16 三角函数模型的简单应用1
1.6 三角函数模型的简单应用 同步测试
1、设()y f t =是某港口水的深度关于时间t (时)的函数，其中024t ≤≤,下表是该港口某t
1 2４ y 1
2 15.1 12．1 9.1 11.9 14.9 １１.9
8．９ 1２．1 经长期观察,函数()y f t =的图象可以近似地看成函数sin()y k A t ω?=++的图象． 根据上述数据，函数()y f t =的解析式为( ）
A ．123sin ,[0,24]6t
y t π=+∈ Ｂ．123sin(),[0,24]6
t y t ππ=++∈
Ｃ.123sin ,[0,24]12t y t π=+∈ D.123sin(),[0,24]122t y t ππ=++∈ ２、以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店的销售价格时发现:该商品的出厂价格是在6元基础上按月份随正弦曲线波动的，已知3月份出厂价格最高为8元，７月份出厂价格最低为4元,而该商品在商店的销售价格是在8元基础上按月随正弦曲线波动的,并已知5月份销售价最高为10元,9月份销售价最低为6元，假设某商店每月购进这种商品m 件，且当月售完,请估计哪个月盈利最大?并说明理由.
3、 如图表示电流 I 与时间ｔ的函数关系式： I =Asin(t )ω+?在同一周期内的图象。
（1）根据图象写出I ＝Asin(t )ω+?的解析式；
(2）为了使I =Asin(t )ω+?中ｔ在任意－段1
100秒的时
间内电流Ｉ能同时取得最大值和最小值，那么正整数ω的最小
值是多少?
４、如图某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似地满足
函数y Asin(x )b =ω+?+
（1）求这段时间的最大温差
（2)写出这段曲线的函数解析式。
同步测试答案
1、Ａ
2、由条件可得:出厂价格函数为ππ
=-+12sin()644y x ,
销售价格函数为ππ=-+232sin(
)8,44
y x 则利润函数为： )4
sin 222(]6)44sin(28)434sin(2[)(12x m x x m y y m y πππππ-=---+-=-= 所以，当x=6时,Y=(２+22）m ，即6月份盈利最大．
3、解：(1）由图知Ａ=300，3001t 1-=,1501t 3=
ππω100T 250
1)30011501(2)t t (2T 13==∴=+=-=
由0t 1=+?ω得3t 1π
ω?=-=
)
3t 100sin(300I π
π+=∴ （2）问题等价于10012T ≤，即1001T ≤ω
πω100≥∴，∴正整数ω的最小值为3１4。
4、解：（l ）由图４知这段时间的最大温差是3０-1０=２０（℃）
（2)在图4中，从6时到14时的图象是函数y Asin(x )b =ω+?+的半个周期的图象 614221-=?∴ωπ,解得
8πω= 由图4知
10)1030(21A =-?= 20)1030(21b =+?=
这时20)x 8sin(10y ++=?π
将10y 6x ==，代入上式，可取43π?=
综上所述，所求解析式为: ]146[x 20)43x 8sin(10y ，，∈++=ππ
1.6 三角函数模型的简单应用
1.6 三角函数模型的简单应用 课堂训练 一、选择题 1．函数的2cos 3cos 2y x x =-+最小值为（ ） A ．2 B ．0 C ．4 1- D ．6 2． 2sin 5cos )(+-?=x x x x f ，若a f =)2(，则)2(-f 的值为（ ） ． A ．－a B ．2＋a C ．2－a D ．4－a 3．设A 、B 都是锐角，且cosA ＞sinB 则A+B 的取值是 （ ） A ．??? ??ππ,2 B ．()π,0 C ．?? ? ??2,0π D ．?? ? ??2,4ππ 4．若函数 )(x f 是奇函数，且当0
三角函数模型的简单应用
课题（章节）1．6 三角函数模型的简单应用（二） 教学目标 能正确分析收集到的数据，选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律； 能根据问题的实际意义，利用模型解决有关实际问题； 通过三角函数模型的简单应用，培养学生应用数学知识解决问题的能力。 教学重点用三角函数模型解决具有周期变化规律的实际问题 教学难点将某些实际问题抽象为三角函数模型，对实际意义的数学解释 课的类型新授课时间45分钟 教学时数1课时教具几何画板课件，计算器 板书设计 （提纲）三角函数模型的简单应用（二） 将实际问题抽象为三角函数模型：建模的基本思路： 例题：1．根据数据作散点图 2．根据图像进行函数拟合 3．选择恰当的函数模型 本题小结：4．利用函数模型解决实际问题 教学过程： 新课引入： 问题：对于三角函数模型，我们都学习了哪几个方面的应用？ 引入：利用三角函数模型我们还可以解决哪些问题呢？ 教学情景： 将实际问题抽象为三角函数模型： 例：海水受日月的引力，在一定时候发生涨落的现象叫潮。一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；在落潮时返回海洋。下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表： 时刻水深/米时刻水深/米时刻水深/米 0：00 5．0 9：00 2．5 18：00 5．0 3：00 7．5 12：00 5．0 21：00 2．5 6：00 5．0 15：00 7．5 24：00 5．0 选用一个函数来近似描述这个港口的水深与实间的函数关系，给出整点时的水深的近似数值（精确到0．001）； 一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1．5米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？ 若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1．