高中数学竞赛培优专题辅导-平面向量
一、基础知识
定义1 既有大小又有方向的量,称为向量。画图时用有向线段来表示,线段的长度表示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头,或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量,如 a. |a|表示向量的模,模为零的向量称为零向量,规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同,模为1的向量称为单位向量。
定义 2 方向相同或相反的向量称为平行向量(或共线向量),规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。
定理1 向量的运算,加法满足平行四边形法规,减法满足三角形法则。加法和减法都满足交换律和结合律。
定理2 非零向量a, b 共线的充要条件是存在实数≠λ0,使得a=.b λ f 定理3 平面向量的基本定理,若平面内的向量a, b 不共线,则对同一平面内任意向是c ,存在唯一一对实数x, y ,使得c=xa+yb ,其中a, b 称为一组基底。
定义3 向量的坐标,在直角坐标系中,取与x 轴,y 轴方向相同的两个单位向量i, j 作为基底,任取一个向量c ,由定理3可知存在唯一一组实数x, y ,使得c=xi+yi ,则(x, y )叫做c 坐标。
定义4 向量的数量积,若非零向量a, b 的夹角为θ,则a, b 的数量积记作a ·b=|a|·|b|cos θ=|a|·|b|cos,也称内积,其中|b|cos θ叫做b 在a 上的投影(注:投影可能为负值)。
定理4 平面向量的坐标运算:若a=(x 1, y 1), b=(x 2, y 2), 1.a+b=(x 1+x 2, y 1+y 2), a-b=(x 1-x 2, y 1-y 2), 2.λa=(λx 1, λy 1), a ·(b+c)=a ·b+a ·c , 3.a ·b=x 1x 2+y 1y 2, cos(a, b)=
22
22
21
2
1
2121y
x y x y y x x +?++(a, b ≠0),
4. a//b ?x 1y 2=x 2y 1, a ⊥b ?x1x2+y 1y 2=0.
定义5 若点P 是直线P 1P 2上异于p 1,p 2的一点,则存在唯一实数λ,使
21PP P P λ=,λ叫P 分21P P 所成的比,若O 为平面内任意一点,则
λ
λ++=
12
1OP OP 。由此可得若P 1,P ,P 2的坐标分别为(x 1, y 1), (x, y), (x 2,
y 2),则..1121212
121y y y y x x x x y y y x x x --=--=???
????++=++=λλλλλ
定义6 设F 是坐标平面内的一个图形,将F 上所有的点按照向量a=(h, k)的方向,平移|a|=22k h +个单位得到图形'F ,这一过程叫做平移。设p(x, y)
是F 上任意一点,平移到'F 上对应的点为)','('y x p ,则???+=+=k
y y h
x x ''称为平移公式。
定理5 对于任意向量a=(x 1, y 1), b=(x 2, y 2), |a ·b|≤|a|·|b|,并且|a+b|≤|a|+|b|.
【证明】 因为|a|2·|b|2-|a ·b|2=))((22222121y x y x ++-(x 1x 2+y 1y 2)2=(x 1y 2-x 2y 1)
2≥0,又|a ·b|≥0, |a|·|b|≥0,
所以|a|·|b|≥|a ·b|.
由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.
注:本定理的两个结论均可推广。1)对n 维向量,a=(x 1, x 2,…,x n ),b=(y 1, y 2, …, y n ),同样有|a ·b|≤|a|·|b|,化简即为柯西不等式:
≥++++++))((2
222122221n n y y y x x x (x 1y 1+x 2y 2+…+x n y n )2≥0,又|a ·b|≥0,
|a|·|b|≥0,
所以|a|·|b|≥|a ·b|.
由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.
