正弦函数的连续小波变换

1．偶函数：对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都满足f(x)=f(-x) 则称该函数f(x)为偶函数。

对偶：两个图形，如果一个可以从另一个把其中的元素和运算替换为对偶的元素和运算而达到，就称为对偶的。

共轭：两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭

2．卷积：我懂

3．正弦函数的连续小波变换

程序：

>> t=linspace(1,71,700);s=cos(t);sizes=size(s);save y;

>> wavemenu

调用小波工具箱后，点击一维连续小波变换【Continuous Wavelet 1-D】

然后执行【File】-【Load Signal】来装载该信号

选用合理的小波函数及染色模式后，分析结果为：

正弦函数余弦函数的图像(附答案)

正弦函数、余弦函数的图象 [学习目标] 1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系． 知识点一 正弦曲线 正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的图象叫正弦曲线． 利用几何法作正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象的过程如下： ①作直角坐标系，并在直角坐标系y 轴的左侧画单位圆，如图所示． ②把单位圆分成12等份(等份越多，画出的图象越精确)．过单位圆上的各分点作x 轴的垂线，可以得到对应于0，π6，π3，π 2，…，2π等角的正弦线． ③找横坐标：把x 轴上从0到2π(2π≈6.28)这一段分成12等份． ④平移：把角x 的正弦线向右平移，使它的起点与x 轴上的点x 重合． ⑤连线：用光滑的曲线将这些正弦线的终点依次从左到右连接起来，即得y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象． 在精度要求不太高时，y ＝sin x ，x ∈[0,2π]可以通过找出(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π 2，－1)， (2π，0)五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可得正弦函数的简图． 思考 在所给的坐标系中如何画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象？如何得到y ＝sin x ，x ∈R 的图象？ 答案 y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象(借助五点法得)如下： 只要将函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π)的图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象． 知识点二 余弦曲线 余弦函数y ＝cos x (x ∈R )的图象叫余弦曲线．

两角和与差的三角函数教案

两角和与差的三角函数 班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________ 一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．) 1．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值为( ) A ．1 B ．－1 C.12 D ．－12 解析：将已知两式化为sin α＋sin β＝－sin γ，cos α＋cos β＝－cos γ.两式平方相加，有cos(α－β)＝－12 . 答案：D 2．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝( ) A.12 B ．2 C ．－12 D ．－2 解析：由已知得 5 sin(α＋φ)＝－ 5 ????其中tan φ＝1 2，即有 sin(α＋φ)＝－1，所以α＋φ＝2k π－π2，α＝2k π－π2－φ，所以tan α＝tan(－π 2 －φ)＝cot φ＝2. 答案：B 3. 3－ sin70° 2－cos 210° ＝( ) A.12 B.22 C ．2 D.32 解析：3－ sin70°2－cos 2 10°＝3－ sin70°2－ 1＋cos20°2＝2(3－cos20°)3－cos20° ＝2. 答案：C 4．(2011·南通)已知sin x －sin y ＝－23，cos x －cos y ＝2 3，且x 、y 为锐角，则tan(x －y )的值 是( ) A.214 5 B ．－2145 C ．±2145 D ．±51428

解析：∵sin x －sin y ＝－23，cos x －cos y ＝2 3，两式相加得：sin x ＋cos x ＝sin y ＋cos y ，∴sin2x ＝sin2y .又∵x 、y 均为锐角，∴2x ＝π－2y ，∴x ＋y ＝π2，∴由cos x －cos y ＝2 3，得sin y －cos y ＝2 3 ，∴2sin ????y －π4＝23， ∴sin ????y －π4＝23 ， ∴cos ????2y －π2＝cos ????2????y －π4＝1－2sin 2????y －π4 ＝1－2×29＝59，∴sin2y ＝59 . 又∵sin y －cos y ＝23＞0，且y 为锐角，故π4＜y ＜π 2， ∴π 2 ＜2y ＜π， ∴cos2y ＝－1－sin 22y ＝－1－2581＝－569 ＝－2149 . ∴tan(x －y )＝tan ????π2－2y ＝cot2y ＝cos2y sin2y ＝－2149×95＝－214 5. 答案：B 5．(2011·西城)已知sin α＝35，且α∈????π2，π，那么sin2α cos 2α的值等于( ) A ．－3 4 B ．－3 2 C.34 D.32 解析：sin2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2sin αcos α＝2tan α. ∵sin α＝3 5 ，α∈????π2，π， ∴cos α＝－45，tan α＝－34，2tan α＝－3 2，选择B. 答案：B 6．(2011·合肥)已知角α在第一象限且cos α＝3 5，则1＋2cos ????2α－π 4sin ??? ?α＋π2＝( )

正弦型三角函数的图像-中等难度-习题

正弦型三角函数的图像 一、选择题（共12小题；共60分） 1. 函数的一条对称轴方程为 A. B. C. D. 2. 要得到函数的图象，只需将函数的图象 A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 3. 函数在区间中的简图如图所示，则函数的解析式可以是 A. B. C. D. 4. 已知函数的图象如图所示，，则 A. B. C. D. 5. 如果函数＋的图象关于点中心对称，那么的最小值为 A. B. C. D. 6. 已知函数，，则的单调递减区间是 A. B. C. ， D. ， 7. 函数的定义域是 A. B.