5米，该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0．3米的速度减少，那么该船在什么时候必须停止卸货，将船驶向较深的水域？ 分析：1．观察表格中的数据，你发现了什么规律？（从所给数据中发现周期性变化规律）； 2．要求学生根据数据作出散点图，观察徒刑，你认为可以用怎样的函数模型来刻画其中的规律？（引导学生根据散点图的特点选择函数模型）； 3．引导学生与“五点法”联系，求出函数模型的解析式； 4．根据所得的函数模型，求出整点时的水深；（利用计算器） 5．引导学生正确理解题意，利用函数模型解决实际问题，求出第（2）问，并对答案进行合理地解释；（利用计算器进行计算） 6．引导学生正确理解第（3）问，用函数模型刻画安全水深，并对答案做出合理地解释 解：(1)以时间为横坐标，水深为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图： 根据图像，可以考虑用函数 sin() y A x h ω? =++刻画水深与时间之间的对应关系。从数据和图象可以得出： 2.5,5,12,0 A h T? ====，由 2 12 T π ω == ，得6 π ω= 。所以，这个港口的水深与时间的关系可用 2.5sin5 6 y x π =+ 近似描述。 由上述关系式，易得港口在整点时水深的近似值： 时刻0：00 1：00 2：00 3：00 4：00 5：00 6：00 7：00 水深5．000 6．250 7．165 7．500 7．165 6．250 5．000 3．754 时刻8：00 9：00 10：00 11：00 12：00 13：00 14：00 15：00 水深2．835 2．500 2．835 3．754 5．000 6．250 7．165 7．500 时刻16：00 17：00 18：00 19：00 20：00 21：00 22：00 23：00 水深7．165 6．250 5．000 3．754 2．835 2．500 2．835 3．754 （2）货船需要的安全水深为4+1．5=5．5（米），所以 5.5 y≥时就可以进港。
三角函数在实际生活中的应用
三角函数在实际生活中的应用 目录 摘要：1 关键词：3 1引言3 1.1三角函数起源3 2三角函数的基础知识4 2.1下列是关于三角函数的诱导公式5 2.2两角和、差的正弦、余弦、正切公式7 2.3二倍角的正弦、余弦、正切公式7 3.三角函数与生活7 3.1火箭飞升问题7 3.2电缆铺设问题8 3.3救生员营救问题9 3.4足球射门问题10 3.5食品包装问题10 3.6营救区域规划问题11 3.7住宅问题12 3.8最值问题13 4 总结14 Abstract
Trigonometric function in the course of historical development of continuous improvement, has formula, rich thoughts, flexible, permeability is strong and so on。The characteristic is not only an important part of scientific research, or in mathematics learning to key and difficult. In a word it in teaching and other fields has important role. In this paper, we will make a brief discussion about the application of trigonometric functions in solving practical problems. Keywords：mathematics trigonometric function Application of trigonometric function 摘要： 三角函数在历史的发展过程中不断完善，具有公式多、思想丰富、变化灵活、渗透性强等特点，不仅是科学研究的重要组成部分，还是数学学习中得重点难点，
三角函数模型的简单应用教案
三角函数模型的简单应用一、教学目标 1 、基础知识目标： a 通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法； b 根据解析式作出图象并研究性质； c 体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程； d 体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型． 2、能力训练目标：让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力． 3、个性情感目标：让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用从而激发学生的学习兴趣，培养锲而不舍的钻研精神；培养学生勇于探索、勤于思考的精神。 二、教学重点：精确模型的应用——即由图象求解析式，由解析式研究图象及性质 三、教学难点： a 、分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型，并调动相关学科的知识来解决问题． b 、由图象求解析式时的确定。 四、教学过程及设计意图 教学过程 设计意图 （一）课题引入 情景展示，引入课题（多媒体显示） 同学们看过海宁潮吗？……?今天我就带大家去看一看天下奇观一一海宁潮. 在潮起潮落中
也蕴含着数学知识． 又如大家熟悉的“物理中单摆对平衡位置的位移与时间的关系”、“交流电的电流与时间的关系”、“声音的传播”等等也都蕴含着三角函数知识。 通过上面的例子引发学生的兴趣，贴近生活，可以告诉学生生活离不开数学，身边充满了数学；同时可以让学生知道数学的重要性，不仅仅是课本上的内容，还有生活都可以用到数学，所以学生更应该努力学习，才能更懂得生活。 这样的例子还有很多，比如： 二．由图象探求三角函数模型的解析式 例1 ?如图，某地一天从6?14时的温度变化曲线近似满足函数. (1 )求这一天6?14时的最大温差； (2 )写出这段曲线的函数解析式. 解：( 1 )由图可知：这段时间的最大温差是； (2)从图可以看出：从6?14 是的 半个周期的图象， 又… - ??? 将点代入得： ??,取，??。 问题的反思】
