高二下学期期末考试(数学)
高二年级数学第二学期期末试卷
（满分100分，120分钟完成。答案一律写在答题纸上）
一. 填空题（本大题满分42分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分． 1、如果复数=z 421i
i -+（其中i 为虚数单位），那么z Im （即z 的虚部）为__________。 2、在二项式8)1(x
x -
的展开式中，含5x 的项的系数是 （用数字作答）.
3、在(1)(2)(3)(4)(5)x x x x x -----的展开式中，含4
x 的项的系数是__________
4、若()
22213222132102,*n
n n n n x a x a x a x a x a x a n N --+=++++++∈L ，
则13521...n a a a a -++++的值为 ．
5、一平面截一球得到面积为π12的圆面，球心到这个圆面的距离是球半径的一半，则该球的表面积是 ．
6、某年级共有210名同学参加数学期中考试，随机抽取10名同学成绩如下：
则总体标准差的点估计值为 （结果精确到0.01）.
7、某展室有9个展台，现有3件不同的展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有______种；
8、把4个不同的球任意投入4个不同的盒子内（每盒装球数不限），则无空盒的概率为________. 9、若z C ∈且221z i +-=，则12z i --的最大值是_______.
10、 设正四面体ABCD 的棱长为a ，P 是棱AB 上的任意一点，且P 到面BCD ACD ,的距离分 别为21,d d ，则=+21d d ___
11、△ABC 的三个顶点A 、B 、C 到平面α的距离分别为2 cm 、3 cm 、4 cm ，且A,B,C 在平面α的同侧，则△ABC 的重心到平面α的距离为___________。
12、在球心为O ，体积为的球体表面上两点A 、B ，则AOB ∠的大小
为 .
13、△ABC 的三边长分别是3,4,5,P 为△ABC 所在平面外一点,它到三边的距离都是2,则P 到α的距离为_________.
14、如图，平面α⊥平面β，α∩β=l ，DA
α，BC α，且DA ⊥l 于A ，
BC ⊥l 于B ，AD=4，BC=8，AB=6，在平面β内不在l 上的动点P ，记PD 与平面β所成角为1θ，PC 与平面β所成角为2θ，若
21θθ=，则△PAB 的面积的最大值是 。
二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题， 每题只有一个正确答案,选对得4分，
答案代号必须填在答题纸上．注意试题题号与答题纸 上相应编号一一对应,不能错位. 15、下列四个命题： ①满足z
z 1
=
的复数只有±1,±I; ②若a,b 是两个相等的实数,则(a －b)＋(a ＋b)i 是纯虚数; ③|z+z |=2|z|;④复数z ∈R 的充要条件是z=z ;其中正确的有（ ） (A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个 16、平面αβ⊥，直线b
α，m β，且b m ⊥，则b 与β（ ）
A.b β⊥
B.b 与β斜交
C.//b β
D.位置关系不确定
17、在正方体1111D C B A ABCD -的侧面11A ABB 内有一动点P 到直线11B A 与直线BC 的距离相等,则动点P 所在的曲线的形状为 ( )
18、已知点(1,0),(1,0)A B -及抛物线2
2y x =，若抛物线上点P 满足PA m PB =，则m 的最大值为（ ） （A ）3 （B ）2 （C 3（D 2三、解答题:42分
19、（本题满分6分）第一题满分3分，第二题满分3分．
A
B 1 B P
(A)
A 1
B 1
B P
(B)
A
B 1 B P
(C)
A
B 1
B
P
(D)
已知复数i z +=31，||2z =2，2
21z z ?是虚部为正数的纯虚数。 （1）求2
21z z ?的模；（2）求复数2z 。
20、（本题满分6分）第一题满分3分，第二题满分3分． 已知n n x x f )1()(+=，
（1）若2011
2011012011()f x a a x a x =+++L ，求2011200931a a a a ++++Λ的值；
（2）若)(3)(2)()(876x f x f x f x g ++=，求)(x g 中含6
x 项的系数；
21、（本题满分10分）第一题满分3分，第二题满分3分，第三题满分4分．
甲乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）玩游戏，他们将4张扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张。
（1）设(,)i j 分别表示甲、乙抽到的牌的数字（方片4用4’表示，红桃2，红桃3，红桃4分别用2，3，4表示），写出甲乙二人抽到的牌的所有情况；
（2）若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少？
（3）甲乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜；若甲抽到的牌的牌面数字不比乙大，则乙胜。你认为此游戏是否公平，说明你的理由。
22、（本题满分8分）第一题满分4分，第二题满分4分． 求同时满足下列两个条件的所有复数z ； （1）10z R z +∈，且10
16z z
<+≤；（2）z 的实部与虚部都是整数。
23、（本题满分12分）第一题满分3分，第二题满分4分，第三题满分5分． 如图，有一公共边但不共面的两个三角形ABC 和A 1BC 被一平面DEE 1D 1所截， 若平面DEE 1D 1分别交AB,AC,A 1B,A 1C 于点D,E,D 1,E 1。 （1）讨论这三条交线ED,CB, E 1 D 1的关系。 （2）当BC//平面DEE 1D 1时,求
EA
CE
C E E A A
D BD DB AD ???111111的值;
（3）当BC 不平行平面DEE 1D 1时,
EA
CE
C E E A A
D BD DB AD ???111111的值变化吗？为什么？
上海市复兴高级中学2015-2016学年度第二学期高二年级数学期末试卷答案
（满分100分，120分钟完成。答案一律写在答题纸上）
一. 填空题（本大题满分42分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分． 1、3-；2、28； 3、-15；4、
21(31)2
n -；5、π64；6、17.60；7、60；8、323
；9、 4
10、
a 3
6
；11、3,；12、 4π；13、3；14、2由条件可得：PB=2PA ，即P 到B 的距离为到A 的距
离的2倍在平面β内以AB 为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系 设P （x ，y ）则2
2
)3(2y x ++=2
2
)3(y x +- ∴(
)2
2964y
x x +++=22
96y x x
++- ∴223303y x x +++27=0
∴9102
2-=++y x x ∴2
2)5(y x ++=16
∴平面β内P 点轨迹为以（5-，0）为圆心，4为半径的圆（与x 轴的交点除外） ∴高的最大值为4， ∴面积的最大值为
2
4
6?=12 二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案,选对得4分，答案代号必须填在答题纸上．注意试题题号与答题纸上相应编号一一对应,不能错位. 15、B ；16、D ；17、 B ；18、C
三、解答题：42分
19、（本题满分6分）第一题满分3分，第二题满分3分． 解：（1）|221z z ?|=|1z ||22z |=|1z ||2z |2
=8；
（2）2
21z z ?是虚部为正数的纯虚数∴2
21z z ?=i 8，2
2z =
i
i
+38=
()
438i
i -=i 322+ 设复数2z =bi a +（R b a ∈,）=+-abi b a 22
2i 322+
????