C. D. 8. 将函数的图象向左平移个周期后，所得图象对应的函数为 A. B. C. D. 9. 已知函数对任意实数有恒成立，且，则 实数的值为 A. B. C. 或 D. 10. 已知函数，若对任意的实数，总有，则 的最小值是 A. B. C. D. 11. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再将所得 的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是 A. B. C. D. 12. 函数的部分图象如图所示，如果且 ，则等于 A. B. C. D. 二、填空题（共5小题；共25分） 13. 函数（，）的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为 ．

14. 要得到的图象，可以将的图象向平移个单位长度． 15. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象至少向右平 移个单位长度． 16. 已知，，，是函数一个周期内图象上的四个点，如 图，点，为轴上的点，为图象上的最低点，为该函数图象的一个对称中心，点与点关于点对称，在轴上的投影为，则，的值分别为． 17. 若已知，函数在上单调递增，则的取值范围是． 三、解答题（共5小题；共65分） 18. 函数的图象向左平移个单位，得到的图象恰好关于直线对称，求 的最小值． 19. 已知函数的定义域为，最大值为，最小值为，求实数和 的值． 20. 已知函数的图象的一部分如图所示． （1）求的表达式； （2）试写出的对称轴方程． 21. 某同学用“五点法”画函数的图象，先列表，并填写了一些数据，如表： （1）请将表格填写完整，并画出函数在一个周期内的简图；

正弦函数、余弦函数的图像

正弦函数、余弦函数的图像 撰稿：游斌 修订：高一备课组 学生姓名：__________第___小组 一、学习目标，心中有数： 1、了解用正弦线作正弦函数的图像的方法；能通过适当的图形变换由正弦函数的图像得到余 弦函数的图像； 2、掌握用“五点法”作正弦函数、余弦函数的简图； 3、能用“五点法。”作正弦型和余弦型函数的简图。 二．自主学习，体验成功： （一）、知识梳理 形成体系 1、多媒体演示利用正弦线作正弦函数在[]π2,0上的图像 2、怎样可以得到R x x y ∈=,sin 的图像？ 因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数 []0,)1(2,2,sin ≠∈+∈=k Z k k k x x y 且ππ的图像与函数[]π2,0,sin ∈=x x y 的图像的形状完全一致，于是我们只要将函数[]π2,0,sin ∈=x x y 的图像向左、向右平行移动（每次π2单位长度），就可以得到R x x y ∈=,sin 的图像，正弦函数的图像叫做正弦曲线。 3、因为)2 sin( cos x x +=π ，而)2 sin( x y +=π 的图像可以由x y sin =的图像向左平移 2 π 得到，

所以x y cos =的图像也可以由x y sin =的图像向左平移 2 π 得到。 余弦函数的图像叫做余弦曲线。 4、观察正弦函数在[]π2,0上的图像，其中起关键作用的点有哪些？利用这些关键点作出正弦函数x y sin =在[]π2,0上的简图。 （1）列表： （2）在直角坐标系中描点、并用平滑曲线连接起来。 这种作图方法叫做“五点法”。 （二）、课前热身 自我检测 画出下列函数的简图： （1）x y sin 1+=，[]π2,0∈x （2）x y cos -=，[]π2,0∈x x y o

教案正弦型函数的图像和性质

教案 正弦型函数的图像和性质 1．,,A ω?的物理意义 当sin()y A x ω?=+，[0,)x ∈+∞（其中0A >，0ω>）表示一个振动量时，A 表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅，往复振动一次需要的时间2T π ω = 称为这个振动的周期，单位时间内往复振动的次数12f T ω π = = ，称为振动的频率。x ω?+称为相位，0x =时的相位?称为初相。 2．图象的变换 例 ： 画出函数3sin(2)3 y x π =+的简图。 解：函数的周期为22 T π π= =，先画出它在长度为一个周期内的闭区间上的简图，再 函数3sin(2)3 y x π =+ 的图象可看作由下面的方法得到的： ①sin y x =图象上所有点向左平移 3 π 个单位，得到sin()3y x π=+的图象上；②再把 图象上所点的横坐标缩短到原来的12，得到sin(2)3 y x π =+的图象；③再把图象上所有点 的纵坐标伸长到原来的3倍，得到3sin(2)3 y x π =+的图象。 x y O π 3 π- 6 π- 53 π 2π sin(3 y x π =+ sin(2)3 y x π =+ sin y x = 3sin(23 y x π =+

