三角形部分经典题型(中等难度)

三角形部分经典题型

1、如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的若∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，则∠α的度数为______．

2、如图，AB⊥BC，ΔABE≌ΔECD．判断AE与DE的关系，并证明你的结论．

3、已知：如图，AD＝BC．AC＝BD．试证明：∠CAD＝∠DBC.

4、已知：如图，AB⊥AE，AD⊥AC，∠E＝∠B，DE＝CB．求证：AD＝AC．

5、已知：如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ．求证：HN＝PM.

6、如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，直线l 经过顶点C ，过A 、B 两点分别作l 的垂线AE 、BF ，E 、F 为垂足．

（1）当直线l 不与底边AB 相交时，求证：EF ＝AE ＋BF ．

（2）如图，将直线l 绕点C 顺时针旋转，使l 与底边AB 交于点D ，请你探究直线l 在如下位置时，EF 、AE 、BF 之间的关系． ①AD ＞BD ； ②AD ＝BD ； ③AD ＜BD ．

7、已知：如图，AE ⊥AB ，BC ⊥AB ，AE ＝AB ，ED ＝AC ．

求证：ED ⊥AC ．

8、如图，在Rt ΔABC 中，∠C ＝90°，BD 是∠ABC 的平分线，交AC 于D ，若CD ＝n ，AB ＝m ，则ΔABD 的面积是（ ）

A ．mn 31

B ．mn 21

C ．mn

D ．2mn

9、已知：如图，ΔABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线BF、CF交于点F.

求证：一点F必在∠DAE的平分线上．

10、已知：如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．

（1）求证：AM平分∠DAB；

（2）猜想AM与DM的位置关系如何？并证明你的结论．

11、已知：如图，在ΔABC中，AD是△ABC的角平分线，E、F分别是AB、AC上一点，并且有∠EDF

＋∠EAF＝180°．试判断DE和DF的大小关系并说明理由．

解三角形经典练习试题集锦(附答案)

解三角形 一、选择题 1．在△ABC 中，若0 30,6,90===B a C ，则b c -等于（ ） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32- 2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ） A ．A sin B ．A cos C ．A tan D ． A tan 1 3．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为0 60，则 底边长为（ ） A ．2 B ． 2 3 C ．3 D ．32 5．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ） A ．0 60 30或 B ．0 060 45或 C ．0 060120或 D ．0 15030或 6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A ．0 90 B ．0 120 C ．0 135 D ．0 150 二、填空题 1．在Rt △ABC 中，0 90C =，则B A sin sin 的最大值是 _______________。 2．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,2 2 2 _________。 3．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,20 _________。 4．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则 C =_____________。 5．在△ABC 中，,26-=AB 030C =，则AC BC +的最大值 是________。 三、解答题 1.在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么？ 2．在△ABC 中，求证： )cos cos (a A b B c a b b a -=- 3．在锐角△ABC 中，求证： C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++。

初三数学相似三角形典型例题(含问题详解)

初三数学相似三角形 （一）相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是： 1. 理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割。 2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。 3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。 4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题 本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。 本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。 相似三角形是平面几何的主要内容之一，在中考试题中时常与四边形、圆的知识相结合构成高分值的综合题，题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在10%左右，有时也单独成题，形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。 （二）重要知识点介绍： 1. 比例线段的有关概念： 在比例式 ：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b c d a b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2 =AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。 2. 比例性质： ①基本性质： a b c d ad bc =?= ②合比性质： ±±a b c d a b b c d d =?= ③等比性质： ……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b ===+++?++++++=()0 3. 平行线分线段成比例定理： ①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。 则 ，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EF DF ===

初中几何经典培优题型(三角形)

全等三角形辅助线 找全等三角形的方法： （1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中； （2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等； （3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等； （4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。 三角形中常见辅助线的作法： ①延长中线构造全等三角形； ②利用翻折，构造全等三角形； ③引平行线构造全等三角形； ④作连线构造等腰三角形。 常见辅助线的作法有以下几种： 1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”． 2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．

