八年级数学一次函数的图象和性质1

人教版_数学_必修1函数的基本性质_教案

一、 函数的单调性 1．单调函数的定义 （1）增函数：一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在这个区间上是增函数。 （2）减函数：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x >，那么就说()f x 在这个区间上是减函数。 （3）单调性：如果函数()y f x =在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数()y f x =在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做()y f x =的单调区间。 2、单调性的判定方法 （1）定义法： 判断下列函数的单调区间：2 1x y = （2）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。 （3）复合函数的单调性的判断： 设)(x f y =，)(x g u =，],[b a x ∈，],[n m u ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在] ,[b a 上也是单调函数。 ①若)(x f y =是[,]m n 上的增函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同。 ②若)(x f y =是[,]m n 上的减函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同。 即复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的 单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”） 练习：（1）函数24x y -=的单调递减区间是 ，单调递增区间 为 ． （2）5 412 +-= x x y 的单调递增区间为 ． 3、函数单调性应注意的问题： ①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性． ②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)． ③函数在定义域内的两个区间A ,B 上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上 是增（或减）函数 4．例题分析

新人教版八年级数学下矩形练习题

八年级 张老师组稿 姓名 学号 2010.05.15 一、选择题（仔细读题，一定要选择最佳答案哟！） 1.如图1中（1），把一个长为m 、宽为n 的长方形（m n >）沿虚线剪开，拼接成图（2），成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长为（ ） A ．2m n - B ．m n - C ．2 m D ．2n 2.如图2.在矩形ABCD 中，1=AB ，3=AD ，AF 平分DAB ∠，过C 点作BD CE ⊥于E ，延长AF 、EC 交于点H ，下列结论中：①FH AF =；②BF BO =；③ CH CA =；④ED BE 3=， 正确的（ ） A ．②③ B ．③④ C ．①②④ D ．②③④ 3.如图3，矩形纸片ABCD 中，AB =4，AD =3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ， 则AG 的长为（ ） A ．1 B ．34 C ．23 D ．2 4、如图4，EF 过矩形ABCD 对角线的交点O ，交AB 、CD 于E 、F ，则阴影部分的面积是矩形面积的 （ ）。 A 、51 B 、41 C 、31 D 、103 5、如图5，矩形ABCD 中，AB=8㎝，把矩形沿直线AC 折叠，使点B 落在点E 处，AE 交DC 于F ， 若AF=4 25㎝，则AD 长为（ ）。 A 、4㎝ B 、5㎝ C 、6㎝ D 、7㎝ 6.如图6，长方形ABCD 中，E 点在BC 上，且ＡＥ平分∠BAC 。 若ＢＥ=4，ＡC =15，则 AEC 面积为（ ） (A ) 15 (B ) 30 (C ) 45 (D ) 60 。 图 1 图 2 图3 O H E F D C A B

矩形定义及性质(教案)

矩形定义及性质 剑川县沙溪中学王仲磊 2号 课型：新授课课时：1节 教学目标 1、知道矩形的定义、矩形与平行四边形的联系； 2、能说出矩形的四个角都是直角及矩形的对角线相等的性质； 3、能推出直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质； 4、能运用以上性质进行简单的证明和计算。 5、应用计算机辅助教学，充分展示数学问题的发生、发展及变化过程，培养学生的创新意识和创造能力。 教学重点和难点 重点：矩形的定义、性质及推论。 难点：能用矩形的性质进行简单的证明和计算。 教法：多媒体辅助教学法、启发引导法 教学过程 一、复习提问 1、平行四边形性质定理： （1）平行四边形的对角相等。（2）平行四边形的对边相等。 （3）平行四边形的对角线互相平分。推论：夹在两条平行间的平行线段相等。 2、平行四边形判定定理 （1）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 （3）对角线互相平分的四边形是平行四边形。 （4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 二、引入新课 请同学们观看一幅动画。（屏显） 一个角是直角 （1）（2）当平行四边形变化到位置（2 ）时得到什么图形？ （生回答，教师作点拨。） 三、讲解新课 1、请举几个生活中关于矩形的例子。（对学生的回答作灵活处理）

