完全平方公式的几何背景专题训练试题精选附答案
完全平方公式的几何背景专题训练试题精选
一．选择题（共6小题）
1．（2010?丹东）图①是一个边长为（m+n ）的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成
图②的形状，由图①和图②能验证的式子是（ ）
A ． （m+n ）2﹣（m ﹣n ）2
=4mn
B ． （m+n ）2﹣（m 2+n 2）=2mn
C ． （m ﹣n ）2
+2mn=m 2+n 2 D ． （m+n ）（m ﹣n ）=m 2
﹣
n 2
2．利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b ）2=a 2+2ab+b 2．你根据图乙能得到的数学公式是（ ）
A ． （a+b ）（a ﹣b ）=a 2﹣b 2
B ． （a ﹣b ）2=a 2﹣2ab+b 2
C ． a （a+b ）=a 2+ab
D ． a （a ﹣b ）=a 2﹣ab
3．如图，你能根据面积关系得到的数学公式是（ ）
A ． a 2﹣b 2=（a+b ）（a ﹣b ）
B ． （a+b ）2=a 2+2ab+b 2
C ． （a ﹣b ）2=a 2﹣2ab+b 2
D ． a （a+b ）=a 2+ab
4．如图（1），是一个长为2a 宽为2b （a ＞b ）的矩形，用剪刀沿矩形的两条对角轴剪开，把它分成四个全等的小矩形，然后按图（2）拼成一个新的正方形，则中间空白部分的面积是（ ）
A ． a b
B ． （a+b ）2
C ． （a ﹣b ）2
D ． a 2﹣b 2
5．如图的图形面积由以下哪个公式表示（ ）
A ． a 2﹣b 2=a （a ﹣b ）+b （a ﹣b ）
B ． （a ﹣b ）2=a 2﹣2ab+b 2
C ． （a+b ）2=a 2+2ab+b 2
D ． a 2﹣b 2=（a+b ）（a
﹣b ）
6．如果关于x的二次三项式x2﹣mx+16是一个完全平方式，那么m的值是（）A．8或﹣8B．8C．﹣8D．无法确定
二．填空题（共7小题）
7．（2014?玄武区二模）如图，在一个矩形中，有两个面积分别为a2、b2（a＞0，b＞0）的正方形．这个矩形的面积为_________ （用含a、b的代数式表示）
8．如图，边长为（m+2）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为2，则另一边长是_________ ．（用含m的代数式表示）
9．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为_________ ．
10．如图1和图2，有多个长方形和正方形的卡片，图1是选取了2块不同的卡片，拼成的一个图形，借助图中阴影部分面积的不同表示可以用来验证等式a（a+b）=a2+ab 成立．根据图2，利用面积的不同表示方法，写出一个代数恒等式_________ ．
11．如图，正方形广场的边长为a米，中央有一个正方形的水池，水池四周有一条宽度为的环形小路，那么水池的面积用含a、b的代数式可表示为_________ 平方米．
12．如图，请写出三个代数式（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是_________ ．
13．如图，长为a，宽为b的四个小长方形拼成一个大正方形，且大正方形的面积为64，中间小正方形的面积为16，则a= _________ ，b= _________ ．
三．解答题（共10小题）
14．阅读学习：
数学中有很多等式可以用图形的面积来表示．如图1，它表示（m+2n）（m+n）=m2+3mn+2n2，
（1）观察图2，请你写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的关系_________ ．
（2）小明用8个一样大的长方形，（长为a，宽为b），拼成了如图甲乙两种图案，图案甲是一个正方形，图案甲中间留下了一个边长为2的正方形；图形乙是一个长方形．①a2﹣4ab+4b2= _________ ②ab=_________ ．
15．【学习回顾】我们已经知道，根据几何图形的面积关系可以说明完全平方公式，说明如下：
如图1，正方形ABCD的面积=正方形EBNH的面积+（长方形AEHM的面积+长方形HNCF 的面积）+正方形MHFD的面积．即：（a+b）2=a2+2ab+b2．
【思考问题】还有一些等式也可以用上述方式加以说明，请你尝试完成．
如图2，长方形ABNM的面积=长方形EBCF的面积+长方形AEFD的面积﹣长方形HNCF的面积﹣_________ 的面积，即：（2a﹣b）（a+b）= _________ ．
【尝试实践】计算（2a+b）（a+b）= _________ ．仿照上述方法，画图并说明．
16．阅读下列文字，我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2．请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式_________ ；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值；
（3）图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片．若干个长为a和宽为b的长方形纸片，利用所给的纸片拼出一个几何图形，使得计算它的面积能得到数学公式：2a2+5ab+2b2=（2a+b）（a+2b）．
