中考数学专题复习探索规律
中考数学专题复习——探索规律
一、选择题
1.（2018年浙江省衢州市）32，33和34分别可以按如图所示方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，36也能按此规律进行“分裂”，则36“分裂”出的奇数中最大的是( ) A、41 B、39 C、31 D、29
2．（2018湖南益阳）有一种石棉瓦(如图4)，每块宽60厘米，用于铺盖屋顶时，每相邻两块重叠部分的宽都为10厘米，那么n(n为正整数)块石棉瓦覆盖的宽度为
A. 60n厘米
B. 50n厘米
C. (50n+10)厘米
D. (60n-10)厘米
3.(2018江苏宿迁)用边长为1的正方形覆盖3
3 的正方形网格,最多覆盖边长为1的正方形网格(覆盖一部分就算覆盖)的个数是( )
Ａ．2Ｂ．4Ｃ．5Ｄ．6
4.（2018 四川泸州）两个完全相同的长方体的长、宽、高分别是5cm，4cm，3cm，把它们按不同方式叠放在一起分别组成新的长方体，在这些新长方体中表面积最大的是（）
A．2
158cm B．2
176cm C．2
164cm D．2
188cm
5.(2018 湖南益阳)如图1，骰子是一个质量均匀的小正方体，它的六个面上分别刻有1~6 个点.，小明仔细观察骰子，发现任意相对两面的点数和都相等. 这枚骰子向上的一面的点数是5，它的对面的点数是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 6
6.(2018 河北)有一个四等分转盘，在它的上、右、下、左的位置分别挂着“众”、“志”、“成”、“城”四个字牌，如图1．若将位于上下位置的两个字牌对调，同时将位于左右位置的两个字牌对调，再将转盘顺时针旋转90，则完成一次变换．图2，图3分别表示第1次变换和第2次变换．按上述规则完成第9次变换后，“众”字位于转盘的位置是（）3
2
3
5
3
39
11 3
4
13
15
17
19
7
A ．上
B ．下
C ．左
D ．右
7.(2018山东德州)将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形．( )
将纸片展开，得到的图形是
8.(2018山东德州)只用下列图形不能镶嵌的是( ) A ．三角形
B ．四边形
C ．正五边形
D ．正六边形
9.(2018黑龙江黑河)为紧急安置100名地震灾民，需要同时搭建可容纳6人和4人的两种帐篷，则搭建方案共有（ ） A ．8种 B ．9种 C ．16种 D ．17种
10.(2018 山东 聊城)如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖．从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，依此递推，第8层中含有正三角形个数是（ ） A ．54个 B ．90个 C ．102个 D ．114个 11.(2018 台湾)有一长条型链子，其外型由边长为1公分的正六边形排列而成。图表示此链之任一段花纹，其中每个黑色六边形与6个白色六边形相邻。若链子上有35
(A) 140 (B) 142 (C) 210 (D) 212 。
12.(2018 台湾) 小嘉全班在操场上围坐成一圈。若以班长为第1人，依顺时针方向算人数，小嘉是第17人；若以班长为第1人，依逆时针方向算人数，小嘉是第21人。求小嘉班上共有多少人？( )
(A) 36 (B) 37 (C) 38 (D) 39
图1 图
2
图
3
…
A ．
B ．
C ．
D ．
13.（2018湖北孝感）一个质点在第一象限及x 轴、y 轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向运动[即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→…]，且每秒移动一个单位，那么第35秒时质点所在位置的坐标是（ ） A.（4，0） B.（5，0） C.（0，5） D.（5，5）