2、观察动画中平行四边形是如何演变成矩形的，也就是说当平行四边形满足什么条件的时候便成了矩形？ 定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 3、矩形是特殊的平行四边形，它除了“有一个角是直角”外，还可能具有哪些平行四边形所没有的特殊性质呢？ （引导学生根据研究平行四边形性质的经验，分别从边、角、对角线三个方面探索矩形的特性，这种探索的基础是矩形“有一个角是直角”。） 根据学生的回答：矩形的四个角都是直角。 4、如何说明“矩形的四个角都是直角”呢？ 已知：如图四边形ABCD 是矩形，∠B=90o 。求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90o 证明：∵四边形ABCD 是矩形 ∴AB ∥DC （平行四边形对边平行） ∴∠C=∠B=90o （两直线平行，同旁内角 互补） 同理：∠D=90o 、∠A=90o 性质1：矩形的四个角都是直角。 知识拓展：让学生说出不同于老师的证法。（分组讨论） 5、下面我们来做一个游戏，请同学们关上你们的教材，观察教材的封面，用刻度尺测量书本的对角线。并回答屏幕上的问题。 教材的封面是什么图形？ 派一名代表说出你们测量的数据？你能发现两条对角线间有什么特殊关系吗？ 学生容易回答“矩形的对角线相等”。 如何证明“矩形的对角线相等”这一命题呢？请同学们根据屏幕上给出的图形、写出已知、求证，并证明这个命题。 已知：如图，ABCD 是矩形，对角线AC 、BD 交于点O 。求证：AC=BD 证明：在矩形ABCD 中 ∠ABC=∠DCB=90o ，AB=DC ，BC=CB ∴?ABC ≌?DCB ∴AC=DB 性质2：矩形的对角线相等。 6、矩形的一条对角线把矩形分成两个直角三 角形，矩形的对角线互相平分又相等，由此，我们可以得到直角三角形的什么重要性质。请同学们讨论，并大胆的猜想。（对学生的回答稍作点拨） 如图，已知ABCD 是矩形，对角线AC 、BD 相交 于点O 。求证：OB=21 AC 证明：在矩形ABCD 中， AC=BD （矩形对角线相等） 又∵OA=OC=21 AC

高中数学必修1《函数的应用》知识点

高中数学必修1《函数的应用》知识点(总7页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 -CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除

第4章 函数的应用 第1讲 函数与方程 一、连续函数 连续函数： 非连续函数： 二、方程的根与函数的零点 ()()()0001f x x f x x f x ?、零点：对于函数，若使=0，则称为函数的零点. ()()()=0y f x f x y f x x ??2、函数=的零点方程的实根函数=图像与交点的横坐标. 3、零点存在性定理： ()[]()()()(),::,. 0.y f x a b p q y f x a b f a f b ?????

()f x 三、用二分法求=0的近似解 步骤： ()()()()()()( )1 2121233131323231,,0; 2,;2 30,20,2.i i x x f x f x x x x f x f x f x x x f x f x x x x x d +?<+= ?

人教版八年级数学讲义梯形及等腰梯形(含解析)(2020年最新)

第19讲梯形及等腰梯形 知识定位 讲解用时：3分钟 A、适用范围：人教版初二，基础较好； B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习梯形及等 腰梯形。梯形和等腰梯形属于四边形章节，选择填空中会涉及到，也经常出现在几何大题中，是中考考查范围内的一个重要知识点，熟练掌握一般梯形、直角梯形和等腰梯形及它们的性质和判定，灵活运用并处理含梯形的综合类型题目. 知识梳理 讲解用时：20分钟 梯形的认识 1、定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形 （概念记清楚哦） 一般梯形梯形标注：梯形是特殊的四边形，有且只有一组对边平行哦

梯形的分类 2、梯形的分类：一般梯形、特殊梯形（直角梯形、等腰梯形） 直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形 等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形 直角梯形等腰梯形 AB//CD AB//CD AD≠BC AD=BC AD⊥CD AD不平行BC 梯形的中位线 3、梯形的中位线：连接梯形两腰上的中点的线段叫做梯形的中位线. 梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 你知道怎 么证明 吗？ EF//AB//CD EF=1 2 （AB+CD）

