1.4(1)(2)命题的形式及等价关系

1.4（1）命题与推出关系 导学单

班级____________ 姓名____________ 学号______________

一、学习目标：

理解推出关系，会判断命题的真假。

二、学习过程：

1、__________________________________叫做命题。

【说明】：通常用陈述句表述，“如果……，那么……”由题设和结论两部分。

2、 命题的类型：_____________________________。

3、练习：

例1 下列语句哪些不是命题, 哪些是命题?

1）3是15的约数

2）3是15的约数吗

3）上课请不要讲话

4）0.2是整数

5）个位数是5的自然数能被5整除

6）互为补角的两个角不相等

7)凡直角三角形都相似

例2 判断下列命题的真假，并说明理由

(1) 如果a ，b 都是奇数，那么积ab 也是奇数；

(2) 若一元二次方程()2

00ax bx c a ++=≠有实根，则0ac <；

提醒：要证明一个命题是假命题，只要____________________________

这在数学上称为举反例。而确定一个命题是真命题，就必须作出证明。

4、推出关系：

①“αβ?”的意义______________________________________________。 ②“αβ?/”的意义______________________________________________。 ③“αβ?”的意义：_______________________________________。

【注意】1、推出关系满足传递性：αβ?，βγ?，那么αγ?

2、通常在解题中代数式的变形必须是等价的，如求解方程

例3 用符号,,???表示下列事件的推出关系：

1）:0m α= :0mn β= ______________

2）:αx = :β()0x x R >∈ ______________

3）:α两直线平行 :β内错角相等 ______________

4）:αx y > :β22x y x y +>+ _______________

5）:α四边形ABCD 是平行四边形 :β四边形ABCD 是矩形 ________ 例4 写出与“一元二次方程()200ax bx c a ++=≠有一正根，一负根” 等

价的命题：

1.4（2）四种命题形式及等价命题导学单

班级____________ 姓名____________ 学号______________

一、学习目标：

理解四种命题的形式及其相互关系，能写出简单命题的逆命题、否命题与逆否命题。

二、学习过程：

1、复习：将下列命题改写成“如果……，那么……”形式，并判断其真假:

命题1：对顶角相等：___________________________________（）

2、阅读课本，找出“逆命题”、“否命题”和“逆否命题”的定义：

3、练习：写出命题1的上述三种形式

逆命题：______________________________

否命题：_____________________________________

逆否命题：____________________________________

4、命题的四种形式：

原命题：如果α，那么β逆命题:_____________________

否命题: __________________ 逆否命题:___________________

原命题与逆否命题是等价的。

否命题与逆命题也是的。你能理解吗？

原命题逆命题

否命题逆否命题

5、常见的否定语

“是”——“不是”；“一定是”——“一定不是”

“都是”——“不都是”；“全是”——“不全是”“>”——“≤”；“且”——“或”

“至多一个”——“至少两个”；“至少一个”——“没有一个”

例1 写出“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”的否命题

6、练习：

（1）写出下列命题的否定形式：

1）集合A 至多有一个元素；____________________________

2）x ，y 都是有理数；___________________________

3）π是无理数；_______________________________

4）这批产品至少有一件次品；_____________________________

例2 写出下列命题的逆否命题，并判断真假。

（1） 若两个三角形全等，那么它们的面积相等。

（2） 若0,00x y x y +>>>则且。

（3） 。 （4） 线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

（5） ,U A B A B φ=?I 若则e

例3 22320x x x =-+=如果，那么

,,BD CE ABC B C BD CE AB AC ?∠∠≠≠已知分别是的的角平分线，，求证：

1.4(1)命题的形式及等价关系

1.4 (1)命题的形式及等价关系 上海市松江一中曹素玲 一、教学内容分析 命题的有关概念在初中平面几何中已学过，本章在此基础上对命题作较深入的研究，特别强调要确定命题真假都必须证明。举反例既可以确定一个命题是假命题，同时它又是一个重要的数学思想。 推出关系是数学证明中最重要的逻辑关系。教材用比较通俗的说法给出了推出关系的意义及符号。 教材介绍了四种命题的构成及等价命题的概念，这给我们今后证明一个命题为真（假）命题可转化该命题的等价命题（通常是逆否命题）为真（假）命题提供了理论依据。 本小节首先从初中数学的命题知识入手，给出推出关系，等价关系的概念，接着，讲述四种命题的关系，最后，在初中的基础上，结合四种命题的知识，进一步讲解反证法。 二、教学目标设计 理解四种命题之间的相互关系，能由原命题写出其他三种形式；知道推出关系的概念，理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系；掌握等价关系的概念，初步掌握反证法。 三、教学重点及难点 理解四种命题的关系；体会反证法的理论依据。 四、教学用具准备 多媒体 五、教学流程设计

六、教学过程设计 一、复习回顾 在初中，我们已学过命题，真命题，假命题。 命题：表示判断的语句。真命题：正确的命题。 假命题：错误的命题。 命题“全等三角形的面积相等”的条件与结论各是什么？ 本节将进一步研究命题与其有关的命题的概念。 [说明]通过学生回顾以前的知识，唤起他们原有认知结构中的知识结点，从而为下面的要学习的一些下位概念的同化和顺应提供最近发展区。 二、讲授新课 1．命题 例1：下列语句哪些不是命题，哪些是命题？如果是命题，那么它们是真命题还是假命题？为什么？（课本例题） 1.个位数是5的自然数能被5整除； 2.凡直角三角形都相似； 3.上课请不要讲话； 4.互为补角的两个角不相等； 5.你是高一学生吗？ 解：1.真命题 它可以写成10k+5的形式（k是非负整数），而10k+5=5 （2k+1），所以10k+5能被5整除。 2.假命题 取三个角分别是900、450、450的直角三角形，它与三个角