14.（2018贵州贵阳)根据如图2所示的（1），（2），（3）三个图所表示的规律，依次下去第n 个图中平行四边形的个数是（ ）
A ．3n
B ．3(1)n n +
C ．6n
D ．6(1)n n +
15．（2018
湖北鄂州）因为1sin 302=
，1sin 2102
=-，所以sin 210sin(18030)sin 30=+=-；因为2sin 45=
，2
sin 225=-，所以sin 225sin(18045)sin 45=+=-，由此猜想，推理知：一般地当α为锐角时有sin(180)sin αα+=-，由此可知：sin 240=（ ）
A ．1
2
-
B ．2-
C ．3-
D ．3-
二、填空题
1．（2018年陕西省）搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②，图③的方式串起来搭建，则串7顶这样的帐篷需要 根钢管．
2．（2018年江苏省连云港市）如图所示，①中多边形（边数为12）是由正三角形“扩展”
而来的，②中多边形是由正方形“扩展”而来的，，依此类推，则由正n 边形“扩展”而来的多边形的边数为 ．
（图2）
……
（1）
（2） （3）
图1 图2 图3
① ② ③ ④
……
3. （2018年四川省宜宾市）如图，将一列数按图中的规律排列下去，那么问号处应填的数字为
4．(08山东日照)将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，……如
此继续下去，结果如下表：则a n＝（用
含n的代数式表示）．
5、（2018淅江金华）如图，第(1)个多边形由正三角形"扩展"而来，边数记为α3， .第(2)个多边形由正方形"扩展"而来，边数记为a4，…，依此类推，由正 n边形"扩展"而来的多边形的边数记为a n（n≥3）.则a5的值是 ;当
的结果是
600
197
时，n的值为。
6.(2018山东烟台)表2是从表1中截取的一部分，则_____.
a=
7.（2018山东威海）如图，在平面直角坐标系中，点A1是以原点O为圆心，半径为2的圆与过点（0，1）且平行于x轴的直线l1的一个交点；点A2是以原点O为圆心，半径为3的圆与过点（0，2）且平行于x轴的直线l2的一个交点；……按照这样的规律进行下去，点A n的坐标为．
所剪次数 1 2 3 4 …n
正三角形个数 4 7 10 13 …a n ①①②③④⑥⑨○19○？
n
a
a
a
a
1
1
1
1
5
4
3
+
+
+
+
8．（2018年山东省临沂市）如图，以等腰三角形AOB 的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA 1，再以等腰直角三角形ABA 1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A 1BB 1，……，如此作下去，若OA ＝OB ＝1，则第n 个等腰直角三角形的面积S n ＝________。
9.（2018年山东省潍坊市）下面每个图是由若干个圆点组成的形如四边形的图案，当每条边（包括顶点）上有n （n ≥2）个圆点时，图案的圆点数为S n 按此规律推算S n 关于n 的
关系式为：__________________.
10.（2018浙江杭州）如图，一个42?的矩形可以用3种不同的方式分割成2或5或8个小正方形，那么一个53?小正方形的个数可以是 ．
11.(2018年辽宁省十二市)如图6，观察下列图案，它们都是由边长为1cm 的小正方形按一定规律拼接而成的，依此规律，则第16个图案中的小正方形有 个．
图6
12.(2018年浙江省绍兴市)如图中的圆均为等圆，且相邻两圆外切，圆心连线构成正三角形，
或
或?