等腰梯形的性质和判定 1、等腰梯形的性质定理 性质定理1：等腰梯形同一底边上的两个角相等 性质定理2：等腰梯形的两条对角线相等 性质3：等腰梯形既是轴对称图形，只有一条对称轴（底边的垂直平分线） ∠A=∠B AC=BD 虚线为等腰梯形的对称轴∠C=∠D 2、等腰梯形的判定定理 判定定理1：同一底边上两个内角相等的梯形是等腰梯形 判定定理2：对角线相等的梯形是等腰梯形 判定3：利用定义

八年级数学矩形和菱形练习题拔高

矩形和菱形专题拔高训练 例1：如图，矩形ＡBCD中,E是AD上一点，F是AB上一点,EF＝EC，且EF⊥ＥＣ，ＤＥ=２cm，矩形ABＣD周长为1６ｃｍ，求AE及CＦ的长。 分析与解答： 例2：矩形ＡBCD，E、F分别在ＢC、AD上，且ＥF垂直平分AC于Ｏ, （1）求证：四边形ＡECF为菱形; （2）若AD=8，AB＝6,求AE的长。 分析与解答: 例３:如图：以△AＢC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即△AＢD、△BCＥ、△ＡCＦ.请回答下列问题：（１）四边形ADEF是什么四边形?（２)当△ＡBC满足什么条件时，四边形AＤEＦ是矩形？（3）当△AＢＣ满足什么条件时,以A、D、E、F为顶点的四边形不存在？(不要求证明) 分析与解答: --

-- 例4：如图，矩形ABCG 中，点Ｄ是AG 的中点,点Ｅ是A Ｂ上一点，且BE ＝BC ，D Ｅ⊥DC ，CE 交BD 于F, （1）求证:BD 平分∠CDE ； （2） 求EF EA 的值。 分析与解答: 例5：如图；矩形ＡＢC Ｄ中，点Ｈ在对角线BD 上，HC ⊥BD,ＨC 的延长线交∠BAD 的平分线于点Ｅ,说明CE 与ＢＤ的数量关系。 分析与解答： 例６:如图,在△A ＢC 中，∠A 、∠B 的平分线交于点D,DE ∥AC 交BC 于点E ，ＤF ∥BC 交ＡＣ于点F 。 （1）点Ｄ是△ABC 的________心; （2）求证：四边形DEC Ｆ是菱形。 分析与解答：

1.填空题 （1）如图，Ｐ是矩形ＡBCD内一点,PＡ=３,ＰD＝4，PＣ=５，则PB=_＿_＿＿_. （2）若矩形的两邻边之比是3：4，周长为42cm,则它的边长分别是＿______． （3）矩形的对角线相交成120角，其较短边长4ｃm,则对角线长__＿___cｍ. （4）在矩形AＢCＤ中，点E为AB边的中点，且ＤE⊥CE，若矩形的周长为30，则AB=_＿_＿___, AD=＿＿___＿_. （5）从矩形的一个顶点向对角线引垂线，此垂线分对角线所成的两部分比为1:3，已知两对角线交点到矩形较长边的距离为3.６cm，则矩形的对角线长为＿___. （6）已知，如图△ABC中,BC=15，Ｅ、F分ＢＣ为三等分点,AＥ=13，AF＝12,G、Ｈ分别为AＣ、AＢ的中点,则四边形EFGＨ的周长为＿____，面积为______. （7）如图，在矩形AＢCD中,横向阴影部分是矩形,另一阴影部分是平行四边形,依照图中标注的数据，计算图中空白部分的面积,其面积是＿＿_＿__． 第6题第７题 （8）如图,矩形ABＣD面积为5,它的两条对角线交于点O1,以AＢ、AO１为两邻边作平行四边形AＢC１O１，平行四边形ABC1O1,的对角线交于O２,同样以AB、AO2为两邻边作平行四边形ABＣ２O2，……依此类推，则平行四边形ＡBCｎＯｎ的面积为＿__＿__. （9）如图，将矩形纸ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形ＥＦGH，若EH＝3,ＥF=4，则边AD的长为＿______. 第8题第9题 （10）如图,矩形纸片ABCＤ，AB＝2,点E在BC上，且AＥ=EC.若将纸片AE折叠，点B恰好落在AC上，则AC的长为_______． （11）如图,矩形AＢCD，ＡB=２,ＢＣ=3，对角线AC的垂直平分线交AＤ，BC于E、F,连接CE,则CＥ长＿＿_＿_＿__. 第1０题第11题 --