一般地，函数sin()y A x ω?=+，x R ∈的图象（其中0A >，0ω>）的图象，可看作由下面的方法得到： ①把正弦曲线上所有点向左（当0?>时）或向右（当0?<时）平行移动||?个单位长度； ②再把所得各点横坐标缩短（当1ω>时）或伸长（当01ω<<时）到原来的 1 ω 倍（纵坐标不变）； ③再把所得各点的纵坐标伸长（当1A >时）或缩短（当01A <<时）到原来的A 倍（横坐标不变）。 即先作相位变换，再作周期变换，再作振幅变换。 问题：以上步骤能否变换次序？ ∵3sin(2)3sin 2()36y x x π π=+ =+，所以，函数3sin(2)3 y x π =+的图象还可看作 由下面的方法得到的： ①sin y x =图象上所点的横坐标缩短到原来的 1 2 ，得到函数sin 2y x =的图象； ②再把函数sin 2y x =图象上所有点向左平移6 π 个单位，得到函数sin 2()6y x π=+的 图象； ③再把函数sin2()6y x π =+的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍，得到3sin 2() 6 y x π=+的图象。 3.实际应用 例1：已知函数sin()y A x ω?=+（0A >，0ω>）一个周期内的函数图象，如下图 所示，求函数的一个解析式。 又∵0A > ，∴A = 由图知 52632 T πππ=-= ∴2T π πω ==，∴2ω=， 又∵157()23612 πππ+=， ∴图象上最高点为7( 12 π ， ∴7)12π?=?+，即7sin()16π?+=，可取23 π?=-， 所以，函数的一个解析式为2)3 y x π =-． 2．由已知条件求解析式 例2： 已知函数cos()y A x ω?=+（0A >，0ω>，0?π<<） 的最小值是5-， 图x 3 3 π 56 π 3 O

三角函数图像变换小结(修订版)

★三角函数图像变换小结★ 相位变换： ①()sin sin()0y x y x ??=→=+> 将sin y x =图像沿x 轴向左平移?个单位 ②()sin sin()0y x y x ??=→=+< 将sin y x =图像沿x 轴向右平移?个单位 周期变换： ①sin sin (01)y x y wx w =→=<< 将sin y x =图像上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的 w 1倍 ②sin sin (1)y x y wx w =→=>将sin y x =图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 w 1倍 振幅变换： ①()sin sin 01y x y A x A =→=<<将sin y x =图像上所有点的横坐标不变， 纵坐标缩短为原来的A 倍 ②()sin sin 1y x y A x A =→=>将sin y x =图像上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的 A 倍 【特别提醒】 由y ＝sin x 的图象变换出y ＝Asin(x ω＋?)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。 利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现 途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将y ＝sin x 的图象向左(?＞0)或向右（0?<）平移｜?｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的 ω 1 倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋?)的图象 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换 先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω 1 倍(ω＞0)，再沿x 轴向左(?＞0)或向()0?<右平 移ω ?| |个单位，便得y ＝sin(x ω＋?)的图象 【特别提醒】若由sin y x ω=得到()sin y x ω?=+的图象，则向左或向右平移应平移| |?ω 个单位

两角和与差的三角函数求值 高中数学教案

两角和与差的三角函数求值微课设计 一、教材分析 三角函数的求值主要有两种类型，即给值求值，给值求角. (1)正确地理解、选用公式，把非特殊角的三角函数值化为特殊角的三角函数值; (2)找出已知条件与所求结论之间的联系，一般可以适当变换已知代数式，从而达到解题的目的。 二、教学目标 知识与技能：探究已知与未知的内在联系，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力。 过程与方法：通过两角和与差的三角函数公式的运用，会进行简单的求值、化简，使学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题的能力。 情感态度与价值观：通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质。 三、学情分析 (1)对公式记忆不准确而使公式应用错误； (2)公式不能灵活应用和变形应用； (3)忽略角的范围或者角的范围判断错误.。 四、教学重、难点 教学重点: 两角和与差的三角函数公式的理解； 教学难点: 两角和与差的三角函数公式的运用。 五、教法学法 讲授法。 六、教学过程设计

故知新 通过分析两角和与差的三角函数公式，加深对知识的理解. 创设情境问题情境： 通过对热点考向的分析， 明确本节主要内容与学习方 向。 通过设计一系列典型例 题,让学生进一步体会两角和 与差的三角函数公式的正用、 逆用，以及整体代换思想的融 合，，提高学生的观察分析能 力，培养学生的应用意识。

典 例 分 析 引导学生从多角度思考 问题，意识到解决问题方法的 不唯一性,加深学生对两角和 与差的三角函数公式的理解, 拓展学生思维。 课 堂梳理公式特点分析； 整体代换思想。 课堂梳理，可以把课堂探究生 成的知识尽快转化为学生的 素质，巩固深化这节课的内 容.