3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的 思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． 4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是 全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相 等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答． 常见辅助线写法： ⑴过点A作BC的平行线AF交DE于F ⑵过点A作BC的垂线，垂足为D ⑶延长AB至C，使BC＝AC ⑷在AB上截取AC，使AC＝DE ⑸作∠ABC的平分线，交AC于D ⑹取AB中点C，连接CD交EF于G点

解三角形典型例题

1．正弦定理和余弦定理 在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则 2.S △ABC ＝2ab sin C ＝2bc sin A ＝2ac sin B ＝4R ＝2(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r . 1.在△ABC 中，A >B ?a >b ?sin A >sin B ?cos A c; a-b

三角形的必备知识和典型例题及详解

三角形的必备知识和典型例题及详解 一、知识必备： 1．直角三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。 （1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝ c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b a 。 2．斜三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。 （1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin === （R 为外接圆半径） 公式的变形:______________________ ______________ _________________ （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 a 2＝ b 2＋ c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 3．三角形的面积公式： （1）?S ＝ 21ah a ＝21bh b ＝21 ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）?S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝2 1 ac sin B ； 4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型： （1）两类正弦定理解三角形的问题： 第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题： 第1、已知三边求三角. 第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.

(word完整版)初中数学相似三角形经典练习难题易错题(附详解)

相似三角形难题易错题 一．填空题（共2小题） 1．如图所示，已知AB∥EF∥CD，若AB=6厘米，CD=9厘米．求EF． 2．如图，?ABCD的对角线相交于点O，在AB的延长线上任取一点E，连接OE交BC于点F．若AB=a，AD=c，BE=b，则BF=_________． 二．解答题（共17小题） 3．如图所示．在△ABC中，∠BAC=120°，AD平分∠BAC交BC于D．求证：． 4．如图所示，?ABCD中，AC与BD交于O点，E为AD延长线上一点，OE交CD于F， EO延长线交AB于G．求证：．

5．一条直线截△ABC的边BC、CA、AB（或它们的延长线）于点D、E、F．求证：． 6．如图所示．P为△ABC内一点，过P点作线段DE，FG，HI分别平行于AB，BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425．求d． 7．如图所示．梯形ABCD中，AD∥BC，BD，AC交于O点，过O的直线分别交AB，CD 于E，F，且EF∥BC．AD=12厘米，BC=20厘米．求EF．

8．已知：P为?ABCD边BC上任意一点，DP交AB的延长线于Q点，求证：． 9．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，MN∥BC，且MN与对角线BD交于O．若AD=DO=a，BC=BO=b，求MN． 10．P为△ABC内一点，过P点作DE，FG，IH分别平行于AB，BC，CA（如图所示）． 求证：．

11．如图所示．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＜CD．一条直线交BA延长线于E，交DC 延长线于J，交AD于F，交BD于G，交AC于H，交BC于I．已知EF=FG=GH=HI=IJ，求DC：AB． 12．已知P为△ABC内任意一点，连AP，BP，CP并延长分别交对边于D，E，F． 求证：（1）（2）三者中，至少有一个不大于2，也至少有一个不少于2． 13．如图所示．在△ABC中，AM是BC边上的中线，AE平分∠BAC，BD⊥AE的延长线于D，且交AM延长线于F．求证：EF∥AB．

