3.1二元函数的定义与几何意义
二元函数的定义与几何意义
以前所学的函数都是一元函数，但是在实际问题中，所涉及的函数的自变量的个数往往不只是一个，有的是两个，甚至更多。
例如，一个圆锥体的体积，它有两个独立的变量r 、h 。
某种商品的市场需求量Q 不仅与市场价格p 有关，而且与消费者平均收入以及需要这种商品的人数N 有关,同时，还与这种商品的其他代用品的价格等因素有关；从而决定该商品需求量的自变量不只一个而是多个
可见在许多实际问题中往往需要研究因变量与几个自变量之间的关系，为此，就需要进一步讨论自变量为两个，或者更多情形下的多元函数。
本节以二个独立的变量为基础，首先给出二元函数的概念。
2
13V r h π=
函数的微分法从一元函数发展到二元函数本质上要出现一些新东西，但从二元函数到二元以上函数则可以类推，因此这里基本上只讨论二元函数。
本章内容为多元函数微分学。多元微积分的概念、理论、方法是一元微积分中相应概念、理论、方法的推广和发展，它们既有相似之处（概念及处理问题的思想方法）又有许多本质的不同，要善于进行比较，既要认识到它们的共同点和相互联系，更要注意它们的区别，研究新情况和新问题，深刻理解，融会贯通。
本节以二个独立的变量为基础，首先给出二元函数的概念。
1.二元函数
若对于变量x ,y 在其可能取值的某一范围D 内的每一组值(x ,y )，依照某一对应法则f ，变量z 都有确定的值与之相对应，则称变量z 为变量x ,y 的二元函数，记为z= f (x ,y )，其中x ,y 称为自变量，D 称为二元函数的定义域．
定义8.1.1数集{|(,),(,)}z z f x y x y D =∈称为该函数的值域.类似地，可以定义三元函数以及三元以上的函数.二元以及二元以上的函数统称为多元函数.
约定用算式表达的二元函数z= f (x ,y )的定义域，是使该算式有意义的自变量的全体所确定的平面点集.
具体在求二元函数的定义域时与一元函数相仿．
例如：求二元函数定义域为{}2
2
(,)1x y x y +≤圆域图形为中心在原点的上半球面.
22
1z x y
=--x
z
y
1o
一组概念：
1.区域：全部xOy 坐标平面或由曲线所围成的部分平面常用字母D 表示
2.边界：围成区域的曲线称为该区域的边界
3.开区域：不包括边界的区域
4.闭区域：连同边界在内的区域
二元函数的定义域通常是由一条或几条曲线所围成的平面区域，
围成区域的曲线叫做该区域边界.
注
5.有界区域与无界区域：如果一个区域可以被包含在一个以原点为圆心，适当长为半径的圆内，否则为无解区域
6.内点：开区域内的点
7.边界点：边界上的点
8.区域的表示：与用区间表示不定式一样，区域也可以
用不等式或不等式组表示
2
2
{(,)14},
x y x y <+<例如开区域:其图形为：其图形为：
x
y o
2
2
{(,)14},
x y x y ≤+≤又如闭区域:x
y o
{(,)0}
x y x y
+≥闭区域：
其图形为：
其图形为：O x
y
x y
+=
x y
+>
{(,)0}
x y x y
+>开区域：
O x y
x y
+=0
x y +≥
例1求函数1ln()z x y x
=
+的定义域
．
解：ln()x y +由于分式的分母不能为零，开偶次方根时根号下的表达式
不小于零，因此应有x >0，而
中真数必须大于零，即x +y >0，
因此所给函数的定义域为
00
x x y >??
+>?0
=+y x x
y
D
图1
图1所示阴影区域D.
解：函数的定义域为
?
??>-+≥--010
9222
2
y x y x 即???>+≤+19222
2y x y x 综上有
22
{(,)|19}D x y x y =<+≤表示圆的外侧（不包括圆周）和
12
2
=+y x 圆的内侧（包括圆周）内的所有点. 如图2所示阴影区域D.