图案1
图案2
图案3 图案4
……
B 1
B 2
A 1A O
B
（第7题）
x
y
O
A 1
A 2
A 3 l 2 l 1
l 3 1 4 2 3
记各阴影部分面积从左到右依次为1S ，2S ，3S ，…，n S ，则124:S S 的值等于 ．
13.(2018年沈阳市)观察下列图形的构成规律，根据此规律，第8个图形中有 个圆．
14.2018年乐山市
)如图（9），在直角坐标系中，一直线l 经过点(3,1)M 与x 轴，y 轴分别交于A 、B 两点，且MA ＝MB ，则△ABO 的内切圆
1o 的半径1r ＝ ；若2o 与1o 、
l 、y 轴分别相切，3o 与2o 、l 、y 轴分别相切，…，按此规律，则20080的半径2008r ＝
15．(2018北京)一组按规律排列的式子：2b a -，53b a ，83b a
-，11
4b a ，…（0ab ≠），其中
第7个式子是 ，第n 个式子是 （n 为正整数）．
16．（2018湖北咸宁）观察右表，依据表格数据排列的规律，数2 008在表格
中出现的次数共有 次．
17．（2018湖北鄂州）下列给出的一串数：2，5，10，17，26，？，50．仔细观察后回答：缺少的数？是 ．
18.(2018 湖北 十堰)观察下面两行数：
第1个 ……
第2个 第3个 第4个
（n +1）个图
1 2 3 4 …
2 4 6 8 …
3 6 9 12 …
4 8 12 16 … … … … …
0
y A
B M
O O
O
根据你发现的规律，取每行数的第10个数，求得它们的和是（要求写出最后的计算结果） ．
19．（2018山东济南）数学的美无处不在.数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐.例如，三根弦长度之比是15：12：10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声do 、mi 、so ，研究15、12、10这三个数的倒数发现：
12
1101151121-=-.我们称15、12.10这三个数为一组调和数.现有一组调和数：x 、5、3（x>5）.则x 的值是_____________.
20．（2018江苏宿迁）对于任意的两个实数对),(b a 和),(d c ，规定：当d b c a ==,时，有),(b a =),(d c ；运算“?”为：),(),(),(bd ac d c b a =?；运算“⊕”为：
),(),(),(d b c a d c b a ++=⊕．设p 、q 都是实数，若)4,2(),()2,1(-=?q p ，则_______),()2,1(=⊕q p ．
21.(2018 湖北 恩施)将杨辉三角中的每一个数都换成分数 ， 得到一个如图4所示的分数三角形，称莱布尼茨三角形.若 用有序实数对(ｍ，ｎ)表示第ｍ行,从左到右第ｎ个数, 如(4,3)表示分数
12
1
.那么(9,2)表示的分数 是 .
22．（2018泰州市）让我们轻松一下，做一个数字游戏：
第一步：取一个自然数n 1=5 ，计算n 12
+1得a 1；
第二步：算出a 1的各位数字之和得n 2，计算n 22
+1得a 2；
第三步：算出a 2的各位数字之和得n 3，再计算n 2
3＋1得a 3；
…………
依此类推，则a 2018=_______________．
23．根据图中数字的规律，在最后一个图形中填空．
24．（2018山西省）如图所示的图案是由正六边形密铺而成，黑色正六边形周围第一层有六个白色正六边形，则第n 层有 白色正六边形。
1 2
3
3 4 15
5 6 35
8
2， 4， 8， 16， 32， 64， … ①
5， 7， 11， 19， 35， 67， … ②
25.(2018广东深圳)观察表一，寻找规律．表二、表三分别是从表一中选取的一部分，则a+b 的值为 ；
表一 表二 表三 26.（2018山西太原）已知2,2m n ≥≥，且m ，n 均为正整数，如果将n
m 进行如下方式的“分解”，那么下列三个叙述： （1）在5
2的“分解”中最大的数是11。 （2）在3
4的“分解”中最小的数是13。
（3）若3
m 的“分解”中最小的数是23，则m 等于5。 其中正确的是
。。
27.下列图案均是用长度相同的小木棒按一定的规律拼搭而成：拼搭第1个图案需4根小木棒，拼搭第2个图案需10根小木棒，……，依次规律，拼搭第8个图案需小木棒 根．
28.（2018浙江湖州）将自然数按以下规律排列，则2018所在的位置是第 行第 列。 第一列 第二列 第三列 第四列 … 第一行 1 2 9 10 …
0 1 2 3 …
1 3 5 7 …
2 5 8 11 …
3 7 11 15 … … … … … …
11 14 a 11 13 17 b 第1个 第2个 第4个
第3个
第二行43811 …
第三行56712 …
第四行161514 13 …
第五行17 …
…
29.(2018年杭州市16)如图，一个4×2的矩形可以用3种不同的方式分割成2或5或8个小正方形，那么一个5×3的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数可以是 .