(完整版)高中数学必修一函数大题(含详细解答)

高中函数大题专练 １、已知关于x 的不等式2 (4)(4)0kx k x --->，其中k R ∈。 ⑴试求不等式的解集A ； ⑵对于不等式的解集A ，若满足A Z B =I （其中Z 为整数集）。试探究集合B 能否为有限集？若能，求出使得集合B 中元素个数最少的k 的所有取值，并用列举法表示集合 B ；若不能，请说明理由。 ２、对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为G 函数。 ① 对任意的[0,1]x ∈，总有()0f x ≥； ② 当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有1212()()()f x x f x f x +≥+成立。 已知函数2 ()g x x =与()21x h x a =?-是定义在[0,1]上的函数。 （1）试问函数()g x 是否为G 函数？并说明理由； （2）若函数()h x 是G 函数，求实数a 的值； （3）在（2）的条件下，讨论方程(21)()x g h x m -+=()m R ∈解的个数情况。 3.已知函数| |212)(x x x f - =. （1）若2)(=x f ，求x 的值； （2）若0)()2(2≥+t mf t f t 对于[2,3]t ∈恒成立，求实数m 的取值范围. 4.设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数.若当0x ≥时，11,()0,f x x ?-? =??? 0;0.x x >= （1）求)(x f 在(,0)-∞上的解析式. （2）请你作出函数)(x f 的大致图像. （3）当0a b <<时，若()()f a f b =，求ab 的取值范围. （4）若关于x 的方程0)()(2 =++c x bf x f 有7个不同实数解，求,b c 满足的条件. 5．已知函数()(0)|| b f x a x x =- ≠。 （1）若函数()f x 是(0,)+∞上的增函数，求实数b 的取值范围； （2）当2b =时，若不等式()f x x <在区间(1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围； （3）对于函数()g x 若存在区间[,]()m n m n <，使[,]x m n ∈时，函数()g x 的值域也是 [,]m n ，则称()g x 是[,]m n 上的闭函数。若函数()f x 是某区间上的闭函数，试探 求,a b 应满足的条件。

八年级下册数学矩形练习题

矩形练习题 一、基础练习 1．矩形是面积的60，一边长为5，则它的一条对角线长等于 2．四边形ABCD 的对角线相交于O ，OA ＝OB ＝OC ＝ OD ，则它是 形，若∠AOB＝60°， 那么AB∶AC＝ 【变形题】：矩形的两条对角线的夹角为60°，一条对角线与短边的和是15cm ，则对角线长为 ，短边长为 3．如图，矩形的周长为24cm ，一边中点与对边两顶点连线成直角，则矩形的两邻边长为 4．平行四边形没有而矩形具有的性质是（ ） A 、对角线相等 B 、对角线互相垂直 C 、对角线互相平分 D 、对角相等 5．下列叙述错误的是（ ） A.平行四边形的对角线互相平分。 B.平行四边形的四个内角相等。 C.矩形的对角线相等。 D.有一个角为90o的平行四边形是矩形 6．若一个直角三角形的两条直角边分别为5和12，则斜边上的中线等于 . 7．矩形ABCD 的对角线相交于点O ，如果ABC ?的周长比AOB ?的周长大10cm ，则AD 的长是（ ） A 、5cm B 、7.5cm C 、10cm D 、12.5cm 8．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A 、平行四边形 B 、等边三角形 C 、矩形 D 、直角三角形 9．如图，矩形ABCD 的对角线相交于O 点，AE⊥BD，垂足为 E ，若∠DAE＝4∠BAE， 则∠EAC＝ 10．已知，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为A （10，0）、C （0，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时， 点P 的坐标为 二、解答题 1．如图，已知矩形ABCD 的两条对角线相交于O ，?=∠120AOD ，AB=4cm ，求此矩形的面积。 2．如图，□ABCD 中，AE 、BF 、CG 、DH 分别是各内角的平分线，E 、F 、G 、H 为它们的交点， 求证：四边形EFGH 的矩形。 D A C B H G F E A B O C D 3题图 9 题图 y x P D C B A O 10 题图