17．如图1，将一个长为4a，宽为2b的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．
（1）图2的空白部分的边长是多少（用含ab的式子表示）
（2）若2a+b=7，且ab=3，求图2中的空白正方形的面积．
（3）观察图2，用等式表示出（2a﹣b）2，ab和（2a+b）2的数量关系．
18．动手操作：
如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中的虚线剪开分成四个大小相等的长方形，然后按照图②所示拼成一个正方形．
提出问题：
（1）观察图②，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积；
（2）请写出三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的一个等量关系．
问题解决：
根据上述（2）中得到的等量关系，解决下列问题：
已知：x+y=6，xy=3．求：（x﹣y）2的值．
19．图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开，可分成四块小长方
形．
（1）将图①中所得的四块长为a，宽为b的小长方形拼成一个正方形（如图②）．请利用图②中阴影部分面积的不同表示方法，直接写出代数式（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是_________ ；
（2）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：已知m+n=8，mn=7，则m﹣n= _________ ；
（3）将如图①所得的四块长为a，宽为b的小长方形不重叠地放在长方形ABCD的内部（如图③），未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．若左下角与右上角的阴影部分的周长之差为4，且小长方形的周长为8，则每一个小长方形的面积为_________ ．
20．把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子，或可以求出一些不规则图形的面积．
（1）如图1，是将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么结论，请写出来．
（2）如图2，是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连接BD和BF，若两正方形的边长满足a+b=10，ab=20，你能求出阴影部分的面积吗
21．阅读材料并填空：
我们知道，完全平方式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式样也可以用这种形式表示，
如：（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2，就可以用图（1），或图（2）等图形的面积表示．
请你写出图（3）所表示的代数恒等式_________ ．
请你写出图（4）所表示的代数恒等式_________ ．
22．图1是一个长为2x、宽为2y的长方形，沿图中虚线用剪刀剪成四个完全相同的小长方形，然后按图2所示拼成一个正方形．
（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于_________ ．
（2）试用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．
方法1：_________ ；方法2：_________ ．
（3）根据图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗
代数式：（x+y）2，（x﹣y）2，4xy．_________
（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：
若x+y=4，xy=3，则（x﹣y）2= _________ ．
23．已知图甲是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四小块长方形，然后按图乙的形状拼成一个正方形．
（1）你认为图乙中阴影部分的正方形的边长等于多少_________ ．
（2）请用两种不同的方法求图乙中阴影部分的面积．
方法一：_________ ；方法二：_________ ．
（3）观察图乙，你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗
（m+n）2；（m﹣n）2； mm
（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b=8，ab=5，求（a﹣b）2的值．
完全平方公式的几何背景专题训练试题精选
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．（2010?丹东）图①是一个边长为（m+n ）的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成
