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初中数学知识点031 圆的基本性质真题及答案

一、选择题

1. （2016甘肃兰州，7，4分）如图，在⊙O 中，点C 是 AB 的中点，∠A =50°，则∠BOC = （）

A ．40°

B ．45°

C ．50°

D ．60° 【答案】A

【逐步提示】因为半径OA =OB ，故可先根据等边对等角求得∠B 的度数，再根据三角形内角和定理求得∠AOB 的度数，最后根据等弧所对圆心角相等求得∠BOC 的度数．

【详细解答】解：因为OA =OB ，所以∠B =∠A =50°，所以∠AOB =180°―∠B －∠A =80°，在⊙O 中，因为点

C 是 AB 的中点，所以 AC CB ，所以∠BOC =∠AOC ，因为∠BOC ＋∠AOC =∠AOB ，所以∠BOC =1

∠

AOB =40°，故选择A . 【解后反思】圆中通常把圆周角和圆心角以及它们所对弧的度数进行转换，怎么转换需要根据题目的要求来确定；同圆的半径相等，有时还需要连接半径，用它来构造等腰三角形，有了等腰三角形，再利用“等边对等角”及“三线合一”来进行证明和计算．

【关键词】圆心角；等弧所对圆心角的关系；等腰三角形性质；三角形内角和定理

2. （2016甘肃兰州，10，4分）10．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，四边形ABCO 是平行四边形，则∠ADC =（）

A ．45°

B ．50°

C ．60°

D ．75°

【答案】C

【逐步提示】先找出同弧所对圆周角与圆心角的关系，再结合平行四边形对角相等得到∠B 与∠ADC 的倍数关系，最后根据“圆内接四边形对角互补”建立方程求出∠ADC 的度数.

【详细解答】解：∵圆周角∠ADC 与圆心角∠AOC 所对的弧都是 ABC ，

∴∠ADC =1

∠AOC ，即∠AOC =2∠ADC ，∵四边形ABCO 是平行四边形，∴∠AOC =∠B ，∴∠B =2∠ADC ，∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠B ＋∠ADC =180°，即2∠ADC ＋∠ADC =180°，解得∠ADC =60°，故选择C. 【解后反思】看到求与圆有关的角，就想到：（1）同弧所对的圆周角相等；（2）同弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半；（3）圆的内接四边形的对角互补；（4）同圆的半径相等，等边对等角等. 【关键词】圆周角定理；圆内接四边形性质；平行四边形性质；

3. （ 2016广东茂名，9，3分）如图，A 、B 、C 是⊙C 上的三点，且∠B =75°，则∠AOC 的度数是（）

A ．150°

B ．140°

C ．130°

D ．120 【答案】A

【逐步提示】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握同弧所对的圆心角和圆周角之间的关系．从图形中可以看出，∠AOC 、∠B 分别是⊙O 中 ⌒AC 所对的圆心角、圆周角，利用圆周角定理可得∠AOC =2∠B ，代入∠B 的度数即可得∠AOC 的度数.

【详细解答】解：∵∠AOC 、∠B 分别是⊙O 中 ⌒AC 所对的圆心角、圆周角，∴∠AOC =2∠B .∵∠B =75°，∴∠AOC =150°，故选择A .

【解后反思】解决与圆有关的角度的相关计算时，一般先判断角是圆周角还是圆心角，再转化成同弧所对的圆周角或圆心角，利用同弧所对的圆周角相等，同弧所对的圆周角是圆心角的一半等关系求解，特别地，当有一直径这一条件时，往往要用到直径所对的圆周角是直角这一结论．【关键词】圆周角定理

4. （2016贵州省毕节市，12，3分）（2016贵州省毕节市，13，3分）如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠A ＝36°，∠C ＝26°，则∠B ＝ ( )

A.100°

B.72°

C.64°

D.36° 【答案】C

【逐步提示】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理，解题的关键是求出∠O ．①根据圆周角定理求出∠O ；②根据三角形内角和定理求出∠OEC ，进而由对顶角性质求出∠AEB ；③根据三角形内角和定理求出∠B ．【详细解答】解：如图，设OB 与AC 交点为E ，因为∠A ＝36°，所以，∠O ＝72°，所以∠AEB ＝∠OEC ＝180°－∠O －∠C ＝180°－72°－28°＝80°，所以，∠B ＝180°－∠AEB －∠A ＝180°－80°－36°＝64°，故选择C.

（第12题图）

【解后反思】本题易错点是由于不熟悉圆周角定理，不能发现∠A 与∠O 的关系，导致无法找到∠B 与∠A 、∠C 的关系．

【关键词】圆周角；三角形内角和定理

5. （ 2016湖北省黄石市，8，3分）如图所示，⊙O 的半径为13，弦AB 的长度是24，ON ⊥AB ，垂足为N ，则

ON ＝ ····························································································· （） A ．5

B ．7

C ．9

D ．11

【答案】A ．

【逐步提示】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是将已知条件集中在一个直角三角形中，这个直角三角形的斜边是圆的半径，一条直角边是弦心距，另一条直线是弦的一半．【详细解答】解：因为ON ⊥AB ，所以AN ＝

12AB ＝1

×24＝12，∠ANO ＝90°．在Rt △AON 中，由勾股定理得ON

5，故选择A ．

【解后反思】在解答与圆有关的计算问题时，垂径定理和勾股定理“形影不离”，常结合起来使用．如图，设

圆的半径为r 、弦长为a 、弦心距为d ，弓形高为h ，则222()a

d +＝2r ，h ＝r d -，这两个等式是关于四

个量r ，a ，d ，h 的一个方程组，只要已知其中任意两个量即可求出其余两个量．

【关键词】垂径定理；勾股定理．

6.（2016湖北宜昌，9，3分）已知M 、N 、P 、Q 四点的位置如图所示，下列结论中，正确的是（）

A. ∠NOQ=42o

B. ∠NOP=132o

C. ∠PON 比∠MOQ 大

D. ∠MOQ 比∠MOP 互补

【答案】C

【逐步提示】本题考查了圆心角，解题的关键是识别圆心角度数，弄清始边与终边，正确读出圆心角的度数．【详细解答】解：结合各选项分别判断，选项A ∠NOQ=138o ，选项B 中∠NOP=48o ，选项C 中，正确，选项D 中∠MOQ 比∠MOP 没有互补，故选择C .

【解后反思】解决与圆有关的角度的相关计算时，一般先判断角是圆周角还是圆心角，再转化成同弧所对的圆周

h d

a A

角或圆心角，利用同弧所对的圆周角相等，同弧所对的圆周角是圆心角的一半等关系求解，特别地，当有一直径这一条件时，往往要用到直径所对的圆周角是直角这一条件．【关键词】圆心角；量角器；

7. （2016江苏省无锡市，6，3分）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 切⊙O 于点D ，若∠C ＝70°，则∠AOD 的度

数为（） A ．70° B ．35° C ．20° D ．40°

【答案】D

【逐步提示】本题考查了切线的性质、同弧所对的圆周角和圆心角之间的关系，解题的关键是知道由切线想垂直．本题的思路是由相切得到∠CAB ＝90°，然后根据∠B 、∠C 互余，可得∠B ＝20°，然后根据同弧所对的圆周角和圆心角之间的关系求出∠AOD 的度数．

【详细解答】解：∵AC 切⊙O 于点D ，∴∠CAB ＝90°，∴∠B ＋∠C ＝90°，∵∠C ＝70°，∴∠B ＝20°，∴∠AOD ＝2∠B ＝40°，故选择D .

