等腰三角形的性质
5. 等腰三角形的底角一定是锐角. ( )
6. 已知如图, △ABC 是等边三角形, D 是BC 中点 DE ⊥AC 于E, 则 EC =
AC
( )
7. 等腰三角形的底角不一定是锐角. ( )
8. 如图△ABC 中AB =AC, D 、E 分别为AC 、BC 上的点, 则DB >
DE ( )
9. 等腰三角形底边上的高上任意一点到两腰的距离相等 ( ) 10. 等腰三角形两腰上中线的交点到底边的两端点距离相等.( ) 11. 如图, D 是等腰三角形底边BC 上一点. 则 ∠ADC >∠
C. ( )
12. 等腰三角形一腰上中线把它周长分为15cm 和6cm 两部分,则这个三角形三边长为10c
13. 等腰三角形中, 两个角的比为1:4, 则顶角的度数为20°. ( )
14. 等边三角形的边长为a, 则高为 a. ( ) 15. 等腰三角形的顶角可以是直角、锐角或钝角. ( )
16. 如图, 已知: △ABC 的AB =AC, D 是AB 上一点, DE ⊥BC, E 是垂足, ED 的延长线交F, 则AD =
AF.
17. 如图B 、D 、E 、C 在同一直线上, 若AB =AC, ∠1=∠2, 则 ∠3=∠4. ( )
18. 等边三角形ABC 中, D 是AC 中点, E 为BC 延长线上一点, 且 DB =DE. 则 CE =CD
( )
19. 已知, △ABC 中, AB =AC, ∠B =75°, CD ⊥AB 于D, 则CD =
AB
( )
20. 等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等.
( )
21. 如图, B 、D 、E 、C 在同一直线上, 若AB =AC, ∠3=∠4, 则∠1=∠2.
( )
22. 因为等腰三角形的底角一定是锐角, 所以等腰三角形是锐角三角形. ( ) 23. 如图, △ABC 和△CDE 都是等边三角形, 则 AD =
BE. ( )
24. 如图, 已知: 四边形ABCD 中, ∠ABC =∠ADC, AB =AD, 则 CB =
CD. ( )
25. 如果三角形一边上的中线等于这边的一半, 这个三角形不一定是直角三角形. ( 26. 等腰三角形角平分线、高线、中线在同一条直线上 ( )
27. 已知如图, △ABC 中, ∠B >∠C, 点D 是AC 上的一点, 且AD =AB, 则∠DBC =
(∠
( )
28. 如果等腰三角形的顶角为50°, 那么一腰上的高与底边的夹角是40°.
( )
29. 已知△ABC 中, AB =AC, D 在AB 上且∠DCB =∠A, 则 CD ⊥AB ( )
30. 等腰三角形两腰上的中线相等. ( )
31. 已知△ABC 中, AB =AC, CD ⊥AB 于D, 则 ∠DCB =∠A
( )
32. 如图, AB =AE, ∠B =∠E, CB =ED. F 是CD 的中点, 则AF ⊥
CD. ( )
33. 等腰三角形顶角的顶点到两腰中线的距离相等. ( ) 34. 已知: 如图在△ABC 中, AB =AC, D 是BC 延长线上一点, E 是AB 上一点, DE 交AC 于点F , 则 AE <AF ( )
35. 在△ABC 中, AB ≤AC, 延长CB 到D, 使BD =BA, 连结AD, 则 AD <
AC.
36. 已知: 如图, D 为等腰直角△ABC 的直角边BC 延长线上一点, 且CD =CE, BE 延长线
AD
37. 在△ABC 中, ∠A =2∠B, 则BC <2AC.
38.已知, 如图 AD=DC, DE平分∠ADB, F是AC中点, 则DE⊥
DF. ( )
39.已知如图: △ABC和△ADE都是等腰三角形且顶角∠BAC=∠DAE, 则BD=
CE ( )
40.如图, 已知: △ABC中, ∠ABC=2∠C, AH⊥BC, 垂足为H延长AB至D, 使
BD=BH,DH的延长线交AC于点M, 则MA=MC
( )
二.单选题 (本大题共 60 分)
1.在△ABC中, AB=AC, ∠A=40°, 点O在三角形内且∠OBC=∠OCA, 则
∠BOC的度数是 [ ]
A.110°
B.35°
C.140°
D.55°
2.如图在△ABC中, AB=AC, ∠A=40°, P为△ABC内的一点, 且∠PBC=∠PCA, 则∠BPC的度数是
A.115°
B.110°
C.120°
D.130°
3.等腰三角形一边长5cm, 另一边长是3cm, 它的周长是 [ ]
A.11cm
B.13cm
C.11cm或13cm
D.以上都不对
4.等腰三角形的一个角等于20°, 则它的另外两个角等于 [ ]
A.20°、140°
B.20°、140°或80°、80°
C.80°、80°
D.20°、80°
5.已知等腰三角形的一边长为4, 另一边长为9, 则它的周长为
[ ]
A.17
B.17或22
C.22
D.13 6. 一个等腰三角形的一个内角为70°, 则它一腰上的高与底边所夹的角的度数为
[ ] A.55° B.55°或70° C.20° D.20°或35°
7. 等腰三角形顶角的度数是底角度数的4倍, 那么,它的底角的度数是
[ ]
A.120°
B.30°
C.60°
D.90°
8. 有一个角是50°的等腰三角形其顶角的度数为 [ ] A.80° B.50° C.80°或
50° D.65.5°
9. 等腰三角形周长12厘米,其中一边长2厘米,其他两边分别长 [ ]
A .2厘米,8厘米
B .5厘米,5厘米
C .5厘米,5厘米或2厘米,8厘米
D .无法确定
10. 等腰三角形两边分别为35厘米和22厘米, 则它的第三边长为 [ ] A.35cm B.22cm C.35cm 或22cm D.15cm
11. 已知等腰三角形的两个角之比为1∶2, 则顶角的度数是 [ ] A.90° B.36° C.36°或90° D.120° 12. 等腰三角形两边长是9cm 和15cm, 则它的周长是 [ ]
A.24cm
B.33cm
C.39cm
D.33cm 或39cm
13. 等边三角形ABC 中, CD 是∠ACB 的平分线, 过D 作BC 的平行线交AC 于E, 若△ABC 的边长 是a, 则△ADE 的周长是 [ ]
A.2a
B. a
C. a
D. a
14. 如果等腰三角形的周长为21, 其中一边长为5, 那么此等腰三角形底边长是 [ ]A.11 B.5 C.5或11 D.8
15. 已知等腰三角形中一个角为50°, 则这个三角形腰上的高和底边夹角的度数为 [
A.25°
B.40°
C.25°或40°
D.以上答案都不对
16. 在等腰△ABC 中, AB 的长是AC 的二倍, 三角形的周长是40, 则AB 的长等于. [ A.20 B.16 C.20或16 D.10
17. 等腰三角形的底边为a, 顶角是底角的4倍. 则腰上的高为 [ ] A.a B.
18. 已知等腰三角形的一边长为5, 另一边长为6, 则它的周长为 [ ]
A.16
B.16或17
C.17
D.11 19. 等腰三角形底边长为5厘米,一腰上的中线把三角形分成两部分,其周长之差为3厘它的腰长为 A .8厘米 B .5厘米
C .2厘米或8厘米
D .2厘米
20. 等腰三角形有一个角是45°, 那么这个三角形是 [ ] A.锐角三角形 B.直角三角形 D.不唯一确定
21. 如图△ABC 中, AB =AC, 且EB =BD =DC =CF, ∠A =40°, 则∠EDF 的度数为
[ ]
A.70°
B.110°
C.55°
D.60°
22. 已知等腰三角形的一个角为20°, 则它的另外两个角分别为
[ ]
A.20°,140°
B.80°,80°
C.20°,140°或80°,80°
D.20°,80° 23. 如果一个等腰三角形的一腰是顶角平分线的2倍, 那么这个三角形必有一个内角等于
[ ]
A.45°
B.60°
C.90°
D.120°
24. 如图, 在Rt △ABC 中, ∠C=90°, ∠DBC=26°,且AD=DB,则∠A=
[ ]
A.26°
B.32 °
C.64°
D.52°
25. 一个等腰三角形的角平分线、高线和中线的总数最多有
A .3条
B .5条
C .7条
D .9条
26. 至少有两边相等的三角形是 [ ]
A .等腰三角形
B .等边三角形
C .等腰直角三角形
D .锐角三角形 27. 已知:等腰三角形的一边等于4, 一边等于8, 则这个等腰三角形的周长是 [ ]
A.20
B.16
C.20或16
D.无法确定
28. 如图, AB =AC, FD ⊥BC 于D, DE ⊥AB 于E, 若∠AFD =155°, 那么∠EDF 的度数是
A.45°
B.55°
C.65°
D.75°
29. 一条等腰三角形底边上的高等于底边的一半, 那么这个等腰三角形的顶角 [ ]
A.小于60°
B.等于60°
C.等于90°
D.大于90°
30. 等边三角形的高、中线、角平分线共有________条.[ ] A.9 B.7 C.6 D.3 31. 等腰三角形有一个角是,则它顶角的大小为 [ ]
A .