三角函数在物理学中的应用
三角函数的应用 高考物理试题的解答离不开数学知识和方法的应用，三角函数在物理学中的应用最为广泛。借助物理知识渗透考查数学能力是高考和自主招生命题的永恒主题。高考物理考试大纲对学生应用数学工具解决物理问题的能力作出了明确要求。下面对三角函数的应用做一小总结。 公式总结 1．利用二倍角公式求极值 正弦函数二倍角公式 θθθcos sin 22sin = 如果所求物理量的表达式可以化成 θθcos sin A y = 则根据二倍角公式，有 θ2sin 2 A y = 当 0 45=θ时，y 有最大值 2 max A y = 2．利用和差角公式求物理极值 三角函数中的和差角公式为 βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± 在力学部分求极值或讨论物理量的变化规律时，这两个公式经常用到，如果所求物理量的表达式为θθcos sin b a y +=，我们可以通过和差角公式转化为 )cos sin ( 2 2 2 2 22θθb a b b a a b a y ++++= 令 φcos 2 2 =+b a a ， φsin 2 2=+b a b 则 )sin(22φθ++= b a y 当 0 90=+φθ时，y 有最大值 22max b a y += 3．利用求导求物理极值 4．三角函数中的半角公式 2cosa -12a sin = 2 cosa 12cos +=a
a a a a a cos 1sin sin cos 1cos 1cosa -12a tan +=-=+= a a a a a sin cos 1cos 1sin cos 1cosa 12a cot +=-=-+= 典型例题解析： 1、一间新房即将建成时要封顶，考虑到下雨时落至房顶的雨滴能尽快地流离房顶，要设计好房顶的坡度，设雨滴沿房顶下淌时做无初速度无摩擦地运动，那么图1所示四种情况中符合要求的是（ ） 【解析】雨滴沿房顶做初速度为零的匀加速直线运动，设房顶底边长为L ，斜面长为S ，倾角为θ，根据运动学公式2at 21S = 有θθsin gt 2 1cos 2L 2?=，解得θ θθ2s i n gL 2cos sin gL t = ?= ，当0 45=θ时，t 有最小值． 【答案】C 2、如图2所示,一辆1/4圆弧形的小车停在水平地面上。一个质量为m 的滑块从静止开始由顶端无摩擦滑下，这一过程中小车始终保持静止状态，则滑块运动到什么位置时，地面对小车的静摩擦力最大？最大值是多少？ 【解析】设圆弧半径为R ，滑块运动到半径与竖直方向成θ角时，静摩擦力最大，且此时滑块速度为v ，根据机械能守恒定律和牛顿第二定律，应有 2 2 1cos mv mgR = ?θ ① R v m mg N 2 cos =-θ ② 由①②两式联立可得滑块对小车的压力 θcos 3mg N = 而压力的水平分量为 θθθθ2sin 2 3 cos sin 3sin mg mg N N x = ?=?= 设地面对小车的静摩擦力为f ，根据平衡条件，其大小 θ2sin 2 3 mg N f x = = 从f 的表达式可以看出，当θ=450 时，θ2sin =1有最大值，则此时静摩擦力的最大值 图2 图1
考点15-函数y=Asin(wx￠)的图象及三角函数模型的简单应用(新)
知识点15 函数y=Asin （wx ?+）的图像及三角函数模型的简单应用 一、选择题 1.（2014·浙江高考文科·Ｔ4）为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图象，可以将函数y x =的图像（ ） A ．向右平移12π个单位 B ．向右平移4π 个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向左平移4π 个单位 【解题提示】 由函数sin()y A x ω?=+的图象平移与变换解决. 【解析】选A.因为 sin 3cos3) 4y x x x π =+=-，故只需将y x =的图象向右平移12π个单位即可. 2.（2014·浙江高考理科·Ｔ4）为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图 像（ ） A.向右平移4π个单位 B.向左平移4π 个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π 个单位 【解题指南】由函数sin()y A x ω?=+的图象平移与变换解决. 【解析】选D.因为 sin 3cos3) 4y x x x π =+=+，故只需将x y 3sin 2=的图象向左平移12π个单位即可. 3.（2014·安徽高考文科·Ｔ7）若将函数()sin 2cos 2f x x x 的图像向右平移?个单位，所得图像关于y 轴对称，则?的最小正值是（ ） A. 8π B.4π C.83π D.4 3π 【解题提示】平移后得到的函数是余弦函数。 【解析】选C ，将函数()sin 2cos 22sin(2)4 f x x x x 的图像向右平移?个单位，所