正弦定理余弦定理综合应用解三角形经典例题老师

一、知识梳理 1．内角和定理：在ABC ?中，A B C ++=π；sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C - 面积公式: 111 sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ?= == 在三角形中大边对大角，反之亦然. 2．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等. 形式一：R C c B b A a 2sin sin sin === (解三角形的重要工具) 形式二： ?? ? ??===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 (边角转化的重要工具) 形式三：::sin :sin :sin a b c A B C = 形式四： sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R = == 3.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.. 形式一：2 2 2 2cos a b c bc A =+- 2 2 2 2cos b c a ca B =+- 222 2cos c a b ab C =+-(解三角形的重要工具) 形式二： 222cos 2b c a A bc +-= 222cos 2a c b B ac +-= 222 cos 2a b c C ab +-= 二、方法归纳 (1)已知两角A 、B 与一边a ,由A +B +C =π及sin sin sin a b c A B C == ，可求出角C ，再求b 、c . (2)已知两边b 、c 与其夹角A ，由a 2=b 2+c 2 -2b c cosA ，求出a ，再由余弦定理，求出角B 、C . (3)已知三边a 、b 、c ，由余弦定理可求出角A 、B 、C . (4)已知两边a 、b 及其中一边的对角A ，由正弦定理sin sin a b A B = ，求出另一边b 的对角B ，由C =π-(A +B )，求出c ，再由sin sin a c A C =求出C ，而通过sin sin a b A B = 求B 时，可能出一解，两解或无解的情况 a = b sinA 有一解 b >a >b sinA 有两解 a ≥b 有一解 a >b 有一解 三、课堂精讲例题 问题一：利用正弦定理解三角形

解三角形典型例题答案

1. 解：cos cos cos ,sin cos sin cos sin cos a A b B c C A A B B C C +=+= sin 2sin 2sin 2,2sin()cos()2sin cos A B C A B A B C C +=+-= cos()cos(),2cos cos 0A B A B A B -=-+= cos 0A =或cos 0B =，得2A π=或2B π= 所以△ABC 是直角三角形。 2. 证明：将ac b c a B 2cos 222-+=，bc a c b A 2cos 2 22-+=代入右边 得右边22222222 22()222a c b b c a a b c abc abc ab +-+--=-= 22a b a b ab b a -==-=左边， ∴)cos cos (a A b B c a b b a -=- 3．证明：∵△AB C 是锐角三角形，∴,2A B π+>即022A B ππ>>-> ∴sin sin()2 A B π >-，即sin cos A B >；同理sin cos B C >；sin cos C A > ∴C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++ 4.解：∵2,a c b +=∴sin sin 2sin A C B +=，即2sin cos 4sin cos 2222 A C A C B B +-=， ∴1sin cos 222B A C -==0,22 B π<<∴cos 2B = ∴sin 2sin cos 22244B B B ==?=839 5解：22222222sin()sin cos sin ,sin()cos sin sin a b A B a A B A a b A B b A B B ++===-- cos sin ,sin 2sin 2,222cos sin B A A B A B A B A B π===+=或2 ∴等腰或直角三角形 6解：2sin sin 2sin sin )sin ,R A A R C C b B ?-?=- 222sin sin )sin ,,a A c C b B a c b -=--=-

相似三角形经典习题

相似三角形 一．选择题 1．如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O，下列条件中不能使△ABE和△ACD相似的是（） A．∠B=∠C B．∠ADC=∠AEB C．BE=CD，AB=AC D．AD：AC=AE：AB 2．如图，△ACD和△ABC相似需具备的条件是（） A． B． C．AC2=AD?AB D．CD2=AD?BD 3．如图，在等边三角形ABC中，D为AC的中点，，则和△AED（不包含△AED）相似的三角形有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，已知点P是Rt△ABC的斜边BC上任意一点，若过点P作直线PD与直角边AB或AC相交于点D，截得的小三角形与△ABC相似，那么D点的位置最多有（） A．2处 B．3处 C．4处 D．5处 5．如图，在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点．若∠AEF=90°，则一定有（） A．△ADE∽△ECF B．△BCF∽△AEF C．△ADE∽△AEF D．△AEF∽△ABF 6．在△ABC中，∠ACB=90°，用直尺和圆规在AB上确定点D，使△ACD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（）

