(北师大版)初中数学《余角与补角》参考教案

2.1 余角与补角

●教学目标

(一)教学知识点

1.余角、补角及对顶角的定义.

2.余角、补角及对顶角的性质.

(二)能力训练要求

1.经历观察、操作、推理、交流等过程，进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力.

2.在具体情境中了解补角、余角、对顶角，知道等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等，并能解决一些实际问题.

(三)情感与价值观要求

通过在具体情境下的讨论，让学生理解基础知识的同时，提高他们理论联系实际的观念.

●教学重点

1.互为余角、互为补角的定义及其性质.

2.对顶角的定义及性质.

●教学难点

互为余角、互为补角、对顶角的定义的理解.

●教学方法

讲练结合法

教师在充分发挥学生的主观能动性的同时，来与学生进行交流、讨论，使之能运用本节内容解决一些实际问题.

●教具准备

一些与本节内容有关的图片.

投影片四张

第一张：想一想(记作投影片§2.1 A)

第二张：议一议(记作投影片§2.1 B)

第三张：议一议(记作投影片§2.1 C)

第四张：练习(记作投影片§2.1 D)

●教学过程

Ⅰ.创设现实情景，引入新课

［师］在上册第四章“平面图形及其位置关系”中，我们学习了“平行”与“垂直”，大家想一想：什么是平行线？

［生］在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.

［师］很好，在日常生活中，我们随处可见道路、房屋、山川、桥梁……等这些大自然的杰作和人类的创造物.这其中蕴涵着大量的平行线和相交线.

下面大家来看几幅图片：(出示投影片：桥的图片，宫殿、建筑物、门等的图片)

你能从这些图案中找出平行线和相交线吗？

(同学们踊跃发言，都能准确地找出其中的平行线和相交线)

［师］同学们找得都对，说明大家掌握了所学内容.从今天开始，我们将深入学习这方面的内容：第二章平行线与相交线.

在这一章里，我们将发现平行线和相交线的一些特征，并探索两条直线平行的条件，我们还将利用圆规和没有刻度的直尺，尝试着作一些美丽的图案.

相信大家，一定会学得很好.

那我们今天就来研究一下：“余角与补角”.

Ⅱ．讲授新课

［师］光的反射是一种常见的物理现象，如图所示，图1表示的是经过平面镜光的反射中光线的路径情况，并且可以验证光的反射定律：反射角等于入射角，即∠AON=∠BON，其中ON是法线，ON⊥DE.

图1 图2

光的反射现象可以表示为图2所示，其中ON与DE垂直，各个角与∠3有什么关系？

大家来分组讨论一下.

［生甲］因为ON与DE垂直，所以∠DON=∠EON=90°，因此，∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°.又因为∠1=∠2，所以∠3=∠4.

［生乙］因为平面镜是平的

所以∠DOE=180°.

因此，∠3+∠AOE=180°，∠4+∠BOD=180°.又因为∠3=∠4,所以∠3+∠BOD=180°.

［师］很好，同学们经过讨论分析，得到了与∠3有关系的角.

看：∠3+∠1=90°，我们就可以称∠1与∠3是互为余角.

再看：∠3+∠2=90°，我们也可以称∠1与∠2是互为余角.

由此，我们得到了一个新的概念：互为余角.即：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角(complementary angle),也就是说其中一个角是另一个角的余角.

只要有∠3+∠1=90°，就可知道∠1与∠3互为余角，反过来知道∠1与∠3是互为余角，就一定知道∠1与∠3的和为直角.

再之：∠1与∠3是互为余角就是说：∠1是∠3的余角，∠3也是∠1的余角.

大家看老师手里拿两个三角板(一边演示，一边叙述)：这一个三角板的60°的角与另一个三角板的30°的角加起来正好是90°，那么我们说这两个角是互为余角.

同学们应注意：(强调)

(1)互为余角是对两个角而言的.

(2)互为余角仅仅表明了两个角的数量关系，而没有限制角的位置关系.

［生］老师，我们知道了：两个角的和是直角，则这两个角是互为余角.刚才我们还讨论了：∠3+∠AOE=180°,∠3+∠BOD=180°.

那么这样的两个角又叫什么呢？

［师］这位同学问得好，这就是我们要学习的另一个概念：互为补角.即：如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角(supplementary angle).

互为补角的概念的理解与互为余角的理解基本一样.哪些同学能尝试的说一下呢？

［生甲］只要满足∠3+∠AOE=180°，就可知道∠3与∠AOE是互为补角.反之知道∠3与∠AOE是互为补角，就一定可知道∠3与∠AOE的和是平角.

［生乙］∠3与∠AOE是互为补角，就是说：∠3是∠AOE的补角，∠AOE 也是∠3的补角.

［生丙］互为补角也是对两个角而言的.与角的大小有关，而与位置无关.

［生丁］∠BOD与∠3也是互为补角.

［师］同学们回答得真棒.互为余角、互为补角都是针对两个角而言的，仅仅表示了两个角之间的数量关系，并没有限制角的位置关系.

好，下面大家来想一想.

在下图中，CD与EF垂直，∠1=∠2.

(1)哪些角互为余角？哪些角互为补角？

(2)∠ADC与∠BDC有什么关系？为什么？

(3)∠ADF与∠BDE有什么关系？为什么？

图2－2

(同学们分组讨论，得结论)

［生甲］在图中：∠1与∠ADC、∠2与∠ADC、∠BDC与∠1、∠BDC与∠2都是互为余角.

∠1与∠ADF、∠EDB与∠1、∠ADF与∠2、∠EDB与∠2都是互为补角.

