平方公式，勾股定理的逆定理，有一定难度．本
题对式子的变形能力要求较高，体现了由特殊到一般的思想．
1、（14分）（2014?三明）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的一个交点为A（﹣2，0），与y轴的交点为C，对称轴是x=3，对称轴与x轴交于点B．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）经过B，C的直线l平移后与抛物线交于点M，与x轴交于点N，当以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求出点M的坐标；
（3）若点D在x轴上，在抛物线上是否存在点P，使得△PBD≌△PBC？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2、2012常德中考如图，已知二次函数))(2(48
1
b ax x y ++=
的图象过点A （﹣4，3），B （4，4）． （1）求二次函数的解析式： （2）求证：△ACB 是直角三角形；
（3）若点P 在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P 作PH 垂直x 轴于点H ，是否存在以P 、H 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
二次函数专题之参数范围问题
二次函数专题之参数范围问题 1.在平面直角坐标系xoy 中，抛物线y=2 1 x 2-x+2与y 轴交于点A,顶点为点B ，点C 与点A 关于抛物 线的对称轴对称。 （1）求直线BC 的解析式； （2）点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为4，将抛物线在点A,D 之间的部分（包含点A,D ）记为图像G,若图象G 向下平移t （t ＞0）个单位后与直线BC 只有一个公共点，求t 的取值范围。 2.已知关于x 的一元二次方程ax 2-2(a-1)x+a-2=0(a ＞0). （1）求证：方程有两个不等的实数根. （2）设方程的两个实数根分别为x 1,x 2（其中x 1＞x 2）.若y 是关于a 的函数，且y=a x 2+x 1,求这个函数的表达式. （3）在（2）的条件下，若使y ≤-3a 2+1，则自变量a 的取值范围为?
3.已知关于x的方程x2+(m-2)x+m-3=0. （1）求证：方程x2+(m-2)x+m-3=0总有两个实数根； （2）求证：抛物线y=x2+(m-2)x+m-3总过x轴上的一个定点； （3）在平面直角坐标系xoy中，若（2）中的定点记作A，抛物线y=x2+(m-2)x+m-3与x轴的另一个交点为B，与y轴交于点C，且△OBC的面积小于或等于8，求m的取值范围. 4.在平面直角坐标系xoy中，二次函数y=（a-1）x2+2x+1的图像与x轴有交点，a为正整数. （1）求a的值. （2）将二次函数y=（a-1）x2+2x+1的图像先向右平移m个单位长度，再向下平移m2+1个单位长度，当-2≤x≤1时，二次函数有最小值-3，求实数m的值.
含参数二次函数分类讨论的方法
二次函数求最值参数分类讨论的方法 分类讨论是数学中重要的思想方法和解题策略,它是根据研究对象的本质属性的相同点和不同点,将对象分为不同种类然后逐类解决问题． 一般地,对于二次函数y=a (x -m )2+n ，x ∈[t ，s ]求最值的问题;解决此类问题的基本思路为：根据对称轴相对定义域区间的位置，利用分类讨论思想方法。为做到分类时不重不漏，可画对称轴相对于定义域区间的简图分类。 ①表示对称轴在区间［t ，s ］的左侧，②表示对称轴在区间［t ，s ］内且靠近区间的左端点，③表示对称轴在区间内且靠近区间的右端点，④表示对称轴在区间［t ，s ］的右侧。然后，再根据口诀“开口向上，近则小、远则大”；“开口向下，近则大、远则小”即可快速求出最值。 含参数的二次函数求最值的问题大致分为三种题型，无论哪种题型都围绕着对称轴与定义域区间的位置关系进行分类讨论 题型一：“动轴定区间”型的二次函数最值 例１、求函数2()23f x x ax =-+在[0,4]x ∈上的最值。 分析：先配方，再根据对称轴相对于区间的位置讨论，然后根据口诀写出最值。 解：222()23()3f x x ax x a a =-+=-+- ∴此函数图像开口向上，对称轴x=a ①、当a ＜0时，0距对称轴x=a 最近，4距对称轴x=a 最远， ∴x=0时，min y =3，x=4时，max y =19-8a ②、当0≤a＜2时，a 距对称轴x=a 最近，4距对称轴x=a 最远， ∴x=a 时，min y =3-a2，x=4时，max y =19-8a ③、当2≤a ＜4时，a 距对称轴x=a 最近，0距对称轴x=a 最远， ∴x=a 时，min y =3-a2，x=0时，max y =3 ④、当4≤a 时，4距对称轴x=a 最近，0距对称轴x=a 最远， ∴x=4时，min y =19-8a ，x=0时，max y =3 例2、已知函数2()(21)3f x ax a x =+--在区间3 [,2]2 -上最大值为1,求实数a 的值 分析:取a=0,a ≠0，分别化为一次函数与二次函数,根据一次函数、二次函数的性质分类讨论.