全国百强校教师原创上海交大附中学高一上学期数学精品教学案 ： 命题的形式及等价关系一

一、概念课 【教案样例】 教学目标： １．知道命题、真命题、假命题，理解命题的推出关系、等价关系，推出关系的传递性； ２．在探究命题推出关系的过程中，体会举反例判断假命题的要领，初步会用推出关系的传递性证明一个命题是真命题的方法； ３．在认识一些基本的逻辑关系及其运用活动中，体会逻辑语言在数学表达和论证中的作用， 确立真命题必须作出证明的数学意识. 教学重点：理解命题的推出关系. 教学难点：运用逻辑语言表述和判断假命题、论证真命题. 教学过程： ２．概念形成：（教学提示：这一环节可采用教师引领下的学生阅读教材或学生阅读教师呈现的PPT 素材，教师引导学生举反例判断假命题用逻辑语言论证真命题，激发学生积极思考、参与教学的热情） （１）命题的构成：在数学中常见的命题由条件与结论两部分组成. 如命题“如果2x >，那么24x >”，其中2x >是条件，2 4x >则是结论. 2x y +=，但不满足命题结论11x y ≥≥且.

如命题“末两位数是１２的正整数能被４整除”是一个真命题.理由：因为末两位数是１２的正整数可以写成10012k +的形式（* k N ∈），而100124(253)k k +=+，所以10012k +能被４整除.即命题“末两位数是１２的正整数能被４整除”是一个真命题. （４）推出关系： 一般地说，如果命题α成立可以推出命题β成立，那么就说由α可以推出β，并用记号“βα?”，读作“α推出β”. 也就是说，βα?表示以α为条件、β为结论的命题是真命题. 如果α成立不能推出β成立，记为“βα?/”，读作“α推不出β”.换言之，βα?/表示以α为条件、β为结论的命题是假命题. （５）等价关系： 如果αβ?，并且βα?，那么记作αβ?，叫做α与β等价. 数学交流： （１） 阅读教材16P 第１行至第１１行，说一说利用推出关系的传递性证明一个命题是真命题的基本方法.（教学提示：教师概括） （２）推出关系“?”是一种关系符号，具有传递性，试举出具有传递性的其他关系符号…… ３．概念应用（教学提示：采用师生共同完成，或让学生独立完成，再选代表交流，提问是否有不同答案，进一步明晰概念，达成正确理解概念的目的） 【属性】高一（上），集合与命题，命题与推出关系，解答题，中，分析问题解决问题 【题目】 下列语句哪些不是命题，哪些是命题？如果是命题，那么他们是真命题或是假命题？为什么？

全国百强校教师原创上海交大附中学高一上学期数学精品教学案 ： 命题的形式及等价关系二

【教案样例】 教学目标： １．知道命题的四种形式及其相互关系，理解否命题、逆否命题； ２．在探究命题的四种形式及其相互关系的过程中，领会分类、判断、推理的思想方法； ３．在进一步认识基本的逻辑关系及其运用活动中，体会逻辑语言在数学表达和论证中的重要作用，树立分析问题条理清楚、理由充分、符合逻辑的数学意识. 教学重点：理解否命题、逆否命题. 教学难点：正确写出命题的否命题和逆否命题；运用逻辑语言表述和论证真命题. 教学过程： ２．概念形成：（教学提示：这一环节可采用教师引领下的学生阅读教材或学生阅读教师呈现的PPT素材，教师引导学生自己互写命题的形式建构概念，激发学生积极思考、参与教学的热情） 如命题（A）“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等”的逆命题是命题（B）“如果两个三角形面积相等，那么这两个三角形全等”. 、的否定分别记为αβ、，那么命题“如果α，那么β”的否命题就是：“如果α，那我们通常把αβ 么β”. 如命题（A）的否命题是“如果两个三角形不全等，那么这两个三角形的面积不相等”.

数学思考： ３．概念应用（教学提示：采用师生共同完成，或让学生独立完成，再选代表交流，提问是否有不同答案，进一步明晰概念，达成正确理解概念的目的） 【属性】高一（上），集合与命题，四种命题形式，解答题，中，分析问题解决问题 【题目】 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假： 解题反思：熟悉和准确理解一些常见的词或符号的否定形式：“‘<’的否定形式是‘≥’”、“‘ >’的否定形式是‘≤’”、“‘ =’的否定形式是‘≠’”、“‘或’的否定形式是‘且’”、“‘且’的否定形式是‘或’”，是正确写出一个命题的否命题或逆否命题的前提条件. 变式练习：写出命题“如果12a b ==且，那么21a b ab +>>或”的否命题. 【属性】高一（上），集合与命题，四种命题形式，解答题，中，分析问题解决问题 【题目】 写出命题“偶数加偶数是偶数”的否命题和逆否命题. 【解答】我们先把原命题改写为：如果是两个偶数相加，那么他们的和是偶数.

