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考研数学高数真题分类—多元函数微分学

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第六章多元函数微分学

综述：本章是对一元函数中极限、连续、导数与微分等知识的推广，主要考点是围绕偏导数的一系列计算，由于多元函数微分学计算的复杂性要大于一元函数，考试在微分学中的大题一般都出在本章.在考试中，每年直接涉及到本章知识所占的分值平均在12分左右.

本章的主要知识点有：二重极限的定义及其简单的性质，二元函数的连续、偏导数和可微，多元函数偏导数的计算，方向导数与梯度，多元函数的极值，曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线.其中学习的难点是二重极限、二元函数连续、有偏导数和可微这些概念.这一部分考查的频率不高，且以小题为主，考生在学习时要注重把握相关概念严格的数学定义，并与一元函数的相关概念进行比较.本章考查的重点在偏导数的计算及其应用上：首先，偏导数的计算与一元函数的求导并无本质区别，考生只需将一元函数求导的相关知识进行推广，就可以得到偏导数相应的计算公式；在全面掌握了偏导数的计算方法之后，考生还需要掌握偏导数的各种应用，包括多元函数的极值（无条件极值与条件极值）、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线，对于它们，考生只要能计算偏导数，再记住相关的公式定理即可.

本章常考的题型有：1.关于连续、偏导数与全微分定义的考查；2.偏导数的计算；3.方向导数与梯度；4.极值，5.空间曲线的切线与法平面，6.空间曲面的切平面与法线.

常考题型一：连续、偏导数与全微分

1．【1994-1 3分】二元函数(,)f x y 在点()00,x y 处两个偏导数0000(,),(,)x y f x y f x y ''存在是(,)f x y 在该点连续的（）

()A 充分条件而非必要条件()B 必要条件而非充分条件

()C 充分必要条件()D 既非充分条件又非必要条件

2．【1997-1 3分】二元函数22(,)(0,0)(,)0(,)(0,0)xy

x y x y f x y x y ?≠ += =?

，，，在点(0,0)处（）

()A 连续，偏导数存在 ()B 连续，偏导数不存在

()C 不连续，偏导数存在

()D 不连续，偏导数不存在

3．【2002-1 3分】考虑二元函数(,)f x y 的下面4条性质，正确的是（） ①(,)f x y 在点00(,)x y 处连续②(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个偏导数连续 ③(,)f x y 在点00(,)x y 处可微④(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个偏导数存在

()A ②?③?①()B ③?②?①()C ③?④?①()D ③?①?④

4．【2003-3 4分】设可微函数(,)f x y 在点),(00y x 取得极小值，则下列结论正确的是

()A ),(0y x f 在0y y =处的导数等于零. ()B ),(0y x f 在0y y =处的导数大于零. ()

C ),(0y x f 在0y y =处的导数小于零. ()

D ),(0y x f 在0y y =处的导数不存在.

5．【2007-1 4分】二元函数(,)f x y 在点()0,0处可微的一个充分条件是（）

()A ()[](,)0,0lim (,)(0,0)0x y f x y f →-=. ()B 0

0(,0)(0,0)(0,)(0,0)

lim 0,lim

0x y f x f f y f x y

→→--==且.

()

C ((,)0,0lim 0x y →=.

()D 00lim (,0)(0,0)0,lim (0,)(0,0)0x x y y

x y f x f f y f →

→????''''-=-=????

且. 6．【2008-3 4分】已知(,)f x y =，则

()

A (0,0)x f '，(0,0)y f '都存在()

B (0,0)x f '不存在，(0,0)y f '存在

()C (0,0)x f '不存在，(0,0)y f '不存在()D (0,0)x f '，(0,0)y f '都不存在

7．【2012-1 4分】如果(,)f x y 在()0,0处连续，那么下列命题正确的是（）（A ）若极限0

(,)

lim

x y f x y x y

→→+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微

（B ）若极限22

(,)

lim

x y f x y x y

→→+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微（C ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限00

(,)

lim

x y f x y x y →→+存在

（D ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限22

(,)

lim

x y f x y x y

→→+存在 8．【2012-2 4分】设函数(,)f x y 可微，且对任意,x y 都有(,)0f x y x ?>?，(,)0f x y y ?