得函数为() 2sin[2()]2sin[2( 2)]4 4 f x x x ，其图像关于y 轴对称，则 () 2cos 2f x x ，所以2=+4 2 k ，所以?的最小正值是 38 . 4.（2014·四川高考理科·Ｔ3）为了得到函数)12sin(+=x y 的图象，只需把函数x y 2sin =的图象上所有的点（ ） A.向左平行移动21个长度单位 B. 向右平行移动2 1 个长度单位 C.向左平行移动1个长度单位 D. 向右平行移动1个长度单位 【解题提示】x y 2sin =???????? →1 向左平行移动个长度单位 2 1 sin[2()1]2 y x =++sin(21)x =+. 【解析】选 A. 将x y 2sin =的图象上所有的点向左平行移动 2 1 个长度单位得到函数1 sin[2()1]2 y x =++sin(21)x =+.故选A. 5.（2014·四川高考文科·Ｔ3）为了得到函数sin(1)y x =+的图象，只需把函数sin y x =的图象上所有的点（ ） A ．向左平行移动1个单位长度 B ．向右平行移动1个单位长度 C ．向左平行移动π个单位长度 D ．向右平行移动π个单位长度 【解题提示】sin y x =???????? →向左平行移动1个长度单位 sin(1)y x =+. 【解析】选A. 只需把sin y x =的图象上所有的点向左平行移动1个单位长度，便得到函数sin( 1)y x =+的图象，选A. 二、填空题 6. （2014·上海高考文科·Ｔ12） []sin 10,2______.x x π= 方程在区间上的所有解的和等于 【解题提示】 ω?首先将左边函数化为Asin(x+)的形式，再根据三角函数的图像特点可求. 【解析】 152sin()1,sin(),2+ 332366 117.2637. 3 x x x x πππππ ππππ π=+=+=+=令所以即或解得x=或，所以所有解的和为答案：
1.6 三角函数模型简单应用练习题(解析版)
1.6 三角函数模型简单应用 1．函数的2cos 3cos 2y x x =-+最小值为（ ） A ．2 B ．0 C ．4 1 - D ．6 2．2sin 5cos )(+-?=x x x x f ，若a f =)2(，则)2(-f 的值为（ ）． A ．－a B ．2＋a C ．2－a D ．4－a 3．设A 、B 都是锐角，且cosA ＞sinB 则A+B 的取值是 （ ） A ．?? ? ??ππ,2 B ．()π,0 C ．??? ??2,0π D ．?? ? ??2,4ππ 4．若函数)(x f 是奇函数，且当0
《三角函数模型的简单应用》练习
《三角函数模型的简单应用》练习 一、选择题 1.函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可以是( ) (x)=x+sinx (x)= (x)=xcosx (x)=x·· 2.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin+k，据此函数可知， 这段时间水深(单位：m)的最大值为( ) B.6 3.如图，小明利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知他与树之间的水平距离BE为5m， AB为1.5m(即小明的眼睛距地面的距离)，那么这棵树高是( ) 4.电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I=Asin(ωt+φ)的图 象如图所示，则当t=秒时，电流强度是( ) 安安 安安 5.已知函数y=f(x)的图象如图所示，则函数y=f(-x)sinx的大致图象是( )
二、填空题 6.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y=a+Acos(x=1，2， 3，…，12)来表示，已知6月份的平均气温最高，为28℃，12月份的平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃. 7.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t=0时，点A与钟面上 标12的点B重合，将A，B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d=________，其中t∈[0，60]. 8.国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P=Asin+60(美元)(t(天)，A>0，ω>0)，现 采集到下列信息：最高油价80美元，当t=150(天) 时达到最低油价，则ω的最小值为__________. 三、解答题 9.某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系： f(t)=10-cos t-sin t，t∈[0，24).(1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差. 10.如图，某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化. (1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式(其中t以年初以来的月为计量单位，如t=1表示2月1日). (2)估计当年3月1日动物种群数量. 《三角函数模型的简单应用》巩固练习 一、选择题 1.如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针
三角函数在实际中的应用
专题3 锐角三角函数在实际中的应用 解题技巧： 1．如果图形不是直角三角形，一定要考虑添加适当的辅助线（作平行线或作垂线），构造直角三角形，然后选择恰当的三角函数（正弦、余弦或正切）； 2．在求线段长度的时候，如果不能直接求出长度，可以考虑列方程求值。 一仰角、俯角问题 1．某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆的高度．已知小亮站着测量，眼睛与地面的距离（AB）是1.7米，看旗杆顶部E的仰角为30°；小敏蹲着测量，眼睛与地面的距离（CD）是0.7米，看旗杆顶部E的仰角为45°．两人相距5米且位于旗杆同侧（点B、D、F在同一直线上）． （1）求小敏到旗杆的距离DF．（结果保留根号） （2）求旗杆EF的高度．（结果保留整数，参考数据：≈1.4，≈1.7） 2．如图所示，某古代文物被探明埋于地下的A处，由于点A上方有一些管道，考古人员不能垂直向下挖掘，他们被允许从B处或C处挖掘，从B处挖掘时，最短路线BA与地面所成的锐角是56°，从C处挖掘时，最短路线CA与地面所成的锐角是30°，且BC=20m，若考古人员最终从B处挖掘，求挖掘的最短距离．（参考数据：sin56°=0.83，tan56°≈1.48，≈1.73，结果保留整数）