2019-2020学年高中数学上册 1.4《命题的形式及等价关系》同步练习(1) 沪教版.doc

2019-2020学年高中数学上册 1.4《命题的形式及等价关系》同步练 习（1） 沪教版 1、“凡直角均相等“的否命题是（ ） （A ）凡不是直角均不相等。（B ）凡相等的两角均为直角。 （C ）不都是直角的角不相等。（D ）不相等的角不是直角。 2、已知P ：|2x －3|>1；q :06 12>-+x x ；则﹁p 是﹁q 的（ ）条件 (A ) 充分不必要条件(B ) 必要不充分条件 (C ) 充分必要条件 (D ) 既非充分条件又非必要条件 3、“0232>+-x x ”是“1x ”的（ ） (A ) 充分不必要条件 (B ) 必要不充分条件 (C ) 充要条件 (D ) 既不充分也不必要条件 4、命题甲：x +y ≠3，命题乙：x ≠1且y ≠2.则甲是乙的 条件. 5、有下列四个命题： ① 命题“若1=xy ，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ② 命题“面积相等的三角形全等”的否命题； ③ 命题“若m ≤1，则022 =+-m x x 有实根”的逆否命题； ④ 命题“若A ∩B =B ，则A ?B ”的逆否命题。 其中是真命题的是 （填上你认为正确的命题的序号）. 6、写出命题“若 xy= 0 则 x = 0或 y = 0”的逆命题、否命题、逆否命题 课后作业 一、选择： 1、a b a 是>≥成立的b （ ） A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 即不充分也不必要条件 2、给出如下的命题：①对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；②00=1；③如果x +y 是整

数，那么x ,y 都是整数；④10<3或10>3.其中真命题的个数是……( ) (A )3 (B )2 (C )1 (D )0 . 3、已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件．那么p 是q 成立的：（ ）条件 （A ）充分不必要 （B ）必要不充分 （C ）充要 （D ）既不充分也不必要 4、设集合}30|{≤<=x x M ，}20|{≤<=x x N ，那么“M a ∈”是“N a ∈”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 二、填空： 5、写出“a,b 均不为零”的 （1）充分非必要条件是 （2）必要非充分条件是：＿ ＿ （3）充要条件是 （4）非充分非必要条件是 6、在以下空格内填入“充分非必要”，“必要非充分”，“充要”，“非充分非必要” （1）“a＞0且b ＞0”是“a+b＞0且ab ＞0”的 条件 （2）“a＞2且b ＞2”是“a+b＞4且ab ＞4”的 条件 (3) ? ??<<<y x 的一个充分不必要条件是 _______________ 8、指出下列各题中甲是乙的什么条件？ （1）甲：a 、b 、c 成等比数列；乙：b 2=ac________________. （2）甲：3tan :,3≠≠a a 乙π______________________ （3）甲：直线l 1∥l 2，乙：直线l 1与l 2的斜率相等_______________________ 三、解答 9、已知命题P ：方程x 2＋mx ＋1=0有两个不相等的负根；Q ：方程4x 2 ＋4(m －2)x ＋1=0无实根. 若P 或Q 为真，P 且Q 为假，求m 的取值范围.

浦东新王牌暑假班高一数学暑假班晋s老师命题的形式及等价关系

1.4命题的形式及等价关系 教学目标：： 1.理解四种命题之间的相互关系，能由原命题写出其他三种形式； 2.知道推出关系的概念，理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系； 3.掌握等价关系的概念，初步掌握反证法。 4.理解充分、必要条件的概念； 5.掌握充分、必要条件的判断方法。 6.掌握集合的包含关系和推出关系、充分必要条件之间的联系。 教学内容： 1、命题：能够判断对错的语句。真命题：判断为正确的命题。假命题：判断为错误的命题。 通常可以化简为：,αβ若则的形式。 2、推出关系：一般地，如果α这件事成立可以推出β这件事也成立，那么就说由α可以推 出β，并用记号α?β表示，读作“α推出β”。换言之，α?β表示以α为条件，β为结 论的命题是真命题。 3、传递性：α?β，β?γ，则α?γ 4、命题的四种形式：如果把命题：,αβ若则称为原命题；则我们把命题：,βα若则，称 为原命题的逆命题，简称逆命题。命题：,αβ若则称为原命题的否命题，简称否命题。命 题：,βα若则成为原命题的逆否命题，简称逆否命题。其中αβ和分别是αβ和的否定形 式。 5、充分条件：一般地，用α、β分别表示两件事，如果α成立，可以推出β也成立，即α ?β，那么α叫做β的充分条件。 [说明]：①可以解释为：为了使β成立，具备条件α就足够了；②可进一步解释为：有它即 行，无它也未必不行；③结合实例解释为：x = 0 是xy = 0 的充分条件，xy = 0不一定 要 x = 0. 6、必要条件：如果β?α，那么α叫做β的必要条件。 [说明]：①可以解释为若β?α，则α叫做β的必要条件，β是α的充分条件；②无它不行， 有它也不一定行；③结合实例解释为：如 xy = 0是x = 0的必要条件，若xy ≠0，则一定有 x ≠0；若xy = 0也不一定有 x = 0。 注：根据子集的定义，我们可以发现，将符合具有性质α的元素的集合记为A ，将符合具有

