人教版高三数学解答题专题训练题精选 (18)

人教版高三数学解答题专题训练题精选 18
1. （1）
；
（2）
；
（3）已知 a，b，c 为正实数，ax=by=cz，
，求 abc 的值．
2. 已知数列 , 满足
,
,其中
．
（I）求证：数列 是等差数列,并求出数列 的通项公式；
（II）设
,求数列
的前 n 项和为 ．
3. 已知函数 f(x)＝excosx－x. (1)求曲线 y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)求函数 f(x)在区间[0， ]上的最大值和最小值．
4. 已知椭圆
的左右焦点分别为 、 ,左顶点为 A,若
,
椭圆的离心率为 . Ⅰ 求椭圆的标准方程． Ⅱ 若 P 是椭圆上的任意一点,求
的取值范围．
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5. 绿色出行越来越受到社会的关注，越来越多的消费者对新能源汽车感兴趣.但是消
费者比较关心的问题是汽车的续驶里程.某研究小组从汽车市场上随机抽取 20 辆纯
电动汽车调查其续驶里程 单次充电后能行驶的最大里程 ，被调查汽车的续驶里程
全部介于 50 公里和 300 公里之间，将统计结果分成 5 组：
，
，绘制成如图所示的频率分布
直方图．
求直方图中 m 的值；
求本次调查中续驶里程在
的车辆数；
若从续驶里程在
的车辆中随机抽取 2 辆车，求其中恰有一辆车续驶里
程在
的概率．
6. 设 a∈R，命题 q：?x∈R，x2+ax+1＞0，命题 p：?x∈[1，2]，满足（a-1）x-1＞0．
（1）若命题 p∧q 是真命题，求 a 的范围； （2）（￢p）∧q 为假，（￢p）∨q 为真，求 a 的取值范围．
7. 如图,在四棱锥
已知
,
中, ,
,
是等边三角形,平面
．
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平面 ABCD,

设 M 是 PC 上一点,求证：平面
求四棱锥
的体积．
平面 PAD；
8. 设数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 S2=4，an+1=2Sn+1，n∈ ．
（Ⅰ）求通项公式 an； （Ⅱ）求数列{|an-n-2|}的前 n 项和．
9. 如图，四棱锥 P-ABCD 中，PD⊥底面 ABCD，且底面 ABCD 为平行四边形，若
∠DAB=60°，AB=2，AD=1． （1）求证：PA⊥BD； （2）若∠PCD=45°，求点 D 到平面 PBC 的距离 h．
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10. 已知椭圆 E： + =1 的焦点在 x 轴上，A 是 E 的左顶点，斜率为 k（k＞0）的直线
交 E 于 A，M 两点，点 N 在 E 上，MA⊥NA． （Ⅰ）当 t=4，|AM|=|AN|时，求△AMN 的面积； （Ⅱ）当 2|AM|=|AN|时，求 k 的取值范围．
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1.答案：解：（1）原式=
-1+
= -1+2=2；
（2）原式=
= =-4；
（3）∵a，b，c 为正实数，ax=by=cz=k＞0，k≠1． ∴x= ，y= ，z= ,
∵
，∴
∴abc=1.
= =0，
解析：本题考查了指数幂的运算性质和对数的运算性质 （1）本题考查了指数幂的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 利用指数幂的运算性质即可得出． （2）本题考查了对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 利用对数的运算性质即可得出． （3）本题考查了对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
设 ax=by=cz=k＞0，可得 x= ，y= ，z= ,再利用对数的运算性质即可得出．
2.答案：（I）证明：∵
=
=
，
∴数列{bn}是公差为 2 的等差数列，
又
，∴bn=2+（n-1）×2=2n，
∴
，解得
，
．
（II）解：由（I）可得
，
∴
，
∴数列{cncn+2}的前 n 项和为
=
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，
．
解析：本题考查了递推关系、等差数列的判断及通项公式、“裂项求和”方法，考查了 推理能力与计算能力，属于中档题． （I）由题意结合等差数列的定义即可证明数列{bn}是公差为 2 的等差数列，再利用等差 数列的通项公式求解即可．
（II）由（I）及已知条件可得
，故
，利用裂项法求解即可.
3.答案：解：（1）函数 f（x）=excosx-x 的导数为 =ex（cosx-sinx）-1，
可得曲线 y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为
，
,切点为（0，1），
曲线 y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为 y=1；
（2）函数 f（x）=excosx-x 的导数为 =ex（cosx-sinx）-1，
令 g（x）=ex（cosx-sinx）-1，
则 g（x）的导数为
=ex（cosx-sinx-sinx-cosx）
=-2ex?sinx，
当 x∈[0， ]，可得 =-2ex?sinx≤0，
即有 g（x）在[0， ]上单调递减，
可得 g（x）≤g（0）=0，即
,
则 f（x）在[0， ]上单调递减，
即有函数 f（x）在区间[0， ]上的最大值为 f（0）=e0cos0-0=1；
最小值为 f（ ）= cos - =- ．
解析：本题主要考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、最值，考查化简整理的运 算能力，正确求导是解题的关键，属于较易题． （1）求出 f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到所求方程； （2）求出 f（x）的导数，再令 g（x）=f′（x），求出 g（x）的导数，可得 g（x）在区
间[0， ]的单调性，即可得到 f（x）的单调性，进而得到 f（x）的最值．
4.答案：解： Ⅰ 由题意，∵|F1F2|=2，椭圆的离心率为 e= ，
∴c=1，a=2， ∴b= ，
∴椭圆的标准方程为 + =1.
（Ⅱ）设 P（x0，y0），A（-2，0），F1（-1，0），
∴ · =（-1-x0）（-2-x0）+y02=
，
∵P 点在椭圆上，∴ + =1，
,
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