B .
C .
D .
32. 等腰三角形的两边长为25cm 和12cm, 那么它的第三条边长为
[ ] A.25cm B.12cm C.25cm 或12cm D.37cm
33. 在等腰△ABC 中,AB =AC ,BD 平分∠ABC ,并交AC 于D .如果∠CDB =
,那么∠A 等于 [ ] A . B . C .
D .
34. 若一个等腰三角形的两边分别是3cm 和6cm, 则它的周长为 [ ]
A.15cm
B.12cm
C.12cm 或15cm
D.18cm
35. 如果一个三角形的三条高线的交点恰是这个三角形的一个顶点,那么此三角形 [ ] A .是锐角三角形
B .是钝角三角形
C .是直角三角形
D .形状不确定
36. 等腰三角形两边是9cm 和15cm, 则它的周长是 [ ] A.24cm B.33cm C.39cm D.33cm 或39cm
37. 等腰Rt △ABC 中, ∠C =90° D 是BC 上一点, 且AD =2CD 则 ∠ADB 的度数为 [ A.30° B.60° C.120° D.150°
38. 已知等腰三角形的一边等于4, 一边等于8, 则这个等腰三角形的周长是 [ ]
A.20
B.16
C.20或16
D.无法确定
39. 已知:如图, △ABD 和△ACE 均为等边三角形, 那么△ADC ≌△AEB 的根据是
[ ]
A.边,边,边
B.边,角,边
C.角,边,角
D.角,角,边 40. 一个等腰三角形底边上的高等于底边的一半, 那么这个等腰三角形的顶角 [ ]
A.小于60°
B.等于
60° C.等于90° D.大于90° 41. 在△ABC 中, AB =AC, ∠A+ ∠B =130°, 则∠A 、∠B 、∠C 的度数是
A.∠A =50°、∠B =80°、∠C =80°
B.∠A =50°、∠B =80°、∠C =50°
C.∠A =50°、∠B =50°、∠C =80°
D.∠A =80°、∠B =50°、∠C =50°
42. 等腰三角形顶角是84°,则一腰上的高与底边所成角的度数是 [ ] A.42° B.6° C.36° D.46°
43. 如图: AB =AC, ∠BAD =30°AD ⊥BC 且AD =AE, 则∠EDC =
[ ]
A.10°
B.12.5°
C.15°
D.20°
44. 等腰三角形一腰上的高与底所夹的角等于 [ ] A.顶角 B.顶角的 C.顶角的2倍 D.底角的 45. 等腰三角形边长分别是3和6,这个三角形的周长是
[ ]
A .9
B .12
C .15
D .12或15
46. 用一条长为12cm 的铁丝做等腰三角形, 底和腰的长必须是正整数, 若底的长为xcm, 则腰的长y 可为 [ ]
A.5cm
B.5cm 或4cm
C.4cm
D.-5cm
47. 一个等腰三角形底边为8cm, 从底边上一个端点引腰的中线, 分三角形周长为两部 分,
其中一部分比另一部分长2cm, 则腰长为 [ ]
A.6cm
B.10cm
C.6cm 或10cm
D.以上都不对
48. 一个等腰但非等边三角形, 它的角平分线, 中线和高线的条数共为 [ ]
A.6
B.7
C.8
D.9
49. 已知:如图在△ABC 中, AB=AC, CD 为∠ACB 平分线,DE ∥BC,∠A=40°, 则∠EDC 的度数是
A.30°
B.36°
C.35°
D.54°
50. 等腰三角形两个角的比为4∶1, 则顶角为 [ ]
A.120°
B.20°
C.120°或20°
D.150°
51. 如图已知: AB =AC =BD, 那么∠1与∠2之间的关系满足
A.∠1=2∠2
B.2∠1+∠2=180°
C.∠1+3∠2=180°
D.3∠1-∠2=180°
52. 若等腰三角形的两边a 、b 满足,则此等腰三角形的周长为
[ ]
A .7
B .5
C .8
D .7或5
53. 等腰△ABC 中,两腰上的中线BE 、CD 交于O ,则下列判断中错误的是
[ ]
A .△ADC ≌△AE
B B .△DB
C ≌△ECB
C .△ABE ≌△BCD
D . △BOD ≌△COE
54. 从等腰三角形底边上任一点,分别作两腰的平行线所成的四边形的周长等于此等腰
三角形的
[ ]
A .周长
B .周长一半
C .一腰长
D .两腰长的和
55. 等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于 [ ]
A .顶角
B .顶角的一半
C .顶角的2倍
D .底角的一半
56. 如下图,△ABC 中,AB=AC ,点D 、E 、F 分别在BC 、AB 、AC 上,且DE=BE ,DF=DC ,
若∠A=,则∠EDF=
A .
B .
C .
D .
57. 等腰三角形底边长为5厘米, 一腰上的中线把三角形分成两部分, 其周长之差为3厘它的腰长为 [ ]
A.2厘米
B.8厘米
C.2厘米或8厘米
D.9厘米
58. 如图△ABC 中, AB =AC, ∠A =50°, P 是△ABC 内的一点, 且∠PBC =∠PCA, 则∠BP
的度数为
A.115°
B.100°
C.130°
D.140°
59. 如图, △ABC 中, AB =AC, CD ⊥AB, 则关于∠A 正确的等式是
[ ]
A.∠A =∠B
B.∠A =∠ACB
C.∠A =2∠ACB
D.∠A =2∠DCB
60. 如图在△ABC 中, AB =AC, BC =BD, AD =DE =EB, 则∠A 的度数是
[ ]
A.30°
B.36°
C.45°
D.54°
三.填空题 (本大题共 30 分)
1. 周长为20cm 的等腰三角形中, 底边长为acm, 则一腰长为________cm .
2. 如图△ABC 中, AB =AC, ∠A =40°, ∠AED =∠F, 则∠F =___________度.
3. 已知等腰三角形有两条边的长分别是3cm 和7cm, 那么这个三角形的周长等于_______
4. 已知如图, A 、D 、C 在一条直线上AB =BD =CD, ∠C =40°, 则∠ABD =______度.
5. 等腰三角形的周长为36, 腰比底长3, 则此等腰三角形的腰长为________, 底边长为___
6. 等腰三角形的底边为12cm,且腰是底的, 则三角形的周长是_______cm
7. 已知等腰三角形的一个底角等于顶角的4倍, 则这个等腰三角形的顶角为_______度.8. 等腰三角形底边中线与________和________重合.
9. 已知
: 如图: △ABC 中, AB =BC, ∠B =90°, AD ∥BC, ∠D =70°, 则∠EFA =____度
10. 已知:等腰三角形的一个角为100°, 则另两个角的度数为________.
11. △ABC 中,如果AB=AC ,点M 是BC 边中点,那么M 到______两边的距离相等,A _两点的距离相等。
12. 有一个角是100°的等腰三角形其余两角为_____________度.
13. 等腰三角形的每个底角都比顶角大30°则它的顶角为________________度.
14. 如图, 若△ABC 的∠ABC =50°, ∠ACB =70°, 延长CB 至点D, 使BD =BA, 延长BC
使CE =CA, 连结AD 、AE, 则∠DAE 的度数为__________度.
15. 已知:等腰三角形一个底角的补角是100°, 那么这个等腰三角形的底角为_______ ,顶角为______.