则使得1122(,)(,)f x y f x y <成立的一个充分条件是

(A) 1212,x x y y ><

(B)1212,x x y y >>

(D)121

2,x x y y <>

9.【2012-3 4分】连续函数(,)z f x y =满足0

0x y →→=，则

(0,1)

=________。

【小结】：1、二元函数在()00,x y 处连续当且仅当函数值等于极限值，这里的极限指二重极限，也即()0

00lim (,),x x y y f x y f x y →→=.

2、二元函数在()00,x y 处的偏导数()'00,x f x y 就是一元函数()0,f x y 在0x x =处的导数，它存在当且仅当极限()

0000

(,),lim

x x f x y f x y x x →--存在.注意，与连续性不同的是：这里的

极限过程是一元函数的极限.

3、判断函数在某一点()00,x y 是否可微的方法：首先计算函数在该点的两个偏导数

()()0000,,

,x y f x y f x y .如果二者至少有一个不存在，则不可微.如果两个偏导数都存在，则

计算极限

(),,,lim

x y z f x y x f x y y ??→?-?+?，如果该极限不存在或不等于0

则不可微，如果该极限等于0则可微.

4、多元函数各种概念之间的关系与一元函数有所区别，具体来说：在多元函数中，偏导数存在不一定可导，偏导数存在也不一定连续，但可微则一定是连续并且存在偏导数.

常考题型二：偏导数的计算

1．链式法则的运用

10．【2000-3 3分】设,

x y z f xy g y x ????=+ ? ???

??，其中,f g 均可微，则z x ?=?

11．【2004-3 4分】设函数(,)f u v 由关系式[(),]()f xg y y x g y =+确定，其中函数

()g y 可微，且()0g y ≠，则2f

u v

?=??.

12．【2005-3 4分】设二元函数)1ln()1(y x xe

z y

x +++=+，则=)

0,1(dz

13．【2014-2 4分】设(,)z z x y =是由方程227

yz e x y z +++=确定的函数，则11(,)22|dz =．

14．【2006-3 4分】设函数()f u 可微,且()1

f '=,则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分()1,2d z =.

15．【2009-3 4分】设()y x

z x e =+，则

(1,0)

x ?=?

16．【1998-3 5分】设(

)arctan

y x

z x y

-=+，求dz 与2z

x y

???.

17．【1994-1 3分】设sin x

x u e y -=，则2u x y ???在点1

(2,)π

处的值为

18．【1998-1 3分】设1()(),z f xy y x y f x ??=++、具有二阶导数，则2z

x y

?=??

19．【2007-1 4分】设(,)f u v 是二元可微函数，(,)y

z f x y =，则

?=? __________. 20．【2009-1 4分】设函数(),f u v 具有二阶连续偏导数，(),z f x xy =，则2z

x y

?=??.

21．【2011-1 4分】设函数()?

dt t t

y x F 0

1sin ,，则=??==2

022y x x

F ___________.

22．【2007-3 4分】设(,)f u v 是二元可微函数，,y x z f x y ??= ???

，则z z

x y x y ??-=??

__________

23．【2008-2 4分】设x

y z x ??

，则(1,2)

z x ?=?

24．【2012-2 4分】设1ln z f x y ??=+ ?

,其中函数

()f u 可微，则

2z z

y x y

??+=??_______。 25．【1992-1 5分】设2

(sin ,)x

z f e y x y =+，其中()f x 具有二阶连续偏导数，求2z x y

???

26．【2000-1 5分】设(,)()x

y z f xy g y x

=+，其中f 具有二阶连续偏导数，g 具有二

阶连续导数，求2z

x y

???.