命题的形式及其等价关系

教学资源信息表

1.4 命题的形式及等价关系 上市高桥中学 一、教学内容分析： 根据 1.4 命题的形式及等价关系的内容，教科书上分为三个课时.第一课时学习的内容是命题与推出关系；第二课时学习的内容是命题的四种形式；第三课时学习的内容是等价命题。根据师训时黄老师提出的要求及考虑到本校学生的实际情况，我将这节课的内容分为了两课时，第一课时学习的内容是命题与推出关系及命题的四种形式，理解推出关系及命题证明的意义，会写出命题的四种形式.第二课时学习的内容先着重强调否命题的否定形式（既是新课，又是复习，同时也作为第二课时的引入部分），让学生发现命题的四种形式之间的相互关系，掌握等价命题的概念，能利用互为逆否命题的等价性来解决一些简单命题的证明。 命题的概念在初中已经出现，所以命题概念的教学不应是第一节课的重点，只须强调命题是一个可以判断真假的陈述句。本节的教学重点是真命题与假命题证明的思想方法。 真命题的证明方法：可以从已知条件出发，根据已学的公理、定理、公式等应用推出关系，得出所要证明的结论。也可应用间接证法，如反证法等证明方法。 假命题的证明方法：只需举反例，即举出一个满足命题的条件而不满足命题结论的例子。 在写命题的四种形式时。学生有很难分清一个命题的条件与结论，此时可将给定的命题写成“如果…，那么…”的形式。 一个命题的否命题是将原命题的条件和结论都写成否定形式，这在教学中是一个难点，可多举一些例子进行说明。“是”与“不是”是互相排斥的，用集合的观点看，两者的“并”是全集，两者的“交”是空集。 在第二课时中，注重学生通过实例发现互为逆否命题的两个命题是同真同假的。学会在证明原命题困难的情况下，转而证明它的逆否命题。如遇到“如果不…，那么不…”常可转化为证明它的逆否命题。 等价命题在数学上应用广泛，要知道两个互为逆否命题必等价，但等价命题不一定是互为逆否命题。 二、教学目标设计： 能判断什么样的语句是命题，理解推出关系及命题证明的意义，掌握真命题与假命题证明的思想方法,理解命题的四种形式及其相互关系，能写出一个简单命题的逆命题、否命题与逆否命题，掌握等价命题的概念,通过利用互为逆否命题的等价性来解决一些简单命题的的证明。 通过学习，进一步领会分类、判断、推理的思想方法. 通过证明命题的过程，让学生初步掌握逻辑推理的能力,同时体会到数学的严谨性。 三、教学重点及难点： 真命题与假命题证明的思想方法,理解命题的四种形式及其相互关系。 写否命题时，将原命题的条件和结论采用否定形式表达。 四、教学流程设计：

命题的形式及等价关系

1.4.1命题的形式及等价关系（1）---命题与推出关系 【学习目标】： 1．了解命题、真命题、假命题，理解命题的推出关系、等价关系，推出关系的传递性； 2．在探究命题推出关系的过程中，体会举反例判断假命题的要领，初步会用推出关系的传递性证明一个命题是真命题的方法； 3．在认识一些基本的逻辑关系及其运用活动中，体会逻辑语言在数学表达和论证中的作用， 确立真命题必须作出证明的数学意识. 【预习导学】 【问题导引】 问题1.在命题“如果2x >，那么24x >”中，条件和结论分别指的什么？ 提示：“2x >”是条件，“24x >”是结论. 问题2.命题“如果x+y=2,那么x ≥1且y ≥1”是真命题吗？为什么？ 提示：假命题；反例：x=1.3,y=0.7满足命题的条件2x y +=，但不满足命题结论11x y ≥≥且 问题3.如何判断命题“末两位数是12的正整数能被4整除”是真命题吗？为什么？ 提示：是真命题； 理由：因为末两位数是12的正整数可以写成10012k +的形式(*k N ∈)，而100124(253)k k +=+，所以10012k +能被4整除.即命题“末两位数是12的正整数能被4整除”是一个真命题. 【知识梳理】 知识点1命题，真命题，假命题的概念 1.命题的构成：在数学中常见的命题由条件与结论两部分组成. 2.判断一个命题的假命题，只需举出一个反例即可 3.确定一个命题是真命题：必须证明若满足命题条件就一定能推出命题的结论. 4.推出关系：一般地说，如果命题α成立可以推出命题β成立，那么就说由α可以推出β，并用记号“βα?”，读作“α推出β”. 也就是说，βα?表示以α为条件、β为结论的命题是真命题. 如果α成立不能推出β成立，记为“βα?/”，读作“α推不出β”.换言之，βα?/表示以α为条件、β为结论的命题是假命题. (2)推出关系“?”是一种关系符号，具有传递性，推出关系的传递性证明一个命题是真命题的基本方法. 5.等价关系：如果αβ?，并且βα?，那么记作αβ?，叫做α与β等价. 【课堂讲义】 要点1命题及真假性判断 【例1】下列语句哪些不是命题，哪些是命题？如果是命题，那么他们是真命题或是假命题？为什么？ (1)个位数是5的自然数能被5整除； (2)凡直角三角形都相似； (3)上课请不要讲话； (4)互为补角的两个角不相等；

沪教版(上海) 高一第一学期 新高考辅导与训练 第1章 集合和命题 1.5 命题的形式及等价关系(1

沪教版(上海) 高一第一学期新高考辅导与训练第1章集合和命题 1.5 命题的形式及等价关系（1） 一、解答题 (★) 1. 下列语句是否为命题？如果是，判断它的真假． （1）这道数学题有趣吗？（2）0不可能不是自然数；（3）；（4）；（5）91不是素数；（6）上海的空气质量越来越好． (★★) 2. 判断下列命题是真命题还是假命题，并说明理由． （1）任何一个集合必有两个子集； （2），，都是自然数，如果是的倍数，那么，中至少有一个是的倍数；（3）如果，Bü C，那么． (★) 3. 在下列各题中，用符号“ ”把，连起来． （1）实数满足，或； （2），且； （3），； （4）是偶数，是偶数（其中，都是整数）． (★★) 4. 已知与均为正有理数，且与均为无理数．证明：也是无理数．(★) 5. 判断下列命题的真假并说明理由． （1）某个整数不是偶数，则这个数不能被4整除； （2）若，且，则，且； （3）合数一定是偶数； （4）若，则； （5）两个三角形两边一对角对应相等，则这两个三角形全等； （6）若实系数一元二次方程满足，那么这个方程有两个不相等的实根；（7）若集合，，满足，则； （8）已知集合，，，如果，那么． (★) 6. 已知下列几个命题的推出关系为：，，，，．现有下列命题：① ；② 且；③ 且；④ 且．试判断哪些命题是正确的． (★) 7. 设是方程的根，求证：不是实数． 二、单选题 (★) 8. 下列语句中不是命题的是（） A．B．是无限循环小数 C．D．12是4的倍数 (★) 9. 已知下列语句： ①对角互补的四边形外接于一个圆；②今天会下雨吗；③你会讲日语吗；