16. 如图, 已知: AD =DB =BC, ∠C =25°, 则∠ADE 的度数为______度. 17. 已知:如图所示,点D 在BC 的延长线上,∠ACD =,AB =AC ,则△ABC 的形状为________,根据是________.
18. 如果等腰三角形的两边为3、6,那么它的周长为______________________. 19. 如图△ABC 中, AB =AC, AD ⊥BC 于D, 且AB+AC+BC =50cm, 而AB+BD+AD =40cm,
则AD =__________cm.
20. 等腰三角形的顶角等于一个底角的4倍时, 则顶角为_________度.
21. 如图, ∠MPN =25°, 又PA =AB =BC =CD, 则∠DCM =_________度.
22. 在等腰△ABC 中, AB =AC, AD ⊥BC 于D, 且AB+AC+BC =50cm, 而AB+BD+AD =40cm, 则___________cm.
23. 如图已知∠ACB =90°, BD =BC, AE =AC, 则∠DCE =__________度.24. 等腰三角形腰上的高与底边的夹角α和顶角β之间的关系是______.
25. 等腰三角形ABC 中,过腰AB 的中点D 作它的垂线(点A 、C 在垂线的异侧)腰AC 于点E ,连结BE ,若AD +AC=24,BD +BC=20,则△EBC 的周长为_______
26. 已知:如图△ABC 中AB=AC, 且EB=BD=DC=CF, ∠A=40°, 则∠EDF 的度数为
___
27. 已知:在△ABC 中,∠A=20°,D 为AB 上一点,AD=DC,且
∠ACD ∶∠BCD=2∶3,则∠ABC=_______.
28. 已知:如图△ABC 中, AB=AC, 且AD=BD, AC=CD, 则∠B 的度数是.
29. 等腰三角形三个内角与顶角的外角的和等于260°, 则此三角形各角的度数为_________.
30. 如下图,ED 是△ABC 中AC 边上的中垂线,BC=7.△ABE 的周长为12,则AB=________.
四.计算题 (本大题共 5 分)
1. 已知:如图, △ABC 是等边三角形, D 是BC 的中点, DF ⊥AC 于F, 延长DF 到E, 使EF=DF, 连结AE,
求:∠E 的度数.
2. 已知:P,Q 是△ABC 的边BC 上两点, 并且BP=PQ=QC=AP=AQ .
求∠BAC .
3. 如图:△ABC 中, AB=AC, AD ⊥BC, AD=AE, ∠BAD=30°, 求∠EDC 的度数.
4. 等腰三角形顶角80°, 求一腰上的高与底边所夹的角的度数.
5. 已知:如图, AB=AC, F 为AC 上一点, FD ⊥BC 于D, DE ⊥AB 于E,
若∠AFD=155°.求∠EDF 的度数.
六.证明题 (本大题共 15 分)
1. 已知:如图,△ABC 和△CDE 都是等边三角形. 求证:
AD=BE
2. 已知:如图:CA=CB, DA=DB 求证:(1)∠1=∠2.
(2)CD⊥AB.
3.已知:如图延长△ABC的BC边到D, 使CD=AC, CF是△ACD的中线, CE是△ABC的角平分线.
求证:CE⊥
CF
4.
5.如图:△ABC中, AB=AC, PB=PC.求证:AD⊥
BC 6.已知:如图,AD平分∠BAC,EF垂直平分AD交BC延长线于F,连结AF.
求证:∠B=∠CAF.
7.已知:在△ABC中, ∠C=90°, 在AB上截取AE=AC, BD=BC
求证:∠DCE=45°
8.求证:等腰三角形两底角的平分线相等.
9.已知:如图,C是线段AB上的一点, 分别以AC和BC为边, 在线段AB的同侧作等边△求证:
AN=MB
10.求证:等腰三角形两腰上的高的交点到两底角顶点的距离相等.
11.已知:如图,等边三角形ABC中,D是AC的中点,E为BC 长线上一点,CE=CD,DM⊥求证:M是BE的中点.
13.如图所示,△ABC中,∠CAB的平分线AD⊥BD于D,DE∥CA交AB于点E.
求证:AE=EB.
14.
15.已知:如图, △ABC中, ∠ABC=2∠ACB, AD⊥BC于D.
求证:DC=AB+BD.
33 ——答案
一.判断题 (本大题共 40 分)
1. T
2. T
3. T
4. T
5. T
6. T
7. F
8. T
9. T
10. T
11. T
12. T
13. F
14. T
15. T
16. T
17. T
18. T
19. T
20. T
21. T
22. F
23. T
24. T
25. F 26. F
27. T
28. F
29. T
30. T
31. T
32. T
33. T
34. T
35. T
36. T
37. T
38. T
39. T
40. F
二.单选题 (本大题共 60 分)
1. A
2. B
3. C
4. B
5. C
6. D
7. B
8. C
9. B
10. C
11. C
12. D
13. C
14. B
15. C
16. B
17. B
18. B
19. A
20. D
21. A
22. C
23. D
24. B
25. C
26. A
27. A
28. C
29. C
30. D
31. D
32. A
33. B
34. A
35. C
36. D
37. C
38. A
39. B
40. C
41. D
42. A
43. C
44. B 45. C
46. B
47. C
48. B
49. C
50. C
51. D
52. A
53. C
54. D
55. B
56. C
57. B
58. A
59. D
60. C
三.填空题 (本大题共 30 分) 1.
2. 35
3. 17
4. 20
5. 13,10
6. 30
7. 20
8.底边上高,顶角平分线
9. 115
10.40°,40°
11. AB、AC,B和C
12. 40
13. 40
14. 120
15.80°, 20°
16. 75
17.等边三角形,有一个角为的等腰三角形是等边三角形.
18. 15
19. 15
20. 120
21. 100
22. 15
23. 45
24.β=2α
25. 28
26.70°
27.110°
28. 36°
29.100°,40°,40°
30. 5
四.计算题 (本大题共 5 分)
1.解:连结AD
∵△ABC是等边三角形, D是BC的中点
∴∠1=∠2=30°
又∵DF⊥AC于F, DF=EF
∴∠AFD=∠AFE, AF=AF
∴△AFD≌△AFE (SAS) ∴∠2=∠3=30°, AD=AE
∴∠E=60°
2.解:∵BP=PQ=QC=AP=AQ ∴∠1=∠2=∠5=60°
∴∠B=∠3 ∠5=2∠B ∠4=∠C
∴∠B=∠C=30°
∴∠BAC=120°
3.解:∵AB=AC, ∴∠B=∠C
∵AD BC, ∴AD又是顶角∠BAC的平分线
∵∠BAD=30°∴∠CAD=∠BAD=30°
∴∠EDC=90°-75° =15°
4.已知:△ABC中, AB=AC, ∠A=80°, CD是一腰AB上的高求:∠BCD的度数
解:∵AB=AC, ∠B=∠BCA
又∠A=80° , CD⊥AB
∴∠B=∠BCA=50°∠BDC=90°
故∠BCD=180°-50°-90°=40°
5.解:∵AB=AC ∴∠B=∠C
又∵DE⊥AB, DF⊥BC
∴∠B+∠1=∠EDF+∠1=90°
∴∠B=∠EDF=∠C
又∵∠C=155°-90°=65°
∴∠EDF=65°
六.证明题 (本大题共 15 分)
1.证明:
∵△ABC和△CDE都是等边三角形∴AC=BC, ∵∠ACB=∠DCE
∴∠ACD=∠BCE
∴DC=EC
∴△ADC≌△BEC (SAS)
∴
AD=BE
2.证明:(1)
在△ACD和△BCD中
∵AC=BC AD=DB CD=CD
∴△ACD≌△BCD(SSS)
∴∠1=∠2
(2)在△CAB中,
∵AC=BC, ∴△ABC是等腰三角形
∵∠1=∠2 ∴CD平分∠ACB
∴CD AB(等腰三角形的三线合一).