高中数学必修1函数的基本性质

高中数学必修1函数的基本性质 1．奇偶性 （1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。 如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。 注意： ○ 1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○ 2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。 （2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ○ 1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○ 2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○ 3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数； 若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。 （3）简单性质： ①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称； ②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇?奇=偶，偶+偶=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇 2．单调性 （1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1f (x 2)），那么就说f (x )在区间D 上是增函数（减函数）； 注意： ○ 1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○ 2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1

八年级数学矩形教案

19．2.1 矩形(1) 第一课时 教学目标 知识与技能： 了解矩形的有关概念，理解并掌握矩形的有关性质． 过程与方法： 经过探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理意识；掌握几何思维方法．情感态度与价值观： 培养严谨的推理能力，以及自主合作精神；体会逻辑推理的思维价值． 重难点、关键 重点：掌握矩形的性质，并学会应用． 难点：理解矩形的特殊性． 关键：把握平行四边形的演变过程，迁移到矩形概念与性质上来，明确矩形是特殊的平行四边形． 教学准备 教师准备：投影仪，收集有关矩形的图片，制作教具．（图19．2-2） 学生准备：复习平行四边形性质，预习矩形这节内容． 学法解析 1．认知起点：已经学习了三角形、平行四边形，?积累了一定的经验的基础上学习本节课内容． 2．知识线索：情境与操作→平行四边形→矩形→矩形性质． 3．学习方式：观察、操作、感知其演变，以合作交流的学习方式突破难点．教学过程 一、联系生活，形象感知 【显示投影片】 教师活动：将收集来的有关长方形图片，播放出来，让学生进行感性认识，然后定义出矩形的概念． 矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．（也就是小学学习过的长方形）．教师活动：介绍完矩形概念后，为了加深理解也为了继续研究矩形的性质，拿出教具．同学生一起探究下面问题： 问题1：改变平行四边形活动框架，将框架夹角∠α变为90°，?平行四边形成为一个矩形，这说明平行四边形与矩形具有怎样的从属关系？（教师提问） 学生活动：观察教师的教具，研究其变化情况，可以发现：矩形是平行四边形的特例，是属于平行四边形，因此它具有平行四边形所有性质． 问题2：既然它具有平行四边形的所有性质，?那么矩形是否具有它独特的性质呢？（教师提问） 学生活动：由平行四边形对边平行以及刚才变角∠α为90°可以得到∠α的补角也是90°，从而得到矩形四个角都是直角． 评析：实际上，在小学学生已经学过长方形四个角都是90°，这里学生不难理解．教师活动：用橡皮筋做出两条对角线，让学生观察这两条对角线的关系，并要求学生证明（口述）． 学生活动：观察发现：矩形的两条对角线相等，口述证明过程是：充分利用（SAS）三角形全等来证明．

高一数学必修一函数及其表示-函数的概念

1.2函数及其表示 §1.2.1函数的概念 【教学目的】 1、使学生理解函数的概念，明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素； 2、理解函数符号的含义，能根据函数表达式求出定义域、值域； 3、使学生能够正确使用“区间”、“无穷大”的记号； 4、使学生明白静与动的辩证关系，激发学生学习数学的兴趣和积极性。 【教学重点】 在对应的基础上理解函数的概念 【教学难点】 函数概念的理解 【教学过程】 一、复习引入 〖提问〗初中学习的（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？ 〖回答〗设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数，并将自变量x 取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x 的值对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域，这种用变量叙述的函数定义我们称之为函 数的传统定义。 〖讲述〗初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等。 〖提问〗问题1：y =1（x ∈R ）是函数吗？ 问题2：y =x 与y = x x 2 是同一函数吗？ 〖投影〗观察对应： 〖分析〗观察分析集合A 与B 之间的元素有什么对应关系？ 二、讲授新课 函数的概念 （一）函数与映射 〖投影〗函数：设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个