【解后反思】本题用到的初中数学知识有：①过切点的半径与切线垂直；②直角三角形两锐角互余；③同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．

【关键词】切线的判定与性质；圆心角、圆周角定理；

8. （2016山东滨州12，3分）如图，AB 是○O 的直径，C ，D 是○O 上的点，且OC ∥BD ，AD 分别与BC ，OC 相交于点E ，F ，则下列结论：

①AD ⊥BD ；②∠AOC =∠AEC ；③CB 平分∠ABD ；④AF =DF ；⑤BD =2OF ；⑥△CEF ≌△BED ，其中一定成立的是

A ．②④⑤⑥

B ．①③⑤⑥

C ．②③④⑥

D ．①③④⑤ 【答案】D ．

【逐步提示】每个结论逐个去判断．

【详细解答】解：∵AB 是直径，∴∠ADB =90°，即AD ⊥BD ，∴①正确；∠AOC =2∠ABC ，∠AEC =∠ABC +∠BAD ，若∠AOC =∠AEC ，则∠BAD =∠ABC ，则AC 弧等于BD 弧，此时点C 是半圆的三等分点，而已知无法推断出点C 是半圆的三等分点，因此②错误；由①知BD ⊥AD ，BD ∥OC ，∴OC ⊥AD ，∴AC 弧=CD 弧，∴∠ABC =∠CBD ，因此③正确；由③知OC ⊥AD ，∴AF =DF ，因此④正确；由④知，AF =DF ，AO =BO ，∴BD =2OF ，因此⑤正确；若△CEF ≌△BED 成立，则CF =BD ，此时CF =2OF ，显然错误，故⑥错误，因此①③④⑤正确，故选择D ．

【解后反思】

看到直径，就想到直径所对的圆周角是90°，垂直于弦的直径，平分弦，并且平分弦所分的两条弧；同弧或等

弧所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半．

【关键词】垂径定理及推论圆周角定理

10.

11.

12.

13.

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二、填空题

1.（2016福建福州，16，4分）如图所示的两段弧中，位于上方的弧半径为r上，下方的弧半径为r下，则r上r 下．（填“＞”“＝”“＜”)

【答案】＜

【逐步提示】本题考查了圆的作法、比较圆弧的半径大小，作出圆心是解题的关键.利用垂径定理，分别作出两段弧所在圆的圆心，然后比较两个圆的半径即可．

【详细解答】解：如图，r上＜r下，故答案为＜.

【解后反思】本题因为没有给出具体的数据，因此没有办法计算出这两个圆的半径的具体值，因此除了用作图法外，还可以直接观察这两个圆弧的大概度数直接作出判断.弧度大的半径小. 【关键词】垂径定理；圆的作法；弧长

2. （ 2016甘肃省武威市、白银市、定西市、平凉市、酒泉市、临夏州、张掖市等9市，16，4分）如图，在⊙O

中，弦AC

=B 是圆上一点，且∠ABC =45o，则⊙O 的半径R =___________．

第16题图

【逐步提示】本题考查圆的有关性质以及特殊三角形性质，解题的关键是掌握同弧所对的圆周角是其所对圆心角的一半，由∠ABC =45o得出∠AOC =90°，从而得到△AOC 是等腰直角三角形，可以利用方程或三角函数求出半径R 的值．【详细解答】解：因为∠ABC =45o所以∠AOC =90°，又因为OA =OC ，所以△AOC 是等腰直角三角形， OA =OC =R ，

可列方程(2

22R =

解得R

（舍去）

【解后反思】同弧所对的圆周角是其所对圆心角的一半，看到45°就应该联想到90°，从而把问题转化到一个等腰直角三角形中去解决，转化思想是几何中常用的数学思想，通过转化，可以把比较复杂的问题转化为相对容易的问题.已知特殊的角，要寻找线段之间的关系，常通过添加辅助线构成特殊的三角形，把要寻找关系的线段放在特殊三角形中来研究．此题也可以利用三角函数解决：在Rt △AOC 中，sin OC

OAC AC

∠=

，

即s

i n 45?=

，=

OC ．【关键词】圆的有关性质；圆周角；圆心角；勾股定理；

3. （ 2016湖南省湘潭市，16，3分）已知以点C （a ，b ）为圆心，半径为r 的圆的标准方程为（x -a ）2+（y -b ）2=r 2

.例如：已知以点A （2，3）为圆心，半径为2的圆的标准方程为（x -2）2+（y -3）2=4，则以原点为圆心，过点P （1，0）的圆的标准方程为 . 【答案】x 2+y 2=1

【逐步提示】本题为初高中衔接内容“圆的标准方程”，主要考查学生理解问题的能力，解决问题的关键是领会标准方程的写法，并按照示例写出标准方程，最后确定半径即可.

【详细解答】解：由圆的标准方程及示例可得已原点为圆心的圆的标准方程为x 2+y 2=r 2，又∵圆过点P （1，0），

∴半径为1，∴圆的标准方程为x 2+y 2=1，故答案为x 2+y 2=1. 【解后反思】“阅读—分析--理解—创新应用”是求解阅读理解类型试题的基本步骤．首先做到认真阅读题目中介绍的新知识，包括定义、公式、表示方法及如何计算等，并且正确理解引进的新知识，读懂范例的应用；其次，根据介绍的新知识、新方法进行运用，并与范例的运用进行比较，防止出错. 【关键词】圆；圆的标准方程；阅读理解题

4. （2016年湖南省湘潭市，16，3分）已知以点C （a ，b ）为圆心，r 为半径的圆的标准方程为222(a)()x y b r -+-=。

例如：以A （2，3）为圆心，半径为2的圆的标准方程为22(2)(3)4x y -+-=，则以原点为圆心，过点P （1，0）的圆的标准方程为________. 【答案】122=+y x

【逐步提示】本题是一道衔接型的阅读理解题，解题的关键是理清圆的标准方程的形式。先读懂题意，理清并熟记圆的标准方程的形式，再根据已知条件分析圆的圆心和半径，最后把圆心和半径代入圆的标准方程。

【详细解答】解：以原点为圆心，过点P(1，0)，所以半径是1，∴以点O （0,0）为圆心，半径为1的圆的标准方程为（x-0）2+（y-0）2=12，即x2+y2=1，故答案为12

=+y x .

【解后反思】阅读理解题是近年中考出现的一类新题型，涉及内容丰富,构思新颖别致．一般包括两部分:一是阅读材料,一个新的数学概念的形成和实例应用,或者一个新的数学公式的推导与应用,或者一种新的解题方法与技巧应用,或者提供新闻背景材料;二是考查内容．题型主要有两类:一是“先阅读解题方法,再解答”,即利用已学知识,综合归纳出新的解题方式方法,重在把握其方法、规律;二是“先阅读新的概念,再解答”,即阅读特殊范例,总结解题方法、规律,推出一般结论．

解答阅读理解型问题的关键在于阅读,重在理解,考查自学能力和应用新知识、新方法的能力．解题策略是:理清材料脉络,归纳总结数学方法和解题技巧, 构建相应的数学模型来解答．阅读理解型问题的命题方向:一是“旧教材”删除或削弱的内容;二是“其他版本”教科书借鉴的内容;三是与高中阶段相衔接的知识;四是新概念、新运算．

【关键词】圆；圆的定义；阅读理解题型；学习性阅读理解问题；初高衔接题型 5. （2016湖南湘西，3，4分）四边形ABCD 是某个圆的内接四边形，若∠A =100°，则∠C = . 【答案】80°

【逐步提示】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．根据“圆内接四边形对角互补”可得“∠A ＋∠C =180°”，又知∠A 度数，可求∠C 度数【详细解答】解：由题意得∠A ＋∠C =180°，∵∠A =100°，∴∠C =80°，故答案为80°. 【解后反思】此类问题容易出错的地方是不知运用圆内接四边形的性质解题．【关键词】圆内接四边形

6.（2016湖南湘西，7，4分）如图，在⊙O 中，圆心角∠AOB =70°，那么圆周角∠C = . 【答案】35°

【逐步提示】本题考查了圆周角定理．根据圆周角定理，发现∠AOB 与∠C 的倍分关系．【详细解答】解：∠AOB 与∠C 分别是弧AB 所对的圆心角和圆周角，∴∠C =

21∠AOB =2

×70°=35°，故答案为35°.