1.4 命题的形式及等价关系(答案)

1.4 命题的形式及等价关系 【基础训练】 1. 下列语句是命题的个数为（D） （1）请起立！（2）a2+1>0 （3）明天天晴。（4）91是质数。 （5）中国是世界上人口最多的国家。（6）这道数学题有趣吗？ -=-则x -y =a -b 。（8）任何无限小数都是无理数。 （7）若x y a b A、3个 B、4个 C、5个 D、6个 2.原命题：“菱形的对角线必互相垂直”，则该命题的（B） A、逆命题与否命题正确 B、逆否命题正确 C、逆命题与逆否命题正确 D、逆命题正确 3. 命题“对任意的x ∈R，x3 +x2 +1 ≤ 0”的否定是(C) A.不存在x ∈R，x2 +x+1≤ 0B存在x ∈R，x2 +x+1≤ 0 C.存在x ∈R，x2 +x+1> 0 D 对任意的x∈R，x2 +x+1>0 4. 设原命题是“若ab ≤0,则a ≤ 0或b ≤ 0", 写出它的逆命题、否命题与逆否命题；并分别判断他们的 真假. 答案：逆命题：若a ≤ 0或b ≤ 0, 则ab ≤ 0 逆命题是假 否命题：若ab > 0 则a > 0且b >0",否命题是假 逆否命题：若a >0,b> 0", 则ab > 0, 逆否命题是真 5. 写出命题：“若两个实数的积是有理数，则这两个数都是有理数”的逆命题、否命 逆否命题，并判断其真假. 答案：逆命题：若两个数都是有理数，则两个实数的积是有理数(真)否命题： 若两个实数的积是无理数，则这两个数不都是有理数(真)逆否命题： 若两个数不都是有理数，则这两个实数的积是无理数(假) 2 = 6. 设原命题是“当c>0 时，若a>b，则ac>bc”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们 的真假． 答案：逆命题：当c>0 时，若ac>bc，则a>b.它是真命题； 否命题：当c>0 时，若a≤b，则ac≤bc.它是真命题；逆否命题： 当c>0 时，若ac≤bc，则a≤b.它是真命题．

1.5《命题的形式及等价关系》同步练习

命题 一、选择： 1、a b a 是>≥成立的b （ ） A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 即不充分也不必要条件 2、给出如下的命题：①对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；②00=1；③如果x +y 是整 数，那么x ,y 都是整数；④10<3或10>3.其中真命题的个数是……( ) (A )3 (B )2 (C )1 (D )0 . 3、已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件．那么p 是q 成立的：（ ）条件 （A ）充分不必要 （B ）必要不充分 （C ）充要 （D ）既不充分也不必要 4、设集合}30|{≤<=x x M ，}20|{≤<=x x N ，那么“M a ∈”是“N a ∈”的（ ） ~ A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 二、填空： 5、写出“a,b 均不为零”的 （1）充分非必要条件是 （2）必要非充分条件是：＿ ＿ （3）充要条件是 （4）非充分非必要条件是 6、在以下空格内填入“充分非必要”，“必要非充分”，“充要”，“非充分非必要” （1）“a ＞0且b ＞0”是“a+b ＞0且ab ＞0”的 条件 （2）“a ＞2且b ＞2”是“a+b ＞4且ab ＞4”的 条件 (3) ???<<<y x 的一个充分不必要条件是 _______________ 8、指出下列各题中甲是乙的什么条件 （1）甲：3tan :,3≠≠a a 乙π ______________________

1.4 (2)命题的形式及等价关系

1.4 (2)命题的形式及等价关系（导学案） 组卷： 姜汉明 审卷：周海英 上课日期：________年____月____日； 班级_______学号____姓名__________ 学习目标： （1）理解四种命题的概念； （2）理解四种命题之间的相互关系，能由原命题写出其他三种形式； （3）理解等价命题的概念和四种命题形式之间存在的等价关系． 学习重点及难点：理解四种命题的关系；理解等价命题的概念。 学习过程： 一、 知识回顾 （1）_________________语句叫做命题， _________________叫做真命题。_________________假命题。 （2）语句“内接于圆的四边形对角互补”是否是命题？（ ） （3）命题 “内接于圆的四边形对角互补”的条件是_________________ 结论是_________________ 二、新知导学： 1、把原来命题“内接于圆的四边形对角互补”中的结论作为条件，原来命题中的条件作为结论所组成的新命题为________________________________这个命题叫做原来命题的逆命题。并且它们互为逆命题。 把原来命题“内接于圆的四边形对角互补”中条件和结论都换成它们的否定形式，得到的新命题为________________________________这个命题叫做原来命题的否命题。并且新命题与原来的命题互为否命题。 把原来命题“内接于圆的四边形对角互补”中条件和结论互换并同时否定而得到的新命题为________________________________这个命题叫做原来命题的否命题。并且新命题与原来的命题互为否命题。 2、四个命题的一般形式： 原命题： 如果α，那么β 逆命题：如果___，那么___ 否命题：如果___，那么___ 逆否命题：如果___，那么___ 并在四种命题之间的相互关系如下： 3、举例 例1：试写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假。 命题1：如果两个三角形全等，那么它们面积相等； 命题的逆命题:_________________________； 否命题:_________________________ 逆否命题:_________________________ 命题2：如果一个三角形两边相等，那么这两边所对的角也相等。 命题的逆命题:_________________________； 否命题:_________________________ 逆否命题:_________________________ 找规律：原命题与逆否命题是__________________； 互逆 互逆 逆 逆 否 否