3．(2014潍坊)如图，某海域有两个海拔均为200米的海岛A和海岛B，一勘测飞机在距离海平面垂直高度为1100米的空中飞行，飞行到点C处时测得正前方一海岛顶端A的俯角是45°，然后沿平行于AB的方向水平飞行1.99×104米到达点D处，在D处测得正前方另一海岛顶端B的俯角是60°，求两海岛间的距离AB. 4.一电线杆PQ立在山坡上，从地面的点A看，测得杆顶端点A的仰角为45°，向前走6m 到达点B，又测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别为60°和30°， （1）求∠BPQ的度数； （2）求该电线杆PQ的高度．（结果精确到1m） 5.如图，为了开发利用海洋资源，某勘测飞机测量一岛屿两端A、B的距离，飞机以距海平面垂直同一高度飞行，在点C处测得端点A的俯角为60°，然后沿着平行于AB的方向水平飞行了500米，在点D测得端点B的俯角为45°，已知岛屿两端A、B的距离541.91米，求飞机飞行的高度．（结果精确到1米，参考数据：≈1.73，≈1.41）
三角函数的图像及模型的简单应用
参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响． 2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题． 学习过程： 一． 知识梳理： 3．函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤 注意：细细体会上述两种变换的区别。 二． 问题探究： 1.画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图： )3 sin( )2( sin )1(π - ==x y x y 3. 经过怎样的变化得到（注意定义域）： ),0[),7 3sin(3 1)2( );,0[),8 4sin( 8)1(+∞∈+ =+∞∈-=x x y x x y π π
4.若函数f(x)＝sin(2x ＋φ)的图象关于y 轴对称，则φ值是________． 5.画出函数x y sin =的图像并观察期周期和奇偶性： 三． 拓展升华： 1. 由函数的图像的图像要得到 )sin(sin ?ω+==x A y x y 经过怎样的变化可以得到？ 2. 在直角坐标系中?? ?+=+=θ θsin cos r b y r a x 表示什么曲线？（其中a,b,r 是常数，且r 为正数，θ在)2,0[π内变化） 3.函数f(x)＝3sin(2x －π 3)的图象为C ，下列结论中正确的是( ) A ．图象C 关于直线x ＝π6对称 B 由y ＝3sin2x 向右平移π 3个单位长度可得到图象C C ．图象C 关于点(－π6，0)对称 D ．函数f(x)在区间(－π12，5π 12 )内是增函数 4.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b (ω>0，|φ|<π 2 )的图象 的一部分如图所示： (1)求f (x )的表达式； (2)试写出f (x )的对称轴方程． 5.已知函数f(x)＝sin 2 ωx ＋3sin ωxsin(ωx ＋ π2 )＋2cos 2 ωx ，x∈R (ω>0)，在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为π 6 . (1)求f(x)的对称轴方程； (2)求f(x)的单调递增区间． 四． 规律总结：
1.5 三角函数的应用 教案
一、情境导入 为倡导“低碳生活”，人们常选择自行车作为代步工具，图①所示的是一辆自行车的实物图．图②是这辆自行车的部分几何示意图，其中车架档AC 与CD 的长分别为45cm 和60cm ，且它们互相垂直，座杆CE 的长为20cm.点A 、C 、E 在同一条直线上，且∠CAB ＝75°. 你能求出车架档AD 的长吗？ 二、合作探究 探究点：三角函数的应用 【类型一】 利用方向角解决问题 某船以每小时36海里的速度向正东方向航行，在点A 测得某岛C 在北偏东60°方向上，航 行半小时后到达点B ，测得该岛在北偏东30°方向上， 已知该岛周围16海里内有暗礁． (1)试说明点B 是否在暗礁区域外； (2)若继续向东航行有无触礁危险？请说明理由． 解析：(1)求点B 是否在暗礁区域内，其实就是求CB 的距离是否大于16，如果大于则不在暗礁区域内，反之则在．可通过构造直角三角形来求CB 的长，作CD ⊥AB 于D 点，CD 是Rt △ACD 和Rt △CBD 的公共直角边，可先求出CD 的长，再求出CB 的长；(2)本题实际上是问C 到AB 的距离即CD 是否大于16，如果大于则无触礁危险，反之则有，CD 的值在第(1)问已经求出，只要进行比较即可． 解：(1)作CD ⊥AB 于D 点，设BC ＝x ，在Rt △BCD 中，∠CBD ＝60°，∴BD ＝12x ，CD ＝3 2x .在 Rt △ACD 中，∠CAD ＝30°，tan ∠CAD ＝CD AD ＝33，∴3 2x 18＋12x ＝3 3 .∴x ＝18.∵18>16，∴点B 是在暗礁 区域外； (2)∵CD ＝ 3 2 x ＝93，93＜16，∴若继续向东航行船有触礁的危险． 方法总结：解决本题的关键是将实际问题转化为直角三角形的问题，通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中解决． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第4题 【类型二】 利用仰角和俯角解决问题 某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”时，组织开展测量物体高度的实践活 动．在活动中，某小组为了测量校园内①号楼AB 的高度(如图)，站在②号楼的C 处，测得①号楼顶部A 处的仰角α＝30°，底部B 处的俯角β＝45°.已知两幢楼的水平距离BD 为18米，求①号楼AB 的高