3.证明:
在△CDA中,
∵CD=CA, CF是AD的中线
∴CF又是∠ACD的平分线(等腰三角形, 底边中线, 顶角平分线) ∴∠ACF=∠DCF
又CE是△ABC的角平分线
∴∠2+∠3=∠1+∠4=Rt∠∴CE⊥
CF
4.证明:
∵AB=AC, ∴∠B=∠C
∵CD⊥AB于D, ∴∠ADC=90°
∴∠A=30°
∴∠B=∠C=75°
5.证明:
在△ABP和△ACP中
∵AB=AC, BP=PC, AP=AP
∴△ABP≌△ACP (SSS)
∴∠BAP=∠CAP
∴AD⊥BC(等腰三角形顶角平分线又是底边的垂线
)
6.略证:如图,AF=DF
∴∠FAD=∠1
∵AD平分∠BAC
∴∠2=∠3
∵∠B=∠1-∠3
∠FAC=∠FAD-∠2
∴∠B=∠
FAC
7.证明:
∵AE=AC
∴△ACE是等腰三角形
∴∠1+∠2=∠4
又∵BD=BC
∴∠2+∠3=∠CDB
∵∠ACB=90°
即∠1+∠2+∠3=90°(1)
又∵在△CDE中, ∠2+∠4+∠CDE=180°(2)
(2)-(1) 得∠4+∠CDE-∠1-∠3=90°,
∠2-∠3+∠2+∠3=90°
2∠2=90°∴∠2=45°
即∠DCE=45°
8.已知:如图, 在△ABC中, AB=AC, BE, CF是三角形ABC的角平分线.
第1课时等边三角形的性质和判定(课堂训练) 一.选择题(共8小题) 1.如图,一个等边三角形纸片,剪去一个角后得到一个四边形,则图中∠α+∠β的度数是()A. 180°B. 220°C. 240°D. 300° 2.下列说法正确的是() A.等腰三角形的两条高相等C.有一个角是60°的锐角三角形是等边三角形 B.等腰三角形一定是锐角三角形D.三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等3.在△ABC中,①若AB=BC=CA,则△ABC为等边三角形;②若∠A=∠B=∠C,则△ABC 为等边三角形;③有两个角都是60°的三角形是等边三角形;④一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.上述结论中正确的有() A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 4.如图,CD是Rt△ABC斜边AB上的高,将△BCD沿CD折叠,B点恰好落在AB的中点E处,则∠A等于()A.25° B. 30°C.45°D. 60° 5.如图,已知D、E、F分别是等边△ABC的边AB、BC、A C上的点, 且DE⊥BC、EF⊥AC、FD⊥AB,则下列结论不成立的是() A.△DEF是等边三角形B.△ADF≌△BED≌△CFE C.DE=AB D.S△ABC=3S△DEF 6.如图,在△ABC中,D、E在BC上,且BD=DE=AD=AE=EC,则∠BAC的度数是()A. 30°B. 45°C. 120°D. 15° 7.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,BC=6cm,AB的垂直平分线交BC于点M,交AB于点E,AC的垂直平分线交BC于点N,交AC于点F,则MN的长为()A. 4cm B. 3cm C. 2cm D. 1cm 第1 题第4题第5题第7题8.已知∠AOB=30°,点P在∠AOB内部,P1与P关于OB对称,P2与P关于OA对称,则P1,O,P2三点所构成的三角形是() A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.等边三角形二.填空题(共10小题) 9.已知等腰△ABC中,AB=AC,∠B=60°,则∠A=_________度. 10.△ABC中,∠A=∠B=60°,且AB=10cm,则BC=_________cm. 11.在△ABC中,∠A=∠B=∠C,则△ABC是_________三角形. 12.如图,将两个完全相同的含有30°角的三角板拼接在一起,则拼接后的△ABD的形状是_________ 13.如图,M、N是△ABC的边BC上的两点,且BM=MN=NC=AM=AN.则∠BAN= _________.
上海市2019届高三数学一轮复习典型题专项训练 复数与行列式 一、复数 1、(2018上海高考)已知复数z 满足117i z i +=-()(i 是虚数单位),则∣z ∣= 2、(2017上海高考)已知复数z 满足3 0z z +=,则||z = 3、(2016上海高考)设i i Z 23+= ,期中i 为虚数单位,则Im z =__________________ 4、(宝山区2018高三上期末)若i z i 23-+= (其中i 为虚数单位),则Imz = . 5、(崇明区2018高三上期末(一模))若复数z 满足iz=1+i (i 为虚数单位),则z= . 6、(奉贤区2018高三上期末)复数 i +12 的虚部是________. 7、(静安区2018高三二模)若复数z 满足(1)2z i i -=(i 是虚数单位),则||z = 8、(普陀区2018高三二模)已知i 为虚数单位,若复数2(i)i a +为正实数,则实数a 的值为……………………………( ) )A (2 ()B 1 ()C 0 ()D 1- 9、(青浦区2018高三二模)若复数z 满足2315i z -=+(i 是虚数单位),则=z _____________. 10、(青浦区2018高三上期末)已知复数i 2i z =+(i 为虚数单位),则z z ?= . 11、(松江、闵行区2018高三二模)设m ∈R ,若复数(1i)(1i)m ++在复平面内对应的点位于实轴 上,则m = . 12、(松江区2018高三上期末)若i -2是关于x 的方程02 =++q px x 的一个根(其中i 为虚数单位,R q p ∈,),则q 的值为 A. 5- B. 5 C. 3- D. 3 13、(杨浦区2018高三上期末)在复平面内,复数2i z i -= 对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 14、(浦东新区2018高三二模)已知方程210x px -+=的两虚根为1x 、2x ,若12||1x x -=,则实数p 的值为( ) A. 3± B. 5± C. 3,5 D. 3±,5± 15、(浦东新区2018高三二模)在复数运算中下列三个式子是正确的:(1)1212||||||z z z z +≤+;(2)1212||||||z z z z ?=?;(3)123123()()z z z z z z ??=??,相应的在向量运算中,下列式子:(1)
E D C B A 等腰三角形的判定和性质练习 1.在△ABC 中,AB =AC ,若∠B =56o,则∠C =__________. 2. 若等腰三角形的一个角是50°,则这个等腰三角形的底角为_____________. 3. 若等腰三角形的两边长分别为x cm 和(2x -6)cm ,且周长为17cm ,则第 三边的长为________. 4. 如图,在△ABC 中,AB =AC ,AD ⊥BC 于D ,BE ⊥AC 于E ,若∠CAD =25°,则∠ABE = ,若BC =6,则CD = . 5.△ABC 中,AB =AC ,∠ABC =36°,D .E 是BC 上的点,∠BAD =∠DAE =∠EAC ,则图中等腰三角形有______个 6.等腰三角形一腰上的高与底边夹角为20°,则其顶角的大小为___________. 7.如图,∠ABC =50°,∠ACB =80°,延长CB 到D ,使BD =AB ,延长BC 到E ,使CE =CA ,连接AD .AE ,则∠DAE =_______. 8.如下图,△MNP 中, ∠P =60°,MN =NP ,MQ ⊥PN ,垂足为Q ,延 长MN 至G ,取NG =NQ ,若△MNP 的周长为12,MQ =a ,则△MGQ 周长是 . 9.△ABC 中,∠C =∠B ,D .E 分别是AB .AC 上的点,AE =2cm ,且DE ∥BC ,则AD =______ < 10.如图,∠AOB 是一个钢架且∠AOB =10°,为了使钢架更加牢固,需在内部添加一些 钢管EF ,FG ,GH ,…,添加的钢管长度都与OE 相等,则最多能添加这样的钢管______ 根. 11.如图△ABC 中,AB =AC ,AD 、BE 是△ABC 的高,它们相交于H ,且AE=BE . 求证:AH =2BD . @ 12.△ABC 为非等腰三角形,分别以AB 、AC 为腰向△ABC 外作等腰直角三角形ABD 和等腰直角三角形ACE ,且∠DAB =∠EAC =90°.求证:(1)BE =CD ;(2)BE ⊥CD . 》 13.如图,点D 、E 在ABC ?的边BC 上,AB AC =,AD AE =. 求证:BD CE = 14.如图,AB AC =,30BAD ∠=,且AD AE =.求EDC ∠的度数. — E D C B A P Q M N G
行列式的例题 1.已知方程 01125208 42111111154115 21211111154113 21111113 23232=+ + -x x x x x x x x x ,求x 。 解:由行列式的加法性质,原方程可化为 32321 12520842111111154118 4211111x x x x x x + 3 232 2781941321111112793184 211111x x x x x x = = =(2-1)(3-1)(3-2)(x-1)(x-2)(x-3)=0 得x=1或x=2或x=3。 2.计算:(化三角形法) 3.拆行列法 42031 2852 51873 121D =
