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完整word版,2001年考研数学一试题及完全解析(Word版)

2001年全国硕士研究生入学统一考试

数学一试题

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)

(1)设12(sin cos )x

y e C x C x =+(12,C C 为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________.

(2)设222z y x r

++=,则div (grad r )

)

2,2,1(-=_____________.

(3)交换二次积分的积分次序:?

--01

),(y dx y x f dy ＝_____________.

(4)设矩阵A 满足2

40A A E +-=,其中E 为单位矩阵,则1()A E --=_____________.

(5)设随机变量

X 的方差是2,则根据切比雪夫不等式有估计

≤≥-}2)({X E X P

_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)设函数)(x f 在定义域内可导,)(x f y =则

)(x f y

'=的图形为

(2)设

),(y x f 在点(0,0)附近有定义,且1)0,0(,3)0,0(='='y x f f ,则

(A ) (0,0)|3z d dx dy =+. (B ) 曲面),(y x f z

=在(0,0,(0,0))f 处的法向量为{3,1,1}.

(C ) 曲线??

?==0

)

,(y y x f z 在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{1,0,3}.

(D ) 曲线?

??==0)

,(y y x f z 在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{3,0,1}.

(3)设

0)0(=f ,则)(x f 在x =0处可导的充要条件为

(A ) 2

lim (1cosh)h f h →-存在.

(B )

lim

(1)h h f e h →-存在. (C ) 201

lim (sinh)h f h h

→-存在.

(D ) 01

lim [(2)()]h f h f h h

→-存在.

(4)设11114

0001

1110000,,1111000011110

000A B ????

?????

???==????

????

则A 与B (A ) 合同且相似. (B ) 合同但不相似. (C ) 不合同但相似.

(D ) 不合同且不相似.

(5)将一枚硬币重复掷n 次,以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数, 则X 和Y 的相关系数等于

(A )-1.

(B ) 0.

(C )

. (D ) 1.

三、(本题满分6分)

求dx e e x

?2arctan .

四、(本题满分6分) 设函数),(y x f z

=在点(1,1)处可微,且(1,1)1f =,

(1,1)|2f

?=?,(1,1)|3f y ?=?,()(,x f x ?=

(,))f x x .求

)(=x x dx

d ?.

五、(本题满分8分)

设)(x f =2

10,arctan ,0,1,x x x x x +?≠?=?

将)(x f 展开成x 的幂级数,并求级数∑∞=--12

41)1(n n

n 的和.

六、(本题满分7分) 计算dz y x dy x z dx z y I L

)3()2()(222222-+-+-=?,其中L 是平面2=++z y x 与柱

面

1=+y x 的交线,从Z 轴正向看去,L 为逆时针方向.

七、(本题满分7分) 设

)(x f 在(1,1)-内具有二阶连续导数且0)(≠''x f ,试证:

(1)对于(1,1)-内的任一0x ≠,存在惟一的)1,0()(∈x θ,使)(x f =)0(f +))((x x f x θ'成立;

(2)0

lim ()2

x x θ→=

八、(本题满分8分)

设有一高度为()h t (t 为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程)

()

(2)(22t h y x t h z +-=(设

长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数为0.9),问高度为130(厘米)的雪堆全部融化需多少小时?

九、(本题满分6分)

设s ααα,,,21 为线性方程组0Ax =的一个基础解系,11122t t βαα=+,21223,

t t βαα=+,

121s s t t βαα=+,其中21,t t 为实常数.试问21,t t 满足什么条件时,s βββ,,,21 也为0Ax =的一个

基础解系.

十、(本题满分8分) 已知3阶矩阵

A 与三维向量x ,使得向量组2,,x Ax A x 线性无关,且满足x A Ax x A 2323-=.

(1)记P =（x A Ax x 2

,,）,求3阶矩阵B ,使1-=PBP A ;

(2)计算行列式E A +.

十一、(本题满分7分)

设某班车起点站上客人数

X 服从参数为λ(0λ>)的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为

p (01p <<),且中途下车与否相互独立.以Y 表示在中途下车的人数,求:

(1)在发车时有n 个乘客的条件下,中途有m 人下车的概率; (2)二维随机变量(,)X Y 的概率分布.