A． B． C． D． 7．如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列条件中的一个：①∠AED=∠B，②∠ADE=∠C，③，④，⑤AC2=AD?AE，使△ADE与△ACB一定相似的有（） A．①②④ B．②④⑤ C．①②③④ D．①②③⑤ 8．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（） A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1 9．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E．若AB=12，BM=5，则DE的长为（） A．18 B．C． D． 10．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论： ①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2=PH?PC 其中正确的是（） A．①②③④ B．②③ C．①②④ D．①③④ ：S 11．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，S △DEF =4：25，则DE：EC=（） △ABF

(完整版)解三角形三类经典题型

解三角形三类经典类型 类型一 判断三角形形状 类型二 求范围与最值 类型三 求值专题 类型一 判断三角形形状 例1：已知△ABC 中,bsinB=csinC,且C B A 2 22sin sin sin +=,试判断三角形的形状． 解：∵bsinB=csinC,由正弦定理得 sin 2B=sin 2 C ，∴ sinB=sinC ∴ B=C 由 C B A 222sin sin sin += 得 2 22c b a += ∴三角形为等腰直角三角形． 例２：在△ABC 中，若Ｂ=ο 60，２b=a+c,试判断△ABC 的形状. 解:∵２b=a+c, 由正弦定理得2sinB=sinA+sinC,由B=ο 60得sinA+sinC=3 由三角形内角和定理知sinA+sin(A -ο 120)=3,整理得 sin(A+ο30)=1 ∴A+ο ο ο 60,9030==A 即,所以三角形为等边三角形. 例3：在△ABC 中，已知2 2 tan tan b a B A =，试判断△ABC 的形状． 解：法1：由题意得 B A A B B A 2 2sin sin cos sin cos sin =，化简整理得sinAcosA=sinBcosB 即sin2A=sin2B ∴2A=2B 或2A+2B=π ∴A=B 或2 π = +B A ，∴三角形的形状为等腰三角形或直角三角形． 法2：由已知得22cos sin cos sin b a A B B A =结合正、余弦定理得2 222222222b a bc a c b b a c b c a a =-+? -+? ， 整理得0))((2 2 2 2 2 =-+-c b a b a ∴ 2 2222c b a b a =+=或 即三角形为等腰三角形或直角三角形 例4：在△ABC 中，（1）已知sinA=2cosBsinC ，试判断三角形的形状； （2）已知sinA= C B C B cos cos sin sin ++，试判断三角形的形状． 解：(1)由三角形内角和定理得 sin(B+C)=2cosBsinC 整理得sinBcosC －cosBsinC=0即sin(B －C)=0 ∴ B=C 即三角形为等腰三角形. (2)由已知得 sinAcosB+sinAcosC=sinB+sinC ，结合正、余弦定理得

相似三角形典型例题精选

相似三角形的判定与性质综合运用经典题型 考点一：相似三角形的判定与性质： 例1、如图，△PCD是等边三角形，A、C、D、B在同一直线上，且∠APB=120°. 求证：⑴△PAC∽△BPD；⑵ CD2 =AC·BD. 例2、如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一个动点(不与B、C 重合），在AC上取一点E，使∠ADE=45° （1）求证：△ ABD∽△DCE； （2）设BD=x，AE=y，求y关于x函数关系式及自变量x值范围，并求出当x为何值时AE 取得最小值？ （3）在AC上是否存在点E，使得△ADE为等腰三角形若存在，求AE的长；若不存在，请说明理由 例3、如图所示，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B： 1）求证：△ADF∽△DEC； 2）若AB=4，3 3 AD,AE=3，求AF的长。 A B C D F

考点二：射影定理： 例4、如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB于D，CD=4cm,AD=8cm,求AC、BC及BD的长。 例5、如图，已知正方形ABCD，E是AB的中点，F是AD上的一点，且AF= 1 4 AD，EG⊥CF于点G， （1）求证：△AEF∽△BCE；（2）试说明：EG2=CG·FG. 例6、已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD>AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合,再展开，折痕EF交AD边于E，交BC边于F，分别连结AF和CE． （１）求证：四边形AFCE是菱形； （２）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长； （３）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2＝AC·AP若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由． A B C D E F G