注:本定理的两个结论均可推广。1)对n 维向量,a=(x 1, x 2,…,x n ), b=(y 1, y 2, …, y n ),同样有|a ·b|≤|a|·|b|,化简即为柯西不等式:
≥++++++))((2222122221n n y y y x x x (x 1y 1+x 2y 2+…+x n y n )2
。
2)对于任意n 个向量,a 1, a 2, …,a n ,有| a 1, a 2, …,a n |≤| a 1|+|a 2|+…+|a n |。 二、方向与例题
1.向量定义和运算法则的运用。
例1 设O 是正n 边形A 1A 2…A n 的中心,求证:.21OA OA OA n =+++ 【证明】 记n OA OA OA +++= 21,若≠,则将正n 边形绕中心O 旋转
n
π
2后与原正n 边形重合,所以不变,这不可能,所以.=
例2 给定△ABC ,求证:G 是△ABC 重心的充要条件是.=++ 【证明】必要性。如图所示,设各边中点分别为D ,E ,F ,延长AD 至P ,使DP=GD ,则.2==
又因为BC 与GP 互相平分,
所以BPCG 为平行四边形,所以BG //PC ,所以.= 所以.=++=++
充分性。若=++,延长AG 交BC 于D ,使GP=AG ,连结CP ,则.=因为=++,则=,所以GB //CP ,所以AG 平分BC 。
同理BG 平分CA 。 所以G 为重心。
例3 在凸四边形ABCD 中,P 和Q 分别为对角线BD 和AC 的中点,求证:AB 2+BC 2+CD 2+DA 2=AC 2+BD 2+4PQ 2。
【证明】 如图所示,结结BQ ,QD 。 因为=+=+,, 所以222
2)()(PQ DP PQ BP DQ BQ +++=+ =BP PQ DP BP 222
22+++·?+2
=.2)(222
2
2
2
2
2
++=?++++ ① 又因为,,,=+=+=+ 同理 2
2
2
2
2
2++=+, ②
2
2
2
2
2
2QD QC QA DA CD ++=+, ③
由①,②,③可得)(242
22222QD BQ QA CD BC BA ++=++
2
2
2
2
2
2
4)22(2++=++=。得证。
2.证利用定理2证明共线。
例4 △ABC 外心为O ,垂心为H ,重心为G 。求证:O ,G ,H 为共线,且OG :GH=1:2。
【证明】 首先AM OA AG OA OG 3
2
+
=+= =)2(31
)(31+++=++
).(3
1
++= 其次设BO 交外接圆于另一点E ,则连结CE 后得CE .BC ⊥
又AH ⊥BC ,所以AH//CE 。
又EA ⊥AB ,CH ⊥AB ,所以AHCE 为平行四边形。 所以,EC AH =
所以OC OB OA OC EO OA EC OA AH OA OH ++=++=+=+=, 所以OG OH 3=,
所以与共线,所以O ,G ,H 共线。 所以OG :GH=1:2。 3.利用数量积证明垂直。
例5 给定非零向量a, b. 求证:|a+b|=|a-b|的充要条件是a ⊥b. 【
证
明
】
|a+b|=|a-b|?(a+b)2
=(a-b)2
?a 2
+2a ·b+b 2
=a 2
-2a ·b+b 2
?a ·b=0?a ⊥b.
例6 已知△ABC 内接于⊙O ,AB=AC ,D 为AB 中点,E 为△ACD 重心。求证:OE ⊥CD 。
【证明】 设c b a ===,,, 则)(2
1
b a +=
, .61213
1
)(2131b a c b a c a ++=??????+++=
又c b a -+=
)(2
1
, 所以??
?
??-+???? ??++=?c b a b c a 2121613121
c a b a c b a ?-?+-+=
31
313112141222 3
1
=a ·(b-c). (因为|a|2=|b|2=|c|2=|OH|2) 又因为AB=AC ,OB=OC ,所以OA 为BC 的中垂线。
所以a ·(b-c)=0. 所以OE ⊥CD 。 4.向量的坐标运算。
例7 已知四边形ABCD 是正方形,BE//AC ,AC=CE ,EC 的延长线交BA 的延长线于点F ,求证:AF=AE 。
【证明】 如图所示,以CD 所在的直线为x 轴,以C 为原点建立直角坐标系,设正方形边长为1,则A ,B 坐标分别为(-1,1)和(0,1),设E 点的坐标为(x, y ),则=(x, y-1), )1,1(-=AC ,因为AC BE //,所以-x-(y-1)=0.
又因为||||=,所以x 2+y 2=2. 由①,②解得.2
3
1,231-=+=
y x 所以.324||,231,2332+=???
?
??--+=AE AE 设)1,'(x F ,则)1,'(x =。由和共线得.02
3
1'231=+--x 所以)32('+-=x ,即F )1,32(--, 所以2||AF =4+2||32AE =,所以AF=AE 。 三、基础训练题
1.以下命题中正确的是__________. ①a=b 的充要条件是|a|=|b|,且a//b ;②(a ·b)·c=(a ·c)·b ;③若a ·b=a ·c ,则b=c ;④若a, b 不共线,则xa+yb=ma+nb 的充要条件是x=m, y=n ;⑤若b CD a AB ==,,且a, b 共线,则A ,B ,C ,D 共线;⑥a=(8, 1)在b=(-3, 4)上的投影为-4。
2.已知正六边形ABCDEF ,在下列表达式中:①++;②+2;③ ED FE +;④FA ED -2与AC ,相等的有__________.