十二、(本题满分7分) 设总体

X 服从正态分布2(,)N μσ(0σ>),从该总体中抽取简单随机样本

12,X X ,

,2n X (2n ≥),其样本均值为∑==n

i i X n X 2121,求统计量∑=+-+=n

i i n i X X X Y 1

2)2(的数学期望()E Y .

2001年考研数学一试题答案与解析

一、填空题

(1)【分析】由通解的形式可知特征方程的两个根是12,1r r i =±,从而得知特征方程为

22121212()()()220r r r r r r r r r r r r --=-++=-+=.

由此,所求微分方程为''

220y y y -+=.

(2)【分析】先求grad r .

grad r=,,,,r r r x y z x y z r r r ???????

???????

???. 再求 div grad r=

()()()x y z

x r y r z r

???++???

=2222223333

11132

()()()x y z x y z r r r r r r r r r

++-+-+-=-=.

于是

div grad r|(1,2,2)-=

(1,2,2)22|3

r -=.

(3)【分析】这个二次积分不是二重积分的累次积分,因为10y -≤

≤时

12y -≤.由此看出二次积分02

1(,)y

dy f x y dx --??

是二重积分的一个累次

积分,它与原式只差一个符号.先把此累次积分表为

1(,)(,)y

dy f x y dx f x y dxdy --=?

??.

由累次积分的内外层积分限可确定积分区域D :

10,12y y x -≤≤-≤≤.

见图.现可交换积分次序

原式=02

211

(,)(,)(,)x

dy f x y dx dx f x y dy dx f x y dy -----=-=?

(4)【分析】矩阵A 的元素没有给出,因此用伴随矩阵、用初等行变换求逆的路均堵塞.应当考虑用

定义法.

因为

2()(2)240A E A E E A A E -+-=+-=,

故

()(2)2A E A E E -+=,即 2()2

A E

A E E +-?

=. 按定义知

()(2)2

A E A E --=+.

(5)【分析】根据切比雪夫不等式

()

{()}D x P X E X εε

-≥≤,

于是

()1

{()2}22

D x P X

E X -≥≤

二、选择题

(1)【分析】当0x <时,

()f x 单调增'()0f x ?≥,(A ),(C )不对;

当0x >时,()f x :增——减——增'()f x ?:正——负——正,(B )不对,(D )对.

应选(D ).

(2)【分析】我们逐一分析.

关于(A ),涉及可微与可偏导的关系.由(,)f x y 在(0,0)存在两个偏导数?(,)f x y 在(0,0)处可

微.因此(A )不一定成立.

关于(B )只能假设

(,)f x y 在(0,0)存在偏导数

(0,0)(0,0)

,f f x y

????,不保证曲面(,)z f x y =在 (0,0,(0,0))f 存在切平面.若存在时,法向量n=(0,0)(0,0)

1f f x y ????±-=±??????

，，{3,1,-1}与{3,1,1}不

共线,因而(B )不成立.

关于(C ),该曲线的参数方程为,

0,(,0),x t y z f t =??

=??=?

它在点(0,0,(0,0))f 处的切向量为

'0{',0,

(,0)}|{1,0,(0,0)}{1,0,3}t x d

t f t f dt

===. 因此,(C )成立.

(3)【分析】当

(0)0f =时,'0()(0)lim

x f x f x →=?00()()

lim lim x x f x f x x x

→+→-?=?.

关于(A ):220001(1cos )1cos 1()

lim (1cos )lim 1cos lim

1cos 2h h t f h h f t f h t h h h h t

→→→+---=?=--, 由此可知 201

lim (1cos )h f h h

→-? ? '(0)f + ?.

若

()f x 在0x =可导?(A )成立,反之若(A )成立?'(0)f + ??'(0)f ?.如()||f x x =满

足(A ),但'

(0)f 不?. 关于(D ):若()f x 在0x =可导,?