正弦型函数的图像变换

课堂练习： 1. 将函数y=sin2x 的图象向左平移6 π 个单位，则平移后的图象的解析式为（ ） A ．y=sin(2x+6π) B ．y=sin(2x+3π) C ．y=sin(2x －6π) D ．y=sin(2x －3 π ) 2. 要得到函数2sin(2)4 y x p =+（x ?R ）的图象，只需将函数2sin 2y x =（x ?R ） 的图象上所有的点（ ） A ．向左平行移动4p 个单位长度 B. 向右平行移动4p 个单位长度 C. 向左平行移动8p 个单位长度 D. 向右平行移动8 p 个单位长度 3. 4.把函数sin(2)4 y x π =+的图象向右平移 8 π 个单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的1 2 ，则所得图象的解析式为 （ ） A ．3sin(4)8y x π=+ B ．sin(4)8 y x π =+ C ．sin 4y x = D ．sin y x = 5. 将函数sin()3 y x π =- 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再 将所得的图象向左平移 3 π 个单位，得到的图象对应的解析式是 （ ） A 1sin 2y x = B 1sin()22y x π=- C 1sin()26y x π=- D sin(2)6 y x π =- 6.要得到函数)3 2sin(2π +=x y 的图象，只须将函数x y sin 2=的图象 （ ） A ．向左移3π 个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B ．向右移3π 个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C ．向左移3 π个单位，再把所有点的横坐标缩短到原来的21 倍，纵坐标不变 D ．向右移3 π个单位，再把所有点的横坐标缩短到原来的21 倍，纵坐标不变 7.要得到函数y=cos(42π-x )的图象，只需将y=sin 2 x 的图象（ ）

高中数学 三角函数：正弦、余弦、正切

三角函数：正弦、余弦、正切 (一)复习指导 1．能画出y =sin x ，y =cos x ，y =tan x 的图象，了解三角函数的周期性． 2．理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π ]的性质(如单调性、最大和最小值、图象与x 轴交点等) 3．理解正切函数在区间)2 π ,2π(- 的单调性． (二)基础知识 1、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数sin y x =和余弦函数cos y x =图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0， 3,, ,22 2 π π ππ的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。 2、正弦函数sin ()y x x R =∈、余弦函数cos ()y x x R =∈的性质： （1）定义域：都是R 。 （2）值域：都是[]1,1-，对s i n y x =， 当()22x k k Z π π=+∈时，y 取最大值1； 当() 322 x k k Z ππ=+∈时，y 取最小值－1；对cos y x =，当()2x k k Z π=∈时，y 取最大值1，当()2x k k Z ππ=+∈时，y 取 最小值－1。 （3）周期性：①sin y x =、cos y x =的最小正周期都是2 π；②()sin()f x A x ω?=+和 ()cos()f x A x ω?=+的最小正周期都是2|| T πω= 。 （4）奇偶性与对称性：正弦函数sin ()y x x R =∈是奇函数，对称中心是()(),0k k Z π∈，对称轴是直线 ()2x k k Z π π=+ ∈；余弦函数cos ()y x x R =∈是偶函数，对称中心是(),02k k Z π π?? + ∈ ?? ?，对称轴是直线 ()x k k Z π=∈（正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线，对称中心为图象与x 轴 的交点）。 （5）单调性： ()sin 2,222y x k k k Z ππππ??=-+∈????在上单调递增，在()32,222k k k Z ππππ? ?++∈??? ?单调递减； cos y x =在[]()2,2k k k Z πππ+∈上单调递减，在[]()2,22k k k Z ππππ++∈上单调递增。特别提醒，别忘了k Z ∈！ 3、正切函数tan y x =的图象和性质： （1）定义域：{|,}2 x x k k Z π π≠+∈。遇到有关正切函数问题时，你注意到正切函数的定义域了吗？ （2）值域是R ，在上面定义域上无最大值也无最小值； （3）周期性：是周期函数且周期是π，它与直线y a =的两个相邻交点之间的距离是一个周期π。绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定。 如x y x y sin ,sin 2==的周期都是π, 但sin y x = cos x +的周期为 2 π，而1|2sin(3)|,|2sin(3)2|626y x y x ππ =-+=-+，|tan |y x =的周期不变； （4）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是,02k π?? ??? ()k Z ∈，特别提醒：正(余)切型函数的对称中心 有两类：一类是图象与x 轴的交点，另一类是渐近线与x 轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。 （5）单调性：正切函数在开区间(),22k k k Z ππππ?? -++∈ ??? 内都是增函数。但要注意在整个定义域上不 具有单调性。如下图：