27.【2001-1 6

分】设函数(,)z f x y =在点(1,1)处可微，且

(1,1)(1,1)(1,1)1,

2,3,()df df f x dx dy ?====(,(,))f x f x x ，求31

()x d

x dx ?= 28．【2004-2 10分】设2

(,)xy

z f x y e =-,其中f 具有连续二阶偏导数,求

2,,

z z z

x y x y

???????. 29．【2009-2 10分】设(),,z f x y x y xy =+-，其中f 具有2阶连续偏导数，求dz

与2z x y

??? 30．【1997-3 5分】设(),,u f x y z =有连续偏导数，()y y x =和()z z x =分别由方

程0xy

e y -=和0z

e xz -=所确定，求

du dx

. 31．【2013-2 4分】设()y

z f xy x

，其中函数f 可微，则

x z z y x y ??+=??（）（A ）2()yf xy '（B ）2()yf xy '-（C ）

2()f xy x （D ）2

()f xy x

- 32．【2005-1 4分】设函数?

+-+-++=y

x y

x dt t y x y x y x u )()()(),(ψ??, 其中函数?具

有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有（）

()A 2222y u x u ??-=??()B 2222y

u x u ??=??()

C 222y u y x u ??=???()

D 222x u

y x u ??=???. 33．【2007-3 4分】设(,)f u v 是二元可微函数，,y x z f x y ??= ???

，则z z

x y x y ??-=??

___ .

34.【2011-3 4分】设函数1x y

x z y ??

???

，则()

1,1=dz .

35．【1996-3 6分】设函数()z f u =，方程()()x

u u p t dt ?=+

?，其中u 是,x y 的

函数，()(),f u u ?可微，()()',p t t ?连续，且()'1u ?≠.求()

()z z

p y p x x y

??+??. 36．【2001-3 5分】设(),,u f x y z =有连续的一阶偏导数，又函数()y y x =及

()z z x =分别由下列两式确定：2xy

e xy -=和0

sin x z

x t

e dt t

，求

du dx 37．【2003-3 8分】设(,)f u v 具有二阶连续偏导数，且满足

222=??+??v f

u f ，又)](21,[),(2

2y x xy f y x g -=,求.2222y

g x g ??+??

38．【2005-3 8分】设()f u 具有二阶连续导数，且)()(),(y

x yf x y

f y x

g +=，求

.222222

y g y x g x ??-??

【小结】：多元函数的复合函数求导法则比一元函数复杂，根据复合函数中间变量的不同形式我们有如下求导公式：

如果(,)((),())z f u v f t t ?φ==，则

dz f du f dv

dt u dt v dt

??=+

??；如果(,)((,),(,))z f u v f x y x y ?φ==，则

z f u f v x u x v x ?????=+

?????，z f u f v

y u y v y

?????=+????? 如果(,)((,),())z f u v f x y y ?φ==，则

z f u x u x ???=

???，z f u f dv

y u y v dy

????=+????. 2．隐函数求导

39．【2005-1 4分】设有三元方程ln 1xy

xy z y e

-+=，根据隐函数存在定理，存在点

(0,1,1)的一个邻域，在此邻域内该方程（）

()A 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数(,)z z x y =

()B 可以确定两个具有连续偏导数的隐函数(,),(,)y y x z z z x y == ()C 可以确定两个具有连续偏导数的隐函数(,),(,)x x y z z z x y == ()D 可以确定两个具有连续偏导数的隐函数(,),(,)y y x z x x z y ==

40．【2002-3 8分】设函数(,,)u f x y z =有连续偏导数，且(,)z z x y =由方程

x y z xe ye ze -=所确定，求du

41．【2004-2 3分】设函数(,)z z x y =由方程232x z

z e

y -=+确定, 则3

z z

x y

??+=??______.