高中数学：1.4《命题的形式及等价关系》教案(1)(沪教版高一上)

1.4 (1)命题的形式及等价关系 一、教学内容分析 命题的有关概念在初中平面几何中已学过，本章在此基础上对命题作较深入的研究，特别强调要确定命题真假都必须证明。举反例既可以确定一个命题是假命题，同时它又是一个重要的数学思想。 推出关系是数学证明中最重要的逻辑关系。教材用比较通俗的说法给出了推出关系的意义及符号。 教材介绍了四种命题的构成及等价命题的概念，这给我们今后证明一个命题为真（假）命题可转化该命题的等价命题（通常是逆否命题）为真（假）命题提供了理论依据。 本小节首先从初中数学的命题知识入手，给出推出关系，等价关系的概念，接着，讲述四种命题的关系，最后，在初中的基础上，结合四种命题的知识，进一步讲解反证法。 二、教学目标设计 理解四种命题之间的相互关系，能由原命题写出其他三种形式；知道推出关系的概念，理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系；掌握等价关系的概念，初步掌握反证法。 三、教学重点及难点 理解四种命题的关系；体会反证法的理论依据。 四、教学用具准备 多媒体 六、教学过程设计

一、复习回顾 在初中，我们已学过命题，真命题，假命题。 命题：表示判断的语句。真命题：正确的命题。 假命题：错误的命题。 命题“全等三角形的面积相等”的条件与结论各是什么？ 本节将进一步研究命题与其有关的命题的概念。 [说明]通过学生回顾以前的知识，唤起他们原有认知结构中的知识结点，从而为下面的要学习的一些下位概念的同化和顺应提供最近发展区。 二、讲授新课 1．命题 例1：下列语句哪些不是命题，哪些是命题？如果是命题，那么它们是真命题还是假命题？为什么？（课本例题） 1.个位数是5的自然数能被5整除； 2.凡直角三角形都相似； 3.上课请不要讲话； 4.互为补角的两个角不相等； 5.你是高一学生吗？ 解：1.真命题 它可以写成10k+5的形式（k是非负整数），而10k+5=5（2k+1），所以10k+5能 被5整除。 2.假命题 取三个角分别是900、450、450的直角三角形，它与三个角分别是900、600、300 的直角三角形不相似。 3.不是命题不是判断语句。 4.假命题 取一个角为900，另一个角也为9000，它们是互补的，但它们相等了. 5.不是命题是疑问句，不是表示判断的陈述句。 结论：①命题必定由条件与结论两部分组成。 ②假命题的确定：举反例（举出一个满足条件，不满足结论的例子，一个即 可）

§1.4 (2)命题的形式及等价关系

说明： 本系列教案,学案，经多次使用，修改，其中有部分来自网络，它山之石可以攻玉，希望谅解。 为了一个课件，我们仔细研磨； 为了一个习题，我们精挑细选； 为了一点进步，我们竭尽全力； 没有最好，只有更好！ 制作水平有限，错误难免，请多指教： 28275061@https://www.wendangku.net/doc/da2364380.html,

【教学内容的课时安排】本章总共15课时，其中

教案 §1.4 (2)命题的形式及等价关系 一、教学目标设计 （1）理解四种命题的概念； （2）理解四种命题之间的相互关系，能由原命题写出其他三种形式； （3）理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系； （4）初步掌握反证法的概念，进一步领会分类、判断、推理的思想方法. 二、教学重点及难点 理解四种命题的关系； 体会反证法的理论依据. 三、教学过程设计 （一）．复习提问： 什么是命题？什么是真命题 ？什么是假命题？ （二）．讲授新课： 1、概念引入 在命题“若1=x ，则12=x ”中，条件是“1=x ”，结论是“12 =x ”. 如果我们 把以上命题作以下变化： （1）如果把命题中的结论“12 =x ”作为条件，把命题中的条件“1=x ”作为结论，则得 到了新命题“若12 =x ”，则1=x ”. 我们把原来命题中的结论作为条件，原来命题中的条件作为结论所组成的新命题叫做原来命题的逆命题.并且它们互为逆命题. （2）如果将命题的条件和结论都换成它们的否定形式，即条件是“1≠x ”，结论是“12 ≠x ”， 那么就可得到一个新命题：“若1≠x ，则12 ≠x ”. 像这种将命题的条件与结论同时否定而得到的新命题叫做原来命题的否命题.并且新命题与原来的命题互为否命题. （3）如果将命题的条件和结论互换并取原来的否定形式，即条件是“12 ≠x ”，结论是 “1≠x ”，那么就可得到一个新命题：“若12 ≠x ，则1≠x ”. 像这种将命题的条件与结论互换并同时否定而得到的新命题叫做原来命题的否命题.并且新命题与原来的命题互为否命题.