92
2=+y x 1
1
D
x
y
3
3图.2
1
192
2
2
2
-++
--=y x y x z 例2求函数的定义域．
二元函数的几何意义
一元函数一般表示平面上的一条曲线；对于二元函数，在空间直角坐标系中一般表示曲面
∑
如图，定义域就是曲面在面上的投影区域
D xy
∑
x
y
z
o
2222
x y z a a ++=例如，表示的曲面为球心在原点，半径为的球面（见右图）
222
z a x y =--而表示的为上半球面2
2
2
z a x y =---表示的是下半球面
二次函数的几何最值问题
二次函数与几何图形结合 ---探究面积最值问题 〖方法总结〗： 在解答面积最值存在性问题时，具体方法如下： ①根据题意，结合函数关系式设出所求点的坐标，用其表示出所求图形的线段长； ②观察所求图形的面积能不能直接利用面积公式求出，若能，根据几何图形面积公式得到点的坐标或线段长关于面积的二次函数关系式，若所求图形的面积不能直接利用面积公式求出时，则需将所求图形分割成几个可直接利用面积公式计算的图形，进行求解； ③结合已知条件和函数图象性质求出面积取最大值时的点坐标或字母范围。 （2014?达州）如图，在平面直角坐标系中，己知点O（0，0），A（5，0），B（4，4）． （1）求过O、B、A三点的抛物线的解析式． （2）在第一象限的抛物线上存在点M，使以O、A、B、M为顶点的四边形面积最大，求点M的坐标． （3）作直线x=m交抛物线于点P，交线段OB于点Q，当△PQB为等腰三角形时，求m的值．
（2014自贡）如图，已知抛物线c x ax y +- =232与x 轴相交于A 、B 两点，并与直线221-=x y 交于B 、C 两点，其中点C 是直线22 1-=x y 与y 轴的交点，连接AC ． （1）求抛物线的解析式； （2）证明：△ABC 为直角三角形； （3）△ABC 内部能否截出面积最大的矩形DEFG ？（顶点D 、E 、F 、G 在△ABC 各边上）若能，求出最大面积；若不能，请说明理由．
（2014黔西南州）（16分）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足点为E，连接AE． （1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标； （2）如果P点的坐标为（x，y），△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值； （3）在（2）的条件下，当S取到最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P′，求出P′的坐标，并判断P′是否在该抛物线上．
云南省昆明市2019届高三1月复习诊断测试文科数学试题(解析版)
昆明市2019届高三复习诊断测试文科数学 一、选择题：本题共1小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合，，则（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由集合交集的运算求解即可. 【详解】由集合，，则 故选：B. 【点睛】此题考查了集合的交集运算，属于基础题. 2.在复平面内，复数对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】 利用复数的运算法则、几何意义即可得出． 【详解】在复平面内，复数==1﹣i对应的点（1，﹣1）位于第四象限． 故选：D． 【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3.某商家今年上半年各月的人均销售额(单位：千元)与利润率统计表如下： 根据表中数据，下列说法正确的是
A. 利润率与人均销售额成正比例函数关系 B. 利润率与人均销售额成反比例函数关系 C. 利润率与人均销售额成正相关关系 D. 利润率与人均销售额成负相关关系 【答案】C 【解析】 【分析】 由表格中的数据和线性相关关系的定义即可得到. 【详解】由表格中的数据显示，随着人均销售额的增加，利润率也随之增加，由变量之间的关系可得人均销售额和利润率成正相关关系. 故选：C. 【点睛】本题主要考查变量间的相关关系的定义，考查学生对基础知识的掌握，属于基础题. 4.已知，， ，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由指数函数的单调性得，与常数‘1’比较得 即可得答案. 【详解】因为在R 上递减，且 ，所以 .又因为 在R 上递增，且 ，所以 . 所以. 故选：D. 【点睛】本题考查了指数函数的单调性和与常数‘1’比较大小，属于基础题. 5.在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由任意角的三角函数的定义得 和 ，由正弦的两角和计算公式可得 .