(完整版)解三角形三类经典题型

解三角形三类经典类型 类型一 类型二 类型三 判断三角形形状 求范围与最值 求值专题 类型一 判断三角形形状 2 2 2 例1已知△ ABC 中,bsinB=csinC,且sin A sin B sin C ,试判断三角形的形状. 解：T bsinB=csinC,由正弦定理得 sin 2 B=sin 2C ,「. sinB=sinC B=C 由sin 2A sin 2 B sin 2C 得a 2 b 2 c 2 三角形为等腰直角三角形. 例2:在厶ABC 中,若E =60 ,2 b=a+c,试判断△ ABC 的形状. 解：T2 b=a+c,由正弦定理得 2sinB=sinA+sinC,由 B=60 得 sinA+sinC= . 3 由三角形内角和定理知 sinA+sin( 120 A )= 3 ,整理得sin(A+ 30 )=1 二A+30 90，即A 60 ,所以三角形为等边三角形 2bc 整理得(a 2 b 2)(a 2 b 2 c 2) 0 ? a 2 b 2或a 2 b 2 c 2 即三角形为等腰三角形或直角三角形 例4：在厶ABC 中，(1)已知sinA=2cosBsinC ，试判断三角形的形状； (2)已知sinA= sin B sinC ，试判断三角形的形状. cosB cosC 解：⑴由三角形内角和定理得 sin(B+C)=2cosBsinC 整理得sinBcosC — cosBsinC=0即sin(B — C)=0 ? B=C 即三角形为等腰三角形 (2)由已知得sinAcosB+sinAcosC=sinB+sinC ，结合正、余弦定理得 例3:在厶ABC 中，已知 tan A tan B 2 ，试判断厶ABC 的形状. b 2 解：法1:由题意得 sin AcosB sin B cos A ■ 2 A sin A ■ 2 - sin B ,化简整理得 sinAcosA=sinBcosB 即 sin2A=sin2B ??? 2A=2B 或 2A+2B=n /? A=B 或 A a 2 a 2 ,2 c b 法2：由已知得sinAcosB sin B cos A 2 a 2 结合正、余弦定理得 b 2 2ac b b 2 2 2 c a a 2 b 2 B i ，?三角形的形状为等腰三角形或直角三角形.

解三角形的必备知识和典型例题及习题

解三角形的必备知识和典型例题及习题一、知识必备： 1．直角三角形中各元素间的关系： 在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。 2 2 2 （1）三边之间的关系： a ＋ b ＝c 。（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A＋B＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A＝cos B＝a c ，cos A＝sin B＝ b c ，tan A＝ a b 。 2．斜三角形中各元素间的关系： 在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c 分别表示A、B、C的对边。（1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 a sin A b sin B c sin C 2R （R为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a ＝ b ＋ c －2bc cos A； b ＝c ＋a －2ca cos B； c ＝a ＋b －2ab cos C。 3 ．三角形的面积公式： （1）S ＝1 2 ah a＝ 1 2 bh b＝ 1 2 ch c（h a、h b、h c 分别表示a、b、c 上的高）； （2）S ＝1 2 ab sin C＝ 1 2 bc sin A＝ 1 2 ac sin B； 4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型： （1）两类正弦定理解三角形的问题： 第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题： 第1、已知三边求三角. 第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 5．三角形中的三角变换 三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。