行列式的计算 (四)升级法(加边法) 112122 1212 ,0 n n n n n n a b a a a a b a D b b b a a a b ++= ≠+ 1 21121221 21 1000n n n n n n n a a a a b a a D a a b a a a a b ++=++ 解:1) 1 21121 1 00(2,31)10010 0n i n a a a b r r i n b b --=+-- 121 (1).n i n i i a b b b b ==+∑ 111 11100 (1,21)00 n i n i i i i n a a a b c b c i n b b =+++ =+∑ 行列式的计算 (二)箭形行列式 0121112 2,0,1,2,3. n n i n n a b b b c a D a i n c a c a +=≠= 解:把所有的第列的倍加到(1,,)i n = i i c a -1i +第1列,得: 11201()n i i n n i i b c D a a a a a +==-∑
等腰三角形的性质精选试题 一.选择题(共21小题) 1.(2009?呼和浩特)在等腰△ABC中,AB=AC,中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分,则这个等腰三角形的底边长为() A.7B.11 C.7或11 D.7或10 2.(2006?仙桃)在△ABC中,已知AB=AC,DE垂直平分AC,∠A=50°,则∠DCB的度数是() A.15°B.30°C.50°D.65° 3.(2006?威海)如图,在△ABC中,∠ACB=100°,AC=AE,BC=BD,则∠DCE的度数为() A.20°B.25°C.30°D.40° 4.(2003?青海)若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半,则此三角形的底角等于()A.75°B.15°C.75°或15°D.30° 5.(2006?普陀区二模)等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于() A.顶角的一半B.底角的一半 C.90°减去顶角的一半D.90°减去底角的一半 6.在等腰△ABC中,AB=AC=9,BC=6,DE是AC的垂直平分线,交AB、AC于点D、E,则△BDC的周长是() A.6B.9C.12 D.15 7.如图,AB=AC,∠C=70°,AB垂直平分线EF交AC于点D,则∠DBC的度数为() A.10°B.15°C.20°D.30°
8.如图,点D、E在△ABC的BC边上,AB=AC,AD=AE,则图中全等三角形共有() A.0对B.1对C.2对D.3对 9.如图,在△ABC中,∠B=∠C,点F为AC上一点,FD⊥BC于D,过D点作DE⊥AB于E.若∠AFD=158°,则∠EDF的度数为() A.90°B.80°C.68°D.60° 10.已知△ABC是等腰三角形,且∠A=40°,那么∠ACB的外角的度数是() A. 110°B. 140°C. 110°或140°D.以上都不对 11.如图已知∠BAC=100°,AB=AC,AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E,则∠DAE=() A.40°B.30°C.20°D.10° 12.如图,钢架中∠A=16°,焊上等长的钢条P1P2,P2P3,P3P4…来加固钢架,若AP1=P1P2,则这样的钢条至多需要()根. A.4B.5C.6D.7 13.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的角平分线,AD=8cm,BC=6cm,点E、F是AD上的两点,则图中阴影部分的面积是() A.48 B.24 C.12 D.6
等腰三角形的性质练习题及答案 若按边(角)是否相等分类,两边(角)相等的三角形是等腰三角形.等腰三角形是一类特殊三角形,它的两底角相等;等腰三角形是轴对称图形,底边上的高、中线、顶角的平分线互相重合(简称三线合一),特别地,等边三角形的各边相等,各角都为60°.解与等腰三角形相关的问题,全等三角形依然是重要的工具,但更多的是思考运用等腰三角形的特殊性质,这些性质为角度的计算、线段相等的证明、直线位置关系的证明等问题提供了新的理论依据,因此,重视全等三角形的运用,又不囿于全等三角形,善于运用等腰三角形的性质探求新的解题途径. 例题求解 【例1】如图AOB是一钢架,且∠AOB=10°,为使钢架更加坚固,需在其内部添加一些钢管EF、FG、GH……添加的钢管长度都与OE相等,则最多能添加这样的钢管根.(山东省聊城市中考题) 思路点拨通过角度的计算,确定添加钢管数的最大值. 注角是几何中最活跃的元素,与角相关的知识异常丰富,在三角形中,角又有独特的等量关系,如三角形内角和定理、内外角关系定理.等腰三角形两底角相等,利用这些定理可以找到角与角之间的“和”、“差”、“倍”、“分”关系. 随着知识的丰富,我们分析问题、解决问题的方法和工具随之增加,因此,在使用什么方法解决问题时,需要综合与选择. 【例2】如图,若AB=AC,BG=BH,AK=KG,则∠BAC的度数为( ) A.30° D.32° C 36° D.40° (武汉市选拔赛试题) 思路点拨图中有很多相关的角,用∠BAC的代数式表示这些角,建立关于∠BAC的方程. 【例3】如图,在△ABC中,已知∠A=90°,AB=AC,D为AC上一点,AE⊥BD于E,延长AE交BC于F,问:当点D满足什么条件时,∠ADB=∠CDF,请说明理由. (安徽省竞赛题改编题) 思路点拨本例是探索条件的问题,可先假定结论成立,逐步逆推过去,找到相应的条件,若∠ADB=∠CDF,这一结论如何用?因∠ADB与∠CDF对应的三角形不全等,故需构造全等三角形,而作顶角的平分线或底边上的高(中线)是等腰三角形中一条常用辅助线.
等腰三角形的性质 一.判断题 (本大题共 40 分) 1. 等腰三角形一点到底边两端点距离相等, 则这点和这个等腰三角形的顶点及底边 中点 在同一直线上. ( ) 2. 已知如图AB =AC, OB =OC, 则∠ABO =∠ACO ( ) 3. 如图已知△ABC 中AB =AC, AD 平分△ABC 的外角∠EAC, 则AD ∥BC. ( ) 4. ( ) 5. 等腰三角形的底角一定是锐角. ( ) 6. 已知如图, △ABC 是等边三角形, D 是BC 中点 DE ⊥AC 于E, 则 EC =AC ( ) 7. 等腰三角形的底角不一定是锐角. ( ) 8. 如图△ABC 中AB =AC, D 、E 分别为AC 、BC 上的点, 则DB >DE ( ) 9. 等腰三角形底边上的高上任意一点到两腰的距离相等 ( ) 10. 等腰三角形两腰上中线的交点到底边的两端点距离相等.( ) 11. 如图, D 是等腰三角形底边BC 上一点. 则 ∠ADC >∠C. ( ) 12. 等腰三角形一腰上中线把它周长分为15cm 和6cm 两部分,则这个三角形三边长为10cm 、10cm 、1cm ( ) 13. 等腰三角形中, 两个角的比为1:4, 则顶角的度数为20°. ( ) 14. 等边三角形的边长为a, 则高为a. ( ) 15. 等腰三角形的顶角可以是直角、锐角或钝角. ( ) 16. 如图, 已知: △ABC 的AB =AC, D 是AB 上一点, DE ⊥BC, E 是垂足, ED 的延长线交CA 的 延长线于F, 则AD =AF. ( ) 17. 如图B 、D 、E 、C 在同一直线上, 若AB =AC, ∠1=∠2, 则 ∠3=∠4. ( ) 18. 等边三角形ABC 中, D 是AC 中点, E 为BC 延长线上一点, 且 DB =DE. 则 CE =CD ( ) 19. 已知, △ABC 中, AB =AC, ∠B =75°, CD ⊥AB 于D, 则CD =AB ( ) 20. 等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等. ( ) 21. 如图, B 、D 、E 、C 在同一直线上, 若AB =AC, ∠3=∠4, 则∠1=∠2. ( ) 22. 因为等腰三角形的底角一定是锐角, 所以等腰三角形是锐角三角形. ( ) 23. 如图, △ABC 和△CDE 都是等边三角形, 则 AD =BE. ( ) 24. 如图, 已知: 四边形ABCD 中, ∠ABC =∠ADC, AB =AD, 则 CB =CD. ( ) 25. 如果三角形一边上的中线等于这边的一半, 这个三角形不一定是直角三角形. ( ) 26. 等腰三角形角平分线、高线、中线在同一条直线上 ( ) 27. 已知如图, △ABC 中, ∠B >∠C, 点D 是AC 上的一点, 且AD =AB, 则∠DBC =(∠ABC-∠C) ( ) 28. 如果等腰三角形的顶角为50°, 那么一腰上的高与底边的夹角是40°. ( )
等腰三角形的性质 一、基础能力平台 1.选择题: (1)等腰三角形的底角与相邻外角的关系是() A.底角大于相邻外角B.底角小于相邻外角 C.底角大于或等于相邻外角D.底角小于或等于相邻外角 (2)等腰三角形的一个内角等于100°,则另两个内角的度数分别为() A.40°,40°B.100°,20° C.50°,50°D.40°,40°或100°,20° (3)等腰三角形中的一个外角等于100°,则这个三角形的三个内角分别为()A.50°,50°,80°B.80°,80°,20° C.100°,100°,20°D.50°,50°,80°或80°,80°,20° (4)如果一个等腰三角形的一个底角比顶角大15°,那么顶角为() A.45°B.40°C.55°D.50° (5)等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于() A.顶角B.顶角的一半 C.顶角的2倍D.底角的一半 (6)已知:如图1所示,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,则∠A 的度数为() A.30°B.45°C.36°D.72°