''001(2)()lim [(2)()]lim[2]2(0)(0)2h h f h f h f h f h f f h h h

→→-=-=-. ?(D )成立.反之(D )成立0

lim((2)())0h f h f h →?-=?()f x 在0x =连续,?()f x 在0x =可

导.如21,0

()0,0x x f x x +≠?=?

=? 满足(D ),但

()f x 在0x =处不连续,因而'(0)f 也不?.

再看(C ):

2220001sin (sin )sin ()

lim

(sin )lim lim sin h h h h h f h h h h f t f h h h h h h h t

→→→----=?=?

-(当它们都?时).

注意,易求得20sin lim

0h h h h →-=.因而,若'

(0)f ?

?(C )成立.反之若(C )成立?0()lim t f t t

→(即 '(0)f ?).因为只要()f t t

有界,任有(C )成立,如()||f x x =满足(C ),但'

(0)f 不?.

因此,只能选(B ).

(4)【分析】由 43

||40E A λλλ-=-=,知矩阵A 的特征值是4,0,0,0.又因A 是实对称矩阵,A 必能相似对角化,所以A 与对角矩阵B 相似.

作为实对称矩阵,当A

B 时,知A 与B 有相同的特征值,从而二次型T x Ax 与T x Bx 有相同的

正负惯性指数,因此

A 与

B 合同.

所以本题应当选(A ).

注意,实对称矩阵合同时,它们不一定相似,但相似时一定合同.例如

1002A ??=????与1003B ??

=????

, 它们的特征值不同,故A 与B 不相似,但它们的正惯性指数均为2,负惯性指数均为0.所以A 与B 合同.

(5)【分析】解本题的关键是明确X 和Y 的关系:X

Y n +=,即Y n X =-,在此基础上利用性质:

相关系数XY ρ的绝对值等于1的充要条件是随机变量X 与Y 之间存在线性关系,即Y

aX b =+(其

中,a b 是常数),且当0a >时,1XY ρ=;当0a <时,1XY ρ=-,由此便知1XY ρ=-,应选(A ).

事实上,(,)(,)Cov X Y Cov X n X DX =-=-,

()DY D n X DX =-=,由此由相关系数的定

义式有

XY ρ=

=-.

三、【解】

原式=222211arctan ()[arctan ]22(1)

x x x x x

x de e d e e e e e ---=--+??

=2221(arctan )21x x x x

x x

de de e e e e ---++??

=21(arctan arctan )2

x x x e e e e C ---

+++.

四、【解】先求(1)(1,(1,1))(1,1)1f f f ?===.

求 3

2''1()|3(1)(1)3(1)x d x dx

????===,归结为求'(1)?.由复合函数求导法 '''12()(,(,))(,(,))(,)d

x f x f x x f x f x x f x x dx

?=+,

'''''1212(1)(1,1)(1,1)[(1,1)(1,1)]f f f f ?=++.

注意

'1(1,1)

(1,1)2f f x

=?,'2(1,1)(1,1)3f f y ?=

=?. 因此

'(1)23(23)17

?=++=,

1()|31751x d x dx

?==?=.

五、【分析与求解】关键是将arctan x 展成幂级数,然后约去因子x ,再乘上2

1x +并化简即可.

直接将arctan x 展开办不到,但'

(arctan )x 易展开,即

(arctan )(1),||11n n n x x x x ∞

===-<+∑, ①

积分得 '

221

00(1)arctan (arctan )(1)21

n x

x n

n n n x t dt t dt x n ∞

∞

+==-==-=+∑∑??,[1,1]x ∈-. ② 因为右端积分在

1x =±时均收敛,又arctan x 在1x =±连续,所以展开式在收敛区间端点

1x =±成立.

现将②式两边同乘以2

1x x

+得

2222

22000

1(1)(1)(1)arctan (1)212121n n n n n n n n n x x x x x x x n n n +∞

∞∞===+---=+=++++∑∑∑

=12200

(1)(1)2121n n n n

n n x x n n -∞

∞==--++-∑∑

=2111

1(1)(

)2121

n n n x n n ∞

--+-∑

(1)2114n n

n x n ∞

=-=+-∑ ,

[1,1]x ∈-,0x ≠

上式右端当0x =时取值为1,于是

1(1)2()1,[1,1]14n n

n f x x x n

∞

=-=+∈--∑. 上式中令1x =2

(1)111

[(1)1](21)1422442n n f n ππ∞

=-?=-=?-=--∑.