3.已知a=y-x, b=2x-y, |a|=|b|=1, a ·b=0,则|x|+|y|=__________. 4.设s, t 为非零实数,a, b 为单位向量,若|sa+tb|=|ta-sb|,则a 和b 的夹角为__________.
5.已知a, b 不共线,=a+kb, =la+b ,则“kl-1=0”是“M ,N ,P 共线”的__________条件.
第一部分:平面向量的概念及线性运算 欧阳光明(2021.03.07) 一.基础知识自主学习 1.向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量;向量的大小叫做向量 的(或称) 平面向量是自由向量 零向量长度为的向量;其方向是任意的记作0 单位向量长度等于的 向量 非零向量a的单位向量为± a |a| 平行向量方向或的非零向量 0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等,不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何 意义) 运算律 加法求两个向量和的运算(1)交换律: a+b=b+a. (2)结合律: (a+b)+c=a+(b+c). 减法求a与b的相反向量-b 的和的运算叫做a与b 的差 法则 a-b=a+(-b) 数乘求实数λ与向量a的积的 运算 (1)|λa|=|λ||a|. (2)当λ>0时,λa的方向与a的方向; 当λ<0时,λa的方向与a的方向;当λ =0时,λa=0. λ(μa)=λμa; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb. 向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λa. 二.难点正本疑点清源 1.向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时,与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线
段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等,而没有谁大谁小之说,即向量不能比较大小. 2.向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线(或重合)的情况,而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合. 三.基础自测 1.化简OP →-QP →+MS →-MQ → 的结果等于________. 2.下列命题:①平行向量一定相等;②不相等的向量一定不平行;③平行于同一个向量的两个向量是共线向量; ④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是_______. 3.在△ABC 中,AB →=c ,AC →=b.若点D 满足BD →=2DC →,则AD → =________(用b 、c 表示). 4.如图,向量a -b 等于() A .-4e1-2e2 B .-2e1-4e2 C .e1-3e2 D .3e1-e2 5.已知向量a ,b ,且AB →=a +2b ,BC →=-5a +6b ,CD → =7a -2b ,则一定共线的三点是 () A .A 、B 、DB .A 、B 、C C .B 、C 、DD .A 、C 、D 四.题型分类深度剖析 题型一 平面向量的有关概念 例1 给出下列命题: ①若|a|=|b|,则a =b ;②若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则AB →=DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;③若a =b ,b =c ,则a =c ;④a =b 的充要条件是|a|=|b|且a ∥b ;⑤若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c.其中正确的序号是________. 变式训练1 判断下列命题是否正确,不正确的请说明理由. (1)若向量a 与b 同向,且|a|=|b|,则a>b ; (2)若|a|=|b|,则a 与b 的长度相等且方向相同或相反; (3)若|a|=|b|,且a 与b 方向相同,则a =b ; (4)由于零向量的方向不确定,故零向量不与任意向量平行; (5)若向量a 与向量b 平行,则向量a 与b 的方向相同或相反; (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量,则A ,B ,C ,D 四点在一条直线上; (7)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量; (8)任一向量与它的相反向量不相等 题型二 平面向量的线性运算 例2 如图,以向量OA →=a ,OB →=b 为边作?OADB ,BM →=13BC →,CN →=13 CD →,用a 、b 表示OM →、ON →、MN → . 变式训练2 △ABC 中,AD →=23 AB →,DE ∥BC 交AC 于E ,BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB →=a ,AC → =b ,用a 、b 表示向 量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →. 题型三 平面向量的共线问题 例3 设e1,e2是两个不共线向量,已知AB →=2e1-8e2,CB →=e1+3e2,CD → =2e1-e2. (1)求证:A 、B 、D 三点共线; (2)若BF → =3e1-ke2,且B 、D 、F 三点共线,求k 的值.
