高二下学期6月月考试卷 文科数学 Word版含解析

成都外国语学校高届高二下6月月考

文科数学

出题人：李斌 审题人：李吉贵

注意事项：

1、本堂考试120分钟，满分150分。

2、答题前，请考生务必先将自己的姓名、学号填写在答题卷上，并使用2B 铅笔填涂。

3、请将所有试题的答案写在答题卷相应位置，考试结束后，请考生将答题卷交回。 一、选择题（本大题12个小题，每题5分，共60分,请将答案涂在答题卷上) 1．已知全集{0,1,2,3},{1,3}U A ==，则集合U C A =（ ）C

A ．{}0

B ．{}1,2

C ．{}0,2

D ．{}0,1,2

试题分析：由题{12}A =，，{123}B =，，.则根据子集的定义可得：A B ?. 考点：集合间的关系. 2．是虚数单位，复数（ ）A

A ．

B ．

C ．

D ．

试题分析：，故选A ．

另解：．

考点：复数的运算． 3．“平面内一动点P 到两个定点的距离的和为常数”是“平面内一动点P 的轨迹为椭圆”的（ ）B

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

试题分析：由椭圆定义可知当平面内一动点P 的轨迹为椭圆时有平面内一动点P 到两个定点的距离的和为常数，反之不成立，所以是必要而不充分条件 考点：1.充分条件与必要条件；2.椭圆定义

4．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员的中位数分别为( )A A ．19，13 B ．13，19 C ．20，18 D ．18，20

[解析] 甲的中位数为19，乙的中位数为13..选A 5．等差数列{}n a 中，2343,9a a a =+=，则16a a 的值为（ ）A

A ．14

B ．18

C ．21

D ．27

试题分析：由2343,9a a a =+=，所以113

259

a d a d +=??

+=?，解得12,1a d ==，所以

162(251)14a a =?+?=，故选A ．

考点：等差数列的通项公式的应用．

6．一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）C

A.

1

3

B.23

C.233

D.223

试题分析：由三视图可知该几何体是在边长为2的正方体的基础上截去三棱锥得到的几何体，其中三棱锥的底面为直角三角形，直角边为1，高为1，所以所求体积为3123

233

-= 考点：三视图

7．已知,x y 满足约束条件0401x y x y y -≥??

+-≤??≥?

，则2z x y =-+的最大值是（ ）B

A ．2-

B ．1-

C ．5-

D ．1 试题分析：作出题设约束条件表示的可行域，如图ABC ?内部（含边界），再作直线:20l x y -+=，z 是直线2x y z -+=的纵截距，把直线l 平移过点(1,1)A 时，z 取得最大值1-，故选B ． 考点：简单的线性规划问题．

8．按照如图的程序框图执行，若输出结果为15，则M 处条件可以是（ ）C A ． B ． C ． D ． 试题分析：程序运行过程中，各变量的值如下表示： S k 是否继续循环 循环前 0 1

第一圈 1 2 是 第二圈 3 4 是 第三圈 7 8 是 第四圈 15 16 否 故退出循环的条件应为k ≥16 考点：程序框图 9．圆心在曲线)(02

>=x x

y 上，与直线012=++y x 相切且面积最小的圆的方程为（ ）A

A ．5212

2

=-+-)()(y x B ．5112

2

=-+-)()(y x C ．25212

2

=-+-)()(y x D ．25112

2

=-+-)()(y x

解：设圆心为（a ，）（a ＞0），则r=≥=，当且仅当a=1时等号

成立．

当r 最小时，圆的面积S=πr 2最小，此时圆的方程为（x ﹣1）2+（y ﹣2）2

=5； 考点：圆的标准方程．

10．已知函数()cos f x x =，,,a b c 分别为ABC ?的内角,,A B C 所对的边，且

222334a b c ab +-=，则下列不等式一定成立的是（ ）C

A ．()()sin cos f A f

B ≤ B ．()()sin sin f A f B ≤

C ．()()cos sin f A f B ≤

D ．()()cos cos f A f B ≤

试题分析：由余弦定理可得0)(-cos 4cos 2)(22

2

2

≤-=?=++ab

b a C ab C ab b a ，即2

π

≥

C ,所以2

π

≤

+B A ,1)2

sin(sin 02<-≤

B A B A π

π

，1cos sin 0<≤

因为原函数在)1,0(上为减函数，所以恒有()()sin sin f A f B ≤成立，故本题的正确选项为B.