六、【解】

用斯托克斯公式来计算.记S 为平面2x y z +

+=上L 所

为围部分.由L 的定向,按右手法则S 取上侧,S 的单位法向量

(cos ,cos ,cos )n αβγ==

. 于是由斯托克斯公式得

cos cos cos 23S

I dS x y z y z z x x y αβ

γ???=???---??

[(24(26(22S

y z z x x y dS --+--+--??

=(423)(2)(6)S S

x y z dS x y z x y dS ++++=-+-利用. 于是

按第一类曲面积分化为二重积分得

(62(6)D D

I x y x y dxdy =+-=-+-??, 其中D 围S 在xy 平面上的投影区域||||1x y +≤(图）.由D 关于,x y 轴的对称性及被积函数的奇

偶性得

()0D

x y dxdy -=??

21224D

I dxdy =-=-=-??.

七、【证明】 (1)由拉格朗日中值定理,(1,1)x ?∈-,0,(0,1)x θ≠?∈,使

'()(0)()f x f xf x θ=+

(θ与x 有关);又由''()f x 连续而''()0f x ≠,''()f x 在(1,1)-不变号,'()f x 在(1,1)-严格单

调,θ唯一. (2)对'

()f x θ使用''

(0)f 的定义.由题(1)中的式子先解出'

()f x θ,则有

'()(0)

()f x f f x x

θ-=

再改写成

()(0)(0)

()(0)f x f xf f x f x θ---=.

'''2

()(0)()(0)(0)

f x f f x f xf x x

θθθ---?=, 解出θ,令0x →取极限得

2''0001(0)

()(0)(0)()(0)1

2lim lim /lim (0)2

x x x f f x f xf f x f x x f θθθ→→→---===.

八、【解】 (1)设t 时刻雪堆的体积为()V t ,侧面积为()S t .t 时刻雪堆形状如图所示

先求

()S t 与()V t .

侧面方程是22222

2()()()((,):)()2

xy x y h t z h t x y D x y h t +=-

∈+≤. ?

44,()()

z x z y

x h t y h t ??=-=-??. ?

()xy

D D S t dxdy ==??.

作极坐标变换:cos ,sin x r y r θθ==,则

:02,0()xy D r t θπ≤≤≤≤

2(003()2

1()()

2113[()16]().()48

t t S t d h t h t r h t h t πθππ==

?+=

用先二后一的积分顺序求三重积分

()

()h t D x V t dz

dxdy =?

??,

其中222()():

()()()x y D z h t z t h t +≤-,即2221

[()()]2

x y h t h t z +≤-. ?

()

23330

1()[()()][()()]()2

224

h t V t h t h t z dz h t h t h t π

=-=

-=?

. (2)按题意列出微分方程与初始条件.

体积减少的速度是dV dt -

,它与侧面积成正比(比例系数0.9),即 0.9dV

S dt

=- 将()V t 与()S t 的表达式代入得 22

133()0.9()412

dh h t h t dt ππ=-,即

dh dt =-.

①

(0)130h =.

②

(3)解①得13

()10

h t t C =-+. 由②得

130C =,即13

()13010

h t t =-

+. 令()0h t =,得100t =.因此,高度为130厘米的雪堆全部融化所需时间为100小时.

九、【解】

由于(1,2)i i s β=是12,,s ααα线性组合,又12,,s ααα是0Ax =的解,所以根

据齐次线性方程组解的性质知(1,2)i i s β=均为0Ax =的解.

从12,,

s ααα是0Ax =的基础解系,知()s n r A =-.

下面来分析12,,s βββ线性无关的条件.设11220s s k k k βββ++

=,即

11212112222133211()()()()0s s s s t k t k t k t k t k t k t k t k αααα-++++++

++=.

由于 12,,s ααα线性无关,因此有

112211222132110,0,0,0.

s s s t k t k t k t k t k t k t k t k -+=??+=??

+=???+=?