高中数学-解三角形知识点汇总情况及典型例题1

实用标准

—tanC。

例 1 ? (1 )在 ABC 中，已知 A 32.00 , B 81.80 因为 00 v B v 1800，所以 B 640，或 B 1160. c as nC 空啤 30(cm). sin A s in400 ②当B 1160时, 点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形; 对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2 :三角形面积 2 , AC 2 , AB 3，求tan A 的值和 ABC 的面积。 2 (2 )在 ABC 中，已知 a 20 cm ， b 28 cm ， 40°，解三角形（角度精确到 10，边长精确 到 1cm ) o 解：（1 ）根据三角形内角和定理, C 1800 (A B) 1800 (32.00 81.80) 66.20 ； 根据正弦定理，b asinB 42.9sin81.80 si nA 眾厂 80.1(cm)； 根据正弦定理，c 聲C 丝9也彰 74.1(cm). sin 32.0 （2 ）根据正弦定理, s"B 舸 A 28sin4°0 a 20 0.8999. ,a 42.9 cm ，解三角形; ①当 B 640 时， C 1800 (A B) 1800 (40° 640) 760, C 1800 (A B) 1800 (400 116。)240 , c asinC si nA 呼 13(cm). sin 40 (2) 解法一：先解三角方程，求出角 A 的值。 例2 ?在ABC 中， sin A cos A

si nA cos A j2cos(A 45 )-—, 2 1 cos(A 45 )-. 又 0 A 180 , A 45o 60o , A 105.° o o 1 \/3 L tan A tan(45 60 ) 一字 2 J3, 1 73 42 si nA sin105 sing5 60) sin4 5 co$60 cos45 si n60 ——-—. 1 1 /2 洽 n S ABC AC AB si nA 2 3 近 46)。 2 2 4 4 解法二：由sin A cos A 计算它的对偶关系式 si nA cos A 的值。 v 2 — si nA cos A —— ① 2 2 1 (si nA cos A)2 2 1 2sin Acos A — 2 Q0o A 180o , si nA 0,cos A 0. 1 另解(si n2A —) 2 2 3 (s in A cos A) 1 2 sin Acos A —, *'6 _ si nA cos A — ② 2 $2 J6 ①+②得sin A --------------- 。 4 ①-②得 cosA <6 。 4 u 而丄 A si nA J 2 J 6 4 c 匚 从而 tan A l l 2 ~3。 cosA 4 v2 v 6

初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)

初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)

经典练习题 相似三角形（附答案） 一．解答题（共30小题） 1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证： △ADE∽△EFC． 2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G． （1）求证：△CDF∽△BGF； （2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．

5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点． （1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立； （3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．

6．如图，E是?ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明． 7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． （1）填空：∠ABC=_________ °，BC= _________ ；（2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．

8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问： （1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？ （2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

解三角形三类经典题型教学内容

解三角形三类经典题 型

解三角形三类经典类型 类型一 判断三角形形状 类型二 求范围与最值 类型三 求值专题 类型一 判断三角形形状 例1：已知△ABC 中,bsinB=csinC,且C B A 2 22sin sin sin +=,试判断三角形的形状． 解：∵bsinB=csinC,由正弦定理得 sin 2B=sin 2 C ，∴ sinB=sinC ∴ B=C 由 C B A 222sin sin sin += 得 2 22c b a += ∴三角形为等腰直角三角形． 例２：在△ABC 中，若Ｂ=ο 60，２b=a+c,试判断△ABC 的形状. 解:∵２b=a+c, 由正弦定理得2sinB=sinA+sinC,由B=ο 60得sinA+sinC=3 由三角形内角和定理知sinA+sin(A -ο 120)=3,整理得 sin(A+ο30)=1 ∴A+ο οο60,9030==A 即,所以三角形为等边三角形. 例3：在△ABC 中，已知2 2 tan tan b a B A =，试判断△ABC 的形状． 解：法1：由题意得 B A A B B A 2 2sin sin cos sin cos sin =，化简整理得sinAcosA=sinBcosB 即sin2A=sin2B ∴2A=2B 或2A+2B=π ∴A=B 或2 π = +B A ，∴三角形的形状为等腰三角形或直角三角形． 法2：由已知得22cos sin cos sin b a A B B A =结合正、余弦定理得2 222222222b a bc a c b b a c b c a a =-+? -+? ， 整理得0))((2 2 2 2 2 =-+-c b a b a ∴ 2 2222c b a b a =+=或 即三角形为等腰三角形或直角三角形 例4：在△ABC 中，（1）已知sinA=2cosBsinC ，试判断三角形的形状； （2）已知sinA= C B C B cos cos sin sin ++，试判断三角形的形状． 解：(1)由三角形内角和定理得 sin(B+C)=2cosBsinC 整理得sinBcosC －cosBsinC=0即sin(B －C)=0 ∴ B=C 即三角形为等腰三角形. (2)由已知得 sinAcosB+sinAcosC=sinB+sinC ，结合正、余弦定理得