反比例函数k的几何意义
反比例函数k 的几何意义 一、教学目标 1.理解反比例函数y=k/x(k ≠0)中比例系数k 的几何意义； 2.通过由特殊到一般,再由一般到特殊的探究方法,感受知识的形成过程,能够根据反比例函数表达式求出相关图形的面积,会根据图形的面积确定反比例函数中k 的值; 3.通过反比例函数与矩形的对应关系渗透数形结合的思想,使学生感受到代数与几何的内在联系,矩形的两条邻边的长度变化而面积不变,渗透了整体思考的数学思想方法。 二、教学过程 （一）、情境引入 1、平面直角坐标系内一点P （x ，y ）到x 轴的距离为______，到y 轴的距离为______. 2、反比例函数的定义是什么？如何确定系数k 的值？ 3、反比例函数的系数k 能决定函数图像的什么？ 反比例函数的比例系数k 有一个很重要的几何意义，这节课我们来共同研究一下： （二）、探究新知 1、已知反比例函数 x y 2 -=图象上任一点A 作x 轴、y 轴的垂线AB 、AC ，垂足为 B 、 C （如下图所示）， （1）则矩形ABOC 的面积是否发生变化？若不变，请求出其面积；若改变，请说明理由。 （2）则△AOB 的面积呢？ （3）当k=5时呢？ 学生自己先完成，在合作讨论展示，最后老师补充； 2、归纳总结： 过双曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，它们与x 轴、y 轴所 围成的矩形面积为常数 。
过双曲线上任意一点作x 轴（或y 轴）的垂线，连接这点和原点 的线段，它们与x 轴（或y 轴）所围成的三角形的面积为常数21。 在解有关反比例函数的问题时，若能灵活运用反比例函数中k 的几何意义，会给解题带来很多方便。现举例说明。 （三）、应用 1、基础练习 （1）若P 点为反比例函数（k ＜0）上任意一点，过P 点向x 轴作垂线交于A 点，已知S△AOP=4，则反比例函数的解析式为__________ （变式）如下图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，菱形OABC 的对角线OB 在x 轴上，菱形面积为8，函数的图象经过点A ，则k 的值是_____． （2）.如下图所示，设A 为反比例函数图象上一点，且长方形ABOC 的面积为3，则这个反比例函数解析式为______． （变式）.如上图，点A 是反比例函数图象上一点，过点A 作AB ⊥y 轴于点B ，点C 、D 在x 轴上，且BC ∥AD ，四边形ABCD 的面积为3，则这个反比例函数的解析式为________. 2、提升练习 （1）、如下图，函数的图象与矩形?OABC 的边AB 、BC 交于M 、N 两点，O 为坐标原点，A 点在x 轴上，C 点在y 轴上，B （4，2），那么四边形OMBN 的面积为_________
二次函数中几何的最值问题
二次函数中几何的最值问题 一、解答题 1、如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（－2，0）、B （6，0）、C（0，－2），抛物线y=a+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点。 （1）求直线AC的解析式； （2）求此抛物线的解析式； （3）若抛物线的顶点为D，试探究在直线AC上是否存在一点P，使得△BPD的周长最小，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。 2、如图，已知抛物线y=-+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）。 （1）求m的值及抛物线的顶点坐标； （2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标。
3、如图，二次函数y=a+bx的图象经过点A（2，4）与B（6，0）． （1）求a，b的值； （2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x（2＜x＜6），写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值。 4、如图，抛物线y=+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）经过点A（﹣1，0），B（5，﹣6），C（6，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，在直线AB下方的抛物线上是否存在点P使四边形PACB的面积最大若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点Q为抛物线的对称轴上的一个动点，试指出△QAB为等腰三角形的点Q 一共有几个并请求出其中某一个点Q的坐标．
5、如图，长方形OABC的OA边在x轴的正半轴上，OC在y轴的正半轴上，抛物线y=+bx经过点B（1，4）和点E（3，0）两点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点D在线段OC上，且BD⊥DE，BD=DE，求D点的坐标； （3）在条件（2）下，在抛物线的对称轴上找一点M，使得△BDM的周长为最小，并求△BDM周长的最小值及此时点M的坐标； （4）在条件（2）下，从B点到E点这段抛物线的图象上，是否存在一个点P，使得△PAD的面积最大若存在，请求出△PAD面积的最大值及此时P点的坐标；若不存在，请说明理由． 6、如图，抛物线y=-3x+与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E （1）求直线BC的解析式； （2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标。
绝对值几何意义知识点、经典例题及练习题带答案
绝对值的几何意义 【考纲说明】 1、 理解绝对值的几何意义，了解绝对值的表示法，会计算有理数的绝对值； 2、 能够利用数形结合思想来理解绝对值的几何意义，根据绝对值的意义及性质进行简单应用。 【趣味链接】 正式篮球比赛所用球队质量有严格的规定,下面是6个篮球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数，检测结果为：-20，+10、+12、-8、-11 请指出那个篮球的质量好一些,并用绝对值的知识进行说明。 【知识梳理】 1、绝对值的定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作|a|。 2、绝对值的性质： （1） 绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性质； a （a ＞0） （2） |a|= 0 （a=0） （代数意义） -a (a ＜0) （3） 若|a|=a ，则a≥0；若|a|=-a ，则a≤0； （4） 任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|≥a ， 且|a|≥-a ； （5） 若|a|=|b|，则a=b 或a=-b ；（几何意义） （6） |ab|=|a|·|b|；|b a |=| |||b a （b≠0）； （7） |a|2=|a 2|=a 2 ； （8） |a+b|≤|a|+|b| |a -b|≥||a|-|b|| |a|+|b|≥|a+b| |a|+|b|≥|a -b|
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