42．【1995-1 5分】设(),,u f x y z =，()

2,,0y x e z ?=，sin y x =，其中,f ?都具有一阶连续偏导数，且

0z ??≠?，求

. 43．【1999-1 5分】设(),()y y x z z x ==是由方程()z xf x y =+和(,,)0F x y z =所确定的函数，其中f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求

. 44．【2008-3 10分】设(,)z z x y =是由方程()2

x y z x y z ?+-=++所确定的函数，其中?具有2阶导数且1?'≠-时.

（1）求dz （2）记()1,z z u x y x y x y ????=

- ?-????

，求u

x ??. 45．【2010-1,24分】设函数(,)z z x y =由方程,0y z f x x ??

???

确定, 其中f 为可微函数, 且20f '≠，则=??+??y

y x z x

（） ()A x ()B z ()C x -()D z -

46．【2013-3 4分】设函数),(y x z z =由方程xy y z x

=+)(确定，则

=??)

2,1(x

________。

47.【2015-2,3 4分】若函数(,)z z x y =由方程231x y z

xyz +++=确定，则(0,0)dz =

48.【2015-1 4分】若函数(,)=z z x y 由方程cos 2z

e xyz x x +++=确定，则

(0,1)

d ________.z

【小结】：1.隐函数求导实际上是链式法则的应用，处理方式和一元函数中的方法一致，都是对等式两边同时求导，再解方程.

2、隐函数存在定理是隐函数求导的理论基础，考试对隐函数求导的考查很多，但对该定理的要求不高，只需记住内容即可.该定理内容如下：

设函数(,,)F x y z 在点000(,,)x y z 附近具有连续偏导数，且有

000(,,)0F

x y z z

?≠?，则方程(,,)0F x y z =在点000(,,)x y z 附近能唯一确定一个函数(,)z f x y =，满足

000(,)z f x y =及x z F z x F ?=-?，y z

F z

F ?=-?.

3．综合运用

49．【2006-1 12分】设函数()(0,)f u +∞在内具有二阶导数，且Z f

=满

足等式22220z z

x y

??+=??

（I ）验证()

()0f u f u u

'''+

= （II ）若(1)0,(1)1f f '==求函数()f u 的表达式

50．【1996-1 6分】设变换2u x y v x ay =-??=+?可把方程2222260z z z

x x y y ???+-=????化简为

20z

u v

?=??，求常数a . 51.【1997-1 7分】设函数()f u 具有二阶连续导数,而(sin )x

z f e y =满足方程

22222x

z z e z x y

??+=??,求()f u . 52．【2007-2 10分】已知函数()f u 具有二阶导数，且(0)1f '=，函数()y y x =由方

程1

1y y x --=所确定，设()ln sin z f y x =-，求

200

x x dz

d z dx

dx ==.

53．【2010-2 11分】设函数(,)u f x y =具有二阶连续偏导数，且满足等式

2222241250u u u x x y y

???++=????，确定,a b 的值，使等式在变换,x ay x by ξη=+=+下化简为20u ξη

?=??.

54.【2011-1 9分】设函数(,())z f xy yg x =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函

数()g x 可导且在1x =处取得极值(1)1g =，求

211

x y z

x y

==???．

55.【2014-2 10

分】已知函数

(,)f x y 满足

2(1)f

y y

?=+?，且2(,)(1)(2)ln f y y y y y =+--，求曲线(,)0f x y =所成的图形绕直线1y =-旋转所成的

旋转体的体积．

常考题型三：方向导数与梯度*（数一）

56．【2008-1 4分】函数(,)arctan

f x y y

=在点(0,1)处的梯度等于（） ()A i

()B i -()

C j

()D j -

57．【1992-1 3分】函数222ln()u x y z =++在点(1,2,2)M -处的梯度grad u

M =

58．【

2012-1 4分】(2,1,1)

grad z xy y ??

?________。 59．【1996-1 3分】函数(

ln u x =在()1,0,1A 点处沿A 点指向()

3,2,2B -的方向导数为____________.