或或
?
30（2018佳木斯市）如图，菱形
111
AB C D的边长为1，
1
60
B
∠=；
作
211
AD B C
⊥于点
2
D，以
2
AD为一边，做第二个菱形
222
AB C D，使
2
60
B
∠=；作
322
AD B C
⊥于点
3
D，以
3
AD为
一边做第三个菱形
333
AB C D，使
3
60
B
∠=；依此类推，
这样做的第n个菱形
n n n
AB C D的边
n
AD的长是．
31.(2018黑龙江哈尔滨)观察下列图形：
它们是按一定规律排列的，依照此规律，第20个图形共有个★
32.(2018山东济宁)1766年德国人提丢斯发现，太阳系中的行星到太阳的距离遵循下表所示的规律：
颗次 1 2 3 4 5 6
行星名称水星金星地球火星谷神星木星
距离/天文单位0.4 0.7 1 1.6 2.8 5.2
根据表格，第7颗行星到太阳的距离是天文单位．
三、简答题
1.（2018浙江杭州）
在凸多边形中，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，经过观察、探索、归纳，你认为凸八边形的对角线条数应该是多少条？简单扼要地写出你的思考过程．
?
1
D
B3
A
C2
B2
C3
D3
B1
D2C1
3（2018广东）（1）解方程求出两个解1x 、2x ，并计算两个（2）观察表格中方程两个解的和、两个解的积与原方程的系数之间的关系有什么规律?
写出你的结论.
4.（2018江苏盐城）
阅读理解：对于任意正实数a b ，，
2(0a b -≥，0a b ∴-≥，
a b ∴+≥，只有点a b =时，等号成立．
结论：在a b +≥a b ，均为正实数）中，若ab 为定值p ，则a b +≥， 只有当a b =时，a b +有最小值． 根据上述内容，回答下列问题：
若0m >，只有当m = 时，1
m m
+
有最小值 ． 思考验证：如图1，AB 为半圆O 的直径，C 为半圆上任意一点，（与点A B ，不重合）．过点C 作CD AB ⊥，垂足为D ，AD a =，DB b =．
如图9
试根据图形验证2
a b ab
+≥，并指出等号成立时的条件．
探索应用：如图2，已知(30)
A-，，(04)
B-
，为双曲线
12
(0)
y x
x
=>上的任意一点，过点P 作PC x
⊥轴于点C，PO y
⊥轴于点D．求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状．
5.（2018资阳市）阅读下列材料，按要求解答问题：
如图9－1，在ΔABC中，∠A＝2∠B，且∠A＝60°．小明通过以下计算：由题意，∠B ＝30°，∠C＝90°，c＝2b，a＝3b，得a2－b2＝(3b)2－b2＝2b2＝b·c．即a2－b2＝ bc．于是，小明猜测：对于任意的ΔABC，当∠A＝2∠B时，关系式a2－b2＝bc都成立．（1）如图9－2，请你用以上小明的方法，对等腰直角三角形进行验证，判断小明的猜测是否正确，并写出验证过程；
（2）如图9－3，你认为小明的猜想是否正确，若认为正确，请你证明；否则，请说明理由；
（3）若一个三角形的三边长恰为三个连续偶数，且∠A＝2∠B，请直接写出这个三角形三边的长，不必说明理由．
6．（2018年湖南省邵阳市）如图（十六），正方形
111
OA B C的边长为1，以O为圆心、
1
OA
为半径作扇形
1111
OAC AC
，与
1
OB相交于点
2
B，设正方形
111
OA B C与扇形
11
OA C之间的阴影
部分的面积为
1
S；然后以
2
OB为对角线作正方形
222
OA B C，又以O为圆心，、
2
OA为半径y
x
B
A
D P
C
O
3-
4-
图9-1图9-2图9-3
A O
C
作扇形22OA C ，22A C 与1OB 相交于点3B ，设正方形222OA B C 与扇形22OA C 之间的阴影部分面积为2S ；按此规律继续作下去，设正方形n n n OA B C 与扇形n n OA C 之间的阴影部分面积为n S ．
（1）求123S S S ，，； （2）写出2008S ；
（3）试猜想n S （用含n 的代数式表示，n 为正整数）．
7.（2018湖南益阳市） 两个全等的直角三角形ABC 和DEF 重叠在一起，其中∠A=60°，AC=1. 固定△ABC 不动，将△DEF 进行如下操作：
(1) 如图11(1)，△DEF 沿线段AB 向右平移(即D 点在线段AB 内移动)，连结DC 、CF 、FB ，四边形CDBF 的形状在不断的变化，但它的面积不变化，请求出其面积.