两角和差的三角函数(教案)

两角和与差的正弦、余弦、和正切公式教案(一) 教学目标 ? 知识与技能：理解利用向量推导两角和差的三角函数公式的过程，进一步体会向量方法的作用，能运用公式进行简单的恒等变换； ? 过程与方法：通过适当强度的课前学生自学，课堂上学生讲解与教师辅助点拨相结合，逐步培养学生自学，敢于展示、认真聆听、积极交流的能力； ? 情感态度与价值观：自主展示实现自我价值，合作学习培养团队合作。 一．课前自学 1．问题提出： 利用熟悉的角的三角函数值验证cos()αβ-是否等于cos cos αβ-，其他三个 ， ， 的情况又如何? 设计意图：通过对简单的易于进入的问题的探讨，在学生心中生成问题，激发求知欲，为课程的展开提供主观动力。 2. 公式推导： 如图1，在以坐标原点为圆心的单位圆O 中，已知角 与角的终边为与单位圆的交点分别为A,B, 则____________ 根据三角函数的定义：若点A 的坐标为,点B 的坐标为 则 ； 则点A 的坐标可以用的三角函数表示为（ ， ） 点B 的坐标可以用的三角函数表示为（ ， ） 则 的坐标（_________________） , 的坐标（_________________） _________________________________OA OB ?= 向量夹角 ， 的夹角为 cos()cos ,OA OB αβ-==（ ） （ ） =______________________________________ ____________________________________________(提示： OA 与OB 的模为？) =_________________________________ 提醒学生思考：如果角α β、改变结果是否会发生改变，进行推到过程的严谨性探究。

三角函数最全知识点总结

三角函数、解三角形 一、任意角和弧度制及任意角的三角函数 1.任意角的概念 (1)我们把角的概念推广到任意角，任意角包括正角、负角、零角． ①正角：按__逆时针__方向旋转形成的角． ②负角：按__顺时针__方向旋转形成的角． ③零角：如果一条射线__没有作任何旋转__，我们称它形成了一个零角． (2)终边相同角：与α终边相同的角可表示为：{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}，或{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． (3)象限角：角α的终边落在__第几象限__就称α为第几象限的角，终边落在坐标轴上的角不属于任何象限. 象限角 轴线角 2．弧度制 (1)1度的角：__把圆周分成360份，每一份所对的圆心角叫1°的角__. (2)1弧度的角：__弧长等于半径的圆弧所对的圆心角叫1弧度的角__. (3)角度与弧度的换算： 360°＝__2π__rad,1°＝__π 180__rad,1rad＝(__180 π__)≈57°18′. (4)若扇形的半径为r，圆心角的弧度数为α，则此扇形的弧长l＝__|α|·r__， 面积S＝__1 2|α|r 2__＝__1 2lr__.

3．任意角的三角函数定义 (1)设α是一个任意角，α的终边上任意一点(非顶点)P的坐标是(x，y)，它与 原点的距离为r，则sinα＝__y r__，cosα＝__ x r__，tanα＝__ y x__. (2)三角函数在各象限的符号是： (3)三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的__正弦__线、__余弦__线和__正切__线． 4．终边相同的角的三角函数 sin(α＋k·2π)＝__sinα__， cos(α＋k·2π)＝__cosα__， tan(α＋k·2π)＝__tanα__(其中k∈Z)， 即终边相同的角的同一三角函数的值相等．

三角函数图像及其变换

高一数学第十四讲 三角函数图像及其变换 一、知识要点： ππ ππ ?ω2,2 3, ,2 , 0=+x 列表求出对应的x 的值与y 的值，用平滑曲线连结各点，即可得到其在一个周期内的图象。 3．研究函数R x x A y ∈+=),sin(?ω(其中0,0>>ωA )的单调性、对称轴、对称中心仍然是将?ω+x 看着整 体并与基本正弦函数加以对照而得出。它的最小正周期||2ωπ =T 4．图象变换 (1)振幅变换 R x x y ∈=,s i n ??????????????→ ?<<>倍 到原来的或缩短所有点的纵坐标伸长A 1)A (01)(A R x x y ∈=,s i n A