(*)

因为系数行列式

21121

0000

000(1)000

s s s

t t t t t t t t t t +=+-, 所以当112

(1)0s

s s

t t ++-≠时,方程组(*)只有零解120s k k k ==

==.

从而12,,s βββ线性无关.

十、【解】 (1)由于AP PB = ,即

22322(,,)(,,)(,,32)A x Ax A x Ax A x A x Ax A x Ax A x ==-

2000(,,)103012x Ax A x ??

??=??

??-??

所以000103012B ??

??=??

??-??

(2)由(1)知A

B ,那么A E B E ++,从而

100

||||1134011

A E

B E +=+==--.

十一、【解】 (1){|}(1)

,0,0,1,2,

n m

n P Y m X n C p p m n n -===-≤≤=.

(2){,}P X

n Y m ==={}{|}P X n P Y m X n ===

(1),0,0,1,2,

m m

n m n e C p p m n n n λλ--?-≤≤=

十二、【解】易见随机变量11()n X X ++,22()n X X ++,2,()n n X X +相互独立都服从正态分布

2(2,2)N μσ.因此可以将它们看作是取自总体2(2,2)N μσ的一个容量为n 的简单随机样本.其样

本均值为

21111()2n n

i n i i i i X X X X n n +==+==∑∑, 样本方差为

111(2)11

n i n i

i X X X Y n n +=+-=--∑. 因样本方差是总体方差的无偏估计,故21

(

)21

E Y n σ=-,即2()2(1)E Y n σ=-.

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高等数学公式篇 ·万能公式： sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] 导数公式：基本积分 a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222????+-+--=-+++++=+-= ==-C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n ln 22)ln(221 cos sin 22222 2222222 22 2 22 2 π π

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考研数学公式(全) ·平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边,

·三角函数恒等变形公式 ·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) ·辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A

考研数学公式大全数三

导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='?-='?='-='='2 2 2 2 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='??????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222 222C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222?????++-=-+-+--=-+++++=+-===-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 2 2222222 2222222 22222 2 020π π

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高等数学公式篇·平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边, ·三角函数恒等变形公式 ·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) ·辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)

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高等数学公式篇· 平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边, ·三角函数恒等变形公式 ·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·si nβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·si nβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tan β·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tan γ·tanα) ·辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B ·倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1 -2sin^2(α)

考研数学：高数重要公式总结(基本积分表)

凯程考研历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！考研数学：高数重要公式总结（基本积分表）考研数学中公式的理解、记忆是最基础的，其次才能针对具体题型进行基础知识运用、正确解答。凯程小编总结了高数中的重要公式，希望能帮助考研生更好的复习。其实，考研数学大多题目考查的还是基础知识的运用，难题异题并不多，只要大家都细心、耐心，都能取得不错的成绩。考研生加油哦!

凯程考研历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！凯程考研：凯程考研成立于2005年，具有悠久的考研辅导历史，国内首家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由李海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。凯程考研的宗旨：让学习成为一种习惯；凯程考研的价值观：凯旋归来，前程万里；信念：让每个学员都有好最好的归宿；使命：完善全新的教育模式，做中国最专业的考研辅导机构；激情：永不言弃，乐观向上；敬业：以专业的态度做非凡的事业；服务：以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，团队合作，为学员服务，为学员引路。特别说明：凯程学员经验谈视频在凯程官方网站有公布，同学们和家长可以查看。扎扎实实的辅导，真真实实的案例，凯程考研的价值观：凯旋归来，前程万里。如何选择考研辅导班：在考研准备的过程中，会遇到不少困难，尤其对于跨专业考生的专业课来说，通过报辅导班来弥补自己复习的不足，可以大大提高复习效率，节省复习时间，大家可以通过以下几个方面来考察辅导班，或许能帮你找到适合你的辅导班。师资力量：师资力量是考察辅导班的首要因素，考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经