(2)如图11(2)，当D 点移到AB 的中点时，请你猜想四边形CDBF 的形状，并说明理由.
(3)如图11(3)，△DEF 的D 点固定在AB 的中点，然后绕D 点按顺时针方向旋转△DEF ，使DF 落在AB 边上，此时F 点恰好与B 点重合，连结AE ，请你求出sin α的值.
B 1
B 2 B 3 A 1
A 2 A 3 O C 3 C 2
C 1 图（十六）
S 2 S 1
S 3 A F
C D 图11(1)
A B E
F
C 图11(2) 温馨提示：由平移性质可得CF ∥A
D ，CF =AD
8．（2018湖南常德市）如图9，在直线l上摆放有△ABC和直角梯形DEFG，且CD＝6㎝；在△ABC中：∠C＝90O，∠A＝300，AB＝4㎝；在直角梯形DEFG中：EF//DG，∠DGF＝90O,DG ＝6㎝，DE＝4㎝，∠EDG＝600。解答下列问题：
（1）旋转：将△ABC绕点C顺时针方向旋转900，请你在图中作出旋转后的对应图形
△A1B1C，并求出AB1的长度；
（2）翻折：将△A1B1C沿过点B1且与直线l垂直的直线翻折，得到翻折后的对应图形
△A2B1C1，试判定四边形A2B1DE的形状？并说明理由；
（3）平移：将△A2B1C1沿直线l向右平移至△A3B2C2，若设平移的距离为ｘ，△A3B2C2与直角梯形重叠部分的面积为ｙ，当ｙ等于△ABC面积的一半时,ｘ的值是多少？
A C D G
图9
9.操作与探索（2018桂林市）正方形ＡＢＣＤ的边长为４，ＢＥ∥ＡＣ交ＤＣ的延长线于Ｅ。
（１）如图１，连结ＡＥ，求△ＡＥＤ的面积。
（２）如图２，设Ｐ为ＢＥ上（异于Ｂ、Ｅ两点）的一动点，连结ＡＰ、ＣＰ，请判断四边形ＡＰＣＤ的面积与正方形ＡＢＣＤ的面积有怎样的大小关系？并说明理由。（３）如图３，在点Ｐ的运动过程中，过Ｐ作ＰＦ⊥ＢＣ交ＡＣ于Ｆ，将正方形ＡＢＣＤ折叠，使点Ｄ与点Ｆ重合，其折线ＭＮ与ＰＦ的延长线交于点Ｑ，以正方形的ＢＣ、ＢＡ为Ｘ轴、Ｙ轴建立平面直角坐标系，设点Ｑ的坐标为（Ｘ，Ｙ），求Ｙ与Ｘ之间的函数关系式。
探索规律答案
一.选择题
1.A
2.C
3.D
4.C
5.B
6.C
7.C
8.C
9.A 10.B 11.B 12.A 13.B 14.A 15.C
二.填空题
1. 83
2. (1)n n +
3. 28；
4. 3n+1；
5. 30，199；
6. 18；
7. （12+n ，n ） ；
8. 22-n
9. S n =4(n-1)；10. 4或9或15个小正方形；11. 136；12.
19
7
；13. 65 ；
14. 1；15. 207b a -；31
(1)n n n b a
--；16. 8；17. 37；18. 2051；19. 15；20. （3，0）；21.