(2)周期变换 R x x y ∈=,s i n ??????????????→ ?<<>倍 到原来的或伸长所有点的横坐标缩短ω ωω1 1)(01)(R x x y ∈=,s i n ω (3)相位变换 R x x y ∈=,s i n ????????????→?<>个单位长度平移或向右所有点向左||0)(0)(???R x x y ∈+=,)(s i n ? (4)复合变换 R x x y ∈=,s i n ????????????→ ?<>个单位长度平移或向右所有点向左||0)(0)(???R x x y ∈+=,)(s i n ? ?? ????????????→?<<>倍 到原来的 或伸长所有点的横坐标缩短ω ωω11)(01)(R x x y ∈+=),sin(?ω ??????????????→ ?<<>倍到原来的或缩短所有点的纵坐标伸长A 1)A (01)(A R x x A y ∈+=),sin(?ω 5．主要题型：求三角函数的定义域、值域、周期，判断奇偶性，求单调区间，利用单调性比较大小，图 象的平移和伸缩，图象的对称轴和对称中心，利用图象解题，根据图象求解析式，已知三角函数值求角。 二.基础练习 1． 函数1π2sin()23 y x =+的最小正周期T = ． 2．函数sin 2x y =的最小正周期是 若函数tan(2)3y ax π=-的最小正周期是2π,则a=____. 3．函数]),0[)(26 sin( 2ππ ∈-=x x y 为增函数的区间是 4．函数2 2cos()()363 y x x ππ π=- ≤≤的最小值是 5．将函数cos y x =的图像作怎样的变换可以得到函数2cos(2)4 y x π =-的图像？ 6．已知简谐运动ππ()2sin 32f x x ????? ?=+< ??????? 的图象经过点(01)， ，则该简谐运动的最小正周期T 和初相?分别为 7.已知a=tan1,b=tan2,c=tan3,则a,b,c 的大小关系为______. 8．给出下列命题： ①存在实数x ，使sin cos 1x x =成立； ②函数5sin 22y x π?? =- ???是偶函数； ③直线8x π=是函数5sin 24y x π? ?=+ ??? 的图象的一条对称轴； ④若α和β都是第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>． ⑤R x x x f ∈+ =),32sin(3)(π 的图象关于点)0,6 (π - 对称； 其中结论是正确的序号是 （把你认为是真命题的序号都填上）． 三、例题分析： 题型1：三角函数图像变换 例1、 变为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数1 cos 2 y x =的图象怎样变换？

两角和与差的三角函数练习题及答案

两角和与差的三角函数练习题及答案 一、选择题 1． sin 45°·cos 15°＋cos 225°·sin 15°的值为 ( C ) A ．－ 32 B ．－12 2．已知sin(45°＋α)＝5 5 ，则sin 2α等于 ( B ) A ．－4 5 B ．－35 3．已知cos ? ????π6－α＝33，则sin 2? ????α－π6－cos ? ????5π6＋α的值是 ( A ) B ．－2＋3 3 4．已知向量a ＝? ????sin ? ????α＋π6，1，b ＝(4,4cos α－3)，若a⊥b ，则sin ? ????α＋4π3等于 ( B ) A ．－ 3 4 B ．－14 5．已知sin ? ????π6－α＝13，则cos ? ?? ??2π3＋2α的值是 ( A ) A ．－7 9 B ．－13 6．在△ABC 中，角C ＝120°，tan A ＋tan B ＝2 33，则tan A tan B 的值为( B ) 二、填空题 7．若sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝ 8． 3－sin 70°2－cos 2 10°＝________. 2 9．已知α，β∈? ????3π4，π，sin(α＋β)＝－35， sin ? ????β－π4＝1213，则cos ? ?? ??α＋π4＝ ________. －56 65 三、解答题

(1)2sin ? ????π4－x ＋6cos ? ?? ??π4－x ； (2)2cos 2 α－1 2tan ? ????π4－αsin 2? ?? ? ?π 4＋α. 解 (1)原式＝22??????1 2sin ? ????π4 －x ＋32·co s ? ????π4－x ＝22??????sin π6sin ? ????π4－x ＋cos π6cos ? ????π4－x ＝22cos ? ????π6－π4＋x ＝22cos ? ????x －π12. (2)原式＝cos 2α1－tan α1＋tan α??????1－cos ? ????π2＋2α ＝cos 2α cos 2α1＋sin 2α (1＋sin 2α)＝1. 11．已知函数f (x )＝2sin 2? ?? ??π 4＋x －3cos 2x . (1)求f (x )的周期和单调递增区间； (2)若关于x 的方程f (x )－m ＝2在x ∈??????π4，π2上有解，求实数m 的取值范围． 解 (1)f (x )＝2sin 2? ????π 4＋x －3cos 2x ＝1－cos ? ?? ??π2＋2x －3cos 2x ＝1＋sin 2x －3cos 2x ＝2sin ? ????2x －π3＋1， 周期T ＝π；令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π 2， 解得单调递增区间为??????k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )． (2)x ∈?? ????π4，π2，所以2x －π3∈??????π6，2π3， sin ? ????2x －π3∈???? ??12，1， 所以f (x )的值域为[2,3]． 而f (x )＝m ＋2，所以m ＋2∈[2,3]，即m ∈[0,1]． 12．已知向量a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈? ?? ? ?3π2，2π， 且a⊥b . (1)求tan α的值； (2)求cos ? ?? ??α2＋π3的值． 解 (1)∵a⊥b ，∴a·b ＝0. 而a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos α)， 故a·b ＝6sin 2 α＋5sin αcos α－4cos 2 α＝0. 由于cos α≠0，∴6tan 2 α＋5tan