考研数学公式大全

高等数学公式篇 ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 ·三角函数恒等变形公式·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·倍角公式：si n(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] 三角函数的有理式积分： 22 2212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+= ，　，　，　一些初等函数：两个重要极限：和差角公式： ·和差化积公式： ·正弦定理：R C c B b A a 2sin sin sin ===·余弦定理： C ab b a c cos 2222 -+= 反三角函数性质： arcctgx arctgx x x -= -= 2 arccos 2 arcsin π π 高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式： ) () ()()2()1()(0)()() (!)1()1(!2)1() (n k k n n n n n k k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+ '+==---=-∑ a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arc c os 11 )(arc sin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '2 sin 2sin 2cos cos 2cos 2cos 2cos cos 2sin 2cos 2sin sin 2cos 2sin 2sin sin β αβαβαβ αβαβαβ αβαβαβ αβ αβα-+=--+=+-+=--+=+α ββαβαβαβ αβαβ αβαβαβ αβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±?= ±?±= ±=±±=±1 )(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( x x arthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x x x x x x -+= -+±=++=+-==+= -= ----11ln 21) 1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)1 1(lim 1sin lim 0==+=∞→→e x x x x x x

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高等数学公式导数公式： 2(arcsin x)1 (tan x)sec x1x2 (cot x)csc2 x (arccos x)1 (secx)secx tan x 1x2 (csc x)cscx cot x (arctan x)1 ( a x )a x ln a 1 x 2 (log a x) 1 (arc cot x) 1 x ln a1x2 基本积分表： tanxdx ln cos x C cot xdx ln sin x C secxdx ln secx tan x C cscxdx ln cscx cot x C dx2 cos2 x sec xdx tan x C dx2 sin 2 x csc xdx cot x C secx tan xdx secx C csc x cot xdx csc x C dx 22 a x x2a2 dx 22 a x a2x21 arctan x C a a 1 ln x a C 2a x a 1ln a x C 2a a x arcsin x C a a x dx a x C ln a shxdx chx C chxdx shx C dx ln( x x2 a 2 ) C x2a2 2 sin n xdx 2 cos n n 1 I n I n xdx2 00 n x2 a 2 dx x x2a2a2ln( x x2a2 )C 22 x2a2 dx x x2a2 a 2ln x x2a2C 22 a2x2 dx x a2x2 a 2arcsin x C 22a 三角函数的有理式积分：

A. 积化和差公式： B. 和差化积公式： ① sin sin 2 sin cos ② sin sin 2 cos sin 2 2 2 2 ③ cos cos 2 cos cos ④ cos cos 2 sin sin 2 2 2 2 1.正弦定理： a b c = == 2R （ R 为三角形外接圆半径） sin A sin B sin C 2.. 余弦定理： a 2 = b 2 + c 2 -2bc cos A b 2 =a 2 +c 2 -2ac cosB c 2 =a 2 +b 2 -2ab b 2 c 2 a 2 cosC cos A 2bc 3. S ⊿= 1 a h a = 1 ab sin C = 1 bc sin A = 1 ac sin B = abc =2R 2 sin A sin B sin C 2 2 2 2 4R a 2 sin Bsin C b 2 sin Asin C c 2 sin Asin B =pr= p( p a)( p b)( p c) = = = 2sin C 2sin A 2sin B (其中 p 1 (a b c) ,r 为三角形内切圆半径 )4. 诱导公试 2 sin cos tan cot - - sin + cos - tg - ctg 三角函数值等于的同名三角函数值，前面加上一个把看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函 - + sin - cos - tg - ctg 数名不变，符号看象限 + - sin - cos + tg + ctg 5. 和差角公式 2 - - sin + cos - tg - ctg ① 2k + + sin + cos + tg + ctg ) sin coscos sin sin( sin cos tan cot ② + + - - cos + sin + cos - sin - cos - sin + cos + sin - ctg + tg ) cos cos sin sin cos( ctg - tg ctg + tg ctg - tg

考研数学公式大全(高数、概率、线代)目前文库中最全的

高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分： 222212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　，　 a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='?-='?='-='='2 22211 )(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-===-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 22222222222222222222202 π π

考研数学三角函数公式表(会用到)