72
1
；22. 26 23. 24. 6n ；25. 37；26. （2）27. 88； 28. 18.45；29. 30. 错误！不能通过编辑域代码创建对象。；31. ．60；32. 10 三.解答题
1. 解：通过观察凸四边形和五边形对角线的条数，可得到凸八边形的对角线条数应该是20条.思考过程：凸n 边形每个顶点不能和它自己以及它的两个邻点作对角线，所以可做的对角线条数是（n －3）, 凸n 边形有n 个顶点，所以可做n （n －3）条，由于对角线AB 和BA 是同一条，所以凸n 边形共有
1(3)2n n -条对角线.当n=8时，有1
8(83)45202
??-=?=条对角线.
2. 解：（1）由11P OA ?是等腰直角三角形，得11y x =，则有2
1x 4=，故
1x =2±（负舍），点1P （2，2）。
（2）由题意知
221133224433
101099y ,y ,y y x x y x x y x x y x x y =--=--=--=--
又4n n y x =
，则222
4
4,,2x x x -=
=解得
则22y =
，故3333
4
,x x y x -=
== 3. （1）
3，
3-， 0， 29
-
32， 0， 3
2
， 0； 2， 1， 3， 2； b a -
， c
a
. （2）已知：1x 和2x 是方程2
0 (0)ax bx c a ++=≠的两个根，
那么，12b x x a +=-
， 12c
x x a
?=.
C
C
4. 解：阅读理解：m= 1 （填1
m 不扣分），最小值为 2 ；
思考验证：∵AB 是的直径，∴AC ⊥BC,又∵CD ⊥AB,∴∠CAD=∠BCD=90°-∠B,
∴Rt △CAD ∽Rt △BCD, CD 2
=AD ·DB, ∴CD=ab
若点D 与O 不重合，连OC ，在Rt △OCD 中，∵OC>CD, ∴2a b
ab +>，
若点D 与O 重合时，OC=CD,∴,2a b
ab +=
综上所述，,22a b
ab a b ab
+≥+≥即，当CD 等于半径时，等号成立.
探索应用：设
12(,
)P x x , 则12(,0),(0,)C x D x ,12
3,4CA x DB x ∴=+=+，
1112(3)(4)22ABCD S CA DB x x ∴=?=+?+四边形，化简得：92()12,S x x =++
9990,
026x x x x x x >>∴+≥?=，只有当9,3x x x ==即时，等号成立．
∴S ≥2×6＋12＝24，
∴S 四边形ABCD 有最小值24.