三角函数模型简单练习(含答案)
三角函数模型简单应用练习题 1．你能利用函数sin y x =的奇偶性画出图象吗？它与函数sin y x =的图象有什么联系？ 2．已知：1sin 2α=-，若(1),22ππα∈-?? ??? ； (2)(0,2)απ∈； (3)α是第三象限角；(4)α∈R ．分别求角α。 3．已知[]0,2θπ∈, sin ,cos θθ分别是方程2 10x kx k -++=的两个根，求角θ． 4．设A 、B 、C 、D 是圆内接四边形ABCD 的四个内角，求证： （1）sin A ＝sin C ； （2）cos （A ＋B ）＝cos （C ＋D ）； （3）tan （A ＋B ＋C ）＝－tan D ． 5．某商品一年内出厂价格在6元的基础上按月份随正弦曲线波动，已知3月份达到最高价格8元，7月份价格最低为4元，该商品在商店内的销售价格在8元基础上按月份随正弦曲线波动，5月份销售价格最高为10元，9月份销售价最低为6元，假设商店每月购进这种商品m 件，且当月销完，你估计哪个月份盈利最大? 6．把一张纸卷到圆柱形的纸筒面上，卷上几圈．用剪刀斜着．．将纸筒剪断，再把卷着的纸展开，你就会看到：纸的边缘线是一条波浪形的曲线，试一试动手操作一下.它是正弦曲线吗？ 7．如图，铁匠师傅在打制烟筒弯脖 时，为确保对接成直角，在铁板上的下 剪线正好是余弦曲线：cos x y a a =的一 个周期的图象，问弯脖的直径为12 cm 时，a 应是多少cm ? 8．已知函数f (x )=x 2cos 12-，试作出该函数的图象，并讨论它的奇偶性、周期性以及区间[0， 2 π ]上的单调性。
最新1.5三角函数的应用汇编
1.5三角函数的应用 主备人：审核人：学生姓名：使用日期： 学习目标： 1、从生活实际问题中提炼出用三角函数解决问题的数学的思想 2、进一步感受数形结合的思想 重点：经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用. 难点：灵活将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，并选择适当三角函数来解决. 学习过程 一、知识链接： 1、直角三角形中，三边的关系？两个锐角的关系？边与角的关系？ 2、互余两角之间的三角函数关系？ 3、30°、45°、60°角的三角函数值是多少？ 4什么是方位角？什么是仰角和俯角？ 5、如图，点B在点A的位置，点A在点B的位置。 二、自主探究 探究一： 海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛西南的B 处，往东行驶5海里后，到达该岛的南偏西30°的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是如何想的?与同伴进行交流.
探究二：大胆一试 如图，小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进 50m至B处.测得仰角为60°.那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计) 三、课堂检测 1、如图，一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且DB＝5 m，现再在C点上方2m 处加固另一条钢缆ED，那么钢缆ED的长度为多少? 2、如图所示，一艘渔船正以30km/时的速度由西向东追赶鱼群，在A处看见小岛在船的北偏东600,40分钟后，渔船行至C处，此时看见小岛F在船的北偏东300，已知以小岛F为中心周围10km 以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，若这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区 的可能。 北 F 30? 60? A
高考数学 考点15 函数y=Asin(wx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
考点15 函数=sin(+)y A wx ?的图象及三角函数模型的简单应用 一、选择题 1.（2012·山东高考文科·Ｔ8）函数2sin (09) 63x y x ππ?? =-≤≤ ???的最大值与最小值之和为（ ） (A)23- (B)0 (C)－1 (D)13-- 【解题指南】本题考查三角函数的性质，可利用整体代入法求出最大值域最小值. 【解析】选 A.因为90≤≤x ，所以 696 0π π ? ≤≤ x ，所以 673 6 3 π π π π ≤ - ≤ - x ，所以 1)36sin(23≤-≤- ππx ，所以2)36sin(23≤-≤-ππx . 所以函数2sin (09) 63x y x ππ?? =-≤≤ ???的最大值与最小值之和为23- . 2.（2012·新课标全国高考理科·T9）已知ω >0,函数 ()sin 4f x x πω? ?=+ ???在,2ππ?? ? ??上单调递减，则ω的取值范围是（ ） A ．15,24?????? B. 13,24??? ??? 1(0,]2 D. (0,2] 【解题指南】将 ()sin 4f x x πω? ?=+ ? ??看作是由sin y x ω=的图象平移得到的，由sin y x ω=的单调减区间得到 ()sin 4f x x πω??=+ ???的单调减区间，然后利用,2ππ?? ? ??是单调减区间的一个子集，求得ω的取值范围. 【解析】选 A.结合sin y x ω=的图象可知sin y x ω=在3,22ππωω?? ??? ?上单调递减，而sin sin 44y x x ππωωω??????=+=+ ? ??? ??? ???，可知sin y x ω=图象向左平移4πω个单位之后可得sin 4y x πω??=+ ???的图象，故sin 4y x πω??=+ ???在5,44ππωω??????上递减，故应有5,,244ππππωω???? ?????????，解 得15 2 4ω≤≤ .