数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y =)(x f ，x ∈A 。其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数y =)(x f 的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{)(x f |x ∈A}，叫做函数y =)(x f 的值域。 函数符号y =)(x f 表示“y 是x 的函数”，有时简记作函数)(x f 。 函数的三要素：对应法则f 、定义域A 、值域{)(x f |x ∈A} 注：只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。 映射：设,A B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个元素x ,在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应,那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射. 如果集合A 中的元素x 对应集合B 中元素y ,那么集合A 中的元素x 叫集合B 中元素y 的原象,集合B 中元素y 叫合A 中的元素x 的象. 映射概念的理解 (1)映射B A f →:包含三个要素:原像集合A ,像集合B(或B 的子集)以及从集合A 到集合B 的对应法则f .两个集合A,B 可以是数集,也可以是点集或其他集合.对应法则f 可用文字表述,也可以用符号表示.映射是一种特殊的对应关系,它具有: (1)方向性:映射是有次序的,一般地从A 到B 的映射与从B 到A 的映射是不同的; (2)任意性:集合A 中的任意一个元素都有像,但不要求B 中的每一个元素都有原像; (3)唯一性:集合A 中元素的像是唯一的,即不允许“一对多”,但可以“多对一”. 函数与映射的关系 函数是一种特殊的映射.映射与函数概念间的关系可由下表给出. 映射B A f →: 函数B y A x x f y ∈∈=,),( 集合A,B 可为任何集合,其元素可以是物,人,数等 函数的定义域和值域均为非空的数集 对于集合A 中任一元素a ,在集合B 中都有唯一确定的像 对函数的定义域中每一个x ,值域中都有唯一确定的值与之对应 对集合B 中任一元素b ,在集合A 中不一定有原像 对值域中每一个函数值,在定义域中都有确定的自变量的值与之对应 函数是特殊的映射,映射是函数的推广. 〖注意〗（1）函数实际上就是集合A 到集合B 的一个特殊对应f ：A →B 。这里A ，B 为非空的数集。 （2）A ：定义域，原象的集合；{)(x f |x ∈A}：值域，象的集合，其中{)(x f |x ∈A}?B ；f ：对应法则，x ∈A ，y ∈B （3）函数符号：y =)(x f ，y 是x 的函数，简记) (x f 〖回顾〗（二）已学函数的定义域和值域： 1、一次函数)(x f =ax ＋b (a ≠0)：定义域R ，值域R 2、反比例函数)(x f = x k (k ≠0)：定义域{x |x ≠0}，值域{y | y ≠0} 3、二次函数)(x f =ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)：定义域R ，值域：当a ＞0时，｛y |y ≥a b a c 442 -｝；

八年级数学-矩形图示法

八年级数学-矩形图示法 应用矩形图表示题目的已知量和所求量,是帮助寻找解题线索的好办法。根据题意画出矩形,可以用矩形的长表示一种量,用矩形的宽表示另一种量,面积表示这两种量的积的关系。这样可以把抽象的数量关系变得具体形象,便于寻找解题线索。 例1：买来4分一张的邮票和8分一张的邮票共63张,总值为4元。求4分邮票8分邮票各多少张？ 解：先画出矩形,把矩形的长作为总张数,宽作为8分邮票的票面额,而4分邮票的票面额相当于这矩形的宽的一半,把实际总值用斜线描出。然后观察图形进行分析。假如这63张邮票都是8分一张的,那么总钱数应该用整个矩形面积表示,而实际的总钱数为4元,即矩形面积中的阴影部分。空白部分是这两个总钱数的差,利用这个差就可以求出4分邮票的张数,随之,8分邮票的张数也可求出。 （1）4分邮票的张数： （8×63-400）÷（8-4）=104÷4=26（张） （2）8分邮票的张数： 63-26=37（张） 答：4分邮票26张,8分邮票37张。 例2：第一建筑工程公司建造甲、乙、丙三种不同规格的住房30单元,乙种住房的单元数是丙种住房的2倍。出租时,甲种每单元每月收32元,乙种每单元每月收24元,丙种每单元每月收18元。这三种住房每月租金总数为750元。求三种住房各多少单元？ 解：先画出矩形,把矩形的长作为住房的单元数,宽作为每月每单元的租金数。注意乙种住房的单元数是丙种住房的2倍。把租金总数用斜线描出。然后观察图形进行分析。