四种命题的形式及等价关系(一)

四种命题的形式及等价关系 【学习目标】（1）正确理解四种命题的概念，会判断命题的真假； （2）正确理解四种命题之间的相互关系，能根据原命题准确地写出它的逆命题、否命题和逆否命题三种形式； （3）通过对四种命题之间关系的学习，让学生发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。 【学习重点】四种命题及其关系。 【学习过程】 一、回答问题： 1、什么叫做命题？什么叫做真命题和假命题？ 2、下列语句哪些是命题，哪些不是命题？如果是命题，那么，哪些命题是真命题和假命题？为什么？（1）个位数是5的正整数能被5整除； （2）凡是直角三角形都相似； （3）互为补角的两个角不相等； （4）如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等？ （5）你是高一学生吗？ 3、通过上述例子，请你回答：怎样说明一个命题为真命题？怎样说明一个命题为假命题？ 二、推出关系 1、一般地说，如果命题α成立可以推出命题β也成立，那么我们说由α可以推出β，并用记号α?β表示，读作“α推出β”。换句话说，α?β表示以α为条件，β为结论的命题是真命题。如果α成立，而β不成立，即α成立不能推出β成立，可记作α?β，即α?β表示以α为条件，β为结论的命题是假命题。 2、如果α?β，而且β?α，那么记作α?β，称α与β等价。 3、推出关系“?”是一种关系符号它满足传递性：若α?β，β?γ，则α?γ，请你再找出一个具 有传递性的关系符号。 4、请你证明命题“个位数是5的正整数能被5整除”，你发现证明过程和推出关系是否有着密切的联系呢？ 三、请同学们观察下列命题： （1）同位角相等，两直线平行； （2）两直线平行，同位角相等；

四种命题的形式及等价关系(一)

四种命题的形式及等价关系（一） 宋林荣 【学习目标】（1）正确理解四种命题的概念，会判断命题的真假； （2）正确理解四种命题之间的相互关系，能根据原命题准确地写出它的逆命题、否命题和逆否命题三种形式； （3）通过对四种命题之间关系的学习，让学生发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。 【学习重点】四种命题及其关系。 【学习过程】 一、回答问题： 1、什么叫做命题？什么叫做真命题和假命题？ 2、下列语句哪些是命题，哪些不是命题？如果是命题，那么，哪些命题是真命题和假 命题？为什么？ （1）个位数是5的正整数能被5整除； （2）凡是直角三角形都相似； （3）上课请不要讲话； （4）互为补角的两个角不相等； （5）如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等？ （6）你是高一学生吗？ 3、通过上述例子，请你回答：怎样说明一个命题为真命题？怎样说明一个命题为假命题？ 二、推出关系 1、一般地说，如果命题α成立可以推出命题β也成立，那么我们说由α可以推出β，并用记号α?β表示，读作“α推出β”。换句话说，α?β表示以α为条件，β为结论的命题是真命题。如果α成立，而β不成立，即α成立不能推出β成立，可记作α?β，即α?β表示以α为条件，β为结论的命题是假命题。

2、如果α?β，而且β?α，那么记作α?β，称α与β等价。 3、推出关系“?”是一种关系符号它满足传递性：若α?β，β?γ，则α?γ，请 你再找出一个具有传递性的关系符号。 4、请你证明命题“个位数是5的正整数能被5整除”，你发现证明过程和推出关系是否有着密切的联系呢？ 5、练习：课本第16页，练习1.4（1）1、2。 三、请同学们观察下列命题： （1）同位角相等，两直线平行； （2）两直线平行，同位角相等； （3）同位角不相等，两直线不行； （4）两直线不平行，同位角不相等。引导学生得出： 命题（1）与命题（2）、命题（1）与命题（3）中，命题（1）与命题（4）中的条件和结论有何关系？ 四、四种命题的形式 一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这样的两个命题叫做互逆命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做逆命题。一个命题的条件和结论分别是另一个命题条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做否命题。一个命题的条件和结论分别是另一个命题结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题。 注：1°交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；交换原命题条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题。 2°四种命题的相互关系：

§1.4.1 命题的形式及等价关系(1) 命题与推出关系、四种命题形式

二、四种命题的形式 §1.4.1命题的形式及等价关系（1） —命题与推出关系、四种命题形式 1．了解命题、推出关系及命题证明的意义； 2．知道常见数学命题的结构，掌握证明一些简单命题的真假的方法； 3．理解四种命题的形式及互相关系； 4．能写出一些简单命题的逆命题、否命题及逆否命题. 问1 什么是命题？如何判断命题的真假？ [练习]（P14例1）下列语句哪些是命题，哪些不是命题？如果是命题，那么它们是真命题还是假命题？ 为什么？ （1）个位数是5的自然数能被5整除； （2）凡直角三角形都相似； （3）上课请不要讲话； （4）互为补角的两个角不相等； （5）如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等； （6）你是高一学生吗？ （7）2 10x x ++>； （8）210x +>. 问2 通常一个命题由哪两个部分组成？ [例如]（1）对顶角相等. .

（2）等腰梯形的两条对角线相等. 如果一个梯形的两腰相等，那么它的两条对角线相等. [练习] 将下列命题改写为“如果p ，那么q ”的形式. （1）个位是5的整数能被5整除；_________________________________________________. （2）空集是任何集合的真子集； _________________________________________________. （3）凡直角三角形都相似. _________________________________________________. 问3 什么是推出关系（αβ?）？ 什么是等价关系？什么是推出关系的传递性？ 问4 写出四种命题形式，指出四种命题的真假关系？ 1、四种命题的构成形式 [例] [练习] 写出下列命题的逆命题、否命题、和逆否命题，并判断其真假. （1）如果0a =，那么0ab =； （2）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.