三角函数模型的简单应用试题(含答案)6
一、选择题 1．函数的2cos 3cos 2y x x =-+最小值为（ ） A ．2 B ．0 C ．4 1 - D ．6 2．2sin 5cos )(+-?=x x x x f ，若a f =)2(，则)2(-f 的值为（ ）． A ．－a B ．2＋a C ．2－a D ．4 －a 3．设A 、B 都是锐角，且cosA ＞sinB 则A+B 的取值是 （ ） A ．?? ? ??ππ,2 B ．()π,0 C ．?? ? ? ?2,0π D ．?? ? ??2,4ππ 4．若函数)(x f 是奇函数，且当0
A ．y=x x x x cos cos 22-+ B ．y= x x x x cos sin cos sin -+ C ．y=2cosx D ．y=lg(sinx+x 2sin 1+) 二、填空题 6．在满足 x x 4 πtan 1πsin +＝0的x 中，在数轴上求离点6最近的那个整数值是 ． 7．已知( )sin 4f x a x =+（其中a 、b 为常数），若()52=f ，则 ()2f -=__________． 8．若?>30cos cos θ，则锐角θ的取值范围是_________． 9．由函数?? ? ??≤ ≤=656 3sin 2ππ x x y 与函数y ＝2的图象围成一个封闭图形，这个封闭图形的面积是_________． 10．函数1sin(2)2 y x θ=+的图象关于y 轴对称的充要条件是 三、解答题 11．如图，表示电流强度I 与时间t 的关系式
45三角函数模型的应用
§4.5 三角函数模型的应用 1．如果某种变化着的现象具有周期性，那么它就可以借助____________来描述． 2．三角函数作为描述现实世界中________现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．具体的，我们可以利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行____________而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题． 3．y ＝||sin x 是以______为周期的波浪形曲线． 4．太阳高度角θ、楼高h 0与此时楼房在地面的投影长h 之间有如下关系：________________. 自查自纠： 1．三角函数 2.周期 函数拟合 3．π 4.h 0＝h tan θ 已知某人的血压满足函数解析式f (t )＝24sin160πt ＋110.其中f (t ) 为血压(mmHg)，t 为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数为( ) A ．60 B ．70 C ．80 D ．90
解：由题意可得f ＝1T ＝160π 2π ＝80.所以此人每分钟心跳的次数为80.故选C. 某班设计了一个八边形的班徽(如图)，它由腰长为1，顶角为α 的四个等腰三角形及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为( ) A ．2sin α－2cos α＋2 B ．sin α－3cos α＋3 C ．3sin α－3cos α＋1 D ．2sin α－cos α＋1 解：四个等腰三角形的面积之和为4×1 2×1×1×sin α＝2sin α.再由余弦定理可得正方形的边长为 12 ＋12 －2×1×1×cos α＝2－2cos α，故正方形的面积为2－2cos α，所以所求八边形的面积为2sin α－2cos α＋2.故选A.