全等三角形培优竞赛讲义(四) 等腰三角形 【知识点精读】-、等腰三角形的性质 1. 有关定理及其推论 定理:等腰三角形有两边相等; 定理:等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)。 推论1:等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边,这就是说,等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 推论2:等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形; 2. 定理及其推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系,由两边相等推出两角相等,是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等,两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。 二、等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”。) 推论1:三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2:有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2. 定理及其推论的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系,它是证明线段相等的重要定理,也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据,是本节的重点。 3. 等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线,由于这条线可以把顶角和底边折半,所以常通过它来证明线段或角的倍分问题,在等腰三角形中,虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合,添加辅助线
全国高中数学联合竞赛试题(A 卷) 一试 一、填空题(本大题共8小题,每小题8分,共64分) 1. 若正数,a b 满足()2362log 3log log a b a b +=+=+,则11 a b +的值为________. 答案:设连等式值为k ,则2 3 2 ,3 ,6k k k a b a b --==+=,可得答案108 分析:对数式恒等变形问题,集训队讲义专门训练并重点强调过 2. 设集合3|12b a b a ?? +≤≤≤????中的最大元素与最小你别为,M m ,则M m -的值为______. 答案:33251b a +≤+= ,33 b a a a +≥+≥ ,均能取到,故答案为5-分析:简单最值问题,与均值、对勾函数、放缩有关,集训队讲义上有类似题 3. 若函数()21f x x a x =+-在[0,)+∞上单调递增,则实数a 的取值范围是______. 答案:零点分类讨论去绝对值,答案[]2,0- 分析:含绝对值的函数单调性问题,集训队讲义专门训练并重点强调过 4. 数列{}n a 满足12a =,()()*1221n n n a a n N n ++=∈+,则 2014 122013a a a a =+++______. 答案:()1221 n n n a a n ++=+,迭乘得()121n n a n -=+,()212232421n n S n -=+?+?+++, 乘以公比错位相减,得2n n S n =,故答案为2015 2013 . 分析:迭乘法求通项,等差等比乘积求前n 项和,集训队讲义专门训练并重点强调过 5. 正四棱锥P ABCD -中,侧面是边长为1的正三角形,,M N 分别是边,AB BC 的中点,则异面直线MN 与PC 之间的距离是 ________. 答案:OB 为公垂线方向向量,故距离为12OB =分析:异面直线距离,也可以用向量法做,集训队讲义专门练并重点强调过 6. 设椭圆Γ的两个焦点是12,F F ,过点1F 的直线与Γ交于点,P Q .若212PF F F =,且1134PF QF =,则 椭圆Γ的短轴与长轴的比值为________. 答案:不妨设焦点在x 轴(画图方便),设114,3PF QF ==,焦距为2c ,224a c =+, 可得△2PQF 三边长为7,21,2c c + ,过2F 作高,利用勾股可得5c =. 分析:椭圆中常规计算,与勾股定理、解三角形、斯特瓦尔特等有关,集训队讲义训练过相关 7. 设等边三角形ABC 的内切圆半径为2,圆心为I .若点P 满足1PI =,则△APB 与△APC 的面积之 比的最大值为________. 答案:sin sin APB APC S PAB S PAC ∠=∠,又两角和为60 最大,即AP 与 (),1I 切于对称轴右侧 2 分析:平面几何最值、面积、三角函数、轨迹
2018年全国高中数学联合竞赛一试试题(A 卷) 一、填空题:本大题共 8小题,每小题 8分,共64分. 1.设集合{1,2,3,,99}A = ,{2}B x x A =∈,{2}B x x A =∈,则B C 的元素个数 . 解析:因为{1,2,3,,99}A = ,所以{2,4,6,,198}B = ,{1,2,3,,49}C = ,于是 {2,4,6,,48}B C = ,共24个元素. 2.设点P 到平面α Q 在平面α上,使得直线PQ 与α所成角不小于30 且不大于60 ,则这样的点Q 所构成的区域的面积为 . 解析:过点P 作平面α的垂线,这垂足为O ,则点Q 的轨迹是以O 为圆心,分别以1ON =和3OM =为半径的扇环,于是点Q 所构成的区域的面积为21S S S =-= 9 8πππ-=. 3. 将1,2,3,4,5,6随机排成一行,记为,,,,,a b c d e f ,则abc def +是偶数的概率为 . 解析:(直接法)将1,2,3,4,5,6随机排成一行,共有6 6720A =种不同的排法,要使 abc def +为偶数,abc 为与def 同为偶数或abc 与且def 同为奇数. (1)若,,a b c 中一个偶数两个奇数且,,d e f 中一个奇数两个偶数. 共324种情形; (2)若,,a b c 中一个奇数两个偶数且,,d e f 中一个偶数两个奇数. 共324种情形; 共有648种情形.综上所述,abc def +是偶数的概率为 6489 72010 =. (间接法)“abc def +是偶数”的对立事件为“abc def +是偶数”, abc def +是偶数分成两种情况:“abc 是偶数且def 是奇数”或“abc 是奇数且def 是偶数”,每 P O M N α