1.4(1)(2)命题的形式及等价关系

1.4（1）命题与推出关系 导学单 班级____________ 姓名____________ 学号______________ 一、学习目标： 理解推出关系，会判断命题的真假。 二、学习过程： 1、__________________________________叫做命题。 【说明】：通常用陈述句表述，“如果……，那么……”由题设和结论两部分。 2、 命题的类型：_____________________________。 3、练习： 例1 下列语句哪些不是命题, 哪些是命题? 1）3是15的约数 2）3是15的约数吗 3）上课请不要讲话 4）0.2是整数 5）个位数是5的自然数能被5整除 6）互为补角的两个角不相等 7)凡直角三角形都相似 例2 判断下列命题的真假，并说明理由 (1) 如果a ，b 都是奇数，那么积ab 也是奇数； (2) 若一元二次方程()2 00ax bx c a ++=≠有实根，则0ac <； 提醒：要证明一个命题是假命题，只要____________________________ 这在数学上称为举反例。而确定一个命题是真命题，就必须作出证明。

4、推出关系： ①“αβ?”的意义______________________________________________。 ②“αβ?/”的意义______________________________________________。 ③“αβ?”的意义：_______________________________________。 【注意】1、推出关系满足传递性：αβ?，βγ?，那么αγ? 2、通常在解题中代数式的变形必须是等价的，如求解方程 例3 用符号,,???表示下列事件的推出关系： 1）:0m α= :0mn β= ______________ 2）:αx = :β()0x x R >∈ ______________ 3）:α两直线平行 :β内错角相等 ______________ 4）:αx y > :β22x y x y +>+ _______________ 5）:α四边形ABCD 是平行四边形 :β四边形ABCD 是矩形 ________ 例4 写出与“一元二次方程()200ax bx c a ++=≠有一正根，一负根” 等 价的命题：

命题的形式及等价关系

1.4 命题的形式及等价关系 基础热身： (1)命题“若2 1x <，则11x -<<”的逆否命题是（ ） .A 若2x ≥1，则x ≥1或x ≤1- .B 若11x -<<，则21x < .C 若1x >或1x <-，则21x > .D 若x ≥1或x ≤1-，则2x ≥1 (2)命题“若函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在定义域内是减函数,则log 20a <”的逆否命题是（ ） A 、若log 20a ≥，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内不是减函数 B 、若log 20a <，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内不是减函数 C 、若log 20a ≥，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内是减函数 D 、若log 20a <，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内是减函数 知识梳理： 1.命题：可以判断真假的语句叫做命题。 说明:(1)命题通常用陈述句表述。 数学中的定义、公理、定理等, 都是数学命题。 在数学中，一般只研究数学命题。 (2)命题一般地由条件、结论两部分组成。 命题常写成“如果α，那么β”的形式。 对于这样的命题，用“如果”开始的部分是条件，用“那么”开始的部分是结论。 注意: α、β也都是命题，可能是简单命题，也可能是复合命题。 简单命题：不含逻辑联结词的命题。 复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题。 逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词。 如：(1)3是12的约数. (2)3是12的约数且3是15的约数. 2．判断命题的真假： 正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题。 （1） 确定一个命题是真命题必须作出证明； ①直接证明；②间接证明（同一法、反证法） 直接法：即从已知条件出发，依据所学过的公理，定理，公式进行逐步推理，从而得出结论。 反证法：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立。

高中数学高一第一学期1.4命题的形式及等价关系-导学案-沪教版(2019)

命题的形式及等价关系 【学习目标】 1．知道命题、真命题、假命题，理解命题的推出关系、等价关系，推出关系的传递性； 2．在探究命题推出关系的过程中，体会举反例判断假命题的要领，初步会用推出关系的传递性证明一个命题是真命题的方法； 3．能写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题，会分析四种命题的相互关系 【学习重难点】 重点： 理解命题的推出关系。 难点： 会判断四种命题的真假 【学习过程】 一、知识梳理 1．命题的定义 用语言、符号或式子表达的，可以 叫做命题. 注意：（1）命题定义的要点：一、能判断真假 二、陈述句 （2）科学测想也是命题，因为随着科学技术的发展与时间的推移，总能确定它的真假.例如“在2012年前，将有人类登上火星”等 2．命题的推出关系： 一般地说，如果命题α成立可以推出命题β成立，那么就说由α可以推出β，并用记号“βα?”，读作“α推出β”。 也就是说，βα?表示以α为______、β为______的命题是______命题。 如果α成立不能推出β成立，记为“βα?/”，读作“α推不出β”。换言之，βα? /表示以α为条件、β为结论的命题是______命题。 3．命题的真假 判断为真的语句叫做 ，判断为假的语句叫做 . 注意：（1）一个命题要么是真命题，要么是假命题。 （2）要判断一个命题是真命题，需进行论证，而要判断一个命题是假命题，只需 即可

4．命题的结构 命题的一般形式为“若p则q”,也可写成“如果p那么q”，“只要p就有q”等形式。P 叫做，q叫。 注意（1）命题的一般形式为“若p则q”,但也有命题不是这种标准形式，我们可以通过分析命题的条件和结论，将命题改写为“若p则q”的形式。 （2）改写命题前后的真假性不发生变化。 （3）在将有大前提的命题改写为“若p则q”的形式时，大前提应保持不变，改后仍作为大前提，不要写在条件p中。 5．四种命题及其关系 （1）四种命题 一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用p和q分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是 原命题：若p则q(p?q)； 逆命题：； 否命题：； 逆否命题：。 注意：（1）否命题要用时否定原命题的条件和结论，要掌握好它与命题的否定的区别（2）写否命题及逆否命题时要将原命题的关键词语改写成它的否定词语 （3）若原命题含有大前提，则在写原命题的其它三种命题时，要把大前提写在前面，仍作为大前提 （2）四种命题间的关系 （3）四种命题的真假性 ①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性． ②两个命题为逆命题或否命题，它们的真假性没有关系． ③四种命题为真命题的个数只能是0,2,4个