【解后反思】一条弧所对的圆周角与圆心的位置关系有三种：①圆心在圆周角的一边上，②圆心在圆周角的内部，③圆心在圆周角的外部，但三种情况下结论是统一的。【关键词】圆周角定理

7. (2016湖南省永州市，18，4分)如图，在⊙O 中，A ，B 是圆上的两点，已知∠AOB =40°，直径CD ∥AB ，连

接AC ，则∠BAC =______度．

【答案】35

【逐步提示】本题综合考查了圆周角、圆心角、三角形内角和、平行线的性质等知识，解题时，把要求的圆周角转化为对应的圆心角是解题的关键．在等腰三角形ABO 中，根据三角形内角和求得∠ABO 的度数，再根据两直线平行，内错角相等求出圆心角∠BOC 的度数，然后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求出∠BAC 的度数．

【详细解答】解：∵∠AOB =40°， ∴∠ABO =2

(180°－40°)=70°，∵CD ∥AB ，∴∠BOC =∠ABO =70°，∴∠BAC =

∠BOC =35°，故答案为35．【解后反思】解决与圆有关的角度的相关计算时，一般先判断角是圆周角还是圆心角，再转化成同弧所对的圆周角或圆心角，利用同弧所对的圆周角相等，同弧所对的圆周角是圆心角的一半等关系求解．【关键词】圆周角；三角形内角和；平行线的性质

8. (2016湖南省岳阳市，13，4)如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，已知∠BCD =110°，则∠BAD =______

度

【答案】70°

【逐步提示】根据圆内接四边形的对角互补求∠BAD 的度数即可.

【详细解答】∵四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，∴∠DAB +∠BCD =180°，又∵∠BCD=110°，∴∠BAD=70°. 所以填：70°。

【解后反思】解答此类题时，利用了圆内接四边形对角互补的性质来求已知角的补角即可. 【关键词】圆内接四边形及性质

9.（2016江苏省南京市，13，2分）如图，扇形OAB 的圆心角为122°，C 是AB ⌒上一点，则∠ACB ＝ ▲ °．

（第7题图）

【答案】119

【逐步提示】本题考查了圆周角的计算，解题的关键是运用圆内接四边形对角互补解题．可以作出整圆，在优弧AB 上取点D ，得到圆周角∠ADB 的度数，再根据圆内接四边形对角互补解计算∠ACB 的度数．【详细解答】解：如图，作出整圆，在优弧AB 上取点D ，得圆周角∠ADB=1

∠AOB=61°，根据圆内接四边形对角互补，可知∠ACB ＝180°—∠ADB=119°．故答案为119．

【解后反思】本题也可以连接OC ，如图，构造出两个等腰△AOC 和△BOC ，则∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠ACB ＝∠2+∠3=∠1+∠4，即∠ACB=

12（360°—∠AOB ）=1

（360°—122°）=119°．【关键词】圆；圆的有关性质；圆心角、圆周角定理；圆内接四边形及性质；化归思想

10. （2016江苏省宿迁市，14，3分）如图，在△ABC 中，已知∠ACB =130°，∠BAC =20°，BC =2，以点C 为圆心，CB 为半径的圆交AB 于点D ，则BD 的长为．

（第14题图）

【答案】32

【逐步提示】先利用三角形内角和求出第三个角为30°，是个特殊角，构造直角三角形，利用垂径定理、三角

函数等，即可求出BD 的长．【详细解答】

解：过C 作CE ⊥AB ，垂足为E ， ∴BD =2BE

∵∠ACB =130°，∠BAC =20° ∴∠ABC =30°

在Rt △BCE 中，BC =2，

BE =BC ·cos 30°=2×

∴BD =32，故答案为32．

【解后反思】垂径定理是圆中构造直角三角形来线段长度、角度等常用的方法；在利用垂径定理解题时，常见的辅助线有：（1）过圆心作弦的垂线；（2）连半径，再运用勾股定理、三角函数解这个直角三角形，进而求出弦的长度或角度等．

【关键词】三角形内角和定理；解直角三角形；垂径定理；

11. （2016江苏省扬州市，16，3分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，直径AD=4，∠ABC=∠DAC ，则AC

长为．

【答案】22

【逐步提示】本题考查了圆周角的性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是通过同弧所对的圆周角相等转化数量关系，再构造等腰直角三角形．连接CD ，可得∠ABC==∠ADC=∠DAC ，得到等腰直角△ADC ，再由三边关系求得AC 的长．

【详细解答】解：连接CD ，可得∠ABC==∠ADC=∠DAC ，而

AD 是直径，可知∠ACD=90°，因此得到等腰直角△ADC ，AC=

AD= 22，故答案为22．

【解后反思】“同弧（或等弧）所对的圆周角相等”是转化圆中圆周角的重要性质定理，特别地，当圆中有直径时，通常根据“直径所对的圆周角是直角”，在圆中构造直角三角形来解决问题．

【关键词】圆；圆的有关性质；圆周角；三角形；等腰三角形和直角三角形；等腰直角三角形；勾股定理 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39.

三、解答题

1. （ 2016福建福州，24，12分）如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，M 为⌒

AD 中点，连接BM ，CM ．（1）求证：BM ＝CM ；

（2）当⊙O 的半径为2 时，求⌒

BM 的长．

【逐步提示】本题考查了正方形的性质、弧长的计算、圆心距、弦、弧之间的关系，掌握弧长的计算公式、圆心距、弦、弧之间的关系定理是解题的关键．（1）根据圆心距、弦、弧之间的关系定理解答即可；（2）根据弧长公式计算．

【详细解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，

∴AB CD =，

∴ AB CD

=, ∵M 为 AD 中点,

∴ AM DM

∴ BM

CM =, ∴BM CM =.

（2）解：连接,,OM OB OC .

∵ BM

CM =, ∴∠BOM ﹦∠COM ,

∵正方形ABCD 内接于⊙O ，

∴360904BOC ∠==

. ∴135BOM ∠=

由弧长公式，得 BM

的长13523l=1802

ππ??=

【解后反思】此类问题容易出错的地方是不能求出圆心角的度数及弧长公式用错.在弧长公式l =

180

n π中，当圆心角n 、半径R 和弧长l 已知两个时，可求得第三个. 【关键词】正方形的性质；弧、弦、弦心距；弧长；；

2. （2016甘肃兰州，27，10分）如图，三角形ABC 是⊙O 的内接三角形，AB 是⊙O 的直径，OD ⊥AB 于点O ，分别交AC 、CF 于点E 、D ，且DE =DC ．（1）求证：CF 是⊙O 的切线；

（2）若⊙O 的半径为5，BC DE 的长．

【逐步提示】（1）第一步：连接OC ，易知∠A =∠OCA ，由OD ⊥AB 证得∠A ＋∠AEO =90°；第二步：根据“等边对等角”有∠DEC =∠DCE ，代换得∠OCE +∠DCE =90°，从而证得结论；（2）第一步：作DH ⊥EC ，根据“等角的余角相等”可得∠EDH =∠A ，△EDC 中根据三线合一得EH =HC =1

EC ，

于是AB =10，由勾股定理可得AC =AEO ∽△ABC 得

AO AE

AC AB =，代入数据求得AE ，进一步求出EC 、EH ；第四步：由等角的正弦相等得sin ∠A = sin ∠EDH ，从而BC EH

AC DE

=，进而求得DE 的长．【详细解答】解：（1）证明：连接OC ，则∠A =∠OCA ，∵ OD ⊥AB ，∴∠AOE =90°，∴∠A ＋∠AEO =90°， ∵DE =DC ，∴∠DEC =∠DCE ，∵∠AEO =∠DEC ， ∴ ∠AEO = ∠DCE ，∴∠OCE +∠DCE =90°，∴CF 是⊙O 的切线．

（2）作DH ⊥EC ，则∠EDH =∠A ，∵DE =DC ，∴ EH =HC =1

EC ，∵ ⊙O 的半径为5，BC

= ∴AB =10，AC

=AEO ∽△ABC ，∴

AO AE

AC AB

=， ∴AE

EC =AC -AE

=3， ∴EH =

12EC

， ∵∠EDH =∠A ，∴sin ∠A = sin ∠EDH ，即BC EH AC DE =， ∴DE

10203AB EH

?==．

【解后反思】看到切线，就想到作过切点的半径，看到直径就想到直径所对的圆周角是直角；看到切线的判定，就想到：①若已知直线与圆的公共点，则采用判定定理法，其基本思路是：当已知点在圆上时，连接过这点的半径，证明这条半径与直线垂直即可，可简述为：有切点，连半径，证垂直；②若未知直线与圆有交点，则采用数量关系法，其基本思路是：过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于圆的半径，可简述为：无切点，作垂线，证相等．