考点：函数的单调性，余弦定理的运用.

11．设F 为抛物线2

4y x =的焦点，,,A B C 为该抛物线上不同的三点，0FA FB FC ++=，

O 为坐标原点，且OFA OFB OFC ???、、的面积分别为123S S S 、、，

则222

123++=S S S （ ）B

A.2

B.3

C.6

D.9 试题分析：由题意可知(1,0)F ，设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ， 则112233(1,),(1,),(1,)FA x y FB x y FA x y =-=-=-， 由0FA FB FC ++=得123(1)(1)(1)0x x x -+-+-=， 即1233x x x ++=，又112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y 在抛物线上，

所以222

1122334,4,4,y x y x y x ===，

111222333111111

,,,222222

S OF y y S OF y y S OF y y =

?==?==?=， 所以22

222212312312311

++=

()(444)344

S S S y y y x x x ++=?++=，故选B. 考点：1.向量的坐标运算；2.抛物线的标准方程与性质；3.三角形面积公式.

12．已知函数()211

x

me f x x x =-++，若存在唯一的正整数0x ，使得()00f x ≥，则实数m

的取值范围为（ ）D A ．32137,e e ???

??? B ．32137,e e ?? ??? C ．273,e e ?????? D ．273,e e ??

???

试题分析：由题意得，存在唯一的正整数0x ，使得()00f x ≥，即()0

0200101

x me f x x x =-≥++，

即002

00200111

x x me me x x x x ≤?≤++++，即02001x x x m e ++≤，设()21x

x x g x e ++=，所以()(1)

x

x x g x e

-'=

，当(0,1)x ∈时，()0g x '>，即在(0,1)上函数()g x 单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0g x '<，即在(1,)+∞上函数()g x 单调递增；当1x =时，函数()g x 取

得最大值()31g e =

，又()27

2g e

=，存在唯一的正整数0x ，使得()00f x ≥，所以()()21g m g <≤，所以273m e e

<≤

，故选D.

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡相应位置上。）

13．在区间[]0,2上随机地取一个数x ,则事件“12

1

log 112

x -≤+≤（）

”发生的概率为 ． 【答案】

3

4

试题分析：由1

2

1log 112x -≤+≤（）得230≤≤x ，则概率为：43223

=. 考点：几何概型.

【方法点晴】求解几何概型问题，解题的突破口为弄清是长度之比、面积之比还是体积之比；求与长度有关的几何概型的概率的方法，是把题中所表示的几何模型转化为线段的长度，然后求解，应特别注意准确表示所确定的线段的长度．有时与长度或角度有关的几何概型，题干并不直接给出，而是将条件隐藏，与其他知识综合考查．

14．在如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中,异面直线1A B 与1B C 所成角的大小

为_______

【答案】3

π

15．已知双曲线),(:00122

22>>=-b a b

y a x C 的右焦点为F ，过F 且斜率为3的直线交C

于A 、B 两点，若FB AF 4=，则双曲线C 的离心率为_____________．

D 1

C 1 B 1

A 1

D C A

B

答案：

5

6 考点： 双曲线的简单性质．3804980

专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 16．设函数θθθtan cos sin )(++=23233x x x f ，其中],[12

50π

θ∈，则导数)('1f 的取值范围是______ 【答案】[2，2] 试

题

分

析

：

因

为

()2sin 3cos f x x x θθ

'=+，所以

()1sin 3cos 2sin 3f πθθθ?

?'=+=+ ??

?，因为

，所以

33

3

4

π

π

π

θ≤+

≤

,

2sin 1,23πθ?

?≤+≤ ??

?从而22sin 2,3πθ??≤+≤ ???故导数)('1f 的取值范围是[2，2].

考点：1、导数；2、三角函数辅助角公式.