图②的形状，由图①和图②能验证的式子是（ ）
A ． （m+n ）2﹣（m ﹣n ）2
=4mn B ． （m+n ）2﹣（m 2+n 2）=2mn
C ． （m ﹣n ）2
+2mn=m 2+n 2 D ． （m+n ）（m ﹣n ）=m 2
﹣n 2
考点：
完全平方公式的几何背景． 专题：
计算题；压轴题． 分析： 根据图示可知，阴影部分的面积是边长为m+n 的正方形减去中间白色的正方形的
面积m 2+n 2，即为对角线分别是2m ，2n 的菱形的面积．据此即可解答．
解答： 解：（m+n ）2﹣（m 2+n 2）=2mn ．
故选B ．
点评：
本题是利用几何图形的面积来验证（m+n ）2﹣（m 2+n 2）=2mn ，解题关键是利用图形的面积之间的相等关系列等式．
2．利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b ）2=a 2+2ab+b 2．你根据图乙能得到的数学公式是（ ）
A ． （a+b ）（a ﹣b ）=a 2﹣b 2
B ． （a ﹣b ）2=a 2﹣2ab+b 2
C ． a （a+b ）=a 2+ab
D ． a （a ﹣b ）=a 2﹣ab
考点：
完全平方公式的几何背景． 分析：
根据图形，左上角正方形的面积等于大正方形的面积减去两个矩形的面积，然后加上多减去的右下角的小正方形的面积．
解答：
解：大正方形的面积=（a ﹣b ）2， 还可以表示为a 2﹣2ab+b 2， ∴（a ﹣b ）2=a 2﹣2ab+b 2． 故选B ．
点评： 正确列出正方形面积的两种表示是得出公式的关键，也考查了对完全平方公式的
理解能力．
3．如图，你能根据面积关系得到的数学公式是（ ）
A ． a 2﹣b 2=（a+b ）（a ﹣b ）
B ． （a+b ）2=a 2+2ab+b 2
C ． （a ﹣b ）2=a 2﹣2ab+b 2
D ． a （a+b ）=a 2+ab
考点：
完全平方公式的几何背景． 分析：
根据图形得出阴影部分的面积是（a ﹣b ）2和b 2，剩余的矩形面积是（a ﹣b ）b 和（a ﹣b ）b ，即大阴影部分的面积是（a ﹣b ）2，即可得出选项．
解答：
解：从图中可知：阴影部分的面积是（a ﹣b ）2和b 2，剩余的矩形面积是（a ﹣b ）b 和（a ﹣b ）b ，
即大阴影部分的面积是（a ﹣b ）2， ∴（a ﹣b ）2=a 2﹣2ab+b 2，
故选C．
点评：本题考查了完全平方公式的应用，主要考查学生的阅读能力和转化能力，题目比较好，有一定的难度．
4．如图（1），是一个长为2a宽为2b（a＞b）的矩形，用剪刀沿矩形的两条对角轴剪开，把它分成四个全等的小矩形，然后按图（2）拼成一个新的正方形，则中间空白部分的面积是（）
A．a b B．（a+b）2C．（a﹣b）2D．a2﹣b2
考点：完全平方公式的几何背景．
分析：先求出正方形的边长，继而得出面积，然后根据空白部分的面积=正方形的面积﹣矩形的面积即可得出答案．
解答：解：由题意可得，正方形的边长为（a+b），
故正方形的面积为（a+b）2，
又∵原矩形的面积为4ab，
∴中间空的部分的面积=（a+b ）2﹣4ab=（a ﹣b ）2． 故选C ．
点评：
此题考查了完全平方公式的几何背景，求出正方形的边长是解答本题的关键，难度一般．
5．如图的图形面积由以下哪个公式表示（ ）
A ． a 2﹣b 2=a （a ﹣b ）+b （a ﹣b ）
B ． （a ﹣b ）2=a 2﹣2ab+b 2
C ． （a+b ）2=a 2+2ab+b 2
D ． a 2﹣b 2=（a+b ）（a
﹣b ）
考点：
完全平方公式的几何背景． 分析：
通过图中几个图形的面积的关系来进行推导． 解答： 解：根据图形可得出：大正方形面积为：（a+b ）2，大正方形面积=4个小图形的
面积和=a 2+b 2+ab+ab ，
∴可以得到公式：（a+b ）2=a 2+2ab+b 2． 故选：C ．
点评：本题考查了完全平方公式的推导过程，运用图形的面积表示是解题的关键．
6．如果关于x的二次三项式x2﹣mx+16是一个完全平方式，那么m的值是（）A．8或﹣8B．8C．﹣8D．无法确定
考点：完全平方公式的几何背景．
分析：根据两平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项列式求解即可．
解答：解：∵x2﹣mx+16是一个完全平方式，
∴﹣mx=±2×4?x，
解得m=±8．
故选A．
点评：本题是完全平方公式的考查，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
二．填空题（共7小题）
7．（2014?玄武区二模）如图，在一个矩形中，有两个面积分别为a2、b2（a＞0，b＞0）的正方形．这个矩形的面积为（a+b）2（用含a、b的代数式表示）
考点：完全平方公式的几何背景．
分析：求出大正方形的边长为a+b，再利用正方形的面积公式求解．
解答：解；∵两个小矩形的长为a，宽为b，
∴正方形的边长为：a+b
∴它的面积为：（a+b）2
故答案为：（a+b）2
点评：本题主要考查完全平方公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．
8．如图，边长为（m+2）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为2，则另一边长是2m+2 ．（用含m的代数式表示）