(1)(2)(3)2.填空题: (1)如图2所示,在△ABC中,①因为AB=AC,所以∠________=∠______; ②因为AB=AC,∠1=∠2,所以BD=_____,_____⊥______. (2)若等腰三角形的顶角与一个底角之和为110°,则顶角的度数为______. (3)已知等腰三角形的一个角是80°,则顶角为______. (4)在等腰三角形ABC中,一腰上的高是1cm,这条高与底边的夹角是450,则△ABC 的面积为________. (5)如图3所示,O为△ABC内一点,且OA=OB=OC,∠ABO=20°,∠BCO=30°,则∠CAO=______. 3.等腰三角形两个内角的度数比为4:1,求其各个角的度数. 4.如图,已知线段a和c,用圆规和直尺作等腰三角形ABC,使等腰三角形△ABC?以a和c为两边,这样的三角形能作几个? c a
大学-----行列式经典例题 例1计算元素为a ij = | i -j |的n 阶行列式. 解 方法1 由题设知,11a =0,121a =,1,1,n a n =- ,故 01110212 n n n D n n --= -- 1,1,,2 i i r r i n n --=-= 01 1111 111 n ---- 1,,1 j n c c j n +=-= 121 1 021 (1)2(1)020 1 n n n n n n ------=---- 其中第一步用的是从最后一行起,逐行减前一行.第二步用的每列加第n 列. 方法2 01110 212 0n n n D n n --= -- 1 1,2,,111 1111 120 i i r r i n n n +-=----=-- 1 2,,100120 1231 j c c j n n n n +=---= --- =12(1)2(1) n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式:
= 行列式 即为y 2前的系数. 于是 = 所以 的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D n = 121 100010n n n x x a a a x a ----+ 解: 方法1 递推法 按第1列展开,有 D n = x D 1-n +(-1) 1 +n a n 1 1111n x x x ----- = x D 1-n + a n 由于D 1= x + a 1,221 1x D a x a -=+,于是D n = x D 1-n + a n =x (x D 2-n +a 1-n )+ a n =x 2 D 2-n + a 1-n x + a n = = x 1 -n D 1+ a 2x 2 -n + + a 1-n x + a n =111n n n n x a x a x a --++++ 方法2 第2列的x 倍,第3列的x 2 倍, ,第n 列的x 1 -n 倍分别加到第1列上 12 c xc n D += 21121 10010000n n n n x x x a xa a a x a -----++
等腰三角形的性质同步练习题 一.选择题(共8小题) 1.如图,在△中,,点D、E在上,连接、,如果只添加一个条件使∠∠,则添加的条件不能为() A.B.C.D. 2.等腰三角形的一个角是80°,则它顶角的度数是() A.80°B.80°或20°C.80°或50°D.20° 3.已知实数x,y满足,则以x,y的值为两边长的等腰三角形的周长是 () A.20或16B. 20 C. 16 D.以上答案均不对 4.如图,在△中,,∠40°, 为∠的平分线,则∠的度数是() A.60°B.70°C.75°D.80° 5.已知等腰三角形的两边长分别是3和5,则该三角形的周长是() A. 8 B. 9 C.10或12D.11或13 6.如图,给出下列四组条件: △≌△的条件共有() 其中,能使ABC DEF A.1组 B.2组C.3组 D.4组 7.在等腰△中,,中线将这个三角形的周长分为15和12两个部分, 则这个等腰三角形的底边长为() A. 7 B.11 C.7或11D.7或10 8.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,则顶角的度数为() A.60°B.120°C.60°或150°D.60°或120° 二.填空题(共10小题) 9.已知等腰三角形的一个内角为80°,则另两个角的度数是. 10.如图,已知∥,,∠68°,则∠. 第10题 第11题 第12题 第13题 11.如图,在△中,,△的外角∠130°,则∠°. 12.如图,∥,,交于点F,∠110°,则∠°. 13.如图,在△中,,6,⊥于D,则. 14.如图,在△中,,∠32°,则∠°. 第14题 第15题 第16题 第17题 第18题 15.如图,与交于点O,=,=,∠50°,∠B=30°,则∠D的度数为. 16.如图,在△中,,平分∠,∠36°,则∠的度数为. 17.如图,在△中,,点D为边的中点,∠20°,则∠. 18.如图,在△中,,∠80°,E,F,P分别是,,边上一点,且,,则∠度.三.解答题(共5小题) 19.已知:如图,在等腰△中,,O是底边上的中点,⊥于D,⊥于E.求证:. 20.如图,在△中,,点D是的中点,点E在上.
第二讲 行列式综合训练 第一部分 例2.1 计算行列式,其中对角线上元素都是a ,未写出的元素都是零. n D = 1 1 a a 解 这道题可以用多种方法进行求解,充分应用了行列式的各种性质. 方法1 利用性质,将行列式化为上三角行列式. n D 11c n c a -?= 101 a a a a - =11()n a a a -- =n a -2n a - 方法2 仍然是利用性质,将行列式化为上三角行列式. n D n 1 r r -= 111 a a a --1n c c += 1 1 1 a a a +-=n a -2 n a - 方法3 利用展开定理,将行列式化成对角行列式. n D 1c 展开 =1 n a a a -+1 1 001 (1) 0n n a a +-- 而 1 1 001 (1) 0n n a a +--最后列展开 = 21 (1)n +-2 n a a -=2 n a -- n D =1n a a -?-2n a -=n a -2n a - 方法4 利用公式 A O O B =A B . 将最后一行逐行换到第2行,共换了2n -次;将最后一列逐列换到第2列,也共换了2n -次.
n D =2(2) (1)n --11a a a = 11a a 2 n a a -=n a -2 n a - 方法5 利用公式 A O O B =A B . 例2.2 计算n 阶行列式: 1121221 2 n n n n n a b a a a a b a D a a a b ++= + (120n b b b ≠) 解 采用升阶(或加边)法.该行列式的各行含有共同的元素12,,,n a a a ,可在保持 原行列式值不变的情况下,增加一行一列,适当选择所增行(或列)的元素,使得下一步化简后出现大量的零元素. 12112122 1 2 1000 n n n n n n a a a a b a a D a a b a a a a b +=++升阶 213111 n r r r r r r +---= 12121100 1001 n n a a a b b b --- 11 12,,1 j j c c b j n -+ =+= 1 1121 1 12100000000 n n a a a a a b b b b b + ++ =1 12 1 (1)n n n a a b b b b b + ++ 这个题的特殊情形是 12121 2 n n n n a x a a a a x a D a a a x ++= +=1 1 ()n n i i x x a -=+∑ 可作为公式记下来. 例2.3 计算n 阶行列式: 12111 1111 1 1n n a a D a ++= +
等腰三角形典型例题练习 一.选择题(共2小题) 1.如图,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,若BC=5cm,BD=3cm,则点D到AB的距离为() A.5cm B.3cm C.2cm D.不能确定 2.如图,已知C是线段AB上的任意一点(端点除外),分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边△ACD 和等边△BCE,连接AE交CD于M,连接BD交CE于N.给出以下三个结论: ①AE=BD ②CN=CM ③MN∥AB 其中正确结论的个数是() A.0B.1C.2D.3 二.填空题(共1小题) 3.如图,在正三角形ABC中,D,E,F分别是BC,AC,AB上的点,DE⊥AC,EF⊥AB,FD⊥BC,则△DEF 的面积与△ABC的面积之比等于_________. 三.解答题(共15小题) 4.在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,E、F分别为AB、AC上的点,且∠EDF+∠EAF=180°,求证 DE=DF. 5.在△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O,过点O作DE∥BC,分别交AB、AC于点D、E.请说明DE=BD+EC.