［生乙］∠ADC与∠BDC相等，因为：

∠ADC+∠1=90°，∠BDC+∠1=90°

所以：∠ADC=90°－∠1=∠BDC.

［生丙］∠ADC与∠BDC相等的理由还可以这样说：因为∠ADC+∠1=90°，∠BDC+∠2=90°，所以∠ADC=90°－∠1，∠BDC=90°－∠2，又因为∠1=∠2，所以∠ADC=∠BDC.

［生丁］老师，是不是这样：∠ADC是∠1的余角，∠BDC也是∠1的余

角，所以∠ADC与∠BDC就相等.因此可以说：同一个角的余角相等.∠ADC是∠1的余角，∠BDC是∠2的余角，而∠1与∠2相等.所以∠ADC与∠BDC相等.因此可以说：相等的角的余角相等.

［师］丁同学总结得很好.大家的意见怎么样？

［生齐声］丁同学总结得对.

［师］很好，这就得出互为余角的性质：

同角或等角的余角相等.

接下来看第三个问题:

(同学们踊跃发言，得出结论)

［生］∠ADF与∠BDE相等.因为∠1+∠ADF=180°，∠1+∠BDE=180°，所以，∠ADF=180°－∠1=∠BDE.还可以这样说：

因为∠1+∠ADF=180°，∠2+∠BDE=180°，所以∠ADF=180°－∠1，∠BDE=180°－∠2，又因为∠1=∠2，所以∠ADF=∠EDB.

因此得出结论：

同角或等角的补角相等.

［师］同学们表现得很好，通过讨论，得出互为余角、互为补角的性质：同角或等角的余角相等.

同角或等角的补角相等.

接下来，我们议一议.

(可用电脑演示，也可用实物剪刀实际操作，然后提问.)

(1)用剪刀剪东西时，哪对角同时变大或变小？

(2)如果将剪刀的图形简单表示为下图，请问：∠1与∠2的位置有什么关系？它们的大小有什么关系？为什么？

图2－3

［生甲］(1)用剪刀剪东西时，相对的角同时变大或变小.

［生乙］图中的∠1与∠2有公共的顶点O，且角的两边互为反向延长线.

∠1与∠2相等，因为∠1是∠BOC的补角，∠2也是∠BOC的补角.由同角的补角相等，可得∠1与∠2相等.

［师］很好，像这样，直线AB与直线CD相交于点O，∠1与∠2有公共顶点，它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫对顶角.

如图中的∠AOD与∠BOC也是对顶角.

由对顶角的概念可知,对顶角的本质特征是：两个角有公共顶点，两个角的两边互为反向延长线.

所以要在图形中准确地找出对顶角，需两看：

(1)看是不是两条直线相交所得的角;

(2)看是不是有公共顶点而没有公共边(或不相邻)的两个角.

另外，从对顶角的定义还可知：对顶角总是成对出现的，它们是互为对顶角；一个角的对顶角只有一个.

接下来大家想一想：对顶角有什么性质？

［生齐声］对顶角相等.

［师］好，“对顶角相等”是对顶角的重要性质.

下面大家来议一议(出示投影片§2.1 C)

如图所示，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数，你能说出所量角是多少度吗？你的根据是什么？

［生甲］根据对顶角相等，可以得出所量角的度数是40°.

［生乙］我利用补角可得出所量角的度数是180°－140°=40°.

［师］同学们能利用学过的有关事实解决实际问题，这很好.

下面我们来做一练习，以巩固所学内容.

Ⅲ.课堂练习

补充(出示投影片§2.1 D)

1.下图中有对顶角吗？若有，请指出，若没有，请说明理由.

图2－4

答案：图(1)、(2)、(3)中没有对顶角，因为这三个图形中的∠1、∠2不是两条直线相交所形成的.图(4)中有对顶角，分别是∠1与∠3；∠2与∠4.

2.判断对错

(1)顶点相对的角是对顶角.( )

(2)有公共顶点，并且相等的角是对顶角.( )

(3)两条直线相交，有公共顶点的角是对顶角.( )

(4)两条直线相交，有公共顶点，没有公共边的两个角是对顶角.( )

答案：× × × √

(举反例说明)

Ⅳ.课时小结

这节课我们学习了三个定义、三个性质，现在来总结一下：

定义：

互为余角：如果两个角的和是直角，则这两个角互为余角.

互为补角：如果两个角的和是平角，则这两个角互为补角.

对顶角：像这样直线AB 与直线CD 相交于O ，∠1与∠2有公共顶点，它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角.

注意：

(1)互为余角、互为补角只与角的度数有关，与角的位置无关.

(2)对顶角的判断条件：??

???无公共边有公共顶点两条直线相交

性质：

同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等.

对顶角相等.

Ⅴ．课后作业

1.课本习题

2.1 1、2、3

2.预习提纲

(1)直线平行的条件是什么？

(2)同位角的概念.

(3)会用三角尺过已知直线外一点画这条直线的平行线.

Ⅵ.活动与探究

两条直线相交于一点，有对对顶角，三条直线相交于一点，有对对顶角.……n条直线相交于一点，共可组成对对顶角.

［过程］让学生在讨论的过程中，学会归纳.两条直线相交于一点和三条直线相交于一点较简单，可得出.那n条直线呢？

设n条直线为a1,a2,…,a n

以a1为边所得到的对顶角数为2(n－1).

以a2为边所得到的新对顶角数为2(n－2).

…

为边得到的新对顶角数为2×2.

以a n

－2

以a n

为边得到的新对顶角数为2×1.

－1

加起来得n(n－1)对对顶角.

［结果］两条直线相交于一点，有2对对顶角，三条直线相交于一点，有6对对顶角，n条直线相交于一点，共有n(n－1)对对顶角.