【关键词】切线的判定；相似三角形的判定与性质；转化思想；方程思想

3. （2016广东省广州市，25，14分）如图，点C 为△ABD 外接圆上的一动点（点C 不在BAD ︵

错误！未找到引用源。上，且不与点B ，D 重合），∠ACB =∠ABD =45°．

（1）求证：BD 是该外接圆的直径；

（2）连结CD ，求证：2错误！未找到引用源。AC =BC +CD ；

（3）若△ABC 关于直线AB 的对称图形为△ABM ，连接DM ，试探究DM 2，AM 2，BM 2错误！未找到引用源。三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．

【逐步提示】（1）要证BD 是圆的直径，只需证明∠BAD =90°即可，这可由已知条件∠ACB =∠ABD =45°及∠D =∠ACB 直接得到；（2）由所要证明的结论形式自然联想到证明线段“a +b =c ”型问题的方法：截长补短法，由“2错误！未找到引用源。AC ”可联想到构造以AC 为直角边的等腰直角三角形，其斜边长即等于2错误！未找到引用源。AC ．于是可作AE ⊥AC ，交CB 的延长线于点E ，连结AE ，通过证明△ABE ≌△ADC 进一步获证结论；（3）由DM 2，AM 2，BM 2错误！未找到引用源。三者的形式，可构建直角三角形，进一步利用勾股定理探究三者之间的数量关系．则根据圆的性质，易于构造以DM 为斜边的Rt △MDF ，显然有DM 2= DF 2＋MF 2，借助“几何直观”，易于猜想DF =BM ，关于MF 2与2AM 2，连结AF 后它们在一个等腰直角三角形中，进而易于得出结论．另外，亦可以BM 为直角边，以AM 为直角边构造两个Rt △BMF 与Rt △MAF ，通过三角形全等证明BF =MD 获得结论．

【详细解答】解：（1）由AB ︵=AB ︵

，得∠ADB =∠ACB =45°．又∵∠ABD =45°，∴∠ABD +∠ADB =90°，∴∠BAD =90°，∴BD 是△ABD 外接圆的直径；

（2）证明：如图，作AE ⊥AC ，交CB 的延长线于点E ，连结AE ．∵∠EAC =∠BAD =90°，∴∠EAB +∠BAC =∠DAC +∠BAC ，∴∠EAB =∠DAC ．由∠ACB =∠ABD =45°，可得△ACE 与△ABD 是等腰直角三角形，∴AE =AC ，AB =AD ，∴△ABE ≌△ADC ，∴CD =BE ．在等腰Rt △ACE 中，由勾股定理，得CE =2AC ．∵CE =BC +BE ，∴2错误！未找到引用源。AC =BC +CD ；

（3）DM 2=BM 2＋2MA 2．证明如下：

方法1：如图，延长MB 交圆于点F ，连结AF ，DF ． ∵∠BF A =∠ACB =∠BMA =45°，∴∠MAF =90°，MA =AF ，∴MA 2+AF 2=2MA 2=MF 2．又∵AC =MA =AF ，∴AC ︵=AE ︵，又∵AD ︵=AB ︵，∴CD ︵=BF ︵，∴DF ︵=BC ︵

，∴∴DF =BC =BM ． ∵BD 是直径，∴∠BFD =90°．

在Rt △MDF 中，由勾股定理，得DM 2= DF 2＋MF 2， ∴DM 2=BM 2＋2MA 2．

B C

方法2：如图，过点M 作MF ⊥MB ，过点A 作AF ⊥MA ，MF 与AF 交于点F ，连结BF ．由轴对称性可知∠AMB =ACB =45°，∴∠FMA =45°，∴△AMF 是等腰直角三角形， ∴AM =AF ，MF 2=2AM 2．

∵∠MAF +∠MAB =∠BAD +∠MAB ，∴∠F AB =∠MAD ．又∵AF =AM ，AB =AD ，∴△ABF ≌△ADM ，∴BF =DM ．在Rt △BMF 中，

∵BF 2=BM 2+MF 2，∴DM 2=BM 2＋2MA 2．

【解后反思】1．关于问题（2）的解决，是利用证明线段“a +b =c ”型问题的方法——截长补短法．该例所作的辅助线本质上是在线段CB 的延长线上得到BE =CD ．我们也可直接在CB 的延长线上截取BE =CD ，显然∠ABE =∠ADC ，AB =AD ，因此，△ABE ≌△ADC ，从而可证∠EAC =90°，进一步可证得结论成立．

2．对于许多几何证明题，根据已知条件与所要证明的结论，联想相关知识是沟通证明思路的重要途径．如本例（3）中根据探究量的形式联想到勾股定理，从而构造直角三角形是解决问题的突破口．另外，注意“几何直观”，合情推理与演绎推理的有机结合，常常能给我们指明思考的方向与切入点，收到事半功倍之效．

【关键词】圆周角定理的推论；圆的三组量关系定理；全等三角形的判定和性质；勾股定理；轴对称的性质；转化思想

4. （2016湖南省湘潭市，21，6分）如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB 交CD 于点E ，连接BD 、OB . （1）求证：△AEC ∽△DEB ；

（2）若CD ⊥AB ，AB =8，DE =2，求⊙O 的半径.

F M

【逐步提示】（1）根据同弧所对的圆周角相等，可以得到这两个三角形有两对角相等，然后根据有两角对应相等的两个三角形相似证明即可.

（2）根据垂径定理，可以证明E 为AB 的中点，设⊙O 的半径为r ，则OE =r -2，根据勾股定理可得一个关于r 的方程，解方程即可. 【详细解答】解：（1）根据“同弧所对的圆周角相等”，得∠A =∠D ，∠C =∠B ，∴△AEC ∽△DEB . （2）∵CD ⊥AB ，∴BE =

A B =4，设⊙O 的半径为r ，则OE =r -2，于是，在Rt △OEB 中，有()222

24r r -+

=，解得5r =，即⊙O 的半径为5.

【解后反思】已知弦的长和弓形的高，求圆的半径，是垂径定理常见的题型，方法是设出圆的半径，利用勾股定理建立方程求解.

【关键词】圆周角；垂径定理；勾股定理；解方程；相似三角形的判定

5. （ 2016年湖南省湘潭市，21，6分）如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB 交CD 于点E ，连接BD 、OB 。（1）求证：△AEC ∽△DEB ；

（2）若C D ⊥AB ，AB=8，DE=2，求⊙O 的半径。

【逐步提示】本题考查了圆的相关知识、相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握与圆有关的性质. （1）先寻找两个三角形相似的条件：一对对顶角，还有一对同弧所对的圆周角；（2）由CD ⊥AB ，运用垂径定理求出AE 、BE 的长，再由（1）中的相似求出CE 的长，从而求出⊙O 的直径。

【详细解答】解：（1）∵

AD AD =，

∴∠C ＝∠DBE ，在△ACE 和△DEB 中，

AEC C D BE E D B ??

∠=∠∠?∠＝,

∴△ACE ∽△DEB ；

（2）∵CD ⊥AB ，CD 为⊙O 的直径，

∴BE ＝CE=12AB ＝4，∵△ACE ∽△DEB ∴AE CE DE BE =，即42

4CE

，∴CE=8，∴CD=10，⊙O 的半径为5. 【解后反思】在解题中，通过寻找两个角相等来证明两个三角形相似的居多，

。利用“同弧或等弧所对的圆周角

相等”是圆中常见寻找等角的方法；在涉及圆的性质问题时，通常是运用垂径定理或圆周角定理得到相等的角和线段的相等或垂直关系，使问题得以解决。另解：设OB＝x，则OE＝OD－DE＝x－2，根据勾股定理得：（x －2）2＋42＝x2，解得：x＝5，即⊙O的半径为5.