此时，P(3,4),C(3,0),D(0,4),AB=BC=CD=DA=5,∴四边形ABCD 是菱形．
5. 解 (1) 由题意，得∠A=90°，c=b ，a=2b ，
∴a 2–b 2=(2b)2–b 2=b 2
=bc ． ············ 3分 (2) 小明的猜想是正确的． ············· 4分
理由如下：如图3，延长BA 至点D ，使AD=AC=b ，连结CD ， ························· 5分 则ΔACD 为等腰三角形．
∴∠BAC=2∠ACD ，又∠BAC=2∠B ，∴∠B=∠ACD=∠D ，∴ΔCBD 为等腰三角形，即CD=CB=a ， ··············· 6分
又∠D ＝∠D ，∴ΔACD ∽ΔCBD ， ··········· 7分 ∴
AD CD CD BD =
．即b a a b c =+．∴a 2=b 2＋bc ．∴a 2–b 2
= bc · 8分 (3) a=12，b=8，c=10． ·············· 10分
6. 解：（1）2211π
1π1144
S =-
=-；···················· 2分 错误！不能通过编辑域代码创建对象。； ··················· 4分
错误！不能通过编辑域代码创建对象。； ··················· 6分 （2）20082007
2009
1π2
2
S =
-
； ························ 8分
图9-3
F
C
（3）11
1π
22n n n S -+=
-
（n 为正整数）． 10分 7. 解：(1)过C 点作CG ⊥AB 于G ， 在Rt △AGC 中，∵sin60°=AC
CG
， ∴2
3
=
CG ·································· 1分 ∵AB=2，∴S 梯形CDBF =S △ABC =2
3
23221=
?? ······················ 3分 (2)菱形 ··································· 4分 ∵CD ∥BF ， FC ∥BD ，∴四边形CDBF 是平行四边形 ················· 5分 ∵DF ∥AC ，∠ACD=90°，∴CB ⊥DF ························ 6分 ∴四边形CDBF 是菱形 ······························ 7分 (判断四边形CDBF 是平行四边形，并证明正确，记2分)
(3)解法一：过D 点作DH ⊥AE 于H ，则S △ADE =
2
33121EB AD 21=??=?? ······ 8分 又S △ADE =23
21=??DH AE ，)721(7
33或==AE DH ················ 9分 ∴在Rt △DHE ’中，sin α=
)14
21(723或=DE DH ·················· 10分 解法二：∵△ADH ∽△ABE ··························· 8分 ∴
AE
AD
BE DH = 即：
7
13
=
DH
∴7
3=DH ································· 9分
∴sin α=)14
21
(723或=DE DH ····················· 10分
E )
8. 解：（1）在△ABC 中由已知得：BC=2，AC ＝AB ×cos30°=32，
∴AB 1=AC+C B 1=AC+CB=322+.……………………………………2分 (2)四边形A 2B 1DE 为平行四边形.理由如下：
∵∠EDG ＝60°，∠A 2B 1C 1＝∠A 1B 1C ＝∠ABC ＝60°，∴A 2B 1∥DE
又A 2B 1＝A 1B 1＝AB ＝4，DE ＝4，∴A 2B 1＝DE,故结论成立.………………4分 （3）由题意可知： S △ABC =
323222
1
=??， ① 当20<≤x 或10≥x 时，ｙ＝0
此时重叠部分的面积不会等于△ABC 的面积的一半……………5分
②当42<≤x 时，直角边B 2C 2与等腰梯形的下底边DG 重叠的长度为DC 2=C 1C 2-DC 1=（ｘ－2）㎝，则ｙ＝
()()()222
323221
-=--x x x , 当ｙ=
2
1
S △ABC = 3时，即 ()32232=-x ， 解得22-=x （舍）或22+=x .
∴当22+=x 时，重叠部分的面积等于△ABC 的面积的一半.
③当84<≤x 时，△A 3B 2C 2完全与等腰梯形重叠，即32=y ……………7分 ④当108<≤x 时,B 2G=B 2C 2-GC 2=2－(x －8)=10-x 则ｙ＝
()()()2102
31031021
x x x -=-?-, 当ｙ=
2
1
S △ABC = 3时，即 ()310232=-x ， 解得210-=x ,或210+=x (舍去).
∴当210+
=x 时，重叠部分的面积等于△ABC 的面积的一半.………9分
由以上讨论知,当22+=x 或210+
=x 时, 重叠部分的面积等于△ABC 的面
积的一半.………10分
9. （１）因为ＢＥ∥ＡＣ，AB∥CD，所以四边形ABEC是平行四边形，
所以CE=AB=4，
所以△ＡＥＤ的面积为1
2
×4×（4×2）＝16；
（２）四边形ＡＰＣＤ的面积与正方形ＡＢＣＤ的面积相等，
因为ＢＥ∥ＡＣ，所以△ＡPC的面积与△ＡBC的面积相等，
所以△ＡPC的面积＋△ＡCD的面积＝△ＡBC的面积＋△ＡCD的面积＝正方形ＡＢＣＤ的面积；