60．【2005-1 4分】设函数181261),,(2

22z y x z y x u +++=，单位向量}1,1,1{3

n ρ，则

)

3,2,1(n

??=________

61.【2001-1 3分】设r =

则(1,2,2)()|div gradr -=

常考题型四：极值

1．无条件极值

62．【2003-1 4分】已知函数(,)f x y 在点(0,0)的某个邻域内连续，且

1)(),(lim

220

,0=+-→→y x xy

y x f y x ，则（）

()A 点(0,0)不是(,)f x y 的极值点. ()B 点(0,0)是(,)f x y 的极大值点. ()C 点(0,0)是(,)f x y 的极小值点.

()D 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为(,)f x y 的极值点.

63.【2014-2 4分】设(,)u x y 在平面有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有二阶连续

偏导数，且满足20u x y ?≠??及22220u u

x y

??+=??，则（）．（A ）(,)u x y 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上；（B ）(,)u x y 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的内部；

（C ）(,)u x y 的最大值点在区域D 的内部，最小值点在区域D 的边界上；（D ）(,)u x y 的最小值点在区域D 的内部，最大值点在区域D 的边界上

64．【2009-1 4分】设函数(),z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+，则点(0,0)（）

()A 不是(),f x y 的连续点 ()B 不是(),f x y 的极值点. ()C 是(),f x y 的极大值点()D 是(),f x y 的极小值点

65．【2011-1 4分】设函数()f x 具有二阶连续导数，且()0f x >，(0)0f '=，则函数()ln ()z f x f y =在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是( )

(A) (0)1f >，(0)0f ''>． (B)(0)1f >，(0)0f ''<． (C)(0)1f <，(0)0f ''>． (D)(0)1f <，(0)0f ''<．

66.【2011-2 4分】设函数(),()f x g x 均有二阶连续导数，满足(0)0,(0)0,f g ><且

(0)(0)0f g ''==，则函数()()z f x g y =在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是( )

(A) (0)0,(0)0.f g ''''<> (B) (0)0,(0)0.f g ''''<< (C) (0)0,(0)0.f g ''''>> (D) (0)0,(0)0.f g ''''>< 67．【2009-1,3 9分】求二元函数()

22(,)2ln f x y x y y y =++的极值.

68．【2004-1 12分】设),(y x z z =是由01821062

=+--+-z yz y xy x 确定的函数，求),(y x z z =的极值点和极值.

69.【2011-3 10分】已知函数(),f u v 具有连续的二阶偏导数，()1,12f =是()

,f u v 的极值，(),,=+????z f x y f x y ，求()21,1z x y

???.

70．【2012-1,2 10分】求()22

,x y f x y xe

=的极值。

71．【2013-1 10分】求函数3(,)()3

x y x f x y y e +=+的极值.

72.【2015-2 10分】已知函数(,)f x y 满足''(,)2(1),'(,0)(1)x x

xy x f x y y e f x x e =+=+，

2(0,)2f y y y =+，求(,)f x y 的极值

【小结】：计算函数无条件极值的工具主要是如下两个定理：

1）必要条件：设函数(,)z f x y =在00(,)x y 点具有偏导数，且在该点有极值，则有

0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ==.

2）充分条件：设函数(,)z f x y =在00(,)x y 点的某邻域内具有连续的一阶及二阶偏导数，又设0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ==.令

000000(,),(,),(,)xx xy yy f x y A f x y B f x y C ===（回忆定理0000(,)(,)xy yx f x y f x y =）

若2

0AC B ->，则函数(,)z f x y =在00(,)x y 点具有极值.当0A >时取得极小值；当

0A <时取得极大值.

若2

0AC B -<，则函数(,)z f x y =在00(,)x y 点没有极值.

若2

0AC B -=，则函数(,)z f x y =在00(,)x y 点可能有极值，也可能没有极值.