【关键词】圆；圆的有关性质；圆心角、圆周角定理；相似三角形；

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初中数学知识点总结汇总结构图

有理数数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线。有理数概念：凡能写成形式的数，都是有理数。（正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数；π不是有理数。）有理数的分类：①有理数正有理数零负有理数正整数正分数负整数负分数 ②有理数整数分数正整数零负整数正分数负分数相反数 (1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； (2)相反数的和为0 ? a+b=0 ? a、b互为相反数。绝对值：正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；有理数比大小（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数＞0，小数-大数＜0。互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若a≠0，那么的倒数是；若ab=1? a、b互为倒数；若ab=-1? a、b互为负倒数。有理数乘方的法则（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n为正奇数时: (-a)n=-a n 或(a -b)n=-(b-a)n , 当n为正偶数时: (-a)n =a n 或(a-b)n=(b-a)n . 科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法. 近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位。有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字。举几个例子：3一共有1个有效数字，0.0003有一个有效数字，0.1500有4个有效数字， 1.9*10^3有两个有效数字（不要被10^3迷惑，只需要看1.9的有效数字就可以了，10^n 看作是一个单位）。整式的加单项式：在代数式中，若只含有乘法（包括乘方）运算。或虽含有除法运算，但除式中不含字母的一类代数式叫单项式。单项式的系数与次数：单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数；系数不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数。多项式：几个单项式的和叫多项式。

(完整版)人教版初中数学知识点汇总

人教版初中数学知识点总结目录七年级数学（上）知识点(1) 第一章有理数(1) 第二章整式的加减(3) 第三章一元一次方程(4) 第四章图形的认识初步(5) 七年级数学（下）知识点(6) 第五章相交线与平行线(6) 第六章平面直角坐标系(8) 第七章三角形(9) 第八章二元一次方程组(12) 第九章不等式与不等式组(13) 第十章数据的收集、整理与描述(13) 八年级数学（上）知识点(14) 第十一章全等三角形(14) 第十二章轴对称(15) 第十三章实数(16) 第十四章一次函数(17) 第十五章整式的乘除与分解因式(18) 八年级数学（下）知识点(19) 第十六章分式(19) 第十七章反比例函数(20) 第十八章勾股定理(21) 第十九章四边形(22) 第二十章数据的分析(23) 九年级数学（上）知识点(24) 第二十一章二次根式(24) 第二十二章一元二次根式(25) 第二十三章旋转(26) 第二十四章圆(27)

第二十五章概率(28) 九年级数学（下）知识点(30) 第二十六章二次函数(30) 第二十七章相似(32) 第二十八章锐角三角函数(33) 第二十九章投影与视图(34) 1 七年级数学（上）知识点人教版七年级数学上册主要包含了有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的认识初步四个章节的内容. 第一章有理数一．知识框架二．知识概念 1.有理数： (1)凡能写成)0p q ,p (p q ≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数； (2)有理数的分类: ①??? ??????????负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数②???????????????负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3．相反数： (1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； (2)相反数的和为0 ? a+b=0 ? a 、b 互为相反数. 4.绝对值： (1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；

初中数学知识点总结(免费版)

初中数学知识点总结一、基本知识㈠、数与代数A、数与式： 1、有理数有理数：①整数→正整数/0/负整数 ②分数→正分数/负分数数轴：①画一条水平直线，在直线上取一点表示0（原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。③如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点距离相等。④数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。正数大于0，负数小于0，正数大于负数。绝对值：①在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。②正数的绝对值是他的本身、负数的绝对值是他的相反数、0的绝对值是0。两个负数比较大小，绝对值大的反而小。有理数的运算：加法：①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。②异号相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。③一个数与0相加不变。减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。乘法：①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。②任何数与0相乘得0。③乘积为1的两个有理数互为倒数。除法：①除以一个数等于乘以一个数的倒数。②0不能作除数。乘方：求N个相同因数A的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，A叫底数，N叫次数。混合顺序：先算乘法，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里的。 2、实数无理数：无限不循环小数叫无理数平方根：①如果一个正数X的平方等于A，那么这个正数X就叫做A的算术平方根。②如果一个数X的平方等于A，那么这个数X就叫做A的平方根。③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。④求一个数A的平方根运算，叫做开平方，其中A叫做被开方数。立方根：①如果一个数X的立方等于A，那么这个数X就叫做A的立方根。②正数的立方根是正数、0的立方根是0、负数的立方根是负数。③求一个数A的立方根的运算叫开立方，其中A叫做被开方数。实数：①实数分有理数和无理数。②在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义和有理数范围内的相反数，倒数，绝对值的意义完全一样。③每一个实数都可以在数轴上的一个点来表示。 3、代数式代数式：单独一个数或者一个字母也是代数式。合并同类项：①所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。②把同类项合并成一项就叫做合并同类项。③在合并同类项时，我们把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。 4、整式与分式整式：①数与字母的乘积的代数式叫单项式，几个单项式的和叫多项式，单项式和多项式统称整式。②一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。③一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。整式运算：加减运算时，如果遇到括号先去括号，再合并同类项。幂的运算：AM+AN=A（M+N）（AM）N=AMN （A/B）N=AN/BN 除法一样。整式的乘法：①单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的指数不变，作

初中数学知识点全总结完美打印版

初中数学知识点全总结完美打印版七年级数学（上）知识点人教版七年级数学上册主要包含了有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的认识初步四个章节的内容. 第一章有理数一、知识框架二．知识概念 1.有理数： (1)凡能写成)0p q ,p (p q ≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；不一定是负数，也不一定是正数；不是有理数； (2)有理数的分类: ① ??? ??????????负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ② ???????????????负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3．相反数： (1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；

(2)相反数的和为0 0 a 、b 互为相反数. 4.绝对值： (1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； (2) 绝对值可表示为：?????<-=>=)0a (a )0a (0)0a (a a 或???<-≥=)0a (a )0a (a a ；绝对值的问题经常分类讨论； 5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数＞ 0，小数-大数＜ 0. 6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是a 1；若1 、b 互为倒数；若-1 、b 互为负倒数. 7. 有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数及0相加，仍得这个数. 8．有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：；（2）加法的结合律：（）（）. 9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即（）. 10 有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；

初中数学知识要点及典型例题

初中数学知识要点及典型例题第一章实数第一讲实数的有关概念【回顾与思考】知识点：有理数、无理数、实数、非负数、相反数、倒数、数的绝对值课标要求： 1．使学生复习巩固有理数、实数的有关概念． 2．了解有理数、无理数以及实数的有关概念；理解数轴、相反数、绝对值等概念，了解数的绝对值的几何意义。 3．会求一个数的相反数和绝对值，会比较实数的大小 4．画数轴，了解实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示实数，会利用数轴比较大小。考查重点： 1．有理数、无理数、实数、非负数概念； 2．相反数、倒数、数的绝对值概念； 3．在已知中，以非负数a2、|a|、 a (a≥0)之和为零作为条件，解决有关问题。实数的有关概念

(1)实数的组成 {} ?????????????????????????????????正整数整数零负整数有理数有尽小数或无尽循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无尽不循环小数负无理数 (2)数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时，要注童上述规定的三要素缺一个不可)，实数与数轴上的点是一一对应的。数轴上任一点对应的数总大于这个点左边的点对应的数， (3)相反数实数的相反数是一对数(只有符号不同的两个数，叫做互为相反数，零的相反数是零)．从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称． (4)绝对值 ?? ???<-=>=)0()0(0)0(||a a a a a a 从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离 (5)倒数实数a(a ≠0)的倒数是a 1(乘积为1的两个数，叫做互为倒数)；零没有倒数．【例题经典】理解实数的有关概念

初中数学知识点总结大全(经典版)

初中数学必考知识点总结一、基本知识㈠、数与代数 A、数与式： 1、有理数有理数： ①整数→正整数/0/负整数 ②分数→正分数/负分数数轴： ①画一条水平直线，在直线上取一点表示0（原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。 ②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。 ③如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点距离相等。 ④数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。正数大于0，负数小于0，正数大于负数。绝对值： ①在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。 ②正数的绝对值是他的本身、负数的绝对值是他的相反数、0的绝对值是0。两个负数比较大小，绝对值大的反而小。有理数的运算：加法： ①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。 ②异号相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 ③一个数与0相加不变。减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。乘法：