三．解答题：（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）

17、（本小题满分10分）

2016年“五一”期间，高速公路车辆较多，某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/t ）分成六段：[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90）后得到如图所示的频率分布直方图． （Ⅰ）求这40辆小型车辆车速的众数及平均车速；

（Ⅱ）若从车速在[60，70）的车辆中任抽取2辆，求车速在[65，70）的车辆至少有一辆的概率。 解：（1）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于77.5…（2分） 这40辆小型车辆的平均车速为：

（km/t ）…（5分）

（2）从图中可知，车速在[60，65）的车辆数为：m 1=0.01×5×40=2（辆）

车速在[65，70）的车辆数为：m 2=0.02×5×40=4（辆） 设车速在[60，65）的车辆设为a ，b ，

车速在[65，70）的车辆设为c ，d ，e ，f ， 则所有基本事件有： （a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（a ，e ），（a ，f ）， （b ，c ），（b ，d ），（b ，e ），（b ，f ）（c ，d ），（c ，e ）， （c ，f ），（d ，e ），（d ，f ）（e ，f ）共15种

其中车速在[65，70）的车辆至少有一辆的事件有：（a ，c ），（a ，d ），

（a ，e ），（a ，f ），（b ，c ），（b ，d ），（b ，e ），（b ，f ），（c ，d ）， （c ，e ），（c ，f ），（d ，e ），（d ，f ），（e ，f ），共14种 所以，车速在[65，70）的车辆至少有一辆的概率为．…（10分）

18、（本小题满分12分）

已知(2cos ,23sin ),(cos ,cos ),()m x x n x x f x m n ===?且。 (1)求的单调增区间； (2)已知

分别为

的三个内角

对应的边长,若

,且

,

,

求的面积。

解

:(1)

2()2cos 23sin cos cos 23sin 212sin(2)16f x m n x x x x x x π

=?=+=++=++，

∴,

∴,即增区间为

(2)因为,所以

,, ∴

，因为

,所以

由余弦定理得:,即

∴

,因为,所以

，∴ 19、如图，四边形ABCD 是梯形，四边形CDEF 是矩形，且平面ABCD ⊥平面CDEF ，

∠BAD ＝∠CDA ＝90?，1

2

AB AD DE CD ===，M 是线段AE 上的动点。

（Ⅰ）试确定点M 的位置，使AC ∥平面DMF ，并说明理由；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求三棱锥F －DEM 与几何体ADE －BCF 的体积之比。 解：（Ⅰ）当M 是线段AE 的中点时，AC ∥平面MDF ．证明如下： 连结CE ，交DF 于N ，连结MN ，

由于M 、N 分别是AE 、CE 的中点，所以MN ∥AC ， 由于MN ?平面MDF ，又AC 平面MDF ，

所以AC ∥平面MDF ． ················································ 6分 （Ⅱ）如图，将几何体ADE －BCF 补成三棱柱ADE －B 'CF ，