2018中考数学专题二次函数
2018中考数专题二次函数 （共40题） 1．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y=﹣x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G． （1）求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式； （2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标； （3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标； ②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM+CM它的最小值． 2．如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，其顶点为D． （1）写出C，D两点的坐标（用含a的式子表示）； （2）设S△BCD：S△ABD=k，求k的值； （3）当△BCD是直角三角形时，求对应抛物线的解析式． 3．如图，直线y=kx+b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（﹣4，0）、B（0，3），抛物线y=﹣x2+2x+1与y轴交于点C． （1）求直线y=kx+b的函数解析式； （2）若点P（x，y）是抛物线y=﹣x2+2x+1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；
（3）若点E在抛物线y=﹣x2+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+EF的最小值． 4．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与y轴相交于点A（0，3），与x正半轴相交于点B，对称轴是直线x=1 （1）求此抛物线的解析式以及点B的坐标． （2）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，M、N同时停止运动．过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒． ①当t为何值时，四边形OMPN为矩形． ②当t＞0时，△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 5．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点． （1）求抛物线的解析式； （2）在第二象限取一点C，作CD垂直X轴于点D，AC，且AD=5，CD=8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值； （3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存
人教版2014中考数学二次函数形积专题
人教版2014中考数学（二次函数形积专题） 一、.(中考变式）如图，抛物线c - =2与x轴交与A(1,0),B(-3，0)两点，顶点为D。 + y+ x bx 交Y轴于C.(1)求该抛物线的解析式与△ABC的面积。 (2)在抛物线第二象限图象上是否存在一点M，使△MBC是以∠BCM为直角的直角三角形，若存在，求出点M的坐标。若没有，请说明理由 (3)若E为抛物线B、C两点间图象上的一个动点(不与A、B重合)，过E作EF与X轴垂直，交BC于F，设E点横坐标为x.EF的长度为L， 求L关于X的函数关系式？关写出X的取值范围？ 当E点运动到什么位置时，线段EF的值最大，并求此时E点的坐标？ (4)在（5）的情况下直线BC与抛物线的对称轴交于点H。当E点运动到什么位置时,以点 E、F、H、D为顶点的四边形为平行四边形？ (5)在（5）的情况下点E运动到什么位置时，使三角形BCE的面积最大？
二. 已知二次函数y=x 2-(m 2+8)x+2(m 2+6)，设抛物线顶点为A ，与x 轴交于B 、C 两点，问是否存在实数m,使△ABC 为等腰直角三角形，如果存在求m;若不存在说明理由。 三.(湛江)如图所示，已知抛物线21y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ． 求A 、B 、C 三点的坐标．过A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ，（1）求四边形ACBP 的面积． （2）在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG ⊥x 轴点G ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与?PCA 相似．若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由． 四.如图，在等边三角形ABC 中，AB=2，点D 、E 分别在线段BC 、AC 上（点D 与点B 、C 不重合），且∠ADE=600 . 设BD=x,CE=y. （1）求y 与x 的函数表达式；（2）当x 为何值时，y 有最大值，最大值是多少？ C E D B A
中考二次函数专题复习
中考二次函数专题复习 知识点归纳： 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. y a x h =-的性质： 左加右减。 4. y a x h k =-+的性质：
1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ， ； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定 其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取 的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ， ，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值2 44ac b a -． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当
含参数的一元二次不等式的解法以及含参不等式恒成立问题(专题复习)