①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。 ②任何数与0相乘得0。 ③乘积为1的两个有理数互为倒数。除法： ①除以一个数等于乘以一个数的倒数。 ②0不能作除数。乘方：求N个相同因数A的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，A叫底数，N叫次数。混合顺序：先算乘法，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里的。 2、实数无理数：无限不循环小数叫无理数。平方根： ①如果一个正数X的平方等于A，那么这个正数X就叫做A的算术平方根。 ②如果一个数X的平方等于A，那么这个数X就叫做A的平方根。 ③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。 ④求一个数A的平方根运算，叫做开平方，其中A叫做被开方数。立方根： ①如果一个数X的立方等于A，那么这个数X就叫做A的立方根。 ②正数的立方根是正数、0的立方根是0、负数的立方根是负数。 ③求一个数A的立方根的运算叫开立方，其中A叫做被开方数。实数： ②实数分有理数和无理数。 ②在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。 ③每一个实数都可以在数轴上的一个点来表示。 3、代数式代数式：单独一个数或者一个字母也是代数式。合并同类项：

初中数学知识点总结及公式大全(最新最全)

知识点1：一元二次方程的基本概念 1．一元二次方程3x 2 +5x-2=0的常数项是-2. 2．一元二次方程3x 2 +4x-2=0的一次项系数为4，常数项是-2. 3．一元二次方程3x 2 -5x-7=0的二次项系数为3，常数项是-7. 4．把方程3x(x-1)-2=-4x 化为一般式为3x 2 -x-2=0. 知识点2：直角坐标系与点的位置 1．直角坐标系中，点A （3，0）在y 轴上。 2．直角坐标系中，x 轴上的任意点的横坐标为0. 3．直角坐标系中，点A （1，1）在第一象限. 4．直角坐标系中，点A （-2，3）在第四象限. 5．直角坐标系中，点A （-2，1）在第二象限. 知识点3：已知自变量的值求函数值 1．当x=2时,函数y=32-x 的值为1. 2．当x=3时,函数y=2 1-x 的值为1. 3．当x=-1时,函数y= 3 21-x 的值为1. 知识点4：基本函数的概念及性质 1．函数y=-8x 是一次函数. 2．函数y=4x+1是正比例函数. 3．函数x y 2 1-=是反比例函数. 4．抛物线y=-3(x-2)2 -5的开口向下. 5．抛物线y=4(x-3)2 -10的对称轴是x=3. 6．抛物线2)1(2 12+-=x y 的顶点坐标是(1,2). 7．反比例函数x y 2 = 的图象在第一、三象限. 知识点5：数据的平均数中位数与众数 1．数据13,10,12,8,7的平均数是10. 2．数据3,4,2,4,4的众数是4. 3．数据1，2，3，4，5的中位数是3. 知识点6：特殊三角函数值 1．cos30°= 2 3. 2．sin 2 60°+ cos 2 60°= 1. 3．2sin30°+ tan45°= 2. 4．tan45°= 1. 5．cos60°+ sin30°= 1.

初中数学知识点总结(最新版)

中考数学知识点知识点1：一元二次方程的基本概念 1．一元二次方程3x 2+5x-2=0的常数项是-2. 2．一元二次方程3x 2+4x-2=0的一次项系数为4，常数项是-2. 3．一元二次方程3x 2-5x-7=0的二次项系数为3，常数项是-7. 4．把方程3x(x-1)-2=-4x 化为一般式为3x 2-x-2=0. 知识点2：直角坐标系与点的位置 1．直角坐标系中，点A （3，0）在y 轴上。 2．直角坐标系中，x 轴上的任意点的横坐标为0. 3．直角坐标系中，点A （1，1）在第一象限. 4．直角坐标系中，点A （-2，3）在第四象限. 5．直角坐标系中，点A （-2，1）在第二象限. 知识点3：已知自变量的值求函数值 1．当x=2时,函数y=32-x 的值为 1. 2．当x=3时,函数y= 2 1-x 的值为1. 3．当x=-1时,函数y= 3 21-x 的值为1. 知识点4：基本函数的概念及性质 1．函数y=-8x 是一次函数. 2．函数y=4x+1是正比例函数. 3．函数x y 2 1-=是反比例函数. 4．抛物线y=-3(x-2)2-5的开口向下. 5．抛物线y=4(x-3)2-10的对称轴是x=3.

(1,2). 6．抛物线 2)1(2 1 2+-= x y 的顶点坐标是7．反比例函数x y 2=的图象在第一、三象限. 知识点5：数据的平均数中位数与众数 1．数据13,10,12,8,7的平均数是10. 2．数据3,4,2,4,4的众数是4. 3．数据1，2，3，4，5的中位数是3. 知识点6：特殊三角函数值 1．cos30°= 2 3. 2．sin 260°+ cos 260°= 1. 3．2sin30°+ tan45°= 2. 4．tan45°= 1. 5．cos60°+ sin30°= 1. 知识点7：圆的基本性质 1．半圆或直径所对的圆周角是直角. 2．任意一个三角形一定有一个外接圆. 3．在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆. 4．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等. 5．同弧所对的圆周角等于圆心角的一半. 6．同圆或等圆的半径相等. 7．过三个点一定可以作一个圆. 8．长度相等的两条弧是等弧.

浙教版初中数学八年级上下册知识点及典型例题汇总

数学八年级上册知识点及典型例题第一章平行线 1.1同位角、内错角、同旁内角如图：直线l 1 , l 2 被直线l 3 所截，构成了八个角。 1. 观察∠ 1与∠5的位置：它们都在第三条直线l 3 的同旁，并且分别位于直线l 1 , l 2 的相同一侧，这样的一对角叫做“同位角”。 2. 观察∠ 3与∠5的位置：它们都在第三条直线l 3的异侧，并且都位于两条直线l 1 , l 2 之间，这样的一对角叫做“内错角”。 3. 观察∠ 2与∠5的位置：它们都在第三条直线l 3的同旁，并且都位于两条直线l 1 , l 2 之间，这样的一对角叫做“同旁内角”。想一想问题1.你觉得应该按怎样的步骤在“三线八角”中确定关系角？确定前提（三线）寻找构成的角（八角）确定构成角中的关系角问题2：在上面同位角、内错角、同旁内角中任选一对，请你看看这对角的四条边与“前提”中的“三线”有什么关系？结论：两个角的在同一直线上的边所在直线就是前提中的第三线。 1．2 平行线的判定（1）

复习画两条平行线的方法：提问：（1）怎样用语言叙述上面的图形？（直线l 1，l 2被AB 所截）（2）画图过程中，什么角始终保持相等？（同位角相等，即∠1＝∠2）（3）直线l 1，l 2位置关系如何？（ l 1∥l 2）（4）可以叙述为： ∵∠1＝∠2 ∴l 1∥l 2 （？）语言叙述：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。简单地说：同位角相等，两直线平行。几何叙述：∵∠1＝∠2 ∴l 1∥l 2 （同位角相等，两直线平行）想一想 o o A B L 1 L 2 （图形的平移变换）抽象成几何图形 A B 2 1 L 1 L 2 1 2 a c b 若a⊥b,b⊥c 则a c