相似三角形经典题(含答案)

相似三角形经典习题 例1 从下面这些三角形中，选出相似的三角形． 例2 已知：如图， ABCD 中，2:1:=EB AE ，求AEF ?与CDF ?的周长的比，如果2cm 6=?AEF S ，求CDF S ?． 例3 如图，已知ABD ?∽ACE ?，求证：ABC ?∽ADE ?． 例4 下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？ （1）所有的直角三角形都相似． （2）所有的等腰三角形都相似． （3）所有的等腰直角三角形都相似． （4）所有的等边三角形都相似． 例5 如图，D 点是ABC ?的边AC 上的一点，过D 点画线段DE ，使点E 在ABC ?的边上，并且点D 、点E 和ABC ?的一个顶点组成的小三角形与ABC ?相似．尽可能多地画出满足条件的图形，并说明线段DE 的画法． 例6 如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高．

例7 如图，小明为了测量一高楼MN 的高，在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜，小明沿NA 后退到C 点，正好从镜中看到楼顶M 点，若5.1=AC m ，小明的眼睛离地面的高度为1.6m ，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m ）． 例8 格点图中的两个三角形是否是相似三角形，说明理由． 例9 根据下列各组条件，判定ABC ?和C B A '''?是否相似，并说明理由： （1）,cm 4,cm 5.2,cm 5.3===CA BC AB cm 28,cm 5.17,cm 5.24=''=''=''A C C B B A ． （2）?='∠?='∠?=∠?=∠35,44,104,35A C B A ． （3）?='∠=''=''?=∠==48,3.1,5.1,48,6.2,3B C B B A B BC AB ． 例10 如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据． 例11 已知：如图，在ABC ?中，BD A AC AB ,36,?=∠=是角平分线，试利用三角形相似的关系说明AC DC AD ?=2 ．

最新解三角形精典题型归纳(包括知识点)

高中数学必修5 第一章 解三角形复习 一、知识点总结 【正弦定理】 1．正弦定理:2sin sin sin a b c R A B C === (R 为三角形外接圆的半径). 2.正弦定理的一些变式： ()sin sin sin i a b c A B C ::=::；()sin ,sin ,sin 22a b ii A B C R R ==2c R =； ()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===；（4）R C B A c b a 2sin sin sin =++++ 3．两类正弦定理解三角形的问题： （1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. （2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解） 【余弦定理】 1．余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ?=+-?=+-??=+-? 2.推论： 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ?+-= ??+-?=???+-=?? . 设a 、b 、c 是C ?AB 的角A 、B 、C 的对边，则： ①若222a b c +=，则90C =；②若222 a b c +>，则90C <； ③若222a b c +<，则90C >． 3.两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角. （2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 【面积公式】 已知三角形的三边为a,b,c, 1.111sin ()222 a S ah a b C r a b c ===++（其中r 为三角形内切圆半径） 2.设)(21c b a p ++=,))()((c p b p a p p S ---=(海伦公式) 【三角形中的常见结论】

九年级数学下册《解直角三角形》典型例题(含答案)