三角函数公式表同角三角函数的基本关系式倒数关系: 商的关系：平方关系： tanα·cotα＝1 sinα·cscα＝1 cosα·secα＝1 sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secαsin2α＋cos2α＝1 1＋tan2α＝sec2α 1＋cot2α＝csc2α （六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”；记忆方法“对角线上两个函数的积为1；阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方；任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。”）诱导公式（口诀:奇变偶不变，符号看象限。） sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα sin（3π/2－α）＝－cosα cos（3π/2－α）＝－sinα tan（3π/2－α）＝cotα

cot（3π/2－α）＝tanα sin（3π/2＋α）＝－cosα cos（3π/2＋α）＝sinα tan（3π/2＋α）＝－cotα cot（3π/2＋α）＝－tanα sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα (其中k∈Z) 两角和与差的三角函数公式万能公式sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβcos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβcos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ tanα＋tanβ tan（α＋β）＝—————— 1－tanα·tanβ tanα－tanβ tan（α－β）＝—————— 1＋tanα·tanβ 2tan(α/2) sinα＝—————— 1＋tan2(α/2) 1－tan2(α/2) cosα＝—————— 1＋tan2(α/2) 2tan(α/2) tanα＝—————— 1－tan2(α/2)

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考研数学公式汇总最完整版

最新最全版考研数学公式，奉献给大家高等数学公式篇 ·平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边, ·三角函数恒等变形公式 ·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) ·辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)

2021年考研数学三公式大全汇编

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5. 行列式的重要公式.主对角行列式主对角元素的乘积；.副对角行列式副对角元素的乘积；.上.下三角行列式（）主对角元素的乘积；.和副对角元素的乘积；.拉普拉斯展开式..范德蒙行列式大指标减小指标的连乘积；.特征值； 6. 对于阶行列式，恒有，其中为阶主子式； 7. 证明的方法.；.反证法；.构造齐次方程组，证明其有非零解；.利用秩，证明；.证明0是其特征值； 2.矩阵 1.是阶可逆矩阵（是非奇异矩阵）；（是满秩矩阵）的行（列）向量组线性无关；齐次方程组有非零解；，总有唯一解；与等价；可表示成若干个初等矩阵的乘积；的特征值全不为0；是正定矩阵；的行（列）向量组是的一组基；是中某两组基的过渡矩阵； 2. 对于阶矩阵无条件恒成立； 3.4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和； 5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均.可逆若，则.；.；.；（主对角分块）.；（副对角分块）.；（拉普拉斯）.；（拉普拉斯） 3.矩阵的初等变换与线性方程组

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考研数学(三)公式大全

数学公式导数公式：基本积分表：等价无穷小量代换 ()时，有：当0→x ? x x ~sin x x ~tan x x ~arcsin x x ~arctan a x a x ln ~1- x e x ~1- ()ax x a ~1+ x n x n 1 ~11-+ ()x x ~1ln + 2 2 1~ cos 1x x - a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π

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高等数学公式篇导数公式：基本积分表： C kx dx k +=? )1a (,C x 1 a 1 dx x 1a a -≠++=+? C x ln dx x 1+=? C e dx e x x +=? C a ln a dx a x x +=?(1a ,0a ≠>) C x cos xdx sin +-=? C x sin dx x cos +=? C x arctan dx x 11 2+=+? C a x arcsin x a dx C x a x a ln a 21x a dx C a x a x ln a 21a x dx C a x arctan a 1x a dx C x cot x csc ln xdx csc C x tan x sec ln xdx sec C x sin ln xdx cot C x cos ln xdx tan 2 2222222+=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=???????? ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C )a x x ln(a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a ln a dx a C x csc xdx cot x csc C x sec dx x tan x sec C x cot xdx csc x sin dx C x tan xdx sec x cos dx 222 2x x 2 22 2 a ln x 1)x (log a ln a )a (x cot x csc )x (csc x tan x sec )x (sec x csc )x (cot x sec )x (tan x cos )x (sin aX )X (0)C (a x x 2 21a a = '='?-='?='-='='='='='-2 2 22 x x x 11 )x cot arc (x 11 )x (arctan x 11 )x (arccos x 11 )x (arcsin x 1 )x (ln e )e (x sin )x (cos +- ='+= '-- ='-= '= '='-='

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