2．条件极值

73．【2006-1 4分】设(,)f x y 与(,)x y ?均为可微函数，且(,)0y x y ?'≠. 已知

00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ?=下的一个极值点，下列选项正确的是（）

()A 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=()B 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠ ()C 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=()D 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠

74．【2008-1 11分】已知曲线22220:35

x y z C x y z ?+-=?++=?，求曲线C 距离XOY 面最远的

点和最近的点

75．【2007-1 11

分】求函数

2222(,)2f x y x y x y =+-在区域

(){}22,|4,0D x y x y y =+≤≥上的最大值和最小值.

76．【2005-2 10分】已知函数),(y x f z =的全微分ydy xdx dz 22-=，并且(1,1)2f =，

求(,)f x y 在椭圆域()22

,14y D x y x ????=+≤??????

上的最大值和最小值.

77．【2008-2 11分】求函数2

u x y z =++在约束条件2

z x y =+和4x y z ++=下的最大值与最小值.

78.【2008-1,2 11分】已知函数(),=++f

x y x y xy

，曲线C ：

223++=x y xy ，求(),f x y 在曲线C 上的最大方向导数.

79．【1999—3 6分】设生产某种产品必须投入两种要素，1x 和2x 分别为两要素的投

入量，Q 为产出量，若生产函数为122Q x x αβ

=，其中α、β为正常数，且1αβ+=.假设

两种要素的价格分别为1p 和2p ，试问：当产出量为12时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小？

80.【2000-3 6分】假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场

的需求函数分别是

1122182,12,P Q P Q =-=-

其中1P 和2P 分别表示该产品在两个市场的价格(单位：万元/吨)，1Q 和2Q 分别表示该产品在两个市场的销售量(即需求量，单位：吨)，并且该企业生产这种产品的总成本函数是

25C Q =+，其中Q 表示该产品在两个市场的销售总量，即12Q Q Q =+

(1)如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润；

(2)如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及其统一的价格，使该企业的总利润最大化；并比较两种价格策略下的总利润大小.

81．【2010-3 10分】求函数2u xy yz =+在约束条件2

10x y z ++=下的最大值和最小值 .

82．【2002-1 7分】设有一小山，取它的底面所在的平面为xoy 坐标面，其底部所占的

区域为2

{75}D x y xy =+-≤，小山的高度函数为22

(,)75h x y x y xy =--+

（1）设00(,)M x y 为区域D 上的一个点，问(,)h x y 在该点沿平面上沿什么方向的方向导数最大？若记此方向导数的最大值为00(,)g x y ，试写出00(,)g x y 的表达式

（2）现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点，也就是说，要在D 的边界曲线2

75x y xy +-=上找出使（1）中的(,)g x y 达到最大值的点，试确定攀登起点的位置

83．【2012-3 10分】某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为10000（万元），设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为x （件）和（y 件），且固定两种产品的边际成本分别为2

20x

（万元/件）与y +6（万元/件）。 1）求生产甲乙两种产品的总成本函数),(y x C (万元)

2）当总产量为50件时，甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小？求最小的成本。 3）求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义。

84.【2013-2 11分】求曲线3

1(0,0)x xy y x y -+=≥≥上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。

【小结】：拉格朗日乘数法是我们处理条件极值问题的主要方法，现对其应用过程总结如下：要求函数(,)z f x y =在约束条件(,)0x y ?=下的极值点.方法：

1）作拉格朗日函数(,,)(,)(,)L x y f x y x y λλ?=+

2）解方程(,)(,)0

(,)(,)0(,)0

x x y y f x y x y f x y x y x y λ?λ???+=?

+=??

（这三个方程其实是找三元函数(,,)L x y λ的驻点） 3）根据实际条件判断所求出的点是极大值还是极小值.

常考题型五：空间曲线的切线与法平面*（数一）

85．【1992-1 3分】在曲线23,,x t y t z t ==-=的所有切线中，与平面24x y z ++=平行的切线（）

()A 只有1条()B 只有2条()C 至少有3条()D 不存在

86．【2001-1 3分】设函数(,)f x y 在点(0,0)附近有定义，且(0,0)3,(0,0)1,x y f f ''==则（）

()A (0,0)3dz dx dy =+

()B 曲面(,)z f x y =在点(0,0,(0,0))f 的法向量为{3,1,1}

()C 曲线(,)

z f x y y =??