初三数学知识点考点归纳总结

初三数学知识点考点归纳总结一、相似三角形7个考点考点1：相似三角形的概念、相似比的意义、画图形的放大和缩小考核要求：1理解相似形的概念;2掌握相似图形的特点以及相似比的意义，能将已知图形按照要求放大和缩小. 考点2：平行线分线段成比例定理、三角形一边的平行线的有关定理考核要求：理解并利用平行线分线段成比例定理解决一些几何证明和几何计算. 注意：被判定平行的一边不可以作为条件中的对应线段成比例使用. 考点3：相似三角形的概念考核要求：以相似三角形的概念为基础，抓住相似三角形的特征，理解相似三角形的定义. 考点4：相似三角形的判定和性质及其应用考核要求：熟练掌握相似三角形的判定定理包括预备定理、三个判定定理、直角三角形相似的判定定理和性质，并能较好地应用. 考点5：三角形的重心考核要求：知道重心的定义并初步应用. 考点6：向量的有关概念考点7：向量的加法、减法、实数与向量相乘、向量的线性运算考核要求：掌握实数与向量相乘、向量的线性运算二、锐角三角比2个考点考点8：锐角三角比锐角的正弦、余弦、正切、余切的概念，30度、45度、60度角的三角比值. 考点9：解直角三角形及其应用考核要求：1理解解直角三角形的意义;2会用锐角互余、锐角三角比和勾股定理等解直角三角形和解决一些简单的实际问题，尤其应当熟练运用特殊锐角的三角比的值解直角三角形. 三、二次函数4个考点

考点10：函数以及函数的定义域、函数值等有关概念，函数的表示法，常值函数考核要求：1通过实例认识变量、自变量、因变量，知道函数以及函数的定义域、函数值等概念;2知道常值函数;3知道函数的表示方法，知道符号的意义. 考点11：用待定系数法求二次函数的解析式考核要求：1掌握求函数解析式的方法;2在求函数解析式中熟练运用待定系数法. 注意求函数解析式的步骤：一设、二代、三列、四还原. 考点12：画二次函数的图像考核要求：1知道函数图像的意义，会在平面直角坐标系中用描点法画函数图像;2理解二次函数的图像，体会数形结合思想;3会画二次函数的大致图像. 考点13：二次函数的图像及其基本性质考核要求：1借助图像的直观、认识和掌握一次函数的性质，建立一次函数、二元一次方程、直线之间的联系;2会用配方法求二次函数的顶点坐标，并说出二次函数的有关性质. 注意：1解题时要数形结合;2二次函数的平移要化成顶点式. 四、圆的相关概念6个考点考点14：圆心角、弦、弦心距的概念考核要求：清楚地认识圆心角、弦、弦心距的概念，并会用这些概念作出正确的判断. 考点15：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系考核要求：认清圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，在理解有关圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系的定理及其推论的基础上，运用定理进行初步的几何计算和几何证明. 考点16：垂径定理及其推论垂径定理及其推论是圆这一板块中最重要的知识点之一. 考点17：直线与圆、圆与圆的位置关系及其相应的数量关系直线与圆的位置关系可从与之间的关系和交点的个数这两个侧面来反映.在圆与圆的位置关系中，常需要分类讨论求解. 考点18：正多边形的有关概念和基本性质

史上最全的初中数学知识点总结

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第一章：实数重要复习的知识点：一、实数的分类： ?????? ???????????????????????????????????????无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数 1、有理数：任何一个有理数总可以写成q p 的形式，其中p 、q 是互质的整数，这是有理数的重要特征。 2、无理数：初中遇到的无理数有三种：开不尽的方

根，如2、34；特定结构的不限环无限小数，如 1.101001000100001……；特定意义的数，如π、45sin °等。 3、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉，往往要经过整理化简后才下结论。二、实数中的几个概念 1、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。（1）实数a 的相反数是 -a ；（2）a 和b 互为相反数?a+b=0 2、倒数：（1）实数a （a ≠0）的倒数是a 1；（2）a 和b 互为倒数?1=ab ；（3）注意0没有倒数 3、绝对值：（1）一个数a 的绝对值有以下三种情况： ?????-==0,0, 00, a a a a a a （2）实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看，一个实数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点到原

点的距离。（3）去掉绝对值符号（化简）必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负）确认，再去掉绝对值符号。 4、n次方根（1）平方根，算术平方根：设a≥0，称a 叫a的平方根，a叫a的算术平方根。（2）正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。（3）立方根：3a叫实数a的立方根。（4）一个正数有一个正的立方根；0的立方根是0；一个负数有一个负的立方根。三、实数与数轴 1、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。 2、数轴上的点和实数的对应关系：数轴上的每一个点都表示一个实数，而每一个实数都可以用数轴上的唯一的点来表示。实数和数轴上的点是一一对应

中考攻略：初中数学函数知识点大全+典型例题

初中数学函数知识点大全+典型例题知识点一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念一般地，如果特)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，特别注意a 不为零那么y 叫做x 的二次函数。 )0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于a b x 2- =对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征： ①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。 3、二次函数图像的画法五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点：当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称

点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。知识点二、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：口诀----- 一般两根三顶点（1）一般一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，（2）两根当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如果没有交点，则不能这样表示。 a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。（3）三顶点顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数，知识点三、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当 a b x 2-=时，a b a c y 442-=最值。如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，那么，首先要看a b 2-是否在自变量取值范围21x x x ≤≤内，若在此范围内，则当x=a b 2-时，a b a c y 442-=最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当2x x =时， c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=222 最小。知识点四、二次函数的性质 1、二次函数的性质

初中数学知识点全总结(完美打印版)

七年级数学（上）知识点人教版七年级数学上册主要包含了有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的认识初步四个章节的内容. 第一章有理数一、知识框架二．知识概念 1.有理数： (1)凡能写成)0p q ,p (p q ≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数； (2)有理数的分类: ① ??? ? ?????????负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ② ???????????????负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3．相反数： (1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； (2)相反数的和为0 ? a+b=0 ? a 、b 互为相反数. 4.绝对值： (1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； (2) 绝对值可表示为：?????<-=>=) 0a (a )0a (0) 0a (a a 或???<-≥=)0a (a )0a (a a ；绝对值的问题经常分类讨论； 5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数＞ 0，小数-大数＜ 0.

初中数学知识点总结-精简版

知识点1：一元二次方程的基本概念与一元二次函数图像问题 1．一元二次方程ax 2 +bx+c=0 (a ≠0)的常数项是c ，一次项系数为b. 二次项系数为a 2．二次函数c bx ax y ++=2的对称轴是直线x=-b/(2a)，顶点坐标是(-b/(2a), (4ac-b 2)/4a) 3．若抛物线的解析式为y=a(x-b)2+c,则它的顶点坐标是(b, c) 知识点2：直角坐标系与点的位置 1．直角坐标系中，点A （8，0）在y 轴上。 2．直角坐标系中，y 轴上的任意点的横坐标为0, x 轴上的任意点的纵坐标为0. 3．直角坐标系中，点A （8，8）在第一象限. 4．直角坐标系中，点A （-8，8）在第二象限. 5．直角坐标系中，点A （-8，-8）在第三象限. 6．直角坐标系中，点A （8，-8）在第四象限知识点3：已知自变量的值求函数值 1．当x=6时,函数y= 32-x 的值为3. 2．当x=1时,函数y= 21-x 的值为-1. 3．当x=2时,函数y=3 21-x 的值为1. 知识点4：基本函数的概念及性质 1．函数y=-8x 是正比例函数. 2．函数y=8x+8是一次函数. 3．函数x y /8=是反比例函数. 4．抛物线y=-8(x-8)2-8的开口向下. 5．抛物线y=8(x-8)2-8的对称轴是x=8. 6．抛物线8)8(21 2 +-=x y 的顶点坐标是(8,8). 7．反比例函数x y 8 =的图象在第一、三象限. 知识点5：数据的平均数中位数与众数 1．数据15,10,12,8,5的平均数是10. （an average, a mean ） 2．数据3,4,1,4,4的众数是4. （出现次数最多的）（Mode ） 3．数据1，2，3，4，5的中位数是3. （先排队，然后找中间的，Median, 注意奇偶个） 4．数据6，5，3，4，1，2的中位数是3.5 . 知识点6：特殊三角函数值 1．sin30°= 21 2．cos30°= 23 . 3．sin 2α+ cos 2α= 1.

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七年级数学（上）知识点第一章有理数一．知识框架二．知识概念 1.有理数： (1)凡能写成)0 p q,p( p q ≠ 为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数；pai不是有理数； (2)有理数的分类: ① ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数② ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3．相反数： (1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； (2)相反数的和为0 ? a+b=0 ? a、b互为相反数. 4.绝对值： (1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； (2) 绝对值可表示为： ?? ? ? ? < - = > = )0 a( a )0 a( )0 a( a a或 ? ? ? < - ≥ = )0 a( a )0 a( a a；绝对值的问题经常分类讨论； 5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数＞0，小数-大数＜0. 6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若a≠0，那么a的倒数是 a 1 ；若ab=1? a、b互为倒数；若ab=-1? a、b互为负倒数. 7. 有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与0相加，仍得这个数.