含参数的一元二次不等式的解法 解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元 二次不等式常用的分类方法有三种： 一、按 x 2项的系数 a 的符号分类，即 a 0,a 0,a 0; 例 1 解不等式： ax 2 a 2 x 1 0 分析： 本题二次项系数含有参数， a 2 2 4a a 2 4 0 ，故只需对二次项 系数进行分类讨论。 2 解 ：∵ a 2 2 4a a 2 4 0 a 2 a 2 4 a 2 a 2 4 ∴当 a 0时,解集为 x|x a 2 a 4 或x a 2 a 4 2a 2a 当 a 0 时，不等式为 2x 1 0, 解集为 x| x 1 例 2 解不等式 ax 2 5ax 6a 0a 0 分析 因为 a 0， 0 ，所以我们只要讨论二次项系数的正负。 解 a(x 2 5x 6) a x 2 x 3 0 当 a 0时，解集为 x|x 2或x 3 ；当 a 0时，解集为 x|2 x 3 、按判别式 的符号分类，即 0, 0, 0 ； 例 3 解不等式 x 2 ax 4 0 分析 本题中由于 x 2 的系数大于 0, 故只需考虑 与根的情况。 解： ∵ a 2 16 ∴当 a 4,4 即 0 时，解集为 R ； 解得方程 2 ax 2 a 2 x 1 0 两根 x 1 a 2 a 2 4 2a , x 2 a 2 a 2 4 2a 当 a 0时 , 解集为 x| a 2 a 2 4 2a x a 2 a 2 4 2a
当 a 4即Δ＝0时，解集为 x x R 且x a ； 当 a 4 或 a 4 即 0, 此时两根分别为 x 1 a a 16 ， x 2 2 x 1 x 2 , a a 2 16 a a 2 16 x 或 x 〈 22 例 4 解不等式 m 2 1 x 2 4x 1 0 m R 2 2 2 2 解 因 m 2 1 0, ( 4)2 4 m 2 1 4 3 m 2 当 m 3或 m 3 ，即 0 时，解集为 R 。 2 三、按方程 ax bx c 0 的根 x 1 , x 2的大小来分类，即 x 1 x 2,x 1 x 2 ,x 1 x 2； 1 例 5 解不等式 x 2 (a )x 1 0 (a 0) a 1 分析： 此不等式可以分解为： x a (x ) 0 ，故对应的方程必有两解。本题 a 只需讨论两根的大小即可。 11 解： 原不等式可化为： x a (x ) 0 ，令 a ，可得： a 1 aa 11 ∴当 a 1或 0 a 1时， a ，故原不等式的解集为 x |a x ； a 1 当 a 1 或 a 1 时， a , 可得其解集为 ； a 11 当 1 a 0或a 1时, a ,解集为 x| x a a 例 6 解不等式 x 2 5ax 6a 2 0 ， a 0 分析 此不等式 5a 2 24a 2 a 2 0 ，又不等式可分解为 x 2a (x 3a) 0 ，故 所以当 m 3 ，即 0 时，解集为 x| x 1 2 当 3 m 3 ，即 0 时，解集为 2 3 m 2 x 或 x m 2 1 2 m 2 1 3 m 2 ； ； a a 2 16 a a 16 ，显然 ∴不等式的解集为
2017中考二次函数专题(含答案)
1.如图，抛物线y=x 2+bx+c 与直线y=x ﹣3交于A 、B 两点，其中点A 在y 轴上，点B 坐标为（﹣4，﹣5），点P 为y 轴左侧的抛物线上一动点，过点P 作PC ⊥x 轴于点C ，交AB 于点D ．（1）求抛物线的解析式；（2）以O ，A ，P ，D 为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．（3）当点P 运动到直线AB 下方某一处时，过点P 作PM ⊥AB ，垂足为M ，连接PA 使△PAM 为等腰直角三角形，请直接写出此时点P 的坐标． 2. 在直角坐标系xoy 中，(0,2)A 、(1,0)B -，将ABO ?经过旋转、平移变化后得到如图15.1所示的BCD ?. （1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）连结AC ，点P 是位于线段BC 上方的抛物线上一动点，
若直线PC 将ABC ?的面积分成1:3两部分，求此时点P 的坐标；（3）现将ABO ?、BCD ?分别向下、向左以1:2的速度同时平移，求出在此运动过程中ABO ?与BCD ?重叠部分面积的最大值. 3. 如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为直线x ＝－1，且经过A （1，0），C （0，3）两点，与x 轴的另一个交点为B .⑴若直线y ＝mx ＋n 经过B ，C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；⑵在抛物线的对称轴x ＝－1上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求点M 的坐标；⑶设点P 为抛物线的 图15.1 C D O B A x y
对称轴x ＝－1上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标． 4. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线8y 2-+=bx ax 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，直线l 经过坐标原点O ，与抛物线的一个交点为D ，与抛物线的对称轴交于点E ，连接CE ，已知点A ，D 的坐标分别为 （－2，0），（6，－8）．（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B 和点E 的坐标；（2 ）试探究抛物线上是 第25题图
含字母参数的二次函数问题
含字母参数的二次函数问题 引入 1.什么是函数？ 2.我们已经学过哪些函数？ 3.对于函数我们需要掌握哪些知识？ 二次函数知识点回顾 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数c bx ax y ++=2 用配方法可化成：()k h x a y +-=2 的形式，其中 a b a c k a b h 4422 -=-=，. 3.求抛物线的顶点、对称轴的方法 （1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 44222 2 -+ ?? ? ??+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2- =. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2 的形式，得到顶 点为(h ,k )，对称轴是直线h x =. 4.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2 ax y =；②k ax y +=2 ；③ ()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2 ；⑤c bx ax y ++=2.