假设这30单元都是甲种住房,那么每月房租总钱数应该用整个矩形面积表示,而实际每月租金总数为750元,即矩形面积中的阴影部分。空白部分是这两个总钱数的差,利用这个差就可以求出各种住房的单元数。 （1）假设30单元都是甲种住房,每月租金总数为： 32×30=960（元） （2）实际租金数比960元少的钱数为： 960-750=210（元） （3）丙种住房的单元数为： 210÷[（32-24）×2+（32-18）] =210÷（16+14） =210÷30=7（单元） （4）乙种住房的单元数为： 7×2=14（单元） （5）甲种住房的单元数为： 30-7-14=9（单元） 答：甲种住房9单元,乙种住房14单元,丙种住房7单元。

八年级数学上册梯形(人教版)

梯形 教学目标 1.知道梯形、等腰梯形、直角梯形的有关概念；能说出并证明等腰梯形的两个性质；等腰梯形同一底上的两个角相等；两条对角线相等。 2.会运用梯形的有关概念和性质进行有关问题的论证和计算。 3.通过添加辅助线，把梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题，使学生体会图形变换的方法和转化的思想。 教学模式问题解决教学 教学过程 想一想： 什么样的四边形是平行四边形？平行四边形有哪些性质？学生回答后，教师板书以下关系图中的有关部分： 画一画： 画一个梯形，并指出梯形的上、下底，画出梯形的高。 问题教学

问题1：根据刚才的画图，请给梯形下一个定义，并说说梯形与平行四边形的区别和联系。（说明与建议：（l）让学生自己给梯形下定义，有助于训练学生观察、概括和语言表述的能力。如果学生定义时，遗漏了“另一组对边不平行”教师可举及例（2）对梯形的定义，还可以让学生讨论以下问题：一组对边平行且这组对边不相等的四边形是梯形吗？为什么？教师可用反证法的思想说理。然后，板书完成“想一想”中的关系图，并结合图表指出：梯形和平行四边形的区别和联系。（3）梯形的高是指夹在两底间的公垂线段，在计算面积时高即为上下两底（平行线）间的距离，也就是夹在两底间的公垂线段的长度。画高时可以从上底任一点向下底作垂线段，一般常从上底的两端向下底作垂线段可方便地构造直角三角形，便于计算。） 问题2：如图4.9-1，在(1)中：四边形ABCD的AD∥BC，AB CD，且CD⊥BC；在(2)中，四边形ABCD的AD∥BC，AB CD，且AB=CD。请你给这两种四边形命名。（说明与建 议：学生说出图（l）的四边形是直角梯形，图（2）是等腰梯形，通常不会有困难；教师应进一步引导学生讨论，在图(1)中CD⊥BC，那么CD⊥AD吗？（CD⊥AD，且指出：CD就是直角梯形的高)当CD⊥BC时，另一腰AB可以垂直BC吗？为什么？（若AB⊥BC，那么四边形ABCD就成为矩形了，不再是梯形。）在图(2)中，上底AD与下底BC能相等吗？（不能，否则四边形ABCD成为平行四边形，不再是梯形。） 练一练：课本例1后练习第l、2题。 问题3：观察图4.9－2中的等腰梯形ABCD，猜想它还可能具有哪些特殊性质。并能证明你的猜想吗？ 说明与建议：(l)教师要用微笑、点头、赞叹、激励的表情和话语来鼓励学生大胆猜想。(2)学生可能提出以下猜想：∠B=∠C，∠A＝∠D，∠A＋∠B=，∠C＋∠D=， 是轴对称图形等等。教师要引导学生关注等腰梯形特有的性质---等腰梯形的底角相等。 (3)如何证明这个猜想，可让学生自己思考、探索、交流，教师给以引导，鼓励证明多样化，如课本第174页的证法。教师可提醒学生证明过程中用到了“夹在平行线间的平行线段相等”这一性质。并指出：这种证法的实质是把一腰平移，从而构造出等腰三角形；对