初中数学重点知识点及重要题型

中考数学重点知识点及重要题型知识点1：一元二次方程的基本概念 1．一元二次方程3x 2+5x-2=0的常数项是-2. 2．一元二次方程3x 2+4x-2=0的一次项系数为4，常数项是-2. 3．一元二次方程3x 2-5x-7=0的二次项系数为3，常数项是-7. 4．把方程3x(x-1)-2=-4x 化为一般式为3x 2-x-2=0. 知识点2：直角坐标系与点的位置 1．直角坐标系中，点A （3，0）在y 轴上。 2．直角坐标系中，x 轴上的任意点的横坐标为0. 3．直角坐标系中，点A （1，1）在第一象限. 4．直角坐标系中，点A （-2，3）在第四象限. 5．直角坐标系中，点A （-2，1）在第二象限. 知识点3：已知自变量的值求函数值 1．当x=2时,函数y=3 2-x 的值为1. 2．当x=3时,函数y= 2 1-x 的值为1. 3．当x=-1时,函数y= 3 21 -x 的值为1. 知识点4：基本函数的概念及性质 1．函数y=-8x 是一次函数. 2．函数y=4x+1是正比例函数. 3．函数x y 2 1-=是反比例函数. 4．抛物线y=-3(x-2)2-5的开口向下. 5．抛物线y=4(x-3)2-10的对称轴是x=3.

6．抛物线2 ) 1(2 12 +-=x y 的顶点坐标是(1,2). 7．反比例函数x y 2=的图象在第一、三象限. 知识点5：数据的平均数中位数与众数 1．数据13,10,12,8,7的平均数是10. 2．数据3,4,2,4,4的众数是4. 3．数据1，2，3，4，5的中位数是3. 知识点6：特殊三角函数值 1．cos30°= 2 3. 2．sin 260°+ cos 260°= 1. 3．2sin30°+ tan45°= 2. 4．tan45°= 1. 5．cos60°+ sin30°= 1. 知识点7：圆的基本性质 1．半圆或直径所对的圆周角是直角. 2．任意一个三角形一定有一个外接圆. 3．在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆. 4．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等. 5．同弧所对的圆周角等于圆心角的一半. 6．同圆或等圆的半径相等. 7．过三个点一定可以作一个圆. 8．长度相等的两条弧是等弧. 9．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等.

初中数学知识点汇总(最全)

侧面是曲面底面是圆面圆柱，:???侧面是正方形或长方形底面是多边形棱体柱体，:侧面是曲面底面是圆面圆锥，:???侧面都是三角形底面是多边形棱锥锥体，:?????????有理数?????---)3,2,1:()3,2,1:( 如负整数如正整数整数)0(零?????----)8.4,3.2,31,21:( 如负分数分数)8.3,3.5,31,21:( 如正分数北师大版初中数学七年级上册知识点汇总第一章丰富的图形世界 ¤1. ¤2. ¤3. 球体：由球面围成的（球面是曲面） ¤4. 几何图形是由点、线、面构成的。 ①几何体与外界的接触面或我们能看到的外表就是几何体的表面。几何的表面有平面和曲面； ②面与面相交得到线； ③线与线相交得到点。 ※5. 棱：在棱柱中，任何相邻两个面的交线都叫做棱．。 ※6. 侧棱：相邻两个侧面的交线叫做侧棱．．，所有侧棱长都相等。 ¤7. 棱柱的上、下底面的形状相同，侧面的形状都是长方形。 ¤8. 根据底面图形的边数，人们将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它们底面图形的形状分别为三边形、四边形、五边形、六边形…… ¤9. 长方体和正方体都是四棱柱。 ¤10. 圆柱的表面展开图是由两个相同的圆形和一个长方形连成。 ¤11. 圆锥的表面展开图是由一个圆形和一个扇形连成。 ※12. 设一个多边形的边数为n(n≥3，且n 为整数)，从一个顶点出发的对角线有(n-3)条；可以把n 边形成(n-2)个三角形；这个n 边形共有 2 )3(-n n 条对角线。 ◎13. 圆上两点之间的部分叫做弧．，弧是一条曲线。 ◎14. 扇形，由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形。 ¤15. 凸多边形和凹多边形都属于多边形。有弧或不封闭图形都不是多边形。第二章有理数及其运算 ※ ※数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（三者缺一不可）。 ※任何一个有理数，都可以用数轴上的一个点来表示。（反过来，不能说数轴上所有的点都表示有理数） ※如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。（0的相反数是0）

人教最新版初中数学知识点总结(全面)

人教新版初中数学知识点总结（全面最新）七年级数学（上）知识点第一章有理数一．知识框架二．知识概念 1.有理数： (1)凡能写成 )0p q ,p (p q ≠为整数且形式的数，都是有理数. (2)有理数的分类: ① ?????????????负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ② ???????????????负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数注意：0即不是正数，也不是负数； -a 不一定是负数，+a 也不一定是正数； π不是有理数；

2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3．相反数： (1)只有符号不同的两个数，互为相反数，即a 和- a 互为相反数； 0的相反数还是0； (2) a+b=0 ? a 、b 互为相反数. 4.绝对值： (1)绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； (2) ?? ???<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a 或???<-≥=)0a (a )0a (a a 或???≤->=)0()0(a a a a a ；正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；绝对值的问题经常分类讨论，零既可以和正数一组也可以和负数一组； 5.有理数比大小：两个负数比大小，绝对值大的反而小；数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；大数-小数＞ 0，小数-大数＜ 0. 6.倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是a 1；若ab=1? a 、b 互为倒数；

若ab=-1 a、b互为负倒数. 7. 有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与0相加，仍得这个数. 8．有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）. 9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）. 10 有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；（2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定，负因数为奇数个时乘积为负，负因数为偶数个时乘积为正. 11 有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba；（2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc）；（3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac .

初中数学知识点、习题大集合.

知识点1：一元二次方程的基本概念一元二次方程ax 2+bx+c=0，其中二次项系数是a ，一次项系数是b ，常数项是c 1．一元二次方程3x 2+5x-2=0的常数项是-2. 2．一元二次方程3x 2+4x-2=0的一次项系数为4，常数项是-2. 3．一元二次方程3x 2-5x-7=0的二次项系数为3，常数项是-7. 4．把方程3x(x-1)-2=-4x 化为一般式为3x 2+x-2=0. 知识点2：直角坐标系与点的位置 1．直角坐标系中，点A （x ，y ），当x >0，y >0时，点A 在第一象限；当x <0，y >0时，点A 在第二象限；当x <0，y <0时，点A 在第三象限；当x >0，y <0时，点A 在第四象限。 2．直角坐标系中，x 轴上的任一点的纵坐标为0，y 轴上任一点的横坐标为0. 注意：x 轴和y 轴上的点，不属于任何象限 3．例：直角坐标系中，点A （1，1）在第一象限，B （-1，1）在第二象限，C （-1，-1）在第三象限，D （1，-1）在第四象限知识点3：已知自变量的值求函数值 1．当x=2时,函数y=32-x 的值为1. 2．当x=3时,函数y=2 1-x 的值为1. 知识点4：基本函数的概念及性质 1．形如y=kx （k ≠0）的函数是正比例函数，例函数y=4x+1是正比例函数. 2．形如y=k ∕x 的函数是反比例函数，例函数12x y =是反比例函数.

3．若自变量最高次数为1，则这个函数就是一次函数。一般的形如y=kx+b（k≠0，k，b为常数）的函数是一次函数。当b=0时，y=kx+b即y=kx，即正比例函数（自变量和因变量成正比例）。所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。 4．一般地，把形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常数，a≠0，bc可以为0）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。x为自变量，y为因变量。等号右边自变量的最高次数是2。