1.5三角函数的应用
实用文档 1.5三角函数的应用 1.如图,一枚运载火箭从地面O 处发射,当火箭到达A 点时,从地面C 处的雷达站 测得AC 的距离是6km ,仰角是43,1s 后,火箭到达B 点,此时测得BC 的距离是6.13km , 仰角为45.54,这枚火箭从A 点到B 点的平均速度是多少?(精确到 0.01km s ) 2．如图1—62所示，一艘渔船正以30海里／时的速度由西向东追赶鱼群，自A 处经半小时到达B 处，在A 处看见小岛C 在船的北偏东60°的方向上，在B 处看见小岛C 在船的北偏东30°的方向上，已知以小岛C 为中心周围10海里以内 为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，则这艘船继续向东追赶鱼 群，是否有进入危险区域的可能? 3.某地震救援队探测出某建筑物废墟下方点C 处有生命迹象,已知废墟一侧地面上两探测点A ，B 相距3米,探测线与地面的夹角分别是30和60(如图),试确定生命所在点C O A B C
实用文档 的深度.(结果精确到0.1米,参考数据:2 1.41≈,3 1.73≈) 4．如图1—63所示，某货船以20海里／时的速度将一批重要物资由A 处运往正西方向的B 处，经16小时到达，到达后立即卸货，此时接到气象部门通知，一台风中心正以40海里／时的速度由A 处向北偏西60°的AC 方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均会受到影响： (1)B 处是否会受到台风的影响?清说明理由； (2)为避免卸货过程受到台风影响，船上人员应在多少小时内卸完货物?(精确到0.1小时，3≈1.732) 5．如图l —64所示，MN 表示某引水工程的一段设计路线，从点M 到点N 的走向为北偏西30°，在点M 的北偏西60°方向上有一点A ，以点A 为圆心，以500米为半径的圆形区域为居民区，取MN 上另一点B ，测得BA 的方向为北偏西75°．已知MB=400米，若不改变方向，则输水路线是否会穿过居民区?(3≈ A B D 3060
三角函数的简单应用
西峡一高教学设计(高一实验教师) 设计教师黄晓青梁福伟10 年 5 月7日课题三角函数的简单应用 教学目标1.知识目标掌握三角函数模型应用的基本步骤。 2.能力目标解决与三角函数有关的简单函数模型。 3.德育目标 体会三角函数图像所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴 趣。 重点：通过对实际问题的分析，抽象出三角函数模型。 难点：利用三角函数知识解决实际问题。 教学流程：（包括：1、设疑自探；2、解疑合探；3、质疑再探；4、运用拓展。） 引入：在第一章中，我们已经知道了三角函数是研究周期现象最为常见也是最为重要的模型，教材中对水车问题的研究为我们展示了怎样运用模型化的思想建立起三角函数模型的方法和过程，实际上，建立数学模型研究实际问题是数学应用于实际生活的关键，要建立起数学模型，通常要经历数据收集，数据分析以及简化、假设等一系列前期工作，并在此基础上建立起数学模型，一般可遵循如下框图：补充修改 一、设疑再探 本节课老师准备了几道与三角函数有关的实际问题， 请同学们结合激励数学模型的有关知识，自主探究下列问 题(时间10分钟) 自探1：如图；游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需 要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径40米，如 果你从最低处的登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时 间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解 答下列问题： （1）求出你与地面的距离y与时间t的函数关系式； （2）当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？ 自探2：已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24, 单位：小时)的函数，记作：y=f(t)，下表是某日0时至24 时的浪高数据： t（时）0 3 6 9 12 15 18 21 24 y（米）1.5 1.0 0.5 1.0 1.49 1 0.51 0.99 1.5 经长期观察，y=f(t)的图像可近似地看成函数 y=Acosωt+b(A>0)的图像。 （1）根据以上数据，求出函数y=Acosωt+b的函数表达式； （2）依据规定，当海浪高于1米时才对冲浪爱好者开放， 请依据（1）的结论，判断一天内上午8：00至20：00之 间，有多长时间可供冲浪爱好者进行运动。 自探3：已知某地一天从4点到16点的温度变化曲线近似 满足函数y=10sin( 4 5 8 π χ π -)+20,∈ χ[4,16]; （1）求该地区这一段时间内温度的最大温差； （2）若有一种细菌在15°C到25°C之间可以生存，那 么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？ 补充修改
高中数学必修4《三角函数模型的简单应用》教案
高中数学必修4《三角函数模型的简单应用》教案 教学重难点 .利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型. 教学过程 一、练习讲解：《习案》作业十三的第3、4题 3、一根为Lcm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，组成一个单摆，小球摆动时，离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是 (1)求小球摆动的周期和频率;(2)已知g=24500px/s2，要使小球摆动的周期恰好是1秒，线的长度l应当是多少? (1) 选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出整点时的水深的近似数值 (精确到0.001). (2) 一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与洋底的距离) ，该船何时能进入港口?在港口能呆多久? (3) 若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2:00开始卸货，吃水深度以每小时0.3 米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域?https://www.wendangku.net/doc/d612366952.html, 本题的解答中，给出货船的进、出港时间，一方面要注意利用周期性以及问题的条件，另一方面还要注意考虑实际意义。关于课本第64页的思考问题，实际上，在货船的安全水深正好与港口水深相等时停止卸货将船驶向较深的水域是不行的，因为这样不能保证船有足够的时间发动螺旋桨。 练习：教材P65面3题 三、小结：1、三角函数模型应用基本步骤: (1)根据图象建立解析式; (2)根据解析式作出图象;
(3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型. 2、利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型. 四、作业《习案》作业十四及十五。