它们的图像特征如下： 开口大小与｜a ｜成反比，｜a ｜越大，开口越小；｜a ｜越小，开口越大. 5.用待定系数法求二次函数的解析式: （1）一般式：c bx ax y ++=2 .已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2 .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. （3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 6.二次函数与一元二次方程的关系： （1）一元二次方程20ax bx c ++=就是二次函数c bx ax y ++=2 当函数y 的值为0时的情况． （2）二次函数c bx ax y ++=2 的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、 没有交点；当二次函数 c bx ax y ++=2 的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值，即一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c=0的根． （3）当二次函数c bx ax y ++=2 的图象与 x 轴有两个交点时，则一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根；当二次函数c bx ax y ++=2 的图象与x 轴有一个交点时，则一元 二次方程02 =++c bx ax 有两个相等的实数根；当二次函数y ＝ax 2 + bx+c 的图象与 x 轴没有交点时，则一元二次方程02 =++c bx ax 没有实数根． 练习1．请你利用配方法求下列函数的对称轴和顶点坐标。 （1）2 25y x x =++ （2）2 261y x x =+- （3）(2)(5)y x x =++ （4）(23)(1)y x x =+-
中考数学二次函数复习专题
初中数学二次函数复习专题 〖知识点〗二次函数、抛物线的顶点、对称轴和开口方向 〖大纲要求〗 1． 理解二次函数的概念； 2． 会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法 画二次函数的图象； 3． 会平移二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象得到二次函数y ＝a(ax ＋m)2 ＋k 的图象，了解特殊与一 般相互联系和转化的思想； 4． 会用待定系数法求二次函数的解析式； 5． 利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x 轴的交点坐标和函 数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。 内容 （1）二次函数及其图象 如果y=ax 2 +bx+c(a,b,c 是常数，a ≠0),那么，y 叫做x 的二次函数。 二次函数的图象是抛物线，可用描点法画出二次函数的图象。 （2）抛物线的顶点、对称轴和开口方向 抛物线y=ax 2 +bx+c(a ≠0)的顶点是)44,2(2a b ac a b --，对称轴是a b x 2-=，当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下。 抛物线y=a （x+h ）2+k(a ≠0)的顶点是（-h ，k ），对称轴是x=-h. 〖考查重点与常见题型〗 1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如： 已知以x 为自变量的二次函数y ＝(m －2)x 2＋m 2 －m －2额图像经过原点， 则m 的值是 2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内 考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数y ＝kx ＋b 的图像在第一、二、三象限内，那么函数 y ＝kx 2 ＋bx －1的图像大致是（ ） 和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为x ＝5 3 ，求这条抛物线的解析式。 4． 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如： 已知抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴的两个交点的横坐标是－1、3，与y 轴交点的纵坐标是－32 （1） 确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 5．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。 