正弦型函数教案

正弦型函数y=Asin(ψx+φ）的图象变换教学设计 一、教学目标： 1、知识与技能目标： 能借助计算机课件，通过探索、观察参数A、ω、φ对函数图象的影响，并能概括出三角函数图象各种变换的实质和内在规律；会用图象变换画出函数y=Asin(ωx+φ)的图象。 2、过程与方法目标： 通过对探索过程的体验，培养学生的观察能力和探索问题的能力，数形结合的思想；领会从特殊到一般，从具体到抽象的思维方法，从而达到从感性认识到理性认识的飞跃。 3、情感、态度价值观目标： 通过学习过程培养学生探索与协作的精神，提高合作学习的意识。 二、教学重点：考察参数ω、φ、A对函数图象的影响，理解由y=sinx的图象到y=Asin(ωx+φ)的图象变化过程。这个内容是三角函数的基本知识进行综合和应用问题接轨的一个重要模型。学生学习了函数y=Asin(ωx+φ)的图象，为后面高中物理研究《单摆运动》、《简谐运动》、《机械波》等知识提供了数学模型。所以，该内容在教材中具有非常重要的意义，是连接理论知识和实际问题的一个桥梁。 三、教学难点：对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响规律的发现与概括是本节课的难点。因为相对来说，、A对图象的影响较直观，ω的变化引起图象伸缩变化，学生第一次接触这 种图象变化，不会观察，造成认知的难点，在教学中，抓住“对图象的影响”的教学，使学生学会观察图象，经历研究方法，理解图象变化的实质，是克服这一难点的关键。 学情分析： 本节课在高一第二学段，对于高中常用的数学思想方法和研究问题的方法已经有初步的了解，并且逐步适应高中的学习方式和教师的教学方式，喜欢小组探究学习，喜欢独立思考，探究未知内容，学习欲望迫切。关于函数图象的变换，学生在学习第一模块时，接触过函数图象的平移，有“左加右减”，“上加下减”这样一些粗略的关于图象平移的认识，但对于本节内容学生要理解并掌握三个参数对函数图象的影响，还要研究三个参数对函数图象的综合影响，且方法不唯一，知识密度较大，理解掌握起来难度较大。 教学内容分析：

三角函数解题技巧和公式(已整理)

浅论关于三角函数的几种解题技巧 本人在十多年的职中数学教学实践中，面对三角函数内容的相关教学时，积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。下面尝试进行探讨一下： 一、关于)2sin (cos sin cos sin ααααα或与±的关系的推广应用： 1、由于ααααααααc o s s i n 21c o s s i n 2c o s s i n )c o s (s i n 2 22±=±+=±故知道 )c o s (s i n αα±，必可推出)2sin (cos sin ααα或，例如： 例1 已知θθθθ33cos sin ,3 3 cos sin -= -求。 分析：由于)cos cos sin )(sin cos (sin cos sin 2233θθθθθθθθ++-=- ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin 2θθθθθθ+--= 其中，θθcos sin -已知，只要求出θθcos sin 即可，此题是典型的知sin θ-cos θ，求sin θcos θ的题型。 解：∵θθθθcos sin 21)cos (sin 2-=- 故：3 1cos sin 31)33( cos sin 212=?==-θθθθ ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin cos sin 233θθθθθθθθ+--=- 39 43133]313)33[(332=?=?+= 2、关于tg θ+ctg θ与sin θ±cos θ，sin θcos θ的关系应用： 由于tg θ+ctg θ=θ θθθθθθθθθcos sin 1 cos sin cos sin sin cos cos sin 22= +=+ 故：tg θ+ctg θ，θθcos sin ±，sin θcos θ三者中知其一可推出其余式子的值。 例2 若sin θ+cos θ=m 2，且tg θ+ctg θ=n ，则m 2 n 的关系为（ ）。 A ．m 2=n B ．m 2= 12+n C ．n m 22= D ．22 m n = 分析：观察sin θ+cos θ与sin θcos θ的关系： sin θcos θ=2 1 21)cos (sin 22-=-+m θθ