《解直角三角形》典型例题 例1 在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，a=4，解这个三角形． 分析 本题实际上是要求∠A 、b 、c 的值．可根据直角三角形中各元素间的关系解决． 解 （1） ； （2）由a b B =tan ，知 ； （3）由c a B = cos ，知860cos 4cos =?==B a c ． 说明 此题还可用其他方法求b 和c ． 例 2 在Rt △ABC 中, ∠C=90°，∠A=30°，3=b ,解这个三角形． 解法一 ∵ ∴ 设 ,则 由勾股定理,得 ∴ ． ∴ ． 解法二 133330tan =?=?=b a 说明 本题考查含特殊角的直角三角形的解法,它可以用目前所学的解直角三角形的方法,也可以用以前学的性质解题． 例 3 设 中， 于D ，若 ，解三 角形ABC ．

分析“解三角形ABC”就是求出的全部未知元素．本题CD不是的边，所以应先从Rt入手． 解在Rt中，有： ∴ 在Rt中，有 说明（1）应熟练使用三角函数基本关系式的变形，如： （2）平面几何中有关直角三角形的定理也可以结合使用，本例中 “”就是利用“对30°角的直角边等于斜边的一半”这一定理．事实上，还可以用面积公式求出AB的值： 所以解直角三角形问题，应开阔思路，运用多种工具． 例4在中，，求． 分析（1）求三角形的面积一方面可以根据面积公式求出底和底上的高的长，也可以根据其中规则面积的和或差； （2）不是直角三角形，可构造直角三角形求解．

解如图所示，作交CB的延长线于H，于是在Rt△ACH中，有，且有 ； 在中，，且 ， ∴； 于是，有， 则有 说明还可以这样求：

最新相似三角形经典例题解析

一、如何证明三角形相似 例1、如图：点G 在平行四边形ABCD 的边DC 的延长线上,AG 交BC 、BD 于点E 、F ，则△AGD ∽ ∽ 。 例2、已知△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 是角平分线，求证：△ABC ∽△BCD 例3：已知，如图，D 为△ABC 内一点连结ED 、AD ，以BC 为边在△ABC 外作∠CBE=∠ABD ，∠BCE=∠BAD 求证：△DBE ∽△ABC 例4、矩形ABCD 中，BC=3AB ，E 、F ，是BC 边的三等分点，连结AE 、AF 、AC ，问图中是否存在非全等的相似三 角形？请证明你的结论。 二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式 例5、△ABC 中，在AC 上截取AD ，在CB 延长线上截取BE ，使AD=BE ，求证：DF ?AC=BC ?FE 例6：已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=900 ，M 是BC 的中点，DM ⊥BC 于点E ， 交BA 的延 长线于点D 。 求证：（1）MA 2 =MD ?ME ；（2）MD ME AD AE = 22 例7：如图△ABC 中，AD 为中线，CF 为任一直线，CF 交AD 于E ，交AB 于F ，求证：AE ：ED=2AF ：FB 。 三、如何用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。 例8：已知：如图E 、F 分别是正方形ABCD 的边AB 和AD 上的点，且 3 1 ==AD AF AB EB 。求证：∠AEF=∠FBD 例9、在平行四边形ABCD 内，AR 、BR 、CP 、DP 各为四角的平分线， 求证：SQ ∥AB ，RP ∥BC 例10、已知A 、C 、E 和B 、F 、D 分别是∠O 的两边上的点，且AB ∥ED ，BC ∥FE ，求证：AF ∥CD 例11、直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，BCDE 是正方形，AE 交BC 于F ，FG ∥AC 交AB 于G ，求证：FC=FG 例12、Rt △ABC 锐角C 的平分线交AB 于E ，交斜边上的高AD 于O ，过O 引BC 的平行线交AB 于F ，求证：AE=BF A B C D E F G A B C D E M 12 A B C D E F G 1 234 A B C D A B C D E F K A B C D E F A B C D S P R Q O A B C D E F A B C D E F O 123 A B C D F G E