设CD=2，三棱柱ADE －B 'CF 的体积为1

11212

ADE V S CD ?=?=???=，

则几何体ADE －BCF 的体积

ADE BCF F BB C ADE BCF V V V '---=-三棱柱＝115

1(11)1326-????=．

三棱锥F －DEM 的体积V 三棱锥M －DEF ＝1111

(12)3226

????=，

故两部分的体积之比为151

:665

=（答1:5，5，5:1均可）． ···································· 12分

20、（本小题满分12分） 在数列{}n a 中，已知)(log 32,41

,41*4

111N n a b a a a n n n n ∈=+==

+。 （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式

（2）设数列{}n c 满足n n n b a c ?=，求数列{}n c 的前n 项和n S 。 解：（1）∵

4

11=+n n a a ,∴数列

｛n a ｝是首项为41，公比为41的等比数列，∴)()41(*N n a n n ∈= ∵2log 34

1-=n n a b ,∴14

13log ()2324

n

n b n =-=-．∴n≥2时，b n —b n -1=3，∴11=b ，

公差d=3,∴数列}{n b 是首项11=b ，公差3=d 的等差数列．……6分 （2）由（1）知，n n a )4

1

(=，23-=n b n （n *N ∈）∴)(,)41()23(*N n n c n n ∈?-=．

∴n n n n n S )41

()23()41()53()41(7)41(4411132?-+?-+?+?+?+?=-， ①

于是1432)4

1

()23()41()53()41(7)41(4)41(141+?-+?-+?+?+?+?=n n n n n S ②

两式①-②相减得132)4

1()23(])41()41()41[(34143+?--+?+++=n n n n S =

1)4

1

()23(21+?+-n n ∴ )()4

1(381232*1

N n n S n n ∈?+-=

+．……12分 21、（本小题满分12分）

已知函数2

()ln 1

f x a x x =++。 (1)当 1a =时，求()f x 在[1,)x ∈+∞上的最小值； (2)若()f x 存在单调递减区间，求a 的取值范围。

解：（I ）

，定义域为（0，+∞）．∵

，

∴f （x ）在（0，+∞）上是增函数．当x≥1时，()f x 的最小值为f （1）=1； （4分）

（Ⅱ）∵，

∵若f （x ）存在单调递减区间，∴f′（x ）＜0有正数解．即方程ax 2+2（a ﹣1）x+a=0有正根（7分）

①当a=0时，明显成立．

②当a ＜0时，y=ax 2+2（a ﹣1）x+a 为开口向下的抛物线，ax 2+2（a ﹣1）x+a ＜0总有x ＞0的解；

③当a ＞0时，y=ax 2+2（a ﹣1）x+a 开口向上的抛物线，又方程ax 2+2（a ﹣1）x+a=0有正根． 因为x 1x 2=1＞0，所以方程ax 2+2（a ﹣1）x+a=0有两正根，

，解得

．

综合①②③知：． （12分）

22、（本小题满分12分）

平面直角坐标系x y O 中，已知椭圆C:22221x y a b

+=（0a b >>）的左焦点为F ，过点F （1）求椭圆C 的标准方程；

（2）设点A ，B 分别是椭圆的左、右顶点，若过点()2,0P -的直线与椭圆相交于不同两点M ，N ．

（i ）求证：F F ∠A M =∠B N ； （ii ）求F ?MN 面积的最大值．

解：（1）22

==a c e , 又

222=a

b ,所以1,2==b a ． 所以椭圆的标准方程为12

22

=+y x ……3分 （2）（ⅰ）当AB 的斜率为0时，显然=0AFM BFN ∠=∠，满足题意……4分

当AB 的斜率不为0时，设()()1122,,,A x y B x y ，AB 方程为2-=my x 代入椭圆方程

整理得024)2(22=+-+my y m ,则(

)

016828162

2

2

>-=+-=?m m m ，所以.22>m

121222

42

,22

m y y y y m m +=?=++， 121212*********()

1111(1)(1)

MF NF y y y y my y y y k k x x my my my my -+∴+=

+=+=

++----

.0)

1)(1()24()22(2212

2=--+-+?=

my my m m

m m 0=+∴NF MF k k ，即AFM BFN ∠=∠……8分

（

ⅱ

）

21`2

1

y y PF S S S PMF PNF MNF -?=

-=??

?

1=1224

m ?==≤-

+

=26m =．（此时适合△＞0的条件）取得等号．

∴三角形MNF ……12分 方法二（ⅰ）由题知，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为：)2(+=x k y ，

设()()1122,,,A x y B x y ，联立?????=++=12

)2(2

2y x x k y ，整理得0288)21(2

222=-+++k x k x k ,

则

()()

16828214642224>-=-+-=?k k k k ，所以

2102

k ≤<

，

22121222

882

,1212k k x x x x k k -+=-?=++， ()121)2(1122112211+++++=+++=

+∴x x k x x k x y x y k k NF MF )

1)(1(4)(32212121+++++=x x k

x x k x kx 021482441642183212824)(32233322222121=+++--=+???

? ??+-+???? ??+-=+++k k

k k k k k k k k k k k k x x k x kx

0=+∴NF MF k k ，即AFM BFN ∠=∠……8分

（ⅱ）,21)

21(8112

22

212

k

k k

x x k MN +-+=-+=点F ()0,1-到直线MN 的距离为2

1k

k d +=

，

d MN S MNF

?=∴?21=222

21212122121k k k k k +????

?

??+-+?()()

2

22

2

21212k k

k +-=．

令221k t +=，则)2,1[∈t ，=

)(t u 2

11231223)21

)(

2(22

2

2-??? ??+??? ??-=+--=--t t t t t t t t 当且仅当

4

3

1=t ，即66±=k （此时适合△＞0的条件）时，()161max =t u ，即4

2

)(max =

?MNF S

∴三角形MNF ……12分