=?在点(0,0,(0,0))f 的切向量为(1,0,3) ()D 曲线(,)

0z f x y y =??

在点(0,0,(0,0))f 的切向量为(3,0,1)

【小结】：考试对曲线的切线与法平面的考查仅限于计算，考生只需记住相应的计算公式即可.相关公式可以这样总结：曲线(),(),()()x t y t z t t ?ψωαβ===≤≤在曲线上对应

于0t t =的一点的切向量为()

'''000(),(),()t t t ?ψω，由几何意义可知该向量是切线的方向向量，也是法平面的法向量.再由切线和法平面都要过点()000(),(),()t t t ?ψω可以得到它们的方程分别为

000'''

000()()()

x x y y z z t t t ?ψω---==与'''

000000()()()()()()0t x x t y y t z z ?ψω-+-+-= 常考题型六：空间曲面的切平面与法线*（数一）

87．【1993-1 3分】由曲线223212

0x y z ?+=?=?

绕y 轴旋转一周得到的旋转面在点处的指向外侧的单位法向量为

88．【1994-1 3分】曲面23z z e xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为

89.【2014-1 4分】曲面22

(1sin )(1sin )z x y y x =-+-在点(1,0,1)处的切平面方程为． 90．【2000-1 3分】曲面2

2321x y z ++=在点(1,2,2)-的法线方程为

91．【2003-1 4分】曲面2

y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是 92．【1997-1 6分】设直线0

:30

x y b l x ay z ++=??

+--=?在平面π上，而平面π与曲面

22z x y =+相切于点(1,2,5)-，求a 、b 之值.

93.【2013-1 4分】曲面2

cos()0x xy yz x +++=在点(0,1,1)-处的切平面方程为（）（A ）2x y z -+=- （B ）2x y z ++= （C ）23x y z -+=- （D ）0x y z --=

【小结】：曲面的切平面和法线相关知识点与上一节类似：曲面(,,)0F x y z =在曲面上一点000(,,)M x y z 处的法向量为(,,)x y y F F F ，由几何意义可知该向量是切平面的法向量，也是法线的方向向量.再由切平面和法线都要过点000(,,)M x y z 可以得到它们的方程分别

为000()()()0x y y F x x F y y F z z -+-+-=与

000

x y y

x x y y z z F F F ---==. 参考答案

1．【1994-1 3分】【答案】()D 2．【1997-1 3分】【答案】()C 3．【2002-1 3分】【答案】()A 4．【2003—3 4分】【答案】()A 5．【2007-1 4分】【答案】()C 6．【2008—3 4分】【答案】()B 7．【2012—1 4分】【答案】：（B ） 8．【2012—2 4分】【答案】：(D) 9.【2012—3 4分】【答案】：2dx dy - 10．【2000—3 3分】【答案】1221y yf f g y x

'''+

- 11．【2004—3 4分】【答案】2

()()

g v g v '-

12．【2005—3 4分】【答案】dy e edx )2(2++ 13.【2014—2 4分】【答案】11

dx dy -

- 14．【2006—3 4分】【答案】4d 2d x y - 15．【2009—3 4分】【答案】2ln 2+1 16．【1998—3 5分】【答案】

()()arctan

22y

dz e

x y dx y x dy -=++-???? ;222arctan 22y

z y xy x e

x y x y -?--=??+. 17．【1994 -1 3分】【答案】2()e

18．【1998-1 3分】【答案】()()()yf xy x y y x y ??'''''++++

19．【2007 -1 4分】【答案】112ln y x f yx f y y -''?+? 20．【2009 -1 4分】【答案】"'"12222xf f xyf ++

21．【2011-1 4分】【答案】4 22．【2007-3 4分】【答案】122z z y x x

y f f x y x

y ??