6.>已知:如图,D是△ABC的BC边上的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,且DE=DF.请判断△ABC 是什么三角形?并说明理由. 7.如图,△ABC是等边三角形,BD是AC边上的高,延长BC至E,使CE=CD.连接DE. (1)∠E等于多少度? (2)△DBE是什么三角形?为什么? 8.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高,∠A=30°.求证:AB=4BD. 9.如图,△ABC中,AB=AC,点D、E分别在AB、AC的延长线上,且BD=CE,DE与BC相交于点F.求证:DF=EF. 10.已知等腰直角三角形ABC,BC是斜边.∠B的角平分线交AC于D,过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E, 求证:BD=2CE.
八年级数学等腰三角形的性质专项练习题及答案若按边(角)是否相等分类,两边(角)相等的三角形是等腰三角形.等腰三角形是一类特殊三角形,它的两底角相等;等腰三角形是轴对称图形,底边上的高、中线、顶角的平分线互相重合(简称三线合一),特别地,等边三角形的各边相等,各角都为60°.解与等腰三角形相关的问题,全等三角形依然是重要的工具,但更多的是思考运用等腰三角形的特殊性质,这些性质为角度的计算、线段相等的证明、直线位置关系的证明等问题提供了新的理论依据,因此,重视全等三角形的运用,又不囿于全等三角形,善于运用等腰三角形的性质探求新的解题途径. 例题求解 【例1】如图AOB是一钢架,且∠AOB=10°,为使钢架更加坚固,需在其内部添加一些钢管EF、FG、GH……添加的钢管长度都与OE相等,则最多能添加这样的钢管根.(山东省聊城市中考题) 思路点拨通过角度的计算,确定添加钢管数的最大值. 注角是几何中最活跃的元素,与角相关的知识异常丰富,在三角形中,角又有独特的等量关系,如三角形内角和定理、内外角关系定理.等腰三角形两底角相等,利用这些定理可以找到角与角之间的“和”、“差”、“倍”、“分”关系. 随着知识的丰富,我们分析问题、解决问题的方法和工具随之增加,因此,在使用什么方法解决问题时,需要综合与选择.
【例2】如图,若AB=AC ,BG =BH ,AK=KG ,则∠BAC 的度数为( ) A .30° D .32° C 36° D .40° (武汉市选拔赛试题) 思路点拨 图中有很多相关的角,用∠BAC 的代数式表示这些角,建立关于∠BAC 的方程. 【例3】 如图,在△ABC 中,已知∠A=90°,AB=AC ,D 为AC 上一点,AE ⊥BD 于E ,延长AE 交BC 于F ,问:当点D 满足什么条件时,∠ADB =∠CDF ,请说明理由. (安徽省竞赛题改编题) 思路点拨 本例是探索条件的问题,可先假定结论成立,逐步逆推过去,找到相应的条件,若∠ADB =∠CDF ,这一结论如何用?因∠ADB 与∠CDF 对应的三角形不全等,故需构造全等三角形,而作顶角的平分线或底边上的高(中线)是等腰三角形中一条常用辅助线. 【例4】如图,在△ABC 中,AC =BC ,∠ACB=90°,D 是AC 上一点,AE ⊥BD 交BD 的延长线于E ,且AE= 2 1BD .求证:BD 是∠ABC 的角平分线. (北京市竞赛题)
第二讲 行列式综合训练 第一部分 例2.1 计算行列式,其中对角线上元素都是a ,未写出的元素都是零. n D = 11 a a O 解 这道题可以用多种方法进行求解,充分应用了行列式的各种性质. 方法1 利用性质,将行列式化为上三角行列式. n D 11c n c a -?= 101 a a a a - L O =11()n a a a -- =n a -2n a - 方法2 仍然是利用性质,将行列式化为上三角行列式. n D n 1 r r -= 111 a a a --O 1n c c += 1 1 1 a a a +-O =n a -2 n a - 方法3 利用展开定理,将行列式化成对角行列式. n D 1c 展开 =1 n a a a -O +1 1 001 0(1) 0n n a a +--L O O 而 1 1 01 0(1) 0n n a a +--L O O 最后列展开 =21 (1)n +-2 n a a -O =2 n a -- n D =1n a a -?-2n a -=n a -2n a - 方法4 利用公式 A O O B =A B . 将最后一行逐行换到第2行,共换了2n -次;将最后一列逐列换到第2列,也共换了2n -次.
n D =2(2) (1)n --11a a a O = 11a a 2 n a a -O =n a -2 n a - 方法5 利用公式 A O O B =A B . 例2.2 计算n 阶行列式: 1121221 2 n n n n n a b a a a a b a D a a a b ++= +L L M M M L (120n b b b ≠L ) 解 采用升阶(或加边)法.该行列式的各行含有共同的元素12,,,n a a a L ,可在保持 原行列式值不变的情况下,增加一行一列,适当选择所增行(或列)的元素,使得下一步化简后出现大量的零元素. 121121 221 2 1000 n n n n n n a a a a b a a D a a b a a a a b +=++L L L M M M M L 升阶 213111 n r r r r r r +---= L 12121100100100n n a a a b b b ---L L L M M M M L 11 12,,1 j j c c b j n -+ =+= L 111211 1 2100 00000 n n a a a a a b b b b b + ++L L L L M M M M L =1121(1)n n n a a b b b b b + ++L L 这个题的特殊情形是 12121 2 n n n n a x a a a a x a D a a a x ++= +L L M M M L =1 1 ()n n i i x x a -=+∑ 可作为公式记下来. 例2.3 计算n 阶行列式:
七年级下等腰三角形的性质 顶新九义校:代小燕教学目标 1、知识目标: (1)掌握等腰三角形的两底角相等,底边上的高、中线及顶角平分线三线合一的性质,并能运用它们进行有关的论证和计算。 (2) 理解等腰三角形和等边三角形性质定理之间的联系。 2、能力目标: (1)、定理的引入培养学生对命题的抽象概括能力,加强发散思维的训练。 (2)、定理的证明培养大胆创新、敢于求异、勇于探索的精神和能力,形成良好的思维品质。 (3)、定理的应用,培养学生进行独立思考,提高独立解决问题的能力。 3、情感目标: 在教学过程中,引导学生进行规律的再发现,激发学生的审美情感,经历与现实生活有关的实际问题的探索,让学生认识到数学对于外部世界的完善与和谐,让他们有效地获取真知,发展理性。 教学重点 等腰三角形的性质定理及其证明。 教学难点 用文字语言叙述的几何命题的证明及辅助线的添加。
教学过程 一、前置诊断,开辟道路 1、什么样的三角形叫做等腰三角形? 2、让学生指出等腰三角形的腰、底边、顶角、底角。。 二、构设悬念,创设情境 1、一般三角形有哪些性质? 2、等腰三角形是特殊的三角形,它除了具有一般三角形的性质外,还有那些特殊性质呢? 三、目标导向,引入新课 本节课我们一起学习——等腰三角形的性质。 (板书课题,了解本节课的学习内容) 四、设问质疑,探究尝试 请同学们拿出准备好的等腰三角形,与教师一起按照要求,把两腰叠在一起。 [问题]通过观察,你发现了什么结论? [结论]等腰三角形的两个底角相等。 板书学生发现的结论。 [辨疑]由观察发现的命题不一定是真命题,需要证明,怎样证明? [问题] 1、此命题的题设、结论分别是什么? 2、怎样写出已知、求证? 3、怎样证明? [电脑演示1]