习题1: 一、填空题：（每小题3分，共30分） １、已知Ａ（３，６）在第一象限，则点Ｂ（３，－６）在第象限 ２、对于ｙ＝－１ ｘ ，当ｘ＞０时，ｙ随ｘ的增大而 ３、二次函数ｙ＝ｘ２ ＋ｘ－５取最小值是，自变量ｘ的值是 ４、抛物线ｙ＝（ｘ－１）２ －７的对称轴是直线ｘ＝ ５、直线ｙ＝－５ｘ－８在ｙ轴上的截距是 ６、函数ｙ＝ １ ２－４ｘ 中，自变量ｘ的取值范围是 ７、若函数ｙ＝（ｍ＋１）ｘｍ２＋３ｍ＋１ 是反比例函数，则m 的值为 ８、在公式１－ａ ２＋ａ ＝ｂ中，如果ｂ是已知数，则ａ＝ ９、已知关于ｘ的一次函数ｙ＝（ｍ－１）ｘ＋７，如果ｙ随ｘ的增大而减小，则ｍ的 取值范围是 １０、 某乡粮食总产值为ｍ吨，那么该乡每人平均拥有粮食ｙ（吨），与该乡人口 数ｘ的函数关系式是 二、选择题：（每题3分，共30分） １１、函数ｙ＝ｘ－５中，自变量ｘ的取值范围 （ ） (Ａ)ｘ＞５ (Ｂ)ｘ＜５ (Ｃ)ｘ≤５ (Ｄ)ｘ≥５ １２、抛物线ｙ＝（ｘ＋３）２ －２的顶点在 （ ） (Ａ)第一象限 (Ｂ) 第二象限 (Ｃ) 第三象限 (Ｄ) 第四象限 １３、抛物线ｙ＝（ｘ－１）（ｘ－２）与坐标轴交点的个数为 （ ） (Ａ)０ (Ｂ)１ (Ｃ)２ (Ｄ)３ １４、下列各图中能表示函数和在同一坐标系中的图象大致是（ ） (Ａ) (Ｂ) (Ｃ) (Ｄ) 15．平面三角坐标系内与点（3，－5）关于ｙ轴对称点的坐标为（ ） （A ）（－3,5） （B ）（3,5） （C ）（－3，－5） （D ）（3，－5） 16．下列抛物线，对称轴是直线ｘ＝1 2 的是（ ） （A ） ｙ＝12 ｘ2（B ）ｙ＝ｘ2＋2ｘ（C ）ｙ＝ｘ2＋ｘ＋2（D ）ｙ＝ｘ2 －ｘ－2 17．函数ｙ＝3ｘ 1－2ｘ 中，ｘ的取值范围是（ ） （A ）ｘ≠0 （B ）ｘ＞12 （C ）ｘ≠12 （D ）ｘ＜1 2
2014中考二次函数压轴题选编
2014年中考压轴题选编 1如图1，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线y ＝ax 2＋bx （a ＞0）经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，AO ＝BO ＝2，∠AOB ＝120°． （1）求这条抛物线的表达式； （2）连结OM ，求∠AOM 的大小； （3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标． 2，已知抛物线的方程C 1：1(2)()y x x m m =-+- (m ＞0)与x 轴交于点B 、C ，与y 轴交于点E ，且点B 在点C 的左侧． （1）若抛物线C 1过点M (2, 2)，求实数m 的值； （2）在（1）的条件下，求△BCE 的面积； （3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H ，使得BH ＋EH 最小，求出点H 的坐标； （4）在第四象限内，抛物线C 1上是否存在点F ，使得以点B 、C 、F 为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由． 3抛物线经过点A (4，0)、B （1，0)、C （0，－2）三点．（1）求此抛物线的解析式； （2）P 是抛物线上的一个动点，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在点P ，使得以A 、P 、M 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出符合条件的 点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC 上方的抛物线是有一点D ，使得△DCA 的面积最大，求出点D 的坐标． ,
4如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (－1,0)、B (3, 0)、C (0 ,3)三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式； （2）设点P 是直线l 上的一个动点，当△P AC 的周长最小时，求点P 的坐标； （3）在直线l 上是否存在点M ，使△MAC 为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 5如图1，点A 在x 轴上，OA ＝4，将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°至OB 的位置． （1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 的抛物线的解析式； （3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使得以点P 、O 、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 6如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于C 点，且经过点(23)a -，，对称轴是直线1x =，顶点是M ． （1）求抛物线对应的函数表达式； （2）经过C ,M 两点作直线与x 轴交于点N ，在抛物线上是否存在这样的点P ，使以点P A C N ，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
含参数的二次函数求值域问题解析.doc