?==-3
222
22ab b a 解之得???==13b a 或???-=-=13b a ∴)3(2i z +±= 20、解：（1）因为n n x x f )1()(+=,所以20112011()(1)f x x =+,
又20112011012011()f x a a x a x =+++L ,所以20112011012011(1)2f a a a =+++=L （1）
20110120102011(1)0f a a a a -=-++-=L （2）
（1）-（2）得：201113200920112()2a a a a ++++=L 所以：201013200920112011(1)2a a a a f ++++==L
（2）因为)(3)(2)()(876x f x f x f x g ++=，所以678
()(1)2(1)3(1)g x x x x =+++++
)(x g 中含6x 项的系数为667812399C C +?+=
21、解：（1）甲乙二人抽到的牌的所有情况（方片4用4’表示，红桃2，红桃3，红桃4分别 用2，3，4表示）为：（2，3）、（2，4）、（2，4’）、（3，2）、（3，4）、（3，4’）、
（4，2）、（4，3）、（4，4’）、（4’, 2）、（4’，3）（4’，4） 共12种不同情况
(没有写全面时：只写出1个不给分，2—4个给1分，5—8个给2分，9—11个给3分) （2）甲抽到3，乙抽到的牌只能是2，4，4’
因此乙抽到的牌的数字大于3的概率为
23
（3）由甲抽到的牌比乙大的有（3，2）、（4，2）、（4，3）、（4’，2）、（4’，3）5种，
甲胜的概率1512p =
，乙获胜的概率为2757,121212
p = 则1010z x yi z x yi + =+++2210()x yi x yi x y -=+++22221010 (1)(1)x y i x y x y =++-++ 因为10 z R z + ∈，所以2 2 10(1)0y x y -=+。所以22010y x y =+=或。 当0y =时，z x =，又1016z z <+ ≤，所以x R +∈，而10 2106z z +≥>，所以在实数范围内无解。 当2 2 10x y +=时，则102z z z z z z x z z ?+ =+=+=。由112632 x x <≤?<≤ 因为,x y 为正整数，所以x 的值为 1，或2，或3。 当1,3;x y ==±时当2,6()x y ==±时舍；当3,1x y ==±时。则133z i z i =±=±或,。 23、（本题满分12分）第一题满分3分，第二题满分4分，第三题满分5分． 如图，有一公共边但不共面的两个三角形ABC 和A 1BC 被一平面DEE 1D 1所截，若平面DEE 1D 1分别交AB,AC,A 1B,A 1C 于点D,E,D 1,E 1。 （1）讨论这三条交线ED,CB, E 1 D 1的关系。 （2）当BC//平面DEE 1D 1时,求 EA CE C E E A A D BD DB AD ???111111的值。 （3）当BC 不平行平面DEE 1D 1时, EA CE C E E A A D BD DB AD ???111111的值变化吗？为什么？ （1）互相平行或三线共点。当BC//平面DE E 1D 1时，平面ABC I 平面DEE 1D 1=ED BC// ED,同理CB// E 1 D 1∴ED//CB// E 1 D 1当BC 不平行平面DEE 1D 1时, 延长ED 、CB 交于点H ，∴H ∈EF ∵EF 平面DEE 1D 1 ∴H ∈平面DEE 1D 1 同理H ∈平面A 1BC ∴H ∈平面DEE 1D 1∩平面A 1BC 即H ∈E 1D 1 ∴E 1、D 1、H 三点共线 ∴三线共点 （2）解：∵BC//平面DEE 1D 1且BC 平面ABC ，平面ABC ∩平面DEE 1D 1=ED ∴BC ∥ED ，同理BC ∥E 1D 1 在△ABC 中，BC ∥ED ∴ DB AD =EC AE 同理可得111A D BD =1 11A E CE ∴ EA CE C E E A A D BD DB AD ???111111=EC AE 111A E CE C E E A 111EA CE =1 （3）解： 由（1）可得，延长ED 、CB 、E 1D 1交于点H ，过点B 作BF ∥AC ，BG ∥A 1C ∵BF ∥AC ∴ DB AD =BF AE 同理可得111A D BD =11E A BG 在△HCE 中，BG ∥CE 1 ∴1 CE BG =HC HB 同理可得 EC FB =HC HB ∴ EA CE C E E A A D BD DB AD ???111111=BF AE 11E A BG C E E A 111EA CE =C E BF CE BG 1??=1CE BG FB EC =HC HB HB HC =1 EA CE C E E A A D BD DB AD ???111111的值不变化，仍为1