2 矩阵 矩阵是学好线性代数这门课程的基础,而对于初学者来讲,对于矩阵的理解是尤为的重要;许多学生在最初的学习过程中感觉矩阵很难,这也是因为对矩阵所表示的内涵模糊的缘故。其实当我们把矩阵与我们的实际生产经济活动相联系的时候,我们才会发现,原来用矩阵来表示这些“繁琐”的事物来是多么的奇妙!于是当我们对矩阵产生无比的兴奋时,那么一切问题都会变得那么的简单! 知识要点解析 2.1.1 矩阵的概念 1.矩阵的定义 由m×n 个数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij ==组成的m 行n 列的矩形数表 ?? ?? ? ? ? ??=mn m m n n a a a a a a a a a A 2 1 22221 11211 称为m×n 矩阵,记为n m ij a A ?=)( 2.特殊矩阵 (1)方阵:行数与列数相等的矩阵; (2)上(下)三角阵:主对角线以下(上)的元素全为零的方阵称为上(下) 三角阵; (3)对角阵:主对角线以外的元素全为零的方阵; (4)数量矩阵:主对角线上元素相同的对角阵; (5)单位矩阵:主对角线上元素全是1的对角阵,记为E ; (6)零矩阵:元素全为零的矩阵。 3.矩阵的相等 设mn ij mn ij b B a A )(; )(==
若 ),,2,1;,,2,1(n j m i b a ij ij ===,则称A 与B 相等,记为A=B 。 2.1.2 矩阵的运算 1.加法 (1)定义:设mn ij mn ij b B A A )(,)(==,则mn ij ij b a B A C )(+=+= (2)运算规律 ① A+B=B+A ; ②(A+B )+C =A +(B+C ) ③ A+O=A ④ A +(-A )=0, –A 是A 的负矩阵 2.数与矩阵的乘法 (1)定义:设,)(mn ij a A =k 为常数,则mn ij ka kA )(= (2)运算规律 ① K (A+B ) =KA+KB , ② (K+L )A =KA+LA , ③ (KL ) A = K (LA ) 3.矩阵的乘法 (1)定义:设.)(,)(np ij mn ij b B a A ==则 ,)(mp ij C C AB ==其中∑== n k kj ik ij b a C 1 (2)运算规律 ①)()(BC A C AB =;②AC AB C B A +=+)( ③CA BA A C B +=+)( (3)方阵的幂 ①定义:A n ij a )(=,则K k A A A = ②运算规律:n m n m A A A +=?;mn n m A A =)( (4)矩阵乘法与幂运算与数的运算不同之处。 ①BA AB ≠ ②;00,0===B A AB 或不能推出 ③k k k B A AB ?≠)( 4.矩阵的转置
一.选择题(共4小题) 1.如图,在等腰三角形ABC中,顶角∠A=36°.若BD平分∠ABC,则图中等腰三角形有() A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2.已知,如图,在△ABC中,OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB,过O作DE∥BC,分别交AB、AC于点D、E,若BD+CE=5,则线段DE的长为() A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3.如图所示.△ABC中,∠B=∠C,D在BC上,∠BAD=50°,AE=AD,则∠EDC的度数为() A. 15°B. 25°C. 30°D. 50° 4.如图,△ABC的面积为1cm2,AP垂直∠B的平分线BP于P,则△PBC的面积为()A. 0.4 cm2 B. 0.5 cm2 C. 0.6 cm2 D. 0.7 cm2 二.填空题(共4小题) 5.如图,已知AD=DB,CD⊥AB,E是BC延长线上一点,∠A=36°,则∠DCE=_________ 6.如图,在△ABC中,∠BAC=135°,AD⊥BC于D,且AB+BD=DC,那么∠C=_________ 7.如图,在△ABC中,OB、OC分别是∠B和∠C的角平分线,过点O作EF∥BC,交AB、AC于点E、F,如果AB=10,AC=8,那么△AEF的周长为_________ 8.如图,D是△ABC中BC边上一点,AB=AC=BD,则∠1和∠2的关系是_________ 三.解答题(共12小题) 9.如图,在△ABC中,BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,DE过O且平行于BC,已知△ADE的周长为10cm,BC的长为5cm,求△ABC的周长. 10.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC. (1)若AC=BC,∠B:∠C=2:1,试写出图中的所有等腰三角形,并给予证明. (2)若AB+BD=AC,求∠B:∠C的比值.
等腰三角形性质 【基础知识精讲】 等腰三角形是一种特殊的三角形,是我们重点研究的几种三角形之一.它具有一些特殊性质: 1.两个底角相等(简写为“等边对等角”) 2.底边的中线、高及顶角平分线三线合一. 3.等边三角形各内角都等于60°. 利用这些性质,可以解决有关三角形的边、角的证明及计算问题,也可以利用性质来进行有关线段、角的证明及计算问题. 【重难点解析】 本节重难点均在对等腰三角形性质的掌握与灵活应用上,利用性质,结合三角形有关知识及全等三角形判定及性质解决相关问题是本节研究的重点. 例1 求证:等腰三角形两腰的中线相等. 已知△ABC 中AB=AC ,BD 、CE 为中线,求证BD=CE. 分析 要证BD=CE ,可考虑证△ABD ≌△ACE ,而∠A 为公共角, AB=AC ,所以只需证明AD=AE 即能达到证明目的. 证 ∵AB=AC, AE=EB, AD=DC ∴AE=AD.在△ABD 和△ACE 中,AB=AC ,∠A=∠A AD=AE ∴△ABD ≌△ACE ∴BD=CE. 例2 等腰三角形一个外角为100°,求三内角度数. 分析 本题利用三角形内角和及等腰三角形性质等边对等角,但要注意本题中外角是顶角的外角,还是底角的外角,在两种不同位置时,求得的结果不一样,本题有两解. 解 ∵等腰三角形 ∴两底角相等,设顶角为x ,底角为y ,则x+2y=180° (1)当顶角的外角为100°时,顶角的外角等于两底角之和 ∴2y=100°求得? ???=?=5080y x (2)当底角的外角为100°时,底角y=180°-100°=80°求得???? =?=8020y x
线性代数知识点总结 1 行列式 (一)行列式概念和性质 1、逆序数:所有的逆序的总数 2、行列式定义:不同行不同列元素乘积代数和 3、行列式性质:(用于化简行列式) (1)行列互换(转置),行列式的值不变 (2)两行(列)互换,行列式变号 (3)提公因式:行列式的某一行(列)的所有元素都乘以同一数k,等于用数k 乘此行列式 (4)拆列分配:行列式中如果某一行(列)的元素都是两组数之和,那么这个行列式就等于两个行列式之和。 (5)一行(列)乘k加到另一行(列),行列式的值不变。 (6)两行成比例,行列式的值为0。 (二)重要行列式 4、上(下)三角(主对角线)行列式的值等于主对角线元素的乘积 5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 6、Laplace展开式:(A是m阶矩阵,B是n阶矩阵),则
7、n阶(n≥2)德蒙德行列式 数学归纳法证明 ★8、对角线的元素为a,其余元素为b的行列式的值: (三)按行(列)展开 9、按行展开定理: (1)任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值(2)行列式中某一行(列)各个元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和等于0 (四)行列式公式 10、行列式七大公式:
(1)|kA|=k n|A| (2)|AB|=|A|·|B| (3)|A T|=|A| (4)|A-1|=|A|-1 (5)|A*|=|A|n-1 (6)若A的特征值λ1、λ2、……λn,则 (7)若A与B相似,则|A|=|B| (五)克莱姆法则 11、克莱姆法则: (1)非齐次线性方程组的系数行列式不为0,那么方程为唯一解 (2)如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解,则它的系数行列式必为0 (3)若齐次线性方程组的系数行列式不为0,则齐次线性方程组只有0解;如果方程组有非零解,那么必有D=0。 2 矩阵 (一)矩阵的运算 1、矩阵乘法注意事项: (1)矩阵乘法要求前列后行一致; (2)矩阵乘法不满足交换律;(因式分解的公式对矩阵不适用,但若B=E,O,A-1,A*,f(A)时,可以用交换律)