三角函数图像变换

三角函数图像及其变换 一、 知识梳理 1、sin y x =与cos y x =的图像与性质 2、sin y x =与sin()y A x ωφ=+ （1） 形如sin()y A x ωφ=+的函数图像的画法 （2） sin y x =与sin()y A x ωφ=+图像的关系 二、 典型例题 1、把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3 π 个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的1 2 倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是 （A ）sin(2)3y x π=-，x R ∈ （B ）sin()26x y π =+，x R ∈ （C ）sin(2)3y x π=+，x R ∈ （D ）sin(2)3 2y x π =+，x R ∈ 2、为得到函数πcos 23y x ? ?=+ ???的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ） A ．向左平移 5π 12个长度单位 B ．向右平移 5π 12个长度单位 C ．向左平移5π 6 个长度单位 D ．向右平移5π 6 个长度单位

3、函数πsin 23y x ??=- ?? ?在区间ππ2??-???? ，的简图是（ ） 4、下面有五个命题： ①函数y =sin 4x -cos 4x 的最小正周期是π. ②终边在y 轴上的角的集合是{a |a = Z k k ∈π ,2 |. ③在同一坐标系中，函数y =sin x 的图象和函数y =x 的图象有三个公共点. ④把函数.2sin 36 )32sin(3的图象得到的图象向右平移x y x y =π π+= ⑤函数.0)2 sin(〕上是减函数，在〔ππ - =x y 其中真命题的序号是 （写出所言 ） 5、将函数3sin()y x θ=-的图象向右平移3 π 个单位得到图象F ',若F '的一条对称轴是直线4 x π =,则θ的一个可能取值是 A. π125 B. π125- C. π12 11 D. 1112π- 三、高考再现 1、已知函数2 π()sin sin 2 f x x x x ωωω?? =++ ?? ? （0ω>）的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03?????? ，上的取值范围．

2(2)正弦型三角函数Asin(wx+)

正弦型三角函数Asin （wx+?）（A>0,w>0） 知识回顾： 图象的画法 （1）五点法 y=2sin （2x+ π） （2）图像变换 ①先平移后伸缩②先伸缩后平移 思考：（1）y=2sin （2x+3π ）可以由y=cosx 图象怎样变换得到？ （2）y=2sin （2x+3π ）怎样平移才能变成奇函数？ （3）y=2sin （2x+3 π ）怎样平移才能变成偶函数？ y= Asin （wx+?）的性质：通过换元，用wx+?替换x 得到性质 随堂练习： 1.求下列各函数的值域和最值 （1）4cos （2x- 3 π），x ∈[65,3ππ];（2）y=2cos 2x+5cosx-2 2.求下列的函数的单调区间 （1）y=sin （x+ 4π）；（2）y=cos （2x-3 π） 3.求下列函数的定义域 （1）y=tan （ x -4π ）；（2）y=csc （5x- 6π）；（3）y=tan （6x+3 π ） 4.求下列函数的对称轴和对称中心 （1）y=sin （x-4π）；（2）y=cos （2x+3π ） 5.判断y=x x x x cos sin 1cos sin 1++-+的奇偶性（推论） 6.判断下列函数是否为周期函数，若是周期函数，求其最小正周期 （1）y=tan 2 x ；（2）y =｜sinx ｜；（3）y=sin ｜x ｜；（4）y=sin （2x-3 π ） 7.判断sinx=lgx 的根的个数 8.已知函数f （x ）= Asin （wx+ ?）+k （A>0，w>0，｜?｜<2 π） ，在同一周期内的最高点

是（2,2），最低点是（8，-4），求f （x ）的解析式。 9. （1） ()()? ?? ?? <>>∈+=200π?ω?ω，，，A R x x sin A x f 的图象（部分）如图所()x f 的解析式是 A ．()() R x x sin x f ∈??? ?? +=62ππ B ．()() R x x sin x f ∈??? ?? +=622ππ C ．()() R x x sin x f ∈??? ?? +=32ππ D ．()() R x x sin x f ∈??? ?? +=322ππ （2）已知函数sin()y A x ω?=+（0,||A ?π>< 的一段图象如下图所示，则()f x 的解析式为 . （3）已知函数2sin()(0)y x ω?ω=+>)在区间 []02π， 的图像如图所示：那么ω＝（ ） A ．1 B ．2 C ．21 D ． 31 10.若函数f （x ）=sin （2x+?）是奇函数，求?的值 11.把函数y=cos （x+ 3 4π ）的图像向右平移?（?>0）个单位长度得到的图像正好关于y 轴对称，则?的最小值为 。 12.已知函数f （x ）=sin （ 3k x+4 π），使f （x ）的周期在（32，34）内，则正整数k= 。 13.函数f （x ）=tanwx 在区间（-2π，2 π ）内单调递减，求实数w 的取值范围。