高中数学必修1 函数知识点总结

高中数学必修1函数知识总结 一、函数的有关概念 1．函数的概念：设A 、B 是非空的 ，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有 的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y=f(x)，x ∈A ．函数的三要素为 找错误：①其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域； ②与x 的值相对应的y 值叫做函数值，所以集合B 为值域。 注意：1、如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；2、函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 专项练习1.求函数的定义域： 类型1.⑴22153x x y x --= + ⑵0 (21)y x =- ⑶2214log (1) y x x = +-+ 总结： 能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零 (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. (注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。) 类型2 抽象函数求定义域： 1.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域 方法总结 练习1.已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域为 练习2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2 的定义域为 2.已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域方法总结 练习1.若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，求函数()f x 的定义域． 练习2. 已知函数2 (22)f x x -+的定义域为[]03，，求函数()f x 的定义域． 3.已知复合函数[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域方法总结 练习1.若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 练习2、已知函数的定义域为，则y=f(3x-5)的定义域为________。

高中数学必修1函数概念及性质知识点总结

数学必修1函数概念及性质（知识点总结） （一）函数的有关概念 1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A 叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域． 注意：○2如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；○3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 定义域补充 能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. (又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。) 2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 再注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致(两点必须同时具备) (见课本21页相关例2) 值域补充 (1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. (2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础. (3).求函数值域的常用方法有：直接法、反函数法、换元法、配方法、均值不等式法、判别式法、单调性法等. 3. 函数图象知识归纳 (1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x ∈A)的图象． C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上. 即记为C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A } 图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成. (2) 画法 A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来. B、图象变换法（请参考必修4三角函数） 常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换 (3)作用： 1、直观的看出函数的性质； 2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。

高中数学必修1函数及其表示题型总结

函数及其表示 考点一 求定义域的几种情况 ①若 f(x) 是整式，则函数的定义域是实数集 R ； ②若 f(x) 是分式，则函数的定义域是使分母不等于 0 的实数集； ③若 f(x) 是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于 0 的实数集合； ④若 f(x) 是对数函数，真数应大于零。 ⑤. 因为零的零次幂没有意义，所以底数和指数不能同时为零。 ⑥若 f(x) 是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合； ⑦若 f(x) 是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题 考点二 映射个数公式 m Card(A)=m,card(B)=n, m,n N ,则从 A 到 B 的映射个数为 n 。简单说成“前指后底” 。 方法技巧清单 方法一 函数定义域的求法 1．（2009 江西卷文）函数 y x 2 3x 4 的定义域为 （ ） x A ． [ 4,1] B ． [ 4, 0) C ． (0,1] D ． [ 4, 0) (0,1] 解析 由 x 0 得 4 x 0 或 0 x 1,故选 D. 3x 4 x 2 2．（2009 江西卷理）函数 y ln( x 1) 的定义域为 () x 2 3x 4 A ． ( 4, 1) B ． ( 4,1) C ． ( 1,1) D ． ( 1,1] x 1 0 x 1 1 x 1 .故选 C 解析 由 3x 4 0 4 x 1 x 2 3.（2009 福建卷文）下列函数中，与函数 y 1 ( ) 有相同定义域的是 x A . f (x) ln x B. f ( x) 1 C. f ( x) | x | D. f ( x) e x x 1 x 0. f ( x ) ln x 的定义域 x 1 x ≠ 0； f ( x) | x |的定义域是 解析 由 y 可得定义域是 0 ； f (x) 的定义域是 x x x R; f (x) e x 定义域是 x R 。故选 A. lg( 4 x ) ．答案 4.（2007 年上海） 函数 y 的定义域是 x 3 2 x x 4 且 x 3 5.求下列函数的定义域。① y= x 2 x 1 x 1 1 x x 2 .② y= .③y= x x 6.已知函数 f(x) 的定义域为 1,5 ，求函数 F(x)=f(3x-1)-f(3x+1) 的定义域。 方法二 函数概念的考察