含参数的二次函数求值域问题专题 有时参数在区间上， 有时参数在解析式上， 构成了有时轴动区间定， 而有时轴定区间动 1 函数f(x)=x 2 -2x2的定义域为 Li, mJ 值域为41…由实数m 的取值范围是 H, 31 2 已知函数f(x)=x 2 -2x+3在区间d, rnJk 有最大值3,最小值2,则实数m 的取值范围是 匕2】 2 2 3 已知f (x) = -4x + 4ax 4a -a 在区间［0, 1］内有最大值一5,求a 的值? 3 a 解：??? f(x)的对称轴为X0二厂①当0 <- <1,即o 2时[f ( x)lmax= f ⑴=-4 殳2 = -5八 a = ±1 不合； 综上，a =—或a.= —5? 2 4已知定义在区间 ［0,3］上的函数f(x)= kx- 解析:V f(x)= k(x- %— k, (1) 当k>0时，二次函数图象开口向上，当 ?k= 1； (2) 当k<0时，二次函数图象开口向下，当 —3. (3) 当k= 0时，显然不成立. 故k 的取值集合为{1, — 3}? 答案：{1, - 3} o =—x -ax b 有最小值一1,最大值1 ?求使函数取 得最大值和最小值吋相应的 x 的值? a 解：a>0, /. f(X )对称轴 X = —— V 0 J. [ f ( X )] min = f ( X )= —1 二 3 = b ； a 2kx 的最大值为3,那么实数k 的取值范围为 ___________ ? 2 x= 3时，f(x)有最大值，f(3) = k - 3-2kx3= 3k= 3 x= 1 时，f(x)有最大值，f(1)= k- 2k=- k= 3?k= 5. 已知 a>0,当 x e 函数 f (x) \T2 /(\ XI -
中考试题二次函数专题
2009年中考试题二次函数专题 1. (2009台州)c bx ax y ++=2 x … 1- 0 1 3 … y … 3- 1 3 1 … 则下列判断中正确的是（ ） A ．抛物线开口向上 B ．抛物线与y 轴交于负半轴 C ．当x ＝4时，y ＞0 D ．方程02=++c bx ax 的正根在3与4之间 2. （2009南州）抛物线的图象如图1所示，根据图象可知，抛物线的解 析式可能．． 是（ ） A 、y=x 2-x-2 B 、y=121212++- x C 、y=12 1212+--x x D 、y=22++-x x 3. (2009南充)抛物线(1)(3)(0)y a x x a =+-≠的对称轴是直线（ ） A ．1x = B ．1x =- C ．3x =- D ．3x = 4. （2009莆田）二次函数2241y x x =-++的图象如何平移就褥到22y x =-的图像 ( ) A ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位． B ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位． C ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位． D ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位。 5. （2009丽水）已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，给 出以下结论： ①a ＞0. ②该函数的图象关于直线1x =对称. ③当13x x =-=或时，函数y 的值都等于0. 其中正确结论的个数是 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 6. （2009遂宁）把二次函数34 12+--=x x y 用配方法化成()k h x a y +-=2的形式 A.()22412+--=x y B. ()424 12+-=x y C.()42412++-=x y D. 321212+??? ??-=x y 7. （2009嘉兴）已知0≠a ，在同一直角坐标系中，函数ax y =与2ax y =的图象有可能是（ ） 图1 (第7题) O
最新含参数的二次函数问题教学文案
杭九年级数学校本作业 编制人： 含参数的二次函数问题 姓名_________ 1、将二次函数2 ()1y x k k =--++的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位后，顶点在直线21y x =+上，则k 的值为（ ） A ．2 B ．1 C ．0 D ．1- 2、关于x 的二次函数 2()1y x m =--的图象与x 轴交于A,B 两点，与y 轴交于点C.下列说法正确的是（ ） A ．点C 的坐标是（0，-1） B ．点(1, -2m )在该二次函数的图象上 C ．线段AB 的长为2m D ．若当1≤x 时，y 随x 的增大而减小，则1≥m 3、如图，抛物线2+(0)y ax bx c a =+≠过点（1，0）和点（0，-4），且顶 点在第三象限，设P =c b a +-，则P 的取值范围是（ ） A ．-8＜P ＜0 B ．-8＜P ＜-4 C ．-4＜P ＜0 D ．-2＜P ＜0 4、下列四个说法： ①已知反比例函数6y x =，则当32 y ≤时自变量x 的取值范围是4x ≥； ②点11(,)x y 和点22(,)x y 在反比例函数3y x =- 的图象上，若12x x <，则12y y <； ③二次函数228+13-30)y x x x =+≤≤（的最大值为13，最小值为7； ④已知函数2213y x mx =++的图象当24x ≤时，y 随着x 的增大而减小，则m =23 -． 其中正确的是（ ） A ．④ B ．①② C ．③④ D ．四个说法都不对 5、已知下列命题： ①对于不为零的实数c ，关于x 的方程1+=+c x c x 的根是c ；
(完整)初三中考二次函数专题复习
第二十六章 二次函数 【知识梳理】 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数c bx ax y ++=2 用配方法可化成：()k h x a y +-=2 的形式，其中 a b a c k a b h 4422 -=-=，. 3.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0