??''-=-- ?????

23．【2008-2 4分】【答案】

21)2

- 24.【2012—2 4分】【答案】：0. 25．【1992-1 5分】【答案】

21111222cos sin cos 2(sin cos )4x x x e yf e y yf e y y x y f xyf '''''''++++

26．【2000-1 5分】【答案】1211222323

11x y

f f xyf f

g g y y x x

'''''''''-+--- 27.【2001-1 6分】【答案】51 28．【2004-2 10分】【答案】

122xy z

x f ye f x

?''=+?，122xy z y f xe f y ?''=-+?, 222211

12222=42()(1)xy xy xy z

xyf x y e f xye f e xy f x y

?'''''''-+-++++?? 29．【2009-2 10分】【答案】123123()()dz f f yf dx f f xf dy ''''''=+++-+

231122331323()()z

f f f xyf x y f x y f x y

?'''''''''''

=+-++++-?? 30．【1997—3 5分】【答案】21du f f y f z

dx x y xy z xz x

???=++??-?- 31．【2013—2 4分】【答案】()A 32．【2005-1 4分】【答案】()B

33．【2007-3 4分】【答案】????

?'+'-

212f y x f x y

34.【2011-3 4分】()()2ln 21dx dy +-

35. 【1996—3 6分】【答案】0

36．【2001—3 5分】【答案】()()1sin x

e x z du

f y f f

dx x x y x z z

??-???=-+-??

??-??? 37．【2003—3 8分】【答案】.2

2y x +

38．【2005-3 8分】【答案】

??'x y f x y 2 39．【2005-1 4分】【答案】()D

40．【2002—3 8分】【答案】''

''1111x z y z x z y z x y du f f e dx f f e dy z z --++?

?=++- ? ?++?

???

41．【2004-2 3分】【答案】2 42．【1995-1 5分】【答案】

()'sin '

12'3

1cos 2cos x f f f x x e x x y z ??????+-+???? 43．【1999-1 5分】【答案】()y x y z f xf F xf F

dz dx F xf F

''+-=

'+(0)y z F xf F '+≠ 44．【2008—3 10分】【答案】()()221

x dx y dy

dz ???''-++-+=

'+()1?'≠-Q ，

()

2(12)

1u x x ??''?+=-?'+ 45．【2010 -12 4分】【答案】()B 46．【2013—3 4分】【答案】()21ln 2- 47. 【2015-2,3 4分】1

3dx dy --

48. 【2015-1 4分】dx

49．【2006-1 12分】【答案】1、略；2、u u f ln )(= 50．【1996-1 6分】【答案】3a =

51. 【1997-1 7分】12()u u

f u C e C e -=+,其中1C 、2C 为任意常数.

52．【2007-2 10分】【答案】0;1

53. 【2010-2 11分】【答案】252a b ?=- ???=- ?或22

5a b =-

?=- ??

54.【2011-1 9分】

21111121

|(1,1)(1,1)(1,1)x y d z

f f f dxdy =='''''=++

55.【2014-2 10分】5

(2ln 2)4

V π=- 56．【2008-1 4分】【答案】()A

57．【1992-1 3分】【答案】244,,999??

- ???

58.【2012-1 4分】【答案】：{}1,1,1 59．【1996 -1 3分】【答案】

60．【2005-1 4分】【答案】3

61. 【2001-1 3分】2.3

62．【2003-1 4分】【答案】()A 63. 【2014-2 4分】【答案】()A 64．【2009-14分】【答案】()D 65．【2011-1 4分】()

66．【2011-2 4分】()

67．【2009-1,3 9分】【答案】极小值1

1(0,)f e e

68．【2004-1 12分】【答案】点(9,3)是(,)z x y 的极小值点，极小值为(9,3)3z =.点

(9,3)--是(,)z x y 的极大值点，极大值为(9,3)3z --=-